第一篇：函數(shù)極限存在的條件

§3 函數(shù)極限存在的條件

重點難點

1.歸結原則也稱為海涅定理, 它的意義在于把函數(shù)極限歸結為數(shù)列極限問題來處理, 從而我們可以利用歸結原則和數(shù)列極限的有關性質(zhì)來證明上一節(jié)中所述的函數(shù)極限所有性質(zhì).2.單調(diào)有界定理是判定極限是否存在的一個重要原則, 同時也是求極限的一個有用的方法.一般情形, 運用單調(diào)有界定理研究變量極限時, 需要首先利用單調(diào)收斂定理判定極限的存在性, 然后在運用運算法則求這個極限.3.柯西準則是函數(shù)極限存在的充要條件.函數(shù)極限的柯西準則是以數(shù)列的柯西準則為基礎的.該準則在數(shù)列極限、極限和廣義積分理論中, 占據(jù)了重要的地位.因此應當認真理解柯西準則, 并能用柯西準則討論某些比較簡單的問題.基本內(nèi)容

在討論數(shù)列極限存在條件時，我們曾向大家介紹過判別數(shù)列極限存在的“單調(diào)有界定理”和“柯西收斂準則”.我們說數(shù)列是特殊的函數(shù)，那么對于函數(shù)是否也有類似的結果呢？或者說能否從函數(shù)值的變化趨勢來判斷其極限的存在性呢？

本節(jié)的結論只對x?x0這種類型的函數(shù)極限進行論述，但其結論對其它類型的函數(shù)極限也是成立的。

首先介紹一個很主要的結果——海涅(Heine)定理（歸結原則）。

一、歸結原則

定理3.8(歸結原則)設f在U0?x0;???內(nèi)有定義.limf?x?存在的充要條件是: 對

x?x0任何含于U0?x0;???且以x0為極限的數(shù)列?xn?, 極限limf?xn?都存在且相等.n??分析 充分性的證法:只須證明,若對任意數(shù)列?xn?,且limxn?x0,xn?x0,有

n??limf?xn??A,則limf?x??A.因為在已知條件中,具有這種性質(zhì)的數(shù)列?xn?是任意的n??x?x0(當然有無限多個),所以從已知條件出發(fā)直接證明其結論是困難的.這時可以考慮應用反證法.也就是否定結論,假設limf?x??A,根據(jù)極限定義的否定敘述,只要能構造某一個數(shù)列

x?x0{xn},limxn?x0,xn?x0,但是limf?xn??A,與已知條件相矛盾.于是充分性得到證n??n??明.注1 歸結原則也可簡述為

limf?x??A?對任何xn?x0?n???有l(wèi)imf?xn??A.x?x0n??注2 雖然數(shù)列極限與函數(shù)極限是分別獨立定義的,但是兩者是有聯(lián)系的.海涅定理深刻地揭示了變量變化的整體與部分、連續(xù)與離散之間的關系, 從而給數(shù)列極限與函數(shù)極限之間架起了一座可以互相溝通的橋梁.它指出函數(shù)極限可化為數(shù)列極限,反之亦然.在極限論中海涅定理處于重要地位.有了海涅定理之后,有關函數(shù)極限的定理都可借助已知相應的數(shù)列極限的定理予以證明.例如

limf(x)f(x)x?x0若limf(x)?A,limg(x)?B(B?0), 則lim.?x?x0x?x0x?x0g(x)limg(x)x?x0證 已知limf(x)?A與limg(x)?B,根據(jù)海涅定理的必要性,對任意數(shù)列?xn?,x?x0x?x0且limxn?x0,xn?x0,有l(wèi)imf?xn??A,limg?xn??B.由數(shù)列極限的四則運算,對任n??n??n??意數(shù)列?xn?,且limxn?x0,xn?x0,有l(wèi)imn??n??f(xn)A?.再根據(jù)海涅定理的充分性,由g(xn)Blimf(x)f(xn)Axf(x)?x0.lim?lim??x?x0g(x)n??g(x)Blimg(x)nx?x0注3 海涅定理除上述重要的理論意義外, 它還為證明某些函數(shù)極限不存在提供了行之有效的方法:若可找到一個以x0為極限的數(shù)列?xn?,使limf?xn?不存在,或找到兩個都以

n??????x0為極限的數(shù)列?x?n?與?xn?,使limf(x'n)與limf(xn)都存在而不相等,則limf(x)不

n??n??x?x0存在.例1 證明極限limsinx?01不存在.x函數(shù)y?sin1的圖象如圖3-4所示,由圖象可見,當x?0時,其x函數(shù)值無限次地在-1與1的范圍內(nèi)振蕩,而不趨于任何確定的數(shù).??對于x?x0,x?x0,x???和x???為四種類型的單側極?限,相應的歸結原則可表示為更強的形式.現(xiàn)以x?x0這種類型為例闡述如下：

0定理3.9 設函數(shù)f在點x0的某空心右鄰域U?(x0)有定

?f(x)?A的充要條件是：對任何以x0為極限的遞減數(shù)列?xn??U?義.lim(x0),有?x?x0

limf(xn)?A.n??注5 定理3.9充分性的證明可參照第二章第三節(jié)例3及定理3.8的證明.例如可取??n?min{,xn?1?x0},以保證所找到的數(shù)列?xn?能遞減的趨于x0.n

二、單調(diào)有界定理

相應于數(shù)列極限的單調(diào)有界定理,關于上述四類單側極限也有相應的定理.現(xiàn)以?這種類型為例敘述如下： x?x0f(x)存在.定理3.10 設f為定義在U?(x0)上的單調(diào)有界函數(shù),則右極限lim?x?x00注6(1)設f為定義在U?(x0)上的有界函數(shù).若f遞增,則f(x0?0)?inf0若f遞減,則f(x0?0)?sup(2)設f為定義在U00x?U?(x0)f(x);

f(x).0x?U?(x0)(x0)上的遞增函數(shù),則

x?U?(x0)f(x0?0)?supf(x), f(x0?0)?inf00x?U?(x0)f(x).三

函數(shù)極限的柯西收斂準則

定理3.11(柯西準則)設函數(shù)f在U?(x0;?')內(nèi)有定義.limf(x)存在的充要條件是：

x?x0任給??0,存在正數(shù)?(??'),使得對任何x',x???U?(x0;?)有f(x')?f(x??)??.[分析] 充分性的證明可以利用數(shù)列極限的柯西準則和函數(shù)極限與數(shù)列極限的橋梁——海涅定理來證.分兩步：1)對任何以x0為極限的數(shù)列?xn??U?(x0;?), 數(shù)列?f(xn)?的極限都存在;2)證明對任何以x0為極限的數(shù)列?xn??U?(x0;?),數(shù)列?f(xn)?的極限都相等.注7 可以利用柯西準則證明函數(shù)極限limf(x)的不存在:

x?x0設函數(shù)f在U?(x0;?')內(nèi)有定義.limf(x)不存在的充要條件是：存在 ?0?0,對任

x?x0意正數(shù)?(??'),存在x',x???U?(x0;?), 有f(x')?f(x??)??0.如在例1中我們可取?0?11,對任何??0,設正整數(shù)n?,令

?211, x'?,x????n?n??2則有x',x???U(0;?),而sin?111?sin?1??0于是按柯西準則,極限limsin不存在.x?0xx'x??

小結

1.證明函數(shù)極限存在或求函數(shù)極限的方法.(1)用定義證明函數(shù)極限的方法且limf(x)?A,尤其是分段函數(shù)的分段點.(2)用柯西收斂準則證明函數(shù)極限存在.(3)用迫斂性證明函數(shù)極限存在并求得極限值.(4)用海涅歸結原理證明函數(shù)極限存在并求得極限值.(5)用四則運算法則及一些熟悉的極限求值.(6)對于單側極限,單調(diào)有界定理可證得極限存在.2.證明函數(shù)極限不存在的主要方法:(1)利用函數(shù)極限的定義證明函數(shù)極限不存在,(2)利用函數(shù)極限與單側極限的關系證明函數(shù)在某點不存在極限.特別對分段函數(shù)在分段點處的極限.(3)利用海涅歸結原理證明函數(shù)極限不存在.(4)利用柯西收斂準則證明函數(shù)極限不存在.

第二篇：函數(shù)極限存在的條件

§3 函數(shù)極限存在的條件

教學目的與要求：

掌握函數(shù)極限存在的判定方法，能熟練運用各種判定方法討論函數(shù)極限的存在性。教學重點，難點：

各種判定方法的證明和理解，單調(diào)有界性定理Cauchy準則的證明

教學內(nèi)容：

一、歸結原則

定理3.8(歸結原則)設f在U0?x0;???內(nèi)有定義.limf?x?存在的充要條件是: 對x?x0

任何含于U0?x0;???且以x0為極限的數(shù)列?xn?, 極限limf?xn?都存在且相等.n??

分析 充分性的證法:只須證明,若對任意數(shù)列?xn?,且limxn?x0,xn?x0,有n??

limf?xn??A,則limf?x??A.因為在已知條件中,具有這種性質(zhì)的數(shù)列?xn?是任意的n??x?x0

(當然有無限多個),所以從已知條件出發(fā)直接證明其結論是困難的.這時可以考慮應用反證法.也就是否定結論,假設limf?x??A,根據(jù)極限定義的否定敘述,只要能構造某一個數(shù)列 x?x0

{xn},limxn?x0,xn?x0,但是limf?xn??A,與已知條件相矛盾.于是充分性得到n??n??

證明.注1 歸結原則也可簡述為

limf?x??A?對任何xn?x0?n???有l(wèi)imf?xn??A.x?x0n??

注2 雖然數(shù)列極限與函數(shù)極限是分別獨立定義的,但是兩者是有聯(lián)系的.海涅定理深刻地揭示了變量變化的整體與部分、連續(xù)與離散之間的關系, 從而給數(shù)列極限與函數(shù)極限之間架起了一座可以互相溝通的橋梁.它指出函數(shù)極限可化為數(shù)列極限,反之亦然.在極限論中海涅定理處于重要地位.有了海涅定理之后,有關函數(shù)極限的定理都可借助已知相應的數(shù)列極限的定理予以證明.例如

limf(x)f(x)x?x0若limf(x)?A,limg(x)?B(B?0), 則lim.?x?x0x?x0x?x0g(x)limg(x)

x?x0

證已知limf(x)?A與limg(x)?B,根據(jù)海涅定理的必要性,對任意數(shù)列?xn?,且x?x0x?x0

limxn?x0,xn?x0,有l(wèi)imf?xn??A,limg?xn??B.由數(shù)列極限的四則運算,對任意n??n??n??

數(shù)列?xn?,且limxn?x0,xn?x0,有l(wèi)imn??n??f(xn)A?.再根據(jù)海涅定理的充分性,由g(xn)B

limf(x)f(xn)Axf(x)?x0注3 海涅定理除上述重要的理論意義外, 它還為lim?lim??x?x0g(x)n??g(x)Blimg(x)nx?x0

證明某些函數(shù)極限不存在提供了行之有效的方法:若可找到一個以x0為極限的數(shù)列?xn?,??使limf?xn?不存在,或找到兩個都以x0為極限的數(shù)列?x?n?與?xn?,使limf(x'n)與

n??

n??

??)都存在而不相等,則limf(x)不存在.limf(xn

n??

x?x0

例1證明極限limsin

x?0

不存在.x

函數(shù)y?sin的圖象如圖3-4所示,由圖象可見,當x?0時,其x

函數(shù)值無限次地在-1與1的范圍內(nèi)振蕩,而不趨于任何確定的數(shù).??

對于x?x0,x?x0,x???和x???為四種類型的單側極?

限,相應的歸結原則可表示為更強的形式.現(xiàn)以x?x0這種類型為例

闡述如下：

定理3.9 設函數(shù)f在點x0的某空心右鄰域U?(x0)有定

?

f(x)?A的充要條件是：對任何以x0為極限的遞減數(shù)列?xn??U?義.lim(x0),有?

x?x0

limf(xn)?A.n??

注5定理3.9充分性的證明可參照第二章第三節(jié)例3及定理3.8的證明.例如可取

?

?n?min{,xn?1?x0},以保證所找到的數(shù)列?xn?能遞減的趨于x0.n

二、單調(diào)有界定理

相應于數(shù)列極限的單調(diào)有界定理,關于上述四類單側極限也有相應的定理.現(xiàn)以

?

這種類型為例敘述如下： x?x0

f(x)存在.定理3.10設f為定義在U?(x0)上的單調(diào)有界函數(shù),則右極限lim?

x?x0

注6(1)設f為定義在U?(x0)上的有界函數(shù).若f遞增,則f(x0?0)?inf0

若f遞減,則f(x0?0)?sup

(2)設f為定義在U

x?U?(x0)

f(x);

f(x).x?U?(x0)

(x0)上的遞增函數(shù),則

x?U?(x0)

f(x0?0)?supf(x), f(x0?0)?inf0

x?U?(x0)

f(x)

三函數(shù)極限的柯西收斂準則

定理3.11(柯西準則)設函數(shù)f在U?(x0;?')內(nèi)有定義.limf(x)存在的充要條件是：

x?x0

任給??0,存在正數(shù)?(??'),使得對任何x',x???U?(x0;?)有f(x')?f(x??)??.[分析]充分性的證明可以利用數(shù)列極限的柯西準則和函數(shù)極限與數(shù)列極限的橋梁——海涅定理來證.分兩步：1)對任何以x0為極限的數(shù)列?xn??U?(x0;?), 數(shù)列?f(xn)?的極限都存在;2)證明對任何以x0為極限的數(shù)列?xn??U?(x0;?),數(shù)列?f(xn)?的極限都相等.注7 可以利用柯西準則證明函數(shù)極限limf(x)的不存在:

x?x0

設函數(shù)f在U?(x0;?')內(nèi)有定義.limf(x)不存在的充要條件是：存在 ?0?0,對任

x?x0

意正數(shù)?(??'),存在x',x???U?(x0;?), 有f(x')?f(x??)??0.如在例1中我們可取?0?

1,對任何??0,設正整數(shù)n?,令

?

211, x'?,x???

n?n??2

則有x',x???U?(0;?),而sin

?sin?1??0于是按柯西準則,極限limsin不存在.x?0xx'x??

小結

1.證明函數(shù)極限存在或求函數(shù)極限的方法.(1)用定義證明函數(shù)極限的方法且limf(x)?A,尤其是分段函數(shù)的分段點.(2)用柯西收斂準則證明函數(shù)極限存在.(3)用迫斂性證明函數(shù)極限存在并求得極限值.(4)用海涅歸結原理證明函數(shù)極限存在并求得極限值.(5)用四則運算法則及一些熟悉的極限求值.(6)對于單側極限,單調(diào)有界定理可證得極限存在.2.證明函數(shù)極限不存在的主要方法:

(1)利用函數(shù)極限的定義證明函數(shù)極限不存在,(2)利用函數(shù)極限與單側極限的關系證明函數(shù)在某點不存在極限.特別對分段函數(shù)在分段點處的極限.(3)利用海涅歸結原理證明函數(shù)極限不存在.(4)利用柯西收斂準則證明函數(shù)極限不存在.復習思考題、作業(yè)題： 1，2，3，5

第三篇：函數(shù)極限

《數(shù)學分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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第三章 函數(shù)極限

教學目的：

1.使學生牢固地建立起函數(shù)極限的一般概念，掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)； 2.理解并運用海涅定理與柯西準則判定某些函數(shù)極限的存在性； 3.掌握兩個重要極限

和，并能熟練運用；

4.理解無窮?。ù螅┝考捌潆A的概念，會利用它們求某些函數(shù)的極限。教學重（難）點：

本章的重點是函數(shù)極限的概念、性質(zhì)及其計算；難點是海涅定理與柯西準則的應用。

教學時數(shù)：16學時

§ 1 函數(shù)極限概念（3學時）

教學目的：使學生建立起函數(shù)極限的準確概念；會用函數(shù)極限的定義證明函數(shù)極限等有關命題。

教學要求：使學生逐步建立起函數(shù)極限的???定義的清晰概念。會應用函數(shù)極限的???定義證明函數(shù)的有關命題，并能運用???語言正確表述函數(shù)不以某實數(shù)為極限等相應陳述。

教學重點：函數(shù)極限的概念。

教學難點：函數(shù)極限的???定義及其應用。

一、復習：數(shù)列極限的概念、性質(zhì)等

二、講授新課：

（一）時函數(shù)的極限：

《數(shù)學分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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例4 驗證

例5 驗證

例6 驗證

證 由 =

為使

需有

需有

為使

于是, 倘限制 , 就有

例7 驗證

例8 驗證(類似有

（三）單側極限:

1．定義：單側極限的定義及記法.幾何意義: 介紹半鄰域

《數(shù)學分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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我們引進了六種極限:.以下以極限，為例討論性質(zhì).均給出證明或簡證.二、講授新課：

（一）函數(shù)極限的性質(zhì): 以下性質(zhì)均以定理形式給出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號性:

4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)):

Th 4 若使，證 設

和都有 =

(現(xiàn)證對 都存在, 且存在點 的空心鄰域)，有

註: 若在Th 4的條件中, 改“ 就有

5.6.以

迫斂性:

”為“ 舉例說明.”, 未必

四則運算性質(zhì):(只證“+”和“ ”)

（二）利用極限性質(zhì)求極限： 已證明過以下幾個極限：

《數(shù)學分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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例8

例9

例10 已知

求和

補充題:已知

求和（）§ 3 函數(shù)極限存在的條件（4學時）

教學目的：理解并運用海涅定理與柯西準則判定某些函數(shù)極限的存在性。教學要求：掌握海涅定理與柯西準則，領會其實質(zhì)以及證明的基本思路。教學重點：海涅定理及柯西準則。教學難點：海涅定理及柯西準則 運用。

教學方法：講授為主，輔以練習加深理解，掌握運用。本節(jié)介紹函數(shù)極限存在的兩個充要條件.仍以極限

為例.一.Heine歸并原則——函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系：

Th 1 設函數(shù)在,對任何在點

且的某空心鄰域

內(nèi)有定義.則極限都存在且相等.(證)

存Heine歸并原則反映了離散性與連續(xù)性變量之間的關系,是證明極限不存在的有力工具.對單側極限,還可加強為

單調(diào)趨于

.參閱[1]P70.例1 證明函數(shù)極限的雙逼原理.7 《數(shù)學分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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教學難點：兩個重要極限的證明及運用。

教學方法：講授定理的證明，舉例說明應用，練習。一．

（證）（同理有）

例1

例2.例3

例4

例5 證明極限 不存在.二.證 對

有

例6

特別當 等.例7

例8

《數(shù)學分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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三． 等價無窮?。?/p>

Th 2(等價關系的傳遞性).等價無窮小在極限計算中的應用: Th 3(等價無窮小替換法則)

幾組常用等價無窮小:（見[2]）

例3 時, 無窮小

與

是否等價? 例4

四.無窮大量:

1.定義:

2.性質(zhì):

性質(zhì)1 同號無窮大的和是無窮大.性質(zhì)2 無窮大與無窮大的積是無窮大.性質(zhì)3 與無界量的關系.無窮大的階、等價關系以及應用, 可仿無窮小討論, 有平行的結果.3.無窮小與無窮大的關系:

無窮大的倒數(shù)是無窮小,非零無窮小的倒數(shù)是無窮大

習題 課（2學時）

一、理論概述：

《數(shù)學分析》教案

第三章 函數(shù)極限

xbl

例7.求

.注意 時, 且

.先求

由Heine歸并原則

即求得所求極限

.例8 求是否存在.和.并說明極限

解;

可見極限 不存在.--32

第四篇：函數(shù)極限

習題

1.按定義證明下列極限:

(1)limx???6x?5=6;(2)lim(x2-6x+10)=2;x?2x

x2?5?1;(4)lim?(3)lim2x???x?1x?2

(5)limcos x = cos x0 x?x04?x2=0;

2.根據(jù)定義2敘述limf(x)≠ A.x?x0

3.設limf(x)= A.,證明limf(x0+h)= A.x?x0h?0

4.證明:若limf(x)= A,則lim| f(x)| = |A|.當且僅當A為何值時反之也成立? x?x0x?x0

5.證明定理3.1

6.討論下列函數(shù)在x0→0 時的極限或左、右極限:(1)f(x)=x

x;(2)f(x)= [x]

?2x;x?0.?(3)f(x)=?0;x?0.?1?x2,x?0.?

7.設 limf(x)= A,證明limf(x???x?x01)= A x

8.證明:對黎曼函數(shù)R(x)有l(wèi)imR(x)= 0 , x0∈[0,1](當x0=0或1時,考慮單側極限).x?x0

習題

1． 求下列極限：

x2?1（1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim;?x?02x2?x?1x?22

x2?1?x?1???1?3x?;

lim(3)lim;(4)

x?12x2?x?1x?0x2?2x3

xn?1(5)limm(n,m 為正整數(shù))；（6）lim

x?1xx?4?1

（7）lim

x?0

?2x?3x?2

70；

a2?x?a?3x?6??8x?5?.（a>0）;(8)lim

x???x5x?190

2． 利用斂性求極限：(1)lim

x???

x?cosxxsinx

;(2)lim2

x?0xx?4

x?x0

3． 設 limf(x)=A, limg(x)=B.證明：

x?x0

（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;

x?x0

（2）lim[f(x)g(x)]=AB;

x?x0

（3）lim

x?x0

f(x)A

=(當B≠0時)g(x)B

4． 設

a0xm?a1xm?1???am?1x?am

f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn?1

b0x?b1x???bn?1x?bn

試求 limf(x)

x???

5． 設f(x)>0, limf(x)=A.證明

x?x0

x?x0

lim

f(x)=A，其中n≥2為正整數(shù).6.證明limax=1(0

x?0

7.設limf(x)=A, limg(x)=B.x?x0

x?x0

(1)若在某∪(x0)內(nèi)有f(x)< g(x)，問是否必有A < B ? 為什么？

（2）證明：若A>B,則在某∪(x0)內(nèi)有f(x)> g(x).8.求下列極限（其中n皆為正整數(shù)）：(1)lim ?

x?0

x

x11

lim;(2);nn?x?0x1?xx1?x

x?x2???xn?n

(3)lim;(4)lim

x?0x?0x?1

?x?1

x

(5)lim

x??

?x?(提示：參照例1)

x

x?0

x?0

x?0

9．（1）證明：若limf(x3)存在，則limf(x)= lim f(x3)（2）若limf(x2)存在，試問是否成立limf(x)=limf(x2)?

x?0

x?0

x?0

習題

1.敘述函數(shù)極限limf(x)的歸結原則,并應用它證明limcos x不存在.n???

n???

2.設f 為定義在[a,+?)上的增(減)函數(shù).證明: lim= f(x)存在的充要條件是f在n???

[a,+?)上有上(下)界.3.(1)敘述極限limf(x)的柯西準則;

n???

(2)根據(jù)柯西準則敘述limf(x)不存在的充要條件,并應用它證明limsin x不存在.n???

n???

4.設f在∪0(x0)內(nèi)有定義.證明:若對任何數(shù)列{xn}?∪0(x0)且limxn=x0,極限limf(xn)都

n??

n??

存在,則所有這極限都相等.提示: 參見定理3.11充分性的證明.5設f為∪0(x0)上的遞減函數(shù).證明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0)=supf(x),f(x0+0)=

0x?u?

?x0?

0x?un(x0)

inff(x)

6.設 D(x)為狄利克雷函數(shù),x0∈R證明limD(x)不存在.x?x0

7.證明:若f為周期函數(shù),且limf(x)=0,則f(x)=0

x???

8.證明定理3.9

習題

1.求下列極限

sin2xsinx3

(1)lim;(2)lim

x?0x?0sinx2x

(3)lim

x?

cosxx?

?

tanx?sinxarctanx

lim(5)lim;(6);3x?0x?0xx

sin2x?sin2a1

(7)limxsin;(8)lim;

x???x?axx?a

;(4)lim

x?0

tanx

;x

?cosx2

(9)lim;(10)lim

x?0x?01?cosxx?1?1

sin4x

2.求下列極限

12?x

(1)lim(1?);(2)lim?1?ax?x(a為給定實數(shù));

n??x?0x

x

(3)lim?1?tanx?

x?0

cotx

;(4)lim?

?1?x?

?;

x?01?x??

(5)lim（x???

3x?22x?1?);(6)lim(1?)?x(?,?為給定實數(shù))

n???3x?1x

3.證明:lim?lim?cosxcoxcos4.利用歸結原則計算下列極限:(1)limnsin

n??

?

x?0n??

??

?

x2

xx???cos?1 2n??22??

?

n

;(2)

習題

1． 證明下列各式

(1)2x－x2=O(x)(x→0);(2)x sinx?O(x)(x→0);

+

(3)?x?1?o(1)(x→0);

(4)(1+x)n= 1+ nx+o(x)(x→0)(n 為正整數(shù))(5)2x3 + x2=O(x3)(x→∞);

(6)o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0)

(7)o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0)2． 應用定理3.12求下列極限：

?x2?1x(1)lim(2)lim x?01?cosxx??x?cosx

x3． 證明定理3.13

4． 求下列函數(shù)所表示曲線的漸近線：

13x3?4

(1)y =;(2)y = arctan x;(3)y = 2

xx?2x

5． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當x→0時為同階無窮小量：

(1)sin2x－2sinx;(2)

－(1－x);1?x

(3)?tanx??sinx;(4)

x2?4x3

6． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當x→∞時為同階無窮大量：

(1)

x2?x5;(2)x+x2(2+sinx);

(3)(1+x)(1+x2)…(1+xn).7． 證明：若S為無上界數(shù)集，則存在一遞增數(shù)列{xn}?s，使得xn→+∞(n→∞)

8． 證明：若f為x→r時的無窮大量，而函數(shù)g在某U0(r)上滿足g(x)≥K>0，則fg為x→r

時的無窮大量。

9． 設 f(x)~g(x)(x→x0)，證明：

f(x)－g(x)= o(f(x))或 f(x)－g(x)= o(g(x))

總 練習題

1． 求下列極限：

?1

(x?[x])lim([x]?1)(1)lim;(2)??

x?3

x?1

(3)lim（x???

a?xb?x?a?xb?x)

xx?a

(4)lim

x???

(5)lim

xx?a

x???

(6)lim

?x??x?x??x

x?0

(7)lim?

n??m,m,n 為正整數(shù) ?n?x?11?xm1?x??

2． 分別求出滿足下述條件的常數(shù)a與b：

?x2?1?

(1)lim??ax?b???0 x????x?1??

x(3)limx

(2)lim

x???x???x?2

??x?1?ax?b??0

?x?1?ax?b?0

x?2

3． 試分別舉出符合下列要求的函數(shù)f：

(1)limf(x)?f(2)；(2)limf(x)不存在。

4． 試給出函數(shù)f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一點x0處有l(wèi)imf(x)?0。這同極限的x?x0

局部保號性有矛盾嗎？

5． 設limf(x)?A，limg(u)?B，在何種條件下能由此推出

x?a

g?A

limg(f(x))?B?

x?a

6． 設f(x)=x cos x。試作數(shù)列

(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0(n→∞);(2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0(n→∞);(3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0(n→∞).7． 證明：若數(shù)列{an}滿足下列條件之一，則{an}是無窮大數(shù)列：

(1)liman?r?1

n??

(2)lim

an?1

?s?1(an≠0,n=1,2,…)

n??an

n2

n2

8． 利用上題（1）的結論求極限：

(1)lim?1?

?n??

?1??1??(2)lim?1??

n??n??n?

9． 設liman???，證明

n??

(1)lim

(a1?a2???an)??? n??n

n??

(2)若an > 0(n=1,2,…),則lima1a2?an??? 10.利用上題結果求極限：

(1)limn!(2)lim

n??

In(n!)

n??n

11.設f為U-0(x0)內(nèi)的遞增函數(shù)。證明：若存在數(shù)列{xn}?U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得

limf(xn)?A，則有

n??

f(x0－0)=

supf(x)?A

0x?U?(x0)

12.設函數(shù)f在(0,+∞)上滿足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)?A。證明：f(x)?A，x∈(0,+∞)

x???

13.設函數(shù)f在(0,+∞)此上滿足方程f(x2)= f(x)，且

f(x)=limf(x)?f(1)lim?

x?0

x???

證明：f(x)?f(1)，x∈(0,+∞)

14.設函數(shù)f定義在(a,+∞)上，f在每一個有限區(qū)間內(nèi)(a,b)有界，并滿足

x???

lim(f(x?1)?f(1))?A證明

x???

lim

f(x)

?A x

第五篇：函數(shù)極限

數(shù)學之美2006年7月第1期

函數(shù)極限的綜合分析與理解

經(jīng)濟學院 財政學 任銀濤 0511666

數(shù)學不僅僅是工具，更是一種能力。一些數(shù)學的方法被其它學科廣泛地運用。例如，經(jīng)濟學中的邊際分析、彈性分析等方法。函數(shù)極限是高等數(shù)學中的一個重要問題。極限可以與很多的數(shù)學問題相聯(lián)系。例如，導數(shù)從根本上是求極限；函數(shù)連續(xù)首先要求函數(shù)在某一點的左極限等于右極限。有鑒于函數(shù)極限的重要性，結合自己的學習心得，筆者寫下了此文。其目的在于歸納和總結解決函數(shù)極限問題的實用方法和技巧，以期對函數(shù)極限問題的學習有所幫助。局限于筆者的認知水平，缺點和不足在所難免，歡迎批評指正。

一、函數(shù)極限的定義和基本性質(zhì)

函數(shù)極限可以分成x→x0，x→∞兩類，而運用ε-δ定義更多的見諸于已知

極限值的證明題中。掌握這類證明對初學者深刻理解運用極限定義大有裨益。以x?x0的極限為例，f?x?在點x0以A極限的定義是：???0,???0,使當0?x?x0??時，有f(x)?A??(A為常數(shù)).問題的關鍵在于找到符合定義要求的?，在這一過程中會用到一些不等式技巧，例如放縮法等。1999年的研究生考試試題中，更是直接考察了考生對定義的掌握情況。詳見附例1。

函數(shù)極限性質(zhì)的合理運用。常用的函數(shù)極限的性質(zhì)有函數(shù)極限的唯一性、局部有界性、保序性以及函數(shù)極限的運算法則和復合函數(shù)的極限等等。如函數(shù)極限的唯一性（若lim存在，則在該點的極限是唯一的）可以體現(xiàn)在用海涅定理證明x?x0

''即如果f?xn??A，fxn，f?x?在x0處的極限不存在。?B（n??,xn和xn?x0）??

則f?x?在x0處的極限不存在。

運用函數(shù)極限的性質(zhì)可以方便地求出一些簡單函數(shù)的極限值。例如對于有理分式f?x??P?x?P?x?,Q?x?均為多項式，Q?x??0）。設P?x?的次數(shù)為n,Q?x?的Qx次數(shù)為m，當x??時，若n?m，則f?x??0;若n?m，則f?x??P?x?與Q?x?的最高次項系數(shù)之比；若n?m，則f?x???。當x?x0時,f(x)?P(x0)(Q(x0)?0)。Q(x0)

二、運用函數(shù)極限的判別定理

最常用的判別定理包括單調(diào)有界定理和夾擠定理，在運用它們?nèi)デ蠛瘮?shù)的極限時尤需注意以下關鍵之點。一是先要用單調(diào)有界定理證明收斂，然后再求極限值，參見附例2。二是應用夾擠定理的關鍵是找到極限值相同的函數(shù)g?x?與

h?x?，并且要滿足g?x??f?x??h?x?，從而證明或求得函數(shù)f?x?的極限值。

三、應用等價無窮小代換求極限

掌握常用的等價無窮小很重要。等價無窮小代換可以將復雜的極限式變的簡單明了，讓求解過程變得簡明迅速。

x?0時，sinx與x，tanx與x，arcsinx與x，arctanx與x，1?cosx與x2，xa，ax?1與xlna，?1?a?與ax（a?0）等等可ln?1?x?與x，loga?1?x?與lna

以相互替換。特別需要注意的是，等價無窮小代換只能用于分子、分母中的乘積

sinx?x

因子，而對于加減法運算則不能運用。例如lim，不能直接把sinx替換

x?0x

3sinx?x

1??成x，得出極限值為0，實際上lim。

x?0x36

四、運用洛必達法則求函數(shù)極限

設函數(shù)f?x?，g?x?在點a的某空心鄰域可導，且g'(x)?0。當x?a時，f?x?f'?x?，f?x?和g?x?的極限同時為0或?時才適用?'?A（A為常數(shù)或?）

gxgx洛必達法則。洛必達法則實際上把求函數(shù)極限問題轉化為學生較為拿手的求導數(shù)

0??、00、1?、?0等類型則需要問題。這使得求解思路簡單程序化。而對于???、0?

對式子進行轉化，或通分或取倒數(shù)或取對數(shù)等轉化為型，再使用洛必達法

0?

則求極限。例如f?x?

g?x?的極限轉化為求eg?x?lnf?x?的極限等等。然而，對于數(shù)列，則必須轉化為函數(shù)再運用洛必達法則。這是因為如果把數(shù)列看作是自變量為n的函數(shù)時，它的定義域是一系列孤立的點，不存在導數(shù)。這是使用洛必達法則時必須要注意的一點。參見附例3。

五、泰勒公式的運用

對于使用洛必達法則不易求出結果的復雜函數(shù)式，可以考慮使用泰勒公式。這樣將函數(shù)式化為最高次項為相同或相近的式子，這時就變成了求多項式的極限值（接著求值見上文所述方法），使計算一目了然。因此掌握和記憶常用基本初

等函數(shù)的麥克勞林展開式是十分必要的。如ex，sinx，cosx，ln?1?x?等等。至于展開式展開多少，則要與題干中的自變量x最高次項保持一致。如

cosx?elimx?0x4x4)。

?x

2利用泰勒公式展開cosx,e

?

x22，展開到x4即可(原式x最高次項為

六、利用微分中值定理來求極限

f(x)在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?上可導，則至少存在一點???a,b?，使

f'(?)?

f(b)?f(a)'f(b)?f(a),f(?)即可看成特殊的極限，用來求解。一般需

b?ab?a

要函數(shù)式可以看成同一函數(shù)的區(qū)間端點的差，這樣可以使用微分中值定理。參見附例4。

另外，一些重要的結論往往在求極限時可以直接加以引用，例如

lim(1?x)?e，lim

x?0

1x

sinx

?

1，?

1，?1等等。

x?0nnx

求極限的方法和技巧更多的在于實踐中的摸索和探討，上述方法只是筆者在高等數(shù)學學習和練習的一些心得，求極限的方法還有很多。局限于筆者的認知水平，缺點和不足在所難免，敬請批評指正。

南開大學張陽和張效成老師的課堂教學給了筆者很大的啟發(fā)，在此向兩位老師表示感謝。

附：例1：對任意給定的???0,1?，總存在正整數(shù)N,使得當n?N時，恒有。xn?a?2?，是數(shù)列?xn?收斂于a的（）

A 充分非必要條件 B必要非充分條件C充分必要條件D既非充分又非必要條件

解析：這道題是1999年全國考研試卷(二)的數(shù)學選擇題，這道題直接考察了對極限定義的掌握和理解。

例2：若x1?a，y1?b（b?a?0），xn?1?xnyn，yn?1?明數(shù)列?xn?,?yn?有相同的極限。（見習題冊1 Page.18）

解析：由已知條件易知，b?y1?y2?……?yn?1?xn?1?……?x1?a，數(shù)列

xn?1?yn?

1，試證

2文中習題冊是指南開大學薛運華，趙志勇主編的《高等數(shù)學習題課講義（上冊）》，為學生用數(shù)學練習冊。

x?yn

limyn?1?lin?xn?，?yn?單調(diào)有界，可以推出?xn?，?yn?收斂。n??n??

n??

。設

limyn?A，limxn?B，則?A?

n??

A?B,?A?B。2

例3：求lim(ntan)n的值。（見課本2 Page.153）

n??n

1??

解析：這是數(shù)列。設f?x???xtan?，則對limf?x?可以運用洛必達法則，x???x??且原式=limf?x?。

x???

x2

aa

?arctan),a?0

n??nn?1

arctan解析：如例題3，設f?x??a，則在?x,x?1?上f?x?連續(xù)，在?x,x?1?內(nèi)

x

例4：求limn2(arctan

可導。于是，????x,x?1?,f'(?)?arctan

aaa?arctan??2（使用微分中x?1xa??2

a)?a。22

a??

值定理可得）。x??,則???,原式=lim?2（???

參考書目

[1] 張效成主編，《經(jīng)濟類數(shù)學分析（上冊）》，天津大學出版社，2005年7月 [2] 薛運華，趙志勇主編，《高等數(shù)學習題課講義（上冊）》，南開大學 [3] 張友貴等，《掌握高等數(shù)學（理工類、經(jīng)濟類）》，大連理工出版社，2004年11月

[4]《碩士研究生入學考試試題》，1984—2005

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文中課本是指筆者使用的天津大學出版社05年7月版的《經(jīng)濟類數(shù)學分析（上冊）》張效成主編