第一篇：《數(shù)學(xué)分析》考試知識點(diǎn).

《數(shù)學(xué)分析》考試知識點(diǎn)

題目類型及所占比例：

填空題（20分）、解答題（60分）、證明題(70分)

考試范圍：

一、極限和函數(shù)的連續(xù)性 考試內(nèi)容： 映射與函數(shù)的概念及表示法，函數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的求法，函數(shù)的有界性、奇偶性、單調(diào)性與周期性； 數(shù)列與函數(shù)極限的定義與性質(zhì)，函數(shù)的左右極限，無窮小量與無窮大量的概念及關(guān)系、無窮小量與無窮大量的階，極限的計(jì)算； 3 函數(shù)的連續(xù)性和一致連續(xù)性； 4 實(shí)數(shù)系的連續(xù)性； 5 連續(xù)函數(shù)的各種性質(zhì)。考試要求： 理解映射與函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法；會函數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算；知道反函數(shù)及隱函數(shù)存在的條件及求法；了解初等函數(shù)的概念，會求初等函數(shù)的定義域； 理解函數(shù)與數(shù)列極限(包括左右)的概念，會用極限的概念證明有關(guān)極限的命題；熟練掌握極限的四則運(yùn)算及性質(zhì)；會問題及簡單的求 函數(shù)熟練掌握數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念；理解無窮小量的概念及基本性質(zhì)。掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算性質(zhì)，能夠熟練運(yùn)用兩面夾原理和兩個特殊極限。掌握實(shí)數(shù)系的基本定理。熟練掌握函數(shù)連續(xù)性的概念及相關(guān)的不連續(xù)點(diǎn)類型。熟練掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。二、一元函數(shù)微分學(xué) 考試主要內(nèi)容：微分的概念、導(dǎo)數(shù)的概念、微分和導(dǎo)數(shù)的意義；求導(dǎo)運(yùn)算；微分運(yùn)算；微分中值定理；洛必達(dá)法則、泰勒展式；導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。

考試要求：理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念。熟練掌握函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法則，包括高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。熟練掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理和Cauchy中值定理以及Taylor展式。能用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，最值和凸凹性。掌握用洛必達(dá)法則求不定式極限的方法。三、一元函數(shù)積分學(xué)

考試主要內(nèi)容：定積分的概念、性質(zhì)和微積分基本定理；不定積分和定積分的計(jì)算；定積分的應(yīng)用；廣義積分的概念和廣義積分收斂的判別法。

考試要求：理解不定積分的概念。掌握不定積分的基本公式，換元積分法和分部積分法，會求初等函數(shù)、有理函數(shù)和三角有理函數(shù)的積分。掌握定積分的概念，包括可積性條件。掌握定積分的性質(zhì)，熟練掌握微積分基本定理，定積分的換元積分法和分部積分法以及積分中值定理。能用定積分表達(dá)和計(jì)算如下幾何量與物理量。理解廣義積分的概念。熟練掌握判斷廣義積分收斂的比較判別法，Abel判別法和Dirichlet判別法；其中包括積分第二中值定理。

四、無窮級數(shù)

考試主要內(nèi)容：數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念、數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散的判別法；級數(shù)的絕對收斂和條件收斂；函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂和一致收斂及其性質(zhì)、收斂性的判別；冪級數(shù)及其性質(zhì)、泰勒級數(shù)和泰勒展開。

考試要求：理解數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的概念，掌握數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基本性質(zhì)。熟練掌握正項(xiàng)級數(shù)斂散的必要條件，比較判別法，Cauchy判別法，D‘Alembert判別法與積分判別法。熟練掌握任意項(xiàng)級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念及其相互關(guān)系。熟練掌握交錯級數(shù)的Leibnitz判別法。掌握絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)。熟練掌握函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂性的概念以及判斷一致收斂性的Weierstrass判別法。Abel判別法、Cauchy判別法和Dirichlet判別法。掌握冪級數(shù)及其收斂半徑的概念，熟練掌握冪級數(shù)的性質(zhì)。能夠?qū)⒑瘮?shù)展開為冪級數(shù)。了解Fourier級數(shù)的概念與性質(zhì)。

五、多元函數(shù)微分學(xué)與積分學(xué)

考試主要內(nèi)容：多元函數(shù)的極限與連續(xù)、全微分和偏導(dǎo)數(shù)的概念、重積分的概念及其性質(zhì)、重積分的計(jì)算；曲線積分和曲面積分；反常積分的定義和判別。

考試要求：理解多元函數(shù)極限與連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分。掌握隱函數(shù)存在定理。會求多元函數(shù)極值和無條件極值，了解偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用。掌握重積分、曲線積分和曲面積分的概念與計(jì)算。熟練掌握Gauss公式、Green公式和Stoks公式及其應(yīng)用。

六、含參變量積分

考試主要內(nèi)容：含參變量積分的概念、性質(zhì)。

考試要求：了解含參變量常義積分的概念與性質(zhì)。熟練掌握變上限積分。

參考書目：

《數(shù)學(xué)分析》，華東師大數(shù)學(xué)系編，高教出版社，2001年6月（三版）《數(shù)學(xué)分析》，陳傳璋等編，高教出版社

第二篇：數(shù)學(xué)分析知識點(diǎn)總結(jié)

第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù) §1實(shí)數(shù) 授課章節(jié)：第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)——§1實(shí)數(shù) 教學(xué)目的：使學(xué)生掌握實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)． 教學(xué)重點(diǎn)：

(1)理解并熟練運(yùn)用實(shí)數(shù)的有序性、稠密性和封閉性；

(2)牢記并熟練運(yùn)用實(shí)數(shù)絕對值的有關(guān)性質(zhì)以及幾個常見的不等式．（它們是分析論證的重要工具）教學(xué)難點(diǎn)：實(shí)數(shù)集的概念及其應(yīng)用． 教學(xué)方法：講授．（部分內(nèi)容自學(xué)）教學(xué)程序：

引 言 上節(jié)課中，我們與大家共同探討了《數(shù)學(xué)分析》這門課程的研究對象、主要內(nèi)容等話題．從本節(jié)課開始，我們就基本按照教材順序給大家介紹這門課程的主要內(nèi)容．首先，從大家都較為熟悉的實(shí)數(shù)和函數(shù)開始． [問題]為什么從“實(shí)數(shù)”開始． 答：《數(shù)學(xué)分析》研究的基本對象是函數(shù)，但這里的“函數(shù)”是定義在“實(shí)數(shù)集”上的（后繼課《復(fù)變函數(shù)》研究的是定義在復(fù)數(shù)集上的函數(shù)）．為此，我們要先了解一下實(shí)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)． 一、實(shí)數(shù)及其性質(zhì) 1、實(shí)數(shù) ． [問題]有理數(shù)與無理數(shù)的表示不統(tǒng)一，這對統(tǒng)一討論實(shí)數(shù)是不利的．為以下討論的需要，我們把“有限小數(shù)”（包括整數(shù)）也表示為“無限小數(shù)”．為此作如下規(guī)定：

對于正有限小數(shù)其中，記；

對于正整數(shù)則記；

對于負(fù)有限小數(shù)（包括負(fù)整數(shù)），則先將表示為無限小數(shù)，現(xiàn)在所得的小數(shù)之前加負(fù)號．0表示為 0＝ 例：

；

利用上述規(guī)定，任何實(shí)數(shù)都可用一個確定的無限小數(shù)來表示．在此規(guī)定下，如何比較實(shí)數(shù)的大?。? 2、兩實(shí)數(shù)大小的比較 1）定義1給定兩個非負(fù)實(shí)數(shù)，.其中為非負(fù)整數(shù)，為整數(shù)，．若有，則稱與相等，記為；

若或存在非負(fù)整數(shù)，使得，而，則稱大于或小于，分別記為或．對于負(fù)實(shí)數(shù)、，若按上述規(guī)定分別有或，則分別稱為與（或）． 規(guī)定：任何非負(fù)實(shí)數(shù)大于任何負(fù)實(shí)數(shù)． 2）實(shí)數(shù)比較大小的等價(jià)條件（通過有限小數(shù)來比較）． 定義2（不足近似與過剩近似）：為非負(fù)實(shí)數(shù)，稱有理數(shù)為實(shí)數(shù)的位不足近似；

稱為實(shí)數(shù)的位過剩近似，.對于負(fù)實(shí)數(shù)，其位不足近似；

位過剩近似.注：實(shí)數(shù)的不足近似當(dāng)增大時不減，即有；

過剩近似當(dāng)n增大時不增，即有． 命題：記，為兩個實(shí)數(shù)，則的等價(jià)條件是：存在非負(fù)整數(shù)n，使（其中為的位不足近似，為的位過剩近似）． 命題應(yīng)用 例1．設(shè)為實(shí)數(shù)，證明存在有理數(shù)，滿足． 證明：由，知：存在非負(fù)整數(shù)n，使得．令，則r為有理數(shù)，且 ．即． 3、實(shí)數(shù)常用性質(zhì)（詳見附錄Ⅱ．）． 1）封閉性（實(shí)數(shù)集對）四則運(yùn)算是封閉的．即任意兩個實(shí)數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為0）仍是實(shí)數(shù)． 2）有序性：，關(guān)系，三者必居其一，也只居其一.3）傳遞性：，． 4）阿基米德性：使得． 5）稠密性：兩個不等的實(shí)數(shù)之間總有另一個實(shí)數(shù)． 6）一一對應(yīng)關(guān)系：實(shí)數(shù)集與數(shù)軸上的點(diǎn)有著一一對應(yīng)關(guān)系． 例2．設(shè)，證明：若對任何正數(shù)，有，則．（提示：反證法．利用“有序性”，?。┒?、絕對值與不等式 1、絕對值的定義 實(shí)數(shù)的絕對值的定義為． 2、幾何意義 從數(shù)軸看，數(shù)的絕對值就是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．表示就是數(shù)軸上點(diǎn)與之間的距離． 3、性質(zhì) 1）（非負(fù)性）；

2）；

3），；

4）對任何有（三角不等式）；

5）；

6）（）． 三、幾個重要不等式 1、2、均值不等式:對記(算術(shù)平均值)(幾何平均值)(調(diào)和平均值)有平均值不等式:即：

等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立.3、Bernoulli不等式:(在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過)有不等式 當(dāng)且,且時,有嚴(yán)格不等式 證：由且 4、利用二項(xiàng)展開式得到的不等式:對由二項(xiàng)展開式 有 上式右端任何一項(xiàng).［練習(xí)］P4．5 ［課堂小結(jié)］：實(shí)數(shù)：.[作業(yè)]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3 §2數(shù)集和確界原理 授課章節(jié)：第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)——§2數(shù)集和確界原理 教學(xué)目的：使學(xué)生掌握確界原理，建立起實(shí)數(shù)確界的清晰概念.教學(xué)要求：

(1)掌握鄰域的概念；

(2)理解實(shí)數(shù)確界的定義及確界原理，并在有關(guān)命題的證明中正確地加以運(yùn)用.教學(xué)重點(diǎn)：確界的概念及其有關(guān)性質(zhì)（確界原理）.教學(xué)難點(diǎn)：確界的定義及其應(yīng)用.教學(xué)方法：講授為主.教學(xué)程序：先通過練習(xí)形式復(fù)習(xí)上節(jié)課的內(nèi)容，以檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果，此后導(dǎo)入新課.引 言 上節(jié)課中我們對數(shù)學(xué)分析研究的關(guān)鍵問題作了簡要討論；

此后又讓大家自學(xué)了第一章§1實(shí)數(shù)的相關(guān)內(nèi)容.下面，我們先來檢驗(yàn)一下自學(xué)的效果如何！1、證明：對任何有：(1)；

(2).（）（）2、證明：.3、設(shè)，證明：若對任何正數(shù)有，則.4、設(shè)，證明：存在有理數(shù)滿足.[引申]：①由題1可聯(lián)想到什么樣的結(jié)論呢？這樣思考是做科研時的經(jīng)常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具體問題引出一般的結(jié)論：一般的方法？②由上述幾個小題可以體會出“大學(xué)數(shù)學(xué)”習(xí)題與中學(xué)的不同；

理論性強(qiáng)，概念性強(qiáng)，推理有理有據(jù)，而非憑空想象；

③課后未布置作業(yè)的習(xí)題要盡可能多做，以加深理解，語言應(yīng)用.提請注意這種差別，盡快掌握本門課程的術(shù)語和工具.本節(jié)主要內(nèi)容：

1、先定義實(shí)數(shù)集R中的兩類主要的數(shù)集——區(qū)間與鄰域；

2、討論有界集與無界集；

3、由有界集的界引出確界定義及確界存在性定理（確界原理）.一、區(qū)間與鄰域 1、區(qū)間（用來表示變量的變化范圍）設(shè)且.，其中 2、鄰域 聯(lián)想：“鄰居”.字面意思：“鄰近的區(qū)域”.與鄰近的“區(qū)域”很多，到底哪一類是我們所要講的“鄰域”呢？就是“關(guān)于的對稱區(qū)間”；

如何用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)呢？（1）的鄰域：設(shè)，滿足不等式的全體實(shí)數(shù)的集合稱為點(diǎn)的鄰域，記作，或簡記為，即.其中（2）點(diǎn)的空心鄰域.（3）的右鄰域和點(diǎn)的空心右鄰域（4）點(diǎn)的左鄰域和點(diǎn)的空心左鄰域（5）鄰域，鄰域，鄰域（其中M為充分大的正數(shù)）；

二、有界集與無界集 1、定義1（上、下界）：設(shè)為中的一個數(shù)集.若存在數(shù)，使得一切都有，則稱S為有上（下）界的數(shù)集.數(shù)稱為S的上界（下界）；

若數(shù)集S既有上界，又有下界，則稱S為有界集.閉區(qū)間、開區(qū)間為有限數(shù)）、鄰域等都是有界數(shù)集，集合 也是有界數(shù)集.若數(shù)集S不是有界集，則稱S為無界集.等都是無界數(shù)集, 集合 也是無界數(shù)集.注：1）上（下）界若存在，不唯一；

2）上（下）界與S的關(guān)系如何？看下例：

例1 討論數(shù)集的有界性.解：任取，顯然有，所以有下界1；

但無上界.因?yàn)榧僭O(shè)有上界M,則M>0，按定義，對任意，都有，這是不可能的，如取則，且.綜上所述知：是有下界無上界的數(shù)集，因而是無界集.例2證明：（1）任何有限區(qū)間都是有界集；

（2）無限區(qū)間都是無界集；

（3）由有限個數(shù)組成的數(shù)集是有界集.[問題]：若數(shù)集S有上界，上界是唯一的嗎？對下界呢？(答：不唯一，有無窮多個).三、確界與確界原理 1、定義 定義2（上確界）設(shè)S是R中的一個數(shù)集，若數(shù)滿足：(1)對一切 有（即是S的上界）;(2)對任何，存在，使得（即是S的上界中最小的一個），則稱數(shù)為數(shù)集S的上確界，記作 從定義中可以得出：上確界就是上界中的最小者.命題1 充要條件 1）；

2）.證明：必要性，用反證法.設(shè)2）不成立，則，與是上界中最小的一個矛盾.充分性（用反證法），設(shè)不是的上確界，即是上界，但.令，由2），使得，與是的上界矛盾.定義3（下確界）設(shè)S是R中的一個數(shù)集，若數(shù)滿足：（1）對一切有（即是S的下界）；

（2）對任何，存在，使得（即是S的下界中最大的一個），則稱數(shù)為數(shù)集S的下確界，記作.從定義中可以得出：下確界就是下界中的最大者.命題2 的充要條件：

1）；

2）＞0，＜ 上確界與下確界統(tǒng)稱為確界.例3（1）則 1 ；

0.（2）則 1 ；

0.注：非空有界數(shù)集的上（或下）確界是唯一的.命題3：設(shè)數(shù)集有上（下）確界，則這上（下）確界必是唯一的.證明：設(shè)，且，則不妨設(shè) 有 對，使，矛盾.例：，則有.開區(qū)間與閉區(qū)間有相同的上確界與下確界 例4設(shè)和是非空數(shù)集，且有則有.例5設(shè)和是非空數(shù)集.若對和都有則有 證明：是的上界,是的下界, 例6和為非空數(shù)集,試證明: 證明：有或由和分別是和的下界,有 或 即是數(shù)集的下界, 又的下界就是的下界,是的下界,是的下界,同理有 于是有.綜上,有.1.數(shù)集與確界的關(guān)系:確界不一定屬于原集合.以例3⑵為例做解釋.2.確界與最值的關(guān)系:設(shè) 為數(shù)集.（1）的最值必屬于,但確界未必,確界是一種臨界點(diǎn).（2）非空有界數(shù)集必有確界(見下面的確界原理),但未必有最值.（3）若存在,必有對下確界有類似的結(jié)論.4.確界原理: Th1.1(確界原理).設(shè)非空的數(shù)集.若有上界，則必有上確界；

若有下界，則必有下確界.這里我們給一個可以接受的說明 非空，我們可以找到一個整數(shù)，使得不是上界，而是的上界.然后我們遍查和，我們可以找到一個，使得不是上界，是上界，如果再找第二位小數(shù)，如此下去，最后得到，它是一個實(shí)數(shù)，即為的上確界.證明：（書上對上確界的情況給出證明，下面講對下確界的證明）不妨設(shè)中的元素都為非負(fù)數(shù)，則存在非負(fù)整數(shù)，使得 1），有；

2）存在，有；

把區(qū)間10等分，分點(diǎn)為n.1，ｎ.2，．．．,ｎ.9, 存在，使得 1），有；；

2）存在，使得． 再對開區(qū)間10等分，同理存在，使得 1）對任何，有；

2）存在，使 繼續(xù)重復(fù)此步驟，知對任何，存在使得 1）對任何，；

2）存在，． 因此得到．以下證明．（ⅰ）對任意，；

（ⅱ）對任何，存在使． ［作業(yè)］：P9 1（1），（2）；

2；

4（2）、（4）；

７ §3函數(shù)概念 授課章節(jié)：第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)——§3 函數(shù)概念 教學(xué)目的：使學(xué)生深刻理解函數(shù)概念.教學(xué)要求：

（１）深刻理解函數(shù)的定義以及復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)和初等函數(shù)的定義，熟悉函數(shù)的各種表示法；

（２）牢記基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)及其圖象.會求初等函數(shù)的存在域，會分析初等函數(shù)的復(fù)合關(guān)系.教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的概念.教學(xué)難點(diǎn)：初等函數(shù)復(fù)合關(guān)系的分析.教學(xué)方法：課堂講授，輔以提問、練習(xí)、部分內(nèi)容可自學(xué).教學(xué)程序：

引 言 關(guān)于函數(shù)概念，在中學(xué)數(shù)學(xué)中已有了初步的了解.為便于今后的學(xué)習(xí)，本節(jié)將對此作進(jìn)一步討論.一、函數(shù)的定義 １．定義１ 設(shè)，如果存在對應(yīng)法則，使對，存在唯一的一個數(shù)與之對應(yīng)，則稱是定義在數(shù)集上的函數(shù)，記作.數(shù)集稱為函數(shù)的定義域，所對應(yīng)的，稱為在點(diǎn)的函數(shù)值，記為.全體函數(shù)值的集合稱為函數(shù)的值域，記作.即.２．幾點(diǎn)說明（1）函數(shù)定義的記號中“”表示按法則建立到的函數(shù)關(guān)系，表示這兩個數(shù)集中元素之間的對應(yīng)關(guān)系，也記作.習(xí)慣上稱自變量，為因變量.（2）函數(shù)有三個要素，即定義域、對應(yīng)法則和值域.當(dāng)對應(yīng)法則和定義域確定后，值域便自然確定下來.因此，函數(shù)的基本要素為兩個：定義域和對應(yīng)法則.所以函數(shù)也常表示為：.由此，我們說兩個函數(shù)相同，是指它們有相同的定義域和對應(yīng)法則.例如：1）（不相同，對應(yīng)法則相同，定義域不同）2）（相同，只是對應(yīng)法則的表達(dá)形式不同）.（3）函數(shù)用公式法（解析法）表示時，函數(shù)的定義域常取使該運(yùn)算式子有意義的自變量的全體，通常稱為存在域（自然定義域）.此時，函數(shù)的記號中的定義域可省略不寫，而只用對應(yīng)法則來表示一個函數(shù).即“函數(shù)”或“函數(shù)”.（4）“映射”的觀點(diǎn)來看，函數(shù)本質(zhì)上是映射，對于，稱為映射下的象.稱為的原象.（5）函數(shù)定義中，只能有唯一的一個值與它對應(yīng)，這樣定義的函數(shù)稱為“單值函數(shù)”，若對同一個值，可以對應(yīng)多于一個值，則稱這種函數(shù)為多值函數(shù).本書中只討論單值函數(shù)（簡稱函數(shù)）.二、函數(shù)的表示方法 1 主要方法：解析法（公式法）、列表法（表格法）和圖象法（圖示法）.2 可用“特殊方法”來表示的函數(shù).1）分段函數(shù)：在定義域的不同部分用不同的公式來表示.例如，（符號函數(shù)）（借助于sgnx可表示即）.2）用語言敘述的函數(shù).（注意；

以下函數(shù)不是分段函數(shù)）例 １）（取整函數(shù)）比如：

[3.5]=3, [3]=3, [-3.5]=-4.常有 , 即.與此有關(guān)一個的函數(shù)（非負(fù)小數(shù)函數(shù)）圖形是一條大鋸，畫出圖看一看.２）狄利克雷（Dirichlet）函數(shù) 這是一個病態(tài)函數(shù)，很有用處，卻無法畫出它的圖形.它是周期函數(shù)，但卻沒有最小周期，事實(shí)上任一有理數(shù)都是它的周期.３）黎曼（Riemman）函數(shù) 三 函數(shù)的四則運(yùn)算 給定兩個函數(shù)，記，并設(shè)，定義與在上的和、差、積運(yùn)算如下：

；；

.若在中除去使的值，即令，可在上定義與的商運(yùn)算如下；

.注：１）若，則與不能進(jìn)行四則運(yùn)算.２）為敘述方便，函數(shù)與的和、差、積、商常分別寫為：.四、復(fù)合運(yùn)算 １．引言 在有些實(shí)際問題中函數(shù)的自變量與因變量通過另外一些變量才建立起它們之間的對應(yīng)關(guān)系.例：質(zhì)量為m的物體自由下落，速度為v，則功率為.抽去該問題的實(shí)際意義，我們得到兩個函數(shù)，把代入，即得.這樣得到函數(shù)的過程稱為“函數(shù)復(fù)合”，所得到的函數(shù)稱為“復(fù)合函數(shù)”.[問題] 任給兩個函數(shù)都可以復(fù)合嗎？考慮下例；

.就不能復(fù)合，結(jié)合上例可見，復(fù)合的前提條件是“內(nèi)函數(shù)”的值域與“外函數(shù)”的定義域的交集不空（從而引出下面定義）.2．定義（復(fù)合函數(shù)）設(shè)有兩個函數(shù)，若，則對每一個，通過對應(yīng)內(nèi)唯一一個值，而又通過對應(yīng)唯一一個值，這就確定了一個定義在上的函數(shù)，它以為自變量，因變量，記作或.簡記為.稱為函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，并稱為外函數(shù)，為內(nèi)函數(shù)，為中間變量.3.例子 例 求 并求定義域.例 ⑴ ⑵ 則 A.B.C.D.例 討論函數(shù)與函數(shù)能否進(jìn)行復(fù)合，求復(fù)合函數(shù).4 說明 １）復(fù)合函數(shù)可由多個函數(shù)相繼復(fù)合而成.每次復(fù)合，都要驗(yàn)證能否進(jìn)行？在哪個數(shù)集上進(jìn)行？復(fù)合函數(shù)的最終定義域是什么？ 例如：，復(fù)合成：.２）不僅要會復(fù)合，更要會分解.把一個函數(shù)分解成若干個簡單函數(shù)，在分解時也要注意定義域的變化.① ② ③ 五、反函數(shù) １.引言 在函數(shù)中把叫做自變量，叫做因變量.但需要指出的是，自變量與因變量的地位并不是絕對的，而是相對的，例如：

那么對于來講是自變量，但對來講，是因變量.習(xí)慣上說函數(shù)中是自變量，是因變量，是基于隨的變化現(xiàn)時變化.但有時我們不僅要研究隨的變化狀況，也要研究隨的變化的狀況.對此，我們引入反函數(shù)的概念.２.反函數(shù)概念 定義設(shè)R是一函數(shù)，如果，, 由(或由)，則稱在上是 1-1 的.若，稱為滿的.若 是滿的 1-1 的，則稱為1-1對應(yīng).R是1-1 的意味著對固定至多有一個解，是1-1 的意味著對，有且僅有一個解.定義 設(shè)是1-1對應(yīng)., 由唯一確定一個, 由這種對應(yīng)法則所確定的函數(shù)稱為的反函數(shù)，記為.反函數(shù)的定義域和值域恰為原函數(shù)的值域和定義域 顯然有(恒等變換）(恒等變換).0 x y 從方程角度看，函數(shù)和反函數(shù)沒什么區(qū)別，作為函數(shù)，習(xí)慣上我們還是把反函數(shù)記為 , 這樣它的圖形與 的圖形是關(guān)于對角線對稱的.嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)是1-1對應(yīng)的，所以嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)有反函數(shù).但 1-1 對應(yīng)的函數(shù)（有反函數(shù)）不一定是嚴(yán)格單調(diào)的，看下面例子 它的反函數(shù)即為它自己.實(shí)際求反函數(shù)問題可分為二步進(jìn)行：

1.確定 的定義域和值域，考慮 1-1對應(yīng)條件.固定，解方程 得出.2.按習(xí)慣，自變量、因變量互換，得.例 求 ：R R的反函數(shù).解 固定，為解，令，方程變?yōu)?舍去)得，即，稱為反雙曲正弦.定理 給定函數(shù)，其定義域和值域分別記為和，若在上存在函數(shù)，使得 , 則有.分析：要證兩層結(jié)論：一是的反函數(shù)存在，我們只要證它是 1-1 對應(yīng)就行了；

二是要證. 證 要證的反函數(shù)存在，只要證是到的 1-1 對應(yīng).，若，則由定理?xiàng)l件，我們有，即 是 1-1 對應(yīng).再證.，使得.由反函數(shù)定義，再由定理?xiàng)l件.例，若存在唯一（）不動點(diǎn)，則也不動點(diǎn).證 存在性，設(shè)，即是的不動點(diǎn)，由唯一性，即存在的不動點(diǎn).唯一性：

設(shè)，說明 是的不動點(diǎn)，由唯一性，=.從映射的觀點(diǎn)看函數(shù).設(shè)函數(shù).滿足：對于值域中的每一個值，Ｄ中有且只有一個值，使得，則按此對應(yīng)法則得到一個定義在上的函數(shù)，稱這個函數(shù)為的反函數(shù)，記作 或.３、注釋 a)并不是任何函數(shù)都有反函數(shù)，從映射的觀點(diǎn)看，函數(shù)有反函數(shù)，意味著是Ｄ與之間的一個一一映射，稱為映射的逆映射，它把；

b)函數(shù)與互為反函數(shù)，并有: c)在反函數(shù)的表示中，是以為自變量，為因變量.若按習(xí)慣做法用做為自變量的記號，作為因變量的記號，則函數(shù)的反函數(shù)可以改寫為 應(yīng)該注意，盡管這樣做了，但它們的表示同一個函數(shù)，因?yàn)槠涠x域和對應(yīng)法則相同，僅是所用變量的記號不同而已.但它們的圖形在同一坐標(biāo)系中畫出時有所差別.六、初等函數(shù) 1.基本初等函數(shù)（６類）常量函數(shù)（Ｃ為常數(shù)）；

冪函數(shù)；

指數(shù)函數(shù)；

對數(shù)函數(shù)；

三角函數(shù)；

反三角函數(shù).注：冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)都涉及乘冪，而在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中只給了有理指數(shù)乘冪的定義.下面我們借助于確界來定義無理指數(shù)冪，便它與有理指數(shù)冪一起構(gòu)成實(shí)指數(shù)乘冪，并保持有理批數(shù)冪的基本性質(zhì).定義２．給定實(shí)數(shù)，設(shè)為無理數(shù)，我們規(guī)定：

這樣解決了中學(xué)數(shù)學(xué)僅對有理數(shù)ｘ定義的缺陷． [問題]：這樣的定義有意義否？更明確一點(diǎn)相應(yīng)的“確界是否存在呢？” ２．初等函數(shù) 定義３．由基本初等函數(shù)經(jīng)過在有限次四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù) 如：

不是初等函數(shù)的函數(shù)，稱為非初等函數(shù).如Dirichlet函數(shù)、Riemann函數(shù)、取整函數(shù)等都是非初等函數(shù).注：初等函數(shù)是本課程研究的主要對象.為此，除對基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)應(yīng)熟練掌握外，還應(yīng)常握確定初等函數(shù)的定義域.確定定義域時應(yīng)注意兩點(diǎn).例２．求下列函數(shù)的定義域.（１）；

（２）3.初等函數(shù)的幾個特例: 設(shè)函數(shù)和都是初等函數(shù), 則（1）是初等函數(shù), 因?yàn)椋?）和 都是初等函數(shù), 因?yàn)? ,.（3）冪指函數(shù) 是初等函數(shù),因?yàn)? ［作業(yè)］ ：　3；

4:（２）、（３）；

5:（２）；

7:（３）； §4具有某些特性的函數(shù) 授課章節(jié)：第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)——§4具有某些特性的函數(shù) 教學(xué)目的：熟悉與初等函數(shù)性態(tài)有關(guān)的一些常見術(shù)語.教學(xué)目的：深刻理解有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)的定義；

理解奇偶函數(shù)、周期函數(shù)的定義；

會求一些簡單周期函數(shù)的周期.教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的有界性、單調(diào)性.教學(xué)難點(diǎn)：周期函數(shù)周期的計(jì)算、驗(yàn)證.教學(xué)方法：有界函數(shù)講授，其余的列出自學(xué)題綱，供學(xué)生自學(xué)完成.教學(xué)程序：

引 言 在本節(jié)中，我們將介紹以后常用的幾類具有某些特性的函數(shù)，如有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇偶函數(shù)與周期函數(shù).其中，有些概念在中學(xué)里已經(jīng)敘述過，因此，這里只是簡單地提一下.與“有界集”的定義類似，先談?wù)動猩辖绾瘮?shù)和有下界函數(shù).一、有界函數(shù) 1、有上界函數(shù)、有下界函數(shù)的定義 定義1設(shè)為定義在D上的函數(shù)，若存在數(shù)，使得對每一個有，則稱為D上的有上（下）界函數(shù)，稱為在D上的一個上（下）界.注：（1）在D上有上（下）界，意味著值域是一個有上（下）界的數(shù)集；

（2）又若為在D上的一個上（下）界，則任何大于Ｍ（小于Ｌ）的數(shù)也是在D上的上（下）界.所以，函數(shù)的上（下）界若存在，則不是唯一的，例如：，1是其一個上界，下界為－1，則易見任何小于－1的數(shù)都可作為其下界；

任何大于1的數(shù)都可作為其上界；

（3）任給一個函數(shù)，不一定有上（下）界；

（4）由（1）及“有界集”定義，可類比給出“有界函數(shù)”定義：

在D上有界是一個有界集在D上既有上界又有下界在D上的有上界函數(shù)，也為D上的有下界函數(shù).2、有界函數(shù)定義 定義2設(shè)為定義在D上的函數(shù).若存在正數(shù)Ｍ，使得對每一個有，則稱為D上的有界函數(shù).注：（1）幾何意義：為D上的有界函數(shù)，則的圖象完全落在和之間；

（2）在D上有界在D上既有上界又有下界；

例子：；

（3）關(guān)于函數(shù)在D上無上界、無下界或無界的定義.3、例題 例1 證明有界的充要條件為：,，使得對,.證明 如果有界，按定義>0，有，即,取,即可.反之如果,使得，令，則，即，使得對有，即有界.例2．證明　為上的無上界函數(shù).例3．設(shè)為D上的有界函數(shù).證明：（1）；

（2）.例4驗(yàn)證函數(shù) 在內(nèi)有界.解法一 由當(dāng)時,有 , 對 總有 即在內(nèi)有界.解法二 令 關(guān)于的二次方程 有實(shí)數(shù)根.解法三 令 對應(yīng) 于是 二、單調(diào)函數(shù) 定義3設(shè)為定義在D上的函數(shù)，（1）若，則稱為D上的增函數(shù)；

若，則稱為D上的嚴(yán)格增函數(shù).（2）若，則稱為D上的減函數(shù)；

若，則稱為D上的嚴(yán)格減函數(shù).例5．證明：在上是嚴(yán)格增函數(shù).證明：設(shè)，如，則 如，則 故即得證.例6．討論函數(shù)在上的單調(diào)性.，當(dāng)時，有，但此函數(shù)在上的不是嚴(yán)格增函數(shù).注：1）單調(diào)性與所討論的區(qū)間有關(guān).在定義域的某些部分，可能單調(diào)，也可能不單調(diào).所以要會求出給定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

2）嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的幾何意義：其圖象無自交點(diǎn)或無平行于軸的部分.更準(zhǔn)確地講：嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的圖象與任一平行于軸的直線至多有一個交點(diǎn).這一特征保證了它必有反函數(shù).總結(jié)得下面的結(jié)論：

定理1．設(shè)為嚴(yán)格增（減）函數(shù)，則必有反函數(shù)，且在其定義域上也是嚴(yán)格增（減）函數(shù).證明：設(shè)在上嚴(yán)格增函數(shù).對.下面證明這樣的只有一個.事實(shí)上，對于內(nèi)任一由于在上嚴(yán)格增函數(shù)，當(dāng)時，當(dāng)時，總之.即，從而 例7　討論函數(shù)在上反函數(shù)的存在性；

如果在上不存在反函數(shù)，在的子區(qū)間上存在反函數(shù)否？ 結(jié)論：函數(shù)的反函數(shù)與討論的自變量的變化范圍有關(guān).例8 證明：當(dāng)時在Ｒ上嚴(yán)格增，當(dāng)時在上嚴(yán)格遞減.三、奇函數(shù)和偶函數(shù) 定義4.設(shè)D為對稱于原點(diǎn)的數(shù)集，為定義在D上的函數(shù).若對每一個有（1），則稱為D上的奇函數(shù)；

（2），則稱為D上的偶函數(shù).注：（1）從函數(shù)圖形上看，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱（中心對稱），偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；

（2）奇偶性的前提是定義域?qū)ΨQ，因此沒有必要討論奇偶性.（3）從奇偶性角度對函數(shù)分類：；

（4）由于奇偶函數(shù)對稱性的特點(diǎn)，研究奇偶函數(shù)性質(zhì)時，只須討論原點(diǎn)的左邊或右邊即可四、周期函數(shù) 1、定義 設(shè)為定義在數(shù)集D上的函數(shù)，若存在，使得對一切有，則稱為周期函數(shù)，稱為的一個周期.2、幾點(diǎn)說明：

（1）若是的周期，則也是的周期，所以周期若存在，則不唯一.如.因此有如下“基本周期”的說法，即若在周期函數(shù)的所有周期中有一個最小的周期，則稱此最小周期為的“基本周期”，簡稱“周期”.如，周期為；

（2）任給一個函數(shù)不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如：1），不是周期函數(shù)；

2）（Ｃ為常數(shù)），任何正數(shù)都是它的周期.第二章數(shù)列極限 引 言 為了掌握變量的變化規(guī)律，往往需要從它的變化過程來判斷它的變化趨勢.例如有這么一個變量，它開始是1，然后為如此，一直無盡地變下去，雖然無盡止，但它的變化有一個趨勢，這個趨勢就是在它的變化過程中越來越接近于零.我們就說，這個變量的極限為0.在高等數(shù)學(xué)中，有很多重要的概念和方法都和極限有關(guān)（如導(dǎo)數(shù)、微分、積分、級數(shù)等），并且在實(shí)際問題中極限也占有重要的地位.例如求圓的面積和圓周長（已知：），但這兩個公式從何而來？ 要知道，獲得這些結(jié)果并不容易！人們最初只知道求多邊形的面積和求直線段的長度.然而，要定義這種從多邊形到圓的過渡就要求人們在觀念上，在思考方法上來一個突破.問題的困難何在？多邊形的面積其所以為好求，是因?yàn)樗闹芙缡且恍┲本€段，我們可以把它分解為許多三角形.而圓呢？周界處處是彎曲的，困難就在這個“曲”字上面.在這里我們面臨著“曲”與“直”這樣一對矛盾.辯證唯物主義認(rèn)為，在一定條件下，曲與直的矛盾可以相互轉(zhuǎn)化.整個圓周是曲的，每一小段圓弧卻可以近似看成是直的；

就是說，在很小的一段上可以近似地“以直代曲”，即以弦代替圓弧.按照這種辯證思想，我們把圓周分成許多的小段，比方說，分成個等長的小段，代替圓而先考慮其內(nèi)接正邊形.易知，正邊形周長為 顯然，這個不會等于.然而，從幾何直觀上可以看出，只要正邊形的邊數(shù)不斷增加.這些正多邊形的周長將隨著邊數(shù)的增加而不斷地接近于圓周長.越大，近似程度越高.但是，不論多么大，這樣算出來的總還只是多邊形的周長.無論如何它只是周長的近似值，而不是精確值.問題并沒有最后解決.為了從近似值過渡到精確值，我們自然讓無限地增大，記為.直觀上很明顯，當(dāng)時，記成.——極限思想.即圓周長是其內(nèi)接正多邊形周長的極限.這種方法是我國劉微（張晉）早在第3世紀(jì)就提出來了，稱為“割圓術(shù)”.其方法就是——無限分割.以直代曲；

其思想在于“極限”.除之以外，象曲邊梯形面積的計(jì)算均源于“極限”思想.所以，我們有必要對極限作深入研究.§1數(shù)列極限的概念 教學(xué)目的：使學(xué)生建立起數(shù)列極限的準(zhǔn)確概念；

會用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列極限等有關(guān)命題.教學(xué)要求：使學(xué)生逐步建立起數(shù)列極限的定義的清晰概念.深刻理解數(shù)列發(fā)散、單調(diào)、有界和無窮小數(shù)列等有關(guān)概念.會應(yīng)用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列的有關(guān)命題，并能運(yùn)用語言正確表述數(shù)列不以某實(shí)數(shù)為極限等相應(yīng)陳述.教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列極限的概念.教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列極限的定義及其應(yīng)用.教學(xué)方法：講授為主.教學(xué)程序：

一、什么是數(shù)列 1 數(shù)列的定義 數(shù)列就是“一列數(shù)”，但這“一列數(shù)”并不是任意的一列數(shù)，而是有一定的規(guī)律，有一定次序性，具體講數(shù)列可定義如下；

若函數(shù)的定義域?yàn)槿w正整數(shù)集合，則稱為數(shù)列.注：1）根據(jù)函數(shù)的記號，數(shù)列也可記為；

2）記，則數(shù)列就可寫作為：，簡記為，即；

3）不嚴(yán)格的說法：說是一個數(shù)列.2 數(shù)列的例子（1）；

（2）；

（3）；

（4）二、什么是數(shù)列極限 1．引言 對于這個問題，先看一個例子：古代哲學(xué)家莊周所著的《莊子.天下篇》引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”.把每天截下的部分的長度列出如下（單位為尺）；

第1天截下，第2天截下，第3天截下，第天截下，得到一個數(shù)列：

不難看出，數(shù)列的通項(xiàng)隨著的無限增大而無限地接近于零.一般地說，對于數(shù)列，若當(dāng)無限增大時，能無限地接近某一個常數(shù)，則稱此數(shù)列為收斂數(shù)列，常數(shù)稱為它的極限.不具有這種特性的數(shù)列就不是收斂的數(shù)列，或稱為發(fā)散數(shù)列.據(jù)此可以說，數(shù)列是收斂數(shù)列，0是它的極限.數(shù)列都是發(fā)散的數(shù)列.需要提出的是，上面關(guān)于“收斂數(shù)列”的說法，并不是嚴(yán)格的定義，而僅是一種“描述性”的說法，如何用數(shù)學(xué)語言把它精確地定義下來.還有待進(jìn)一步分析.以為例，可觀察出該數(shù)列具以下特性：

隨著的無限增大，無限地接近于1隨著的無限增大，與1的距離無限減少隨著的無限增大，無限減少會任意小，只要充分大.如：要使，只要即可；

要使，只要即可；

任給無論多么小的正數(shù)，都會存在數(shù)列的一項(xiàng)，從該項(xiàng)之后，.即，當(dāng)時，.如何找Ｎ？（或存在嗎？）解上面的數(shù)學(xué)式子即得：，取即可.這樣當(dāng)時，.綜上所述，數(shù)列的通項(xiàng)隨的無限增大，無限接近于1，即是對任意給定正數(shù)，總存在正整數(shù)，當(dāng)時，有.此即以1為極限的精確定義，記作或.2.數(shù)列極限的定義 定義1 設(shè)為數(shù)列, 為實(shí)數(shù),若對任給的正數(shù),總存在正整數(shù),使得當(dāng)時有, 則稱數(shù)列收斂于,實(shí)數(shù)稱為數(shù)列的極限,并記作 或.(讀作:當(dāng)趨于無窮大時,的極限等于或趨于).由于限于取正整數(shù),所以在數(shù)列極限的記號中把寫成,即或.若數(shù)列沒有極限，則稱不收斂，或稱為發(fā)散數(shù)列.[問題]：如何表述沒有極限？ 3.舉例說明如何用定義來驗(yàn)證數(shù)列極限 例1.證明:.證明: 不妨設(shè),要使 |－0|<<.只要,取N= 則當(dāng)n>N時,有 |－0|=≤< 例2 求證.證明: 不妨設(shè)，要使，只要（注意這里），只要.取，則當(dāng) 時，就有，即.例3 求證.證法1 先設(shè)，要使，只要，只要，只要.取，當(dāng) 時，就有，即.對，令，則.證法2 令，則，, 要使, 只要，取，只要，就有，即.例4 證.證明: 因?yàn)?，要使，只要，取，則只要，就有，即.例5 證明: 注意到對任何正整數(shù)時有 就有 于是，對 取 例6 證法一 令 有 用Bernoulli不等式，有 或 證法二（用均值不等式）例7 證一：

時，證二：

（二項(xiàng)式展開）因此，取，則當(dāng)時就有 即 附：此題請注意以下的錯誤做法：

（注意 不趨于零）例8：證明 證明：由于（）（*）因此，只要取?便有 由于（*）式是在的條件下成立的，故應(yīng)取，當(dāng)時就有?即 總結(jié) 用定義求極限或證明極限的關(guān)鍵是適當(dāng)放大不等式，關(guān)鍵的追求有兩點(diǎn)，一是把隱性表達(dá)式變成顯性表達(dá)式，在重鎖迷霧中看清廬山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；

要取舍合理，不能放大得過份.4 關(guān)于數(shù)列的極限的定義的幾點(diǎn)說明（1）關(guān)于：① 的任意性.定義1中的正數(shù)的作用在于衡量數(shù)列通項(xiàng)與常數(shù)的接近程度，越小，表示接近得越好；

而正數(shù)可以任意小，說明與常數(shù)可以接近到任何程度；

②的暫時固定性.盡管有其任意性，但一經(jīng)給出，就暫時地被確定下來，以便依靠它來求出；

③的多值性.既是任意小的正數(shù)，那么等等，同樣也是任意小的正數(shù)，因此定義1中的不等式中的可用等來代替.從而“”可用“”代替；

④正由于是任意小正數(shù)，我們可以限定小于一個確定的正數(shù).（2）關(guān)于：① 相應(yīng)性，一般地，隨的變小而變大，因此常把定作，來強(qiáng)調(diào)是依賴于的；

一經(jīng)給定，就可以找到一個；

②多值性.的相應(yīng)性并不意味著是由唯一確定的，因?yàn)閷o定的，若時能使得當(dāng)時,有,則或更大的數(shù)時此不等式自然成立.所以不是唯一的.事實(shí)上，在許多場合下，最重要的是的存在性，而不是它的值有多大.基于此，在實(shí)際使用中的也不必限于自然數(shù)，只要是正數(shù)即可；

而且把“”改為“”也無妨.（3）數(shù)列極限的幾何理解：在定義1中，“當(dāng)時有”“當(dāng)時有” “當(dāng)時有” 所有下標(biāo)大于的項(xiàng)都落在鄰域內(nèi)；

而在之外，數(shù)列 中的項(xiàng)至多只有個（有限個）.反之，任給，若在之外數(shù)列中的項(xiàng)只有有限個，設(shè)這有限個項(xiàng)的最大下標(biāo)為，則當(dāng)時有，即當(dāng)時有，由此寫出數(shù)列極限的一種等價(jià)定義（鄰域定義）：

定義 任給，若在之外數(shù)列中的項(xiàng)只有有限個，則稱數(shù)列收斂于極限.由此可見：1）若存在某個，使得數(shù)列中有無窮多個項(xiàng)落在之外，則一定不以為極限；

2）數(shù)列是否有極限，只與它從某一項(xiàng)之后的變化趨勢有關(guān)，而與它前面的有限項(xiàng)無關(guān).所以，在討論數(shù)列極限時，可以添加、去掉或改變它的有限項(xiàng)的數(shù)值，對收斂性和極限都不會發(fā)生影響.例1．證明和都是發(fā)散數(shù)列.例2．設(shè)，作數(shù)列如下：.證明.例3．設(shè)為給定的數(shù)列，為對增加、減少或改變有限項(xiàng)之后得到的數(shù)列.證明：數(shù)列與同時收斂或發(fā)散，且在收斂時兩者的極限相等.三、無窮小數(shù)列 在所有收斂數(shù)列中，在一類重要的數(shù)列，稱為無窮小數(shù)列，其定義如下：

定義2　若，則稱為無窮小數(shù)列.如都是無窮小數(shù)列.數(shù)列收斂于的充要條件：

定理2.1　數(shù)列收斂于 的充要條件是為無窮小數(shù)列.[作業(yè)] 教材P27 3，4，5，7，8⑵.§2　收斂數(shù)列的性質(zhì) 教學(xué)內(nèi)容：第二章 數(shù)列極限——§2　收斂數(shù)列的性質(zhì).教學(xué)目的：熟悉收斂數(shù)列的性質(zhì)；

掌握求數(shù)列極限的常用方法.教學(xué)要求：（1）使學(xué)生理解并能證明數(shù)列性質(zhì)、極限的唯一性、局部有界性、保號性、保不等式性；

（2）掌握并會證明收斂數(shù)列的四則運(yùn)算定理、迫斂性定理，并會用這些定理求某些收斂數(shù)列的極限.教學(xué)重點(diǎn)：迫斂性定理及四則運(yùn)算法則及其應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列極限的計(jì)算.教學(xué)方法：講練結(jié)合.教學(xué)程序：

引 言 上節(jié)引進(jìn)“數(shù)列極限”的定義，并通過例題說明了驗(yàn)證的方法，這是極限較基本的內(nèi)容，要求掌握.為了學(xué)習(xí)極限的技巧及其應(yīng)用極限來解決問題.還需要對數(shù)列的性質(zhì)作進(jìn)一步討論.一、收斂數(shù)列的性質(zhì) 性質(zhì)1（極限唯一性）若數(shù)列收斂，則它的極限唯一.證一：假設(shè)都是數(shù)列的極限，則由極限定義，對，當(dāng) 時，有 ；

時，有 取，則當(dāng)時有 由的任意性，上式僅當(dāng)時才成立.證二：（反證）假設(shè)極限不唯一，即至少有兩個不相等的極限值，設(shè)為，且故不妨設(shè)，取 由定義，當(dāng)時有 ????? 又，當(dāng)時有 因此，當(dāng)時有 矛盾，因此極限值必唯一.性質(zhì)2（有界性）如果數(shù)列收斂，則必為有界數(shù)列.即，使對有 證明：設(shè)取，使得當(dāng)時有 即? 令 則有對?即數(shù)列有界 注：①有界性只是數(shù)列收斂的必要條件，而非充分條件，如 ②在證明時必須分清何時用取定，何時用任給.上面定理3.2證明中必須用取定，不能用任給，否則隨在變，找到的也隨在變，界的意義就不明確了.性質(zhì)3（保序性）設(shè)，（1）若，則存在使得當(dāng)時有（2）若存在，當(dāng)時有，則（不等式性質(zhì)）證明：（1）取，則存在，當(dāng)時 從而 又存在，當(dāng)時 當(dāng)時（2）（反證）如，則由⑴知必當(dāng)時這與已知矛盾 推論（保號性）若則，當(dāng)時.特別地，若，則，當(dāng)時與同號.思考：如把上述定理中的換成，能否把結(jié)論改成？ 例：設(shè)（），若，則 證明：由保序性定理可得 若，則，當(dāng)時有即 若，則，當(dāng)時有 數(shù)列較為復(fù)雜，如何求極限？ 性質(zhì)4（四則運(yùn)算法則）若、都收斂，則、、也都收斂，且，特別地，為常數(shù)如再有則也收斂，且 證明：由于，故只須證關(guān)于和積與倒數(shù)運(yùn)算的結(jié)論即可.設(shè)，，當(dāng)時 ；，當(dāng)時 取，則當(dāng)時上兩式同時成立.（1）由收斂數(shù)列的有界性，對有 故當(dāng)時，有 由的任意性知（2）由保號性，及，對有（如可令）取，則當(dāng)時有 由的任意性得 用歸納法，可得有限個序列的四則運(yùn)算：

，.但將上述換成，一般不成立.事實(shí)上或本身也是一種極限，兩種極限交換次序是個非常敏感的話題，是高等分析中心課題，一般都不能交換，在一定條件下才能交換，具體什么條件，到后面我們會系統(tǒng)研究這個問題.性質(zhì)5（兩邊夾定理或迫斂性）設(shè)有三個數(shù)列、、，如，當(dāng)時有，且，則 證明：，當(dāng)時，；

當(dāng)時，取，則當(dāng)時以上兩式與已知條件中的不等式同時成立，故有時 即 該定理不僅提供了一個判定數(shù)列收斂的方法，而且也給出了一個求極限的方法.推論：若，當(dāng)時有（或）且，則 例：求證（）證明：使得，從而當(dāng)時有 由于由推論即可得結(jié)論 例：設(shè)，…，是個正數(shù)，證明 證明：設(shè)，則，由迫斂性得結(jié)論.例1：

在證明中, 令，得，由此推出.由此例也看出由和, 也推出.例2：

證明.證明：

令 ,，兩邊夾推出，即.在求數(shù)列的極限時，常需要使用極限的四則運(yùn)算法則.下舉幾例；

例3：

求極限 解.例4：

求極限.解.例5：

例6：求，，解：原式 即：有理式的極限 如 例7：

例8：設(shè)，證明.證明：

.二 數(shù)列的子列 1、引言 極限是個有效的分析工具.但當(dāng)數(shù)列的極限不存在時，這個工具隨之失效.這能說明什么呢？難道沒有一點(diǎn)規(guī)律嗎？當(dāng)然不是！出現(xiàn)這種情況原因是我們是從“整個”數(shù)列的特征角度對數(shù)列進(jìn)行研究.那么，如果“整體無序”，“部分”是否也無序呢？如果“部分”有序，可否從“部分”來推斷整體的性質(zhì)呢？簡而言之，能否從“部分”來把握“整體”呢？這個“部分?jǐn)?shù)列”就是要講的“子列”.2、子列的定義 定義1 設(shè)為數(shù)列，為正整數(shù)集的無限子集，且，則數(shù)列 稱為數(shù)列的一個子列，簡記為.注1 由定義可見，的子列的各項(xiàng)都來自且保持這些項(xiàng)在中的的先后次序.簡單地講，從中取出無限多項(xiàng)，按照其在中的順序排成一個數(shù)列，就是的一個子列（或子列就是從中順次取出無窮多項(xiàng)組成的數(shù)列）.注2 子列中的表示是中的第項(xiàng)，表示 是中的第k項(xiàng)，即中的第k項(xiàng)就是中的第項(xiàng)，故總有.特別地，若，則，即.注3 數(shù)列本身以及去掉有限項(xiàng)以后得到的子列，稱為的平凡子列；

不是平凡子列的子列，稱為的非平凡子列.如都是的非平凡子列.由上節(jié)例知：數(shù)列與它的任一平凡子列同為收斂或發(fā)散，且在收斂時有相同的極限.那么數(shù)列的收斂性與的非平凡子列的收斂性又有何關(guān)系呢？此即下面的結(jié)果：

定理2.8 數(shù)列收斂的充要條件是：的任何非平凡子列都收斂． 證明：

必要性 設(shè)是的任一子列．任給，存在正數(shù)N，使得當(dāng)時有由于故當(dāng)時有，從而也有，這就證明了收斂（且與有相同的極限）． 充分性 考慮的非平凡子列，與．按假設(shè)，它們都收斂．由于既是，又是的子列，故由剛才證明的必要性，（9）又既是又是的子列，同樣可得（10）（9）式與（10）式給出 ． 所以由課本例7可知收斂． 由定理2．8的證明可見，若數(shù)列的任何非平凡子列都收斂，則所有這些子列與必收斂于同一個極限．于是，若數(shù)列有一個子列發(fā)散，或有兩個子列收斂而極限不相等，則數(shù)列一定發(fā)散．例如數(shù)列其偶數(shù)項(xiàng)組成的子列收斂于1，而奇數(shù)項(xiàng)組成的子列收斂于，從而發(fā)散．再如數(shù)列，它的奇數(shù)項(xiàng)組成的子列即為，由于這個子列發(fā)散，故數(shù)列發(fā)散．由此可見，定理2．8是判斷數(shù)列發(fā)散的有力工具． §3　數(shù)列極限存在的條件 教學(xué)內(nèi)容：第二章 數(shù)列極限 ——§3　數(shù)列極限存在的條件 教學(xué)目的：使學(xué)生掌握判斷數(shù)列極限存在的常用工具.教學(xué)要求：（1）掌握并會證明單調(diào)有界定理，并會運(yùn)用它求某些收斂數(shù)列的極限；

（2）初步理解Cauchy準(zhǔn)則在極限理論中的主要意義，并逐步會應(yīng)用Cauchy準(zhǔn)則判斷某些數(shù)列的斂散性.教學(xué)重點(diǎn)：單調(diào)有界定理、Cauchy收斂準(zhǔn)則及其應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：相關(guān)定理的應(yīng)用.教學(xué)方法：講練結(jié)合.教學(xué)程序：

引 言 在研究比較復(fù)雜的極限問題時，通常分兩步來解決：先判斷該數(shù)列是否有極限（極限的存在性問題）；

若有極限，再考慮如何計(jì)算些極限（極限值的計(jì)算問題）.這是極限理論的兩基本問題.在實(shí)際應(yīng)用中，解決了數(shù)列極限的存在性問題之后，即使極限值的計(jì)算較為困難，但由于當(dāng)充分大時，能充分接近其極限，故可用作為的近似值.本節(jié)將重點(diǎn)討論極限的存在性問題.為了確定某個數(shù)列是否有極限，當(dāng)然不可能將每一個實(shí)數(shù)依定義一一加以驗(yàn)證，根本的辦法是直接從數(shù)列本身的特征來作出判斷.從收斂數(shù)列的有界性可知：若收斂，則為有界數(shù)列；

但反之不一定對，即有界不足以保證收斂.例如.但直觀看來，若有界，又隨n的增大（減少）而增大（減少），它就有可能與其上界（或下界）非常接近，從而有可能存在極限（或收斂）.為了說明這一點(diǎn)，先給出具有上述特征的數(shù)列一個名稱——單調(diào)數(shù)列.一、單調(diào)數(shù)列 定義　若數(shù)列的各項(xiàng)滿足不等式，則稱為遞增（遞減）數(shù)列.遞增和遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列． 例如：為遞減數(shù)列；

為遞增數(shù)列；

不是單調(diào)數(shù)列.二、單調(diào)有界定理 〔問題〕（1）單調(diào)數(shù)列一定收斂嗎？；

（2）收斂數(shù)列一定單調(diào)嗎？ 一個數(shù)列，如果僅是單調(diào)的或有界的，不足以保證其收斂，但若既單調(diào)又有界，就可以了.此即下面的極限存在的判斷方法.定理（單調(diào)有界定理）在實(shí)數(shù)系中，有界且單調(diào)數(shù)列必有極限.幾何解釋：單調(diào)數(shù)列只可能向一個方向移動，故僅有兩種可能：（1）點(diǎn)沿?cái)?shù)軸移向無窮遠(yuǎn)；

（2）無限趨于某一個定點(diǎn)，即.證明：不妨設(shè)單調(diào)增加有上界，把看作集合，有確界原理，存在 即：（1），；

（2），使 由于單調(diào)增加，故當(dāng)時有 即當(dāng)時 亦即 # 例1：，證明數(shù)列，，……，……收斂，并求其極限.證明：從該數(shù)列的構(gòu)造，顯見它是單調(diào)增加的，下面來證它是有界的.易見，且，…，… 從而 兩端除以得，故有界即得極限存在 設(shè)，對等式兩邊取極限，則有 因?yàn)檎龜?shù)列，故，因此取即為所求極限 例2：求（為一定數(shù)，）解：記，則且，則，當(dāng)時，故后，單調(diào)遞減，又有 極限一定存在，設(shè)為 由 兩邊取極限得（）例3 設(shè) 證明數(shù)列{}收斂.例4 求(計(jì)算的逐次逼近法, 亦即迭代法).解：由均值不等式, 有有下界;注意到對有 有 ↘, 三、柯西收斂準(zhǔn)則 1、引言 單調(diào)有界定理只是數(shù)列收斂的充分條件，下面給出在實(shí)數(shù)集中數(shù)列收斂的充分必要條件——柯西收斂準(zhǔn)則.2、Cauchy收斂準(zhǔn)則 定理（Ｃauchy收斂準(zhǔn)則）數(shù)列收斂的充分必要條件是：對任給的，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時有.證明：“” 收斂，則存在極限，設(shè)，則，當(dāng)時有當(dāng)時有 “”先證有界性，取，則，特別地，時 設(shè)，則，再由致密性定理知，有收斂子列，設(shè)，，取，當(dāng)時有 故 列、基本列（滿足收斂準(zhǔn)則的數(shù)列）收斂準(zhǔn)則的另一表示形式：，當(dāng)時，對有 3、說明 a)Cauchy收斂準(zhǔn)則從理論上完全解決了數(shù)列極限的存在性問題.b)Cauchy收斂準(zhǔn)則的條件稱為Cauchy條件，它反映這樣的事實(shí)：收斂數(shù)列各項(xiàng)的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何兩項(xiàng)之差的絕對值可以小于預(yù)先給定的任意小正數(shù).或者，形象地說，收斂數(shù)列的各項(xiàng)越到后面越是“擠”在一起.c)Cauchy準(zhǔn)則把定義中與a的之差換成與之差.其好處在于無需借助數(shù)列以外的數(shù)a，只要根據(jù)數(shù)列本身的特征就可以鑒別其（收）斂（發(fā)）散性.例：如數(shù)列滿足（）且，證明數(shù)列收斂.證明：令，（不妨設(shè)），取，則當(dāng)時，對任給自然數(shù)有.故由收斂準(zhǔn)則知數(shù)列收斂.例：證明數(shù)列 發(fā)散 證明：要證：，對，必有，使得 設(shè)則 ???????????????????? 因此，如，則 這樣，對，不管多大，如取，則，且，這說明不是一個數(shù)列.4、應(yīng)用 例5 證明: 任一無限十進(jìn)小數(shù) 的不足近似值所組成的數(shù)列 收斂.其中是中的數(shù).證明：

令 有 …… 例6：

設(shè) 試證明數(shù)列{收斂.關(guān)于極限 證明留在下節(jié)進(jìn)行.例7：

例8：

例9：

[作業(yè)] 教材P38—39 1，3，5，6，10，11；

教材P40—41 1（1）（3），3，4(1)-(3)(6)(8)，5，10.（P38 3（4）提示：考慮用雙逼原理可求得）附：

數(shù)列單調(diào)有界證法欣賞: Cauchy(1789—1857)最先給出這一極限，Riemann（1826—1866）最先給出以下證法一.證法一（Riemann最先給出這一證法）設(shè) 應(yīng)用二項(xiàng)式展開，得，+ 注意到 且比多一項(xiàng) 即↗.有界.綜上, 數(shù)列{}單調(diào)有界.證法二(利用Bernoulli不等式)注意到Bernoulli不等式 為正整數(shù)), 有 由 利用Bernoulli不等式,有 ↗.為證{}上方有界, 考慮數(shù)列 可類證↘.事實(shí)上,(此處利用了Bernoulli不等式)↘.顯然有 有 即數(shù)列{}有上界.證法三(利用均值不等式)在均值不等式 中, 令 就有 即 ↗.令 可仿上證得 時↗,(時無意義, 時諸=, 不能用均值不等式.)當(dāng)時, 由 由 ↗ ↘.< 4.注: 以上證法二和證法三可參閱《數(shù)學(xué)通報(bào)》1980.№4 P22.證法四(仍利用均值不等式)< 即 ↗.有界性證法可參閱上述各證法.注: 證法四可參閱《數(shù)學(xué)教學(xué)研究》1991.№1 馬德堯文 “均值不等式妙用兩則”.證法五 先證明：對 和正整數(shù)，有不等式 事實(shí)上，< 該不等式又可變形為(為正整數(shù))在此不等式中, 取 則有 就有 ↗.取 又有 對成立，又由 注: 這一證法可參閱《The American Mathematical Monthly》 1974.Vol 81.№9 P10—11 第三章 函數(shù)極限 引 言 在《數(shù)學(xué)分析》中，所討論的極限基本上分兩部分，第一部分是“數(shù)列的極限”，第二部分是“函數(shù)的極限”.二者的關(guān)系到是“特殊”與“一般”的關(guān)系；

數(shù)列極限是函數(shù)極限的特例.通過數(shù)列極限的學(xué)習(xí).應(yīng)有一種基本的觀念：“極限是研究變量的變化趨勢的”或說：“極限是研究變量的變化過程，并通過變化的過程來把握變化的結(jié)果”.例如，數(shù)列這種變量即是研究當(dāng)時，的變化趨勢.我們知道，從函數(shù)角度看，數(shù)列可視為一種特殊的函數(shù)，其定義域?yàn)?，值域是，?或　或.研究數(shù)列的極限，即是研究當(dāng)自變量時，函數(shù)變化趨勢.此處函數(shù)的自變量只能取正整數(shù)！因此自變量的可能變化趨勢只有一種，即.但是，如果代之正整數(shù)變量而考慮一般的變量為，那么情況又如何呢？具體地說，此時自變量x可能的變化趨勢是否了僅限于一種呢？ 為此，考慮下列函數(shù): 類似于數(shù)列，可考慮自變量時，的變化趨勢；

除此而外，也可考慮自變量時，的變化趨勢；

還可考慮自變量時，的變化趨勢；

還可考慮自變量時，的變化趨勢, 由此可見，函數(shù)的極限較之?dāng)?shù)列的極限要復(fù)雜得多，其根源在于自變量性質(zhì)的變化.但同時我們將看到，這種復(fù)雜僅僅表現(xiàn)在極限定義的敘述有所不同.而在各類極限的性質(zhì)、運(yùn)算、證明方法上都類似于數(shù)列的極限.下面，我們就依次討論這些極限.§1函數(shù)極限的概念 教學(xué)內(nèi)容：第三章 函數(shù)極限——§1函數(shù)極限的概念 教學(xué)目的：掌握各種函數(shù)極限的分析定義，能夠用分析定義證明和計(jì)算函數(shù)的極限． 教學(xué)要求：掌握當(dāng)；；

；；

；

時函數(shù)極限的分析定義，并且會用函數(shù)極限的分析定義證明和計(jì)算較簡單的函數(shù)極限． 教學(xué)建議：

本節(jié)的重點(diǎn)是各種函數(shù)極限的分析定義．對多數(shù)學(xué)生要求主要掌握當(dāng)時函數(shù)極限的分析定義，并用函數(shù)極限的分析定義求函 教學(xué)過程：

一、時函數(shù)的極限 1、引言 設(shè)函數(shù)定義在上，類似于數(shù)列情形，我們研究當(dāng)自變量時，對應(yīng)的函數(shù)值能否無限地接近于某個定數(shù)Ａ.這種情形能否出現(xiàn)呢？回答是可能出現(xiàn)，但不是對所有的函數(shù)都具此性質(zhì).例如　無限增大時，無限地接近于0；

無限增大時，無限地接近于；

無限增大時，與任何數(shù)都不能無限地接近.正因?yàn)槿绱耍圆庞斜匾紤]時，的變化趨勢.我們把象，這樣當(dāng)時，對應(yīng)函數(shù)值無限地接近于某個定數(shù)的函數(shù)稱為“當(dāng)時有極限”.[問題]如何給出它的精確定義呢? 類似于數(shù)列,當(dāng)時函數(shù)極限的精確定義如下.2.時函數(shù)極限的定義 定義1　設(shè)為定義在上的函數(shù)，為實(shí)數(shù).若對任給的，存在正數(shù)，使得當(dāng)時有 , 則稱函數(shù)當(dāng)時以為極限.記作 或.3、幾點(diǎn)注記（1）定義1中作用與數(shù)列極限中作用相同，衡量與的接近程度，正數(shù)的作用與數(shù)列極限定義中相類似，表明充分大的程度；

但這里所考慮的是比大的所有實(shí)數(shù)，而不僅僅是正整數(shù)n.的鄰域描述：當(dāng)時，（2）的幾何意義：對，就有和兩條直線，形成以為中心線，以為寬的帶形區(qū)域.“當(dāng)時有”表示：在直線的右方，曲線全部落在這個帶形區(qū)域內(nèi).如果給得小一點(diǎn)，即帶形區(qū)域更窄一點(diǎn)，那么直線一般往右移；

但無論帶形區(qū)域如何窄，總存在正數(shù)，使得曲線在的右邊的全部落在這個更窄的帶形區(qū)域內(nèi).（3）現(xiàn)記為定義在或上的函數(shù)，當(dāng)或時，若函數(shù)值能無限地接近于常數(shù)，則稱當(dāng)或時時以為極限，分別記作，或，或.這兩種函數(shù)極限的精確定義與定義1相仿，簡寫如下：

當(dāng)時，當(dāng)時，.（5）推論：設(shè)為定義在上的函數(shù)，則.4．利用＝Ａ的定義驗(yàn)證極限等式舉例 例1　證明.例2　證明　1）；

2）.二、時函數(shù)的極限 1、引言 上節(jié)討論的函數(shù)當(dāng)時的極限，是假定為定義在上的函數(shù)，這事實(shí)上是，即為定義在上，考慮時是否趨于某個定數(shù).本節(jié)假定為定義在點(diǎn)的某個空心鄰域內(nèi)的函數(shù)，.現(xiàn)在討論當(dāng)時，對應(yīng)的函數(shù)值能否趨于某個定數(shù)Ａ數(shù)列.先看下面幾個例子：

例1.（是定義在上的函數(shù)，當(dāng)時，）例2.（是定義在上的函數(shù)，當(dāng)時，）例3.（是定義在上的函數(shù)，當(dāng)時，）由上述例子可見，對有些函數(shù)，當(dāng)時，對應(yīng)的函數(shù)值能趨于某個定數(shù)Ａ；

但對有些函數(shù)卻無此性質(zhì).所以有必要來研究當(dāng)時，的變化趨勢.我們稱上述的第一類函數(shù)為當(dāng)時以為極限，記作.和數(shù)列極限的描述性說法一樣，這是一種描述性的說法.不是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義.那么如何給出這類函數(shù)極限的精確定義呢？ 作如下分析：

“當(dāng)自變量越來越接近于時，函數(shù)值越來越接近于一個定數(shù)”只要充分接近，函數(shù)值和的相差就會相當(dāng)小欲使相當(dāng)小，只要充分接近就可以了.即對，當(dāng)時，都有.此即.2、時函數(shù)極限的定義 定義2　設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個空心鄰域內(nèi)有定義，為定數(shù)，若對任給的，使得當(dāng)時有，則稱函數(shù)當(dāng) 趨于時以為極限（或稱Ａ為時的極限），記作 或（.3、函數(shù)極限的定義的幾點(diǎn)說明：

（1）是結(jié)論，是條件，即由推出.（2）是表示函數(shù)與的接近程度的.為了說明函數(shù)在的過程中，能夠任意地接近于，必須是任意的.這即的第一個特性——任意性，即是變量；

但一經(jīng)給定之后，暫時就把看作是不變的了.以便通過尋找，使得當(dāng)時成立.這即的第二特性——暫時固定性.即在尋找的過程中是常量；

另外，若是任意正數(shù)，則均為任意正數(shù)，均可扮演的角色.也即的第三個特性——多值性；

（）(3)是表示與的接近程度，它相當(dāng)于數(shù)列極限的定義中的Ｎ.它的第一個特性是相應(yīng)性.即對給定的，都有一個與之對應(yīng)，所以是依賴于而適當(dāng)選取的，為此記之為；

一般說來，越小，越小.但是，定義中是要求由推出即可，故若滿足此要求，則等等比還小的正數(shù)均可滿足要求，因此不是唯一的.這即的第二個特性——多值性.（4）在定義中，只要求函數(shù)在的某空心鄰域內(nèi)有定義，而一般不要求在處的函數(shù)值是否存在，或者取什么樣的值.這是因?yàn)?，對于函?shù)極限我們所研究的是當(dāng)趨于的過程中函數(shù)的變化趨勢，與函數(shù)在該處的函數(shù)值無關(guān).所以可以不考慮在點(diǎn)a的函數(shù)值是否存在，或取何值，因而限定“”.（5）定義中的不等式；

.從而定義2，當(dāng)時，都有，使得.（6）定義的幾何意義.例1． 設(shè)，證明：.例2． 設(shè)，討論時的極限.例3． 證明　1）；

2）.例4． 證明.例5． 證明.例6． 證明.例7．證明.證明：

注意到，要想它任意小，可任意小，卻不能任意小，當(dāng)時，它必須遠(yuǎn)離零點(diǎn).當(dāng)時，就遠(yuǎn)離零點(diǎn)了., 取，則當(dāng)時, 有.例8． 證明.證明：

先設(shè)，要證，要使, 取，則當(dāng)時，有，即.再設(shè)，, 要使，注意到，只要, 且，取，則當(dāng)時，有，即.例9． 驗(yàn)證 證明：

例10．驗(yàn)證 證明：

由 = 為使 需有 為使 需有 于是, 倘限制 , 就有 練習(xí)：1）證明;2）證明.三、單側(cè)極限 1．引言 有些函數(shù)在其定義域上某些點(diǎn)左側(cè)與右側(cè)的解析式不同，如 或函數(shù)在某些點(diǎn)僅在其一側(cè)有定義，如.這時，如何討論這類函數(shù)在上述各點(diǎn)處的極限呢？此時，不能再用前面的定義（討論方法），而要從這些點(diǎn)的某一側(cè)來討論.如討論在時的極限.要在的左右兩側(cè)分別討論.即當(dāng)而趨于0時，應(yīng)按來考察函數(shù)值的變化趨勢；

當(dāng)而趨于0時，應(yīng)按來考察函數(shù)值的變化趨勢；

而對，只能在點(diǎn)的右側(cè)，即而趨于0時來考察.為此，引進(jìn)“單側(cè)極限”的概念.2．單側(cè)極限的定義 定義3 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，為定數(shù).若對任給的，使得當(dāng)時有, 則稱數(shù)為函數(shù)當(dāng)趨于時的右極限，記作 或或.類似可給出左極限定義（，或或）.注：右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.3．例子 例1　討論函數(shù)在的左、右極限.例2　討論在的左、右極限.例3　討論函數(shù)在處的單側(cè)極限.4．函數(shù)極限與的關(guān)系.定理3.1.證明：

必要性，, 由, , 使得當(dāng)時，有，特別地當(dāng)時，有，故.同理當(dāng)時，也有, 故.充分性，, 由，, 使得當(dāng)時，有, 又由, , 使得當(dāng)時，有.令, 當(dāng)時，有，故.注：1）利用此可驗(yàn)證函數(shù)極限的存在，如由定理3.1知：.還可說明某些函數(shù)極限不存在，如由例2知不存在.2），可能毫無關(guān)系，如例2.[作業(yè)] 教材P47—48 2—7.§3函數(shù)極限存在條件 教學(xué)章節(jié)：第三章函數(shù)極限——§3函數(shù)極限存在條件 教學(xué)目的：理解并運(yùn)用海涅定理與柯西準(zhǔn)則判定某些函數(shù)極限的存在性.教學(xué)要求：掌握海涅定理與柯西準(zhǔn)則，領(lǐng)會其實(shí)質(zhì)以及證明的基本思路.教學(xué)重點(diǎn)：海涅定理及柯西準(zhǔn)則.教學(xué)難點(diǎn)：海涅定理及柯西準(zhǔn)則運(yùn)用.教學(xué)方法：講授為主，輔以練習(xí)加深理解，掌握運(yùn)用.教學(xué)程序：

引 言 在討論數(shù)列極限存在條件時，我們曾向大家介紹過“單調(diào)有界定理”和“柯西收斂準(zhǔn)則”.我們說數(shù)列是特殊的函數(shù)，那么對于函數(shù)是否也有類似的結(jié)果呢？或者說能否從函數(shù)值的變化趨勢來判斷其極限的存在性呢？這是本節(jié)的主要任務(wù).本節(jié)的結(jié)論只對這種類型的函數(shù)極限進(jìn)行論述，但其結(jié)論對其它類型的函數(shù)極限也是成立的.首先介紹一個很主要的結(jié)果——海涅(Heine)定理（歸結(jié)原則）.一、歸結(jié)原則 定理1（Heine定理）設(shè)在內(nèi)有定義，存在對任何含于且以為極限的數(shù)列，極限都存在且相等.證：必要性 在中任取序列且，要證.，由，使得當(dāng)時，有.對于，由，使得當(dāng)時，有，于是當(dāng)時，有，即.充分性，如果不然，即時，不以為極限，則，，使得.令，則，使得.對于序列，，但，顯然與條件矛盾.判斷不存在之方法：在中找到兩個序列和都趨向于，兩個極限和都存在，但不相等，這實(shí)際上是充要條件，充分性的證明用本節(jié)定理就行了，必要性的證明要到第七章講完緊性以后才能證，我們目前也只用到它的充分性.注1 是數(shù)列，是數(shù)列的極限.所以這個定理把函數(shù)的極限歸結(jié)為數(shù)列的極限問題來討論，所以稱之為“歸結(jié)原則”.由此，可由數(shù)列極限的性質(zhì)來推斷函數(shù)極限性質(zhì).注2從Heine定理可以得到一個說明不存在的方法，即“若可找到一個數(shù)列，使得不存在；

”或“找到兩個都以為極限的數(shù)列，使都存在但不相等，則不存在.例1證明不存在.證明：令，, 當(dāng)然趨于，,當(dāng)然趨于，故當(dāng)時沒極限.注3．對于這四種類型的單側(cè)極限，相應(yīng)的歸結(jié)原則可表示為更強(qiáng)的形式.如當(dāng)時有：

定理2設(shè)函數(shù)在的某空心鄰域內(nèi)有定義，對任何以為極限的遞減數(shù)列，有.二、單調(diào)有界定理 相應(yīng)于數(shù)列極限的單調(diào)有界定理，關(guān)于上述四類單側(cè)極限也有相應(yīng)的定理.現(xiàn)以這種類型為例敘述如下: 定理3　設(shè)為定義有上的單調(diào)有界函數(shù)，則右極限存在.注：定理3可更具體地?cái)⑹鋈缦拢簽槎x在上的函數(shù)，若（1）在上遞增有下界，則存在，且；

（2）在上遞減有上界，則存在，且.更一般的有：

定理 設(shè)在上定義，且單調(diào)上升，則存在且等于.證明：

令, 當(dāng)集合 有上界時,，當(dāng)它無上界時，.1）, 由上確界定義，,使得,取，則當(dāng)時，由函數(shù)單調(diào)上升得,再由上確界定義 ,或,即.2)因集合無上界，對, , 使得.取，則當(dāng)時, 有, 即.類似地我們有:在定義，且單調(diào)下降,則, 以及關(guān)于右極限的相應(yīng)結(jié)果，同學(xué)們自行給出定理的表述和證明.三函數(shù)極限的Cauchy收斂準(zhǔn)則 定理４（Cauchy準(zhǔn)則）設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，存在任給，存在正數(shù)，使得對任何有.證：(利用極限的定義)設(shè).則，（）當(dāng)時有.從而當(dāng)，時有(利用Heine歸并原則)設(shè)且，由假設(shè)，（），只要，對此，當(dāng)時有，從而由數(shù)列的收斂準(zhǔn)則，存在設(shè)為設(shè)為另一數(shù)列，且則同上可得存在設(shè)為 考慮數(shù)列易見且 如上所證，存在，作為的兩個子列、必收斂于同一極限，即 因此由歸結(jié)原則得.注：按照Cauchy準(zhǔn)則，可以寫出不存在的充要條件：存在，對任意，存在使得.例：用Cauchy準(zhǔn)則說明不存在.證明：

取 例5 設(shè)在[上函數(shù)↘.則極限存在,在 [上有界.(簡證,留為作業(yè)).綜上所述：Heine定理和Cauchy準(zhǔn)則是說明極限不存在的很方便的工具.[作業(yè)] 教材P55 1，2，3，4，6.提示: 第1題用反證法, 第4題用Heine歸并原則.

第三篇：數(shù)學(xué)分析考試要求

601 數(shù)學(xué)分析 考試基本要求

一實(shí)數(shù)集與函數(shù)

（1）掌握實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)和確界原理，建立實(shí)數(shù)集確界概念；（2）理解函數(shù)的概念，熟悉與函數(shù)性態(tài)有關(guān)的一些常見術(shù)語。

二數(shù)列極限

（1）理解數(shù)列極限的概念（2）了解收斂數(shù)列的性質(zhì)，理解數(shù)列收斂性的判別法。掌握并會證明收斂數(shù)列性質(zhì)、極限的唯一性、單調(diào)性、保號性及不等式性質(zhì)；（3）掌握并會證明收斂數(shù)列的四則運(yùn)算定理、迫斂性定理及單調(diào)性定理，并會用這些定理求某些收斂數(shù)列的極限。

三 函數(shù)極限

（1）準(zhǔn)確建立函數(shù)極限(包括單側(cè)極限)概念，理解函數(shù)極限的ε－δ，ε－M定義；（2）掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號性、不等式性質(zhì)以及有理運(yùn)算性質(zhì)等；(3)掌握Heine定理與Cauchy準(zhǔn)則；(4)掌握兩個重要極限；(5)掌握無窮小（大）量及其階的概念，并由此求出某些函數(shù)的極限。

四函數(shù)的連續(xù)性

（1）理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)（含單側(cè)連續(xù)）的定義；（2）掌握連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)，連續(xù)函數(shù)的有理運(yùn)算性質(zhì)并能加以證明，熟悉復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性和反函數(shù)的連續(xù)性；(3)理解初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間上都是連續(xù)的，并能運(yùn)用連續(xù)性的概念以及連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)加以證明，能熟練運(yùn)用這一結(jié)論求初等函數(shù)的極限；(4)掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的重要性質(zhì)，理解其幾何意義，并能在各種有關(guān)的具體問題中加以運(yùn)用。

五 導(dǎo)數(shù)和微分

（1）掌握導(dǎo)數(shù)與微分概念，了解它們的幾何意義；（2）能熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（特別是求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）；（3）理解單側(cè)導(dǎo)數(shù)，可導(dǎo)性和連續(xù)性的關(guān)系，高階導(dǎo)數(shù)的求法；（4）了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。

六 微分中值定理及其應(yīng)用

（1）理解并掌握中值定理的幾何意義。（2）掌握常用的一些Taylor公式；掌握Taylor公式中的Lagrange余項(xiàng)和Peano余項(xiàng)。（3）能靈活運(yùn)用L’Hospital法則處理不定式極限。（4）掌握利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)討論函數(shù)性質(zhì)的方法。（5）掌握用微分學(xué)知識解決應(yīng)用問題的基本能力，如函數(shù)單調(diào)性的判定，不等式的證明，極限問題等。

七 實(shí)數(shù)的完備性

（1）理解刻劃實(shí)數(shù)完備性的確界定理、單調(diào)有界定理、閉區(qū)間套定理、致密性定理、有界覆蓋定理、Cauchy收斂原理等幾個等價(jià)命題，并且會用確界定理證明一些問題；(2)會用“閉區(qū)間套定理”的二分法證明；“致密性定理”的抽子列法證明，并能證明其它的一些定理；(3)會用單調(diào)有界定理與數(shù)列極限的Cauchy收斂原理來證明一些極限存在與不存在；(4)掌握運(yùn)用基本定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，理

解其證明的思想方法；(5)了解數(shù)列的上極限和下極限的概念及其與數(shù)列極限的關(guān)系。

八不定積分

(1)掌握原函數(shù)與不定積分的概念；(2)熟練掌握并能靈活應(yīng)用基本積分公式；(3)熟練掌握湊微分法；（4）掌握換元積分法，特別能較熟練地使用三角代換、根式代換；（5）掌握用分部積分法化不定積分成代數(shù)方程，從而求解不定積分的方法；（7）掌握部分分式法解有理函數(shù)的不定積分的方法；（8）能靈活地處理三角函數(shù)的不定積分。

九定積分

(1)理解定積分的定義及其幾何意義和物理意義；（2）了解達(dá)Darboux上、下和的性質(zhì)；（3）掌握可積的充要條件，并能用以證明三類函數(shù)的可積性；（4）掌握定積分的性質(zhì)，并能進(jìn)行簡單的推理論證和計(jì)算；（5）掌握積分上限函數(shù)的性質(zhì)，并能在解題中應(yīng)用這個性質(zhì)；（6）掌握Newton－Leibniz公式，能熟練地進(jìn)行積分計(jì)算；（7）能綜合運(yùn)用換元法、分部積分法和定積分的性質(zhì)進(jìn)行定積分的計(jì)算。

十 定積分的應(yīng)用

（1）掌握平面圖形的面積、平面曲線的弧長；(2)掌握已知平行截面面積的立體的體積、旋轉(zhuǎn)曲面的面積；(3)理解微元法；(4)了解積分在物理中的某些應(yīng)用、定積分的近似計(jì)算。

十一反常積分

（1）理解兩種類型反常積分的定義、性質(zhì)；（2）會用定義與性質(zhì)計(jì)算兩種反常積分值；（3）掌握兩種反常積分收斂的判斷法：比較判別法、Cauchy判別法、Abel判別法和Dirichlet判別法來判別積分收斂；（4）能用比較判別法、Cauchy判別法、Cauchy收斂原理判別反常積分的斂散性；（5）掌握兩類積分絕對收斂和條件收斂概念。

十二 數(shù)項(xiàng)級數(shù)

（1）理解數(shù)項(xiàng)級數(shù)和數(shù)列極限的關(guān)系，會用“-N”語言表述級數(shù)收斂或發(fā)散。（2）掌握Cauchy收斂原理，能用Cauchy原理證明級數(shù)收斂與發(fā)散，熟練掌握級數(shù)的必要條件。（3）掌握正項(xiàng)級數(shù)斂散的比較原則，Cauchy判別法，達(dá)朗貝爾判別法，Cauchy積分判別法。（4）掌握Leibniz判別法，Abel判別法和Dirichlet判別法，判斷級數(shù)的條件收斂。（5）理解級數(shù)收斂、絕對收斂、條件收斂之間的關(guān)系，了解絕對收斂和條件收斂級數(shù)的主要性質(zhì)，會對含有一個參數(shù)的級數(shù)確定其絕對收斂域和條件收斂域。十三 函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

（1）能用數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂判別法討論函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂性，研究函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與函數(shù)列收斂域；（2）理解一致收斂概念，能從定義出發(fā)證明函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂和非一致收斂；（3）掌握Cauchy收斂原理，并能應(yīng)用于判別一致收斂與非一致收斂；（4）掌握各種判別法，研究函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性；（5）利用一致收斂性證明極限函數(shù)和函數(shù)的連續(xù)性、可微性與可積性。反過來，從和函數(shù)或極限函數(shù)的分析性質(zhì)研究函數(shù)項(xiàng)級數(shù)或函數(shù)列的一致收斂性（Dini定理）。

十四冪級數(shù)

（1）掌握求冪級數(shù)的收斂半徑的方法，確定收斂區(qū)間端點(diǎn)的斂散性；（2）掌握冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的內(nèi)閉一致收斂性，冪級數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)；（3）用等比數(shù)列求和公式，或通過利用冪級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求積的性質(zhì)，可化為等比數(shù)列求和求出某些冪級數(shù)的和函數(shù)的初等形式。

十五Fourier級數(shù)

（1）了解三角級數(shù)的正交性，并能在某些積分計(jì)算中加以應(yīng)用；（2）會計(jì)算可積函數(shù)的Fourier系數(shù)；

（3）掌握收斂定理的條件與結(jié)論，會用收斂定理將以

2為周期的函數(shù)展成Fourier級數(shù)；（4）掌握奇、偶函數(shù)的Fourier級數(shù)展開的特點(diǎn)，會將定義在某區(qū)間上的函數(shù)按要求展成正弦級數(shù)或余弦級數(shù)；（5）能利用Fourier展開求一些簡單級數(shù)的和；（6）了解黎曼－勒貝格引理的內(nèi)容及它的一些簡單應(yīng)用。十六多元函數(shù)的極限和連續(xù)

（1）掌握平面點(diǎn)集、鄰域、中心鄰域的表示法；（2）會判別一般平面點(diǎn)集是開集還是閉集，有界還是無界，是否是區(qū)域、開區(qū)域、閉區(qū)域，會寫出其邊界；（3）了解平面點(diǎn)集的矩形套定理、聚點(diǎn)定理、有限覆蓋定理，理解它們與直線上有關(guān)定理相互關(guān)系；（4）掌握平面點(diǎn)列收斂的ε-N定義及柯西收斂原理；

（5）理解二元函數(shù)的概念及幾何意義，并能推廣到多元函數(shù)；會確定一般二元函數(shù)的定義域及連續(xù)范圍；

（6）理解二元函數(shù)極限ε-N定義，會依定義證明不太復(fù)雜的二重極限；（7）掌握累次極限概念，能通過具體反例分析二重極限與累次極限的關(guān)系；（8）理解二元函數(shù)連續(xù)性及一致連續(xù)性的定義，會依定義討論連續(xù)性及有關(guān)的簡單命題，理解有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

十七多元函數(shù)微分學(xué)

（1）掌握偏導(dǎo)數(shù)與全微分的定義、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；（2）掌握可微的條件、復(fù)合函數(shù)的全微分、一階全微分形式不變性、高階偏導(dǎo)數(shù)、中值定理、Taylor公式；（3）理解可微性幾何意義及應(yīng)用、極值問題；（4）了解方向?qū)?shù)與梯度。

十八隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

（1）理解隱函數(shù)定理的有關(guān)概念，及隱函數(shù)存在的條件；（2）了解隱函數(shù)組，反函數(shù)組的有關(guān)概念，理解二元隱函數(shù)組存在的條件，了解反函數(shù)組存在的條件；（3）掌握隱函數(shù)的微分法在幾何方面的應(yīng)用，會把實(shí)際問題抽象為條件極值并予以解決。

十九 含參量積分

（1）理解含參變量常見積分作為參量的函數(shù)，掌握它的連續(xù)性、可微性和可積性的條件，并能應(yīng)用這些條件討論一些含參量常見積分的有關(guān)性質(zhì)；（2）理解含參量廣義積分及一致收斂概念，會從定義或Cauchy收斂原理出發(fā)證明積分的一致收斂性或非一致收斂性；（3）掌握和利用M－判別法、Dirichlet判別法、Abel判別法，判別一些常見積分的一致收斂性；（4）掌握含參量廣義積分的分析性質(zhì)：連續(xù)性、可微性、可積性；（5）掌握Euler積分的定義、性質(zhì)、遞推公式及它們之間的關(guān)系，并用于計(jì)算積分。

二十 曲線積分

（1）掌握第一型曲線積分的定義、第一型曲線積分的計(jì)算、第二型曲線積分的定義、第二型曲線積分的計(jì)算；（2）了解第一型曲線積分的意義、第二型 曲線積分的意義、兩類曲線積分的關(guān)系。二十一 重積分

（1）掌握將重積分化為累次積分的計(jì)算方法，并會交換積分順序；（2）掌握二重積分的極坐標(biāo)變換，三重積分的柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)、廣義球坐標(biāo)變換，掌握一些簡單的一般變換，以達(dá)到簡化重積分計(jì)算的目的；

（3）能正確地使用對稱性；正確地處理被積函數(shù)中含有絕對值符號及一般分段函數(shù)的重積分計(jì)算；（4）能用重積分計(jì)算平面圖形的面積，空間立體的體積、物體的質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動慣量等。（5）了解重積分。

二十二 曲面積分

（1）掌握第一型曲面積分的概念、幾何意義和計(jì)算；（2）理解曲面的側(cè)，熟練掌握第二型曲面積分的定義、物理意義和計(jì)算，了解兩類曲面積分的聯(lián)系（3）掌握Gauss公式與Stokes公式；（4）了解場論初步。

第四篇：數(shù)學(xué)分析考試大綱

625數(shù)學(xué)分析考試大綱

一、考試目的

《數(shù)學(xué)分析》作為全日制碩士研究生入學(xué)考試的專業(yè)基礎(chǔ)課考試，其目的是考察考生是否具備進(jìn)行本學(xué)科各專業(yè)碩士研究生學(xué)習(xí)所要求的水平。

二、考試的性質(zhì)與范圍

本考試是一種測試應(yīng)試者綜合運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)分析的知識的尺度參照性水平考試?？荚嚪秶〝?shù)學(xué)分析的基本的概念，理論和方法，考察考生的理解、分析、解決數(shù)學(xué)分析問題的能力。

三、考試基本要求

1.熟練掌握數(shù)學(xué)分析的基本概念、命題、定理； 2．綜合運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)分析的知識的能力

四、考試形式

閉卷考試。

五、考試內(nèi)容（或知識點(diǎn)）

一、數(shù)列極限

數(shù)列、數(shù)列極限的 定義，收斂數(shù)列——唯一性、有界性、保號性、不等式性、迫斂性、四則運(yùn)算，單調(diào)有界數(shù)列極限存在定理。柯西準(zhǔn)則，重要極限。

二、函數(shù)極限

函數(shù)極限。定義，定義，單側(cè)極限，函數(shù)極限的性質(zhì)——唯一性、局部有界性、局部保號性、不等式性、迫斂性、四則運(yùn)算、歸結(jié)原則（Heine 定理）。函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則。

無窮小量及其階的比較，無窮大量及其階的比較，漸近線。

三、函數(shù)的連續(xù)性

函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性、單側(cè)連續(xù)性、間斷點(diǎn)及其分類。在區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)——有界性、保號性。連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算。復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)——有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致連續(xù)性、反函數(shù)的連續(xù)性，初等函數(shù)連續(xù)性。

四、導(dǎo)數(shù)和微分

導(dǎo)數(shù)定義，單側(cè)導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、費(fèi)馬(Fermat)定理。和、積、商的導(dǎo)數(shù)、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、高階導(dǎo)數(shù)、微分概念、微分的幾何意義、微分的運(yùn)算法則。

五、微分中值定理

Roll、Lagrange、Cauchy中值定理，不定式極限，洛比達(dá)（L’Hospital）法則，泰勒（Taylor）定理。（泰勒公式及其皮亞諾余項(xiàng)、拉格朗日余項(xiàng)、積分型余項(xiàng)）。極值、最大值與最小值。曲線的凸凹性。拐點(diǎn)，函數(shù)圖的討論。

六、實(shí)數(shù)的完備性

區(qū)間套定理，數(shù)列的柯西（Cauchy）收斂準(zhǔn)則，聚點(diǎn)原理，有界數(shù)列存在收斂子列，有限覆蓋定理。

七、不定積分

原函數(shù)與不定積分，換元積分法、分部積分法，有理函數(shù)積分法，三角函數(shù)有理式的積分法，幾種無理根式的積分。

八、定積分

牛頓——萊布尼茨公式，可積的必要條件，可積的充要條件，可積函數(shù)類。絕對可積性，積分中值定理，微積分學(xué)基本定理。換元積分法，分部積分法。

九、定積分的應(yīng)用

簡單平面圖形面積。有平行截面面積求體積，曲線的弧長與微分。微元法、旋轉(zhuǎn)體體積與側(cè)面積，物理應(yīng)用（引力、功等）。

十、反常積分

無窮限反常積分概念、柯西準(zhǔn)則，絕對收斂、無窮限反常積分收斂性判別法：比較判別法，狄利克雷（Dirichlet）判別法，阿貝爾（Abel）判別法。無界函數(shù)反常積分概念，無界函數(shù)反常積分收斂性判別法。

十一、數(shù)項(xiàng)級數(shù)

級數(shù)收斂與和，柯西準(zhǔn)則，收斂級數(shù)的基本性質(zhì)，正項(xiàng)級數(shù)比較原則。比式判別法與根式判別法、積分判別法。一般項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂與條件收斂，交錯級數(shù)，萊布尼茨判別法，狄利克雷（Dirichlet）判別法，阿貝爾（Abel）判別法。絕對收斂級數(shù)的重排定理。

十二、函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂與一致收斂概念，一致收斂的柯西準(zhǔn)則。函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的維爾斯特拉斯（Weierstrass）優(yōu)級數(shù)判別法，狄利克雷（Dirichlet）判別法，阿貝爾（Abel）判別法，函數(shù)列極限函數(shù)與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)和的連續(xù)性、逐項(xiàng)積分與逐項(xiàng)求導(dǎo)。

十三、冪級數(shù)

冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間，一致收斂性、連續(xù)性、逐項(xiàng)積分與逐項(xiàng)求導(dǎo)，冪級數(shù)的四則運(yùn)算。

泰勒級數(shù)、泰勒展開的條件，初等函數(shù)的泰勒展開。

十四、傅里葉（Fourier）級數(shù)

三角級數(shù)、三角函數(shù)系的正交性、傅里葉（Fourier）級數(shù)，貝塞爾（Bessel）不等式，黎曼——勒貝格定理，按段光滑且以2π為周期的函數(shù)展開，傅里葉級數(shù)的收斂定理，以2π為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)。

十五、多元函數(shù)的極限和連續(xù)

平面點(diǎn)集概念（鄰域、內(nèi)點(diǎn)、界點(diǎn)、開集、閉集、開域、閉域），平面點(diǎn)集的基本定理——區(qū)域套定理、聚點(diǎn)原理、有限覆蓋定理。二元函數(shù)概念。二重極限、累次極限，二元函數(shù)的連續(xù)性、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理、有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

十六、多元函數(shù)的微分學(xué)

偏導(dǎo)數(shù)及其幾何意義，全微分概念，全微分的幾何意義，全微分存在的充分條件，全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分，一階微分形式不變性，方向?qū)?shù)與梯度，混合偏導(dǎo)數(shù)與其順序無關(guān)性，高階導(dǎo)數(shù)，高階微分，二元函數(shù)的泰勒定理，二元函數(shù)的極值。

十七、隱函數(shù)定理

隱函數(shù)概念、隱函數(shù)定理、隱函數(shù)求導(dǎo)。

隱函數(shù)組概念、隱函數(shù)組定理、隱函數(shù)組求導(dǎo)、反函數(shù)組與坐標(biāo)變換，函數(shù)行列式。幾何應(yīng)用，條件極值與拉格朗日乘數(shù)法。

十八、含參量積分

含參量積分概念、連續(xù)性、可積性與可微性，積分順序的交換。含參量反常積分的收斂與一致收斂，一致收斂的柯西準(zhǔn)則。維爾斯特拉斯（Weierstrass）判別法。連續(xù)性、可積性與可微性，Gamma函數(shù)。

十九、曲線積分

第一型和第二型曲線積分概念與計(jì)算，兩類曲線積分的聯(lián)系。

二十、重積分

二重積分定義與存在性，二重積分性質(zhì)，二重積分計(jì)算（化為累次積分）。格林（Green）公式，曲線積分與路徑無關(guān)條件。二重積分的換元法（極坐標(biāo)與一般變換）。三重積分定義與計(jì)算，三重積分的換元法（柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)與一般變換）。重積分應(yīng)用（體積，曲面面積，重心、轉(zhuǎn)動慣量、引力等）。無界區(qū)域上的收斂性概念。無界函數(shù)反常二重積分。在一般條件下重積分變量變換公式。

二十一、曲面積分

曲面的側(cè)。第一型和第二型曲面積分概念與計(jì)算，高斯公式。斯托克斯公式。場論初步（梯度場、散度場、旋度場）。

六、考試題型

計(jì)算題、證明題。

七、參考書目：本科通用教材

864高等代數(shù)考試大綱

一、考試目的

《高等代數(shù)》作為全日制碩士研究生入學(xué)考試的專業(yè)基礎(chǔ)課考試，其目的是考察考生是否具備進(jìn)行本學(xué)科各專業(yè)碩士研究生學(xué)習(xí)所要求的水平。

二、考試的性質(zhì)與范圍

本考試是一種測試應(yīng)試者綜合運(yùn)用所學(xué)的高等代數(shù)的知識的尺度參照性水平考試。考試范圍包括高等代數(shù)的基本的概念，理論和方法，考察考生的理解、分析、解決代數(shù)問題的能力。

三、考試基本要求

1.熟練掌握高等代數(shù)的基本概念、命題、定理； 2．綜合運(yùn)用所學(xué)的高等代數(shù)的知識的能力

四、考試形式 閉卷

五、考試內(nèi)容（或知識點(diǎn)）1．多項(xiàng)式

數(shù)域，一元多項(xiàng)式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多項(xiàng)式函數(shù)，復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解，有理系數(shù)多項(xiàng)式，多元多項(xiàng)式，對稱多項(xiàng)式。

2、行列式

排列，n級行列式的定義，n級行列式的性質(zhì)，n級行列式的展開，行列式按一行（列）展開，克拉默（Cramer）法則，拉普拉斯（Laplace）定理，行列式的乘法規(guī)則。

3． 線性方程組

消元法，n維向量空間，線性相關(guān)性，矩陣的秩，線性方程組有解判別定理，線性方程組解的結(jié)構(gòu)。

4． 矩陣

矩陣的概念，矩陣的運(yùn)算，矩陣乘積的行列式與秩，矩陣的逆，矩陣的分塊，初等矩陣，分塊乘法的初等變換及應(yīng)用。

5． 二次型

二次型的矩陣表示，標(biāo)準(zhǔn)型，唯一性，正定（半正定）二次型。

6． 線性空間

集合、映射，線性空間的定義與簡單性質(zhì)，維數(shù)、基與坐標(biāo)，基變換與坐標(biāo)變換，線性子空間，子空間的交與和，子空間的直和，線性空間的同構(gòu)。

7． 線性變換

線性變換的定義，線性變換的運(yùn)算，線性變換的矩陣，特征值與特征向量，對角矩陣，線性變換的值域與核，不變子空間，若當(dāng)（Jordan）標(biāo)準(zhǔn)形介紹，最小多項(xiàng)式。

8． λ-矩陣

λ-矩陣的定義，λ-矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)型，不變因子，矩陣相似的條件，初等因子，若當(dāng)（Jordan）標(biāo)準(zhǔn)形的理論推導(dǎo)，矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形。

9． 歐幾里得空間 定義與基本性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)正交基，同構(gòu)，正交變換，子空間，對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，向量到子空間的距離與最小二乘法。

10． 雙線性函數(shù)

線性函數(shù)，對偶空間，雙線性函數(shù)，對稱（反對稱）雙線性函數(shù)。

六、考試題型

計(jì)算題、證明題

七、參考書目：本科通用教

第五篇：《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

漳州師范學(xué)院2013年碩士研究生入學(xué)考試

《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

一、考試基本要求：

以檢驗(yàn)考生理解《數(shù)學(xué)分析》的基本概念，基本理論，掌握《數(shù)學(xué)分析》的基本方法和基本技巧的熟練程度為主。

二、考試方法和時間：

考試方法為筆試，考試時間為3小時。

三、考核知識點(diǎn)：

1．?dāng)?shù)列極限、函數(shù)極限的定義及性質(zhì)；??N、???方法的證明；數(shù)列極限、函數(shù)極限的各種計(jì)算方法。

2．連續(xù)性的定義及性質(zhì)；連續(xù)性、一致連續(xù)性的證明及其應(yīng)用。

3．微分和導(dǎo)數(shù)的概念及導(dǎo)數(shù)的幾何意義；微分中值定理、Taylor公式、不等式的證明及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用。

4．不定積和定積分的定義；積分中值定理、牛頓－萊布尼茲公式、定積分的計(jì)算和有關(guān)的證明。

5．?dāng)?shù)項(xiàng)級數(shù)收斂、發(fā)散的判別法, 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的判別法；冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域、級數(shù)和函數(shù)的求法及函數(shù)的Taylor展開。

6．平面點(diǎn)集；二元函數(shù)極限、連續(xù)的定義及多元函數(shù)極限的求法；多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)及全微分的定義、計(jì)算及有關(guān)的證明。

7．廣義積分、含參量積分的各種斂散性判別法及含參量廣義積分的一致收斂性判別法；含參量積分及含參量廣義積分的連續(xù)性、可微性、可積性及其它們的應(yīng)用。

8．二重積分、三重積分的計(jì)算；第一類曲線積分、第一類曲面積分、第二類曲線積分、第二類曲面積分的計(jì)算；格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的應(yīng)用。

四、參考書目：

復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系歐陽光中等編，數(shù)學(xué)分析(上、下冊)（第三版），高等教育出版社，2007年。

漳州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系

2012年9月