第一篇：函數(shù)極限連續(xù)試題

····· ········密············································訂·········線·································裝·····系·····封················· ··················__ __：_ ：___： ___________名______________業(yè)_姓_____ _號_____ _：：___級_ ____別年專______學(xué)

· ·····密·········· ·············································卷···線·································閱·······封········································

函數(shù) 極限 連續(xù)試題

1.設(shè)f(x)?

求

(1)f(x)的定義域;(2)12?f[f(x)]?2

;(3)lim

f(x)x?0x

.2.試證明函數(shù)f(x)?x3e?x2

為R上的有界函數(shù).3.求lim1n??nln[(1?1n)(1?2

n)

(1?nn)].4.設(shè)在平面區(qū)域D上函數(shù)f(x,y)對于變量x連續(xù)，對于變量y 的一階偏導(dǎo)數(shù)有界，試證：f(x,y)在D上連續(xù).（共12頁）第1頁

5.求lim（2x?3x?4x1

x?03)x.1(1?x)x

6.求lim[

x?0e]x.7.設(shè)f(x)在[?1,1]上連續(xù)，恒不為0，求x?0

8.求lim(n!)n2

n??

.9.設(shè)x??

ax?b)?2,試確定常數(shù)a和b的值.（共12頁）第2頁

10.設(shè)函數(shù)f(x)=limx2n?1?ax?b

n??1?x

2n連續(xù)，求常數(shù)a,b的值.11.若limsin6x?xf(x)6?f(xx?0x3?0，求lim)

x?0x2

.12.設(shè)lim

ax?sinx

x?0?c(c?0),求常數(shù)a,b,c的值.?xln(1?t3)btdt

13.判斷題：當(dāng)x?0時，?x

1?cost2

0t

是關(guān)于x的4階無窮小量.114.設(shè)a為常數(shù)，且lim（ex

??x?0

2?a?arctan1

x)存在，求a的值，并計算極限.ex?1

（共12頁）第3頁

215.設(shè)lim[

ln(1?ex)x?0

1?a?[x]]存在，且a?N?，求a的值，并計算極限.ln(1?ex)

16.求n(a?0).?n

17.求limn?????2(a?0,b?0).?

ln(1?

f(x)

18.設(shè)lim)

x?0

3x?1

=5，求limf(x)x?0x2.19.設(shè)f(x)為三次多項式，且xlim

f(x)f(x)f?2ax?2a?xlim?4ax?4a?1，求xlim(x)

?3ax?3a的值.（共12頁）第4頁

24.設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)在[1,??)上是正的，單調(diào)遞減的，且

dn??f(k)??f(x)dx，試證明：數(shù)列?dn?收斂.n

n

20.設(shè)x?1,求lim(1?x)(1?x2)(1?x4n

n??)

(1?x2).21.試證明：(1)?（?1n111?1+n)?1?

?

?

為遞減數(shù)列；(2)n?1?ln(1?n)?n,n?1,2,3,.limnn

22.求n??3nn!

.23.已知數(shù)列：a1

11?2，a2?2?2，a3?2?，2?2

a4?2?

12?

1的極限存在，求此極限.2?2

（共12頁）第5頁

k?1

25.設(shè)數(shù)列?xn?，x0?a，x1?b，求limn??

xn.26.求lima2n

n??1?a2n

.28.求limx???

.x1

n?2

(xn?1?xn?2)(n?2)，（共12頁）第6頁

29.設(shè)函數(shù)f(x)是周期為T(T?0)的連續(xù)函數(shù)，且f(x)?0,試證：

xlim1x???x?0f(t)dt?1T?T0f(t)dt.30.求lim?1

1n??0

x.en

(1?x)n

n

31.設(shè)lim（1?x)?x

???tetx??x

??dt，求?的值.32.判斷函數(shù)f(x)?limxn?1

n??xn?1的連續(xù)性.33.判斷函數(shù)f(x.（共12頁）第7頁

34.設(shè)f(x)為二次連續(xù)可微函數(shù)，f(0)=0，定義函數(shù)

?g(x)??

f?(0)當(dāng)x?0?，試證：g(x)?f(x)

?x當(dāng)x?0連續(xù)可微.35.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，f(a)?f(b)，對x?(a,b)，g(x)?lim

f(x?t)?f(x?t)

t?0

t

存在，試證：存在c?(a,b),使g(c)?0.36.若f(x)為[a,b]上定義的連續(xù)函數(shù)，如果?b

a[f(x)]2dx?0，試證：

f(x)?0(a?x?b).37.設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，且lim

f(2x)?f(x)

x?0

x

?A，試證：f?(0)=A.（共12頁）第8頁

38.設(shè)f(x)在[a,b]上二階可導(dǎo)，過點A(a,f(a))與B(b,f(b))的直線與曲線

y?f(x)相交于C(c,f(c))，其中a?c?b.試證：至少存在一點??(a,b)，使得f??(?)=0.39.設(shè)f(x)，g(x)，h(x)在a?x?b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，試證：

f(a)

g(a)

h(a)

至少存在一點??(a,b)，使得f(b)

g(b)h(b)=0,并說明拉格朗日中值 f?(?)g?(?)h?(?)

定理和柯西中值定理是它的特例.40.試證明函數(shù)y?sgnx在x?[?1,1]上不存在原函數(shù).41.設(shè)函數(shù)f(x)=nf(x)的不可導(dǎo)點的個數(shù).（共12頁）第9頁

42.設(shè)f(x(0?x?

?),求f?(x).43.設(shè)xn?1?(n?1,2,3,)，0?x1?3，試說明數(shù)列?xn?的極限存在.?x?0

44.求函數(shù)f(x)=??sin1?

x2?1

?x(??2x)的間斷點.??2cosx

x?0

45.求曲線??

3???的斜漸近線.（共12頁）第10頁

??1?

46.求數(shù)列?nn?的最小項.??

50.求lim

x.x?0

sin1

x

47.求limtan(tanx)?sin(sinx)

x?0tanx?sinx

.48.設(shè)f(x)在[0,2]上連續(xù)，在（0,2)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，且lim

f(x)

x?1(x?1)2

?1，?

f(x)dx?f(2)，試證：存在??(0,2)，使得f??(?)=(1+??1)f?(?).49.試證：若函數(shù)f(x)在點a處連續(xù)，則函數(shù)f+(x)=max?f(x),0?與

f-(x)=min?f(x),0?在點a處都連續(xù).（共12頁）第11頁

12頁）第12頁

（共

第二篇：函數(shù)、極限和連續(xù)試題及答案

極限和連續(xù)試題（A卷）

1.選擇題（正確答案可能不止一個）。（1）下列數(shù)列收斂的是（）。A.xnn?1n?(?1)n

B.xn1n?(?1)n

C.xn?n?sinD.xn?2n（2）下列極限存在的有（）。

A.lim1x??sinx

B.xlim??xsinx

C.lim11x?02x?D.limn??2n2?1

（3）下列極限不正確的是（）。

A.lim(x?1)?2

B.lim1x?1?x?0x?1?1 12C.lim4x?2xx?2??

D.xlim?0?e???（4）下列變量在給定的變化過程中，是無窮小量的有（）。A.2?x?1(x?0)

B.sinxx(x?0)

2C.e?x(x???)

D.xx?1(2?sin1x)(x?0)??1（5）如果函數(shù)f(x)?xsinx,?x?0;?a,x?0;在x?0處連續(xù)，則a、b的值為（???xsin1x?b,x?0.A.a?0,b?0

B.a?1,b?1 C.a?1,b?0

D.a?0,b?1 2.求下列極限：

（1）lim(x322x?1?3x?1)；

（2）xlim??2(3x?2x?5)；

（3）lim1x(1?x?3)；

（4）limx?3?0x?2x2?x；

x2?8x2（5）limx?3x?3；

（6）lim?16x?4x?4；

（7）limx2?1x?2x?12x2?x?1；

（8）lim；

x?2x?2。）（9）limx?0cosx1?x?1；

（10）lim；

x??xxx3?3x?1x4?3x?1（11）lim；

（12）lim；

x??3x3?xx??5x4?x3x3?3x?19x3?3x?1（13）lim；

（14）lim； 42x??x??x?xx?1x3.（15）limx?03xsin?2?x，x?0?23.設(shè)f(x)??2x?1，0?x?1，求limf(x)，limf(x)，limf(x)，limf(x)。

1x?0x?3x??1x??3?(x?1)3，x?12?4.證明：x?sinx~x(x?0?)。

5.求下列函數(shù)的連續(xù)區(qū)間：

?2x?1,x?1;（1）y?ln(3?x)?9?x；

（2）y??2

x?1,x?1.?26.證明limx?2x?2不存在.x?21?xsin,???x?0;?x7.設(shè)f(x)??求f(x)在x?0時的左極限，并說明它在x?0時10?x???.?sin,x?右極限是否存在？

8.證明lim(n??1n?12?1n?22???1n?n2)存在并求極限值。

x2?1?ax?b)?0，求a、b的值。9.若lim(x??x?1

答案

1.（1）B；（2）BD；

（3）C；

（4）ACD ；（5）B.2.（1）-1；（2）3；（3）

21；（4）?；（5）?；（6）8；

36（7）21111；

（8）；（9）；（10）0；（11）；（12）； 323522（13）0；（14）?；（15）

1.9x?123.limf(x)?3, limf(x)不存在, limf(x)?x??1x?03, limf(x)?11.2x?35.（1）[?3,3)；

（2）(??,1)?(1,??).7.f(x)在x?0時的左極限為0，在x?0時右極限不存在。8.極限值為1.9.a?1,b??1.

第三篇：函數(shù)極限與連續(xù)

函數(shù)、極限與連續(xù)

一、基本題

1、函數(shù)f?

x??ln?6?x?的連續(xù)區(qū)間?ax2?x?2x?

12、設(shè)函數(shù)f?x???，若limf?x??0，且limf?x?存在，則 x?1x??1x?1?2ax?b

a?-1，b?

41sin2x??

3、lim?x2sin???-2x?0xx??

4、n2x?4/(√2-3)?k?

5、lim?1???e2，則k=-1x???x?

x2?ax?b?5，則a?3，b?-

46、設(shè)limx?1x?

17、設(shè)函數(shù)f?x??2x?sinx?1,g?x??kx，當(dāng)x?0時，f?x?~g?x?，則k

?ex?2x?0?

8、函數(shù)f?x???2x?10?x?1的定義域R ；連續(xù)區(qū)間(-oo,1),(1,+oo)?3x?1x?1?

?1?xsinx

?a9、函數(shù)f?x????1?xsin?bx?x?0x?0在x?0處連續(xù)，則a?1，b?1x?010、函數(shù)f?x??e?

1e?11

x1x的間斷點為x=0，類型是 跳躍間斷點。

11、f?x,y??x2?y2?xycosx，則f?0,1??f?t,1??y12、f?xy,x?y??x2?y2，則f?x,y??y^2+x13、函數(shù)z?ln?

2?x2?y2??的定義域為 {(x,y)|1=0}

14、1?e2?xylim?-1?2；?x,y???0,0?x2?y2?exy?x,y???0,0?1?x2?y2x2?y2lim

3?-12；lim?1?2xy?x?15、x?0

y?0

二、計算題

1、求下列極限

（1）0

0型：

1）limex?e?x?2x

x?0xsin3x；=0

2）limex?x?

1x?0x1?e2x;=-1/

43）limtan3x?ln?1?2x?

x?01?cos2x;=-

34）limtanx?sinx

x?0xsin2x2;=1/4

（2）?

?型：

1）lnsin3x

xlim?0?lnsin2x=1

lim2n?1?3n?1

2）n??2n?3n=3

（3）???型：

1）lim?11?

x?0??x?ex?1??=1/

22）lim?

x?1?11??x?1?lnx??=-1/2

3)xlim???arccosx?=π/3

4)xlim???x?=-1 x?0y?2

（4）0??型：

???1）limx??arctanx?=1x????2?

2)lim?x?1?tanx?1?x2=-π/2

（5）1?型：

?2?1）lim?1??x???x?3x?2=e^(-6)

4x?2?3x?1?2）lim??x??3x?2??

3)lim?1?2x?x?0 =e^(-4)=e^(2/5)1sin5x

1??4)lim?cos?=e^(-1/2)x??x??

（6）00型：1）lim?xsinx=1 x?0x2

方法:lim x^sinx=lim e^(sinxlnx)

公式：f(x)^g(x)=e^(g(x)ln(f(x)))

（7）?型：1）lim?x?20x

x????1x=2

同上

2、已知：f?x??sin2x?ln?1?3x??2limf?x?，求f?x? x?0x

f(x)=(sin2x)/x+ln(1-3x)+

2(方法：兩邊limf(x)x->0)

x2?x3、求函數(shù)f?x??的間斷點，并判定類型。2xx?1駐點x=0,x=1,x=-

11）當(dāng)x=0+時，f(x)=-1；當(dāng)x=0-時，f(x)=1 跳躍間斷點

2）當(dāng)x=1時，f(x)=oo;第二類間斷點

3）當(dāng)x=-1時，f(x)=1/2;但f(-1)不存在，所以x=-1是可去間斷點

?sin2x?x??

4、設(shè)函數(shù)f?x???a

?ln1?bx?????1?e2xx?0x?0在定義域內(nèi)連續(xù)，求a與b x?0

Lim sin(2x)/x|x->0-=2=a=b/-2=>a=2,b=-

45、證明方程：x3?3x2?9x?1?0在?0,1?內(nèi)有唯一的實根。（存在性與唯一性）證明：

1）存在性：

令f(x)=x^3-3x^2-9x+1

f(0)=1>0;

f(1)=-10<0;

因為f(0).f(1)<0所以在（0,1）內(nèi)存在一個實根

2）唯一性

f’(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)

所以f(x)在(0,1)內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)

故x3?3x2?9x?1?0在?0,1?內(nèi)有唯一的實根。

第四篇：函數(shù)極限與連續(xù)教案

第四講

Ⅰ 授課題目（章節(jié)）

1.8：函數(shù)的連續(xù)性

Ⅱ 教學(xué)目的與要求：

1、正確理解函數(shù)在一點連續(xù)及在某一區(qū)間內(nèi)連續(xù)的定義；

2、會判斷函數(shù)的間斷點.4、了解初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的、基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的；

5、了解初等函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性，反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性； 6 掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

教學(xué)重點與難點：

重點：函數(shù)在一點連續(xù)的定義，間斷點，初等函數(shù)的連續(xù)性

難點：函數(shù)在一點連續(xù)的定義，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

Ⅳ 講授內(nèi)容：

一 連續(xù)函數(shù)的概念函數(shù)的增量

定義1設(shè)變量u從它的初值u0變到終值u1，終值與初值之差u1?u0，稱為變量u的增

量，或稱為u的改變量，記為?u，即?u?u1?u0

?x?x1?x0

?y?f(x0??x)?f(x0)函數(shù)的連續(xù)性

定義2 設(shè)函數(shù)y?f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量的增量?x趨近于零

時，相應(yīng)函數(shù)的增量?y也趨近于零，即

lim?y?0或 ?x?0

?x?0limf(x0??x)?f(x0)?0

則稱函數(shù)f(x)在x0點連續(xù)

2例1 用連續(xù)的定義證明y?3x?1在點x0?2處是連續(xù)的證明 略

若令x??x0?x則當(dāng)?x?0時，x?x0又?y?f(x0??x)?f(x0)即

f(x)?f(x0)??y故?y?0就是f(x)?f(x0)

因而lim?y?0可以改寫成limf(x)?f(x0)?x?0x?x0

定義3 設(shè)函數(shù)y?f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，若

x?x0limf(x)?f(x0)

則稱函數(shù)f(x)在x0點連續(xù)

由定義3知函數(shù)f?x?在點x0連續(xù)包含了三個條件：

（1）f?x?在點x0有定義

（2）limf(x)存在x?x0

（3）limf(x)?f(x0)x?x0

?sinx,x?0?例2 考察函數(shù)f(x)??x在點x?0處得連續(xù)性

?1,x?0?

解略

3左連續(xù)及右連續(xù)的概念.定義4 若limf(x)?f(x0)，則函數(shù)f(x)在x0點左連續(xù) x?x0?

若limf(x)?f(x0)，則函數(shù)f(x)在x0點右連續(xù) x?x0+

由此可知函數(shù)f(x)在x0點連續(xù)的充分必要條件函數(shù)f(x)在x0點左連續(xù)又右連續(xù)

4、函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義

（a,b）（a,b）定義5 若函數(shù)f(x)在開區(qū)間內(nèi)每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間內(nèi)連

續(xù)

（a,b）若函數(shù)f(x)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且在左端點a右連續(xù)，在右端點b左連續(xù)，則

稱稱函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)

（-?,+?）例3 討論函數(shù)y?x在內(nèi)的連續(xù)性

解 略

二 函數(shù)的間斷點定義6函數(shù)f(x)不連續(xù)的點x0稱為函數(shù)f(x)的間斷點

由定義6可知函數(shù)f(x)不連續(xù)的點x0有下列三種情況

（1）f?x?在點x0沒有定義

（2）limf(x)不存在x?x0

（3）limf(x)?f(x0)x?x0

2間斷點的分類

??左右極限都相等（可去間斷點）第一類間斷點：左右極限都存在??間斷點? ?左右極限不相等（跳躍間斷點）

?第二類間斷點：左右極限至少有一個不存在?

?x2?1,x?0例4考察函數(shù)f(x)??在x?0處得連續(xù)性

?0,x?0

解 略

例5考察函數(shù)f(x)??

解 略

?1?,x?0例6考察函數(shù)f(x)??x在x?0處得連續(xù)性

?0,x?0??x,x?0?x?1,x?0在x?0處得連續(xù)性

解 略

三 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性

1、連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性

2、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

3、初等函數(shù)的連續(xù)性：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的．一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．對于初等函數(shù),由于連續(xù)性x?x0limf(x)?f(x0),求其極限即等價于求函數(shù)的函數(shù)值

四閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

定理1（最大值最小值定理）

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上必有最大值和最小值

定理2（介值定理）

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，m 和M分別為f(x)在?a,b?上的最小值和最大值，則對于介于m 和M之間的任一實數(shù)C，至少存在一點???a,b?，使得

f(?)?C

定理3（零點定理）

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號，則至少存在一點???a,b?，使得f(?)?0

例7 證明x5?2x?2?0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個實根 證明 略

Ⅴ 小結(jié)與提問：

Ⅵ 課外作業(yè)：

習(xí)題1-8 2，5，7，9

第五篇：函數(shù)極限與連續(xù)習(xí)題(含答案)

1、已知四個命題：（1）若

（2）若

（3）若

（4）若f(x)在x0點連續(xù)，則f(x)在x?x0點必有極限 f(x)在x?x0點有極限，則f(x)在x0點必連續(xù) f(x)在x?x0點無極限，則f(x)在x?x0點一定不連續(xù)f(x)在x?x0點不連續(xù)，則f(x)在x?x0點一定無極限。其中正確的命題個數(shù)是（B、2）

2、若limf(x)?a，則下列說法正確的是（C、x?x0f(x)在x?x0處可以無意義）

3、下列命題錯誤的是（D、對于函數(shù)f(x)有l(wèi)imf(x)?f(x0)）

x?x04、已知f(x)?1

x，則limf(x??x)?f(x)的值是（C、?1）

?x?0?xx2

x?125、下列式子中，正確的是（B、limx?1?1）2(x?1)

26、limx?ax?b?5，則a、x?11?xb的值分別為（A、?7和6）

7、已知f(3)?2,f?(3)??2,則lim2x?3f(x)的值是（C、8）

x?3x?38、limx?a

x?x?aa?（D、3a2）

29、當(dāng)定義f(?1)?f(x)?1?x

2在x??1處是連續(xù)的。1?x10、lim16?x?12。

x?27x?31111、lim12、x2?1?xx?x?12x???3??1

limx?2x?1?12 ?3x?1?113、lim(x2?x?x2?1)?1

x???

214、lim(x2?x?x2?1)??1

x???2

?x,0?x?1?115、設(shè)(1)求x?f(x)??,x?1

?2

??1,1?x?2

?1時，f(x)的左極限和右極限；(2)求f(x)在x?1的函數(shù)值，它在這點連續(xù)嗎？(3)求出的連續(xù)區(qū)間。

答：（1）左右極限都為1（2）不連續(xù)（3）（0，1）（1，2）