第一篇：高中幾何基本定理

（高中）競賽平面幾何必備定理綱要

一·中線定理（巴布斯定理）設△ABC的邊BC的中點為P，則有AB2?AC2?2(AP2?BP2)； 中線長：ma?2b2?2c2?a2．

222221． 垂線定理：AB?CD?AC?AD?BC?BD． 高線長：ha?2bcp(p?a)(p?b)(p?c)?sinA?csinB?bsinC． aa

2． 角平分線定理：三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例．如△ABC中，AD平

22bcA分∠BAC，則BD?AB；（外角平分線定理）．角平分線長：ta?(p?a)?cos（其中b?cb?c2DCAC

周長一半）．

43． 張角定理：sin?BAC? sin?BAD?sin?DAC．

ADACABp為

4． 斯特瓦爾特(Stewart)定理：設已知△ABC及其底邊上B、C兩點間的一點D，則有AB2·DC+AC2·BD－AD2·BC

＝BC·DC·BD．

5． 圓周角定理：同弧所對的圓周角相等，等于圓心角的一半．（圓外角如何轉(zhuǎn)化？）

6． 弦切角定理：弦切角等于夾弧所對的圓周角．

7． 圓冪定理：（相交弦定理：垂徑定理：切割線定理（割線定理）：切線長定理：）

8． 布拉美古塔（Brahmagupta）定理： 在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC⊥BD，自對角線的交點P向一邊作垂線，其

延長線必平分對邊．

9． 點到圓的冪：設P為⊙O所在平面上任意一點，PO=d，⊙O的半徑為r，則d2－r2就是點P對于⊙O的冪．過P

任作一直線與⊙O交于點A、B，則PA·PB= |d2－r2|．“到兩圓等冪的點的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線，如果此二圓相交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線”這個結(jié)論．這條直線稱為兩圓的“根軸”．三個圓兩兩的根軸如果不互相平行，則它們交于一點，這一點稱為三圓的“根心”．三個圓的根心對于三個圓等冪．當三個圓兩兩相交時，三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線交于一點．

10．11．

12． 托勒密（Ptolemy）定理：圓內(nèi)接四邊形對角線之積等于兩組對邊乘積之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中點，弦CD、EF經(jīng)過點M，CF、DE交AB于P、Q，求證：MP=QM．費馬點：定理1等邊三角形外接圓上一點，到該三角形較近兩頂點距離之和等于到另一頂點的距離；不在等題成立)．（廣義托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．

邊三角形外接圓上的點，到該三角形兩頂點距離之和大于到另一點的距離．定理2 三角形每一內(nèi)角都小于120°時，在三角形內(nèi)必存在一點，它對三條邊所張的角都是120°，該點到三頂點距離和達到最小，稱為“費馬點”，當三角形有一內(nèi)角不小于120°時，此角的頂點即為費馬點．

13．14．九點圓（Nine point round或歐拉圓或費爾巴赫圓）：三角形中，三邊中心、從各頂點向其對邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點連線的中點，這九個點在同一個圓上，九點圓具有許多有趣的性質(zhì),例如:（1）三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半;（2）九點圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點;（3）三角形的九點圓與三角形的內(nèi)切圓,三個旁切圓均相切〔費爾巴哈定理〕．

15．16．

17． 歐拉（Euler）線：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心依次位于同一直線（歐拉線）上． 歐拉（Euler）公式：設三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d2=R2－2Rr． 銳角三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和．

18．x?xB?xCyA?yB?yC 重心：三角形的三條中線交于一點，并且各中線被這個點分成2：1的兩部分；G(A,)

重心性質(zhì)：（1）設G為△ABC的重心，連結(jié)AG并延長交BC于D，則D為BC的中點，則AG:GD?2:1；

（2）設G為△ABC的重心，則S?ABG

?S?BCG?S?ACG?S?ABC；

（3）設G為△ABC的重心，過G作DE∥BC交AB于D，交AC于E，過G作PF∥AC交AB于P，交BC

DEFPKH2DEFPKH

???;???2； BCCAAB3BCCAAB22222

2（4）設G為△ABC的重心，則①BC?3GA?CA?3GB?AB?3GC；②

GA2?GB2?GC2?(AB2?BC2?CA2)；③PA2?PB2?PC2?GA2?GB2?GC2?3PG2（P

222

為△ABC內(nèi)任意一點）；④到三角形三頂點距離的平方和最小的點是重心，即GA?GB?GC最??；

于F，過G作HK∥AB交AC于K，交BC于H，則

⑤三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點是重心；反之亦然（即滿足上述條件之一，則G為△ABC的重心）． 19．

垂

心

：

三

角

形的三

條

高

線的交

點；

abcabc

xA?xB?xCyA?yB?yC

cosAcosBcosCcosAcosBcosCH(,)

????cosAcosBcosCcosAcosBcosC

垂心性質(zhì)：（1）三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍；（2）垂心H關于△ABC的三邊的對稱點，均在△ABC的外接圓上；（3）△ABC的垂心為H，則△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓；（4）設O，H分別為△ABC的外心和垂心，則?BAO??HAC,?CBO??ABH,?BCO??HCA． 20．

內(nèi)心：三角形的三條角分線的交點—內(nèi)接圓圓心，即內(nèi)心到三角形各邊距離相等；

I（axA?bxB?cxCayA?byB?cyC

（1）設I為△ABC的內(nèi)心，則I到△ABC三邊的距離相等，,)內(nèi)心性質(zhì)：

a?b?ca?b?c

1?90???A,?AIC?90???B,?AIB?90???C；

222

（3）三角形一內(nèi)角平分線與其外接圓的交點到另兩頂點的距離與到內(nèi)心的距離相等；反之，若?A平分線交△ABC

反之亦然；（2）設I為△ABC的內(nèi)心，則?BIC

外接圓于點K，I為線段AK上的點且滿足KI=KB，則I為△ABC的內(nèi)心；（4）設I為△ABC的內(nèi)心，AIAKIKb?c

；（5）???

IDKIKDa

設I為△ABC的內(nèi)心，BC?a,AC?b,AB?c,I在BC,AC,AB上的射影分別為D,E,F，內(nèi)切圓半徑為r，BC?a,AC?b,AB?c, ?A平分線交BC于D，交△ABC外接圓于點K，則

令

p?(a?b?c)，則①S?ABC?pr；②AE?AF?p?a;BD?BF?p?b;CE?CD?p?c；③

abcr?p?AI?BI?CI．

外心：三角形的三條中垂線的交點——外接圓圓心，即外心到三角形各頂點距離相等；

21．O（sin2AxA?sin2BxB?sin2CxCsin2AyA?sin2ByB?sin2CyC,)

sin2A?sin2B?sin2Csin2A?sin2B?sin2C

外心性質(zhì)：（1）外心到三角形各頂點距離相等；

（2）設O為△ABC的外心，則?BOC?2?A或?BOC?360??2?A；

（3）R?abc；（4）銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和．

4S?

22．旁心：一內(nèi)角平分線與兩外角平分線交點——旁切圓圓心；設△ABC的三邊BC?a,AC?b,AB?c,令

p?(a?b?c)，分別與BC,AC,AB外側(cè)相切的旁切圓圓心記為IA,IB,IC，其半徑分別記為rA,rB,rC．

旁心性質(zhì)：（1）?BIAC?90???A,?BIBC??BICC??A,（對于頂角B，C也有類似的式子）；

（2）（3）設AIA的連線交△ABC的外接圓于D，則DIA?DB?DC（對于BIB,CIC?IAIBIC?(?A??C)；

有同樣的結(jié)論）；（4）△ABC是△IAIBIC的垂足三角形，且△IAIBIC的外接圓半徑R'等于△ABC的直徑為2R．

23．三

角

形

面

積

公

式

：

S?ABC?

11abca2?b2?c2

aha?absinC??2R2sinAsinBsinC?

224R4(cotA?cotB?cotC)

R為外接圓半徑，其中ha表示BC邊上的高，r為內(nèi)切圓半徑，p?(a?b?c)．?pr?p(p?a)(p?b)(p?c)，24．

三

角

形

中

內(nèi)

切

圓，旁

切

圓

和

外

接

圓

半

徑的相

互

關

系

：

ABCABCABCABC

r?4Rssnsn;nra?4Rscncs,srb?4Rcsscn,src?4Rccsss222222222222

r?

a

rrr1111,rb?,rc?;???.BCACABrarbrcrtantantantantantan

222222

25． 梅涅勞斯（Menelaus）定理：設△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線和一條不經(jīng)過它們?nèi)我豁旤c的直線的交點分別為P、Q、R則有 26．

BPCQAR

???1．（逆定理也成立）PCQARB

梅涅勞斯定理的應用定理1：設△ABC的∠A的外角平分線交邊CA于Q，∠C的平分線交邊AB于R，∠B的平分線交邊CA于Q，則P、Q、R三點共線．32梅涅勞斯定理的應用定理2：過任意△ABC的三個頂點A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長線交于點P、Q、R，則P、Q、R三點共線． 27．

塞瓦(Ceva)定理：設X、Y、Z分別為△ABC的邊BC、CA、AB上的一點，則AX、BY、CZ所在直線交于一點

AZBXCY

=1． ZBXCYA的充要條件是28． 29． 30． 31． 32． 33． 34． 35．

塞瓦定理的應用定理：設平行于△ABC的邊BC的直線與兩邊AB、AC的交點分別是D、E，又設BE和CD塞瓦定理的逆定理的應用定理1：三角形的三條中線交于一點，三角形的三條高線交于一點，三角形的三條角塞瓦定理的逆定理的應用定理2：設△ABC的內(nèi)切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點R、S、T，則AR、BS、史坦納定理：設△ABC的垂心為H，其外接圓的任意點P，這時關于△ABC的點P的西摩松線通過線段PH的牛頓定理1：四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩條對角線的中點，三點共線．這條直線叫做牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，三點共線．

笛沙格定理1：平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設它們的對應頂點（A和D、B和E、C和F）的連線交笛沙格定理2：相異平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設它們的對應頂點（A和D、B和E、C和F）的連

交于S，則AS一定過邊BC的中點 分線交于一點． CT交于一點．中心．．

這個四邊形的牛頓線．

于一點，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線．

線交于一點，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線．

第二篇：高中幾何證明定理

高中幾何證明定理

一.直線與平面平行的(判定)

1.判定定理.平面外一條直線如果平行于平面內(nèi)的一條直線,那么這條直線與這個平面平行.2.應用:反證法(證明直線不平行于平面)

二.平面與平面平行的(判定)

1.判定定理:一個平面上兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行

2.關鍵：判定兩個平面是否有公共點

三.直線與平面平行的(性質(zhì))

1.性質(zhì)：一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一與此平面的交線與該直線平行2.應用：過這條直線做一個平面與已知平面相交，那么交線平行于這條直線

四.平面與平面平行的(性質(zhì))

1.性質(zhì)：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行

2.應用：通過做與兩個平行平面都相交的平面得到交線，實現(xiàn)線線平行

五：直線與平面垂直的(定理)

1.判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直

2.應用：如果一條直線與一個平面垂直，那么這條直線垂直于這個平面內(nèi)所有的直線(線面垂直→線線垂直)

六.平面與平面的垂直(定理)

1.一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直

(或者做二面角判定)

2.應用:在其中一個平面內(nèi)找到或做出另一個平面的垂線,即實現(xiàn)線面垂直證面面垂直的轉(zhuǎn)換

七.平面與平面垂直的(性質(zhì))

1.性質(zhì)一:垂直于同一個平面的兩條垂線平行

2.性質(zhì)二:如果兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直

3.性質(zhì)三:如果兩個平面互相垂直,那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二個平面內(nèi)的直線,在第一個平面內(nèi)(性質(zhì)三沒什么用,可以不用記)

以上,是立體幾何的定理和性質(zhì)整理.是一定要記住的基本!。

想要變-態(tài)的這里多的是--

歐拉定理&歐拉線&歐拉公式(不一樣)

九點圓定理

葛爾剛點

費馬定理(費馬點(也叫做費爾馬點))

海倫-公式

共角比例定理

張角定理

帕斯卡定理

曼海姆定理

卡諾定理

芬斯勒-哈德維格不等式(幾何的)

外森匹克不等式(同上)

琴生不等式(同上)

塞瓦定理

梅涅勞斯定理

斯坦納定理

托勒密定理

分角線定理(與角分線定理不同)

斯特瓦爾特定理

切點弦定理

西姆松定理。

第三篇：幾何證明定理

幾何證明定理

一.直線與平面平行的(判定)

1.判定定理.平面外一條直線如果平行于平面內(nèi)的一條直線,那么這條直線與這個平面平行.2.應用:反證法(證明直線不平行于平面)

二.平面與平面平行的(判定)

1.判定定理:一個平面上兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行

2.關鍵：判定兩個平面是否有公共點

三.直線與平面平行的(性質(zhì))

1.性質(zhì)：一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一與此平面的交線與該直線平行2.應用：過這條直線做一個平面與已知平面相交，那么交線平行于這條直線

四.平面與平面平行的(性質(zhì))

1.性質(zhì)：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行

2.應用：通過做與兩個平行平面都相交的平面得到交線，實現(xiàn)線線平行

五：直線與平面垂直的(定理)

1.判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直

2.應用：如果一條直線與一個平面垂直，那么這條直線垂直于這個平面內(nèi)所有的直線(線面垂直→線線垂直)

六.平面與平面的垂直(定理)

1.一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直

(或者做二面角判定)

2.應用:在其中一個平面內(nèi)找到或做出另一個平面的垂線,即實現(xiàn)線面垂直證面面垂直的轉(zhuǎn)換

七.平面與平面垂直的(性質(zhì))

1.性質(zhì)一:垂直于同一個平面的兩條垂線平行

2.性質(zhì)二:如果兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直

3.性質(zhì)三:如果兩個平面互相垂直,那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二個平面內(nèi)的直線,在第一個平面內(nèi)(性質(zhì)三沒什么用,可以不用記)

以上,是立體幾何的定理和性質(zhì)整理.是一定要記住的基本！

31推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

32等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高互相重合33推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°34等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)

35推論1三個角都相等的三角形是等邊三角形

36推論2有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

37在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

38直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

40逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

41線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合42定理1關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

43定理2如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線

44定理3兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上

45逆定理如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱

46勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a+b=c

47勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關系a+b=c，那么這個三角形是直角三角形

48定理四邊形的內(nèi)角和等于360°

49四邊形的外角和等于360°

50多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于(n-2)×180°

51推論任意多邊的外角和等于360°

52平行四邊形性質(zhì)定理1平行四邊形的對角相等

53平行四邊形性質(zhì)定理2平行四邊形的對邊相等

54推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

55平行四邊形性質(zhì)定理3平行四邊形的對角線互相平分

56平行四邊形判定定理1兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

57平行四邊形判定定理2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

58平行四邊形判定定理3對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

59平行四邊形判定定理4一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形

60矩形性質(zhì)定理1矩形的四個角都是直角

61矩形性質(zhì)定理2矩形的對角線相等

62矩形判定定理1有三個角是直角的四邊形是矩形。

第四篇：2014.3.29幾何證明---基本公里定理本身的證明

中考幾何證明---基本定理本身的證明

（要求會文字敘述，會改寫成“如果...那么...”并用數(shù)學語言寫出已知,求證，并給出證明過程，自己畫圖形）。線，角公理：

①.兩直線平行，同位角相等②.同位角相等，兩直線平行

1.兩直線平行，內(nèi)錯角相等

2.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補

3.內(nèi)錯角相等，兩直線平行

4.同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

5.如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線平行

6.如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行

7.對頂角相等

8.三角形內(nèi)角和為180°

9.三角形外角和為360°

10.多邊形內(nèi)角和為（n-2）*180°

11.多邊形外角和為360°

三角形全等 公理：

③SSS④SAS⑤ASA⑥全等三角形對應邊相等，對應角相等。

********* 正確，無須再推導證明;除上述6個公理之外，還有等量代換，等式的性質(zhì)，不等式的性質(zhì) 都可看做公理。推論: AAS

定理：等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）

推論：等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高 互相重合（三線合一）

定理：等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）

附：1.等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60°

2.有個角為60°的等腰三角形是等邊三角形

3.三個角都相等的三角形是等邊三角形

4.等腰三角形兩底角的平分線相等

5.在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

6.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

7.如果一個三角形一條邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形

8.直角三角形 兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理-面積法）

9.如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則它是直角三角形（作圖，全等）

10.斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等

11.線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等

12.到一條線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上

13.三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。

14.角平分線上的點到角的兩邊的距離相等

15.在一個角的內(nèi)部且到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。

16.三角形的三條角平分線相交于一點，且這個點到三條邊的距離相等

平行四邊形：兩組對邊平行

1.平行四邊形的對邊相等

2.平行四邊形的對角相等

3.平行四邊形的對角線互相平分

A.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

B.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

C.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

D.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

4.夾雜兩平行線間的兩平行線段相等

5.三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半

矩形：有一個角是直角的平行四邊形

1.矩形的四個角都是直角

2.矩形的對角線相等

A.有三個角是直角的四邊形是矩形

B.對角線相等的平行四邊形是矩形

棱形：一組鄰邊相等的平行四邊形

1.棱形的四條邊都相等

2.棱形對角線互相垂直且平分，并且每條對角線平分一組對角

3.棱形的面積為對角線乘積的一半

A.四條邊都相等的四邊形是棱形

B.對角線互相垂直的平行四邊形是棱形

正方形：一組鄰邊相等，且有一個角為直角的平行四邊形

1.正方形的四個角都是直角，且四條邊都相等

2.正方形的兩條對角線相等且互相垂直平分，且每條對角線平分一組對角

A.有一個角是直角的棱形是正方形

B.對角線相等的棱形是正方形

C.對角線相等的矩形是正方形

梯形：

1.等腰梯形在同一底上的兩個角相等

2.同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

3.等腰梯形的兩條對角線相等

反正法:1.若a+b+c+d+e=5,則abcde中至少有一個至少有個≥1

2.三角形中至少有一個角大于或等于60°

圓：

1.垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的?。ù箯蕉ɡ恚?/p>

2.平分弦（非直徑）的直徑，垂直這條弦，并且平分弦所對的?。ù箯蕉ɡ砟娑ɡ恚?/p>

3.一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

4.直徑所對的圓周角是直角

5.90°圓周角所對的弦是直徑

6.圓的內(nèi)徑四邊形對角互補

7.在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中一組量對應相等，那么它們所對應的其余各組量都對應相等

第五篇：數(shù)學幾何必會定理

1.勾股定理（畢達哥拉斯定理）2.射影定理（歐幾里得定理）

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cd是斜邊ab上的高，則有射影定理如下：①CD2=AD〃DB②BC2=BD〃BA③AC2=AD〃AB④AC〃BC=AB〃CD（等積式，可用面積來證明）3.三角形的三條中線交于一點，并且，各中線被這個點分成2：1的兩部分 4.四邊形兩邊中心的連線和兩條對角線中心的連線交于一點

5.間隔的連接六邊形的邊的中心所做出的兩個三角形的重心是重合的（可忽略）6.三角形各邊的垂直平分線交于一點 另：三角形五心

重心定義：三角形的三條中線交于一點，這點到頂點的距離是它到對邊中點距離的2倍。該點叫做三角形的重心。

外心定義：三角形的三邊的垂直平分線交于一點。該點叫做三角形的外心。垂心定義：三角形的三條高交于一點。該點叫做三角形的垂心。內(nèi)心定義：三角形的三內(nèi)角平分線交于一點。該點叫做三角形的內(nèi)心。

旁心定義：三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交于一點。該點叫做三角形的旁心。三角形有三個旁心。

三角形的外心，垂心，重心在同一條直線上。

三角形的重心

三角形的三條中線交于一點

三角形三條中線的交點叫做三角形的重心

定理：三角形重心與頂點的距離等于它與對邊中點的距離的兩倍

三角形的內(nèi)心

和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外接三角形

三角形的三條內(nèi)角平分線有一個且只有一個交點，這個交點到三角形三邊的距離相等，就是三角形的內(nèi)心 三角形有且只有一個內(nèi)切圓 內(nèi)切圓的半徑公式：

s為三角形周長的一半

三角形的外心

經(jīng)過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓.外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形

三角形三邊的垂直平分線有一個且只有一個交點，這個交點到三角形三個頂點的距離相等，就是三角形的外心 三角形有且只有一個外接圓

設三角形ABC的外心為O，垂心為H，從O向BC邊引垂線，設垂足為L，則AH=2OL

三角形的垂心

三角形的三條高線交于一點

三角形三條高線的交點叫做三角形的垂心

銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角的頂點；鈍角三角形的垂心在三角形外

三角形的旁心

與三角形的一邊及其他兩邊的延長線都相切的圓叫做三角形的旁切圓，旁切圓的圓心叫做三角形的旁心

三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個角的外角平分線交于一點，這個交點到三角形一邊及其他兩邊延長線的距離相等，就是三角形的旁心 三角形有三個旁切圓，三個旁心

7.（九點圓或歐拉圓或費爾巴赫圓）三角形中，三邊中心、從各頂點向其對邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點連線的中點，這九個點在同一個圓上

8.歐拉定理：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心依次位于同一直線（歐拉線）上

9.庫立奇大上定理：（圓內(nèi)接四邊形的九點圓）圓周上有四點，過其中任三點作三角形，這四個三角形的九點圓圓心都在同一圓周上，我們把過這四個九點圓圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊形的九點圓。10.中線定理：（巴布斯定理）設三角形ABC的邊BC的中點為P，則有AB^2+AC^2=2(AP^2+BP^2)

11.斯圖爾特定理：P將三角形ABC的邊BC分成m和n兩段，則有n×AB2+m×AC2=BC×（AP2+mn）

12.波羅摩及多定理：圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線互相垂直時，連接AB中點M和對角線交點E的直線垂直于CD

13.阿波羅尼斯定理：到兩定點A、B的距離之比為定比m:n（值不為1）的點P，位于將線段AB分成m:n的內(nèi)分點C和外分點D為直徑兩端點的定圓周上 14.托勒密定理：設四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則有AB×CD+AD×BC=AC×BD

15.以任意三角形ABC的邊BC、CA、AB為底邊，分別向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，則△DEF是正三角形 16.愛爾可斯定理

定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，則由線段AD、BE、CF的重心構成的三角形也是正三角形

定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，則由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心構成的三角形是正三角形 17.梅涅勞斯定理

設△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線和一條不經(jīng)過它們?nèi)我豁旤c的直線的交點分別為P、Q、R則有 BP/PC×CQ/QA×AR/RB=

1逆定理：（略）

應用定理1：設△ABC的∠A的外角平分線交邊CA于Q、∠C的平分線交邊AB于R，、∠B的平分線交邊CA于Q，則P、Q、R三點共線

應用定理2：過任意△ABC的三個頂點A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長線交于點P、Q、R，則P、Q、R三點共線 18.塞瓦定理

設△ABC的三個頂點A、B、C的不在三角形的邊或它們的延長線上的一點S連接面成的三條直線，分別與邊BC、CA、AB或它們的延長線交于點P、Q、R，則BP/PC×CQ/QA×AR/RB=1

逆定理：（略）

應用定理1：三角形的三條中線交于一點

應用定理2：設△ABC的內(nèi)切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點R、S、T，則AR、BS、CT交于一點 19.西摩松定理

從△ABC的外接圓上任意一點P向三邊BC、CA、AB或其延長線作垂線，設其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線（這條直線叫西摩松線）逆定理：（略）20.史坦納定理

設△ABC的垂心為H，其外接圓的任意點P，這時關于△ABC的點P的西摩松線通過線段PH的中心

應用定理：△ABC的外接圓上的一點P的關于邊BC、CA、AB的對稱點和△ABC的垂心H同在一條（與西摩松線平行的）直線上。這條直線被叫做點P關于△ABC的鏡象線 21.波朗杰、騰下定理

設△ABC的外接圓上的三點為P、Q、R，則P、Q、R關于△ABC交于一點的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=360°的倍數(shù)

推論1：設P、Q、R為△ABC的外接圓上的三點，若P、Q、R關于△ABC的西摩松線交于一點，則A、B、C三點關于△PQR的的西摩松線交于與前相同的一點

推論2：在推論1中，三條西摩松線的交點是A、B、C、P、Q、R六點任取三點所作的三角形的垂心和其余三點所作的三角形的垂心的連線段的中點

推論3：考查△ABC的外接圓上的一點P的關于△ABC的西摩松線，如設QR為垂直于這條西摩松線該外接圓珠筆的弦，則三點P、Q、R的關于△ABC的西摩松線交于一點

推論4：從△ABC的頂點向邊BC、CA、AB引垂線，設垂足分別是D、E、F，且設邊BC、CA、AB的中點分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點在同一個圓上，這時L、M、N點關于關于△ABC的西摩松線交于一點

關于西摩松線的定理1：△ABC的外接圓的兩個端點P、Q關于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點在九點圓上

關于西摩松線的定理2（安寧定理）：在一個圓周上有4點，以其中任三點作三角形，再作其余一點的關于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交于一點 22.卡諾定理

通過△ABC的外接圓的一點P，引與△ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF，與三邊的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線 23.奧倍爾定理

通過△ABC的三個頂點引互相平行的三條直線，設它們與△ABC的外接圓的交點分別是L、M、N，在△ABC的外接圓取一點P，則PL、PM、PN與△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線

24.清宮定理：設P、Q為△ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點，P點的關于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線

25.他拿定理：設P、Q為關于△ABC的外接圓的一對反點，點P的關于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，如果QU、QV、QW與邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別為ED、E、F，則D、E、F三點共線。（反點：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長線的兩點，如果OC2=OQ×OP 則稱P、Q兩點關于圓O互為反點）

26.朗古來定理：在同一圓同上有A1B1C1D14點，以其中任三點作三角形，在圓周取一點P，作P點的關于這4個三角形的西摩松線，再從P向這4條西摩松線引垂線，則四個垂足在同一條直線上

27.從三角形各邊的中點，向這條邊所的頂點處的外接圓的切線引垂線，這些垂線交于該三角形的九點圓的圓心

28.一個圓周上有n個點，從其中任意n-1個點的重心，向該圓周的在其余一點處的切線所引的垂線都交于一點 29.康托爾定理

定理1：一個圓周上有n個點，從其中任意n-2個點的重心向余下兩點的連線所引的垂線共點

定理2：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N兩點，則M和N點關于四個三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一個的兩條西摩松的交點在同一直線上。這條直線叫做M、N兩點關于四邊形ABCD的康托爾線

定理3：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N、L三點，則M、N兩點的關于四邊形ABCD的康托爾線、L、N兩點的關于四邊形ABCD的康托爾線、M、L兩點的關于四邊形ABCD的康托爾線交于一點。這個點叫做M、N、L三點關于四邊形ABCD的康托爾點

定理4：一個圓周上有A、B、C、D、E五點及M、N、L三點，則M、N、L三點關于四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個康托爾點在一條直線上。這條直線叫做M、N、L三點關于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線

30.費爾巴赫定理：三角形的九點圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切

31.莫利定理：將三角形的三個內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個交點，則這樣的三個交點可以構成一個正三角形。這個三角形常被稱作莫利正三角形 32.牛頓定理

定理1：四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩條對角線的中點，三條共線。這條直線叫做這個四邊形的牛頓線

定理2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，三點共線 33.笛沙格定理

定理1：平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設它們的對應頂點（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線

定理2：相異平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設它們的對應頂點（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線 34.布利安松定理：連結(jié)外切于圓的六邊形ABCDEF相對的頂點A和D、B和E、C和F，則這三線共點 35.巴斯加定理：圓內(nèi)接六邊形ABCDEF相對的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或延長線的）交點共線

36.蝴蝶定理：P是圓O的弦AB的中點，過P點引圓O的兩弦CD、EF，連結(jié)DE交AB于M，連結(jié)CF交AB于N，則有MP=NP

37.帕普斯定理：設六邊形ABCDEF的頂點交替分布在兩條直線a和b上，那么它的三雙對邊所在直線的交點X、Y、Z在一直線上

38.高斯線定理：四邊形ABCD中，直線AB與直線CD交于E，直線BC與直線AD交于F，M、N、Q分別為AC、BD、EF的中點，則有M、N、O共線 39.莫勒定理

三角形三個角的三等分線共有6條，每相鄰的（不在同一個角的）兩條三等分線的交點，是一個等邊三角形的頂點

逆定理：在三角形ABC三邊所在直線BC、CA、AB上各取一點D、E、F，若有(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1，則AD、BE、CE平行或共點

40.斯特瓦爾特定理：在三角形ABC中，若D是BC上一點，且BD=p，DC=q，AB=c，AC=b，則AD^2=[(b*b*p+c*c*q)/(p+q)]-pq

41.泰博定理：取平行四邊形的邊為正方形的邊，作四個正方形（同時在平行四邊形內(nèi)或外皆可）。正方形的中心點所組成的四邊形為正方形；取正方形的兩條鄰邊為三角形的邊，作兩個等邊三角形（同時在正方形內(nèi)或外皆可）。這兩個三角形不在正方形邊上的頂點，和正方形四個頂點中唯一一個不是三角形頂點的頂點，組成一等邊三角形；給定任意三角形ABC，BC上任意一點M，作兩個圓形，均與AM、BC、外接圓相切，該兩圓的圓心和三角形內(nèi)接圓心共線

42.凡〃奧貝爾定理：給定一個四邊形，在其邊外側(cè)構造一個正方形。將相對的正方形的中心連起，得出兩條線段。線段的長度相等且垂直（凡〃奧貝爾定理適用于凹四邊形）43.西姆松定理：從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上