第一篇:多元函數(shù)的極限
三. 多元函數(shù)的極限
回憶一元函數(shù)極限的定義:
limf(x)?A?設是定義域Df的聚點。x?x0x00對???0,總???0,?x?U(x0,?)Df時,都有f(x)?A??成立。
定義1 設二元函數(shù)f(P)?f(x,y)的定義域為Df,P(x0,y0)是Df的聚點。如果
0Df時,都有存在常數(shù)A,對???0,總???0,?P(x,y)?U(P0(x0,y0),?)f(x,y)?A??成立,那么稱A為P(x,y)趨于P0(x0,y0)時,函數(shù)f(x,y)的極限,lifmP?(A)記作P或者?P0(x,y)?(x0,y0)limf(P)?A或者xl?xi0fmP?(A)或者
y?y0f(x,?y)A,(P?(x(x0,y0)。0P,y))Df趨于P0; 注:1.P(x,y)?P0(x0,y0)是指點P沿著任意路徑在2.為了區(qū)別一元函數(shù)的極限,把二元函數(shù)的極限也稱之為二重極限;
3.二元及其多元函數(shù)的極限的四則運算法則與一元函數(shù)一致。
22例1 設f(x,y)?(x?y)sin1limf(x,y)?0。22,求證x?x0y?y0x?y2證明 顯然函數(shù)f(x,y)的定義域為Df?R{(0,0)},(0,0)是Df的聚點。因為
(x2?y2)sin只須112222?0?x?y(x?y)sin?0??,???0,所以對,要使2222x?yx?yx2?y2??成立即可。也就是說,對???0,總?????0,22?P(x,y)?U0(O(0,0),?)時,總有(x?y)sin1?0??成立,故
x2?y2x?x0y?y0lim(x2?y2)sin1?0。22x?ysin(x2y)?? 例2 求極限limx?0x2?y2y?0提示:四則運算,并考慮重要極限和基本不等式。x3y例3 證明函數(shù)lim不存在? x?0x6?y2y?0提示:設y?kx3。學生練習1.求極限limsin(xy)??
x?0xy?2?xy,x2?y2?0?2limf(x,y)2學生練習2.證明函數(shù)f(x,y)??x?y的極限x?0不存在?
y?0?0,x2?y2?0? 四.多元函數(shù)的連續(xù)連
回憶一元函數(shù)連續(xù)的定義:
limf(x)?f(x0)。f(x)在點x0處連續(xù)?x?x0Df的聚點,且定義2 設二元函數(shù)f(P)?f(x,y)的定義域為Df,P0(x0,y0)是limf(x,y)?f(x0,y0)P?Dx?x0。如果,那么稱函數(shù)f(x,y)在點P 0f0(x0,y0)處連續(xù)。y?y0定義3 設二元函數(shù)z?f(x,y)的定義域為Df,且Df內(nèi)每一點都是聚點。如果函數(shù)z?f(x,y)在Df內(nèi)的沒一點處都連續(xù),那么稱z?f(x,y)在Df上聯(lián)系或者稱z?f(x,y)為Df上的連續(xù)函數(shù)。
注:1.定義2和定義3可以推廣至n元函數(shù)的情形。
例1 設f(x,y)?sinx,證明函數(shù)f(x,y)是R2上的連續(xù)函數(shù)?
limf(x,y)?sinx02x?x0(x,y)?R分析:對P,證明(???語言)。000y?y0證明
Df的聚點,P定義4.設二元函數(shù)z?f(x,y)的定義域為Df,且P0?Df。0(x0,y0)是如果函數(shù)f(x,y)在點P則稱點P0(x0,y0)處不連續(xù),0(x0,y0)為函數(shù)z?f(x,y)的間斷點。
?xy,x2?y2?0?22例2 函數(shù)f(x,y)??x?y在點O(0,0)的連續(xù)性?
?0,x2?y2?0?解:點O(0,0)雖為定義域R2的聚點,但由于f(x,y)在點O(0,0)無極限,故函數(shù)f(x,y)在點O(0,0)間斷。
例3 函數(shù)f(x,y)?sin122的定義域為Df?{(x,y)x?y?1},但22x?y?1C?{(x,y)x2?y2?1}上的點為Df的聚點,又由于f(x,y)在C上沒有定義。故C上的點是f(x,y)的間斷點。
1.函數(shù)極限存在;??2.有定義; 連續(xù)??
?3.極限等于該點的函數(shù)值;?
多元函數(shù)的連續(xù)性的性質(zhì)與一元函數(shù)一致:
1.多元連續(xù)函數(shù)的和差積商仍為其定義域上的連續(xù)函數(shù); 2.多元連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零的點處任連續(xù); 3.多元連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)是連續(xù)函數(shù);
4.多元初等函數(shù)是其定義區(qū)域內(nèi)的連續(xù)函數(shù)(定義區(qū)域:半酣定義域的區(qū)域或者閉區(qū)域)。
可以利用多元初等函數(shù)的連續(xù)性求極限。例4 limx?y??
x?1xyy?2,2)?Df是內(nèi)點,因此存在U(P分析:Df?{(x,y)x?0且y?0},P0(10;?)?Df是x?y3?f(1,2)?。Df內(nèi)的區(qū)域,因此limx?1xy2y?2一般地,若f(x,y)是初等函數(shù),且P0(x0,y0)是f(P)的定義域的內(nèi)點,則x?x0y?y0limf(x,y)?f(x0,y0)。
與閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)的最值定理類似,有
性質(zhì)1 定義在有界閉區(qū)域D上多元連續(xù)函數(shù)必取得最大值和最小值。性質(zhì)2(介值定理)有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間 的任何一個值。
性質(zhì)3 有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)必一致連續(xù)。
第二篇:多元函數(shù)的極限與連續(xù)
數(shù)學分析
第16章
多元函數(shù)的極限與連續(xù)
計劃課時:
0 時
第16章
多元函數(shù)的極限與連續(xù)(1 0 時)
§ 1
平面點集與多元函數(shù)
一.平面點集:平面點集的表示: E?{(x,y)|(x,y)滿足的條件}.余集Ec.1.常見平面點集:
⑴
全平面和半平面 : {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?a},{(x,y)|y?ax?b}等.⑵ 矩形域: [a,b]?[c,d], {(x,y)|x|?|y|?1}.⑶ 圓域: 開圓 , 閉圓 , 圓環(huán),圓的一部分.極坐標表示, 特別是 {(r,?)|r?2acos?}和{(r,?)|r?2asin?}.⑷ 角域: {(r,?)|?????}.⑸ 簡單域: X?型域和Y?型域.2.鄰域: 圓鄰域和方鄰域,圓鄰域內(nèi)有方鄰域,方鄰域內(nèi)有圓鄰域.空心鄰域和實心鄰域 , 空心方鄰域與集
{(x,y)|0?|x?x0|?? , 0?|y?y0|??}的區(qū)別.3. 點與點集的關(guān)系(集拓撲的基本概念):
(1)內(nèi)點、外點和界點:
內(nèi)點:存在U(A)使U(A)?E
集合E的全體內(nèi)點集表示為intE,.外點:存在U(A)使U(A)?E??
界點:A的任何鄰域內(nèi)既有E的點也有不屬于E的點。E的邊界表示為?E
集合的內(nèi)點?E, 外點?E , 界點不定.例1 確定集E?{(x,y)|0?(x?1)?(y?2)?1 }的內(nèi)點、外點集和邊界.例2 E?{(x,y)|0?y?D(x), x?[ 0 , 1 ] } , D(x)為Dirichlet函數(shù).確定集E的內(nèi)點、外點和界點集.(2)(以凝聚程度分為)聚點和孤立點:
聚點:A的任何鄰域內(nèi)必有屬于E的點。
孤立點:A?E但不是聚點。孤立點必為界點.例3 E?{(x,y)|y?sin }.確定集E的聚點集.解
E的聚點集?E?[ ?1 , 1 ].221x 2 4.區(qū)域:
(1)(以包含不包含邊界分為)開集和閉集: intE ?E時稱E為開集 , E的聚點集?E時稱E為閉集.intE 存在非開非閉集.(3)有界集與無界集:
(4)
點集的直徑d(E): 兩點的距離?(P1 , P2).(5)
三角不等式:
|x1?x2|(或|y1?y2|)?或?(P1,P2)?R2和空集?為既開又閉集.(2)(以連通性分為)開區(qū)域、閉區(qū)域、區(qū)域:以上常見平面點集均為區(qū)域.(x1?x2)2?(y1?y2)2? |x1?x2|?|y1?y2|.?(P1,P3)??(P2,P3)
二.R2中的完備性定理:
1. 點列的極限:
設Pn?(xn , yn)?R2, P0?(x0 , y0)?R2.Pn?P0的定義(用鄰域語言)
定義1。
limn?????0,?N,n?NPn?U(P0,?)或?(P0,Pn)??
例4(xn , yn)?(x0 , y0)?xn?x0, yn?y0,(n??).例5 設P0為點集E的一個聚點.則存在E中的點列{ Pn }, 使limPn?P0.n??
2.R2中的完備性定理:
(1)Cauchy收斂準則:
.(2).閉域套定理:(3).聚點原理: 列緊性 ,Weierstrass聚點原理.(4)有限復蓋定理:
三.二元函數(shù):
1.二元函數(shù)的定義、記法、圖象:
2.定義域: 例6 求定義域:
ⅰ> f(x,y)?3.二元函數(shù)求值: 例7 例8 9?x2?y2x2?y2?1;ⅱ> f(x,y)?lny.2ln(y?x?1)yf(x,y)?2x?3y2, 求 f(1 , ?1), f(1 ,).xf(x,y)?ln(1?x2?y2), 求f(?cos? , ?sin?).4.三種特殊函數(shù): ⑴ 變量對稱函數(shù): f(x,y)?f(y,x),例8中的函數(shù)變量對稱.⑵ 變量分離型函數(shù): f(x,y)??(x)?(y).例如
z?xye2x?3y, z?xy?2x?y?2, f(x,y)?(xy?y)(xy?x)等.(xy)2 4 但函數(shù)z?x?y不是變量分離型函數(shù).⑶ 具有奇、偶性的函數(shù)
四.n元函數(shù)
二元函數(shù) 推廣維空間 記作R n
作業(yè) P9—8.§ 2 二元函數(shù)的極限
一.二重極限
二重極限亦稱為全面極限
1.二重極限
定義1 設f為定義在D?R上的二元函數(shù),P0為D的一個聚點,A是確定數(shù) 若 ???0,???0,或
2P?U0(P0,?)?D,f(P)?A??則limf(P)?A
P?P0(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A
例1 用“???”定義驗證極限
(x,y)?(2,1)lim(x2?xy?y2)?7.xy2?0.例2 用“???”定義驗證極限 lim2x?0x?y2y?0例3 ?x2?y2,(x,y)?(0,0),?xyf(x,y)??x2?y2
?0 ,(x,y)?(0,0).?f(x,y)?0.(用極坐標變換)
P94 E2.證明
(x,y)?(0,0)lim2.歸結(jié)原則:
定理 1
limf(P)?A, ?
對D的每一個子集E , 只要點P0是E的聚點 , P?P0P?D就有l(wèi)imf(P)?A.P?P0P?E
推論1
設E1?D, P0是E1的聚點.若極限limf(P)不存在 , 則極限limf(P)也不存在.P?P0P?E1P?P0P?D
推論2
設E1,E2?D, P0是E1和E2的聚點.若存在極限limf(P)?A1,P?P0P?E1P?P0P?E2limf(P)?A2, 但A1?A2, 則極限limf(P)不存在.P?P0P?DP?P0P?D
推論3
極限limf(P)存在, ? 對D內(nèi)任一點列{ Pn }, Pn?P0但Pn?P0, 數(shù)列{f(Pn)}收斂.通常為證明極限limf(P)不存在, 可證明沿某個方向的極限不存在 , 或證明沿某兩個方向的極限P?P0不相等, 或證明極限與方向有關(guān).但應注意 , 沿任何方向的極限存在且相等 ?? 全面極限存在
例4 ?xy ,(x,y)?(0,0),? 證明極限limf(x,y)不存在.f(x,y)??x2?y2(x,y)?(0,0)?0 ,(x,y)?(0,0).?6 例二重極限具有與一元函數(shù)極限類似的運算性質(zhì).例6 求下列極限: ⅰ>
(x,y)?(0,0)limsinxyx2ylim;ⅱ>;(x,y)?(3,0)yx2?y2 ⅲ>
3.極限(x,y)?(0,0)limxy?1?1ln(1?x2?y2);ⅳ> lim.22(x,y)?(0,0)xyx?y(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)???的定義:
2定義2.設f為定義在D?R上的二元函數(shù),P0為D的一個聚點,若 ?M?0,???0,或
P?U0(P0,?)?D,f(P)?M則limf(P)???
P?P0(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)???
其他類型的非正常極限,(x,y)?無窮遠點的情況.例7 驗證(x,y)?(0,0)lim1???.222x?3y二.累次極限
二次極限
1.累次極限的定義:
定義3.設Ex,Ey?R,x0,y0分別是Ex,Ey的聚點,二元函數(shù)f在集合Ex?Ey上有定義。若對每一個y?Eyy?y0存在極限limf(x,y)
記作?(y)?limf(x,y)
x?x0x?Ex?x0x?E若L?lim?(y)存在,則稱此極限為二元函數(shù)f先對x后對y的累次極限
y?y0y?Ey記作L?limlim?(y)
簡記L?limlim?(y)
y?y0x?x0y?Eyx?Exy?y0x?x0例8 f(x,y)?xy, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限.x2?y2 7 例9 x2?y2, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限.f(x,y)?22x?y11?ysin, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限.yx例10 f(x,y)?xsin2.二重極限與累次極限的關(guān)系:
⑴ 兩個累次極限存在時, 可以不相等.(例9)⑵ 兩個累次極限中的一個存在時, 另一個可以不存在.例如函數(shù)f(x,y)?xsin1在點(0 , 0)的情況.y
⑶ 二重極限存在時, 兩個累次極限可以不存在.例如例10中的函數(shù), 由 , y)?(0,0).可見全面極限存在 , 但兩個累次極限均不存在.|f(x,y)| ? |x|?|y|?0 ,(x
⑷ 兩個累次極限存在(甚至相等)??
二重極限存在.(參閱例4和例8).綜上 , 二重極限、兩個累次極限三者的存在性彼此沒有關(guān)系.但有以下確定關(guān)系.定理2 若二重極限
推論1 二重極限和兩個累次極限三者都存在時 , 三者相等.推論1給出了累次極限次序可換的一個充分條件.推論2 兩個累次極限存在但不相等時 , 二重極限不存在.但兩個累次極限中一個存在 , 另一個不存在 ??
二重極限不存在.參閱⑵的例.(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在 , 則必相等.x?x0y?y0
作業(yè)提示: P99 1、2、4
§ 3 二元函數(shù)的連續(xù)性(4 時)
一. 二元函數(shù)的連續(xù)(相對連續(xù))概念:由一元函數(shù)連續(xù)概念引入.1.連續(xù)的定義:
定義
用鄰域語言定義相對連續(xù).全面連續(xù).函數(shù)f(x,y)有定義的孤立點必為連續(xù)點.例1 ?xy22 , x?y?0 ,22??x?y
f(x,y)???m , x2?y2?0.??1?m2證明函數(shù)f(x,y)在點(0 , 0)沿方向y?mx連續(xù).?1 , 0?y?x2, ???x??? ,例2
f(x,y)??
([1]P124 E4)0 , 其他.?證明函數(shù)f(x,y)在點(0 , 0)沿任何方向都連續(xù) , 但并不全面連續(xù).函數(shù)的增量: 全增量、偏增量.用增量定義連續(xù)性.函數(shù)在區(qū)域上的連續(xù)性.2.二元連續(xù)(即全面連續(xù))和單元連續(xù) :
定義
(單元連續(xù))
二元連續(xù)與單元連續(xù)的關(guān)系: 參閱[1]P132 圖16—9.3.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì): 運算性質(zhì)、局部有界性、局部保號性、復合函數(shù)連續(xù)性.僅證復合函數(shù)連續(xù)性.二.二元初等函數(shù)及其連續(xù)性:
二元初等函數(shù) , 二元初等函數(shù)的連續(xù)性.三.一致連續(xù)性: 定義.四.有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):
1.有界性與最值性.(證)
2.一致連續(xù)性.(證)
3.介值性與零點定理.(證)
Ex
[1]P136—137 1 ⑴—⑸,2,4,5;
P137—138
1,4.10
第三篇:多元函數(shù)的極限與連續(xù)
多元函數(shù)的極限
1.求下列極限:
x2y111)lim(4x?3y);
2)lim(x?y)sinsin;
3)lim2.2x?0x?2x?0x?yxyy?0y?1y?02
2.證明:若f(x,y)?
x?y,(x?y?0),求 lim?limf(x,y)?與lim?limf(x,y)?.?x?0???y?0?y?0?x?0x?yx4y43.設函數(shù)f(x,y)?4,證明:當點(x,y)沿通過原點的任意直線(y?mx)趨于(0,0)時,函數(shù)f(x,y)23(x?y)存在極限,且極限相等.但是,此函數(shù)在原點不存在極限.x2?y22D?(x,y)y?x4.若將函數(shù)f(x,y)?2限制在區(qū)域,則函數(shù)f(x,y)在原點(0,0)存在極限.2x?y??
5.求下列極限: 1)lim
3)lim(x?y)In(x?y);
4)limx?0y?022x?ysinxy;
2); limx?1x2?xy?y2x?0xy?2y?4(1?4x2)(1?6y2)?12x2?3y2x?0y?0.
第四篇:一、多元函數(shù)、極限與連續(xù)解讀
一、多元函數(shù)、極限與連續(xù) ㈠二元函數(shù) .二元函數(shù)的定義:設 D 是平面上的一個點集,如果對于每個點 P(x,y)∈ D,變量 按照
一定法則總有確定的值與它對應,則稱 是變量 x、y 的二元函數(shù)(或點 P 的函數(shù)),記為
(或),點集 D 為該函數(shù)的定義域,x、y 為自
為該函數(shù)值域。由此變量,為因變量,數(shù)集也可定義三元函數(shù)以及三元以上的函數(shù)。二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面。例如 面。
㈡二元函數(shù)的極限
⒈設函數(shù) f(x,y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D 內(nèi)有定義,是 D 的內(nèi)點或邊界點,如果對于任意給定的正數(shù),總存在正數(shù),使得對于適合不等式,都有 的一切點
是球心在原點,半徑為 1 的上半球
成立,則稱常數(shù) A 為函數(shù)f(x,y)當
或 , 這里 時的極限,記作
。為了區(qū)別一元函數(shù)的極限,我們把二元函數(shù)的極限叫做二重極限。⒉注意:二重極限存在是指 都無限接近A。因此,如果條定直線或定曲線趨于
沿任意路徑趨于,函數(shù)
沿某一特殊路徑,例如沿著一時,即使函數(shù)無限接近于某一確定值,我們也不能由此判定函數(shù)的極限存在。
㈢多元函數(shù)的連續(xù)性 .定義:設函數(shù) f(x,y)在開區(qū)間(或閉區(qū)間)D 內(nèi)有定義,是 D 的內(nèi)點或邊界點且
。如果
連續(xù)。如果函,則稱函數(shù) f(x,y)在點
數(shù) f(x,y)在開區(qū)間(或閉區(qū)間)D 內(nèi)的每一點連續(xù),那么就稱函數(shù) f(x,y)在 D 內(nèi)連續(xù),或者稱 f(x,y)是 D 內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。2 .性質(zhì)
⑴一切多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的;
⑵在有界閉區(qū)域 D 上的多元連續(xù)函數(shù),在 D 上一定有最大值和最小值;
⑶在有界閉區(qū)域 D 上的多元連續(xù)函數(shù),如果在 D 上取兩個不同的函數(shù)值,則它在 D 上取得介于這兩 個值之間的任何值至少一次;
⑷在有界閉區(qū)域 D 上的多元連續(xù)函數(shù)必定在 D 上一致連續(xù)。
二、偏導數(shù)和全微分 ㈠偏導數(shù)
⒈偏導數(shù)定義:設函數(shù)
在點 的某一鄰域內(nèi)有定義,時,相應地函數(shù)有增量
存在,則稱此極限為
處對 的偏導數(shù),記作,當 固定 在而 在處有增量,如果函數(shù)
或 類似,函數(shù) 在點
在點
處對 的偏導數(shù)定義為,記作
際中求,或。在實的偏導數(shù),并不需要用新的方法,因為這里只有一個自變量在變動,另一個自變量是看作固定的,所以求 時只要將暫時看作常量而對 求導數(shù);求 時,則只要將 暫時看作常量而對 求導數(shù)。偏導數(shù)可以推廣到二元以上的函數(shù) 注意:對于一元函數(shù)來說 可以看作函數(shù)的微分 分 之商,而偏導數(shù)的記
與自變量微號是一個整體符號,不能看作分母與分子之商。⒉偏導數(shù)的幾何意義:設 過 做平面,截此曲面得一曲線,此曲線在平面,則導數(shù)
上的方程為
為曲面
上的一點,即偏導數(shù)
對 軸的 斜率。同樣,偏導數(shù) 截得的曲線在點 的切線
處,就是這曲線在點 處的切線 的幾何意義是曲面被平面 所對 軸的斜率。
在區(qū)域 D 內(nèi)具有偏導數(shù),都是,⒊高階偏導數(shù):設函數(shù),那么在 D 內(nèi) 的函數(shù),如果這兩個函數(shù)的偏導數(shù)也存在,則稱它們是函數(shù) 的二階偏導數(shù)。按照對變量求導次序的不同有以下四個二階偏導數(shù): ,。二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù)。
定理:如果函數(shù) 的兩個二階混合偏導數(shù) 及 在區(qū)域 D 內(nèi)連續(xù),那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導數(shù)必相等。(即二階混合偏導數(shù)在連續(xù)的條件下與求導的次序無關(guān)。)㈡全微分
⒈全微分定義:如果函數(shù)
可表示為
賴于、而僅與、有關(guān),在點
可微分,而
稱
在點 的全增量,其中 A、B 不依,則稱函數(shù)
為函數(shù)
在點 的全微分,記作,即。如果函數(shù)在區(qū)域 D 內(nèi)各點都可微分,那么稱這函數(shù)在 D 內(nèi)可微分。定理 1(必要條件):如果函數(shù) 函數(shù)在點 的偏導數(shù)
在點 的全微分為 在點
可微分,則該必定存在,且函數(shù)
。定理2(充分條件):如果函數(shù)續(xù),則函數(shù)在該點可微分。的偏導數(shù) 在點 連以上關(guān)于二元函數(shù)全微分的定義及可微分的必要條件和充分條件,可以完全類似地推廣到三元和三元以上的多元函數(shù)。習慣上將自變量的增量、分別記作、;并分別稱為自變量的微分,則函數(shù) 的全微分可表示為 分等于它的兩個偏微分之和
這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理。疊加原理也適用于二元以上的函數(shù)的情形。
三、多元復合函數(shù)的求導法則 ㈠復合函數(shù)的全導數(shù):如果函數(shù) 函數(shù) 在對應點
在點 可導,且
及
都在點 可導。通常將二元函數(shù)的全微具有連續(xù)偏導數(shù),則復合函數(shù) 其導數(shù)可用下列公式計算:。此定理可推廣到中間變量多余兩個的情況,例如,,則,其中 稱為全導數(shù)。上述定理還可推廣
到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情形。㈡復合函數(shù)的偏導數(shù) : 設 則
是
可微,函數(shù),對,并且,的復合函數(shù)。如果 的偏導數(shù)存在,則 復合函數(shù)
對 的偏導數(shù)存在,且
㈢全微分形式的不變性 : 設函數(shù) 則有全微分 果、又是,如 的函數(shù)、具有連續(xù)偏導數(shù),且這兩個函數(shù)也具有連續(xù)偏導數(shù),則復合 函數(shù) 的全微分為
由此可見,無論 是自變量、的函數(shù)或中間變量、的函數(shù),它的全微分形式是一樣的,這個性質(zhì)叫做全微分形式不變性。
四、隱函數(shù)的求導公式 ㈠、一個方程的情形 隱函數(shù)存在定理 1 :設函數(shù) 有連續(xù)的偏導數(shù),且,內(nèi)恒能
唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù),它滿,則方程
在點 的某一鄰域
在點 的某一鄰域內(nèi)具 足條件,并有
隱函數(shù)存在定理 2 :設函數(shù) 具有連續(xù)的偏導數(shù),且,一鄰域
內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù),它滿足條件,則方程
在點 的某
在點 的某一鄰域內(nèi),并有
㈡、方程組的情況 隱函數(shù)存在定理 3 :設 某一鄰域內(nèi)、在點 的具有對各個變量的連續(xù)偏導數(shù),又,且,偏導數(shù)所組成的函數(shù)行列式(或稱雅可比(Jacobi)行列式):
在點 點 不等于零,則方程組,在的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù),它們滿足條件,并有,,五、方向?qū)?shù)、梯度 ㈠、方向?qū)?shù) 1、定義:設函數(shù)
在點 的某一鄰域 內(nèi)有定義,自點 P 引射線。設軸正向到射線 的轉(zhuǎn)角為 , 并設
為 上的另一點,且
。我們考慮函數(shù)的增量 的比
與 和 兩點間的距離
值。當 沿著 趨于 時,如果這個比的極限存在,則稱這極限為函數(shù) 在點沿著方向的方向?qū)?shù),記作,即。、定理:如果函數(shù) 在點 是可微分的,那么函數(shù),在該點沿任一方向 的方向?qū)?shù)都存在,且有 其中 為 x 軸到方向 的轉(zhuǎn)角。上述定義也可推廣到三元函數(shù) 著方向(設方向 的方向角為,其中,它在空間一點
沿)的方向?qū)?shù)可以定義為,如果函數(shù)在所考慮的點處可微,則函數(shù)在該點沿著方向 的方向?qū)?shù)為
㈡、梯度、定義(二元函數(shù)的情形):設函數(shù) 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù),則對于每一點量,這個向量稱為函數(shù),即,在點
在平面區(qū)域 D,都可定出一個向的梯度,記作,由梯度的定義可知,梯度的模為: 當 不為零時,x 軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為 2、與方向?qū)?shù)的關(guān)系:如果設
是與方向 同方向的單位向量,則由方向?qū)?shù)的計算公式可知:
由此可知,就是梯度在 上的投影,當方向 與梯度的方向一致時,有,從而 有最大值。所以沿梯度方向的方向?qū)?shù)達最大值,也就是說,梯度的方向是函數(shù)
在該點增長最快的方向,因此,函數(shù)在某點的梯度的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為方向?qū)?shù)的最大值。※上述所講的梯度的概念也可推廣到三元函數(shù)的情況。設函數(shù) 續(xù)偏導數(shù),則對于每一點,這個向量稱為函數(shù)
六、多元函數(shù)的泰勒公式、極值和幾何應用 ㈠、二元函數(shù)的泰勒公式 定理:設 的連續(xù)偏導數(shù),在點 的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到
階
在空間區(qū)域 G 內(nèi)具有一階連,都可定出一個向量
在點 的梯度,即 為此鄰域內(nèi)任一點,則有
一般地,記號 表示
設,則上式可表示為
⑴,公式⑴稱為二元函數(shù)
在點的n階泰勒公式,而的表達式為拉格朗日型余項。在泰勒公式⑴中,如果取 公式,則⑴式成為 n 階麥克勞林
㈡、多元函數(shù)的極值 定理 1(必要條件):設函數(shù) 數(shù),且在點
在點(,)具有偏導(,)處有極值,則它在該點的偏導數(shù)必然為零:
定理 2(充分條件): 設函數(shù) 內(nèi)連續(xù)且
有一階及二階連續(xù)偏導數(shù),又)=A,(,)=B,(,)=C, 則 f(x,y)在(,)處是否取得極值的條件如下:,令
(,,在點(,)的某鄰域⑴ AC->0 時具有極值,且當 A<0 時有極大值,當 A>0 時有極小值;
⑵ AC-<0 時沒有極值;
⑶ AC-=0 時可能有極值,也可能沒有極值,還需另作討論。㈢、幾何應用、空間曲線的切線和法平面: ⑴設空間曲線 的參數(shù)方程為 在曲線上取相應于 的一點,這里假設 解析幾何中有,假設三個函數(shù)都可導,則曲線在點 M 處的切線方程為
均不為零。如果有個別為零,則應按空間關(guān)直線的對稱式方程來理解。切線的方向向量成為曲線的切向量。向量
就是曲線 在點 M 處的一個切向量。
⑵通過點 M 而與切線垂直的平面稱為曲線 在點 M 處的法平面,它是通過點
而與 T 為法向量的平面,因此方程為。
⑶若空間曲線 的方程以 為: 的形式給出 , 則切線方程,其中分母中帶下標 0 的行列式表示
行列式在點 的值;曲線在點
處的法平面方程為 的值;曲線在點 處的法平面方程為、曲面的切平面和法線 ⑴若曲面方程為 M 處的
切平面的方程為:
;,是曲面上一點,則曲面在點
法線方程為: ⑵若曲面方程為,則切平面方程為
或 ;而法線方程為
第五篇:多元函數(shù)的極限與連續(xù)習題
多元函數(shù)的極限與連續(xù)習題
1.用極限定義證明:lim(3x?2y)?14。x?2y?1
2.討論下列函數(shù)在(0,0)處的兩個累次極限,并討論在該點處的二重極限的存在性。
(1)f(x,y)?x?y; x?y
(2)f(x,y)?(x?y)sisi; 1
x1y
x3?y3
(3)f(x,y)?2; x?y
1(4)f(x,y)?ysi。x
3.求極限(1)lim(x?y)x?0y?022x2y2;
(2)limx2?y2
?x?y?122x?0y?0;
(3)lim(x?y)sinx?0y?01; 22x?y
sin(x2?y2)(4)lim。22x?0x?yy?0
ln(1?xy)??4.試證明函數(shù)f(x,y)??x?y?
x?0x?0在其定義域上是連續(xù)的。
1.用極限定義證明:lim(3x?2y)?14。
x?2y?1
因為x?2,y?1,不妨設|x?2|?0,|y?1|?0,有|x?2|?|x?2?4|?|x?2|?4?5,|3x?2y?14|?|3x?12?2y?2|
?3|x?2||x?2|?2|y?1|?15|x?2|?2|y?1|?15[|x?2|?|y?1|]
???0,要使不等式
|3x?2y?14|?15[|x?2|?|y?1|]??成立 取??min{
?
30,1},于是
???0,???min{
?
30,1}?0,?(x,y):|x?2|??,|y?1|??
且(x,y)?(2,1),有|3x?2y?14|??,即證。
2.討論下列函數(shù)在(0,0)處的兩個累次極限,并討論在該點處的二重極限的存在性。(1)f(x,y)?
x?y
; x?y
x?yx?y
limli??1,limlim?1
y?0x?0x?yx?0y?0x?y
二重極限不存在。
x?yx?y1
或lim?0,li??。
x?0x?yx?0x?y3
y?x
y?2x
(2)f(x,y)?(x?y)sin
11sin; xy
0?|(x?y)sinsin|?|x|?|y|
xy
可以證明lim(|x|?|y|)?0所以limf(x,y)?0。
x?0y?0
x?0y?0
當x?
111,y?0時,f(x,y)?(x?y)sinsin極限不存在,k?xy
因此limlim(x?y)sisi不存在,x?0y?0xy
lim(x?y)sisi不存在。同理lim
y?0x?0
x1y
x3?y3
(3)f(x,y)?2;
x?y
2x3
limf(x,y)?lim?0,x?0x?0x?x
y?x
當 P(x, y)沿著y??x?x趨于(0,0)時有
y??x?x
x3?(x3?x2)3limf(x,y)?li2?1,x?0x?0x?x3?x223
x?0y?0
所以 limf(x,y)不存在;
limlimf(x,y)?0,limlimf(x,y)?0。
x?0y?0
y?0x?0
(4)f(x,y)?ysinx
0?|ysin|?|y|
x
∴l(xiāng)imf(x,y)?0,x?0y?0
limlimysi?0,limlimysi不存在。x?0y?0y?0x?0xx
3.求極限(1)lim(x?y)
x?0
y?0
2x2y2;
(x2?y2)2
0?|xyln(x?y)|?|ln(x2?y2)|,22
(x2?y2)2t
ln(x2?y2)?limlnt?0,又 lim
x?0t?0?44
y?0
∴l(xiāng)im(x?y)
x?0
y?0
2x2y2
?e
limx2y2ln(x2?y2)(x,y)?(0,0)
?1。
(2)lim
x2?y2?x?y?1
x?0y?0;
(x2?y2)(?x2?y2?1)?lim?2。lim2222x?0?01?x?y?1?x?y?1x
y?0y?0
x2?y2
(3)lim(x?y)sin
x?0y?0
;22
x?y
|?|x?y|,|(x?y)sin2
x?y
而lim(x?y)?0
x?0
y?0
故lim(x?y)si2?0。2x?0x?yy?0
sin(x2?y2)
(4)lim。22x?0x?yy?0
令x?rcos?,y?rsin?,(x,y)?(0,0)時,r?0,sin(x2?y2)sinr2
lim?lim2?1。22x?0r?0rx?yy?0
ln(1?xy)??
4.試證明函數(shù)f(x,y)??x
?y?
x?0x?0
在其定義域上是連續(xù)的。
證明:顯然f(x, y)的定義域是xy>-1.當x?0時,f(x, y)是連續(xù)的,只需證明其作為二元函數(shù)在y軸的每一點上連續(xù)。以下分兩種情況討論。(1)在原點(0,0)處
f(0, 0)=0,當x?0時
0ln(1?xy)??1f(x,y)???
xyx??yln(1?xy)
由于limln1(?xy)
x?0
y?0
1xy
y?0,y?0
?1
1xy
不妨設|ln1(?xy)從而???0,取??
xy
?1|?1,|ln1(?xy)|?2,當0?|x|??,0?|y|??時,?
ln(1?xy)
?0|?|yln(1?xy)xy||
x
?|y||ln(1?xy)|?2|y|??,于是,無論x?0,x?0,當|x|??,|y|??時,都有l(wèi)imf(x,y)?0?f(0,0)
x?0y?0
1xy
(2)在(0,)處。(?0)
xy
當x?0時,|f(x,y)?f(0,)|?|yln(1?xy)
1xy
?|
1(?xy)?|y(ln?1)?(y?)| ?1|?|y?|
?|y||ln(1?xy)
xy
當x=0時,|f(x,y)?f(0,)|?|y?|,1xy
注意到,當?0時limln1(?xy)
x?0
y??1,于是,無論x?0,x?0,當?0時lim|f(x,y)?f(0,)|?0,x?0y?即 f(x, y)在在(0,)處連續(xù),綜上,f(x, y)在其定義域上連續(xù)。