第一篇：2018年國(guó)考行測(cè)方法與技巧：行測(cè)數(shù)量關(guān)系公式匯總

2018年國(guó)考行測(cè)方法與技巧：行測(cè)數(shù)量關(guān)系公式匯總

國(guó)家公務(wù)員考試的《行測(cè)職業(yè)能力測(cè)驗(yàn)》包括五大部分內(nèi)容：言語(yǔ)理解與表達(dá)、數(shù)量關(guān)系、判斷推理、常識(shí)判斷和資料分析，主要考察考生是否具有從事公務(wù)員職業(yè)必須具備的基本素質(zhì)和潛在能力。

1、分?jǐn)?shù)比例形式整除

若a∶b=m∶n(m、n互質(zhì))，則a是m的倍數(shù)，b是n的倍數(shù)。

若a=m/n×b，則a=m/(m+n)×(a+b)，即a+b是m+n的倍數(shù)

2、尾數(shù)法

(1)選項(xiàng)尾數(shù)不同，且運(yùn)算法則為加、減、乘、乘方運(yùn)算，優(yōu)先使用尾數(shù)進(jìn)行判定;

(2)所需計(jì)算數(shù)據(jù)多，計(jì)算復(fù)雜時(shí)考慮尾數(shù)判斷快速得到答案。常用在容斥原理中。

3、等差數(shù)列相關(guān)公式

和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2=平均數(shù)×項(xiàng)數(shù)=中位數(shù)×項(xiàng)數(shù);

項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)-首項(xiàng))÷項(xiàng)數(shù)+1。從1開(kāi)始，連續(xù)的n個(gè)奇數(shù)相加，總和=n×n，如：1+3+5+7=4×4=16，……

4、幾何邊端問(wèn)題相關(guān)公式

(1)單邊線型植樹(shù)公式(兩頭植樹(shù))：棵樹(shù)=總長(zhǎng)÷間隔+1，總長(zhǎng)=(棵樹(shù)-1)×間隔

(2)植樹(shù)不移動(dòng)公式：在一條路的一側(cè)等距離栽種m棵樹(shù)，然后要調(diào)整為種n棵樹(shù)，則不需要移動(dòng)的樹(shù)木棵樹(shù)為：(m-1)與(n-1)的最大公約數(shù)+1棵;

(3)單邊環(huán)型植樹(shù)公式(環(huán)型植樹(shù))：棵樹(shù)=總長(zhǎng)÷間隔，總長(zhǎng)=棵樹(shù)×間隔

(4)單邊樓間植樹(shù)公式(兩頭不植)：棵樹(shù)=總長(zhǎng)÷間隔-1，總長(zhǎng)=(棵樹(shù)+1)×間隔

(5)方陣問(wèn)題：最外層總?cè)藬?shù)=4×(N-1)，相鄰兩層人數(shù)相差8人，n階方陣的總?cè)藬?shù)為n?。

5、行程問(wèn)題

(1)火車(chē)過(guò)橋核心公式：路程=橋長(zhǎng)+車(chē)長(zhǎng)(火車(chē)過(guò)橋過(guò)的不是橋，而是橋長(zhǎng)+車(chē)長(zhǎng))

(2)相遇追及問(wèn)題公式：相遇距離=(速度1+速度2)×相遇時(shí)間追及距離=(速度1-速度2)×追及時(shí)間

(3)隊(duì)伍行進(jìn)問(wèn)題公式：隊(duì)首→隊(duì)尾：隊(duì)伍長(zhǎng)度=(人速+隊(duì)伍速度)×?xí)r間;隊(duì)尾→隊(duì)首：隊(duì)伍長(zhǎng)度=(人速-隊(duì)伍速度)×?xí)r間

(4)流水行船問(wèn)題公式：順?biāo)?船速+水速，逆速=船速-水速

(5)往返相遇問(wèn)題公式：

兩岸型兩次相遇：S=3S1-S2，(第一次相遇距離A為S1，第二次相遇距離B為S2)

單岸型兩次相遇：S=(3S1+S2)/2，(第一次相遇距離A為S1，第二次相遇距離A為S2);

左右點(diǎn)出發(fā)：第N次迎面相遇，路程和=(2N-1)×全程;第N次追上相遇，路程差=(2N-1)×全程。

同一點(diǎn)出發(fā)：第N次迎面相遇，路程和=2N×全程;第N次追上相遇，路程差=2N×全程。

6、幾何問(wèn)題

(1)三角形三邊關(guān)系公式：

兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

(2)勾股定理：

直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。常用勾股數(shù)：（3、4、5);(5、12、13);(6、8、10)。

(3)內(nèi)角和定理

正多邊形內(nèi)角和定理，n邊形的內(nèi)角的和等于：(n-2)×180°(n大于等于3且n為整數(shù))。

已知正多邊形內(nèi)角度數(shù)，則其邊數(shù)為：360°÷(180°-內(nèi)角度數(shù))。

7、其他問(wèn)題

(1)經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)問(wèn)題常用公式

利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，利潤(rùn)率=利潤(rùn)÷進(jìn)價(jià)，總利潤(rùn)=單利潤(rùn)×銷(xiāo)量售價(jià)=進(jìn)價(jià)+利潤(rùn)=原價(jià)×折扣

(2)溶液?jiǎn)栴}基本公式

溶液=溶質(zhì)+溶劑，濃度=溶質(zhì)÷溶液，溶質(zhì)=溶液×濃度混合溶液的濃度=(溶質(zhì)1+溶質(zhì)2)÷(溶液1+溶液2)

第二篇：國(guó)考行測(cè)數(shù)量關(guān)系重要解題方法

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2014年國(guó)考已過(guò)去數(shù)日，很多考生也進(jìn)行了考后的估分，結(jié)果是幾家歡喜幾家愁，許多考生都表示，其實(shí)今年的數(shù)量關(guān)系題目的難度并不太大，只要有時(shí)間去做，花不了太多時(shí)間就可以做出來(lái)，而且涉及到的方法也是大家比較熟悉的，比如方程法、賦值法、代入排除法、奇偶特性等，其中方程法是此次考查的重要解題方法，至少有三分之一的題目能夠通過(guò)方程法很快得到答案，比如今年行測(cè)試卷的67題、68題就是典型的用方程法就可以快速解得，且容易理解。

【國(guó)考 2014-67】.某單位原有45名職工，從下級(jí)單位調(diào)入5名黨員職工后，該單位的黨員人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比重上升了62名職工入黨，那么該單位現(xiàn)在的黨員人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比重為多少?

A.40% B.50% C.60% D.70%

【參考答案】B

【解析】方程問(wèn)題。(x+5)/(45+5)-x/45=6%，解得x=18，現(xiàn)有黨員人數(shù)為18+5+2=25人，所以該單位現(xiàn)在的黨員人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比重為B

【國(guó)考 2014-68】.82名同學(xué)決定2名同?

B

x萬(wàn)元，則有8x=(8-2)(x+1)，解得x=33×8=24萬(wàn)，所以4名同學(xué)退出后，剩下的人每人需籌資6萬(wàn)，因此還得再多籌資萬(wàn)元。選B。

最值問(wèn)題、容斥問(wèn)題、溶液?jiǎn)栴}等都可以用方程法來(lái)求解。可見(jiàn)方程法在整個(gè)公務(wù)員考試中所占的分量是多么大，只要能熟練掌握如何合理假設(shè)未知數(shù)，如何快速解方程，對(duì)解決各類(lèi)題型都是十分有幫助，下面就今年考查的方程問(wèn)題給大家做簡(jiǎn)單解析，希望對(duì)廣大考生有所幫助。

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第三篇：行測(cè)數(shù)量關(guān)系備考技巧

公務(wù)員考試中，數(shù)量關(guān)系歷來(lái)是考生備感頭疼的題型，其主要有兩大題型，一是數(shù)字推理，二是數(shù)學(xué)運(yùn)算。

數(shù)字推理主要是考察應(yīng)試者對(duì)數(shù)字和運(yùn)算的敏感程度。本質(zhì)上來(lái)看，是考察是考生對(duì)出題考官的出題思路的把握，因?yàn)樵跀?shù)字推理中的規(guī)律并非“客觀規(guī)律”，而是出題考官的“主觀規(guī)律”，也就是說(shuō)，在備考過(guò)程中，不能僅從數(shù)字本身進(jìn)行思考，還必須深入地理解出題者的思路與規(guī)律。

數(shù)學(xué)運(yùn)算的知識(shí)點(diǎn)繁雜，需要系統(tǒng)梳理，并且要明確考試目的——數(shù)學(xué)運(yùn)算題并不一定要把最后的答案算出來(lái)，而是要把正確答案“選”出來(lái)，因此，掌握做題的技巧十分重要。有時(shí)一道題按常規(guī)的方法“算”出來(lái)可能需要五六分鐘甚至更長(zhǎng)的時(shí)間，但把正確答案“選”出來(lái)只需要20秒鐘。

數(shù)學(xué)運(yùn)算基本題型眾多，每一基本題型都有其核心的解題公式或解題思路，應(yīng)通過(guò)練習(xí)不斷熟練。在此基礎(chǔ)上，有意識(shí)培養(yǎng)自己的綜合分析能力，即在復(fù)雜數(shù)學(xué)運(yùn)算題面前，能夠透過(guò)現(xiàn)象看到本質(zhì)，挖掘其中深層次的等量關(guān)系。

從備考內(nèi)容來(lái)看，無(wú)論是數(shù)字推理還是數(shù)學(xué)運(yùn)算，都需要從思路和技巧兩方面來(lái)著手準(zhǔn)備。下文從思路和技巧兩方面總結(jié)了數(shù)量關(guān)系備考三階段需要做的事情。

一、數(shù)量關(guān)系解題思路

思路是指對(duì)于各類(lèi)題型的解題思路，由于數(shù)量關(guān)系涉及的題型眾多，因而必須對(duì)各類(lèi)題型都達(dá)到一個(gè)比較熟練的程度，尤其是常見(jiàn)的一些題型。

例1：19991998的末位數(shù)字是（）[2005國(guó)家公務(wù)員考試行政職業(yè)能力測(cè)驗(yàn)真題一類(lèi)-38題]

A.1B.3C.7

D.9

解析：求1999的1998次方的個(gè)位數(shù)，實(shí)際上就是求9的1998次方的個(gè)位數(shù)，由于對(duì)于任何數(shù)字的多次方，都呈現(xiàn)四個(gè)一循環(huán)的規(guī)律，因而就是求9的平方的末位數(shù)，輕松得到A答案。

對(duì)于這類(lèi)題，如果備考時(shí)沒(méi)有熟悉掌握做題的方法，考試中很難算出正確的答案。

二、數(shù)量關(guān)系解題技巧

例2：現(xiàn)有一種預(yù)防禽流感藥物配置成的甲、乙兩種不同濃度的消毒的消毒溶液。若從 甲中取 2100 克、乙中取 700 克混合而成的消毒溶液的濃度為 3％；若從甲中取 900 克、乙 中取 2700 克，則混合而成的消毒溶液的濃度為 5％。則甲、乙兩種消毒溶液的濃度分別為（）[2006年浙江公務(wù)員考試行政職業(yè)能力測(cè)驗(yàn)真題-37題]

A.3％，6％

B.3％，4％

C.2％，6％

D.4％，6％

解析：甲、乙溶液進(jìn)行兩次混合，兩次得到的溶液的濃度分別為3%和5%，則這兩種溶液只能在3%和5%這個(gè)區(qū)間之外，因此輕松選C。所以，掌握各種做題技巧，能大大提高解題的速度。

數(shù)量關(guān)系的復(fù)習(xí)絕不可能是一朝一夕之功，高效解題必須熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本題型，這也是數(shù)量關(guān)系備考的核心所在。備考過(guò)程中，不要急于求成，而應(yīng)一步一個(gè)腳印，腳踏實(shí)地，穩(wěn)步提升。

三、數(shù)量關(guān)系備考三階段

從備考的過(guò)程來(lái)看，可以分為三個(gè)階段：廣泛積累階段、總結(jié)提高階段、模擬沖刺階段。

1、廣泛積累階段

積累階段需要盡可能多地收集各類(lèi)題型，要深入了解國(guó)家公務(wù)員考試以及各地公務(wù)員考試的出題特點(diǎn)和題型分布情況。這個(gè)階段需要的時(shí)間長(zhǎng)短依據(jù)考自身的情況而定，一般需要兩個(gè)月左右的時(shí)間。

從近兩年國(guó)家及各省市公務(wù)員考試真題來(lái)看，數(shù)量關(guān)系呈現(xiàn)出以下幾特征：

（1）數(shù)列形式數(shù)字推理是數(shù)字推理的主體形式。國(guó)家公務(wù)員考試只考查數(shù)列形式數(shù)字推理，多數(shù)省市公務(wù)員考試也以考查數(shù)列形式數(shù)字推理為主，而北京、福建、江蘇等地考試中則常出現(xiàn)圖形形式數(shù)字推理。

（2）從各類(lèi)公務(wù)員考試真題來(lái)看，等差數(shù)列及其變式、多次方數(shù)列及其變式出現(xiàn)最廣，如2009年國(guó)家公務(wù)員考試考查了4道等差數(shù)列及其變式、2010年

國(guó)家公務(wù)員考試又再次考查；浙江公務(wù)員考試幾乎每年都會(huì)考查等差數(shù)列及其變式、多次方數(shù)列及其變式。

（3）數(shù)學(xué)運(yùn)算的考查地方特色明顯。從真題分析來(lái)看，數(shù)學(xué)運(yùn)算的考查因地而異，側(cè)重點(diǎn)也各不相同。如國(guó)家公務(wù)員考試幾乎不考間隔組合數(shù)列，但幾乎每年都出現(xiàn)牛吃草問(wèn)題、排列組合問(wèn)題；浙江公務(wù)員考試中數(shù)字推理考查的規(guī)律極為廣泛，基本數(shù)列及其變式幾乎都會(huì)涉及，數(shù)學(xué)運(yùn)算則穩(wěn)定有2-3道計(jì)算問(wèn)題。

2、總結(jié)提高階段

在積累階段，要逐步各類(lèi)題型的解題思路。如，對(duì)于數(shù)字推理就有作差法、作商法、作和法、作積法、轉(zhuǎn)化法、拆分法、位置分析法，務(wù)必使這些解題方法融會(huì)貫通、靈活運(yùn)用。華圖建議考生根據(jù)學(xué)習(xí)、做題過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，找清自己的薄弱環(huán)節(jié)，尤其要注意“常做常錯(cuò)”的題型，根據(jù)自己的情況，制作“錯(cuò)題本”或“典型題本”，在最后的備考沖刺階段，這將成為自己的致勝法寶。

3、模擬沖刺階段

勤于練習(xí)，舉一反三，有意識(shí)地培養(yǎng)數(shù)字直覺(jué)和運(yùn)算直覺(jué)，這是解決數(shù)字推理問(wèn)題的核心所在。

在模擬沖刺階段，考生需要每天定量做一些相關(guān)的模擬題，模仿書(shū)中對(duì)題的分析，通過(guò)解答模擬題來(lái)培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的感覺(jué)，這種感覺(jué)不僅能夠提高數(shù)學(xué)運(yùn)算的解題速度和正確率，對(duì)數(shù)字推理部分也很有幫助。

再就是選擇行政職業(yè)能力測(cè)驗(yàn)專(zhuān)項(xiàng)教材。通過(guò)數(shù)量關(guān)系的專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練，夯實(shí)兩大部分的基礎(chǔ)知識(shí)，綜合提高才是獲得高分的根本保障。

對(duì)于每個(gè)考生而言，自身對(duì)數(shù)量關(guān)系的熟悉程度不同，運(yùn)算的熟練程度也不同，在備考的過(guò)程中，必須根據(jù)自身的特點(diǎn)，有機(jī)地進(jìn)行積累與總結(jié)的輪換，才能在一輪一輪的備考中做到心中有數(shù)，才能在考場(chǎng)上立于不敗之地。

第四篇：2014國(guó)考：行測(cè)數(shù)量關(guān)系短期提分技巧

數(shù)量關(guān)系往往是讓考試比較頭疼的一個(gè)模塊。數(shù)量關(guān)系主要是測(cè)查報(bào)考者理解、把握事物間量化關(guān)系和解決數(shù)量關(guān)系問(wèn)題的能力，主要涉及數(shù)據(jù)關(guān)系的分析、推理、判斷、運(yùn)算等。常見(jiàn)的題型有：數(shù)字推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等。華圖公務(wù)員考試研究中心在此專(zhuān)門(mén)就數(shù)量關(guān)系這一類(lèi)考題總結(jié)一系列技巧，希望廣大考生能學(xué)以致用，迅速提分。

第一，做數(shù)學(xué)運(yùn)算題時(shí)，首先要區(qū)分考題的類(lèi)型一一目前主要是兩種，即算式題和應(yīng)用題(又叫做文字表達(dá)題);其次要充分運(yùn)用一些常用的數(shù)學(xué)運(yùn)算技巧、方法和規(guī)律，盡量多用簡(jiǎn)便算法，特別是心算方法來(lái)進(jìn)行算式題的運(yùn)算;再次，要調(diào)動(dòng)諸如加、減、乘、除、二元一次或二次方程、簡(jiǎn)單的幾何圖形的周長(zhǎng)、面積、體積計(jì)算等初等數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備，審知考題中的各種數(shù)字之間的邏輯關(guān)系，然后迅速判知這樣的邏輯關(guān)系之間實(shí)際上存在著一種什么樣的數(shù)學(xué)關(guān)系，比如代數(shù)方程關(guān)系，然后運(yùn)用相應(yīng)的解題技能，特別是心算技能迅速進(jìn)行推算，可以在得到很精確具體的運(yùn)算結(jié)果后再審讀四個(gè)選項(xiàng)，也可以在大致知道試題結(jié)果的時(shí)候來(lái)審讀四個(gè)選項(xiàng)。由此，一般都能迅速做出準(zhǔn)確的判斷而找到正確的答案。這里總的要求是必須運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算知識(shí)、原理和技能，在較短的時(shí)間內(nèi)既快又準(zhǔn)地選出答案。尤其要注意一點(diǎn)，要盡可能的避免筆算。筆算雖可以準(zhǔn)確地找出答案，但耗時(shí)太多。心算在數(shù)學(xué)運(yùn)算題型中是最便捷最有效的方法?？忌谄綍r(shí)的練習(xí)中要有意識(shí)的進(jìn)行培養(yǎng)這方面的能力。

第二，做數(shù)字推理題時(shí)，要提醒自己關(guān)于奇數(shù)、偶數(shù)、自然數(shù)、質(zhì)數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等數(shù)字概念以及數(shù)列類(lèi)型知識(shí)的記憶，并保持大腦的活躍和靈動(dòng)。比如數(shù)列題，力爭(zhēng)做到一瀏覽題干就能夠斷定這道測(cè)驗(yàn)題是什么類(lèi)型的數(shù)列.包含著一個(gè)什么樣的數(shù)列規(guī)律，進(jìn)而迅速進(jìn)行并完成對(duì)數(shù)列的邏輯關(guān)系的具體推知與判斷--主要要搞清楚當(dāng)前這個(gè)測(cè)驗(yàn)題到底是經(jīng)過(guò)加、減、乘、除還是通過(guò)平方、開(kāi)方、立方、冪等基本運(yùn)算形成盼常用數(shù)列類(lèi)型;然后迅速掃描四個(gè)選項(xiàng)，并根據(jù)已知的數(shù)差準(zhǔn)確推定題干括號(hào)中的數(shù)字，進(jìn)而準(zhǔn)確地捕捉住其中一個(gè)適合的選項(xiàng)。當(dāng)然，具體的各題型的特點(diǎn)與解題技巧需要考生在平時(shí)的練習(xí)中多加積累，使自己對(duì)每一種題型都有一定的敏感性，盡可能的達(dá)到看題辨題型，并迅速的用自己平時(shí)掌握的技巧進(jìn)行準(zhǔn)確地解答。

第三，由于數(shù)量關(guān)系題一般都是要經(jīng)過(guò)計(jì)算和推斷才能準(zhǔn)確地作出選擇和答題的，所以計(jì)算與推斷的質(zhì)量與速度如何，在此過(guò)程中就顯得特別重要，而且如果要做好考試，那么一般是跳不過(guò)這一基本過(guò)程的。不過(guò)，面對(duì)一時(shí)反應(yīng)不過(guò)來(lái)的試題，則可以采取先易后難的策略，在順序上可以先跳過(guò)去做其他考題，等逐漸熟悉或適應(yīng)過(guò)來(lái)之后再回頭去解。以便將有限的時(shí)間用于自己會(huì)做試題的解答上。有些考生喜歡鉆死角，在一道暫時(shí)毫無(wú)頭緒的題目上越陷越深，把不出腳來(lái)。在這類(lèi)考試中，切忌要避免這類(lèi)情況發(fā)生?？傊獪?zhǔn)確理解和分析考題，正確把握考題中的邏輯關(guān)系，準(zhǔn)確判知不同數(shù)字之間具有什么樣的數(shù)列關(guān)系，切忌被題中一些枝節(jié)所誘導(dǎo)，注意兼顧數(shù)量關(guān)系題中的普遍規(guī)律與特殊情況，同時(shí)發(fā)揮和運(yùn)用出自己的數(shù)學(xué)知識(shí)和做題技巧。只要考生在平時(shí)的練習(xí)中能夠做到多積累，多發(fā)現(xiàn)，多培養(yǎng)，那么在正式的考試中就可以做到，不慌不亂，沉著應(yīng)戰(zhàn)，發(fā)揮出自己真正的水平，甚至于超水平發(fā)揮。

總之，一份付出，一份收獲?？忌灰X(jué)得時(shí)間有限就放棄復(fù)習(xí)，對(duì)于考試來(lái)說(shuō)，只要是考前，任何復(fù)習(xí)都有潛移默化的作用。最后，華圖教育網(wǎng)祝各位考生順利進(jìn)入面試，馬到成“公”。

第五篇：行測(cè)數(shù)量關(guān)系具體題型技巧

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)總綱..................................................................................................................1 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.【分享】數(shù)學(xué)運(yùn)算的大致?？碱?lèi)型，大家復(fù)習(xí)可以參照！.......................2 【分享】數(shù)學(xué)公式終極總結(jié).......................................................................4 【分享】排列組合基礎(chǔ)知識(shí)及習(xí)題分析....................................................8 【分享】排列組合新講義........................................................................14 【分享】無(wú)私奉獻(xiàn)萬(wàn)華的排列組合題（系列之二）................................21 【分享】“插板法”的條件模式隱藏運(yùn)用分析..........................................24 【糾錯(cuò)】?jī)蓚€(gè)相同的正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字的排列組合問(wèn)題..25 【討論】裴波納契數(shù)列的另類(lèi)運(yùn)用.........................................................27 【經(jīng)驗(yàn)分享】關(guān)于臨界點(diǎn)類(lèi)型算數(shù)問(wèn)題的分析.......................................28 【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】關(guān)于比例法中變量守恒與變化的思路分析........................30 【討論】“五個(gè)人的體重之和是423斤,他們的體重都是整數(shù)”一題.....33 【經(jīng)驗(yàn)分享】淺談mn/(m+n)公式的由來(lái)（鹽水交換問(wèn)題）............34 【周末練習(xí)】4道經(jīng)典習(xí)題（已公布解析DONE）..............................37 【分享】關(guān)于相遇問(wèn)題和追擊問(wèn)題的綜合題目的分析............................40 【分享】“牛吃草”的問(wèn)題的模式化解題方式總結(jié)...................................41 【糾錯(cuò)】關(guān)于計(jì)算某個(gè)數(shù)字在頁(yè)碼中出現(xiàn)的次數(shù)問(wèn)題的公式懷疑！......43 【總結(jié)】關(guān)于頁(yè)碼和頁(yè)數(shù)的題目（剛看到的一個(gè)題目順便做個(gè)分析）...43 【開(kāi)會(huì)時(shí)間分針時(shí)針互換問(wèn)題】新題型的2道問(wèn)題的解析....................45 【分享】（絕對(duì)經(jīng)典）20道比列及列式計(jì)算........................................46 【分享】60道數(shù)學(xué)題的解析..................................................................51

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)總綱

【分享】公考中數(shù)學(xué)知識(shí)部分如何學(xué)習(xí)的計(jì)劃安排和心得！

分配學(xué)習(xí)時(shí)間 我做了這樣一個(gè)假設(shè)，假如你是一張白紙（對(duì)于公務(wù)員考試而言）

我建議大家遵循這樣的學(xué)習(xí)時(shí)間安排。比較合適。這是我個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和看法。僅以參考！

1、數(shù)字推理（每天必須練習(xí)）

開(kāi)始的前3周，每周1.5小時(shí), 主要是以看和歸納為主。3周之后要能丟開(kāi)資料自己可以回憶出數(shù)字推理的若干種類(lèi)型。特別是經(jīng)典的7大類(lèi)型

3周之后 看是1周（每天半小時(shí)的計(jì)時(shí)練習(xí)。每道題目不得超過(guò)53秒），從第5周直到考試，每天都要用10分鐘～15分鐘的時(shí)間不停的鞏固和練習(xí)這數(shù)字推理。主要是保持和培養(yǎng)數(shù)字敏感性和了解一些新的題型（新的題型以了解為主，不要強(qiáng)求）

2、數(shù)學(xué)運(yùn)算。（我建議集中時(shí)間整理和復(fù)習(xí)準(zhǔn)備時(shí)間應(yīng)該是在2個(gè)月以上）

首先，先對(duì)國(guó)考，或者你所參加的地方考試的題型和命題風(fēng)格做一個(gè)了解?？纯催@些數(shù)學(xué)運(yùn)算試題的難度系數(shù)如何?？偨Y(jié)歸納常見(jiàn)的考試類(lèi)型。如果你覺(jué)得你有足夠的能力，你還可以歸納考察的思維方向是來(lái)自哪幾點(diǎn)（這個(gè)比較重要。如果不能達(dá)到這一點(diǎn)，可以借鑒老師，或者網(wǎng)絡(luò)，借鑒別人的與此相關(guān)的總結(jié)）

其次是平時(shí)的練習(xí)。應(yīng)該劃分專(zhuān)項(xiàng)來(lái)練習(xí)。專(zhuān)項(xiàng)的劃分就是根據(jù)第一步你對(duì)考試類(lèi)型的劃分。學(xué)會(huì)總結(jié)方法（方法不是公式，只記住公式那是沒(méi)用的，必須去掌握公式的由來(lái)）。練習(xí)的題源應(yīng)當(dāng)以 國(guó)家（03～至今），北京（05～至今），山東（04～至今），浙江（05～至今），江蘇（04～至今），輔助于 福建（06～08年）等地的真題為主。

最后通過(guò)練習(xí)，必須學(xué)會(huì)做總結(jié)歸納，做好筆記。對(duì)每種類(lèi)型都要學(xué)會(huì)用一句話或者一段簡(jiǎn)潔的話寫(xiě)出你的感受和觀點(diǎn)。

1.【分享】數(shù)學(xué)運(yùn)算的大致?？碱?lèi)型，大家復(fù)習(xí)可以參照！

（一）數(shù)字推理

（1）數(shù)字性質(zhì)：奇偶數(shù)，質(zhì)數(shù)合數(shù)，同余，特定組合表現(xiàn)的特定含義 如∏＝3.1415926，階乘數(shù)列。

（2）等差、等比數(shù)列,間隔差、間隔比數(shù)列。（3）分組及雙數(shù)列規(guī)律（4）移動(dòng)求運(yùn)算數(shù)列

（5）次方數(shù)列（1、基于平方立方的數(shù)列

2、基于2^n次方數(shù)列，3冪的2，3次方交替數(shù)列等為主體架構(gòu)的數(shù)列）（6）周期對(duì)稱(chēng)數(shù)列（7）分?jǐn)?shù)與根號(hào)數(shù)列（8）裂變數(shù)列

（9）四則組合運(yùn)算數(shù)列（10）圖形數(shù)列

（二）數(shù)學(xué)運(yùn)算（1）數(shù)理性質(zhì)基礎(chǔ)知識(shí)。（2）代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)。

（3）拋物線及多項(xiàng)式的靈活運(yùn)用（4）連續(xù)自然數(shù)求和和及變式運(yùn)用（5）木桶（短板）效應(yīng)（6）消去法運(yùn)用

（7）十字交叉法運(yùn)用（特殊類(lèi)型）

（8）最小公倍數(shù)法的運(yùn)用（與剩余定理的關(guān)系）（9）雞兔同籠運(yùn)用（10）容斥原理的運(yùn)用（11）抽屜原理運(yùn)用

（12）排列組合與概率：（重點(diǎn)含特殊元素的排列組合，插板法已經(jīng)變式，靜止概率以及先【后】驗(yàn)概率）（13）年齡問(wèn)題

（14）幾何圖形求解思路（求陰影部分面積 割補(bǔ)法為主）（15）方陣方體與隊(duì)列問(wèn)題（16）植樹(shù)問(wèn)題（直線和環(huán)形）（17）統(tǒng)籌與優(yōu)化問(wèn)題（18）牛吃草問(wèn)題（19）周期與日期問(wèn)題（20）頁(yè)碼問(wèn)題（21）兌換酒瓶的問(wèn)題

（22）青蛙跳井（尋找臨界點(diǎn)）問(wèn)題

（23）行程問(wèn)題（相遇與追擊，水流行程，環(huán)形追擊相遇： 變速行程，曲線（折返，高山，緩行）行程，多次相遇行程，多模型行程對(duì)比）

2.【分享】數(shù)學(xué)公式終極總結(jié)

容斥原理

涉及到兩個(gè)集合的容斥原理的題目相對(duì)比較簡(jiǎn)單，可以按照下面公式代入計(jì)算：

一的個(gè)數(shù)+二的個(gè)數(shù)－都含有的個(gè)數(shù)＝總數(shù)－都不含有的個(gè)數(shù)

【例3】某大學(xué)某班學(xué)生總數(shù)為 32人，在第一次考試中有 26 人及格，在第二次考試中有 24人及格，若兩次考試中，都及格的有 22 人，那么兩次考試都沒(méi)有及格的人數(shù)是多少【國(guó) 2004B-46】

A.10 B.4 C.6 D.8 應(yīng)用公式 26+24-22=32-X X=4 所以答案選B

【例9】某單位有青年員工 85人，其中 68 人會(huì)騎自行車(chē)，62 人會(huì)游泳，既不會(huì)騎車(chē)又不會(huì)游泳的有 12人，則既會(huì)騎車(chē)又會(huì)游泳的有多少人?！旧綎| 2004-13】

A.57 B.73 C.130 D.69 應(yīng)用公式： 68+62-X=85-12 X=57人

抽屜原理：

【例1】在一個(gè)口袋里有10個(gè)黑球，6 個(gè)白球，4 個(gè)紅球，至少取出幾個(gè)球才能保證其中有白球？【北京應(yīng)屆2007-15】 A.14 B.15 C.17 D.1849.采取總不利原則 10+4+1=15 這個(gè)沒(méi)什么好說(shuō)的剪繩問(wèn)題核心公式

一根繩連續(xù)對(duì)折N 次，從中M 刀，則被剪成了(2N×M+1)段

【例5】將一根繩子連續(xù)對(duì)折三次，然后每隔一定長(zhǎng)度剪一刀，共剪6刀。問(wèn)這樣操作后，原來(lái)的繩

子被剪成了幾段？【浙江2006-38】

A.18段 B.49段 C.42段 D.52段

2^3*6+1=49

方陣終極公式

假設(shè)方陣最外層一邊人數(shù)為N，則

一、實(shí)心方陣人數(shù)=N×N

二、最外層人數(shù)=（N－1）×4

【例 1】某學(xué)校學(xué)生排成一個(gè)方陣，最外層的人數(shù)是 60 人，問(wèn)這個(gè)方陣共有學(xué)生多少人？ 【國(guó)2002A-9】【國(guó)2002B-18】

A.256人 B.250人 C.225人 D.196人

（N-1）4=60 N=16 16*16=256 所以選A

【例3】某校的學(xué)生剛好排成一個(gè)方陣，最外層的人數(shù)是 96 人，問(wèn)這個(gè)學(xué)校共有學(xué)生：【浙 江2003-18】

A.600人 B.615人 C.625 人 D.640人

（N-1）4=96 N=25 N*N=625

過(guò)河問(wèn)題：

來(lái)回?cái)?shù)=[（總量-每次渡過(guò)去的）/（每次實(shí)際渡的）]*2+1 次數(shù)=[（總量-每次渡過(guò)去的）/（每次實(shí)際渡的）]+1 【例 1】有 37 名紅軍戰(zhàn)士渡河，現(xiàn)僅有一只小船，每次只能載 5 人，需要幾次才能渡完？ 【廣東2005上-10】

A.7次 B.8次 C.9次 D.10次

37-1/5-1 所以是9次

【例2】49名探險(xiǎn)隊(duì)員過(guò)一條小河，只有一條可乘 7人的橡皮船，過(guò)一次河需3 分鐘。全體

隊(duì)員渡到河對(duì)岸需要多少分鐘？（）【北京應(yīng)屆 2006-24】

A.54 B.48 C.45 D.39 【（49-7）/6】2+1=15 15*3=45

【例4】有一只青蛙掉入一口深10 米的井中。每天白天這只青蛙跳上 4 米晚上又滑下 3 米，則這只青蛙經(jīng)過(guò)多少天可以從井中跳出? A.7 B.8 C.9 D.10 【（10-4）/1】+1=7

核心提示

三角形內(nèi)角和180° N 邊形內(nèi)角和為（N-2）180

【例1】三角形的內(nèi)角和為180度，問(wèn)六邊形的內(nèi)角和是多少度？【國(guó)家 2002B-12】

A.720度 B.600度 C.480度 D.360度

（6-2）180=720° 盈虧問(wèn)題：

（1）一次盈，一次虧：（盈+虧）÷（兩次每人分配數(shù)的差）=人數(shù)（2）兩次都有盈：（大盈-小盈）÷（兩次每人分配數(shù)的差）=人數(shù)（3）兩次都是虧：（大虧-小虧）÷（兩次每人分配數(shù)的差）=人數(shù)（4）一次虧，一次剛好：虧÷（兩次每人分配數(shù)的差）=人數(shù)（5）一次盈，一次剛好：盈÷（兩次每人分配數(shù)的差）=人數(shù)

例：“小朋友分桃子，每人10個(gè)少9個(gè)，每人8個(gè)多7個(gè)。問(wèn)：有多少個(gè)小朋友和多少個(gè)桃子？”

解（7+9）÷（10-8）=16÷2=8（個(gè)）………………人數(shù)

10×8-9=80-9=71（個(gè)）………………桃子

還有那個(gè)排方陣，一排加三個(gè)人，剩29人的題，也可用盈虧公式解答。

行程問(wèn)題模塊

平均速度問(wèn)題 V=2V1V2/V1+V2 【例 1】有一貨車(chē)分別以時(shí)速 40km 和 60km往返于兩個(gè)城市，往返這兩個(gè)城市一次的平均

時(shí)速為多少？【國(guó)家1999-39】

A.55km B.50km C.48km D.45km 2*40*60/100=48 【例 2】一輛汽車(chē)從 A 地到 B 地的速度為每小時(shí) 30 千米，返回時(shí)速度為每小時(shí) 20 千米，則它的平均速度為多少千米/時(shí)？【浙江 2003-20】

A.24千米／時(shí) B.24.5千米／時(shí) C.25千米／時(shí) D.25.5 千米/時(shí)

2*30*20/30+20=24

比例行程問(wèn)題

路程＝速度×?xí)r間（1 2 1 2 12 S vt = 或 或 或）路程比＝速度比×?xí)r間比，S1/S2=V1/V2=T1/T2 運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，運(yùn)動(dòng)距離正比與運(yùn)動(dòng)速度

運(yùn)動(dòng)速度相等，運(yùn)動(dòng)距離正比與運(yùn)動(dòng)時(shí)間

運(yùn)動(dòng)距離相等，運(yùn)動(dòng)速度反比與運(yùn)動(dòng)時(shí)間

【例2】 A、B兩站之間有一條鐵路，甲、乙兩列火車(chē)分別停在A站和B站，甲火車(chē)4分鐘走的路程等于乙火車(chē)5分鐘走的路程，乙火車(chē)上午8時(shí)整從B站開(kāi)往A站，開(kāi)出一段時(shí)間后，甲火車(chē)從A站出發(fā)開(kāi)往B站，上午9時(shí)整兩列火車(chē)相遇，相遇地點(diǎn)離A、B兩站的距離比是15∶16，那么，甲火車(chē)在什么時(shí) 刻從A站出發(fā)開(kāi)往B站。【國(guó)2007-53】

A.8時(shí)12分 B.8時(shí)15分 C.8時(shí)24分 D.8時(shí)30分

速度比是4：5 路程比是15：16 15S：16S 5V : 4V 所以T1:T2=3:4 也就是45分鐘 60-45=15 所以答案是B

在相遇追及問(wèn)題中：

凡有益于相對(duì)運(yùn)動(dòng)的用“加”，速度取“和”，包括相遇、背離等問(wèn)題。

凡阻礙 相對(duì)運(yùn)動(dòng)的用“減”，速度取“差”，包括追及等問(wèn)題。

從隊(duì)尾到對(duì)頭的時(shí)間=隊(duì)伍長(zhǎng)度/速度差 從對(duì)頭到隊(duì)尾的時(shí)間=隊(duì)伍長(zhǎng)度/速度和

【例 2】紅星小學(xué)組織學(xué)生排成隊(duì)步行去郊游，每分鐘步行 60 米，隊(duì)尾的王老師以每分鐘步行 150 米的速度趕到排頭，然后立即返回隊(duì)尾，共用 10 分鐘。求隊(duì)伍的長(zhǎng)度？（）【北京社招2005-20】

A.630米 B.750米 C.900米 D.1500米 X/90+X/210=10 X=630

某鐵路橋長(zhǎng) 1000 米，一列火車(chē)從橋上通過(guò)，測(cè)得火車(chē)從開(kāi)始上橋到完全下橋共用 120 秒，整列火車(chē)完全在橋上的時(shí)間80秒，則火車(chē)速度是？【北京社招 2007-21】

A.10米/秒 B.10.7米/秒 C.12.5 米/秒 D.500米/分

核心提示

列車(chē)完全在橋上的時(shí)間=（橋長(zhǎng)-車(chē)長(zhǎng)）/列車(chē)速度

列車(chē)從開(kāi)始上橋到完全下橋所用的時(shí)間=（橋長(zhǎng)+車(chē)長(zhǎng)）/列車(chē)速度 1000+X=120V 1000-X=80V 解得 10米/秒

為節(jié)約用水，某市決定用水收費(fèi)實(shí)行超額超收，標(biāo)準(zhǔn)用水量以內(nèi)每噸2.5元，超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的部

分加倍收費(fèi)。某用戶某月用水15噸，交水費(fèi)62.5元，若該用戶下個(gè)月用水12噸，則應(yīng)交水費(fèi)多少錢(qián)？

15頓和12頓都是超額的，所以62.5－（3X5）

[例1]某團(tuán)體從甲地到乙地，甲、乙兩地相距 100千米，團(tuán)體中一部分人乘車(chē)先行，余下的人步行，先坐車(chē)的人到途中某處下車(chē)步行，汽車(chē)返回接先步行的那部分人，已經(jīng)步行速度為8千米/小時(shí)，汽車(chē)速度為40千米/小時(shí)。問(wèn)使團(tuán)體全部成員同時(shí)到達(dá)乙地需要多少時(shí)間？

A.5.5小時(shí) B.5小時(shí) C.4.5小時(shí) D.4小時(shí)

假設(shè)有m個(gè)人（或者m組人），速度v1，一個(gè)車(chē)，速度v2。

車(chē)只能坐一個(gè)/組人，來(lái)回接人，最短時(shí)間內(nèi)同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)。總距離為S。

T=(S/v2)*[(2m-1)v2+v1]/[v2+(2m-1)v1]

3.【分享】排列組合基礎(chǔ)知識(shí)及習(xí)題分析

在介紹排列組合方法之前 我們先來(lái)了解一下基本的運(yùn)算公式！

C5取3＝（5×4×3）/（3×2×1）C6取2＝（6×5）/（2×1）

通過(guò)這2個(gè)例子 看出

CM取N 公式 是種子數(shù)M開(kāi)始與自身連續(xù)的N個(gè)自然數(shù)的降序乘積做為分子。以取值N的階層作為分母

P53＝5×4×3 P66＝6×5×4×3×2×1

通過(guò)這2個(gè)例子

PMN＝從M開(kāi)始與自身連續(xù)N個(gè)自然數(shù)的降序乘積 當(dāng)N＝M時(shí) 即M的階層

排列、組合的本質(zhì)是研究“從n個(gè)不同的元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素，有序和無(wú)序擺放的各種可能性”.區(qū)別排列與組合的標(biāo)志是“有序”與“無(wú)序”.解答排列、組合問(wèn)題的思維模式有二：

其一是看問(wèn)題是有序的還是無(wú)序的？有序用“排列”，無(wú)序用“組合”；

其二是看問(wèn)題需要分類(lèi)還是需要分步？分類(lèi)用“加法”，分步用“乘法”.分 類(lèi)：“做一件事，完成它可以有n類(lèi)方法”，這是對(duì)完成這件事的所有辦法的一個(gè)分類(lèi).分類(lèi)時(shí)，首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)適合于它的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè) 標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類(lèi)；其次，分類(lèi)時(shí)要注意滿足兩條基本原則：①完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類(lèi)；②分別屬于不同兩類(lèi)的兩種方法是不同的方法.分步：“做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟”，這是說(shuō)完成這件事的任何一種方法，都要分成n個(gè)步驟.分步時(shí)，首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，確定一個(gè)可行的分步標(biāo)準(zhǔn)；其次，步驟的設(shè)

置要滿足完成這件事必須并且只需連續(xù)完成這n個(gè)步驟后，這件事才算最終完成.兩 個(gè)原理的區(qū)別在于一個(gè)和分類(lèi)有關(guān)，一個(gè)與分步有關(guān).如果完成一件事有n類(lèi)辦法，這n類(lèi)辦法彼此之間是相互獨(dú)立的，無(wú)論那一類(lèi)辦法中的那一種方法都能單獨(dú)完 成這件事，求完成這件事的方法種數(shù)，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n個(gè)步驟，缺一不可，即需要依次完成所有的步驟，才能完成這件事，而完成每一個(gè) 步驟各有若干種不同的方法，求完成這件事的方法種類(lèi)就用乘法原理.在解決排列與組合的應(yīng)用題時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

1．有限制條件的排列問(wèn)題常見(jiàn)命題形式：

“在”與“不在” “鄰”與“不鄰”

在解決問(wèn)題時(shí)要掌握基本的解題思想和方法：

⑴“相鄰”問(wèn)題在解題時(shí)常用“合并元素法”，可把兩個(gè)以上的元素當(dāng)做一個(gè)元素來(lái)看，這是處理相鄰最常用的方法.⑵“不鄰”問(wèn)題在解題時(shí)最常用的是“插空排列法”.⑶“在”與“不在”問(wèn)題，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置.⑷元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序限制，等排列完畢后，利用規(guī)定順序的實(shí)情求出結(jié)果.2．有限制條件的組合問(wèn)題，常見(jiàn)的命題形式：

“含”與“不含”

“至少”與“至多”

在解題時(shí)常用的方法有“直接法”或“間接法”.3． 在處理排列、組合綜合題時(shí)，通過(guò)分析條件按元素的性質(zhì)分類(lèi)，做到不重、不漏，按事件的發(fā)生過(guò)程分步，正確地交替使用兩個(gè)原理，這是解決排列、組合問(wèn)題的最基本的，也是最重要的思想方法.*****************************************************************************

提供10道習(xí)題供大家練習(xí)

1、三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且最大邊長(zhǎng)為11的三角形的個(gè)數(shù)為（C）

(A)25個(gè)(B)26個(gè)(C)36個(gè)(D)37個(gè)

-----------------------【解析】

根據(jù)三角形邊的原理 兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊

可見(jiàn)最大的邊是11

則兩外兩邊之和不能超過(guò)22 因?yàn)楫?dāng)三邊都為11時(shí) 是兩邊之和最大的時(shí)候

因此我們以一條邊的長(zhǎng)度開(kāi)始分析

如果為11，則另外一個(gè)邊的長(zhǎng)度是11，10，9，8，7，6。。。1

如果為10 則另外一個(gè)邊的長(zhǎng)度是10，9，8。。。2，（不能為1 否則兩者之和會(huì)小于11，不能為11，因?yàn)榈谝环N情況包含了11，10的組合）

如果為9 則另外一個(gè)邊的長(zhǎng)度是 9，8，7。。。。3（理由同上，可見(jiàn)規(guī)律出現(xiàn)）

規(guī)律出現(xiàn) 總數(shù)是11＋9＋7＋。。1＝（1＋11）×6÷2＝36

2、（1）將4封信投入3個(gè)郵筒，有多少種不同的投法？

-----------------------------【解析】 每封信都有3個(gè)選擇。信與信之間是分步關(guān)系。比如說(shuō)我先放第1封信，有3種可能性。接著再放第2封，也有3種可能性，直到第4封，所以分步屬于乘法原則 即3×3×3×3＝3^

4（2）3位旅客，到4個(gè)旅館住宿，有多少種不同的住宿方法？

------------------------------

【解析】跟上述情況類(lèi)似 對(duì)于每個(gè)旅客我們都有4種選擇。彼此之間選擇沒(méi)有關(guān)系 不夠成分類(lèi)關(guān)系。屬于分步關(guān)系。如：我們先安排第一個(gè)旅客是4種，再安排第2個(gè)旅客是4種選擇。知道最后一個(gè)旅客也是4種可能。根據(jù)分步原則屬于乘法關(guān)系 即 4×4×4＝4^3

（3）8本不同的書(shū)，任選3本分給3個(gè)同學(xué)，每人一本，有多少種不同的分法？

------------------------------【解析】分步來(lái)做

第一步：我們先選出3本書(shū) 即多少種可能性 C8取3＝56種

第二步：分配給3個(gè)同學(xué)。P33＝6種

這 里稍微介紹一下為什么是P33，我們來(lái)看第一個(gè)同學(xué)可以有3種書(shū)選擇，選擇完成后，第2個(gè)同學(xué)就只剩下2種選擇的情況，最后一個(gè)同學(xué)沒(méi)有選擇。即3×2×1 這是分步選擇符合乘法原則。最常見(jiàn)的例子就是 1，2，3，4四個(gè)數(shù)字可以組成多少4位數(shù)？ 也是滿足這樣的分步原則。用P來(lái)計(jì)算是因?yàn)槊總€(gè)步驟之間有約束作用 即下一步的選擇受到上一步的壓縮。

所以該題結(jié)果是56×6＝336

3、七個(gè)同學(xué)排成一橫排照相.（1）某甲不站在排頭也不能在排尾的不同排法有多少種？（3600）

--------------【解析】

這個(gè)題目我們分2步完成

第一步： 先給甲排 應(yīng)該排在中間的5個(gè)位置中的一個(gè) 即C5取1＝5 第二步： 剩下的6個(gè)人即滿足P原則 P66＝720 所以 總數(shù)是720×5＝3600

（2）某乙只能在排頭或排尾的不同排法有多少種？（1440）

------------------【解析】

第一步：確定乙在哪個(gè)位置 排頭排尾選其一 C2取1＝2 第二步：剩下的6個(gè)人滿足P原則 P66＝720 則總數(shù)是 720×2＝1440

（3）甲不在排頭或排尾，同時(shí)乙不在中間的不同排法有多少種？（3120）

--------------------【解析】特殊情況先安排特殊

第一種情況：甲不在排頭排尾 并且不在中間的情況

去除3個(gè)位置 剩下4個(gè)位置供甲選擇 C4取1＝4，剩下6個(gè)位置 先安中間位置 即除了甲乙2人，其他5人都可以 即以5開(kāi)始，剩下的5個(gè)位置滿足P原則 即5×P55＝5×120＝600 總數(shù)是4×600＝2400

第2種情況：甲不在排頭排尾，甲排在中間位置

則 剩下的6個(gè)位置滿足P66＝720

因?yàn)槭欠诸?lèi)討論。所以最后的結(jié)果是兩種情況之和 即 2400＋720＝3120

（4）甲、乙必須相鄰的排法有多少種？（1440）

----------------【解析】相鄰用捆綁原則 2人變一人，7個(gè)位置變成6個(gè)位置，即分步討論

第1： 選位置 C6取1＝6

第2： 選出來(lái)的2個(gè)位置對(duì)甲乙在排 即P22＝2 則安排甲乙符合情況的種數(shù)是2×6＝12 剩下的5個(gè)人即滿足P55的規(guī)律＝120 則 最后結(jié)果是 120×12＝1440

（5）甲必須在乙的左邊（不一定相鄰）的不同排法有多少種？（2520）

------------------------【解析】

這個(gè)題目非常好,無(wú)論怎么安排甲出現(xiàn)在乙的左邊 和出現(xiàn)在乙的右邊的概率是一樣的。所以我們不考慮左右問(wèn)題 則總數(shù)是P77＝5040 ,根據(jù)左右概率相等的原則 則排在左邊的情況種數(shù)是5040÷2＝25204、用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的數(shù).（1）能組成多少個(gè)四位數(shù)？（300）

-------------------------【解析】 四位數(shù) 從高位開(kāi)始到低位 高位特殊 不能排0。則只有5種可能性

接下來(lái)3個(gè)位置滿足P53原則＝5×4×3＝60 即總數(shù)是 60×5＝300

（2）能組成多少個(gè)自然數(shù)？（1631）

--------------------------【解析】自然數(shù)是從個(gè)位數(shù)開(kāi)始所有情況

分情況

1位數(shù)： C6取1＝6

2位數(shù)： C5取2×P22＋C5取1×P11＝25 3位數(shù)： C5取3×P33＋C5取2×P22×2＝100 4位數(shù)： C5取4×P44＋C5取3×P33×3＝300

5位數(shù)： C5取5×P55＋C5取4×P44×4＝600

6位數(shù)： 5×P55＝5×120＝600 總數(shù)是1631

這里解釋一下計(jì)算方式 比如說(shuō)2位數(shù)： C5取2×P22＋C5取1×P11＝25

先從不是0的5個(gè)數(shù)字中取2個(gè)排列 即C5取2×P22 還有一種情況是從不是0的5個(gè)數(shù)字中選一個(gè)和0搭配成2位數(shù) 即C5取1×P11 因?yàn)?不能作為最高位 所以最高位只有1種可能

（3）能組成多少個(gè)六位奇數(shù)？（288）

--------------------

【解析】高位不能為0 個(gè)位為奇數(shù)1，3，5 則 先考慮低位，再考慮高位 即 3×4×P44＝12×24＝288

（4）能組成多少個(gè)能被25整除的四位數(shù)？（21）

---------------------【解析】 能被25整除的4位數(shù)有2種可能

后2位是25： 3×3＝9

后2位是50： P42＝4×3＝12 共計(jì)9＋12＝21

（5）能組成多少個(gè)比201345大的數(shù)？（479）

-----------------【解析】

從數(shù)字201345 這個(gè)6位數(shù)看 是最高位為2的最小6位數(shù) 所以我們看最高位大于等于2的6位數(shù)是多少？

4×P55＝4×120＝480 去掉 201345這個(gè)數(shù) 即比201345大的有480－1＝479

（6）求所有組成三位數(shù)的總和.（32640）

--------------【解析】每個(gè)位置都來(lái)分析一下

百位上的和：M1=100×P52(5+4+3+2+1)十位上的和：M2=4×4×10(5+4+3+2+1)個(gè)位上的和：M3=4×4(5+4+3+2+1)總和 M＝M1+M2+M3=326405、生產(chǎn)某種產(chǎn)品100件，其中有2件是次品，現(xiàn)在抽取5件進(jìn)行檢查.（1）“其中恰有兩件次品”的抽法有多少種？（152096）

【解析】 也就是說(shuō)被抽查的5件中有3件合格的，即是從98件合格的取出來(lái)的所以 即C2取2×C98取3＝152096

（2）“其中恰有一件次品”的抽法有多少種？（7224560）

【解析】同上述分析，先從2件次品中挑1個(gè)次品，再?gòu)?8件合格的產(chǎn)品中挑4個(gè)

C2取1×C98取4＝7224560

（3）“其中沒(méi)有次品”的抽法有多少種？（67910864）

【解析】則即在98個(gè)合格的中抽取5個(gè) C98取5＝67910864

（4）“其中至少有一件次品”的抽法有多少種？（7376656）

【解析】全部排列 然后去掉沒(méi)有次品的排列情況 就是至少有1種的C100取5－C98取5＝7376656

（5）“其中至多有一件次品”的抽法有多少種？（75135424）

【解析】所有的排列情況中去掉有2件次品的情況即是至多一件次品情況的C100取5－C98取3＝75135424

6、從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要有甲型和乙型電視機(jī)各1臺(tái)，則不同的取法共有（）

(A)140種(B)84種(C)70種(D)35種

-------------------------【解析】根據(jù)條件我們可以分2種情況

第一種情況：2臺(tái)甲＋1臺(tái)乙 即 C4取2×C5取1＝6×5＝30 第二種情況：1臺(tái)甲＋2臺(tái)乙 即 C4取1×C5取2＝4×10＝40 所以總數(shù)是 30＋40＝70種

7、在50件產(chǎn)品中有4件是次品，從中任抽5件，至少有3件是次品的抽法有__種.------------------------【解析】至少有3件 則說(shuō)明是3件或4件

3件：C4取3×C46取2＝4140 4件：C4取4×C46取1＝46

共計(jì)是 4140＋46＝41868、有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù), 甲需2人承擔(dān), 乙、丙各需1人承擔(dān).從10人中選派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù), 不同的選法共有（C）

(A)1260種(B)2025種(C)2520種(D)5040種

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【解析】分步完成

第一步：先從10人中挑選4人的方法有：C10取4＝210

第二步：分配給甲乙并的工作是C4取2×C2取1×C1取1＝6×2×1＝12種情況

則根據(jù)分步原則 乘法關(guān)系 210×12＝2520 9、12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車(chē)流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分配方案共有__

C(4,12)C(4,8)C(4,4)

___種

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【解析】每個(gè)路口都按次序考慮

第一個(gè)路口是C12取4

第二個(gè)路口是C8取4 第三個(gè)路口是C4取4

則結(jié)果是C12取4×C8取4×C4取4

可能到了這里有人會(huì)說(shuō) 三條不同的路不是需要P33嗎 其實(shí)不是這樣的 在我們從12人中任意抽取人數(shù)的時(shí)候，其實(shí)將這些分類(lèi)情況已經(jīng)包含了對(duì)不同路的情況的包含。如果再×P33 則是重復(fù)考慮了

如果這里不考慮路口的不同 即都是相同路口 則情況又不一樣 因?yàn)槲覀冊(cè)诜峙淙藬?shù)的時(shí)候考慮了路口的不同。所以最后要去除這種可能情況 所以在上述結(jié)果的情況下要÷P3310、在一張節(jié)目表中原有8個(gè)節(jié)目，若保持原有節(jié)目的相對(duì)順序不變，再增加三個(gè)節(jié)目，求共有多少種安排方法？ 990

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【解析】

這是排列組合的一種方法 叫做2次插空法

直接解答較為麻煩，故可先用一個(gè)節(jié)目去插9個(gè)空位，有P(9,1)種方法；再用另一個(gè)節(jié)目去插10個(gè)空位，有P(10,1)種方法；用最后一個(gè)節(jié)目去插11個(gè)空位，有P(11,1)方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法為P(9,1)×P(10,1)×P(11,1)=990種。

另解：先在11個(gè)位置中排上新添的三個(gè)節(jié)目有P(11,3)種，再在余下的8個(gè)位置補(bǔ)上原有的8個(gè)節(jié)目，只有一解，所以所有方法有P311×1=990種。

4.【分享】排列組合新講義

作者：徐克猛（天字1號(hào)）2009-2-19

一、排列組合定義

1、什么是C 公式C是指組合，從N個(gè)元素取R個(gè)，不進(jìn)行排列（即不排序）。例如：編號(hào)1～3的盒子，我們找出2個(gè)來(lái)使用，這里就是運(yùn)用組合而不是排列，因?yàn)轭}目只是要求找出2個(gè)盒子的組合。即C（3，2）＝3

2、什么是P或A 公式P是指排列，從N個(gè)元素取R個(gè)進(jìn)行排列(即排序)。

例如：1～3，我們?nèi)〕?個(gè)數(shù)字出來(lái)組成2位數(shù)，可以是先取C（3，2）后排P22，就構(gòu)成了 C（3，2）×P（2，2）＝A（3，2）

3、A和C的關(guān)系

事實(shí)上通過(guò)我們上面2個(gè)對(duì)定義的分析，我們可以看出的是，A比C多了一個(gè)排序步驟，即組合是排列的一部分且是第一步驟。

4、計(jì)算方式以及技巧要求

組合：C（M，N）＝M！÷（N！×（M－N）！）

條件：N<=M

排列：A（M，N）＝M！÷（M－N）！

條件：N<=M 為了在做排列組合的過(guò)程中能夠?qū)λ俣扔斜匾囊?，我需要大家能夠熟練的掌?～7的階乘，當(dāng)然在運(yùn)算的過(guò)程中，我們要學(xué)會(huì)從逆向思維角度考慮問(wèn)題，例如C（M，N）當(dāng)中N取值過(guò)大，那么我們可以看M－N的值是否也很大。如果不大。我們可以求C（M，[M－N]），因?yàn)?C（M，N）＝C（M，[M－N]）

二、排列組合常見(jiàn)的恒等公式

1、C（n，0）＋C（n，1）＋C（n，2）＋……＋C（n，n）＝2^n

2、C（m，n）＋C（m，n＋1）＝C（m＋1，n＋1）針對(duì)這2組公式我來(lái)舉例運(yùn)用

(1)有10塊糖，假設(shè)每天至少吃1塊，問(wèn)有多少種不同的吃法？ 解答：C（9，0）＋C（9，1）＋……＋C（9，9）＝2^9=512

(2)，公司將14副字畫(huà)平均分給甲乙篩選出參加展覽的字畫(huà)，按照要求，甲比乙多選1副，且已知甲按照要求任意挑選的方法與乙任意挑選的方法 之和為70，求，甲挑選了多少副參加展覽？

C（8，n）＝70

n＝4

即得到甲選出了4副。

三、排列組合的基本理論精要部分（分類(lèi)和分步）

(1)、加法原理（實(shí)質(zhì)上就是一種分類(lèi)原則）：一個(gè)物件，它是由若干個(gè)小塊組成的，我們要知道這個(gè)物件有多重，實(shí)際上可以分來(lái)算，比如，我們知道每一個(gè)小塊的重量，然后計(jì)算總和就等于這個(gè)物件的重量了，這就是我們要談的分類(lèi)原則。排列組合當(dāng)中，當(dāng)我們要求某一個(gè)事件發(fā)成的可能性種類(lèi)，我們可以將這個(gè)事件分成若干個(gè)小事件來(lái)看待?；麨榱?，例如：7個(gè)人排座位，其中甲乙都只能坐在邊上。問(wèn)有幾種方法。根據(jù)分類(lèi)的方法。我們可以看，第一類(lèi)情況：甲坐在左邊，乙坐在右邊，其他人隨便坐，A（5，5）第二類(lèi)情況：甲坐在右邊，乙坐在左邊，其他人隨便坐，A（5，5）

我們分別計(jì)算出2種情況進(jìn)而求和即得到答案。這就是分類(lèi)原則。這樣就是A（5，5）＋A（5，5）＝240

(2)、乘法原理（實(shí)質(zhì)上就是一種分步原則）：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，??，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×m3×?×mn種不同的方法．

例如： 7個(gè)人排座位，其中甲乙都只能坐在邊上。問(wèn)有幾種方法，按照分步原則，第一步：我們先對(duì)甲乙之外的5個(gè)人先排序座位，把兩端的座位空下來(lái)，A（5，5）第二步：我們?cè)倥偶滓遥珹（2，2）這樣就是 A（5，5）×A（2，2）＝240

如何區(qū)分兩個(gè)原理：

我們知道分類(lèi)原則也就是加法原則，每一個(gè)分類(lèi)之間沒(méi)有聯(lián)系，都是可以單獨(dú)運(yùn)算，單獨(dú)成題的，也就是說(shuō)，這一類(lèi)情況的方法是獨(dú)立的，所以我們采用了加法原理。要做一件事，完成它若是有n類(lèi)辦法，是分類(lèi)問(wèn)題，第一類(lèi)中的方法都是獨(dú)立的，因此用加法原理；

我們知道分步原則也就是乘法原則。做一件事，需要分n個(gè)步驟，步與步之間是連續(xù)的，只有將分成的若干個(gè)互相聯(lián)系的步驟，依次相繼完成，這件事才算完成，因此用乘法原理．說(shuō)明其每一個(gè)步驟之間都是有必然聯(lián)系的。是相互依靠的關(guān)系。所以采用了乘法原則。

這樣完成一件事的分“類(lèi)”和“步”是有本質(zhì)區(qū)別的，因此也將兩個(gè)原理區(qū)分開(kāi)來(lái)

（3）特殊優(yōu)先，一般次要的原則

例題：

（1）從1、2、3、……、20這二十個(gè)數(shù)中任取三個(gè)不同的數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的不同等差數(shù)列有___個(gè)。

第一步構(gòu)建排列組合的定義模式，如果把數(shù)學(xué)邏輯轉(zhuǎn)換的問(wèn)題。

（2）在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A，B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長(zhǎng)，要求A，B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有______種。

第一類(lèi)：A在第一壟，B有3種選擇；

第二類(lèi)：A在第二壟，B有2種選擇；

第三類(lèi)：A在第三壟，B有一種選擇，同理A、B位置互換，共12種。

（3）從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有________。

(A)240

(B)180

(C)120

(D)60 分析：顯然本題應(yīng)分步解決。

（一）從6雙中選出一雙同色的手套，有C（6，1）種方法；

（二）從剩下的5雙手套中任選2雙，有C（5，2）種方法。

（三）這2雙可以任意取出其中每雙中的1只，保證各不成雙； 即 C（6，1）*C（5，2）*2^2=240

（4）身高互不相同的6個(gè)人排成2橫行3縱列，在第一行的每一個(gè)人都比他同列的身后的人個(gè)子矮，則所有不同的排法種數(shù)為_(kāi)______。

分析：每一縱列中的兩人只要選定，則他們只有一種站位方法，因而每一縱列的排隊(duì)方法只與人的選法有關(guān)系，共有三縱列，從而有C（6，2）×C（4，2）×C（2，2）=90種。

四、解決排列組合問(wèn)題的策略

1、逆向思維法：我們知道排列組合都是對(duì)一個(gè)元素集合進(jìn)行篩選排序。我們可以把這個(gè)集合看成數(shù)學(xué)上的單位1，那么1＝a＋b 就是我們構(gòu)建逆向思維的數(shù)學(xué)模型了，當(dāng)a不利于我們運(yùn)算求解的時(shí)候，我們不妨從b的角度出發(fā)思考，這樣同樣可以求出a＝1－b。

例題：7個(gè)人排座，甲坐在乙的左邊（不一定相鄰）的情況有多少種？

例題：一個(gè)正方體有8個(gè)頂點(diǎn) 我們?nèi)我膺x出4個(gè)，有多少種情況是這4個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)

成四面體的。

例題：用0，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）

A．24個(gè)

B．30個(gè)

C．40個(gè)

D．60個(gè)

2、解含有特殊元素、特殊位置的題——采用特殊優(yōu)先安排的策略：

（1）無(wú)關(guān)型：兩個(gè)特殊位置上分別可取的元素所組成的集合的交是空集

例題：用0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)被10整除且數(shù)字不同的六位數(shù)?（2）包含型：兩個(gè)特殊位置上分別可取的元素所組成集合具有包合關(guān)系

例題：用0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)被5整除且數(shù)字不同的六位奇數(shù)? P55×－P44＝120－24＝96

用0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)被25整除且數(shù)字不同的六位數(shù)? 25，75（3×3×2×1）×2＋P44＝36＋24＝60（3）影響型：兩個(gè)特殊位置上可取的元素既有相同的，又有不同的。

例題：用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字，可以組成比20000大并且百位數(shù)字不是3的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)有多少個(gè)?

3、解含有約束條件的排列組合問(wèn)題一――采用合理分類(lèi)與準(zhǔn)確分步的策略 例題：平面上4條平行直線與另外5條平行直線互相垂直，則它們構(gòu)成的矩形共有________個(gè)。

簡(jiǎn)析：按構(gòu)成矩形的過(guò)程可分為如下兩步：第一步．先在4條平行線中任取兩條，有C4取2種取法；第二步再在5條平行線中任取兩條，有C5取2種取法。這樣取出的四條直線構(gòu)成一個(gè)矩形，據(jù)乘法原理，構(gòu)成的矩形共有6×10=60個(gè)

4、解排列組臺(tái)混合問(wèn)題——采用先選后排策略

對(duì)于排列與組合的混合問(wèn)題，可采取先選出元素，后進(jìn)行排列的策略。

例：4個(gè)不同小球放入編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒子，則恰有一個(gè)空盒的放法有___種。144

5、插板法

插板法的條件構(gòu)成： 1元素相同，2分組不同，3必須至少分得1個(gè) 插板法的類(lèi)型：（1）、10塊奶糖分給4個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友至少1塊，則有多少種分法？（典型插板法 點(diǎn)評(píng)略）（2）、10塊奶糖分給4個(gè)小朋友有多少種方法？（湊數(shù)插板法： 這個(gè)題目對(duì)照插板法的3個(gè)條件我們發(fā)現(xiàn) 至少滿足1個(gè)這個(gè)條件沒(méi)有，所以我們必須使其滿足，最好的方法 就是用14塊奶糖來(lái)分，至少每人1塊，當(dāng)每個(gè)人都分得1塊之后，剩下的10塊就可以隨便分了，就回歸到了原題）（3）、10塊奶糖放到編號(hào)為1，2，3的3個(gè)盒子里，每個(gè)盒子的糖數(shù)量不少于其編號(hào)數(shù)，則有幾種方法？（定制插板法： 已然是最后一個(gè)條件不滿足，我們?cè)撛趺刺幚砟?，?yīng)該學(xué)會(huì)先去安排 使得每個(gè)盒子都差1個(gè)，這樣就保證每個(gè)盒子必須分得1個(gè)，從這個(gè)思路出發(fā)，跟第二個(gè)例題是姊妹題

思路是一樣的 對(duì)照條件 想辦法使其和條件吻合?。?）、8塊奶糖和另外3個(gè)不同品牌的水果糖要放到編號(hào)為1～11的盒子里面，每個(gè)盒子至少放1個(gè)，有多少種方法？（多次插空法 這里不多講，見(jiàn)我排列組合基礎(chǔ)講義）

6、遞歸法（枚舉法）

公考也有這樣的類(lèi)型，排錯(cuò)信封問(wèn)題，還有一些郵票問(wèn)題

歸納法：

例如：5封信一一對(duì)應(yīng)5個(gè)信封，其中有3個(gè)封信裝錯(cuò)信封的情況有多少種？

枚舉法：

例如：10張相同的郵票 分別裝到4個(gè)相同的信封里面，每個(gè)信封至少1張郵票，有多少種方法？ 枚舉： 1，1，1，7 1，1，2，6 1，1，3，5 1，1，4，4 1，2，2，5 1，2，3，4 1，3，3，3 2，2，2，4 2，2，3，3 9種方法！

五、疑難問(wèn)題

1、如何驗(yàn)證重復(fù)問(wèn)題

2、關(guān)于位置與元素的相同問(wèn)題，例如： 6個(gè)人平均分配給3個(gè)不同的班級(jí)，跟 6個(gè)學(xué)生平分成3組的區(qū)別

3、關(guān)于排列組合里面，充分運(yùn)用對(duì)稱(chēng)原理。

例題： 1，2，3，4，5 五個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)十位數(shù)小于個(gè)位數(shù)的四位數(shù)？

例題：7個(gè)人排成一排，其中甲在乙右邊（可以不相鄰）的情況有多少種？

注解：分析2種對(duì)立情況的概率，即可很容易求解。當(dāng)對(duì)立情況的概率相等，即對(duì)稱(chēng)原理。

4、環(huán)形排列和線性排列問(wèn)題。（見(jiàn)我的基礎(chǔ)排列組合講義二習(xí)題講解）例如：3個(gè)女生和4個(gè)男生圍坐在一個(gè)圓桌旁。問(wèn)有多少種方法？

例如：3對(duì)夫婦圍坐在圓桌旁，男女間隔的坐法有多少種？

注解：排列組合中，特殊的地方在于，第一個(gè)坐下來(lái)的人是作為參照物，所以不納入排列的范疇，我們知道，環(huán)形排列中 每個(gè)位置都是相對(duì)的位置，沒(méi)有絕對(duì)位置，所以需要有一個(gè)人坐下來(lái)作為參照位置。

5、幾何問(wèn)題：見(jiàn)下面部分的內(nèi)容。

例析立體幾何中的排列組合問(wèn)題

在數(shù)學(xué)中，排列、組合無(wú)論從內(nèi)容上還是從思想方法上，都體現(xiàn)了實(shí)際應(yīng)用的觀點(diǎn)。1 點(diǎn)

1．1 共面的點(diǎn)

例題： 四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其它頂點(diǎn)與棱的中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一平面上，不同的取法有（）

A．30種

B．33種

C．36種

D．39種

答案：B 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查組合的知識(shí)和空間相像能力；屬難度中等的選擇題，失誤的主要原因是沒(méi)有把每條棱上的3點(diǎn)與它對(duì)棱上的中點(diǎn)共面的情況計(jì)算在內(nèi)。

1．2 不共面的點(diǎn)

例2： 四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有（）

A．150種

B．147種

C．144種

D．141種

解析：從10 個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)有C（10，4）＝210 種取法，其中4點(diǎn)共面的情況有三類(lèi)：第一類(lèi)，取出的4個(gè)點(diǎn)位于四面體的同一個(gè)面內(nèi)，有C（6，2）＝15種；第二類(lèi)，取任一條棱上的3個(gè)點(diǎn)及對(duì)棱的中點(diǎn)，這4點(diǎn)共面有6種；第三類(lèi)，由中位線構(gòu)成的平行四邊形，它的4個(gè)頂點(diǎn)共面，有3種。

以上三類(lèi)情況不合要求應(yīng)減掉，所以不同取法共有210－4×15－6－3＝141 種。答案：D。

點(diǎn)評(píng)：此題難度很大，對(duì)空間想像能力要求高，很好的考察了立體幾何中點(diǎn)共面的幾種情況；排列、組合中正難則反易的解題技巧及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想。

幾何型排列組合問(wèn)題的求解策略

有關(guān)幾何型組合題經(jīng)常出現(xiàn)在各類(lèi)試題中，它的求解不僅要具備排列組合的有關(guān)知識(shí)，而且還要掌握相關(guān)的幾何知識(shí).這類(lèi)題目新穎、靈活、能力要求高，因此要求掌握四種常用求解策略.一

分步求解

例1 圓周上有2n個(gè)等分點(diǎn)（n＞1），以其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____． 解：本題所求的三角形，即為圓的內(nèi)接直角三角形，由平面幾何知識(shí)，應(yīng)分兩步進(jìn)行：先從2n個(gè)點(diǎn)中構(gòu)成直徑（即斜邊）共有n種取法；再?gòu)挠嘞碌?2n－2)個(gè)點(diǎn)中取一點(diǎn)作為直角頂點(diǎn)，有(2n－2)種不同取法．故總共有n(2n－2)＝2n(n－1)個(gè)直角三角形．故填2n(n－1)．

例2： 從集合{0、1、2、3、5、7、11}中任取3個(gè)元素分別作為直線方程Ax＋By＋C＝0中的A、B、C，所得的經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)原直線共有____條（結(jié)果用數(shù)值來(lái)表示）.解：因?yàn)橹本€過(guò)原點(diǎn)，所以C＝0.從1、2、3、5、7、11這6個(gè)數(shù)中任取2個(gè)作為A、B，兩數(shù)的順序不同，表示的直線也不同，所以直線的條數(shù)為 P（6，2）＝30． 二

分類(lèi)求解

例3 四邊體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其它頂點(diǎn)與各棱的中點(diǎn)中取3點(diǎn)，使它們和A在同一平面上，不同取法有（）

(A)30種

(B)33種

(C)36種

(D)39種

解：符合條件的取法可分三類(lèi)：① 4個(gè)點(diǎn)（含A）在同一側(cè)面上，有3 ＝30種；②4個(gè)點(diǎn)（含A）在側(cè)棱與對(duì)棱中點(diǎn)的截面上，有3種；由加法原理知不同取法有33種，故選B.三

排除法求解

例4 從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有（）

(A)8種

(B)12種

(C)16種

(D)20種

解：由六個(gè)任取3個(gè)面共有 C（6，3）＝20種，排除掉3個(gè)面都相鄰的種數(shù)，即8個(gè)角上3個(gè)平面相鄰的特殊情形共8種，故符合條件共有 20－8＝12種，故選(B)．

例5 正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個(gè)點(diǎn)，以其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有（）個(gè)？

解：從7個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，共有C（7，3）＝35 個(gè)，排除掉不能構(gòu)成三角形的情形．點(diǎn)在同一直線上有3個(gè)，故符合條件的三角形共有 35－3＝32個(gè)．

四

轉(zhuǎn)化法求解

例6 空間六個(gè)點(diǎn)，它們?nèi)魏稳c(diǎn)不共線，任何四點(diǎn)不共面，則過(guò)每?jī)牲c(diǎn)的直線中有多少對(duì)異面直線？

解：考慮到每一個(gè)三棱錐對(duì)應(yīng)著3 對(duì)異面直線，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為能構(gòu)成多少個(gè)三棱錐.由于這六個(gè)點(diǎn)可構(gòu)成C（6，4）＝15 個(gè)三棱錐，故共有3×15 ＝45對(duì)異面直線.例7 一個(gè)圓的圓周上有10個(gè)點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)連接一條弦，求這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多有幾個(gè)？

解：考慮到每個(gè)凸四邊形的兩條對(duì)角線對(duì)應(yīng)一個(gè)交點(diǎn)，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為構(gòu)成凸四邊形的個(gè)數(shù)．顯然可構(gòu)成 C（10，4）＝210個(gè)圓內(nèi)接四邊形，故10個(gè)點(diǎn)連成的點(diǎn)最多能在圓中交點(diǎn)210個(gè).6、染色問(wèn)題：

不涉及環(huán)形染色 可以采用特殊區(qū)域優(yōu)先處理的方法來(lái)分步解決。環(huán)形染色可采用如下公式解決：

An＝（a－1）^n+(a-1)×(-1)^n n表示被劃分的個(gè)數(shù)，a表示顏色種類(lèi)

原則：被染色部分編號(hào)，并按編號(hào)順序進(jìn)行染色，根據(jù)情況分類(lèi) 在所有被染色的區(qū)域，區(qū)分特殊和一般，特殊區(qū)域優(yōu)先處理

例題1：將3種作物種植在如圖4所示的5塊試驗(yàn)田里，每塊種植一種作物，且相鄰的試驗(yàn)田不能種同一種作物。則有多少種種植方法？

圖1

例題2：用5種不同顏色為圖中ABCDE五個(gè)部分染色，相鄰部分不能同色，但同一種顏色可以反復(fù)使用，也可以不使用，則符合要求的不同染色方法有多少種？

圖2

例題3：將一個(gè)四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)染色，使同一條棱的2個(gè)端點(diǎn)不同色，且只由五個(gè)顏色可以使用，有多少種染色方法？

圖3

例題4：一個(gè)地區(qū)分為如圖4所示的五個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)在有4種顏色可供選擇，給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不同色，那么則有多少種染色方法？

圖4

例題5：某城市中心廣場(chǎng)建造了一個(gè)花圃，分6個(gè)部分（如圖5）現(xiàn)在要栽種4種不同的顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能種同樣顏色的花，則有多少種不同栽種方式？

圖5：

5.【分享】無(wú)私奉獻(xiàn)萬(wàn)華的排列組合題（系列之二）

上次發(fā)了萬(wàn)華的數(shù)字推理５０道，大家反映良好，現(xiàn)在我把萬(wàn)華原創(chuàng)的幾道排列組合奉獻(xiàn)給大家．還是那句老話，如果覺(jué)得可以的話，看后要回帖！以表示對(duì)別人的尊重！

一）1, 2, 3, 4作成數(shù)字不同的三位數(shù)，試求其總和？但數(shù)字不重復(fù)。

[解析]

組成3位數(shù) 我們以其中一個(gè)位置(百位,十位,個(gè)位)為研究對(duì)象就會(huì)發(fā)現(xiàn) 當(dāng)某個(gè)位置固定 比如是1,那么其他的2個(gè)位置上有多少種組合? 這個(gè)大家都知道 是剩下的3個(gè)數(shù)字的全排列 P32 我們研究的位置上每個(gè)數(shù)字都會(huì)出現(xiàn)P32次

所以每個(gè)位置上的數(shù)字之和就可以求出來(lái)了

個(gè)位是:P32*(1+2+3+4)=60 十位是:P32*(1+2+3+4)*10=600 百位是:P32*(1+2+3+4)*100=6000 所以總和是6660

（二）將“PROBABILITY ”11個(gè)字母排成一列，排列數(shù)有______種，若保持P, R, O次序，則排列數(shù)有______種。

[解析]

這個(gè)題目就是直線全排列出現(xiàn)相同元素的問(wèn)題:在我的另外一個(gè)帖子里面有介紹:http://bbs.qzzn.com/read-htm-tid-9487547.html

(1)我們首先把相同元素找出來(lái),B有2個(gè), I 有2個(gè) 我們先看作都是不同的11個(gè)元素全排列 這樣就簡(jiǎn)單的多是P11,11 然后把相同的元素能夠形成的排列剔除即可 P11/(P2,2*P2,2)=9979200。

(2)第2個(gè)小問(wèn)題 因要保持PRO的順序，就將PRO視為相同元素（跟B，I類(lèi)似的性質(zhì)），則其排列數(shù)有11！/（2！×2！×3?。? 166320種。

（三）李先生與其太太有一天邀請(qǐng)鄰家四對(duì)夫婦共10人圍坐一圓桌聊天，試求下列各情形之排列數(shù)：



（1）男女間隔而坐。

（2）主人夫婦相對(duì)而坐。

（3）每對(duì)夫婦相對(duì)而坐。



（4）男女間隔且夫婦相鄰。

（5）夫婦相鄰。

（6）男的坐在一起，女的坐在一起。

[解析]

(1)這個(gè)問(wèn)題也在http://bbs.qzzn.com/read-htm-tid-9487547.html介紹過(guò)

先簡(jiǎn)單介紹一下環(huán)形排列的特征,環(huán)形排列相對(duì)于直線排列缺少的就是參照物.第一個(gè)坐下來(lái)的人是沒(méi)有參照物的,所以無(wú)論做哪個(gè)位置都是一樣的.所以從這里我們就可以看出 環(huán)形排列的特征是 第一個(gè)人是做參照物,不參與排列.下面就來(lái)解答6個(gè)小問(wèn)題:

(1)先讓5個(gè)男的或5個(gè)女的先坐下來(lái) 全排列應(yīng)該是 P44, 空出來(lái)的位置他們的妻子(丈夫), 妻子(丈夫)的全排列這個(gè)時(shí)候有了參照物所以排列是P55 答案就是 P44*P55=2880種

(2)先讓主人夫婦找一組相對(duì)座位入座 其排列就是P11(記住不是P22),這個(gè)時(shí)候其他8個(gè)人再入座,就是P88,所以此題答案是 P88

(3)每對(duì)夫婦相對(duì)而坐,就是捆綁的問(wèn)題.5組相對(duì)位置有一組位置是作為參照位置給第一個(gè)入

座的夫婦的,剩下的4組位置就是P44, 考慮到剩下來(lái)的4組位置夫婦可以互換位置即 P44*2^4=384

(4)夫婦相鄰,且間隔而坐.我們先將每對(duì)夫婦捆綁 那么就是5個(gè)元素做環(huán)形全排列 即P44 這里在從性別上區(qū)分 男女看作2個(gè)元素 可以互換位置 即答案是P44*2=48種(值得注意的是,這里不是*2^4 因?yàn)橐Q位置,必須5對(duì)夫婦都得換 要不然就不能保持男女間隔)

(5)夫婦相鄰 這個(gè)問(wèn)題顯然比第4個(gè)問(wèn)題簡(jiǎn)單多了,即看作捆綁 答案就是P44 但是這里卻是每對(duì)夫婦呼喚位置都可以算一種方法的.即 最后答案是P44*2^5

(6)先從大方向上確定男女分開(kāi)座,那么我們可以通過(guò)性別確定為2個(gè)元素做環(huán)形全排列.即P1,1 , 剩下的5個(gè)男生和5個(gè)女生單獨(dú)做直線全排列 所以答案是P1,1 *P55*P55

（四）在一張節(jié)目表中原有8個(gè)節(jié)目，若保持原有節(jié)目的相對(duì)順序不變，再增加三個(gè)節(jié)目，求共有多少種安排方法？

[解析]

這個(gè)題目相信大家都見(jiàn)過(guò) 就是我們這次2008年國(guó)家公務(wù)員考試的一道題目: 這是排列組合的一種方法 叫做2次插空法或多次插空法

直接解答較為麻煩，我們知道8個(gè)節(jié)目相對(duì)位置不動(dòng),前后共計(jì)9個(gè)間隔,故可先用一個(gè)節(jié)目去插9個(gè)空位，有C9取1種方法；這樣9個(gè)節(jié)目就變成了10個(gè)間隔,再用另一個(gè)節(jié)目去插10個(gè)空位，有C10取1種方法；同理用最后一個(gè)節(jié)目去插10個(gè)節(jié)目形成的11個(gè)間隔中的一個(gè)，有C11取1方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法為9*10*11=990種。

方法2: 我們先安排11個(gè)位置,把8個(gè)節(jié)目按照相對(duì)順序放進(jìn)去,在放另外3個(gè)節(jié)目,11個(gè)位置選3個(gè)出來(lái)進(jìn)行全排列 那就是P11,3=11*10*9=990

（五）0，1，2，3，4，5五個(gè)數(shù)字能組成多少個(gè)被25整除的四位數(shù)？

[解析] 這里考察了一個(gè)常識(shí)性的問(wèn)題 即 什么樣數(shù)才能被25整除 即這個(gè)數(shù)的后2位必須

是25或者50，或者75或者00 方可.后兩位是25的情況有:千位只有3個(gè)數(shù)字可選(0不能)百位也是3個(gè)可選 即3*3=9種

后兩位是50的情況有:剩下的4個(gè)數(shù)字進(jìn)行選2位排列 P4,2=12種

75不可能，因?yàn)閿?shù)字中沒(méi)有7 00也不可能，因?yàn)閿?shù)字不能重復(fù) 共計(jì) 9+12=21種

6.【分享】“插板法”的條件模式隱藏運(yùn)用分析

在說(shuō)這2 道關(guān)于“插板法”的排列組合題目之前，我們需要弄懂一個(gè)問(wèn)題：

插板法排列組合是需要什么條件下才可以使用？這個(gè)問(wèn)題清楚了，我們?cè)谝院蟮拇痤}中 就可以盡量的變化題目使其滿足這個(gè)條件。

這個(gè)條件就是： 分組或者分班等等 至少分得一個(gè)元素。注意條件是 至少分得1個(gè)元素！

好我們先來(lái)看題目，例題1：某學(xué)校四、五、六三個(gè)年級(jí)組織了一場(chǎng)文藝演出，共演出18個(gè)節(jié)目，如果每個(gè)年級(jí)至少演出4個(gè)節(jié)目，那么這三個(gè)年級(jí)演出節(jié)目數(shù)的所有不同情況共有幾種？ －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【解析】

這個(gè)題目是Q友出的題目，題目中是不考慮節(jié)目的不同性 你可以視為18個(gè)相同的節(jié)目 不區(qū)分！

發(fā)現(xiàn)3個(gè)年級(jí)都是需要至少4個(gè)節(jié)目以上！跟插板法的條件有出入，插板法的條件是至少1個(gè)，這個(gè)時(shí)候?qū)Ρ纫幌?，我們就有了這樣的思路，為什么我們不把18個(gè)節(jié)目中分別給這3個(gè)年級(jí)各分配3個(gè)節(jié)目。

這樣這3個(gè)班級(jí)就都少1個(gè)，從而滿足至少1個(gè)的情況了

3×3＝9 還剩下18－9＝9個(gè)

剩下的9個(gè)節(jié)目就可以按照插板法來(lái)解答。9個(gè)節(jié)目排成一排共計(jì)8個(gè)間隔。分別選取其中任意2個(gè)間隔就可以分成3份（班級(jí)）！C8取2＝28

練習(xí)題目：

有10個(gè)相同的小球。分別放到編號(hào)為1，2，3的盒子里 要使得每個(gè)盒子的小球個(gè)數(shù)不小于其編號(hào)數(shù)。那么有多少種放法？

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【解析】

還是同樣的原理。每個(gè)盒子至少的要求和插板法有出入 那么我們第一步就是想辦法滿足插板法的要求。

編號(hào)1的盒子是滿足的 至少需要1個(gè)，編號(hào)2至少需要2個(gè)，那么我們先給它1個(gè)，這樣就差1個(gè) 編號(hào)3至少需要3個(gè)，那么我們先給它2個(gè)，這樣就差1個(gè)

現(xiàn)在三個(gè)盒子都滿足插板法的要求了 我們看還剩下幾個(gè)小球 ？ 10－1－2＝7 7個(gè)小球6個(gè)間隔 再按照插板法來(lái)做 C6，2＝15種！

7.【糾錯(cuò)】?jī)蓚€(gè)相同的正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字的排列組合問(wèn)題

有兩個(gè)相同的正方體，每個(gè)正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6。將兩個(gè)正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情形？（）

A．9 B．12 C．18 D．24

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

很多教材給出的答案是18

這里我更正以下：

請(qǐng)大家注意紅色字體 “相同”

如果一個(gè)顯示3，一個(gè)顯示1，交換以下 是 1，3是否是2種呢？

顯然不是 是1種

這是這個(gè)題目存在的陷阱

－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 方法一：

為偶數(shù)的情形 分2種情況

（1）、奇數(shù)＋奇數(shù)：（1，3，5）

C（3，1）×C（3，1）注意因?yàn)檫@里是相同的兩個(gè)色子。所以 3，1和1，3是不區(qū)分的 要去掉C3，2＝3種 實(shí)際上是6種，（2）、偶數(shù)＋偶數(shù)（2，4，6）偶數(shù)的情況跟奇數(shù)相同 也是6種！答案是 6＋6＝12

方法二：

當(dāng)然我們也可以算總的，那么就是 C6，1×C6，1－C6，2＝36－15＝21種（為什么要減去C（6，2），因?yàn)槿我?個(gè)數(shù)字顛倒都是一種情況）看奇數(shù)： 奇數(shù)＝奇數(shù)＋偶數(shù) C3，1×C3，1＝9種 所以答案是 21－9＝12種

8.【討論】裴波納契數(shù)列的另類(lèi)運(yùn)用

先說(shuō)典型的裴波納契數(shù)列：

圖片：

裴波納契數(shù)列 就是移動(dòng)求和A＋B＝C

因?yàn)榈谝粋€(gè)月這對(duì)小兔長(zhǎng)成大兔 所以第一個(gè)月還是1對(duì) 即A從1開(kāi)始。第2個(gè)月開(kāi)始剩下一對(duì)小兔 合計(jì)2對(duì) B從2開(kāi)始。

1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，23

3小明家住二層，他每次回家上樓梯時(shí)都是一步邁兩級(jí)或三級(jí)臺(tái)階。已知相鄰樓層之間有16級(jí)臺(tái)階，那么小明從一層到二層共有多少種不同的走法？

A：54 B：64 C：57 D：37

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

這個(gè)題目剛剛看到討論 我也用排列組合的辦法參與了討論 現(xiàn)在我再來(lái)說(shuō)說(shuō)裴波納契數(shù)列的解法

樓梯級(jí)數(shù)：1，2，3，4，5，6........走法情況：0，1，1，1，2，2........這是一個(gè)裴波納契的間隔運(yùn)用 因?yàn)樗麤](méi)有走1步的情況

即A＋B＝D

0，1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，28，37

在舉例1題：小明家住二層，他每次回家上樓梯時(shí)都是一步邁一級(jí)，兩級(jí)或三級(jí)臺(tái)階。已知相鄰樓層之間有10級(jí)臺(tái)階，那么小明從一層到二層共有多少種不同的走法？

因?yàn)槭?，2，3級(jí)都可以所以可以采用

A＋B＋C＝D的 裴波納契數(shù)列變式！

列舉前3個(gè) 分別是1，2，3

則 10個(gè)是 1，2，4，7，13，24，44，81，149，27

4練習(xí)題目：小明家住二層，他每次回家上樓梯時(shí)都是一步邁一級(jí)或三級(jí)臺(tái)階。已知相鄰樓層之間有10級(jí)臺(tái)階，那么小明從一層到二層共有多少種不同的走法？

9.【經(jīng)驗(yàn)分享】關(guān)于臨界點(diǎn)類(lèi)型算數(shù)問(wèn)題的分析

所謂臨界點(diǎn)問(wèn)題 我們也可看作是青蛙跳井問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題的特征是 將2次具有結(jié)果上互斥（相反）的操作看作1組操作的運(yùn)算

例如典型的青蛙跳井，每跳上去5米 會(huì)滑下來(lái)3米 5米和3米的2個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)的操作就是互斥操作。

對(duì)于這樣的類(lèi)型問(wèn)題 其考查的要點(diǎn)是： 我們最終要求的結(jié)果 有可能是在某一組互斥操作的上半部分的操作時(shí)就已經(jīng)達(dá)到目的或者說(shuō)已經(jīng)完成任務(wù)。如果仍然看作一組來(lái)結(jié)果 就會(huì)使其從到達(dá)目的得位置上被互斥操作得另一個(gè)相反操作給拖回去。所以不對(duì)最后一組臨界點(diǎn)情況做提前判斷 就容易產(chǎn)生結(jié)果變大得情況！

下面我們結(jié)合3個(gè)例題來(lái)看這個(gè)類(lèi)型的題目！

例一： 一個(gè)數(shù)是20 現(xiàn)在先加30，再減20，再加30，再減20，反復(fù)這樣操作 請(qǐng)問(wèn)至少經(jīng)過(guò)多少次操作 結(jié)果是500？

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

我們先找最后一組達(dá)到500的臨界點(diǎn) 也就是我們把＋30，－20 2次操作看作1組，我們必須看＋30的時(shí)候是否能夠達(dá)到500

先找臨界點(diǎn)

最后一次增加 是需要＋30 基數(shù)是20 每一組操作是增加10

那么計(jì)算是這樣的（500－30－20）/10=45 組 也就是說(shuō)經(jīng)過(guò)45組即90次操作達(dá)到了470

答案就是91次

例二：小明的爸爸在高山上工作,那里的氣溫白天和夜晚相差很大,他的手表由于受氣溫的影響走得不正常,白天快1/2分鐘,夜里慢1/3分鐘,他10月1日白天對(duì)準(zhǔn)時(shí)間,問(wèn)到哪一天手表正好快5分鐘?()

A 10月25日 B10月28日 C10月26日 D10月29日

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

我們知道 白天 和晚上 為一組 即一天 整體情況是 可以塊1/2-1/3=1/6分鐘

要得結(jié)果是快5分鐘 即我們必須最后一個(gè)白天情況進(jìn)行判斷

即我們找出臨界點(diǎn)是 5－1/2=4.5天

按照每天快1/6 則要快4.5天 需要4.5/（1/6）=27天 這時(shí)候 我們發(fā)現(xiàn)此時(shí)再加上一個(gè)白天即可完成 說(shuō)明經(jīng)過(guò)了28天快了5分鐘

答案就是10月28日。

例三：機(jī)場(chǎng)上停著10架飛機(jī)，第一架起飛后，每隔4分鐘就有一架飛機(jī)接著起飛，而在第一架飛機(jī)起飛后2分鐘，又有一架飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)上降落，以后每隔6分鐘就有一架飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)上降落，降落在飛機(jī)場(chǎng)上的飛機(jī)，又依次隔4分鐘在原10架之后起飛。那么，從第一架飛機(jī)起飛之后，經(jīng)過(guò)多少分鐘，機(jī)場(chǎng)上第一次沒(méi)有飛機(jī)停留？

A 104 B 108 C 112 D 116

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

這個(gè)題目類(lèi)似于“青蛙跳井”問(wèn)題，我們不能直接求最終結(jié)果，否則我們會(huì)忽略在臨界點(diǎn)狀態(tài)的一些變化。

碰到這種問(wèn)題 首先就是求臨界點(diǎn)是在什么時(shí)候發(fā)生，發(fā)生時(shí)的狀況怎么樣。這樣才好判斷。

例如“青蛙跳井”問(wèn)題，10米深的井，青蛙每次跳5米 就會(huì)下滑4米。問(wèn)幾次能夠跳上來(lái)。這個(gè)題目的臨界點(diǎn)就是當(dāng)青蛙最后一次跳5米的時(shí)候剛好到井口！也就是說(shuō)我們只需研究到青蛙跳到10－5＝5米的地方，這里都是常規(guī)計(jì)算（10－5）/(5-4)=5次。最后一次的時(shí)候 我們就無(wú)需考慮下滑了 因?yàn)橐呀?jīng)到頂了。

同樣這個(gè)題目很多人做出116分鐘，其原因就是犯了這個(gè)錯(cuò)誤。我們必須先求臨界點(diǎn)。

所謂的臨界點(diǎn)就是

當(dāng)機(jī)場(chǎng)剩下1架飛機(jī)的時(shí)候

假設(shè)是N分鐘剩下一架飛機(jī)！

N/4 +1=(N-2)/6 + 1 +（10-1）

為什么兩邊都＋1 那是因?yàn)檫@是植樹(shù)問(wèn)題。從0分鐘開(kāi)始計(jì)算的 所以要多加1次

解得N＝104分鐘

所以我們知道104分鐘的時(shí)候是臨界點(diǎn) 飛機(jī)場(chǎng)只有1架飛機(jī)沒(méi)有起飛。

當(dāng)108分鐘的時(shí)候，飛機(jī)起飛了。而下一架飛機(jī)到機(jī)場(chǎng)則是在110分鐘的時(shí)候，所以從108～110這段時(shí)間是機(jī)場(chǎng)首次出現(xiàn)沒(méi)有飛機(jī)的現(xiàn)象！

答案應(yīng)該選B

10.【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】關(guān)于比例法中變量守恒與變化的思路分析

這個(gè)帖子主要是討論在一些存在三個(gè)變量公式中，由于某個(gè)變量守恒，另外兩個(gè)變量之間的關(guān)系引出的 通過(guò)變量發(fā)生改變的部分縮小范圍和數(shù)值來(lái)求解的方法，簡(jiǎn)稱(chēng)比例法

比例法我粗略分為2類(lèi)

（一）變量變化之比例

這部分大家可以參考上面鏈接的習(xí)題 常識(shí)去掌握這部分的題目

（二）變量守恒之比例

這部分是通過(guò) 我們求解的試題中 某個(gè)變量恒定的把握。通過(guò)這個(gè)恒量在整個(gè)比例中所得的比例點(diǎn)的不同參照物下的變化 來(lái)反向了解整體變化 或者是與之相關(guān)聯(lián)的變量變化的情況。

下面我們通過(guò)試題來(lái)了解這樣的類(lèi)型

【2008年安徽真題】

一個(gè)袋子里放著各種顏色的小球，其中紅球占四分之一，后來(lái)又往袋子里放了10個(gè)紅球，這時(shí)紅球占總數(shù)的三分之二，問(wèn)原來(lái)袋子里有多少小球？

A8 B12 C16 D20

―――――――――――――――――――――――

這個(gè)題目中我們可以直接看出不變的部分 是除紅色小球以外的部分 我們稱(chēng)之為 非紅色部分

小球個(gè)數(shù)＝紅色＋非紅色

剛開(kāi)始 非紅色：整體＝3：4

添加10個(gè)紅球之后是

非紅色：整體＝1：3

這兩個(gè)比例的參照對(duì)象是不同的他們相差10個(gè)球

我們可以將表示同一恒量的比例值統(tǒng)一起來(lái)看

3：4

1：3＝3：9

我們發(fā)現(xiàn) 整體的比例值發(fā)生了變化 變化了多少 9－4＝5個(gè)比例點(diǎn) 對(duì)應(yīng)的就是10個(gè)小球

所以每個(gè)比例點(diǎn)是2個(gè)小球 則答案應(yīng)該是 2×4＝8個(gè)小球

【習(xí)題二】某校六年級(jí)有甲,乙兩個(gè)班,甲班學(xué)生人數(shù)是乙班的5/7,如果從乙班調(diào)3人到甲班,甲班人數(shù)是乙班的4/5,則乙班原有學(xué)生多少人? A.49 B.63 C.72 D.84

――――――――――――――――――――――――――

這個(gè)題目的恒量是甲乙兩個(gè)班級(jí)的總?cè)藬?shù)，我們發(fā)現(xiàn)題目所有的變動(dòng) 只是內(nèi)部活動(dòng) 沒(méi)有外界的加入和整體的流失。所以總?cè)藬?shù)就是一個(gè)恒定量

開(kāi)始的時(shí)候

乙班人數(shù)：總?cè)藬?shù)＝7：12

從乙班調(diào)3人進(jìn)入甲班 則比例發(fā)生變化為

乙班人數(shù)：總?cè)藬?shù)＝5：9

總?cè)藬?shù)分別是12和9個(gè)比例點(diǎn) 是不統(tǒng)一的 即每個(gè)比例單位值不相同了 所以我們首先進(jìn)行的就是統(tǒng)一比例值

12和9的最小公倍數(shù)是 36

那么調(diào)動(dòng)前后的比例就可以表示為

21：36 和 20：36 我們發(fā)現(xiàn)甲班的人數(shù)多了一個(gè)比例點(diǎn) 那么這1個(gè)比例點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)的調(diào)入的3人 總?cè)藬?shù)是36個(gè)比例點(diǎn) 則總?cè)藬?shù)3×36＝108人 而乙班人數(shù)則是3×21＝63人

【習(xí)題三】有銀銅合金10公斤，加入銅后，其中含銀2份，含銅3份。如加入的銅增加1倍，那么銀占3份，銅占7份，試問(wèn)初次加入的銅是多少公斤？

A 3 B 4 C 5 D 6

――――――――――――――――――――

此題的恒量我們可以看得出來(lái)是銀，最初的一次 銀：銅＝2：3

再次加入銅后，銀：銅＝3：7

我們根據(jù)銀是固定的 統(tǒng)一一下比例

2：3＝6：9

3：7＝6：14

我們發(fā)現(xiàn)銅增加了14－9＝5個(gè)比例點(diǎn) 那么增加的部分 很容易就可以從選項(xiàng)里面看到5這個(gè)答案了

如果要具體求值 再繼續(xù)思考

我么知道 2次增加的銅是一樣多。

那么回歸到10公斤的時(shí)候 銅應(yīng)該是9－5＝4個(gè)比例點(diǎn) 4＋6＝10 每個(gè)比例點(diǎn)就是1公斤

自然我們就知道準(zhǔn)確的值就是5公斤了

總結(jié)： 很多問(wèn)題其實(shí)其實(shí)就是學(xué)會(huì)尋找一個(gè)折中 或者學(xué)會(huì)抓住一個(gè)特質(zhì)

比例法就是讓我學(xué)會(huì)在都在變化的變量中找準(zhǔn)變化比例規(guī)律。進(jìn)而找出變化的環(huán)境和范圍。

或者 找出守恒的變量 通過(guò)它找到對(duì)等的關(guān)系

11.【討論】“五個(gè)人的體重之和是423斤,他們的體重都是整數(shù)”一題

五個(gè)人的體重之和是423斤,他們的體重都是整數(shù),并且各不相同.則體重最輕的人,最重可能是()斤

A.80 B.82 C.84 D.86

有人說(shuō)這個(gè)題目少條件，其實(shí)不少條件，為什么這么說(shuō)呢，這是需要來(lái)根據(jù)題目的提問(wèn)分析的我們能夠知道的就是5個(gè)人的總重量是固定的 還有就是他們的體重都是整數(shù)，且各不相同，注意看提問(wèn)“體重最輕的人 最重是多少？”

首先你這樣想 因?yàn)轶w重各不相同，肯定有人最輕，但是我們要想辦法讓他輕也要盡可能的重些。

舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子，就說(shuō)2個(gè)人把 體重是150，那么你說(shuō)是不是只有當(dāng)2個(gè)人的體重?zé)o限接近的時(shí)候，最輕的人的體重才是可能性中最重的。最重的人的體重也就被拖低了，同樣這個(gè)道理。5個(gè)人也是。當(dāng)他們5個(gè)體重?zé)o限接近的時(shí)候 重的人的優(yōu)勢(shì)不明顯了 因?yàn)檫@些優(yōu)勢(shì)都在輕的人身上，但是卻沒(méi)有超出。無(wú)限接近且保證是整數(shù)，那么自然就是連續(xù)自然數(shù)這樣的情況了

所以我們直接考慮連續(xù)自然數(shù) 423/5=84 余數(shù)是3 中間重量是84斤

那么這個(gè)連續(xù)自然數(shù)就是 82，83，84，85，86 這時(shí)候有人問(wèn) 那多余的3斤怎么辦 很簡(jiǎn)單 我們把這3斤分配給最重的3人其中的一個(gè)或者2個(gè)人都可以。因?yàn)檫@對(duì)輕者的體重

無(wú)影響。如果分配給輕者，那么就會(huì)出現(xiàn)體重輕的人加上1～3斤的時(shí)候 和后面的某一個(gè)人的體重重復(fù)，所以我們只要看連續(xù)自然數(shù)最小的一個(gè)自然數(shù)即可

同樣我們來(lái)看一個(gè)姊妹題

例題：現(xiàn)有鮮花21朵分給5人，若每個(gè)人分得的鮮花數(shù)目各不相同，則分得鮮花最多的人至少分得（）朵鮮花。

A.7 B.8 C、9 D.10

這個(gè)題目提問(wèn)的是 最多的人至少分得多少

道理是一樣的。只有連續(xù)自然數(shù)才能讓 少的人盡可能多，多的人盡可能少

所以21/5=4 余數(shù)是1 注意這里余數(shù)是必須要考慮的

我們知道中間數(shù)是4，這個(gè)連續(xù)自然數(shù)是 2，3，4，5，6 最大的是6 剩下的1 只能分給最大的 否則分給其他的 都會(huì)出現(xiàn)重復(fù)數(shù)字。

答案就是6＋1＝7

不管余數(shù)是多少 答案就是最大數(shù)＋1 為什么這么說(shuō)，我們來(lái)看 假如鮮花數(shù)量是24 也是分給5個(gè)人

24/5=4 余數(shù)是4 連續(xù)自然數(shù)序列是 2，3，4，5，6 余數(shù)就分給最多的4個(gè)人 變成 2，4，5，6，7

所以這里余數(shù)是多少不重要 直接用最大數(shù)＋1 即可

12.【經(jīng)驗(yàn)分享】淺談mn/(m+n)公式的由來(lái)（鹽水交換問(wèn)題）

有甲乙兩杯含鹽率不同的鹽水，甲杯鹽水重１２０克，乙杯鹽水重８０克．現(xiàn)在從兩杯倒出等量的鹽水，分別交換倒入兩杯中．這樣兩杯新鹽水的含鹽率相同．從每杯中倒出的鹽水是多少克？

公式： mn/(m+n)=120*80/(120＋80)＝48

公式的由來(lái)是通過(guò)2個(gè)十字交叉法得到的你假設(shè)交換的部分是a克鹽水

假設(shè)120克的鹽水 濃度是P1，80克的鹽水濃度是P2，那么對(duì)于120克的鹽水來(lái)講 建立十字交叉法

120－a（P1）

P－P2

P

a（P2）

P1－P

我們得到

（120－a）：a＝（P－P2）：（P1－P）

那么對(duì)于80克的鹽水來(lái)講 建立十字交叉法

80－a（P2）

P1－P

P

a（P1）

P－P2

交換混合后相同的濃度是P

我們得到

（80－a）：a＝（P1－P）：（P－P2）

根據(jù)這2個(gè)比例的右邊部分我們可以得到

（120－a）：a＝a：（80－a）

化簡(jiǎn)得到 a＝120×80/(120+80)說(shuō)明跟各自的濃度無(wú)關(guān)！

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

補(bǔ)充方法：

因?yàn)?種溶液的混合濃度相等。其實(shí)可以看作是先將2種溶液直接混合，在按照比例分開(kāi)成2部分。

所以我們假設(shè)交換了a克

a克相對(duì)于120克的溶液剩下部分的比例也就是滿足濃度之間的差值比例 跟原始的參照質(zhì)量也是同一比例。即

(120－a)/a=120/80 a=48克 或者

（80－a）/a=80/120 a=48克

13.【周末練習(xí)】4道經(jīng)典習(xí)題（已公布解析DONE）

習(xí)題一：.1到500這500個(gè)數(shù)字 最多可取出多少個(gè)數(shù)字 保證其取出的任意三個(gè)數(shù)字之和不是7的倍數(shù)。

-------------【萬(wàn)華解析】

每7個(gè)數(shù)字1組，余數(shù)都是1，2，3，4，5，6，0，要使得三個(gè)數(shù)字之和不是7的倍數(shù)，那么其余數(shù)之和就不是7的倍數(shù)。我們應(yīng)該挑選 0，1，2，或者0，5，6

因?yàn)?/3=2 也就是說(shuō)最大的數(shù)字不能超過(guò)2，例如 如果是1，2，3 那么 我們可以取3，3，1 這樣的余數(shù)，其和就是7

500/7=71 余數(shù)是3，且剩下的3個(gè)數(shù)字余數(shù)是1，2，3

要得去得最多，那么我們?nèi)?，1，2比較合適 因?yàn)樽詈笫Ｏ碌氖?，2，3 所以這樣就多取了2個(gè)

但是還需注意 0 不能取超過(guò)2個(gè) 如果超過(guò)2個(gè) 是3個(gè)以上的話 3個(gè)0就可以構(gòu)成7的倍數(shù) 0也能被7整除

所以答案是71個(gè)1，2 和剩下的一組1，2 外加2個(gè)0 71×2＋2＋2＝146

習(xí)題二： 將50個(gè)蘋(píng)果分成相同的3堆，每堆至少1個(gè)，有多少種分法？ －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【萬(wàn)華解析】

這個(gè)題目 我們可以先將其看作插孔法來(lái)研究

那么就是 C49取2＝1176 事實(shí)上插孔法是針對(duì)的不同組不同分類(lèi)的情況來(lái)做的，這里是相同的堆。所以計(jì)算重復(fù)了

我們按照三個(gè)堆各不相同為標(biāo)準(zhǔn) 恢復(fù)到這個(gè)狀態(tài)來(lái)做。我們少算了多少個(gè) 1，1，48 2，2，46，3，3，44 4，4，42.。。。50/2=25 所以直到 24，24，2

這樣的情況少算了 P33-P33/P22=3次

所以一共少算了 24×3＝72

按照標(biāo)準(zhǔn)情況來(lái)看應(yīng)該是 1176＋72＝1248種

所以我們每組都需要扣除6種情況變?yōu)?種 因?yàn)椴粎^(qū)分組 所以答案是

1248/P33=208種

習(xí)題三：1～1998，有多少個(gè)數(shù)字其各個(gè)位置上的數(shù)字之和能被4整除？ －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【萬(wàn)華解析】

差不多每個(gè)4個(gè)數(shù)字都可以滿足題目的條件 我距離每40個(gè)數(shù)字1組就是一個(gè)周期

例如：12不行 13可以，20不行22可以，32不行 35可以。40～50之間都滿足。這就是一個(gè)周期

所以我們看最后一個(gè)倍數(shù)是多少

1996 這是最后一個(gè)4的倍數(shù) 1＋9＋9＋6＝25 不行 還差3個(gè) 應(yīng)該是1999補(bǔ)上它 所以答案是 1996/4=499 但是 1999不含在其中 所以答案是 499－1＝498

習(xí)題四：有一批長(zhǎng)度分別為1、2、3、4、5、6、7、8、9、10和11厘米的細(xì)木條，它們的數(shù)量都足夠多，從中適當(dāng)選取3根本條作為三條邊，可圍成一個(gè)三角形。如果規(guī)定底邊是11厘米長(zhǎng)，你能?chē)啥嗌賯€(gè)不同的三角形？

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【萬(wàn)華解析】

看看這個(gè)題目 你就覺(jué)得簡(jiǎn)單了

1、三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且最大邊長(zhǎng)為11的三角形的個(gè)數(shù)為（C）

(A)25個(gè)

(B)26個(gè)

(C)36個(gè)

(D)37個(gè) 【解析】

根據(jù)三角形邊的原理 兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊

可見(jiàn)最大的邊是11 則兩外兩邊之和不能超過(guò)22 因?yàn)楫?dāng)三邊都為11時(shí) 是兩邊之和最大的時(shí)候 因此我們以一條邊的長(zhǎng)度開(kāi)始分析

如果為11，則另外一個(gè)邊的長(zhǎng)度是11，10，9，8，7，6。。。1 如果為10 則另外一個(gè)邊的長(zhǎng)度是10，9，8。。。2，（不能為1 否則兩者之和會(huì)小于11，不能為11，因?yàn)榈谝环N情況包含了11，10的組合）

如果為9 則另外一個(gè)邊的長(zhǎng)度是 9，8，7。。。。3（理由同上，可見(jiàn)規(guī)律出現(xiàn)）

規(guī)律出現(xiàn) 總數(shù)是11＋9＋7＋。。1＝（1＋11）×6÷2＝36

14.【分享】關(guān)于相遇問(wèn)題和追擊問(wèn)題的綜合題目的分析

一條街上，一個(gè)騎車(chē)人和一個(gè)步行人相向而行，騎車(chē)人的速度是步行人的3倍，每個(gè)隔10分鐘有一輛公交車(chē)超過(guò)一個(gè)行人。每個(gè)隔20分鐘有一輛公交車(chē)超過(guò)一個(gè)騎車(chē)人，如果公交車(chē)從始發(fā)站每隔相同的時(shí)間發(fā)一輛車(chē)，那么間隔幾分鐘發(fā)一輛公交車(chē)？

A 10

B 8 C 6

D 4---------------------------我們知道這個(gè)題目出現(xiàn)了2個(gè)情況，就是（1）汽車(chē)與騎自行車(chē)的人的追擊問(wèn)題，（2）汽車(chē)與行人的追擊問(wèn)題

追擊問(wèn)題中的一個(gè)顯著的公式 就是 路程差＝速度差×?xí)r間

我們知道這里的2個(gè)追擊情況的路程差都是 汽車(chē)的間隔發(fā)車(chē)距離。是相等的。因?yàn)槲覀円蟮氖顷P(guān)于時(shí)間 所以可以將汽車(chē)的間隔距離看作單位1.那么根據(jù)追擊公式

(1)(V汽車(chē)－V步行)=1/10(2)(V汽車(chē)－3V步行)=1/20

(1)×3－(2)=2V汽車(chē)＝3/10-1/20 很快速的就能解得 V汽車(chē)＝1/8 答案顯而易見(jiàn)是8

再看一個(gè)例題：小明在商場(chǎng)的一樓要乘扶梯到二樓。扶梯方向向上，小芳則從二樓到一樓。已知小明的速度是小芳的2倍。小明用了2分鐘到達(dá)二樓，小芳用了8分鐘到達(dá)一樓。如果我們把一個(gè)箱子放在一樓的第一個(gè)階梯上 問(wèn)多長(zhǎng)時(shí)間可以到達(dá)二樓？

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

跟上面一題一樣。這個(gè)題目也是2個(gè)行程問(wèn)題的比較（1）小明跟扶梯之間是方向相同

(1)(V小明＋V扶梯)=1/2（2）小芳跟扶梯的方向相反

(2)(V小芳－V扶梯)=1/8

(1)-2×(2)=3V扶梯＝1/4 可見(jiàn)扶梯速度是 1/12 答案就顯而易見(jiàn)了。

總結(jié)：在多個(gè)行程問(wèn)題模型存在的時(shí)候。我們利用 其速度差，速度和的關(guān)系將未知的變量抵消。可以很輕松的一步求得結(jié)果！

習(xí)題：

1、電扶梯由下往上勻速行駛.男孩以每秒2個(gè)梯級(jí)的速度沿電扶梯往上走,40秒種可達(dá)電扶梯頂部.一女孩以每2秒3個(gè)梯級(jí)的速度往上走,50秒可以達(dá)到頂部.則靜止時(shí)電扶梯的梯級(jí)數(shù)為（）

A 80

B 75

C 100

D 1202、2、某人沿電車(chē)線路行走,每12分鐘有一輛電車(chē)從后面追上,每4分鐘有一輛電車(chē)迎面而來(lái).2個(gè)起點(diǎn)站的發(fā)車(chē)間隔相同,那么這個(gè)間隔是多少

15.【分享】“牛吃草”的問(wèn)題的模式化解題方式總結(jié)

“牛吃草”的問(wèn)題 主要抓住草每天的增長(zhǎng)速度這個(gè)變量。至于其原本有多少 ？不是我們關(guān)心的內(nèi)容，為什么這么說(shuō)，因?yàn)樵谖覀冇?jì)算的時(shí)候，實(shí)際上是根據(jù)差值求草長(zhǎng)速度，那么原有的草量都是一樣，有些題目可能面積不一樣，但是每畝地的原始草量確實(shí)一樣的。！廢話少說(shuō)，就下面2個(gè)題目來(lái)討論一下：

1．一片牧草，可供16頭牛吃20天，也可以供80只羊吃12天，如果每頭牛每天吃草量等于每天4只羊的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃這一片草，幾天可以吃完？（）

A.10 B.8 C.6 D.4 ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 我們先要確定一個(gè)單位，即一頭牛每天吃的草量為1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)單位，或者叫做參照單位 因?yàn)榇祟}中出現(xiàn)了牛和羊，這兩個(gè)吃草效率不等，轉(zhuǎn)化一下 4羊＝1牛?？搭}目

（1）“一片牧草，可供16頭牛吃20天”

說(shuō)明 這片牧草 吃了20天即原有的草和20天長(zhǎng)出來(lái)的草共計(jì)是20×16＝320個(gè)單位（2）“也可以供80只羊吃12天”相當(dāng)于“20頭牛吃12天”

說(shuō)明這片牧草吃了12天即原來(lái)的草和12天長(zhǎng)出來(lái)的草共計(jì)是12×20＝240個(gè)單位 兩者相減 320－240＝80 就是多出的8天所長(zhǎng)的草量 即每天草長(zhǎng)速度是80÷8＝10個(gè)單位 現(xiàn)在是“10頭牛與60只羊一起吃這一片草”相當(dāng)于“10＋60÷4＝25頭牛吃草” 牛多了，自然吃的天數(shù)就少了

我們還是可以根據(jù)上面的方法，挑選（1）或者（2）來(lái)做比較。就挑選（1）

320－25a＝（20－a）×10 這個(gè)等式，a表示我們要求的結(jié)果 即可解得 a＝8天。

3．22頭牛吃33公畝牧場(chǎng)的草，54天可以吃盡，17頭牛吃同樣牧場(chǎng)28公畝的草，84天可以吃盡。請(qǐng)問(wèn)幾頭牛吃同樣牧場(chǎng)40公畝的草，24天吃盡？（）A.50 B.46 C.38 D.35 ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

再看這個(gè)有面積的題目

其實(shí)道理是一樣的。我們只要將不同的轉(zhuǎn)化為相同的，面積不一樣，但是沒(méi)公畝的原有量和每天每畝草長(zhǎng)的量是相同的。根據(jù)這個(gè) 條件1：

(22×54)/33 這是每公畝的情況

條件2：

(17×84)/28 這是每公畝的情況

相減(17×84)/28 －(22×54)/33＝（84－54）×a a表示每畝草長(zhǎng)速度 解得a＝0.5 單位依舊是沒(méi)頭牛每公畝吃草的單位作為標(biāo)準(zhǔn)單位

最后我們假設(shè)x頭牛24天可以吃完40公畝草 那么挑選上面的一個(gè)情況拿過(guò)來(lái)做對(duì)比：(22×54)/33－24x/40＝(54-24)×0.5 即可解得x＝35頭牛

16.【糾錯(cuò)】關(guān)于計(jì)算某個(gè)數(shù)字在頁(yè)碼中出現(xiàn)的次數(shù)問(wèn)題的公式懷疑！

一本書(shū)有400頁(yè)，問(wèn)數(shù)字1 在這本書(shū)里出現(xiàn)了多少次？

解析:關(guān)于含“1”的頁(yè)數(shù)問(wèn)題，總結(jié)出的公式就是：總頁(yè)數(shù)的1/5，再加上100 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

對(duì)于這個(gè)解法我覺(jué)得有待商榷！這種公式局限于 1000以內(nèi)的解法 不適合1000以上

例如 ：

一本書(shū)有4000頁(yè)，問(wèn)數(shù)字1 在這本書(shū)里出現(xiàn)了多少次？

1000＋4000/5=1800 這個(gè)答案顯然是錯(cuò)誤的！

事實(shí)上答案是 C（4，1）×C（10，1）×C（10，1）×3＋10^3=2200

在這里我提供一組利用排列組合來(lái)解決此題的方法

我們看4000 分為千，百，十，個(gè)四個(gè)數(shù)字位置

千位是1的情況： 那么百、十、個(gè)

三個(gè)位置的選擇數(shù)字的范圍是0～9 共計(jì)10個(gè)數(shù)字

就是10*10*10=1000

百位是1的情況，千位是（0，1，2，3）4個(gè)數(shù)字可以選擇

十位，個(gè)位還是0～9 10個(gè)數(shù)字可以選擇

即 4×10×10＝400

十位和個(gè)位都跟百位一樣分析。那么答案就是 1000＋400×3＝2200

17.【總結(jié)】關(guān)于頁(yè)碼和頁(yè)數(shù)的題目（剛看到的一個(gè)題目順便做個(gè)分析）

先從幾個(gè)題目開(kāi)始說(shuō)

（1）699頁(yè)的書(shū)頁(yè)碼當(dāng)中含有多少2？

可以采用排列組合來(lái)做，我們將這1~999個(gè)數(shù)字 按照這樣的方式來(lái)看

首先 001 表示1，我們把 百位，十位，個(gè)位單獨(dú)來(lái)看

百位如果是2的情況有多少種？

主要是取決于 十位和個(gè)位的選擇情況，十位有0~9 10個(gè)選擇，個(gè)位有0~9十個(gè)選擇 即 10*10=100個(gè)

十位如果是2的情況有多少種？

百位的選擇 是0~6 即7種選擇，個(gè)位0~9這 10個(gè)數(shù)字選擇，即 7*10=70 個(gè)位如果是2的情況有多少種？

百位的選擇0~6，即7種選擇，十位0~9 10個(gè)數(shù)字可以選擇，即和十位是2的情況一樣 7*10=70

則答案是 100+70*2=240個(gè)

注解：例如 522 是含有2個(gè)2，當(dāng)百位是0 十位是2 個(gè)位是2的時(shí)候 即022 表示的是頁(yè)碼22

（2）999頁(yè)碼的書(shū)有多少頁(yè)不含2的頁(yè)碼？

這個(gè)題目跟上一題不一樣求的是頁(yè)碼，比如說(shuō)522這個(gè)頁(yè)碼 雖然含有2個(gè)2，但是這是一個(gè)頁(yè)碼

這個(gè)題目我們同樣采用排列組合

每個(gè)位置不是2的 種類(lèi)選擇，即都是0~9 排除2，9個(gè)數(shù)字可以選擇，所以不含2的頁(yè)碼是 9*9*9=729 但是當(dāng)三個(gè)位置都是0時(shí)，即表示為0，頁(yè)碼當(dāng)中沒(méi)有0頁(yè)碼，所以最終答案是729-1=728個(gè)頁(yè)碼 不含2

（3）999頁(yè)的書(shū)有多少頁(yè)含2的頁(yè)碼？ 上面我們已經(jīng)分析了，借助上面做法 含2的頁(yè)碼就是 999-728=271個(gè)頁(yè)碼

18.【開(kāi)會(huì)時(shí)間分針時(shí)針互換問(wèn)題】新題型的2道問(wèn)題的解析

小王去開(kāi)會(huì)，會(huì)前會(huì)后都看了表，發(fā)現(xiàn)前后時(shí)鐘和分鐘位置剛好互換，問(wèn)會(huì)開(kāi)了1小時(shí)幾分（）

A.51 B 49 C47 D45

這個(gè)題目我剛才做了一下 我是這么做的分針時(shí)針互換

因?yàn)闀r(shí)間不超過(guò)2小時(shí) 也就是說(shuō)。分針轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間不超過(guò)120分鐘

我們根據(jù)位置互換，可以發(fā)現(xiàn)時(shí)針走的度數(shù)＋分針走的度數(shù)是360度×n 要得在大于1小時(shí)小于2小時(shí) 則 n＝2

根據(jù)路程之和可知2者的路程是360×2＝720度

答案是 720÷（6＋0.5）=1小時(shí)51分鐘（估算值）

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

會(huì)議開(kāi)始時(shí),小李看了一下表,會(huì)議結(jié)束時(shí),又看了一下表,結(jié)果分針與時(shí)針恰好對(duì)調(diào)了位置.會(huì)議在3點(diǎn)至4點(diǎn)之間召開(kāi),5點(diǎn)至6點(diǎn)之間結(jié)束,請(qǐng)問(wèn)會(huì)議何時(shí)召開(kāi)? 【解析】

首先可以確定 順時(shí)針?lè)较?分針在時(shí)針的前面。否則 時(shí)針要轉(zhuǎn)大半圈才能到達(dá)分針的位置。

其次可以發(fā)現(xiàn)分針時(shí)針走的路程之和是 360度×N 因?yàn)闀r(shí)間是控制在1～2個(gè)小時(shí)內(nèi) 則N=2

720÷（6＋0.5）=1440/13分鐘 說(shuō)明會(huì)議時(shí)間是這么多分鐘

根據(jù)時(shí)間的比例 開(kāi)始時(shí)的分針是5～6之間 說(shuō)明時(shí)針在3～4之間還沒(méi)有過(guò)半 即最后分針停留的位置應(yīng)該不超過(guò)17～18分鐘

那我們按照5點(diǎn)17分－1440/13分鐘 應(yīng)該是3點(diǎn)26分鐘左右

19.【分享】（絕對(duì)經(jīng)典）20道比列及列式計(jì)算

1、某人工作一年的報(bào)酬是8400 元和一臺(tái)電冰箱，他干了7 個(gè)月不干了，得到3900 元和一臺(tái)電冰箱。這臺(tái)電冰箱價(jià)值多少元？（用比例的思維。這題在比列中算是比較簡(jiǎn)單的題了）

【解析】

一年的報(bào)酬：8400+電冰箱一臺(tái)

7個(gè)月的報(bào)酬：3900+電冰箱

所以5個(gè)月的報(bào)酬就是：8400-3900=4500 每個(gè)月的報(bào)酬就是：4500/5=900 一年的報(bào)酬就是：900*12=10800 電冰箱就是：10800-8400=24002、甲、乙兩車(chē)分別從A，B兩地出發(fā)，相向而行，出發(fā)時(shí)，甲、乙的速度比是 5：4，相遇后，甲的速度減少20%，乙的速度增加20%，這樣，當(dāng)甲到達(dá)B時(shí)，乙離A地還有10千米。那么A，B兩地相距多少千米？ 【解析】

方法一（七夜解法）：

假設(shè)全程為9份，相遇的時(shí)候，甲走5份，乙走了4份，之后速度開(kāi)始變化，這樣甲到達(dá)B地，甲又走了4份

根據(jù)速度變化后的比值，乙應(yīng)該走了4×6/5＝24/5份 所以這樣離A地還有5－（24/5）份 10*9/(1/5)=450 方法二（我的解法）： 假設(shè)全程是9份，相遇時(shí)，甲走5份，乙走4份 甲乙的路程比就是速度比變?yōu)椋?：4 之后由于變速甲乙速度比變?yōu)椋?：4.8 所以當(dāng)甲到B點(diǎn)時(shí)（即走了5+4=9份），乙走了4+4.8=8.8份 乙距離全程還相差9-8.8=0.2份

0.2份對(duì)應(yīng)的是10千米

所以9份對(duì)應(yīng)的是9*10/0.2=450千米（大家覺(jué)得七夜的解法和我的解法哪個(gè)好點(diǎn)？）

3、小明每天早晨6：50從家出發(fā)，7：20到校，老師要求他明天提早6分鐘到校。如果小明明天早晨還是6：50從家出發(fā)，那么，每分鐘必須比往常多走25米才能按老師的要求準(zhǔn)時(shí)到校。問(wèn)：小明家到學(xué)校多遠(yuǎn)？ 【解析】 方法一：（小學(xué)生的做法，也就是列式計(jì)算法）

要提前6分鐘到校，所以用時(shí)是30-6=24分鐘

而這6分鐘走的路程正好就是小明每分鐘加快多走25米，走了24分鐘才走好的 因此小明用正常速度走6分鐘的路程就是：24*25=600米

所以小明正常的速度就是：600/6=100米/分鐘（怎么這么慢捏？）所以S=100*30=3000米 方法二：

時(shí)間比是30：24=5：4 所以速度就是時(shí)間比的反比4：5 5-4=1，1個(gè)比例點(diǎn)對(duì)應(yīng)25米，所以4個(gè)比例點(diǎn)對(duì)應(yīng)4*25=100米（正常的速度）所以S=100*30=3000米

4、甲讀一本書(shū)，已讀與未讀的頁(yè)數(shù)之比是3：4，后來(lái)又讀了33 頁(yè)，已讀與未讀的頁(yè)數(shù)之比變?yōu)?：3。這本書(shū)共有多少頁(yè)？ 【解析】

這題要注意的就是書(shū)的頁(yè)數(shù)始終保持不變（我廢話了=。=）

一開(kāi)始，已讀與未讀的頁(yè)數(shù)之比是3：4，所以已讀的頁(yè)數(shù)與整本書(shū)的頁(yè)數(shù)比就是3：（3+4）=3：7 后來(lái)又讀了33頁(yè)，已讀與未讀的頁(yè)數(shù)之比變?yōu)?：3，所以已讀的頁(yè)數(shù)與整本書(shū)的頁(yè)數(shù)比就是5：（5+3）=5：8 因此，整本書(shū)的頁(yè)數(shù)就是： 33/（5/8-3/7）=168（這里我想扯開(kāi)講講代入法了，因此之前是3/7，之后是5/8，因此整本書(shū)的頁(yè)數(shù)一定就是7、8的公倍數(shù)，也就是56的倍數(shù)，有選項(xiàng)的話直接秒，嘎嘎）

5、一輛車(chē)從甲地開(kāi)往乙地.如果車(chē)速提高20％，可以比原定時(shí)間提前一小時(shí)到達(dá)；如果以原速行駛120千米后，再將速度提高25％，則可提前40分鐘到達(dá).那么甲、乙兩地相距多少千米？ 【解析】

先看前半句“如果車(chē)速提高20％，可以比原定時(shí)間提前一小時(shí)到達(dá)”

得到原速與加速比是5：6，所以時(shí)間比就是6：5，6-5=1，1個(gè)比例點(diǎn)對(duì)應(yīng)1小時(shí) 所以用原速度行駛完全程需要6*1=6小時(shí)

再看這句話“如果以原速行駛120千米后，再將速度提高25％，則可提前40分鐘到達(dá)” 提速后，原速與變速比是4：5，時(shí)間比是5：4，5-4=1，1個(gè)比列點(diǎn)對(duì)應(yīng)2/3小時(shí) 所以車(chē)子用原速行駛后半程的話就是用了5*2/3=10/3小時(shí) 故前面的120千米行駛的路程用時(shí)是6-10/3=8/3小時(shí) 得到原速度就是120/8/3=45千米/小時(shí) 所以S=45*6=270千米

6、甲、乙兩城相距91千米，有50人一起從甲城到乙城，步行的速度是每小時(shí)5千米，汽車(chē)行駛的速度為35千米／小時(shí)，他們有一輛可乘坐五人的面包車(chē)，最短用多少時(shí)間使50人全部到達(dá)乙城？（這題的汽車(chē)速度沒(méi)有變化，飛飛在這里總結(jié)了一種直接可以套上用的類(lèi)似公式的計(jì)算式，希望大家能掌握）【解析】

速度比是35：5=7：1 7-1=6 6/2=3 路程可分成：1+3+9=13份（注，1+3是第一批人下車(chē)的路程，9是因?yàn)楣灿?0人，5人一組，因此有10組，但每一組人要走10-1=9份路程。當(dāng)公式記住吧）91*（4/13/35+9/13/5）=67/5=13.4小時(shí)

7、一只船從甲碼頭往返一次共用4小時(shí)，回來(lái)時(shí)順?biāo)热r(shí)每小時(shí)多行12千米，因此后2小時(shí)多行16千米。那么甲，乙兩個(gè)碼頭距離時(shí)多少千米？ 【解析】

這題是個(gè)模塊，只要記住這個(gè)模塊就行了 順?biāo)臅r(shí)間是：16/12=4/3小時(shí)

則逆水時(shí)間是：4-4/3=8/3小時(shí)

時(shí)間比等于速度比的反比，V順：V逆=8/3：4/3=2：1 V順=V逆+12 所以V順=24 所以S=24*4/3=32KM

8、甲乙兩車(chē)分別從A、B兩地出發(fā)，并在A、B兩地間不間斷往返行駛，已知甲車(chē)的速度是15千米/小時(shí)，乙車(chē)的速度是每小時(shí)35千米，甲乙兩車(chē)第三車(chē)相遇地點(diǎn)與第四次相遇地點(diǎn)差100千米，求A、B兩地的距離

A、200千米 B、250千米 C、300千米 D、350千米 【解析】

速度比是15：35=3：7 全程分成10份

第三次甲行的路程是：3*（2*2+1）=15份 第四次甲行的路程是：3*（2*3+1）=21份 兩次相距5-1=4份，對(duì)應(yīng)100KM 所以10份對(duì)應(yīng)的就是250KM

9、某工程有甲乙合作，剛好按時(shí)完成，如果甲工作效率提高20%，哪么2個(gè)人只需要規(guī)定時(shí)間9/10 就可以完成如果乙工作效率降低25%，那么2人就需要延遲2.5小時(shí)完成工程，球規(guī)定時(shí)間。

【解析】

甲提高效率，整體效率提高了10/9-1=1/9，所以甲是1/9/20%=5/9，所以乙是4/9 所以原來(lái)甲乙之比是5：4 乙變速后甲乙之比是5：3（做到這里，我覺(jué)得方程更直觀，我分兩步做吧）（1）先用方程 可得到方程是： 9T=8*（T+2.5）

T=20小時(shí)

（2）用比列做

乙降低1份，對(duì)應(yīng)多用的時(shí)間就是2.5

現(xiàn)在共5+3=8份，所以時(shí)間就是8*2.5=20小時(shí)

10、甲、乙二人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，如果兩人同向而行，甲26分鐘趕上乙；如果兩人相向而行，6分鐘可相遇，又已知乙每分鐘行50米，求A、B兩地的距離?！窘馕觥?/p>

V甲=50*（6+26）/20=80 S=6*（80+50）=78011、小王和小李合伙投資，年終每人的投資進(jìn)行分紅，小王取了全部的1/3另加9萬(wàn)元，小李取了剩下的1/3和剩下的14萬(wàn)元。問(wèn)小王比小李多得多少萬(wàn)元

【解析】

小李取了剩下的1/3和剩下的14萬(wàn)元

所以14萬(wàn)就是小李取的2/3，所以在小王取完之后就剩下14/2/3=21萬(wàn) 小王也一樣，取的2/3就是21+9=30，所以全部的錢(qián)錢(qián)就是30/2/3=45萬(wàn) 所以就知道小王是24萬(wàn)，小李是21萬(wàn)

12、甲從A地步行到B地，出發(fā)1小時(shí)40分鐘后，乙騎自行車(chē)也從同地出發(fā)，騎了10公里時(shí)追到甲。于是，甲改騎乙的自行車(chē)前進(jìn)，共經(jīng)5小時(shí)到達(dá)B地，這恰是甲步行全程所需時(shí)間的一半。問(wèn)騎自行車(chē)的速度是多少公里/小時(shí)？ 【解析】

走完全程需要的時(shí)間是5*2=10小時(shí) 一直騎車(chē)需要的時(shí)間是5-5/3=10/3小時(shí)

所以人的速度與自行車(chē)的速度比是10：10/3=3：1 車(chē)追上人需要：5/3/(3-1)=5/6小時(shí)，對(duì)應(yīng)10公里的路程 所以車(chē)子的速度就是：10/5/6=12KM/H

13、甲、乙兩輛清潔車(chē)執(zhí)行東、西城間的公路清掃任務(wù)。甲車(chē)單獨(dú)清掃需要10小時(shí)，乙車(chē)單獨(dú)清掃需要15小時(shí)，兩車(chē)同時(shí)從東、西城相向開(kāi)出，相遇時(shí)甲車(chē)比乙車(chē)多清掃12千米，問(wèn)東、西兩城相距多少千米？

【解析】

解析：甲車(chē)和乙車(chē)的速度比是15：10＝3：2 相遇時(shí)甲車(chē)和乙車(chē)的路程比也是3：2 3-2=1，1個(gè)比列對(duì)應(yīng)12千米，共有3+2=5個(gè)比例 所以S=12*5=60

14、甲、乙、丙三臺(tái)車(chē)床加工方形和圓形的兩種零件，已知甲車(chē)床每加工3個(gè)零件中有2個(gè)是圓形的；乙車(chē)床每加工4個(gè)零件中有3個(gè)是圓形的；丙車(chē)床每加工5個(gè)零件中有4個(gè)是圓形的。這天三臺(tái)車(chē)床共加工了58個(gè)圓形零件，而加工的方形零件個(gè)數(shù)的比為4：3：3，那么這天三臺(tái)車(chē)床共加工零件幾個(gè)？ A.68 B.76 C.78 D.88 【解析】

甲車(chē)床加工方形零件4份，圓形零件4*2＝8份 乙車(chē)床加工方形零件3份，圓形零件3*3＝9份

丙車(chē)床加工方形零件3份，圓形零件3*4＝12份 圓形零件共8＋9＋12＝29份，每份是58÷29＝2份 方形零件有2*（3＋3＋4）＝20個(gè) 所以，共加工零件20＋58＝78個(gè)

15、一輛車(chē)從甲地開(kāi)往乙地。如果把車(chē)速減少10%，那么要比原定時(shí)間遲1小時(shí)到達(dá)，如果以原速行駛180千米，再把車(chē)速提高20%，那么可比原定時(shí)間早1小時(shí)到達(dá)。甲、乙兩地之間的距離是多少千米？ A.360 B.450 C.540 D.720 【解析】

原速度：減速度=10：9，所以減時(shí)間：原時(shí)間=10：9，所以減時(shí)間為：1/（1-9/10）=10小時(shí)；原時(shí)間為9小時(shí)； 原速度：加速度=5：6，原時(shí)間：加時(shí)間=6：5，行駛完180千米后，原時(shí)間=1/（1/6）=6小時(shí)，所以形式180千米的時(shí)間為9-6=3小時(shí)，原速度為180/3=60千米/時(shí)，所以兩地之間的距離為60*9=540千米

16、一只帆船的速度是60米/分，船在水流速度為20米/分的河中，從上游的一個(gè)港口到下游的某一地，再返回到原地，共用3小時(shí)30分，這條船從上游港口到下游某地共走了多少米

A.280/3 B.560/3 C.180 D.240 【解析】

船的順?biāo)俣龋?0＋20＝80米／分，船的逆水速度：60－20＝40米／分。因?yàn)榇捻標(biāo)俣扰c逆水速度的比為2：1，所以順流與逆流的時(shí)間比為1：2。這條船從上游港口到下游某地的時(shí)間為：

3小時(shí)30分＊1／（1＋2）＝1小時(shí)10分＝7／6小時(shí)。（7/6小時(shí)＝70分）從上游港口到下游某地的路程為： 80＊7／6＝280／3千米。（80×70＝5600）

17、（先看18題）一輛大轎車(chē)與一輛小轎車(chē)都從甲地駛往乙地。大轎車(chē)的速度是小轎車(chē)速度的80%。已知大轎車(chē)比小轎車(chē)早出發(fā)17分鐘，但在兩地中點(diǎn)停了5分鐘，才繼續(xù)駛往乙地；而小轎車(chē)出發(fā)后中途沒(méi)有停，直接駛往乙地，最后小轎車(chē)比大轎車(chē)早4分鐘到達(dá)乙地。又知大轎車(chē)是上午10時(shí)從甲地出發(fā)的。那么小轎車(chē)是在上午什么時(shí)候追上大轎車(chē)的 A 11點(diǎn)01分 B11點(diǎn)05分 C11點(diǎn)10分 D.11點(diǎn)15分 【解析】

大轎車(chē)行完全程比小轎車(chē)多17－5＋4＝16分鐘

所以大轎車(chē)行完全程需要的時(shí)間是16÷（1－80％）＝80分鐘 小轎車(chē)行完全程需要80×80％＝64分鐘

由于大轎車(chē)在中點(diǎn)休息了，所以我們要討論在中點(diǎn)是否能追上。

大轎車(chē)出發(fā)后80÷2＝40分鐘到達(dá)中點(diǎn)，出發(fā)后40＋5＝45分鐘離開(kāi)

小轎車(chē)在大轎車(chē)出發(fā)17分鐘后，才出發(fā)，行到中點(diǎn)，大轎車(chē)已經(jīng)行了17＋64÷2＝49分鐘。說(shuō)明小轎車(chē)到達(dá)中點(diǎn)的時(shí)候，大轎車(chē)已經(jīng)又出發(fā)了。那么就是在后面一半的路追上的。