第一篇：等差數(shù)列前n項(xiàng)和(教學(xué)實(shí)錄)

“自主學(xué)習(xí)與創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式”研究課一例

——“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”教學(xué)實(shí)錄

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》中指出:“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過(guò)各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng),讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程,發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí)”.數(shù)學(xué)公式教學(xué)應(yīng)包含三部分:公式的發(fā)現(xiàn)、公式的證明和公式的應(yīng)用.但當(dāng)前,由于受應(yīng)試教育的影響,前兩部分往往是“蜻蜓點(diǎn)水”“一帶而過(guò)”,而第三部分卻弄得“腳踏實(shí)地”“反復(fù)操練”,這顯然與“既要重結(jié)論,又要重過(guò)程”的現(xiàn)代教育理念不相符.其實(shí),在數(shù)學(xué)公式教學(xué)中,所謂“重過(guò)程”就是要把當(dāng)初數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)和證明數(shù)學(xué)公式的經(jīng)歷,通過(guò)教師創(chuàng)造性的設(shè)計(jì),讓學(xué)生類似的經(jīng)歷數(shù)學(xué)公式的發(fā)現(xiàn)和證明這一再創(chuàng)造的過(guò)程;“重過(guò)程”就是讓學(xué)生在不斷地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中,潛移默化地學(xué)會(huì)研究數(shù)學(xué)的方法,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng),學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考,發(fā)展創(chuàng)新意識(shí).下面敘述的是按照“自主學(xué)習(xí)與創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式”設(shè)計(jì)的“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”研究課的全過(guò)程.不妥之處,敬請(qǐng)專家、同行賜教.1 設(shè)計(jì)問(wèn)題 創(chuàng)設(shè)情境

教師:德國(guó)著名數(shù)學(xué)家高斯被人們稱為“數(shù)學(xué)王子”,因他小時(shí)候就非常聰明,他是歷史上不多見(jiàn)的以“神童”著稱的一位數(shù)學(xué)家,一則廣為流傳的故事是高斯10歲的時(shí)候,有一天,老師為了讓班里的孩子們有事干,便出了一道題,即

問(wèn)題1 求1+2+3+?+100=?

然而老師剛把題寫在黑板上一會(huì),小高斯就求出了它的結(jié)果,你知道應(yīng)如何計(jì)算嗎? 學(xué)生1:因?yàn)?+100=101,2+99=101,?,50+51=101,于是所求的和是101×100/2=5050.學(xué)生2:設(shè)s=1+2+3+?+100,①

則s=100+99+98+?+1,②

①+②得,2S=101×100,所以S=101×1002=5050.(此故事及學(xué)生1的算法早已為學(xué)生所熟知,這里重提此故事,主要是希望學(xué)生由此能提出更一般地問(wèn)題,發(fā)現(xiàn)新的算法(如學(xué)生2的算法,已見(jiàn)等差數(shù)列前n項(xiàng)和推導(dǎo)方法—倒序相加法的雛形).問(wèn)題2 如圖1,是一垛鋼管,最下面一層放了102根,最上面一層放了3根,往上每一層都比它下面一層少放一根.這垛鋼管共放了多少根鋼管

?

不一會(huì)兒,就有學(xué)生舉手回答.學(xué)生3:由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式易知,這垛鋼管共100層,由圖1聯(lián)想到梯形的面積公式的推導(dǎo)方法,用類似的方法去想.如圖2所示,可以看出圖2每層均有3+102根,又知共100層,故共有(3+102)×100根.從而得這垛(圖1中)鋼管的根數(shù)為(3+102)×100/2=5250.學(xué)生4:我和學(xué)生3想的差不多,由圖1聯(lián)想到梯形的面積公式:梯形的面積=(上底+下底)×高2,于是,圖1中的鋼管數(shù)為:(3+102)×1002=5250.(眾生羨慕不已,教師也為該生的創(chuàng)造性解法所折服,這個(gè)解法出乎意料!但該解法缺乏依據(jù),為了保護(hù)學(xué)生的積極性,教師未否定)提出問(wèn)題 解決問(wèn)題

教師:由問(wèn)題1及問(wèn)題2,同學(xué)們能想到些什么問(wèn)題嗎?

學(xué)生5:由問(wèn)題1想到能否求:從1一直加到n呢?即

問(wèn)題3:求1+2+3+?+n=?,(n∈N+).教師:學(xué)生5提出了一個(gè)較問(wèn)題1更為一般的問(wèn)題,誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)所謂求1+2+3+?+n=?,(n∈N+),是什么意思?即題中的“?”應(yīng)當(dāng)是一個(gè)什么樣的表達(dá)式?

學(xué)生6:所謂求1+2+3+?+n=?(n∈N+),就是要想辦法消除左式中的“?”號(hào),而將式子中的“?”用n表示出來(lái).(這一環(huán)節(jié)不容忽視!這樣才能弄清題意、弄清解題目標(biāo).)

教師:很好!誰(shuí)能求出其結(jié)果?

學(xué)生7:仿問(wèn)題1中學(xué)生2的解法,有因?yàn)?+2+3+?+n=?③

所以n+(n-1)+(n-2)+?+1=?④

③+④得,(1+n)n=2?,所以?=n(n+1)/2.即1+2+3+?+n=n(n+1)/2.(※)

教師:上述方法是解決這類問(wèn)題較方便的方法,大家給這種方法起個(gè)恰當(dāng)?shù)拿Q好嗎?(經(jīng)討論大家一致同意叫“倒序相加法”.將起名字的任務(wù)交給學(xué)生,一是為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,促進(jìn)學(xué)生的概括能力和交流能力的提高;二是能加深對(duì)這種方法的認(rèn)識(shí),并為后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備.)

學(xué)生8:問(wèn)題1和問(wèn)題2都是求等差數(shù)列前n項(xiàng)和問(wèn)題,最終都是首項(xiàng)與末項(xiàng)的和乘以項(xiàng)數(shù)再除以2,因此,我認(rèn)為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的計(jì)算公式應(yīng)為:

Sn=(a1+an)n/2.教師:這只是一個(gè)猜想,其正確性有待于證明.學(xué)生探索 證明猜想

教師:設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,即Sn=a1+a2+a3+?+an.證明或否定:Sn=n(a1+an)/2.學(xué)生9:聯(lián)想到等差數(shù)列{an}通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法,設(shè)公差為d,因?yàn)镾1=1×a1+1×(1-1)/2d,S2=a1+a2=2a1+d=2a1+2(2-1)/2d,S3=a1+a2+a3=3a1+3d=3a1+3(3-1)/2d,S4=a1+a2+a3+a4=4a1+6d=4a1+4(4-1)/2d,?,由此得到Sn=n(a1+an)/2.(由于學(xué)生還沒(méi)有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法,因此,雖不能作為一個(gè)完整的證明,但也算是一個(gè)好思路.)

學(xué)生10:要想確定Sn,首先a1和n是必需的,其次是d或an之一.即計(jì)算Sn的表達(dá)式中必有a1,n,d(或an).Sn=a1+a2+a3+?+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+?+[a1+(n-1)d]

=na1+[1+2+3+?+(n-1)]d

=na1+[1+(n-1)](n-1)/2d

由公式(*)=na1+n(n-1)/2d(公式一)

=na1+n(n-1)/2×(an-a1)/(n-1)=na1+n(an-a1)/2=n(a1+an)/2.(公式二)

學(xué)生11:受問(wèn)題2,學(xué)生3和問(wèn)題3的倒序相加法的啟發(fā),有

Sn=a1+a2+a3+?+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+?+[a1+(n-1)d],⑤

又Sn=an+an-1+an-2+?+a1=[a1+(n-1)d]+[a1+(n-2)d]+[a1+(n-3)d]+?+a1,⑥

⑤+⑥.得2Sn=[2a1+(n-1)d]+[2a1+(n-1)d]+?+[2a1+(n-1)d]=2na1+n(n-1)d.所以Sn=na1+n(n-1)/2d.稍作變形又得,Sn=n(a1+an)2.數(shù)形結(jié)合 繼續(xù)探索

教師:由上節(jié)課我們知道:等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=a1+(n-1)d,也可以寫成an=dn+(a1-d),且知,當(dāng)d≠0時(shí),它是關(guān)于n的一次函數(shù), 因此,表示等差數(shù)列{an}的各點(diǎn)(n,an)均在一次函數(shù)y=dx+(a1-d)的圖象上,是其圖象上均勻排開(kāi)的無(wú)窮多個(gè)孤立的點(diǎn).比如圖3,試問(wèn)你能借助圖象給出公式Sn=n(a1+an)/2的幾何解釋嗎?

學(xué)生12:將圖3畫成圖4所示的“樓梯狀”(實(shí)線部分)圖形,則等差數(shù)列{an}中的a1,a2,a3,?,an恰好依次為圖4中各個(gè)實(shí)線小矩形的面積.因此,要求Sn=a1+a2+a3+?+an,相當(dāng)于求圖4中這些實(shí)線小矩形的面積之和.受問(wèn)題2解法的啟發(fā),只需再倒置上一個(gè)同樣的“樓梯狀”(虛線部分)圖形,如圖4.則Sn=1/2S矩形=n(a1+an)/2.教師:不過(guò)上述證明僅適合an>0的情況.學(xué)生13:因?yàn)閍n=a1+d+d+?+d(看成能力),這樣將a1,a2,a3,?,an按縱向排列,使ak排在第k行上,得到一個(gè)三角形數(shù)陣(如圖

5),聯(lián)想到三角形的面積公式(注意第1列單算)知,Sn=na1+(n-1)2/2d.(☆)

【(☆)式一出,下面立即炸了鍋,有的自言自語(yǔ),有的指著黑板相互交流,個(gè)別學(xué)生大聲說(shuō)不對(duì)吧?】

教師:同學(xué)們認(rèn)為上述解法的問(wèn)題在哪里?

學(xué)生14:(☆)式肯定錯(cuò)了,比如取n=2時(shí),由(☆)式得,S2=2a1+1/2d,當(dāng)d≠0時(shí),與S2=a1+a2=2a1+d相矛盾.教師:很好!用一個(gè)特例否定一個(gè)結(jié)論是數(shù)學(xué)中的一種重要方法.學(xué)生15:(很激動(dòng)的樣子)我找到原因了!不應(yīng)當(dāng)類比三角形的面積公式,而應(yīng)當(dāng)類比梯形的面積公式,因?yàn)樯系组L(zhǎng)為1(個(gè)d),而不是0.所以Sn=na1+[1+(n-1)]×(n-1)/2d=na1+n(n-1)/2d.(問(wèn)題的癥結(jié)找到了,問(wèn)題解決了,師生都松了一口氣.但該解法缺乏依據(jù),為了保護(hù)學(xué)生的積極性,教師仍未否定)

學(xué)生16:受問(wèn)題2的啟發(fā),將圖5旋轉(zhuǎn)180°所得數(shù)陣拼到圖5的數(shù)陣上得圖6,可以看出圖6每行有(n-1)個(gè)d,又共有n行,所以2Sn=n×2a1+n(n-1)d,所以Sn=na1+n(n-1)/2d.裂項(xiàng)求和 錦上添花

教師:同學(xué)們?cè)谛W(xué)和初中時(shí),曾經(jīng)做過(guò)以下問(wèn)題:求:1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+?

+1/(99×100).還記得當(dāng)時(shí)是如何計(jì)算的嗎?

眾生:用裂項(xiàng)法,即利用1/[k(k+1)]=1/k-1/(k+1).教師:請(qǐng)同學(xué)們思考:等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和可否用裂項(xiàng)法求和呢?請(qǐng)同學(xué)們分組討論.小組1:因?yàn)閍n=[(an+d)2-(an-d)2]/(4d)=1/(4d)(a2n+1-a2n-1)(n≥2),(以下略).(經(jīng)追問(wèn)說(shuō)是受x=[(x+1)2-(x-1)2] /4啟發(fā)而得.)

小組2:因?yàn)閍n=[(an+d)2-a2n]/(2d)-d/2=[a2n+1-a2n]/(2d)-d/2,(以下略).(經(jīng)追問(wèn)說(shuō)是受(k+1)2-k2=2k+1,變形得k=[(k+1)2-k2)/2-1/2的啟發(fā)而得.)

小組3:因?yàn)?d=an+1-an-1,所以2dan=an+1an-anan-1,所以an=(an+1an-anan-1)/（2d）(n≥2).(以下略).教師:棒極了!用裂項(xiàng)法求和就是將和式中的每一項(xiàng)都分解成兩式之差,其關(guān)鍵是所分解成的兩式之差,在求和的過(guò)程中能達(dá)到消項(xiàng)之目的.課堂小結(jié) 觀點(diǎn)提煉

教師:我們這節(jié)課主要發(fā)現(xiàn)和證明了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,共有兩個(gè)公式,它們之間可以相互轉(zhuǎn)化.同學(xué)們能否說(shuō)一說(shuō)這兩個(gè)公式有什么用途嗎?

學(xué)生:這兩個(gè)公式共涉及a1,n,d,an,Sn五個(gè)量,知道其中的任意3個(gè),則可求另外的2個(gè).教師:在發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)公式的過(guò)程中,都用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法?

學(xué)生:由特殊到一般,歸納——猜想,倒序相加法,構(gòu)造法,裂項(xiàng)求和法,類比聯(lián)想,數(shù)形結(jié)合,看成能力.教師:同學(xué)們的體會(huì)都很深刻,課后同學(xué)們要注意落實(shí)今天的知識(shí)內(nèi)容和數(shù)學(xué)思想方法.另外,請(qǐng)進(jìn)一步研究學(xué)生4和學(xué)生15的解法,看能否找到其理論依據(jù)?若沒(méi)有理論依據(jù),那么就不能算是數(shù)學(xué)意義上的正確解法.

第二篇：等差數(shù)列前n項(xiàng)和教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

《等差數(shù)列前n項(xiàng)和》的教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

本課的教學(xué)設(shè)計(jì)反映了等差數(shù)列求和公式推導(dǎo)過(guò)程中數(shù)學(xué)思想方法——倒序相加法的生成過(guò)程，這是本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)的重中之重；設(shè)計(jì)中結(jié)合本班學(xué)生學(xué)習(xí)的實(shí)際情況，從而確定了教學(xué)活動(dòng)的環(huán)節(jié)并以此來(lái)確定教學(xué)目標(biāo)。下面從以下幾個(gè)方面進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明。

一、教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)、地位及作用分析

等差數(shù)列前n項(xiàng)和S n

? a 1 ?

a 2 ?

?

? a

，這是教材給出的前n項(xiàng)和的定n?1?an義，但需要說(shuō)明的是這只是一個(gè)形式定義，表示求和是一般意義的加法運(yùn)算，而本節(jié)課的數(shù)學(xué)本質(zhì)是倒序相加法及其生成過(guò)程（即變不同“數(shù)”的求和為相同“數(shù)”的求和），進(jìn)而推導(dǎo)和掌握等差數(shù)列的求和公式。

本節(jié)內(nèi)容是必修五第二章第三節(jié)的第一課時(shí)，本節(jié)課對(duì)“等差數(shù)列前n 項(xiàng)和”的推導(dǎo)，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了等差數(shù)列通項(xiàng)公式及性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究等差數(shù)列，其學(xué)習(xí)的平臺(tái)是學(xué)生已掌握等差數(shù)列的性質(zhì)以及高斯求和法等相關(guān)知識(shí)。對(duì)本節(jié)的研究，為以后學(xué)習(xí)數(shù)列求和提供了一種重要的思想方法——倒序相加求和法，具有承上啟下的重要作用．

對(duì)求和公式的認(rèn)識(shí)中，將公式1與公式2與梯形的面積公式建立了聯(lián)系，從而起到延伸知識(shí)，提示事物間內(nèi)在聯(lián)系，更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，感受思考的魅力。

二、教學(xué)目標(biāo)分析

本節(jié)課是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的第一課時(shí)，從知識(shí)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，掌握求和公式對(duì)每個(gè)學(xué)生來(lái)說(shuō)并不困難，而難點(diǎn)是在于如何從求和公式的推導(dǎo)過(guò)程中體會(huì)倒序相加求和的思想方法及生成過(guò)程，滲透新課標(biāo)理念，根據(jù)學(xué)情進(jìn)行了具體分析，并結(jié)合學(xué)情制定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。

學(xué)情分析：

1、學(xué)生已學(xué)習(xí)了函數(shù)、數(shù)列等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，并且高二學(xué)生的抽象邏輯推理能力基本形成，能在教師的引導(dǎo)下獨(dú)立地解決問(wèn)題。

2、學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)比較扎實(shí)、思維較活躍，學(xué)生層次差異不大，能夠很好的掌握教材上的內(nèi)容，能較好地做到數(shù)形結(jié)合，善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，深入研究問(wèn)題。

3、學(xué)生對(duì)新知識(shí)很有興趣，對(duì)用多媒體進(jìn)行教學(xué)非常熱愛(ài)，思維活躍。結(jié)合以上的學(xué)情分析，確定知識(shí)技能目標(biāo)是：（1）理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和的概念（2）掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程（3）會(huì)靈活運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。過(guò)程與方法的目標(biāo)是：（1）通過(guò)對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程，滲透倒序相加求和的數(shù)學(xué)思想且自然生成的過(guò)程（2）通過(guò)靈活運(yùn)用公式的過(guò)程，提高學(xué)生類比化歸的能力及掌握方程的思想和方法。并且從教學(xué)過(guò)程滲透本課的情感態(tài)度目標(biāo)：結(jié)合具體情景，將教材知識(shí)和實(shí)際生活聯(lián)系起來(lái)，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的實(shí)用性，有效激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，并通過(guò)對(duì)等差數(shù)列求和歷史的了解，滲透數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化。

三、教學(xué)問(wèn)題診斷

1、根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在本課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)公式的掌握及簡(jiǎn)單應(yīng)用并不困難，而難點(diǎn)在于在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的過(guò)程中如何自然地生成倒序相加求和法，是本課教學(xué)環(huán)節(jié)中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容。首先讓學(xué)生回顧高斯求和法，學(xué)生容易進(jìn)行類比，將首末兩項(xiàng)進(jìn)行配對(duì)相加，但是很快遇到問(wèn)題，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的前n項(xiàng)和時(shí)配不成對(duì)，這里引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的問(wèn)題影響了首尾配對(duì)法。為了改進(jìn)首尾配對(duì)法的局限性，設(shè)計(jì)了兩個(gè)探索與發(fā)現(xiàn)，分別對(duì)應(yīng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)，根據(jù)動(dòng)畫引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)顛倒順序再相加變?yōu)樯舷屡鋵?duì)，體現(xiàn)了倒序相加法自然的生成過(guò)程，避免了對(duì)項(xiàng)數(shù)是奇與偶的討論，從而實(shí)現(xiàn)變不同“數(shù)”的求和為相同“數(shù)”的求和。

2、在對(duì)兩個(gè)求和公式的認(rèn)識(shí)中，學(xué)生不容易想到將兩個(gè)公式與梯形面積公式建立聯(lián)系，此時(shí)教師可做適當(dāng)?shù)膭?dòng)畫來(lái)提示，學(xué)生便能迅速找到二者的關(guān)系。認(rèn)識(shí)過(guò)程中再次強(qiáng)調(diào)倒序相加的思想方法且強(qiáng)化了對(duì)公式的記憶和理解。

3、本節(jié)課充分利用了多媒體技術(shù)的強(qiáng)大功能，多次設(shè)計(jì)動(dòng)畫幫助學(xué)生觀察和思考，形象直觀且高效地提升了課堂的效益和效率，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問(wèn)題的強(qiáng)有力工具，使學(xué)生樂(lè)意投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的教學(xué)活動(dòng)中去。

4、等差數(shù)列求和的兩個(gè)公式中涉及的量比較多，有a1、n，sn，d，an五個(gè)量，通過(guò)公式應(yīng)用及練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)方程的思想方法，具體來(lái)說(shuō)就是熟練掌握“知三求二”的問(wèn)題和方法。

四、教法特點(diǎn)及預(yù)期效果分析 根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況、認(rèn)知特點(diǎn)，本課采用“探究——發(fā)現(xiàn)”教學(xué)模式．引導(dǎo)學(xué)生在活動(dòng)中進(jìn)行探究，在師生互動(dòng)交流中，發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的推導(dǎo)方法，教師的教法突出活動(dòng)的組織設(shè)計(jì)與方法的引導(dǎo)，學(xué)生的學(xué)法突出探究與發(fā)現(xiàn)，通過(guò)創(chuàng)設(shè)情景激發(fā)興趣，在與教師的互動(dòng)交流中，獲得本節(jié)課的知識(shí)與方法。

根據(jù)學(xué)生具體情況，我力求達(dá)到：1、形成學(xué)生主動(dòng)參與，自主探究的課堂氣氛。

2、掌握求和公式的方法特點(diǎn)，并能從梯形面積的角度認(rèn)識(shí)和牢記公式。3、提高學(xué)生類比化歸及方程的思想方法。由于本課內(nèi)容不多，難度不大，相信大多數(shù)學(xué)生都能掌握本課知識(shí)，實(shí)現(xiàn)預(yù)期的目標(biāo)。

第三篇：《等差數(shù)列前n項(xiàng)和》教學(xué)反思

《等差數(shù)列前n項(xiàng)和》教學(xué)反思

身為一名剛到崗的人民教師，教學(xué)是重要的任務(wù)之一，寫教學(xué)反思可以快速提升我們的教學(xué)能力，教學(xué)反思應(yīng)該怎么寫才好呢？下面是小編收集整理的《等差數(shù)列前n項(xiàng)和》教學(xué)反思，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

《等差數(shù)列前n項(xiàng)和》教學(xué)反思1

長(zhǎng)期以來(lái)，我們的教學(xué)太過(guò)于重視結(jié)論，輕視過(guò)程。為了應(yīng)付考試，為了使對(duì)公式定理應(yīng)用達(dá)到所謂的“熟能生巧”，教學(xué)中不惜花大量的時(shí)間采用題海戰(zhàn)術(shù)來(lái)進(jìn)行強(qiáng)化。在數(shù)學(xué)概念公式的教學(xué)中往往把學(xué)生強(qiáng)化成只會(huì)套用公式的解題機(jī)器，這樣的學(xué)生面對(duì)新問(wèn)題就束手無(wú)策。 基于以上認(rèn)識(shí)，在設(shè)計(jì)這兩節(jié)課時(shí)，我所考慮的不是簡(jiǎn)單地復(fù)習(xí)等差數(shù)列求和公式，而是讓學(xué)生自己去推導(dǎo)公式。學(xué)生在課堂上的主體地位得到了充分的發(fā)揮。事實(shí)上，定義推導(dǎo)過(guò)程就是建構(gòu)知識(shí)模型、形成數(shù)學(xué)思想和方法的過(guò)程。

等差數(shù)列是高中數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)基本數(shù)列之一。等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式則是等差數(shù)列中的一個(gè)重要公式。它前承等差數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，后啟等比數(shù)列的前 項(xiàng)和公式。高三最后復(fù)習(xí)階段，可千萬(wàn)要重視課本知識(shí)，要注意對(duì)課本知識(shí)和例題的挖掘，如果我們能指導(dǎo)學(xué)生不滿足課本所給的知識(shí)，學(xué)會(huì)對(duì)課本例題的再研究和再探索，那勢(shì)必會(huì)達(dá)到事半功倍的效果。

《等差數(shù)列前n項(xiàng)和》教學(xué)反思2

一．教材分析及能力要求：

數(shù)列前n項(xiàng)和是數(shù)列單元的重點(diǎn)內(nèi)容，是在充分理解和掌握等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基礎(chǔ)上課題的延伸；要求學(xué)生對(duì)公式能理解并掌握，并能根據(jù)條件靈活運(yùn)用，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

二．教學(xué)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)

數(shù)學(xué)公式只是一些符號(hào)，學(xué)生記憶容易，但用起來(lái)困難，因此，公式的記憶要借助于對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解。在本節(jié)的教學(xué)中，我設(shè)置了一個(gè)帶有生活知識(shí)的趣味數(shù)學(xué)題作為引子，設(shè)置的問(wèn)題由易到難，在解決問(wèn)題過(guò)程中，一步一步引向本節(jié)的'課題，讓學(xué)生在問(wèn)題中尋找規(guī)律、方法，并加以總結(jié)，最后得到等差數(shù)列前n項(xiàng)和的兩個(gè)公式；在課堂練習(xí)中，增加討論、小節(jié)這一環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生提高認(rèn)識(shí)、歸納方法，通過(guò)分析前n項(xiàng)和公式中的四個(gè)量，只要知道其中的任意三個(gè)量就可以求另一個(gè)，歸納為“知一求三”的問(wèn)題，如果是求兩個(gè)量，可以用公式聯(lián)立方法組解決問(wèn)題。這樣，通過(guò)對(duì)問(wèn)題解決方法的歸納，提高了學(xué)生的解題能力。

三．教學(xué)過(guò)程反思

在課堂實(shí)施過(guò)程中，教學(xué)思路清晰、明確，學(xué)生對(duì)問(wèn)題的回答也比較踴躍，并能對(duì)問(wèn)題的解法提出自己的不同觀點(diǎn)，找出最簡(jiǎn)單、有效的解決方法。因此，對(duì)等差數(shù)列的前n公式的推導(dǎo)有一個(gè)科學(xué)的分析過(guò)程，學(xué)生對(duì)公式的獲取思路明確，理解比較深刻，較好地完成了課前預(yù)設(shè)的目標(biāo)。但由于教學(xué)內(nèi)容的緊湊，過(guò)于追求教學(xué)的量，在教學(xué)、訓(xùn)練中側(cè)重于方法的指導(dǎo)而忽略了過(guò)程的詳細(xì)講解，對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力、變形能力會(huì)產(chǎn)生不利影響，這一點(diǎn)，在第二天的作業(yè)中就體現(xiàn)出來(lái)。另外，過(guò)多的羅列解題方法，提高了學(xué)生的解題能力，但學(xué)生課后沒(méi)有自己的思維空間，對(duì)學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)就顯得的不足。

第四篇：等差數(shù)列前n項(xiàng)和教案

等差數(shù)列前n項(xiàng)和教案

一、教材分析

1、教材內(nèi)容：等差數(shù)列前n項(xiàng)求和過(guò)程以及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。

2.教材所處的地位和作用：本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是等差數(shù)列前n項(xiàng)和，與前面學(xué)過(guò)

的等差數(shù)列的定義、性質(zhì)等內(nèi)容有著密切的聯(lián)系，又能為后面等比數(shù)列前n

項(xiàng)和以及數(shù)列求和做鋪墊。

3、教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)與技能：掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，理解公式的推導(dǎo)方法。同時(shí)能

熟練、靈活地應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式解決問(wèn)題。

（2）過(guò)程與方法：經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過(guò)程，體驗(yàn)倒序相加進(jìn)行求和的過(guò)程，學(xué)會(huì)

觀察、歸納、反思。體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法。

（3）情感、態(tài)度、價(jià)值觀：通過(guò)具體、生動(dòng)的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的引入，激發(fā)學(xué)生探

究求和方法的興趣，樹(shù)立學(xué)生求知意識(shí)，產(chǎn)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)的情感，逐步養(yǎng)

成科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，提高一般公式推理的能力。

4、重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的掌握與應(yīng)用。

難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)以及其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想的掌握。

二、學(xué)情分析

學(xué)生前幾節(jié)已經(jīng)學(xué)過(guò)一些數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法，還學(xué)了等差數(shù)列的定

義以及性質(zhì)，對(duì)等差數(shù)列已經(jīng)有了一定程度的認(rèn)識(shí)。這些知識(shí)也為這節(jié)的等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式做準(zhǔn)備，讓學(xué)生能更容易理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程。同時(shí)也為后面的等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式做鋪墊。但由于數(shù)列形式多樣，因此僅僅掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式還是不夠的，更應(yīng)該學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用。

三、教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)，探索發(fā)現(xiàn)

四、教學(xué)過(guò)程

1．教學(xué)環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境

教學(xué)過(guò)程：200多年前，高斯的算術(shù)老師提出了下面的問(wèn)題： 1?2?3???100?？。據(jù)說(shuō)，當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí)，10歲的高斯迅速得出5050這個(gè)答案。讓同學(xué)思考并討論高斯是怎么算的。

設(shè)計(jì)意圖：由著名的德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯的例子引發(fā)同學(xué)們的思考，為下面引入倒序相加法求和做準(zhǔn)備。2．教學(xué)環(huán)節(jié)：介紹倒序相加法

教學(xué)過(guò)程：請(qǐng)同學(xué)將自己的計(jì)算方法在課上發(fā)表，老師接著介紹倒序相加

法。記S?1?2?3???10098???1S?100?99?，從而發(fā)現(xiàn)每一列相加都得101。

則2S?(1?100)?(2?99)?(3?98)???(100?1)?101*100

S?101*1002?5050

類似地，用同樣的方法計(jì)算1,2,3，?，n，?的前n項(xiàng)和，可以得到 1?2?3???n?(n?1)n。2 設(shè)計(jì)意圖：介紹倒序相加法，并用這個(gè)方法計(jì)算1,2,3，?，n，?的前n 項(xiàng)和，從而為下面推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式做鋪墊。

3.教學(xué)環(huán)節(jié)：推導(dǎo)公式

教學(xué)過(guò)程：首先介紹數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和，用Sn來(lái)表示，即

Sn?a1?a2?a3???an。對(duì)于公差為d的等差數(shù)列，我們用兩種方法表示Sn。Sn?a1?(a1?d)?(a1?2d)???[a1?(n?1)d]Sn?an?(an?d)?(an?2d)???[an?(n?1)d]

則兩式相加得：

2Sn?(a1?an)?(a1?an)?(a1?an)???(a1?an)?n(a1?an)

???????????????????n個(gè)n(a1?an)，將等差數(shù)列的通項(xiàng)公2n(n?1)d。式an?a1?(n?1)d代入，得到公式Sn?na1?2 推導(dǎo)出等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式為Sn? 設(shè)計(jì)意圖：用倒序相加法推導(dǎo)得到等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，由于有前面的鋪墊讓學(xué)生更容易理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程，對(duì)后面的應(yīng)用也有幫助。

4、教學(xué)環(huán)節(jié)：例題講解

教學(xué)過(guò)程：例1：用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式計(jì)算1+3+5+?+99的值。

例2：a1?1,a8?6，求這個(gè)等差數(shù)列的前8項(xiàng)和S8以及公

差d。例3：已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn?n2?n，求這個(gè)數(shù)列 的通項(xiàng)公式。這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？

設(shè)計(jì)意圖：鞏固等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，加深學(xué)生對(duì)該公式的印象。6．教學(xué)環(huán)節(jié)：回顧總結(jié)

教學(xué)過(guò)程：

1、倒序相加法進(jìn)行求和的思想

2、復(fù)習(xí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn? Sn?na1?n(a1?an)和 2n(n?1)強(qiáng)調(diào)要根據(jù)條件選用適當(dāng)?shù)墓竭M(jìn) d，行求解。以及公式的適用范圍。7．教學(xué)環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

七、板書設(shè)計(jì)

1、問(wèn)題的提出

2、倒序相加法

3、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式

4、例題

5、回顧總結(jié)

6、布置作業(yè)

第五篇：《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》教學(xué)設(shè)計(jì)

《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》

教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（5）》（人教A版）中第二章的第三節(jié)“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”（第一課時(shí)）．本節(jié)課主要研究如何應(yīng)用倒序相加法求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和以及該求和公式的應(yīng)用．在教學(xué)中應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：

1．本小節(jié)重點(diǎn)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．學(xué)習(xí)中可能遇到的困難是獲得推導(dǎo)公式的思路，克服困難的關(guān)鍵是通過(guò)具體例子發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律．

2．本小節(jié)首先通過(guò)高斯算法,發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第n+1-k項(xiàng)的和等于首項(xiàng)、末項(xiàng)的和，從而得出求和的一般思路． 等差數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中比較常見(jiàn)，因此等差數(shù)列求和就成為我們?cè)趯?shí)際生活中經(jīng)常遇到的一類問(wèn)題．同時(shí)，求數(shù)列前n項(xiàng)和也是數(shù)列研究的基本問(wèn)題，通過(guò)對(duì)公式推導(dǎo)，可以讓學(xué)生進(jìn)一步掌握從特殊到一般的研究問(wèn)題方法． 學(xué)生情況分析 在本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及基本性質(zhì)，也對(duì)高斯算法有所了解，這都為倒序相加法的教學(xué)提供了基礎(chǔ)；同時(shí)學(xué)生已有了函數(shù)知識(shí)，因此在教學(xué)中可適當(dāng)滲透函數(shù)思想．高斯的算法與一般的等差數(shù)列求和還有一定的距離，如何從首尾配對(duì)法引出倒序相加法，這是學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙． 設(shè)計(jì)思想

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程，因此，應(yīng)該讓學(xué)生在具體的問(wèn)題情境中經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展，讓學(xué)生利用自己的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，自主地在教師的引導(dǎo)下促進(jìn)對(duì)新知識(shí)的建構(gòu)．在教學(xué)過(guò)程中，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，從介紹高斯的算法開(kāi)始，探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法．通過(guò)設(shè)計(jì)一些從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般的問(wèn)題，層層鋪墊，組織和啟發(fā)學(xué)生獲得公式的推導(dǎo)思路，并且充分引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)自主、合作、探究學(xué)習(xí)，通過(guò)生生互動(dòng)和師生互動(dòng)等形式，讓學(xué)生在問(wèn)題解決中學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)．同時(shí)根據(jù)本班學(xué)生的特點(diǎn)，為了促進(jìn)成績(jī)優(yōu)秀學(xué)生的發(fā)展，還設(shè)計(jì)了選做題和探索題，進(jìn)一步培養(yǎng)優(yōu)秀生用函數(shù)觀點(diǎn)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，達(dá)到了分層教學(xué)的目的． 教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)目標(biāo)

（1）掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,理解公式的推導(dǎo)方法；（2）能較熟練應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和．

2、能力目標(biāo) 經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、反思和邏輯推理的能力．

3、情感目標(biāo)

通過(guò)生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹(shù)立學(xué)生求真的勇氣和自信心，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗(yàn)，產(chǎn)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)的情感,體驗(yàn)在學(xué)習(xí)中獲得成功． 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)是探索并掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，學(xué)會(huì)用公式解決一些實(shí)際問(wèn)題；

教學(xué)難點(diǎn)是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路的獲得． 教學(xué)過(guò)程

第一環(huán)節(jié) 創(chuàng)設(shè)情境 引入新課

高斯是偉大的數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，高斯十歲時(shí),有一次老師出了一道題目,老師說(shuō): “現(xiàn)在給大家出道題目:1+2+?100=?”

過(guò)了兩分鐘,正當(dāng)大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10?算得不亦樂(lè)乎時(shí)，高斯站起來(lái)回答說(shuō)： “1+2+3+?+100=5050．”

教師問(wèn)：“你是如何算出答案的？”

高斯回答說(shuō)：“因?yàn)?+100=101；2+99=101；?50+51=101，所以（1＋100）＋（2＋99）＋??＋（50＋51）=101×50=5050．” 這個(gè)故事告訴我們：（1）作為數(shù)學(xué)王子的高斯從小就善于觀察，敢于思考，所以他能從一些簡(jiǎn)單的事物中發(fā)現(xiàn)和尋找出某些規(guī)律性的東西．

（2）該故事還告訴我們求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的一種很重要的思想方法，這就是下面我們要介紹的“倒序相加”法． 第二環(huán)節(jié) 推進(jìn)新課 探究新知 提問(wèn)：在公差為的等差數(shù)列如何求？

中，定義前項(xiàng)和，由前面的大量鋪墊，學(xué)生容易得出如下過(guò)程： ∵

∴ ∴

從而我們可以驗(yàn)證高斯十歲時(shí)計(jì)算上述問(wèn)題的正確性． 組織學(xué)生討論：在公式1中若將式? 即

此公式要求

（公式2）

必須已知三個(gè)條件：

（有時(shí)比較有用）．

代入又可得出哪個(gè)表達(dá)

(公式1)第三環(huán)節(jié) 應(yīng)用舉例 鞏固新知

例1 根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列的．

解（2）解

練習(xí)如何求下列和？

①1+2+3+?+100 =

5050

； ②1+3+5+?+(2n-1)=

③2+4+6+?+2n =

；

．

．

．

例2 等差數(shù)列－10，－6，－2，2，?前多少項(xiàng)和是54? 解 設(shè)題中的等差數(shù)列是，公差為，前n項(xiàng)和為

=54

.，則

=－10，d=－6－（－10）=4，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，得

解得

n=9或n=－3（舍去）.因此，等差數(shù)列的前9項(xiàng)和是54． 練習(xí)

已知例3 已知一個(gè)等差數(shù)列

前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是的公式嗎？ 1220．由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和分析：將已知條件代入等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式后，可得到兩個(gè)關(guān)于與的關(guān)系式，它們都是關(guān)于與的二元一次方程，由此可以求得與，從而得到所求前項(xiàng)和的公式． 解

設(shè)等差數(shù)列，將它們代入公式

得到 的公差為，由題意可得

解這個(gè)關(guān)于與的方程組，得到，所以

練習(xí)

一個(gè)等差數(shù)列前4項(xiàng)的和是24，前5項(xiàng)的和與前2項(xiàng)的和的差是27，求這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式．

第四環(huán)節(jié) 課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了：1.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式1：2.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式2：

在學(xué)習(xí)過(guò)程中，讓學(xué)生能夠體驗(yàn)倒序相加法的妙處以及能夠正確運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的兩個(gè)公式． 第五環(huán)節(jié) 布置作業(yè)

1．課本P52習(xí)題2.3 第2、3、4題． 2．探索題

（1）數(shù)列的前項(xiàng)和，求； }（2）若公差為中，到的表達(dá)式？

第六環(huán)節(jié) 教學(xué)反思

d(d≠0）的等差數(shù)列{

，你能否由題（1）的啟發(fā)，得

1、合理地對(duì)教材進(jìn)行了個(gè)性化處理，挖掘了教材中可探究的因素，促使學(xué)生探究、推導(dǎo)．例如，等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式一，是通過(guò)具體的例子，引到一般的情況，激勵(lì)學(xué)生進(jìn)行猜想，再進(jìn)行論證得出；而第二個(gè)公式并不象書本上那樣直接給出，而是讓學(xué)生從已知公式中推導(dǎo)得到的．這樣處理教材，使學(xué)生的思維得到了很大的鍛煉．

2、本節(jié)課教學(xué)過(guò)程的難點(diǎn)在于如何獲得推導(dǎo)公式的“倒序相加法”這一思路．為了突破這一難點(diǎn)，在教學(xué)中采用了以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方法，設(shè)計(jì)的問(wèn)題體現(xiàn)了分析、解決問(wèn)題的一般思路，即從特殊問(wèn)題的解決中提煉方法，再試圖運(yùn)用這一方法解決一般問(wèn)題．在教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)教師的層層引導(dǎo)、學(xué)生的合作學(xué)習(xí)與自主探究，尤其是借助圖形的直觀性，學(xué)生“倒序相加法”思路的獲得就水到渠成了．