第一篇：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式教學(xué)案例分析

《等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式》教學(xué)案例分析

教學(xué)案例：

一、教學(xué)設(shè)計(jì)思想

本堂課的設(shè)計(jì)是以個(gè)性化教學(xué)思想為指導(dǎo)進(jìn)行設(shè)計(jì)的。

本堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)教材部分內(nèi)容進(jìn)行了有意識(shí)的選擇和改組，為了體現(xiàn)個(gè)性化教學(xué)的教學(xué)理念，在教法上，采用了以學(xué)生為主體，以問題為中心，以老師為引導(dǎo)，以小組的合作為主要學(xué)習(xí)方式。課堂結(jié)構(gòu)個(gè)性化，讓學(xué)生在探究中展現(xiàn)個(gè)性，在合作中促進(jìn)學(xué)生的個(gè)性發(fā)展。

在教學(xué)中通過生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗(yàn)，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感,體驗(yàn)在學(xué)習(xí)中獲得成功。

二、學(xué)生情況與教材分析

1、學(xué)生通過上一節(jié)的學(xué)習(xí)，已經(jīng)了解了等差數(shù)列的定義，基本上掌握了通項(xiàng)公式，會(huì)運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行解題，因此只要簡單地回顧上一節(jié)課的知識(shí)就可引入新課；

2、幾何能直觀地啟迪思路，幫助理解，特別是對(duì)于職中類學(xué)生，他們對(duì)知識(shí)的理解還是處于模糊階段，因此，借助幾何直觀學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要方面。只有做到了直觀上的理解，才是真正的理解。因此在教學(xué)中，要鼓勵(lì)學(xué)生借助幾何直觀進(jìn)行思考，揭示研究對(duì)象的性質(zhì)和關(guān)系，從而滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

3、學(xué)習(xí)應(yīng)該是學(xué)生積極主動(dòng)的建構(gòu)知識(shí)的過程，應(yīng)該與學(xué)生熟悉的背景相聯(lián)系。本課要求學(xué)生通過自主地觀察、討論、歸納、反思來參與學(xué)習(xí)，認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題并嘗試解決問題，在學(xué)習(xí)活動(dòng)中進(jìn)一步提升自己的能力。

三、教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)目標(biāo)

（1）掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,理解公式的推導(dǎo)方法；（2）能較熟練應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和。

2、能力目標(biāo)

經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、反思和邏輯推理的能力。

3、情感目標(biāo)

通過生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)心理體驗(yàn)，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感,體驗(yàn)在學(xué)習(xí)中獲得成功。

四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

1、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式是重點(diǎn)。

2、獲得等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)的思路是難點(diǎn)。

五、教學(xué)流程圖

六、教學(xué)過程

1、引入新課（1）復(fù)習(xí)

師：上一節(jié)課中，我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，知道了“公差d=，通項(xiàng)公式an=”（見黑板）生：（回答黑板上的問題）

（2）故事引入

師：那等差數(shù)列的前n項(xiàng)和怎樣求？今天，我們主要探討等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。說起數(shù)列求和，我由地想起德國偉大的數(shù)學(xué)家高斯“神述求和”的故事。高斯在上小學(xué)四年級(jí)時(shí)，老師出了這樣一道題“1+2+3、、、、、+99+100”（見課件）高斯稍微想了想就得出了答案。高斯到底用了什么巧妙的方法呢？下面給同學(xué)們一點(diǎn)時(shí)間來挑戰(zhàn)高斯。

生：5050 師：看來我們班還是有不少高斯的。繼續(xù)努力，說不定將來也成了數(shù)學(xué)家。下面請(qǐng)這位同學(xué)說一說是怎樣算出來的。

生：（說明如何進(jìn)行首尾配對(duì)進(jìn)行求和的。）

師：根據(jù)等差數(shù)列的特點(diǎn)，首尾配對(duì)求和的確是一種巧妙的方法。不過，對(duì)于以下的題，“例：求等差數(shù)列8、5、2、、、、的前20項(xiàng)的和（見課件）”這種方法可就沒那么方便了。因此我們非常迫切地需要推導(dǎo)出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。

2、探究等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式一

師：下面我們從一個(gè)稍稍簡單一點(diǎn)的等差數(shù)列來推導(dǎo)探討等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。（學(xué)生觀察幻燈片上以等差數(shù)列逐層排列的一堆鋼管。）

師：如何求？

生：利用剛才的方法.(略)師：想一想，除了剛才的首尾配對(duì)求和的方法外，還有沒有其他的方法呢？

（課件演示：引導(dǎo)學(xué)生設(shè)想，如果將鋼管倒置，能得到什么啟示）

生：每一層都和上一層是一樣多的。一共有8層，所以為8×（4+11），但一共有兩堆，所以為

師：那如果如下圖所示共有n層，第一層為a1，第n層為an，請(qǐng)大家來猜想一下這個(gè)呈等差數(shù)列排列的鋼管的總和sn等于多少？ 生：

師：這個(gè)猜想對(duì)不對(duì)呢？下面我們用所學(xué)過的知識(shí)一起來證明一下。

板書：把上式的次序反過來又可以寫成

兩式相加：

所以

看來，我們的猜想是正確的。下面我們做幾道練習(xí)來熟悉一下公式。

3、學(xué)生合作學(xué)習(xí)，運(yùn)用公式一解題，并從練習(xí)中探索得到求和公式二。學(xué)生練習(xí)一：

1、在等差數(shù)列｛an｝中，已知a1=1，a10=8，求s10

2、求正整數(shù)列是前1000個(gè)數(shù)的和； 學(xué)生小組合作練習(xí)，分組進(jìn)行交流。

師：看來，大家對(duì)公式的掌握還是不錯(cuò)的。下面，我們?cè)賮砜匆坏谰毩?xí)。

學(xué)生練習(xí)二：在等差數(shù)列｛an｝中，已知a1=1，d=-2，求s10；

學(xué)生思考，并討論解答。

學(xué)生講解如何進(jìn)行求解這題。

師：剛才那道題給出了a1，d和n=10，a10沒有給出，但我們一樣可以將s10求出，那我們能不能直接由a1，d和n，得到an呢？

學(xué)生根據(jù)求和公式一和通項(xiàng)公式導(dǎo)出公式二：

學(xué)生練習(xí)三：求正整數(shù)中前500個(gè)偶數(shù)的和（用多種方法求解）學(xué)生討論解答此題，并請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)講解。

4、總結(jié)

師：今天，大家學(xué)得不錯(cuò)。下面我們?cè)賮砘仡櫼幌卤咎谜n的內(nèi)容。今天我們主要倒序相加的方法推導(dǎo)了等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式一，并結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式二推導(dǎo)出等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式二，希望同學(xué)們?cè)诮窈蟮慕忸}要靈活運(yùn)用這兩個(gè)公式。

【教學(xué)反思】：

綜觀本節(jié)課，存在有特點(diǎn)主要有以下幾點(diǎn)：

1、合理地對(duì)教材進(jìn)行了個(gè)性化處理，挖掘了教材中可探究的因素，促使學(xué)生探究、推導(dǎo)。例如：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式一，是通過具體的例子，引到一般的情況，激勵(lì)學(xué)生進(jìn)行猜想，再進(jìn)行論證得出；而第二個(gè)公式并不象書本上那樣直接給出，而是讓學(xué)生從習(xí)題中進(jìn)行歸納總結(jié)得到的。這樣處理教材，使學(xué)生的思維得到了很大的鍛煉。

2、本節(jié)課主要采用觀察法、歸納法等教學(xué)方法，同時(shí)采用設(shè)計(jì)變式題的教學(xué)手段進(jìn)行教學(xué)，通過具體問題的引入，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)源于生活，創(chuàng)設(shè)情境，重在啟發(fā)引導(dǎo)，使學(xué)生由淺到深，由易到難分層次對(duì)本節(jié)課內(nèi)容進(jìn)行掌握。學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、反思和邏輯推理的能力。

第二篇：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式說課稿

大家好！今天我說課的題目是《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》，所選用的教材為中等職業(yè)教育規(guī)劃教材。

一、教材分析：

1、教材的地位和作用

《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》是第一冊(cè)第五章第二節(jié)的內(nèi)容，本節(jié)內(nèi)容在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用，同時(shí)與函數(shù)、三角、不等式等內(nèi)容有著密切的聯(lián)系。它既是等差數(shù)列的概念的延續(xù)，又為后續(xù)研究等差數(shù)列的應(yīng)用提供理論依據(jù)。鑒于這種認(rèn)識(shí)，我認(rèn)為，本節(jié)課對(duì)于進(jìn)一步探索、研究等比數(shù)列無論在知識(shí)上，還是方法上都有很強(qiáng)的啟發(fā)與示范作用。

2、學(xué)情分析

學(xué)生在認(rèn)知方面基本掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，初步具備運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，但數(shù)形結(jié)合的意識(shí)和思維的深刻性需要進(jìn)一步加強(qiáng)培養(yǎng)，多數(shù)學(xué)生有積極的學(xué)習(xí)態(tài)度，能主動(dòng)參與探究，少數(shù)學(xué)生的主動(dòng)性，還需要通過營造一定的學(xué)習(xí)氛圍帶動(dòng)。

3、教學(xué)重難點(diǎn)

根據(jù)以上對(duì)教材的地位與作用，以及學(xué)情的分析，結(jié)合本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)，我將本節(jié)課的重點(diǎn)確定為：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的理解、推導(dǎo)與應(yīng)用；

難點(diǎn)確定為：獲得等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)的思路及公式的簡單應(yīng)用。

二、教學(xué)目標(biāo)分析

在教學(xué)中應(yīng)以知識(shí)與技能為主線，滲透情感態(tài)度價(jià)值觀，并把前兩者充分體現(xiàn)在過程與方法中。借此，我將三維目標(biāo)進(jìn)行整合，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為：

1.掌握等差數(shù)列求和公式，能較熟練應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式； 2.經(jīng)歷公式的推導(dǎo)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、反思；

3.通過合作交流、主動(dòng)探究，體會(huì)數(shù)學(xué)的合理性和嚴(yán)謹(jǐn)性，使學(xué)生養(yǎng)成積極思考、獨(dú)立思考的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)合作的精神。

三、教學(xué)方法分析

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者，教學(xué)的一切活動(dòng)都必須圍繞學(xué)生展開。根據(jù)這一教學(xué)理念，本節(jié)課我采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法、問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法，以問題的提出及解決為主線，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，以獨(dú)立思考和相互交流的形式分析和解決問題，從真正意義上完成對(duì)知識(shí)的自我建構(gòu)。

另外，在教學(xué)過程中，我采用多媒體輔助教學(xué)，以直觀呈現(xiàn)教學(xué)素材，從而更好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增大教學(xué)容量，提高教學(xué)效率。

在學(xué)法方面，主要采用聯(lián)系學(xué)習(xí)法，探究式學(xué)習(xí)法，自主性學(xué)習(xí)，真正體現(xiàn)學(xué)生為主體的教學(xué)理念。

四、教學(xué)過程分析

為有序、有效地進(jìn)行教學(xué)，本節(jié)課我主要安排以下教學(xué)環(huán)節(jié)：(一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

給出歷史上有名的實(shí)例，提出問題，學(xué)生進(jìn)行觀察分析，進(jìn)入思考狀態(tài)。設(shè)計(jì)意圖：以問題的形式創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生探究新知的欲望，為學(xué)習(xí)新內(nèi)容做好準(zhǔn)備。

（通過這一環(huán)節(jié)，學(xué)生已經(jīng)產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲望，此時(shí)將學(xué)生帶入下一個(gè)環(huán)節(jié)。）

(二)探究討論，發(fā)現(xiàn)問題（本節(jié)課的重點(diǎn)）

首先給出探索發(fā)現(xiàn)1，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，學(xué)生通過合作交流的方式，逐步明確解決問題的方法和思路。

設(shè)計(jì)意圖：通過這一環(huán)節(jié)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的探究及歸納能力。

接著給出探索發(fā)現(xiàn)2，由學(xué)生通過主動(dòng)探究和合作交流的方式解決問題2，從而歸納整理出求和公式1。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過探索1的解決，已經(jīng)積累了解決此類問題的經(jīng)驗(yàn)，此時(shí)給出探索2，充分發(fā)掘?qū)W生的興趣點(diǎn)，同時(shí)順利解決問題。

最后給出探索發(fā)現(xiàn)3，此時(shí)提出問題3，學(xué)生結(jié)合前兩個(gè)問題的解決方法，從而歸納出求和公式一和二。

設(shè)計(jì)意圖：在本環(huán)節(jié)中采用問題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方法，以循序漸進(jìn)、層層深入的方式，運(yùn)用特殊到一般的研究方法，降低了知識(shí)的梯度，從而突出重點(diǎn)。（通過前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)基本把握了本節(jié)課所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，此時(shí)他們急于展示自我，體驗(yàn)成功，于是我把學(xué)生帶入第三個(gè)階段。）

（三）公式應(yīng)用，加深理解

本環(huán)節(jié)主要是等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，是本節(jié)課的難點(diǎn)。解決引入時(shí)候設(shè)置的問題，處理方法是引導(dǎo)學(xué)生從首項(xiàng)、末項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)出發(fā)，使用公式

（一）求和；(2)引導(dǎo)學(xué)生從首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)及公差出發(fā)，使用公式

（二）求和。通過兩種方法的比較，提示學(xué)生應(yīng)根據(jù)信息選擇合適的公式。

設(shè)計(jì)意圖：反饋體驗(yàn)，解決引入時(shí)候設(shè)置的問題，使得學(xué)生體會(huì)到等差數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)用性，突破本節(jié)課的難點(diǎn)。

（五）小結(jié)歸納，感知深化

為發(fā)揮學(xué)生的主體作用，從學(xué)習(xí)的知識(shí)、方法、體驗(yàn)三個(gè)方面進(jìn)行歸納，我設(shè)計(jì)了三個(gè)問題。

設(shè)計(jì)意圖：通過三個(gè)問題的處理，讓學(xué)生從整體上把握課堂結(jié)構(gòu)，從而優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用。

（六）布置作業(yè)，拓展升華

以作業(yè)的鞏固性和發(fā)展性為出發(fā)點(diǎn)，設(shè)計(jì)了A和B兩種題目，作業(yè)A是對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的一個(gè)反饋，作業(yè)B是對(duì)本節(jié)知識(shí)的一個(gè)延伸?？偟脑O(shè)計(jì)意圖是反饋教學(xué)，鞏固提高。

板書設(shè)計(jì)：這樣安排版面，使得本節(jié)課內(nèi)容重難點(diǎn)突出，層次分明。

五、教學(xué)評(píng)價(jià)：

這節(jié)課的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了以學(xué)生為主體，教師為指導(dǎo)的理念，以上幾個(gè)環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣，層層深入，充分體現(xiàn)教師與學(xué)生的互動(dòng)，在教師的整體調(diào)控下，學(xué)生通過動(dòng)腦思考，對(duì)知識(shí)的理解逐步深入，使課堂學(xué)習(xí)效果最優(yōu)化。

第三篇：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式教案

2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（教案）

一．教學(xué)目標(biāo)：

1.知識(shí)與技能目標(biāo)

了解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的幾何意義，并且能夠靈活運(yùn)用其求和。2.過程與方法目標(biāo)

學(xué)生經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法。

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)

學(xué)生獲得發(fā)現(xiàn)的成就感，優(yōu)化思維品質(zhì)，提高代數(shù)的推導(dǎo)能力。

二．教學(xué)重難點(diǎn)：

1.重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，掌握及靈活運(yùn)用。2.難點(diǎn)：誘導(dǎo)學(xué)生用“倒序相加法”求等差數(shù)列前n項(xiàng)和。

三．教法與學(xué)法分析：

1.教法分析：采用“誘導(dǎo)啟發(fā)，自主探究式”學(xué)法為主，講練結(jié)合為輔的教學(xué)方法。

2.學(xué)法分析：采用“自主探究式學(xué)習(xí)法”和“主動(dòng)學(xué)習(xí)法”。

四．課時(shí)安排：

1個(gè)課時(shí) 五．教學(xué)過程

（一）導(dǎo)入

我們已經(jīng)學(xué)過等差數(shù)列的定義an+1-an=d(n屬于正整數(shù))，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d，等差數(shù)列的等差中項(xiàng)2an=an-1+an+1，還有：若m+n=p+q,則am+an=ap+aq.我們應(yīng)該怎樣求a1+a2+?+an,其中{an}為等差數(shù)列，記Sn=a1+a2+?+an

我們知道200多年前高斯的老師給他們出了一道題目，讓他們計(jì)算1+2+就算出來了?+100=？當(dāng)時(shí)10歲的高斯很快。高斯是怎樣做出來的呢？他使用了什么簡單高明的方法？

1+2+?+100=(1+100)+（2+99）+?+(50+51)=50*101,所以1+2+?+100=5050，這就是著名的高斯算法，到后來，人們就從高斯算法中得到啟發(fā)，求出了等差數(shù)列1+2+?+n的前n項(xiàng)和的算法

（二）探究新知，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

從高斯算法中，人們?cè)鯓忧蟪鍪醉?xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列1+2+3+?+n的和? 首先1+2+?+n(1)n+(n-1)+?+1（2）

2Sn=(n+1)+(n+1)+?+(n+1)(n個(gè)（n+1）)所以 1+2+?+n=n*(n+1)/2 我們把上面的方法稱為“倒序相加法”，也就是說高斯當(dāng)時(shí)用的就是“倒序相加法”算出了1+2+?+100的和

然而這個(gè)方法可以推廣到等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 定義：一般地，我們把a(bǔ)1+a2+?+an叫做等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，用Sn表示

即Sn=a1+a2+?+an

從高斯算法中得到的啟示，對(duì)于一般的等差數(shù)列，其中a1是首項(xiàng)，d是公差，我們可以用兩種方法來表示

Sn=a1+a2+?+an

=a1+(a1+d)+?++[ a1+(n-1)d](3)Sn=an+ an-1+?+a1

=an+(an-d)+?+[an-(n-1)d](4)兩式相加得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+?+(a1+an),有n個(gè)(a1+an）所以Sn=n(a1+an)/2(5)將an=a1+(n-1)d帶入Sn=n(a1+an)/2中即可得到Sn=na1+n(n-1)d/2(6)(5)與(6)區(qū)別：第一個(gè)公式反映了等差數(shù)列的首項(xiàng)與末項(xiàng)之和跟第n項(xiàng)與倒數(shù)第n項(xiàng)之和是相等的；第二個(gè)公式反映了等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差d之間的關(guān)系，而且是關(guān)于n的“二次函數(shù)”，可以與二次函數(shù)作比較。

聯(lián)系：將an=a1+(n-1)d帶入Sn=n(a1+an)/2中即可得到 Sn=na1+n(n-1)d/2

（三）知識(shí)應(yīng)用，反思，提高強(qiáng)化知識(shí)

例1：已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n+3,求Sn 解:因?yàn)閍n=2n+3

所以a1=5, 即Sn=n(a1+an)/2

=n^2+4n 例2：已知等差數(shù)列前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，求前n項(xiàng)和公式Sn 解：因?yàn)镾10=10* a1+10*9*d/2=310

S20=20* a1+20*19*d/2=1220 所以Sn=n* a1+n(n-1)d/2

=4n+n(n-1)*6/2 =3n^2+n習(xí)題1：設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S9=72，求a2+a4+ a9=？

解：因?yàn)镾9=9a1+8*9*d/2=9a1+36d=9(a1+4d)=72

所以a1+4d=8

又因?yàn)閍2+a4+a9=a1+d+a1+2d+a1+8d

=3a1+12d =3(a1+4d)=3*8 =24

（四）歸納總結(jié)

對(duì)Sn=n(a1+an)/2 與 Sn=na1+n(n-1)d/2兩個(gè)公式的熟練運(yùn)用：注：已知條件不同時(shí)，公式的選擇要依據(jù)已知條件，有利于很快的解決問題。

（五）作業(yè)布置

P45,1，2

第四篇：yuanhong 《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式》教學(xué)設(shè)計(jì)

《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》教學(xué)設(shè)計(jì)

教材分析: 《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》是人教實(shí)驗(yàn)版必修5第二章第3節(jié)的內(nèi)容，是學(xué)生學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式后，對(duì)等差數(shù)列知識(shí)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)。學(xué)情分析：

學(xué)生通過對(duì)等差數(shù)列基本概念和通項(xiàng)公式的學(xué)習(xí)，對(duì)等差數(shù)列有了一定的了解。但是由于學(xué)生是第一次接觸到數(shù)列的求和,缺乏相關(guān)經(jīng)驗(yàn),因此，需要借助幾何直觀學(xué)習(xí)和理解。教學(xué)目標(biāo) ：

1、情感態(tài)度與價(jià)值觀

（1）獲得發(fā)現(xiàn)的成就感，逐步養(yǎng)成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，提高代數(shù)推理的能力。

（2）注重在學(xué)習(xí)過程中師生情感交流，鼓勵(lì)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神與創(chuàng)新意識(shí)。

2、過程與方法

（1）通過公式的探索、發(fā)現(xiàn)，在知識(shí)發(fā)生、發(fā)展以及形成過程中培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力；（2）利用以退求進(jìn)的思維策略，遵循從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生在實(shí)踐中通過觀察、嘗試、分析、類比的方法導(dǎo)出等差數(shù)列的求和公式，培養(yǎng)學(xué)生類比思維能力。

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀

（1）獲得發(fā)現(xiàn)的成就感，逐步養(yǎng)成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，提高代數(shù)

推理的能力。

（2）注重在學(xué)習(xí)過程中師生情感交流，鼓勵(lì)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神與創(chuàng)新意識(shí)。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) ：

1、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式是重點(diǎn)。

2、獲得等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)的思路是難點(diǎn)。設(shè)計(jì)理念 ：

在教學(xué)中通過生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，由淺入深，層層深入，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗(yàn)，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感,體驗(yàn)在學(xué)習(xí)中獲得成功。教學(xué)資源：

現(xiàn)代教育多媒體技術(shù) 教學(xué)過程：

(一)創(chuàng)設(shè)問題情境

1.故事引入：德國偉大的數(shù)學(xué)家高斯“神述求和”的故事。高斯在上小學(xué)四年級(jí)時(shí)，老師出了這樣一道題“1+2+3??+99+100”高斯稍微想了想就得出了答案。高斯到底用了什么巧妙的方法呢？下面給同學(xué)們一點(diǎn)時(shí)間來挑戰(zhàn)高斯。

高斯的方法：

首項(xiàng)與末項(xiàng)的和：1+100=101 第2項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的和：2+99=101

第3項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的和：3+98=101 ……

第50項(xiàng)與倒數(shù)第50項(xiàng)的和：50+51=101 ∴前100個(gè)正整數(shù)的和為：101×50=5050 2.故事引入：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀(jì)莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀(jì)念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細(xì)致令人叫絕。傳說陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層，奢靡之程度，可見一斑。你知道這個(gè)圖案一共花了多少寶石嗎？圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

在知道了高斯算法之后，同學(xué)們很容易把本題與高斯算法聯(lián)系起來，也就是聯(lián)想到“首尾配對(duì)”擺出幾何圖形，將兩個(gè)三角形拼成平行四邊形.讓學(xué)生初步形成數(shù)形結(jié)合的思想,這是在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的思想方法.借助圖形理解逆序相加,也為后面公式的推導(dǎo)

打下基礎(chǔ).因此在教學(xué)中，要鼓勵(lì)學(xué)生借助幾何直觀進(jìn)行思考，揭示研究對(duì)象的性質(zhì)和關(guān)系，從而滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。上述故事歸結(jié)為 1．這是求等差數(shù)列1，2，3，?，100前100項(xiàng)和

2.求等差數(shù)列1，2，3，?，21前21項(xiàng)和

（二）等差數(shù)列求和公式

一般地，稱用表示，即

為等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和，1、思考：受高斯的啟示，我們這里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”進(jìn)行求和。

我們用兩種方法表示

：

① ②

由①+②，得

由此得到等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式

對(duì)于這個(gè)公式，我們知道：只要知道等差數(shù)列首項(xiàng)、尾項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)就可以求等差數(shù)列前n項(xiàng)和了。

2、除此之外，等差數(shù)列還有其他方法嗎？當(dāng)然，對(duì)于等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，也可以有其他的推導(dǎo)途徑。例如：

===

=

代入

這兩個(gè)公式是可以相互轉(zhuǎn)化的。把中，就可以得到

引導(dǎo)學(xué)生思考這兩個(gè)公式的結(jié)構(gòu)特征得到：第一個(gè)公式反映了等差數(shù)列的任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和這個(gè)內(nèi)在性質(zhì)。第二個(gè)公式反映了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與它的首項(xiàng)、公差之間的關(guān)系，這兩個(gè)公式的共同點(diǎn)都有四個(gè)量，都有三求一”，不同點(diǎn)是第一個(gè)公式還需知道

和n，都可以“知，而第二個(gè)公式是要知道d，解題時(shí)還需要根據(jù)已知條件決定選用哪個(gè)公式。

（三）公式運(yùn)用，變式訓(xùn)練 例1.求和： 1、101+100+99+98+97； 2、2+2+4+6+8+??+2n；（結(jié)果用n表示）3、2+4+6+8+??+（2n+4）；（結(jié)果用n表示）

例2、2000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的通知》.某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10年時(shí)間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng).據(jù)測(cè)算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬元.為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從2001年起的未來10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？

如果開始時(shí)有1.275億元可以支配，那么按照上面的方法劃撥經(jīng)費(fèi)，可以再持續(xù)多少年？

例3．根據(jù)下列各題的條件,求相應(yīng)等差數(shù)列的未知數(shù)（1）a1=3，an=2n+1，sn=195，求d，n；（2）a2+a6=16，s6=39，求d，an 例4．已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由此可以確定求其前n項(xiàng)和的公式嗎？

（五）隨堂練習(xí)

1、求等差數(shù)列13，15，17，?81的各項(xiàng)和

2、已知等差數(shù)列, a1=3 且滿足 an+1=an+2 ,求的前n項(xiàng)和。

（六）課后小結(jié)

1．經(jīng)歷了等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推倒的過程 2．學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：

sn?n(a1?an)n(n?1)與sn?na1?d用推導(dǎo)的兩個(gè)公式靈活解題。2

2（七）課外作業(yè) P49：13、、15、1417

第五篇：說課—《等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式》

演講稿 工作總結(jié) 調(diào)研報(bào)告 講話稿 事跡材料 心得體會(huì) 策劃方案

說課—《等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式》

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說課-《等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式》 教學(xué)目標(biāo)

A、知識(shí)目標(biāo)：

掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法；掌握公式的運(yùn)用

B、能力目標(biāo)：

（1）通過公式的探索、發(fā)現(xiàn)

在知識(shí)發(fā)生、發(fā)展以及形成過程中培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力

（2）利用以退求進(jìn)的思維策略 遵循從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律

讓學(xué)生在實(shí)踐中通過觀察、嘗試、分析、類比的方法導(dǎo)出等差數(shù)列的求和公式

培養(yǎng)學(xué)生類比思維能力

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（3）通過對(duì)公式從不同角度、不同側(cè)面的剖析 培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性

提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力

C、情感目標(biāo)：（數(shù)學(xué)文化價(jià)值）

（1）公式的發(fā)現(xiàn)反映了普遍性寓于特殊性之中 從而使學(xué)生受到辯證唯物主義思想的熏陶

（2）通過公式的運(yùn)用 樹立學(xué)生“大眾教學(xué)”的思想意識(shí)

（3）通過生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問題 令人著迷的數(shù)學(xué)史 激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望 樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心 增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗(yàn) 產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感

教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式

教學(xué)難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的靈活運(yùn)用

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教學(xué)方法：啟發(fā)、討論、引導(dǎo)式

教具：現(xiàn)代教育多媒體技術(shù)

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情景 導(dǎo)入新課

師：上幾節(jié)

我們已經(jīng)掌握了等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及其有關(guān)性質(zhì) 今天要進(jìn)一步研究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 提起數(shù)列求和

我們自然會(huì)想到德國偉大的數(shù)學(xué)家高斯“神速求和”的故事 小高斯上小學(xué)四年級(jí)時(shí)

一次教師布置了一道數(shù)學(xué)習(xí)題：“把從1到100的自然數(shù)加起來 和是多少？”年僅10歲的小高斯略一思索就得到答案5050 這使教師非常吃驚

那么高斯是采用了什么方法來巧妙地計(jì)算出來的呢？如果大家也懂得那樣巧妙計(jì)算

那你們就是二十世紀(jì)末的新高斯（教師觀察學(xué)生的表情反映 然后將此問題縮小十倍）

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我們來看這樣一道一例題

例1 計(jì)算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.這道題除了累加計(jì)算以外

還有沒有其他有趣的解法呢？小組討論后 讓學(xué)生自行發(fā)言解答

生1:因?yàn)?+10=2+9=3+8=4+7=5+6 所以可湊成5個(gè)11 得到55

生2：可設(shè)S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 根據(jù)加法交換律

又可寫成S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1

上面兩式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110

10個(gè)

所以我們得到S=55

即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

師：高斯神速計(jì)算出1到100所有自然數(shù)的各的方法

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和上述兩位同學(xué)的方法相類似

理由是：1+100=2+99=3+98=......=50+51=101 有50個(gè)101 所以1+2+3+......+100=50×101=5050 請(qǐng)同學(xué)們想一下

上面的方法用到等差數(shù)列的哪一個(gè)性質(zhì)呢？

生3：數(shù)列{an}是等差數(shù)列 若m+n=p+q 則am+an=ap+aq.二、教授新課（嘗試推導(dǎo)）

師：如果已知等差數(shù)列的首項(xiàng)a1 項(xiàng)數(shù)為n 第n項(xiàng)an 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)

如何來導(dǎo)出它的前n項(xiàng)和Sn計(jì)算公式呢？根據(jù)上面的例子同學(xué)們自己完成推導(dǎo) 并請(qǐng)一位學(xué)生板演

生4：Sn=a1+a2+......an-1+an也可寫成 Sn=an+an-1+......a2+a1

兩式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)

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n個(gè)

=n(a1+an)

所以Sn=(I)

師：好！如果已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1 公差為d 項(xiàng)數(shù)為n 則an=a1+(n-1)d代入公式(1)得 Sn=na1+ d(II)

上面（I）、（II）兩個(gè)式子稱為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 公式（I）是基本的 我們可以發(fā)現(xiàn)

它可與梯形面積公式（上底+下底）×高÷2相類比 這里的上底是等差數(shù)列的首項(xiàng)a1 下底是第n項(xiàng)an 高是項(xiàng)數(shù)n 引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：這些公式中出現(xiàn)了幾個(gè)量？（a1 d n an Sn）

它們由哪幾個(gè)關(guān)系聯(lián)系？[an=a1+(n-1)d Sn==na1+ d]；這些量中有幾個(gè)可自由變化？（三個(gè)）從而了解到：只

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要知道其中任意三個(gè)就可以求另外兩個(gè)了 下面我們舉例說明公式（I）和（II）的一些應(yīng)用

三、公式的應(yīng)用（通過實(shí)例演練 形成技能）

1、直接代公式（讓學(xué)生迅速熟悉公式 即用基本量觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)公式）例

2、計(jì)算：

（1）1+2+3+......+n

（2）1+3+5+......+(2n-1)

（3）2+4+6+......+2n

（4）1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n

請(qǐng)同學(xué)們先完成（1）-（3）并請(qǐng)一位同學(xué)回答

生5：直接利用等差數(shù)列求和公式（I）得

（1）1+2+3+......+n=

（2）1+3+5+......+(2n-1)=

（3）2+4+6+......+2n==n(n+1)

師：第（4）小題數(shù)列共有幾項(xiàng)？是否為等差數(shù)列？能否直接運(yùn)用Sn公式求解？若不能

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那應(yīng)如何解答？小組討論后 讓學(xué)生發(fā)言解答

生6：（4）中的數(shù)列共有2n項(xiàng) 不是等差數(shù)列 但把正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)分開 可看成兩個(gè)等差數(shù)列 所以

原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)

=n2-n(n+1)=-n

生7：上題雖然不是等差數(shù)列 但有一個(gè)規(guī)律 兩項(xiàng)結(jié)合都為-1 故可得另一解法：

原式=-1-1-......-1=-n

n個(gè)

師：很好！在解題時(shí)我們應(yīng)仔細(xì)觀察 尋找規(guī)律

往往會(huì)尋找到好的方法 注意在運(yùn)用Sn公式時(shí) 要看清等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù) 否則會(huì)引起錯(cuò)解

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例

3、（1）數(shù)列{an}是公差d=-2的等差數(shù)列 如果a1+a2+a3=12 a8+a9+a10=75 求a1 d S10

生8：（1）由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12 即a1+d=4

又∵d=-2 ∴a1=6

∴S12=12 a1+66×（-2）=-60

生9：（2）由a1+a2+a3=12 a1+d=4

a8+a9+a10=75 a1+8d=25

解得a1=1 d=3 ∴S10=10a1+=145

師：通過上面例題我們掌握了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式 在Sn公式有5個(gè)變量 已知三個(gè)變量

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可利用構(gòu)造方程或方程組求另外兩個(gè)變量（知三求二）請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)例3自己編題 作為本節(jié)的課外練習(xí)題 以便下節(jié)課交流

師：（繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生 將第（2）小題改編）

①數(shù)列{an}等差數(shù)列 若a1+a2+a3=12 a8+a9+a10=75 且Sn=145 求a1 d n

②若此題不求a1 d而只求S10時(shí) 是否一定非來求得a1 d不可呢？引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì) 用整體思想考慮求a1+a10的值

2、用整體觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)Sn公式

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例4 在等差數(shù)列{an}（1）已知a2+a5+a12+a15=36 求S16；（2）已知a6=20 求S11（教師啟發(fā)學(xué)生解）

師：來看第（1）小題

寫出的計(jì)算公式S16==8(a1+a6)與已知相比較 你發(fā)現(xiàn)了什么？

生10：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì) 有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18 所以S16=8×18=144

師：對(duì)！（簡單小結(jié)）這個(gè)題目根據(jù)已知等式是不能直接求出a1 a16和d的

但由等差數(shù)列的性質(zhì)可求a1與an的和 于是這個(gè)問題就得到解決 這是整體思想在解數(shù)學(xué)問題的體現(xiàn)

師：由于時(shí)間關(guān)系

我們對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn的運(yùn)用一一剖析 引導(dǎo)學(xué)生觀察當(dāng)d≠0時(shí)

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Sn是n的二次函數(shù)

那么從二次（或一次）的函數(shù)的觀點(diǎn)如何來認(rèn)識(shí)Sn公式后 這留給同學(xué)們課外繼續(xù)思考

最后請(qǐng)大家課外思考Sn公式（1）的逆命題：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn 若對(duì)于所有自然數(shù)n 都有Sn= 數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列 并說明理由

四、小結(jié)與作業(yè)

師：接下來請(qǐng)同學(xué)們一起來小結(jié)本節(jié)課所講的內(nèi)容

生11：

1、用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式

2、用所推導(dǎo)的兩個(gè)公式解決有關(guān)例題 熟悉對(duì)Sn公式的運(yùn)用

生12：

1、運(yùn)用Sn公式要注意此等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n的值

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2、具體用Sn公式時(shí)

要根據(jù)已知靈活選擇公式（I）或（II）掌握知三求二的解題通法

3、當(dāng)已知條件不足以求此項(xiàng)a1和公差d時(shí) 要認(rèn)真觀察

靈活應(yīng)用等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì) 看能否用整體思想的方法求a1+an的值

師：通過以上幾例 說明在解題中靈活應(yīng)用所學(xué)性質(zhì)

要糾正那種不明理由盲目套用公式的學(xué)習(xí)方法 同時(shí)希望大家在學(xué)習(xí)中做一個(gè)有心人 去發(fā)現(xiàn)更多的性質(zhì) 主動(dòng)積極地去學(xué)習(xí)

本節(jié)所滲透的數(shù)學(xué)方法；觀察、嘗試、分析、歸納、類比、特定系數(shù)等

數(shù)學(xué)思想：類比思想、整體思想、方程思想、函數(shù)思想等

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