第一篇：舉例子能證明幾何定理嗎

舉例子能證明幾何定理嗎

【編者的話】書讀得多而不去思考，你會(huì)覺得你知道的很多，書讀得多又思考，你會(huì)覺得你不知道的很多.――伏爾泰

各位親愛的同學(xué)，假期里你總可以擠出一些屬于自己的閱讀時(shí)間，你是否相信自己可以從課外閱讀中獲取自己想要的知識(shí)與靈感呢？課外閱讀的范圍相當(dāng)廣，我們可以依據(jù)自己的興趣進(jìn)行選擇性地閱讀，身心必將受到一次大的洗禮，在增長(zhǎng)見識(shí)的同時(shí)又娛樂身心，何樂而不為？

本期的兩篇文章都是節(jié)選，請(qǐng)你讀一讀，要是在讀過后能寫些讀后感就更好了！

歸納和演繹，是人類認(rèn)識(shí)世界活動(dòng)中廣泛應(yīng)用的兩套思維方法.它反映了人們認(rèn)識(shí)事物的兩條思維途徑，前者是從個(gè)別到一般的思維運(yùn)動(dòng)，后者是從一般到個(gè)別的思維運(yùn)動(dòng).哲學(xué)認(rèn)為：歸納和演繹非常重要，但各自也都存在一定的局限性，需要相互補(bǔ)充、相互轉(zhuǎn)化.在數(shù)學(xué)家的眼中，歸納和演繹用處也各有不同.拉普拉斯說：在數(shù)學(xué)這門科學(xué)里，我們發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比.高斯說：數(shù)學(xué)中的一些美麗定理具有這樣的特性，它們極易從事實(shí)中歸納出來，但證明卻隱藏得極深.陳省身說：數(shù)學(xué)是一門演繹的學(xué)問，從一組公設(shè)，經(jīng)過邏輯的推理，獲得結(jié)論.歸納用于發(fā)現(xiàn)，演繹用于推理.這是相當(dāng)普遍的看法.例證法――用演繹支持歸納

那么，在數(shù)學(xué)中舉例真的不能證明一般的命題嗎？

中學(xué)里學(xué)了恒等式.下面的等式

（χ-1）2=χ2-2χ+1

（※）

就是一個(gè)恒等式.用χ=l代人，兩邊都得O；χ=2，兩邊都得1；χ=3，兩邊都得4.這樣舉了三個(gè)例子之后，能不能肯定（※）是恒等式呢？

恒等式，恒等式，要求χ取所有數(shù)值時(shí)兩邊都相等.才驗(yàn)證了三個(gè)χ的值，怎么能斷定它一定恒等呢？

其實(shí)，這三個(gè)實(shí)例已經(jīng)證明了（※）是恒等式.道理是：如果它不是恒等式，它一定是二次或一次方程，這種方程不可能有三個(gè)根.現(xiàn)在1，2，3都是“根”，說明它不是方程而是恒等式，在這個(gè)具體問題上，演繹推理支持了歸納推理.我們用數(shù)學(xué)上承認(rèn)的演繹法證明了歸納法的有效性，一般說來，代數(shù)恒等式的檢驗(yàn)都可以用舉例子的方法.不過，高次的和多元的等式，要用更多的例子罷了.這些事實(shí)表明：在數(shù)學(xué)王國(guó)的某些角落里，歸納法可以有效地證明一般性的命題，甚至可以用一個(gè)特例證明一般的命題.歸納法的這種力量，是由演繹推理證明的.數(shù)學(xué)的新成果表明：歸納與演繹是對(duì)立的統(tǒng)一.認(rèn)為歸納推理毫無根據(jù)是不充分的，因?yàn)樵诔醯葞缀畏秶鷥?nèi)已證明了歸納的有效性；認(rèn)為演繹推理不能使我們?cè)黾有轮R(shí)也是不確切的，因?yàn)檠堇[推理揭示出事物的內(nèi)在聯(lián)系，使我們看到現(xiàn)象背后的本質(zhì)，增加了我們的新知識(shí).歸納與演繹，是人類認(rèn)識(shí)世界的兩個(gè)基本方法，它們相互支持，相互補(bǔ)充，使我們?cè)絹碓浇咏胬?但是，代數(shù)恒等式在數(shù)學(xué)史上，遠(yuǎn)不如初等幾何證明題那樣受人青睞，那樣豐富多彩，那樣魅力無窮.正是在初等幾何領(lǐng)域，演繹推理樹立起了自己的威望，成為人所共知的絕對(duì)統(tǒng)治者.歸納法的效力，能不能在這里發(fā)揮作用呢？傳統(tǒng)的看法是否定的.但是，20世紀(jì)80年代以來，中國(guó)數(shù)學(xué)家的工作在這里揭開了新的一頁.幾何定理也能用例子證明

用舉例的方法證明幾何定理的研究，屬于幾何定理機(jī)器證明這個(gè)在近幾十年開始活躍起來的數(shù)學(xué)領(lǐng)域.用機(jī)器證明數(shù)學(xué)定理，是歷史上一些杰出的數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家夢(mèng)寐以求的事.數(shù)學(xué)問題大體上有兩類，一類是求解，一類是求證.我們熟悉的求解問題很多：解方程，解應(yīng)用題，幾何作圖，求最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)，我們熟悉的求證問題，大多是初等幾何證明題，還有證明恒等式，證明不等式.中國(guó)古代數(shù)學(xué)研究的中心問題是求解，把問題分為若干類，分別給出解題的方法.這方法是一系列確定的步驟，誰都可以學(xué)會(huì).會(huì)一個(gè)方法，便能解一類問題.《九章算術(shù)》就是這么做的.用一個(gè)固定的程序解決一類問題，這就是數(shù)學(xué)機(jī)械化的基本思想.追求數(shù)學(xué)的機(jī)械化方法，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的優(yōu)秀傳統(tǒng)之一.在西方，以希臘幾何學(xué)研究為代表的古代數(shù)學(xué)，所研究的中心問題不是求解而是求證，是從公理出發(fā)用演繹推理方式證明一個(gè)一個(gè)的定理.而證明定理的方法，則是一題一證，各具巧思，無一確定的法則可循.證明的成功有賴于技巧與靈感.能不能找到一種方法，像解方程那樣，按固定法則證明一批一批的幾何定理呢？

17世紀(jì)法國(guó)的唯理論哲學(xué)家，發(fā)明了解析幾何的數(shù)學(xué)家笛卡兒，曾有過一個(gè)大膽的設(shè)想：“一切問題化為數(shù)學(xué)問題.一切數(shù)學(xué)問題化為代數(shù)問題.一切代數(shù)問題化為代數(shù)方程求解問題.”

于是，笛卡兒用坐標(biāo)方法――解析幾何的方法，把初等幾何問題化成了代數(shù)問題.比笛卡兒稍晚一些的德國(guó)唯理論哲學(xué)家、與牛頓同時(shí)創(chuàng)立微積分的數(shù)學(xué)家萊布尼茨，曾有過“推理機(jī)器”的設(shè)想，希望用一臺(tái)機(jī)器代替人的推理活動(dòng)，他曾設(shè)計(jì)過計(jì)算機(jī)，他的努力促進(jìn)了數(shù)理邏輯的研究.20世紀(jì)的數(shù)學(xué)大師希爾伯特，在他的名著《幾何基礎(chǔ)》一書中，也曾提出過一小類幾何命題的機(jī)械判定方法.第二次世界大戰(zhàn)以后，電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)大大促進(jìn)了定理機(jī)器證明的研究.經(jīng)過許多出色數(shù)學(xué)家的辛勤耕耘，這個(gè)領(lǐng)域有了蓬勃發(fā)展，但是都不能在計(jì)算機(jī)上真的用來證明非平凡的幾何定理.一直到杰出的中國(guó)數(shù)學(xué)家吳文俊院士在1977年發(fā)表他的初等幾何機(jī)器證明新方法之后，在電子計(jì)算機(jī)上證明初等幾何定理才成為現(xiàn)實(shí).吳氏方法的基本思想是：先把幾何問題化為代數(shù)問題，再把代數(shù)問題化為代數(shù)恒等式的檢驗(yàn)問題，代數(shù)恒等式的檢驗(yàn)是機(jī)械的，問題的轉(zhuǎn)化過程也是機(jī)械的，整個(gè)問題也就機(jī)械化了.既然幾何證明問題可以化為代數(shù)恒等式的檢驗(yàn)問題，而在前面義剛剛提到過可以用舉例的方法檢驗(yàn)代數(shù)恒等式，那是不是意味著有可能用舉例的方法來證明幾何定理呢？

吳氏方法鼓舞了這個(gè)方向的研究.在吳氏方法的基礎(chǔ)上，洪加威于1986年發(fā)表了一項(xiàng)引起廣泛興趣的研究成果：對(duì)于相當(dāng)廣泛的一類幾何命題，只要檢驗(yàn)一個(gè)實(shí)例便能確定這條命題是不是成立.特例的檢驗(yàn)，能代替演繹推理的證明！

但是，洪加威要的那一個(gè)例子，不是隨手拈來的例子，它要滿足一定的條件，才具有一般的代表性，對(duì)于非平凡的幾何命題，這例子往往涉及大得驚人的數(shù)值計(jì)算.為了使洪氏方法在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，尚待進(jìn)一步的努力.在吳氏方法的基礎(chǔ)上，張景中、楊路提出了另一種舉例證明幾何定理的方法.按照這種方法，為了判定一個(gè)（等式型）初等幾何命題的真假，只須檢驗(yàn)若干普通的實(shí)例.例子的數(shù)目與分布方式可以根據(jù)命題的復(fù)雜程度用機(jī)械的方法確定.順便提一句，舉一些例子證明幾何定理，舉的例子不僅要夠一定的數(shù)目，而且要有一定的分布方式，這正是歸納法的倡導(dǎo)者培根所要求的：要廣泛搜集材料，搜集不同類型的材料.它的有效范圍是它從中引申、歸納m的那些事例的范圍，張楊法所要求的這一組例子的分布形式，足以保證概括了命題的論域，代表了廣泛的一般情形.――節(jié)選自張景中、彭翕成所著的《數(shù)學(xué)哲學(xué)》

第二篇：幾何證明定理

幾何證明定理

一.直線與平面平行的(判定)

1.判定定理.平面外一條直線如果平行于平面內(nèi)的一條直線,那么這條直線與這個(gè)平面平行.2.應(yīng)用:反證法(證明直線不平行于平面)

二.平面與平面平行的(判定)

1.判定定理:一個(gè)平面上兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行

2.關(guān)鍵：判定兩個(gè)平面是否有公共點(diǎn)

三.直線與平面平行的(性質(zhì))

1.性質(zhì)：一條直線與一個(gè)平面平行，則過該直線的任一與此平面的交線與該直線平行2.應(yīng)用：過這條直線做一個(gè)平面與已知平面相交，那么交線平行于這條直線

四.平面與平面平行的(性質(zhì))

1.性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么他們的交線平行

2.應(yīng)用：通過做與兩個(gè)平行平面都相交的平面得到交線，實(shí)現(xiàn)線線平行

五：直線與平面垂直的(定理)

1.判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直

2.應(yīng)用：如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)所有的直線(線面垂直→線線垂直)

六.平面與平面的垂直(定理)

1.一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直

(或者做二面角判定)

2.應(yīng)用:在其中一個(gè)平面內(nèi)找到或做出另一個(gè)平面的垂線,即實(shí)現(xiàn)線面垂直證面面垂直的轉(zhuǎn)換

七.平面與平面垂直的(性質(zhì))

1.性質(zhì)一:垂直于同一個(gè)平面的兩條垂線平行

2.性質(zhì)二:如果兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直

3.性質(zhì)三:如果兩個(gè)平面互相垂直,那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面內(nèi)的直線,在第一個(gè)平面內(nèi)(性質(zhì)三沒什么用,可以不用記)

以上,是立體幾何的定理和性質(zhì)整理.是一定要記住的基本！

31推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

32等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高互相重合33推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°34等腰三角形的判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(等角對(duì)等邊)

35推論1三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

36推論2有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

37在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

38直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39定理線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

40逆定理和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上

41線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合42定理1關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形

43定理2如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線

44定理3兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上

45逆定理如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱

46勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a+b=c

47勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有關(guān)系a+b=c，那么這個(gè)三角形是直角三角形

48定理四邊形的內(nèi)角和等于360°

49四邊形的外角和等于360°

50多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于(n-2)×180°

51推論任意多邊的外角和等于360°

52平行四邊形性質(zhì)定理1平行四邊形的對(duì)角相等

53平行四邊形性質(zhì)定理2平行四邊形的對(duì)邊相等

54推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

55平行四邊形性質(zhì)定理3平行四邊形的對(duì)角線互相平分

56平行四邊形判定定理1兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形

57平行四邊形判定定理2兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

58平行四邊形判定定理3對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

59平行四邊形判定定理4一組對(duì)邊平行相等的四邊形是平行四邊形

60矩形性質(zhì)定理1矩形的四個(gè)角都是直角

61矩形性質(zhì)定理2矩形的對(duì)角線相等

62矩形判定定理1有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。

第三篇：高中幾何證明定理

高中幾何證明定理

一.直線與平面平行的(判定)

1.判定定理.平面外一條直線如果平行于平面內(nèi)的一條直線,那么這條直線與這個(gè)平面平行.2.應(yīng)用:反證法(證明直線不平行于平面)

二.平面與平面平行的(判定)

1.判定定理:一個(gè)平面上兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行

2.關(guān)鍵：判定兩個(gè)平面是否有公共點(diǎn)

三.直線與平面平行的(性質(zhì))

1.性質(zhì)：一條直線與一個(gè)平面平行，則過該直線的任一與此平面的交線與該直線平行2.應(yīng)用：過這條直線做一個(gè)平面與已知平面相交，那么交線平行于這條直線

四.平面與平面平行的(性質(zhì))

1.性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么他們的交線平行

2.應(yīng)用：通過做與兩個(gè)平行平面都相交的平面得到交線，實(shí)現(xiàn)線線平行

五：直線與平面垂直的(定理)

1.判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直

2.應(yīng)用：如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)所有的直線(線面垂直→線線垂直)

六.平面與平面的垂直(定理)

1.一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直

(或者做二面角判定)

2.應(yīng)用:在其中一個(gè)平面內(nèi)找到或做出另一個(gè)平面的垂線,即實(shí)現(xiàn)線面垂直證面面垂直的轉(zhuǎn)換

七.平面與平面垂直的(性質(zhì))

1.性質(zhì)一:垂直于同一個(gè)平面的兩條垂線平行

2.性質(zhì)二:如果兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直

3.性質(zhì)三:如果兩個(gè)平面互相垂直,那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面內(nèi)的直線,在第一個(gè)平面內(nèi)(性質(zhì)三沒什么用,可以不用記)

以上,是立體幾何的定理和性質(zhì)整理.是一定要記住的基本!。

想要變-態(tài)的這里多的是--

歐拉定理&歐拉線&歐拉公式(不一樣)

九點(diǎn)圓定理

葛爾剛點(diǎn)

費(fèi)馬定理(費(fèi)馬點(diǎn)(也叫做費(fèi)爾馬點(diǎn)))

海倫-公式

共角比例定理

張角定理

帕斯卡定理

曼海姆定理

卡諾定理

芬斯勒-哈德維格不等式(幾何的)

外森匹克不等式(同上)

琴生不等式(同上)

塞瓦定理

梅涅勞斯定理

斯坦納定理

托勒密定理

分角線定理(與角分線定理不同)

斯特瓦爾特定理

切點(diǎn)弦定理

西姆松定理。

第四篇：初一常用幾何證明的定理

初一常用幾何證明的定理總結(jié)

平面直角坐標(biāo)系各個(gè)象限內(nèi)和坐標(biāo)軸的點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)規(guī)律：

（1）x軸將坐標(biāo)平面分為兩部分，x軸上方的縱坐標(biāo)為正數(shù)；x軸下方的點(diǎn)縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)。即第一、二象限及y軸正方向（也稱y軸正半軸）上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正數(shù)；第三、四象限及y軸負(fù)方向（也稱y軸負(fù)半軸）上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)。

反之，如果點(diǎn)P（a，b）在x軸上方，則b>0；如果P（a，b）在x軸下方，則b<0。

(2)y軸將坐標(biāo)平面分成兩部分，y軸左側(cè)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)；y軸右側(cè)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為正數(shù)。即第二、三象限和x軸的負(fù)半軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)；第一、四象限和x軸正半軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為正數(shù)。

（3）規(guī)定坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0）

（4

(5)

第五篇：牛頓幾何三大定理及證明

牛頓三大定理

牛頓定理1：完全四邊形兩條對(duì)邊的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)和兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，三點(diǎn)共線。這條直線叫做這個(gè)四邊形的牛頓線。

證明：四邊形ABCD,AB∩CD=E,AD∩BC=F,BD中點(diǎn)M,AC中點(diǎn)L,EF中點(diǎn)N。取BE中點(diǎn)P,BC中點(diǎn)R,PN∩CE=Q

R,L,Q共線，QL/LR=EA/AB，M,R,P共線。RM/MP=CD/DE，N,P,Q共線，PN/NQ=BF/FC 三式相乘得:QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC 由梅涅勞斯定理QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1 由梅涅勞斯定理的逆定理知:L,M,N三點(diǎn)共線 故牛頓定理1成立

牛頓定理2圓外切四邊形的兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，及該圓的圓心，三點(diǎn)共線。

證明：設(shè)四邊形ABCD是⊙I的外切四邊形，E和F分別是它的對(duì)角線AC和BD的中點(diǎn)，連接EI只需證它過點(diǎn)F，即只需證△BEI與△DEI面積相等。

顯然，S△BEI=S△BIC+S△CEI-S△BCE，而S△DEI=S△ADE+S△AIE-S△AID。注意兩個(gè)式子，由ABCD外切于⊙I，AB+CD=AD+BC，S△BIC+S△AID=1/2*S四邊形ABCD，S△ADE+S△BCE=1/2*S△ACD+1/2*S△ABC=1/2*S四邊形ABCD。即S△BIC+S△AID=S△ADE+S△BCE，移項(xiàng)得S△BIC-S△BCE=S△ADE-S△AID，由E是AC中點(diǎn)，S△CEI=S△AEI，故S△BIC-S△CEI-S△BCE=S△ADE-S△AIE-S△AID，即S△BEI=△DEI，而F是BD中點(diǎn)，由共邊比例定理EI過點(diǎn)F即EF過點(diǎn)I，故結(jié)論成立。證畢。

牛頓定理3圓的外切四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)和以切點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形對(duì)角線交點(diǎn)重合。

證明 設(shè)四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA與內(nèi)切圓分別切于點(diǎn)E,F,G,H.首先證明,直線AC,EG,FH交于一點(diǎn).設(shè)EG,FH分別交AC于點(diǎn)I,I'.顯然∠AHI‘=∠BFI ’ 因此易知 AI'*HI'/FI'*CI'=S(AI'H)/S(CI'F)=AH*HI'/CF*FI' 故 AI'/CI'=AH/CF.同樣可證:AI/CI=AE/CG又AE=AH,CF=CG.故AI/CI=AH/CF=AI'/CI'.從而I,I'重合.即直線AC,EG,FH交于一點(diǎn).同理可證:直線BD,EG,FH交于一點(diǎn).因此直線AC,BD,EG,FH交于一點(diǎn).