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      多元函數(shù)的極限

      時間:2019-05-14 16:08:36下載本文作者:會員上傳
      簡介:寫寫幫文庫小編為你整理了多篇相關(guān)的《多元函數(shù)的極限》,但愿對你工作學習有幫助,當然你在寫寫幫文庫還可以找到更多《多元函數(shù)的極限》。

      第一篇:多元函數(shù)的極限

      三. 多元函數(shù)的極限

      回憶一元函數(shù)極限的定義:

      limf(x)?A?設是定義域Df的聚點。x?x0x00對???0,總???0,?x?U(x0,?)Df時,都有f(x)?A??成立。

      定義1 設二元函數(shù)f(P)?f(x,y)的定義域為Df,P(x0,y0)是Df的聚點。如果

      0Df時,都有存在常數(shù)A,對???0,總???0,?P(x,y)?U(P0(x0,y0),?)f(x,y)?A??成立,那么稱A為P(x,y)趨于P0(x0,y0)時,函數(shù)f(x,y)的極限,lifmP?(A)記作P或者?P0(x,y)?(x0,y0)limf(P)?A或者xl?xi0fmP?(A)或者

      y?y0f(x,?y)A,(P?(x(x0,y0)。0P,y))Df趨于P0; 注:1.P(x,y)?P0(x0,y0)是指點P沿著任意路徑在2.為了區(qū)別一元函數(shù)的極限,把二元函數(shù)的極限也稱之為二重極限;

      3.二元及其多元函數(shù)的極限的四則運算法則與一元函數(shù)一致。

      22例1 設f(x,y)?(x?y)sin1limf(x,y)?0。22,求證x?x0y?y0x?y2證明 顯然函數(shù)f(x,y)的定義域為Df?R{(0,0)},(0,0)是Df的聚點。因為

      (x2?y2)sin只須112222?0?x?y(x?y)sin?0??,???0,所以對,要使2222x?yx?yx2?y2??成立即可。也就是說,對???0,總?????0,22?P(x,y)?U0(O(0,0),?)時,總有(x?y)sin1?0??成立,故

      x2?y2x?x0y?y0lim(x2?y2)sin1?0。22x?ysin(x2y)?? 例2 求極限limx?0x2?y2y?0提示:四則運算,并考慮重要極限和基本不等式。x3y例3 證明函數(shù)lim不存在? x?0x6?y2y?0提示:設y?kx3。學生練習1.求極限limsin(xy)??

      x?0xy?2?xy,x2?y2?0?2limf(x,y)2學生練習2.證明函數(shù)f(x,y)??x?y的極限x?0不存在?

      y?0?0,x2?y2?0? 四.多元函數(shù)的連續(xù)連

      回憶一元函數(shù)連續(xù)的定義:

      limf(x)?f(x0)。f(x)在點x0處連續(xù)?x?x0Df的聚點,且定義2 設二元函數(shù)f(P)?f(x,y)的定義域為Df,P0(x0,y0)是limf(x,y)?f(x0,y0)P?Dx?x0。如果,那么稱函數(shù)f(x,y)在點P 0f0(x0,y0)處連續(xù)。y?y0定義3 設二元函數(shù)z?f(x,y)的定義域為Df,且Df內(nèi)每一點都是聚點。如果函數(shù)z?f(x,y)在Df內(nèi)的沒一點處都連續(xù),那么稱z?f(x,y)在Df上聯(lián)系或者稱z?f(x,y)為Df上的連續(xù)函數(shù)。

      注:1.定義2和定義3可以推廣至n元函數(shù)的情形。

      例1 設f(x,y)?sinx,證明函數(shù)f(x,y)是R2上的連續(xù)函數(shù)?

      limf(x,y)?sinx02x?x0(x,y)?R分析:對P,證明(???語言)。000y?y0證明

      Df的聚點,P定義4.設二元函數(shù)z?f(x,y)的定義域為Df,且P0?Df。0(x0,y0)是如果函數(shù)f(x,y)在點P則稱點P0(x0,y0)處不連續(xù),0(x0,y0)為函數(shù)z?f(x,y)的間斷點。

      ?xy,x2?y2?0?22例2 函數(shù)f(x,y)??x?y在點O(0,0)的連續(xù)性?

      ?0,x2?y2?0?解:點O(0,0)雖為定義域R2的聚點,但由于f(x,y)在點O(0,0)無極限,故函數(shù)f(x,y)在點O(0,0)間斷。

      例3 函數(shù)f(x,y)?sin122的定義域為Df?{(x,y)x?y?1},但22x?y?1C?{(x,y)x2?y2?1}上的點為Df的聚點,又由于f(x,y)在C上沒有定義。故C上的點是f(x,y)的間斷點。

      1.函數(shù)極限存在;??2.有定義; 連續(xù)??

      ?3.極限等于該點的函數(shù)值;?

      多元函數(shù)的連續(xù)性的性質(zhì)與一元函數(shù)一致:

      1.多元連續(xù)函數(shù)的和差積商仍為其定義域上的連續(xù)函數(shù); 2.多元連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零的點處任連續(xù); 3.多元連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)是連續(xù)函數(shù);

      4.多元初等函數(shù)是其定義區(qū)域內(nèi)的連續(xù)函數(shù)(定義區(qū)域:半酣定義域的區(qū)域或者閉區(qū)域)。

      可以利用多元初等函數(shù)的連續(xù)性求極限。例4 limx?y??

      x?1xyy?2,2)?Df是內(nèi)點,因此存在U(P分析:Df?{(x,y)x?0且y?0},P0(10;?)?Df是x?y3?f(1,2)?。Df內(nèi)的區(qū)域,因此limx?1xy2y?2一般地,若f(x,y)是初等函數(shù),且P0(x0,y0)是f(P)的定義域的內(nèi)點,則x?x0y?y0limf(x,y)?f(x0,y0)。

      與閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)的最值定理類似,有

      性質(zhì)1 定義在有界閉區(qū)域D上多元連續(xù)函數(shù)必取得最大值和最小值。性質(zhì)2(介值定理)有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間 的任何一個值。

      性質(zhì)3 有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)必一致連續(xù)。

      第二篇:多元函數(shù)的極限與連續(xù)

      數(shù)學分析

      第16章

      多元函數(shù)的極限與連續(xù)

      計劃課時:

      0 時

      第16章

      多元函數(shù)的極限與連續(xù)(1 0 時)

      § 1

      平面點集與多元函數(shù)

      一.平面點集:平面點集的表示: E?{(x,y)|(x,y)滿足的條件}.余集Ec.1.常見平面點集:

      全平面和半平面 : {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?a},{(x,y)|y?ax?b}等.⑵ 矩形域: [a,b]?[c,d], {(x,y)|x|?|y|?1}.⑶ 圓域: 開圓 , 閉圓 , 圓環(huán),圓的一部分.極坐標表示, 特別是 {(r,?)|r?2acos?}和{(r,?)|r?2asin?}.⑷ 角域: {(r,?)|?????}.⑸ 簡單域: X?型域和Y?型域.2.鄰域: 圓鄰域和方鄰域,圓鄰域內(nèi)有方鄰域,方鄰域內(nèi)有圓鄰域.空心鄰域和實心鄰域 , 空心方鄰域與集

      {(x,y)|0?|x?x0|?? , 0?|y?y0|??}的區(qū)別.3. 點與點集的關(guān)系(集拓撲的基本概念):

      (1)內(nèi)點、外點和界點:

      內(nèi)點:存在U(A)使U(A)?E

      集合E的全體內(nèi)點集表示為intE,.外點:存在U(A)使U(A)?E??

      界點:A的任何鄰域內(nèi)既有E的點也有不屬于E的點。E的邊界表示為?E

      集合的內(nèi)點?E, 外點?E , 界點不定.例1 確定集E?{(x,y)|0?(x?1)?(y?2)?1 }的內(nèi)點、外點集和邊界.例2 E?{(x,y)|0?y?D(x), x?[ 0 , 1 ] } , D(x)為Dirichlet函數(shù).確定集E的內(nèi)點、外點和界點集.(2)(以凝聚程度分為)聚點和孤立點:

      聚點:A的任何鄰域內(nèi)必有屬于E的點。

      孤立點:A?E但不是聚點。孤立點必為界點.例3 E?{(x,y)|y?sin }.確定集E的聚點集.解

      E的聚點集?E?[ ?1 , 1 ].221x 2 4.區(qū)域:

      (1)(以包含不包含邊界分為)開集和閉集: intE ?E時稱E為開集 , E的聚點集?E時稱E為閉集.intE 存在非開非閉集.(3)有界集與無界集:

      (4)

      點集的直徑d(E): 兩點的距離?(P1 , P2).(5)

      三角不等式:

      |x1?x2|(或|y1?y2|)?或?(P1,P2)?R2和空集?為既開又閉集.(2)(以連通性分為)開區(qū)域、閉區(qū)域、區(qū)域:以上常見平面點集均為區(qū)域.(x1?x2)2?(y1?y2)2? |x1?x2|?|y1?y2|.?(P1,P3)??(P2,P3)

      二.R2中的完備性定理:

      1. 點列的極限:

      設Pn?(xn , yn)?R2, P0?(x0 , y0)?R2.Pn?P0的定義(用鄰域語言)

      定義1。

      limn?????0,?N,n?NPn?U(P0,?)或?(P0,Pn)??

      例4(xn , yn)?(x0 , y0)?xn?x0, yn?y0,(n??).例5 設P0為點集E的一個聚點.則存在E中的點列{ Pn }, 使limPn?P0.n??

      2.R2中的完備性定理:

      (1)Cauchy收斂準則:

      .(2).閉域套定理:(3).聚點原理: 列緊性 ,Weierstrass聚點原理.(4)有限復蓋定理:

      三.二元函數(shù):

      1.二元函數(shù)的定義、記法、圖象:

      2.定義域: 例6 求定義域:

      ⅰ> f(x,y)?3.二元函數(shù)求值: 例7 例8 9?x2?y2x2?y2?1;ⅱ> f(x,y)?lny.2ln(y?x?1)yf(x,y)?2x?3y2, 求 f(1 , ?1), f(1 ,).xf(x,y)?ln(1?x2?y2), 求f(?cos? , ?sin?).4.三種特殊函數(shù): ⑴ 變量對稱函數(shù): f(x,y)?f(y,x),例8中的函數(shù)變量對稱.⑵ 變量分離型函數(shù): f(x,y)??(x)?(y).例如

      z?xye2x?3y, z?xy?2x?y?2, f(x,y)?(xy?y)(xy?x)等.(xy)2 4 但函數(shù)z?x?y不是變量分離型函數(shù).⑶ 具有奇、偶性的函數(shù)

      四.n元函數(shù)

      二元函數(shù) 推廣維空間 記作R n

      作業(yè) P9—8.§ 2 二元函數(shù)的極限

      一.二重極限

      二重極限亦稱為全面極限

      1.二重極限

      定義1 設f為定義在D?R上的二元函數(shù),P0為D的一個聚點,A是確定數(shù) 若 ???0,???0,或

      2P?U0(P0,?)?D,f(P)?A??則limf(P)?A

      P?P0(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A

      例1 用“???”定義驗證極限

      (x,y)?(2,1)lim(x2?xy?y2)?7.xy2?0.例2 用“???”定義驗證極限 lim2x?0x?y2y?0例3 ?x2?y2,(x,y)?(0,0),?xyf(x,y)??x2?y2

      ?0 ,(x,y)?(0,0).?f(x,y)?0.(用極坐標變換)

      P94 E2.證明

      (x,y)?(0,0)lim2.歸結(jié)原則:

      定理 1

      limf(P)?A, ?

      對D的每一個子集E , 只要點P0是E的聚點 , P?P0P?D就有l(wèi)imf(P)?A.P?P0P?E

      推論1

      設E1?D, P0是E1的聚點.若極限limf(P)不存在 , 則極限limf(P)也不存在.P?P0P?E1P?P0P?D

      推論2

      設E1,E2?D, P0是E1和E2的聚點.若存在極限limf(P)?A1,P?P0P?E1P?P0P?E2limf(P)?A2, 但A1?A2, 則極限limf(P)不存在.P?P0P?DP?P0P?D

      推論3

      極限limf(P)存在, ? 對D內(nèi)任一點列{ Pn }, Pn?P0但Pn?P0, 數(shù)列{f(Pn)}收斂.通常為證明極限limf(P)不存在, 可證明沿某個方向的極限不存在 , 或證明沿某兩個方向的極限P?P0不相等, 或證明極限與方向有關(guān).但應注意 , 沿任何方向的極限存在且相等 ?? 全面極限存在

      例4 ?xy ,(x,y)?(0,0),? 證明極限limf(x,y)不存在.f(x,y)??x2?y2(x,y)?(0,0)?0 ,(x,y)?(0,0).?6 例二重極限具有與一元函數(shù)極限類似的運算性質(zhì).例6 求下列極限: ⅰ>

      (x,y)?(0,0)limsinxyx2ylim;ⅱ>;(x,y)?(3,0)yx2?y2 ⅲ>

      3.極限(x,y)?(0,0)limxy?1?1ln(1?x2?y2);ⅳ> lim.22(x,y)?(0,0)xyx?y(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)???的定義:

      2定義2.設f為定義在D?R上的二元函數(shù),P0為D的一個聚點,若 ?M?0,???0,或

      P?U0(P0,?)?D,f(P)?M則limf(P)???

      P?P0(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)???

      其他類型的非正常極限,(x,y)?無窮遠點的情況.例7 驗證(x,y)?(0,0)lim1???.222x?3y二.累次極限

      二次極限

      1.累次極限的定義:

      定義3.設Ex,Ey?R,x0,y0分別是Ex,Ey的聚點,二元函數(shù)f在集合Ex?Ey上有定義。若對每一個y?Eyy?y0存在極限limf(x,y)

      記作?(y)?limf(x,y)

      x?x0x?Ex?x0x?E若L?lim?(y)存在,則稱此極限為二元函數(shù)f先對x后對y的累次極限

      y?y0y?Ey記作L?limlim?(y)

      簡記L?limlim?(y)

      y?y0x?x0y?Eyx?Exy?y0x?x0例8 f(x,y)?xy, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限.x2?y2 7 例9 x2?y2, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限.f(x,y)?22x?y11?ysin, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限.yx例10 f(x,y)?xsin2.二重極限與累次極限的關(guān)系:

      ⑴ 兩個累次極限存在時, 可以不相等.(例9)⑵ 兩個累次極限中的一個存在時, 另一個可以不存在.例如函數(shù)f(x,y)?xsin1在點(0 , 0)的情況.y

      ⑶ 二重極限存在時, 兩個累次極限可以不存在.例如例10中的函數(shù), 由 , y)?(0,0).可見全面極限存在 , 但兩個累次極限均不存在.|f(x,y)| ? |x|?|y|?0 ,(x

      ⑷ 兩個累次極限存在(甚至相等)??

      二重極限存在.(參閱例4和例8).綜上 , 二重極限、兩個累次極限三者的存在性彼此沒有關(guān)系.但有以下確定關(guān)系.定理2 若二重極限

      推論1 二重極限和兩個累次極限三者都存在時 , 三者相等.推論1給出了累次極限次序可換的一個充分條件.推論2 兩個累次極限存在但不相等時 , 二重極限不存在.但兩個累次極限中一個存在 , 另一個不存在 ??

      二重極限不存在.參閱⑵的例.(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在 , 則必相等.x?x0y?y0

      作業(yè)提示: P99 1、2、4

      § 3 二元函數(shù)的連續(xù)性(4 時)

      一. 二元函數(shù)的連續(xù)(相對連續(xù))概念:由一元函數(shù)連續(xù)概念引入.1.連續(xù)的定義:

      定義

      用鄰域語言定義相對連續(xù).全面連續(xù).函數(shù)f(x,y)有定義的孤立點必為連續(xù)點.例1 ?xy22 , x?y?0 ,22??x?y

      f(x,y)???m , x2?y2?0.??1?m2證明函數(shù)f(x,y)在點(0 , 0)沿方向y?mx連續(xù).?1 , 0?y?x2, ???x??? ,例2

      f(x,y)??

      ([1]P124 E4)0 , 其他.?證明函數(shù)f(x,y)在點(0 , 0)沿任何方向都連續(xù) , 但并不全面連續(xù).函數(shù)的增量: 全增量、偏增量.用增量定義連續(xù)性.函數(shù)在區(qū)域上的連續(xù)性.2.二元連續(xù)(即全面連續(xù))和單元連續(xù) :

      定義

      (單元連續(xù))

      二元連續(xù)與單元連續(xù)的關(guān)系: 參閱[1]P132 圖16—9.3.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì): 運算性質(zhì)、局部有界性、局部保號性、復合函數(shù)連續(xù)性.僅證復合函數(shù)連續(xù)性.二.二元初等函數(shù)及其連續(xù)性:

      二元初等函數(shù) , 二元初等函數(shù)的連續(xù)性.三.一致連續(xù)性: 定義.四.有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):

      1.有界性與最值性.(證)

      2.一致連續(xù)性.(證)

      3.介值性與零點定理.(證)

      Ex

      [1]P136—137 1 ⑴—⑸,2,4,5;

      P137—138

      1,4.10

      第三篇:多元函數(shù)的極限與連續(xù)

      多元函數(shù)的極限

      1.求下列極限:

      x2y111)lim(4x?3y);

      2)lim(x?y)sinsin;

      3)lim2.2x?0x?2x?0x?yxyy?0y?1y?02

      2.證明:若f(x,y)?

      x?y,(x?y?0),求 lim?limf(x,y)?與lim?limf(x,y)?.?x?0???y?0?y?0?x?0x?yx4y43.設函數(shù)f(x,y)?4,證明:當點(x,y)沿通過原點的任意直線(y?mx)趨于(0,0)時,函數(shù)f(x,y)23(x?y)存在極限,且極限相等.但是,此函數(shù)在原點不存在極限.x2?y22D?(x,y)y?x4.若將函數(shù)f(x,y)?2限制在區(qū)域,則函數(shù)f(x,y)在原點(0,0)存在極限.2x?y??

      5.求下列極限: 1)lim

      3)lim(x?y)In(x?y);

      4)limx?0y?022x?ysinxy;

      2); limx?1x2?xy?y2x?0xy?2y?4(1?4x2)(1?6y2)?12x2?3y2x?0y?0.

      第四篇:一、多元函數(shù)、極限與連續(xù)解讀

      一、多元函數(shù)、極限與連續(xù) ㈠二元函數(shù) .二元函數(shù)的定義:設 D 是平面上的一個點集,如果對于每個點 P(x,y)∈ D,變量 按照

      一定法則總有確定的值與它對應,則稱 是變量 x、y 的二元函數(shù)(或點 P 的函數(shù)),記為

      (或),點集 D 為該函數(shù)的定義域,x、y 為自

      為該函數(shù)值域。由此變量,為因變量,數(shù)集也可定義三元函數(shù)以及三元以上的函數(shù)。二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面。例如 面。

      ㈡二元函數(shù)的極限

      ⒈設函數(shù) f(x,y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D 內(nèi)有定義,是 D 的內(nèi)點或邊界點,如果對于任意給定的正數(shù),總存在正數(shù),使得對于適合不等式,都有 的一切點

      是球心在原點,半徑為 1 的上半球

      成立,則稱常數(shù) A 為函數(shù)f(x,y)當

      或 , 這里 時的極限,記作

      。為了區(qū)別一元函數(shù)的極限,我們把二元函數(shù)的極限叫做二重極限。⒉注意:二重極限存在是指 都無限接近A。因此,如果條定直線或定曲線趨于

      沿任意路徑趨于,函數(shù)

      沿某一特殊路徑,例如沿著一時,即使函數(shù)無限接近于某一確定值,我們也不能由此判定函數(shù)的極限存在。

      ㈢多元函數(shù)的連續(xù)性 .定義:設函數(shù) f(x,y)在開區(qū)間(或閉區(qū)間)D 內(nèi)有定義,是 D 的內(nèi)點或邊界點且

      。如果

      連續(xù)。如果函,則稱函數(shù) f(x,y)在點

      數(shù) f(x,y)在開區(qū)間(或閉區(qū)間)D 內(nèi)的每一點連續(xù),那么就稱函數(shù) f(x,y)在 D 內(nèi)連續(xù),或者稱 f(x,y)是 D 內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。2 .性質(zhì)

      ⑴一切多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的;

      ⑵在有界閉區(qū)域 D 上的多元連續(xù)函數(shù),在 D 上一定有最大值和最小值;

      ⑶在有界閉區(qū)域 D 上的多元連續(xù)函數(shù),如果在 D 上取兩個不同的函數(shù)值,則它在 D 上取得介于這兩 個值之間的任何值至少一次;

      ⑷在有界閉區(qū)域 D 上的多元連續(xù)函數(shù)必定在 D 上一致連續(xù)。

      二、偏導數(shù)和全微分 ㈠偏導數(shù)

      ⒈偏導數(shù)定義:設函數(shù)

      在點 的某一鄰域內(nèi)有定義,時,相應地函數(shù)有增量

      存在,則稱此極限為

      處對 的偏導數(shù),記作,當 固定 在而 在處有增量,如果函數(shù)

      或 類似,函數(shù) 在點

      在點

      處對 的偏導數(shù)定義為,記作

      際中求,或。在實的偏導數(shù),并不需要用新的方法,因為這里只有一個自變量在變動,另一個自變量是看作固定的,所以求 時只要將暫時看作常量而對 求導數(shù);求 時,則只要將 暫時看作常量而對 求導數(shù)。偏導數(shù)可以推廣到二元以上的函數(shù) 注意:對于一元函數(shù)來說 可以看作函數(shù)的微分 分 之商,而偏導數(shù)的記

      與自變量微號是一個整體符號,不能看作分母與分子之商。⒉偏導數(shù)的幾何意義:設 過 做平面,截此曲面得一曲線,此曲線在平面,則導數(shù)

      上的方程為

      為曲面

      上的一點,即偏導數(shù)

      對 軸的 斜率。同樣,偏導數(shù) 截得的曲線在點 的切線

      處,就是這曲線在點 處的切線 的幾何意義是曲面被平面 所對 軸的斜率。

      在區(qū)域 D 內(nèi)具有偏導數(shù),都是,⒊高階偏導數(shù):設函數(shù),那么在 D 內(nèi) 的函數(shù),如果這兩個函數(shù)的偏導數(shù)也存在,則稱它們是函數(shù) 的二階偏導數(shù)。按照對變量求導次序的不同有以下四個二階偏導數(shù): ,。二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù)。

      定理:如果函數(shù) 的兩個二階混合偏導數(shù) 及 在區(qū)域 D 內(nèi)連續(xù),那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導數(shù)必相等。(即二階混合偏導數(shù)在連續(xù)的條件下與求導的次序無關(guān)。)㈡全微分

      ⒈全微分定義:如果函數(shù)

      可表示為

      賴于、而僅與、有關(guān),在點

      可微分,而

      在點 的全增量,其中 A、B 不依,則稱函數(shù)

      為函數(shù)

      在點 的全微分,記作,即。如果函數(shù)在區(qū)域 D 內(nèi)各點都可微分,那么稱這函數(shù)在 D 內(nèi)可微分。定理 1(必要條件):如果函數(shù) 函數(shù)在點 的偏導數(shù)

      在點 的全微分為 在點

      可微分,則該必定存在,且函數(shù)

      。定理2(充分條件):如果函數(shù)續(xù),則函數(shù)在該點可微分。的偏導數(shù) 在點 連以上關(guān)于二元函數(shù)全微分的定義及可微分的必要條件和充分條件,可以完全類似地推廣到三元和三元以上的多元函數(shù)。習慣上將自變量的增量、分別記作、;并分別稱為自變量的微分,則函數(shù) 的全微分可表示為 分等于它的兩個偏微分之和

      這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理。疊加原理也適用于二元以上的函數(shù)的情形。

      三、多元復合函數(shù)的求導法則 ㈠復合函數(shù)的全導數(shù):如果函數(shù) 函數(shù) 在對應點

      在點 可導,且

      都在點 可導。通常將二元函數(shù)的全微具有連續(xù)偏導數(shù),則復合函數(shù) 其導數(shù)可用下列公式計算:。此定理可推廣到中間變量多余兩個的情況,例如,,則,其中 稱為全導數(shù)。上述定理還可推廣

      到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情形。㈡復合函數(shù)的偏導數(shù) : 設 則

      可微,函數(shù),對,并且,的復合函數(shù)。如果 的偏導數(shù)存在,則 復合函數(shù)

      對 的偏導數(shù)存在,且

      ㈢全微分形式的不變性 : 設函數(shù) 則有全微分 果、又是,如 的函數(shù)、具有連續(xù)偏導數(shù),且這兩個函數(shù)也具有連續(xù)偏導數(shù),則復合 函數(shù) 的全微分為

      由此可見,無論 是自變量、的函數(shù)或中間變量、的函數(shù),它的全微分形式是一樣的,這個性質(zhì)叫做全微分形式不變性。

      四、隱函數(shù)的求導公式 ㈠、一個方程的情形 隱函數(shù)存在定理 1 :設函數(shù) 有連續(xù)的偏導數(shù),且,內(nèi)恒能

      唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù),它滿,則方程

      在點 的某一鄰域

      在點 的某一鄰域內(nèi)具 足條件,并有

      隱函數(shù)存在定理 2 :設函數(shù) 具有連續(xù)的偏導數(shù),且,一鄰域

      內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù),它滿足條件,則方程

      在點 的某

      在點 的某一鄰域內(nèi),并有

      ㈡、方程組的情況 隱函數(shù)存在定理 3 :設 某一鄰域內(nèi)、在點 的具有對各個變量的連續(xù)偏導數(shù),又,且,偏導數(shù)所組成的函數(shù)行列式(或稱雅可比(Jacobi)行列式):

      在點 點 不等于零,則方程組,在的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù),它們滿足條件,并有,,五、方向?qū)?shù)、梯度 ㈠、方向?qū)?shù) 1、定義:設函數(shù)

      在點 的某一鄰域 內(nèi)有定義,自點 P 引射線。設軸正向到射線 的轉(zhuǎn)角為 , 并設

      為 上的另一點,且

      。我們考慮函數(shù)的增量 的比

      與 和 兩點間的距離

      值。當 沿著 趨于 時,如果這個比的極限存在,則稱這極限為函數(shù) 在點沿著方向的方向?qū)?shù),記作,即。、定理:如果函數(shù) 在點 是可微分的,那么函數(shù),在該點沿任一方向 的方向?qū)?shù)都存在,且有 其中 為 x 軸到方向 的轉(zhuǎn)角。上述定義也可推廣到三元函數(shù) 著方向(設方向 的方向角為,其中,它在空間一點

      沿)的方向?qū)?shù)可以定義為,如果函數(shù)在所考慮的點處可微,則函數(shù)在該點沿著方向 的方向?qū)?shù)為

      ㈡、梯度、定義(二元函數(shù)的情形):設函數(shù) 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù),則對于每一點量,這個向量稱為函數(shù),即,在點

      在平面區(qū)域 D,都可定出一個向的梯度,記作,由梯度的定義可知,梯度的模為: 當 不為零時,x 軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為 2、與方向?qū)?shù)的關(guān)系:如果設

      是與方向 同方向的單位向量,則由方向?qū)?shù)的計算公式可知:

      由此可知,就是梯度在 上的投影,當方向 與梯度的方向一致時,有,從而 有最大值。所以沿梯度方向的方向?qū)?shù)達最大值,也就是說,梯度的方向是函數(shù)

      在該點增長最快的方向,因此,函數(shù)在某點的梯度的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為方向?qū)?shù)的最大值。※上述所講的梯度的概念也可推廣到三元函數(shù)的情況。設函數(shù) 續(xù)偏導數(shù),則對于每一點,這個向量稱為函數(shù)

      六、多元函數(shù)的泰勒公式、極值和幾何應用 ㈠、二元函數(shù)的泰勒公式 定理:設 的連續(xù)偏導數(shù),在點 的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到

      在空間區(qū)域 G 內(nèi)具有一階連,都可定出一個向量

      在點 的梯度,即 為此鄰域內(nèi)任一點,則有

      一般地,記號 表示

      設,則上式可表示為

      ⑴,公式⑴稱為二元函數(shù)

      在點的n階泰勒公式,而的表達式為拉格朗日型余項。在泰勒公式⑴中,如果取 公式,則⑴式成為 n 階麥克勞林

      ㈡、多元函數(shù)的極值 定理 1(必要條件):設函數(shù) 數(shù),且在點

      在點(,)具有偏導(,)處有極值,則它在該點的偏導數(shù)必然為零:

      定理 2(充分條件): 設函數(shù) 內(nèi)連續(xù)且

      有一階及二階連續(xù)偏導數(shù),又)=A,(,)=B,(,)=C, 則 f(x,y)在(,)處是否取得極值的條件如下:,令

      (,,在點(,)的某鄰域⑴ AC->0 時具有極值,且當 A<0 時有極大值,當 A>0 時有極小值;

      ⑵ AC-<0 時沒有極值;

      ⑶ AC-=0 時可能有極值,也可能沒有極值,還需另作討論。㈢、幾何應用、空間曲線的切線和法平面: ⑴設空間曲線 的參數(shù)方程為 在曲線上取相應于 的一點,這里假設 解析幾何中有,假設三個函數(shù)都可導,則曲線在點 M 處的切線方程為

      均不為零。如果有個別為零,則應按空間關(guān)直線的對稱式方程來理解。切線的方向向量成為曲線的切向量。向量

      就是曲線 在點 M 處的一個切向量。

      ⑵通過點 M 而與切線垂直的平面稱為曲線 在點 M 處的法平面,它是通過點

      而與 T 為法向量的平面,因此方程為。

      ⑶若空間曲線 的方程以 為: 的形式給出 , 則切線方程,其中分母中帶下標 0 的行列式表示

      行列式在點 的值;曲線在點

      處的法平面方程為 的值;曲線在點 處的法平面方程為、曲面的切平面和法線 ⑴若曲面方程為 M 處的

      切平面的方程為:

      ;,是曲面上一點,則曲面在點

      法線方程為: ⑵若曲面方程為,則切平面方程為

      或 ;而法線方程為

      第五篇:多元函數(shù)的極限與連續(xù)習題

      多元函數(shù)的極限與連續(xù)習題

      1.用極限定義證明:lim(3x?2y)?14。x?2y?1

      2.討論下列函數(shù)在(0,0)處的兩個累次極限,并討論在該點處的二重極限的存在性。

      (1)f(x,y)?x?y; x?y

      (2)f(x,y)?(x?y)sisi; 1

      x1y

      x3?y3

      (3)f(x,y)?2; x?y

      1(4)f(x,y)?ysi。x

      3.求極限(1)lim(x?y)x?0y?022x2y2;

      (2)limx2?y2

      ?x?y?122x?0y?0;

      (3)lim(x?y)sinx?0y?01; 22x?y

      sin(x2?y2)(4)lim。22x?0x?yy?0

      ln(1?xy)??4.試證明函數(shù)f(x,y)??x?y?

      x?0x?0在其定義域上是連續(xù)的。

      1.用極限定義證明:lim(3x?2y)?14。

      x?2y?1

      因為x?2,y?1,不妨設|x?2|?0,|y?1|?0,有|x?2|?|x?2?4|?|x?2|?4?5,|3x?2y?14|?|3x?12?2y?2|

      ?3|x?2||x?2|?2|y?1|?15|x?2|?2|y?1|?15[|x?2|?|y?1|]

      ???0,要使不等式

      |3x?2y?14|?15[|x?2|?|y?1|]??成立 取??min{

      ?

      30,1},于是

      ???0,???min{

      ?

      30,1}?0,?(x,y):|x?2|??,|y?1|??

      且(x,y)?(2,1),有|3x?2y?14|??,即證。

      2.討論下列函數(shù)在(0,0)處的兩個累次極限,并討論在該點處的二重極限的存在性。(1)f(x,y)?

      x?y

      ; x?y

      x?yx?y

      limli??1,limlim?1

      y?0x?0x?yx?0y?0x?y

      二重極限不存在。

      x?yx?y1

      或lim?0,li??。

      x?0x?yx?0x?y3

      y?x

      y?2x

      (2)f(x,y)?(x?y)sin

      11sin; xy

      0?|(x?y)sinsin|?|x|?|y|

      xy

      可以證明lim(|x|?|y|)?0所以limf(x,y)?0。

      x?0y?0

      x?0y?0

      當x?

      111,y?0時,f(x,y)?(x?y)sinsin極限不存在,k?xy

      因此limlim(x?y)sisi不存在,x?0y?0xy

      lim(x?y)sisi不存在。同理lim

      y?0x?0

      x1y

      x3?y3

      (3)f(x,y)?2;

      x?y

      2x3

      limf(x,y)?lim?0,x?0x?0x?x

      y?x

      當 P(x, y)沿著y??x?x趨于(0,0)時有

      y??x?x

      x3?(x3?x2)3limf(x,y)?li2?1,x?0x?0x?x3?x223

      x?0y?0

      所以 limf(x,y)不存在;

      limlimf(x,y)?0,limlimf(x,y)?0。

      x?0y?0

      y?0x?0

      (4)f(x,y)?ysinx

      0?|ysin|?|y|

      x

      ∴l(xiāng)imf(x,y)?0,x?0y?0

      limlimysi?0,limlimysi不存在。x?0y?0y?0x?0xx

      3.求極限(1)lim(x?y)

      x?0

      y?0

      2x2y2;

      (x2?y2)2

      0?|xyln(x?y)|?|ln(x2?y2)|,22

      (x2?y2)2t

      ln(x2?y2)?limlnt?0,又 lim

      x?0t?0?44

      y?0

      ∴l(xiāng)im(x?y)

      x?0

      y?0

      2x2y2

      ?e

      limx2y2ln(x2?y2)(x,y)?(0,0)

      ?1。

      (2)lim

      x2?y2?x?y?1

      x?0y?0;

      (x2?y2)(?x2?y2?1)?lim?2。lim2222x?0?01?x?y?1?x?y?1x

      y?0y?0

      x2?y2

      (3)lim(x?y)sin

      x?0y?0

      ;22

      x?y

      |?|x?y|,|(x?y)sin2

      x?y

      而lim(x?y)?0

      x?0

      y?0

      故lim(x?y)si2?0。2x?0x?yy?0

      sin(x2?y2)

      (4)lim。22x?0x?yy?0

      令x?rcos?,y?rsin?,(x,y)?(0,0)時,r?0,sin(x2?y2)sinr2

      lim?lim2?1。22x?0r?0rx?yy?0

      ln(1?xy)??

      4.試證明函數(shù)f(x,y)??x

      ?y?

      x?0x?0

      在其定義域上是連續(xù)的。

      證明:顯然f(x, y)的定義域是xy>-1.當x?0時,f(x, y)是連續(xù)的,只需證明其作為二元函數(shù)在y軸的每一點上連續(xù)。以下分兩種情況討論。(1)在原點(0,0)處

      f(0, 0)=0,當x?0時

      0ln(1?xy)??1f(x,y)???

      xyx??yln(1?xy)

      由于limln1(?xy)

      x?0

      y?0

      1xy

      y?0,y?0

      ?1

      1xy

      不妨設|ln1(?xy)從而???0,取??

      xy

      ?1|?1,|ln1(?xy)|?2,當0?|x|??,0?|y|??時,?

      ln(1?xy)

      ?0|?|yln(1?xy)xy||

      x

      ?|y||ln(1?xy)|?2|y|??,于是,無論x?0,x?0,當|x|??,|y|??時,都有l(wèi)imf(x,y)?0?f(0,0)

      x?0y?0

      1xy

      (2)在(0,)處。(?0)

      xy

      當x?0時,|f(x,y)?f(0,)|?|yln(1?xy)

      1xy

      ?|

      1(?xy)?|y(ln?1)?(y?)| ?1|?|y?|

      ?|y||ln(1?xy)

      xy

      當x=0時,|f(x,y)?f(0,)|?|y?|,1xy

      注意到,當?0時limln1(?xy)

      x?0

      y??1,于是,無論x?0,x?0,當?0時lim|f(x,y)?f(0,)|?0,x?0y?即 f(x, y)在在(0,)處連續(xù),綜上,f(x, y)在其定義域上連續(xù)。

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        第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)

        第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù) ( 1 0 時 )§1平面點集與多元函數(shù)( 3 時 )一.平面點集:平面點集的表示: E?{(x,y)|(x,y)滿足的條件}.1. 常見平面點集:⑴ 全平面和半平面: {......

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