第一篇：推理與證明——以幾何教學(xué)為例 拓展閱讀6： 鑲 嵌

鑲 嵌（第一課時）

教材：義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書人教版七年級（下冊）第七章第四節(jié)

寧夏吳忠市第一中學(xué) 馬秀麗

一、教學(xué)目標(biāo)

1、在實驗與探究的學(xué)習(xí)活動中，使學(xué)生了解鑲嵌的含義，認(rèn)識到正三角形、正四邊形和正六邊形可以鑲嵌平面，并能理解其中的道理。

2、通過探索多邊形覆蓋平面的條件，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，在活動中使學(xué)生的觀察、猜想、歸納及動手操作的能力得以提升。

3、通過現(xiàn)實情境，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值；經(jīng)歷對平面鑲嵌條件的探索活動，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，建立良好的自信心。

二、教學(xué)重點、難點：教學(xué)重點：鑲嵌的含義及平面鑲嵌條件的探究。教學(xué)難點：探究平面鑲嵌的條件。

三、課前準(zhǔn)備:

1、學(xué)生準(zhǔn)備： ① 每位同學(xué)分別準(zhǔn)備好6-8個邊長為5厘米長的正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形。② 搜集有關(guān)鑲嵌圖片。

2、教師準(zhǔn)備： ① 生活中有關(guān)鑲嵌圖片。② 多媒體課件。

四、教學(xué)過程： 教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容 學(xué)生活動設(shè)計意圖創(chuàng)設(shè)情境 引出課題大千世界中蘊(yùn)涵著大量的數(shù)學(xué)信息，觀看屏幕上一組生活中的地磚圖片（電腦演示）教師提出問題：同學(xué)們仔細(xì)觀察這些圖片中都有那些圖形？這些圖形的共同特點是什么？你知道鋪地磚時有什么要求？ 教師點評，明確鑲嵌含義：用地磚鋪地，用瓷磚貼墻，都要求磚與磚嚴(yán)絲合縫，不留空隙，把地面或墻面全部覆蓋。從數(shù)學(xué)角度看，這些工作就是用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面（或平面鑲嵌）的問題。引出課題：鑲嵌（第一課時）學(xué)生欣賞圖片。學(xué)生觀察后，在獨立思考的基礎(chǔ)上，分組交流，然后派代表發(fā)表見解。從普通、熟悉的現(xiàn)象中探求數(shù)學(xué)概念，易使學(xué)生產(chǎn)生親切感，容易較快地進(jìn)入角色。通過一系列圖片的展示下引出課題，使學(xué)生感受到生活中處處有數(shù)學(xué)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷體會從具體情景中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而尋求解決問題的方法的全過程。合作交流 探索新知在前面學(xué)生了解了鑲嵌的含義的基礎(chǔ)上依次提出下列問題： 問題1：請你動手拼拼看能否用正三角形鑲嵌成一個平面圖案？ 學(xué)生四人一組,由組長負(fù)責(zé)分工，開始實驗。學(xué)生以小組合作的形式動手拼圖。給學(xué)生充分的時間在組內(nèi)進(jìn)行交流。交流后展示每組的作品。形成結(jié)論： 正三角形能鑲嵌成一個平面圖案。正三角形是多邊形中的特殊圖形，因此，從正三角形入手，使學(xué)生會感到既熟悉，又輕松，為結(jié)論的得出奠定了基礎(chǔ)。教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容學(xué)生活動設(shè)計意圖合作交流 探索新知問題2：動手拼拼看，分別用正四邊形和正六邊形能否鑲嵌成一個平面圖案？ 問題3：拼拼看，用正五邊形能否鑲嵌成一個平面圖案？ 教師將學(xué)生的這四種拼圖過程利用多媒體演示給學(xué)生。鑲嵌條件的探究： 通過前面的實驗，學(xué)生會急于知道：鑲嵌成一個平面圖案的條件到底是什么？教師順勢提出問題： 為什么正三角形、正四邊形、正六邊形能夠能夠鑲嵌成一個平面圖案，而正五邊形卻不能？同一種正多邊形能夠鑲嵌成一個平面圖案的條件是什么？給學(xué)生足夠的時間，讓他們充分活動后，在黑板上展示作品。形成結(jié)論： 正三角形、正四邊形和正六邊形都能鑲嵌成一個平面圖案，正五邊形不能。學(xué)生觀察教師的動態(tài)演示。學(xué)生先獨立思考2-3分鐘。以組為單位，研究解決問題的方法，從已有經(jīng)驗出發(fā)，試從不同角度尋求解決問題的方法。教師深入到各小組，傾聽學(xué)生們的討論，鼓勵學(xué)生大膽猜想，暢所欲言，對其中合理的回答給予肯定，對有困難的組要及時進(jìn)行指導(dǎo)。學(xué)生親自操作實驗，再次感受鑲嵌的含義，并會產(chǎn)生探究的欲望，學(xué)生會思考：為什么正三角形、正四邊形、正六邊形能夠能夠鑲嵌成一個平面圖案，而正五邊形卻不能？這些內(nèi)容中蘊(yùn)涵什么數(shù)學(xué)規(guī)律？從而引出探究的問題。這樣的教學(xué)設(shè)計將促進(jìn)學(xué)生主動探究、樂于探究。在前面學(xué)生動手做的基礎(chǔ)上，比較幾種圖形的共性，以學(xué)生的眼觀、腦想、口說，用比較歸納的方法得出平面鑲嵌的條件,并以正五邊形為反例，強(qiáng)化鑲嵌條件。在合作中學(xué)習(xí)與人交流，集思廣益，通過交流，讓學(xué)生用自己的語言清楚地表達(dá)解決問題的過程，提高語言表達(dá)能力。教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容 學(xué)生活動設(shè)計意圖 合作交流 探索新知教師利用多媒體展示。在全班同學(xué)的互相補(bǔ)充和完善下，教師加以總結(jié)概括，得到： 結(jié)論：多邊形能覆蓋平面需要滿足：拼接在同一個點的各個角的和恰好等于360°。推論：同一種正多邊形能進(jìn)行平面鑲嵌的條件是：這個正多邊形內(nèi)角度數(shù)能整除360°。學(xué)生觀看教師的動態(tài)演示。與教師一起總結(jié)歸納鑲嵌條件。閱讀結(jié)論，加深理解。通過鑲嵌條件的歸納過程，使不同層次的學(xué)生在獨立思考的前提下，在交流與合作過程中感受新知，建立新的知識體系，為學(xué)生的進(jìn)一步探索提供可能。應(yīng)用推廣 鞏固提高教師提出問題： 你還能找出其它能作鑲嵌的正多邊形嗎？說說你的理由。教師進(jìn)行總結(jié)概括： 要使同一種正多邊形能覆蓋平面，必須要求這個正多邊形內(nèi)角度數(shù)能整除360°。事實上除了正三角形、正四邊形、正六邊形外，其他正多邊形都不可以鑲嵌，并說明這一結(jié)論的證明有待于今后知識的學(xué)習(xí)來獲得。學(xué)生通過計算正七邊形、正八邊形、正九邊形的內(nèi)角后進(jìn)行歸納，然后小組交流。在不提供其他正多邊形圖片的情景下，讓學(xué)生去思辨得出：不存在其它正多邊形的鑲嵌，旨在培養(yǎng)學(xué)生的抽象推理能力，使學(xué)生由感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，從而使所學(xué)知識得到推廣和應(yīng)用，獲得更具體更堅實的數(shù)學(xué)經(jīng)驗。教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容 學(xué)生活動設(shè)計意圖課堂小結(jié) 體驗收獲（1）學(xué)生談?wù)勍ㄟ^本節(jié)課的學(xué)習(xí)有什么收獲？還有哪些疑惑？ 教師對個別學(xué)生富有個性的學(xué)習(xí)表現(xiàn)給予肯定和激勵，使他們感受到成功的喜悅，并對有疑惑的地方進(jìn)行補(bǔ)答。（2）學(xué)生例舉生活中見過的鑲嵌實例。（3）教師展示更多實例回歸生活。學(xué)生反思解決問題的過程并發(fā)表個人看法。學(xué)生舉出鑲嵌實例，并展示課前搜集好的鑲嵌圖片。觀看教師展示的圖片。通過回顧與反思，使學(xué)生養(yǎng)成反思學(xué)習(xí)過程的習(xí)慣，初步學(xué)會自我評價學(xué)習(xí)效果，通過談收獲，讓學(xué)生看到自己的進(jìn)步，激勵學(xué)生，促進(jìn)學(xué)生形成良好的心理品質(zhì)，同時有些學(xué)生可能會提出心中的疑問，通過學(xué)生相互間解惑，既消除了學(xué)生心中的疑惑，又培養(yǎng)了學(xué)生口頭表達(dá)能力。通過讓對學(xué)生舉例，并且觀看教師展示的各種生活圖片，讓學(xué)生再次感受幾何美與生活美，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)作欲望，讓數(shù)學(xué)再次回歸生活。課 后 拓 展

1、分別剪出幾個形狀、大小相同的任意三角形和任意四邊形，拼拼看能否鑲嵌成平面圖案？

2、試用多種正多邊形組合進(jìn)行鑲嵌設(shè)計。

3、創(chuàng)造是人生命中的一個重要使命，充分發(fā)揮你的聰明才智和豐富的想象力，設(shè)計一個多姿多彩的地板圖案吧。學(xué)生利用當(dāng)堂所學(xué)知識，自檢掌握情況。這組課后拓展題的設(shè)計，是為了更好的促進(jìn)每一位學(xué)生得到不同的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力和創(chuàng)新能力，同時促進(jìn)學(xué)生對自己的學(xué)習(xí)進(jìn)行反思，為后續(xù)知識的學(xué)習(xí)起到承上啟下的作用。教學(xué)設(shè)計說明 《鑲嵌》在教材中是以課題學(xué)習(xí)的形式呈現(xiàn)的，屬于課程改革的新增內(nèi)容。我在設(shè)計本課時，力求突出課題學(xué)習(xí)的特點，以問題為主線，以學(xué)生的動手操作實驗活動為主，設(shè)計了豐富的拼圖活動，讓學(xué)生經(jīng)過自己的操作和思考，體驗和感受知識的形成過程，既激發(fā)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，積累了數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，又使學(xué)生的觀察、猜想、歸納等動手操作能力得到提升。本節(jié)課以“問題情境--自主探究--拓展應(yīng)用”的模式展開教學(xué)。首先，給學(xué)生展示生活中鋪地磚、墻面設(shè)計等精美的圖片，創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動機(jī);之后，從簡單的正多邊形(正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形)入手，讓學(xué)生經(jīng)過充分的拼圖實驗，獲得一些感性認(rèn)識，在此基礎(chǔ)上經(jīng)過認(rèn)真思考、討論交流，上升到理性認(rèn)識，得到同一種正多邊形鑲嵌平面的條件，并以正五邊形為反例，強(qiáng)化平面鑲嵌的條件；最后，為了讓學(xué)生對所學(xué)知識有更好的應(yīng)用，拓寬思路，初步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和實踐能力，我設(shè)計了幾個課后拓展題結(jié)束本課。這個學(xué)習(xí)過程體現(xiàn)讓學(xué)生從生活中學(xué)數(shù)學(xué)、讓學(xué)生感受到生活中的數(shù)學(xué)美，引發(fā)和激活學(xué)生的創(chuàng)作欲望，讓數(shù)學(xué)再次回歸生活，使學(xué)生走出課本課堂進(jìn)入生活實踐，進(jìn)入一個更加廣闊的思考空間。

第二篇：推理與證明——以幾何教學(xué)為例 拓展閱讀4：數(shù)學(xué)證明的教育價值

數(shù)學(xué)證明的教育價值

北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)系王申懷

目前，數(shù)學(xué)教育界都在關(guān)注《國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(初稿)－－目標(biāo)體系》的研討，其中一個熱門的話題是如何處理中學(xué)幾何課程的改革。爭論焦點之一是如何看待幾何中邏輯推理的教育價值。為此，筆者認(rèn)為首先應(yīng)該探討一下數(shù)學(xué)證明的教育價值。?

一、問題的提出

從一組原始概念和命題(即公理)出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理得到一系列的定理和證明，這就是幾千年來數(shù)學(xué)學(xué)科所遵循的研究模式。但隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，特別是電子計算機(jī)的出現(xiàn)，人們對上述研究模式產(chǎn)生了懷疑。其中最典型的一個例子就是所謂“四色問題”的證明。下面詳細(xì)談一下由“四色問題”所引起的爭論。?1852年，英國數(shù)學(xué)家F.Guthrie(格思里)在給他弟弟的一封信中說：“看來每幅地圖若用不同顏色標(biāo)出鄰國，只要用四種顏色就夠了?！边@就是“四色問題”的由來。一百多年來數(shù)學(xué)家們不斷努力企圖用數(shù)學(xué)方法來證明這個結(jié)論。直至1970年左右，問題歸結(jié)為計算幾千個不可約構(gòu)形的問題〔1〕，但其計算量之大是難以想像的，因此人們望而生畏。1976年美國兩位計算機(jī)專家K.Appel(阿佩爾)和W.Haken(哈肯)找到了一種新的計算方法。他們用了三臺IBM計算機(jī)經(jīng)過1000多個小時(約52天)的運(yùn)算，“證明”了格思里提出的結(jié)論是正確的。因此，“四色問題”得到了“證明”。?

阿佩爾和哈肯的“證明”引起了人們的爭論。首先，他們的“證明”，其計算機(jī)程序就達(dá)400多頁，要用人工去檢驗其程序有無問題是十分吃力的。因此，似乎無人愿意再去重復(fù)阿－哈的“證明”。其次，能否保證計算機(jī)在計算過程中絕對不出錯誤？第三，人們無法確定計算出現(xiàn)錯誤是計算機(jī)本身的機(jī)械或電子方面的毛病，還是“證明”過程本身邏輯有問題。? 于是就引起了什么是“數(shù)學(xué)證明”的爭論。?

有些數(shù)學(xué)家認(rèn)為數(shù)學(xué)證明只能是以人工可重復(fù)檢驗的邏輯演繹(計算也是一種演繹)過程，否則只能稱為計算機(jī)證明，二者不能混為一談。因此，按這種觀點，“四色問題”只能稱已得到了計算機(jī)證明，而不能稱已得到了數(shù)學(xué)證明。?但是，另一些數(shù)學(xué)家反駁說，用人工來檢驗也可能產(chǎn)生錯誤。例如，數(shù)學(xué)史上曾有不少數(shù)學(xué)家(如意大利的Saccheri，法國的Legendre)聲稱他們已“證明”了歐幾里得第五公設(shè)(即歐氏平行公理)。但后來發(fā)現(xiàn)他們的“證明”均有問題，其主要錯誤在于他們利用了與第五公設(shè)等價的命題，因此從邏輯上說他們都犯了循環(huán)論證的錯誤。?

另外人工邏輯演繹證明可以重復(fù)嗎??

眾所周知，群論中有一個著名的所謂有限單群的分類定理，單群的概念是由Galois(伽羅華)在1830年最初給出的。一百多年來數(shù)學(xué)家企圖對單群進(jìn)行分類。直至20世紀(jì)80年代，由100多位數(shù)學(xué)家組成的非正規(guī)“隊伍”，他們共同努力列出所有的單群并證明這樣的列舉是完全的。在花費了成千上萬個小時以及發(fā)表了幾百篇論文之后，這項工作才得以完成，證明長達(dá)15000多頁!〔2〕試問誰還愿意(或說可能)去重復(fù)他們長達(dá)15000多頁的證明?(恐怕連讀一遍都不愿意。)?于是問題就不集中在“證明”是否可檢驗的問題上了，而在于人們?nèi)绾蝸砝斫狻白C明”的真正含義。數(shù)學(xué)證明的功能到底是什么??

二、數(shù)學(xué)家們對數(shù)學(xué)證明的看法

國際數(shù)學(xué)教育委員會(ICMI)在《計算機(jī)對數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)的影響》報告中指出：“借助于計算機(jī)的證明不應(yīng)該比人工證明加以更多的懷疑??，我們不能認(rèn)為計算機(jī)將增加錯誤證明的數(shù)目，恰恰相反對計算機(jī)證明的批評，例如四色問題的證明，主要集中在它僅依靠蠻力和缺乏思考的洞察力。??計算機(jī)證明會給人們帶來一些新啟示，會激勵人們?nèi)ふ腋玫摹⒏痰?、更富有說服力的證明，會鼓勵數(shù)學(xué)家去更準(zhǔn)確地把握形式化的想法。”?

英國數(shù)學(xué)家Atiyah(阿蒂亞)在評論“四色問題”的證明時說：“這證明是一大成功，但在美學(xué)觀點上看極令人失望。完全不靠心智創(chuàng)造，全靠機(jī)械的蠻力?？茖W(xué)活動的目的是理解客觀世界并進(jìn)而駕馭客觀世界，然而我們能說‘理解’了四色問題的證明了嗎?”“數(shù)學(xué)是一種藝術(shù)，一種使人擺脫蠻力計算，而且成熟概念和技巧，使人更輕松地漫游?！薄?〕

Bourbaki(布爾巴基)在《數(shù)學(xué)的建筑》一書中說：“單是驗證了一個數(shù)學(xué)證明的逐步邏輯推導(dǎo)，都沒有試圖洞察獲得這一連串推導(dǎo)的背后的意念，并不算理解了那個數(shù)學(xué)證明?！薄半娮佑嬎銠C(jī)證明不滿意者并非它沒有核實命題，難道用人工花幾個月檢驗幾百頁證明便更可靠了嗎?而是它沒有使我們通過證明獲得理解?！?

C.Hanna說：“證明是一種透明的辯論，其中用到的論據(jù)、推理過程??都清楚地展示給讀者，任由人們公開批評，不必向權(quán)威低頭?！?

J.Horgen在《科學(xué)的美國》雜志上發(fā)表一篇題為《證明的死亡》中指出：“用計算機(jī)作實驗，來證明建立定理，如四色問題，任何人不能執(zhí)行如此長的計算，也不能指望用其他辦法驗證它。??因此這就突破了傳統(tǒng)證明的觀念，所以，不能再以邏輯推理作為證明數(shù)學(xué)命題的惟一手段。”?

R.Wilder(懷特)說：“我們不要忘記，所謂證明不只在不同的文化有不同的含義，就連在不同的時代也有不同的含義?！薄昂苊黠@，我們不會擁有而且極可能永遠(yuǎn)不會有一個這樣的證明標(biāo)準(zhǔn)獨立于時代，獨立于所要證明的東西，并且獨立于使用它的個人或某個思想學(xué)派。”

更有甚者，英國數(shù)學(xué)家哈代(G.H.Hardy)說：“嚴(yán)格說起來根本沒有所謂數(shù)學(xué)證明??，歸根到底我們只是指出一些要點，??李特伍德(是和哈代長期合作的一位數(shù)學(xué)家?筆者注)和我都把證明稱之為廢話，它是為打動某些人而編造的一堆華麗辭藻，是講演時來演示的圖片，是激發(fā)小學(xué)生想像力的工具?！薄?〕從以上一些數(shù)學(xué)家對“證明”的看法，我們可以得出這樣的結(jié)論：證明的真正含義并不在于檢驗核實命題，而在于理解命題，啟迪思維，交流思想，導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)。?

很明顯，如果你能給出某一命題的一個證明，那么你可以說你理解了(或說你懂了)這個命題。如果你能用這個命題的證法去解決另一個問題，例如，學(xué)生用一個定理的證法去做一道習(xí)題，那么，你在解決這個問題的思維過程中必然是受到原來命題證法的啟發(fā)。為了你和其他人交流對某一命題的理解，最好的辦法就是你們共同商討對此命題的證明。下面我們再來較詳細(xì)地討論一下證明能夠?qū)е掳l(fā)現(xiàn)的功能。?

前面已經(jīng)說過，意大利數(shù)學(xué)家Saccheri和法國數(shù)學(xué)家Legendre對第五公設(shè)的“證明”，顯然他們都沒能證明歐氏平行公理，但是通過他們的證明使后來的數(shù)學(xué)家對歐氏平行公理有了更為深刻、更為清楚的理解，并最后導(dǎo)致了非歐幾何的發(fā)現(xiàn)。因此，Saccheri和Legendre等人被公認(rèn)為發(fā)現(xiàn)非歐幾何的先驅(qū)者。事實上，Saccheri和Legendre等人的思想方法已經(jīng)打開了一條通向非歐幾何的大門。因為他們從第五公設(shè)不成立這一假定下推出的許多事實，恰恰就是非歐幾何中的定理。?

計算機(jī)證明同樣有導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)的功能，其中一個較為典型的例子是分形幾何的創(chuàng)立。早在20世紀(jì)20年代，法國數(shù)學(xué)家Julia就開始著手研究分形幾何，但是由于這種幾何圖形的驚人復(fù)雜性，Julia的研究沉寂了幾十年。直到60年代以后，美國數(shù)學(xué)家B.Mandelbrot(曼德勃羅)開始用計算機(jī)來畫圖，才使分形幾何得到了真正的發(fā)展。因此人們普遍認(rèn)為分形幾何是由曼德勃羅創(chuàng)始的?！?〕由于計算機(jī)的介入，新一代的數(shù)學(xué)家已經(jīng)開始在計算機(jī)上實驗自己的各種思想。甚至他們宣布自己是實驗數(shù)學(xué)家，著手建立數(shù)學(xué)實驗室，創(chuàng)辦《實驗數(shù)學(xué)》雜志。同時他們對數(shù)學(xué)提出了一些新的看法：

1.對數(shù)學(xué)追求的是理解，而不是證明；?

2.重視發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造，數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于思想的充分自由與發(fā)揮人的創(chuàng)造能力；?

3.追求對解決問題的數(shù)學(xué)精神，利用數(shù)學(xué)更好地解決、處理復(fù)雜的自然現(xiàn)象。?

三、數(shù)學(xué)證明教學(xué)價值的新理解

如前所述數(shù)學(xué)證明的真諦不在于能證明命題的真假，而在于它能啟發(fā)人們對命題有更深刻的理解，并能導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)，因此這就突破了傳統(tǒng)教學(xué)中對數(shù)學(xué)證明的觀念。特別是由于計算機(jī)介入了證明之中，用機(jī)器證明產(chǎn)生定理(如四色問題等)，所以人們不再以邏輯推理作為證明數(shù)學(xué)命題的惟一手段，于是提出“實驗證明”的想法，即實驗也應(yīng)該成為判斷數(shù)學(xué)命題真假的一種手段。人們不再一味地追求證明所得出的結(jié)論，而在于通過證明的過程去追求對數(shù)學(xué)知識的真正理解。?另外，從認(rèn)知理論的觀點來看，數(shù)學(xué)知識不能簡單地由教師傳遞給學(xué)生，而應(yīng)該通過學(xué)生自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)的改變?nèi)ソ?gòu)學(xué)生自己對數(shù)學(xué)的理解。因此，在數(shù)學(xué)中如果只重視邏輯演繹式的數(shù)學(xué)證明將無助于學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)知識，無助于學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。命題教學(xué)的目的不應(yīng)是去核實命題的正確性，而是要讓學(xué)生通過證明去理解命題，并能重新構(gòu)建學(xué)生自己的新認(rèn)知結(jié)構(gòu)。?

綜合以上觀點，我們認(rèn)為數(shù)學(xué)證明的教育價值在于：?

1.通過證明的教與學(xué)，使學(xué)生理解相關(guān)的數(shù)學(xué)知識；?

2.通過證明，訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的思維能力(包括邏輯的和非邏輯的思維)以及數(shù)學(xué)交流能力；

3.通過證明，幫助學(xué)生尋找新舊知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生獲得的知識系統(tǒng)化；?

4.通過證明，使學(xué)生更牢固地掌握已學(xué)到的知識，并盡可能讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)新知識。

根據(jù)以上觀點，我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該重視非邏輯證明的教學(xué)；適當(dāng)降低和減少邏輯演繹在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位與時間，加強(qiáng)實驗、猜測、類比、歸納等合情推理在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位與作用。這里需要注意的是要合理選擇學(xué)生能夠接受的邏輯證明與非邏輯證明的方法，強(qiáng)調(diào)一種、排斥另一種證明方法都會妨礙學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識與理解。

?注：

〔1〕K.Devlin著、李文林等譯：《數(shù)學(xué)：新的黃金時代》，上海教育出版社版。?

〔2〕申大維等譯：《數(shù)學(xué)的原理與實踐》，高等教育出版社1998版。?〔3〕M.阿蒂亞著：《數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性》，江蘇教育出版社版。

〔4〕G.H.哈代著：《一個數(shù)學(xué)家的辯白》，江蘇教育出版社版。?〔5〕王健吾著：《數(shù)學(xué)思維方法引論》，安徽教育出版社版。

第三篇：淺談初中幾何的推理與證明

淺談初中幾何的推理與證明

什么是推理呢？推理是根據(jù)已知判斷得出新判斷的思維過程，推理由題設(shè)和結(jié)論兩部分所組成，學(xué)習(xí)幾何對培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維及邏輯推理能力有特殊的作用，但面對許多而不同的證明題，往往很多學(xué)生都感到束手無策，無從下手，因此，幫助學(xué)生尋找證題方法，探求規(guī)律，是我們初中數(shù)學(xué)教師教學(xué)的一個重要教學(xué)任務(wù)，它對培養(yǎng)學(xué)生的證題能力，有較好的積極作用，下面就如何培養(yǎng)學(xué)生的推理證明能力，談?wù)勎以诮虒W(xué)中的具體做法。

一、首先培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會劃分幾何命題的“題設(shè)”和“結(jié)論”

1、任何一個命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成的，通常的形式為“如果……那么……”“若……則”等等，“如果”或“若”開頭的部分就是題設(shè)，“那么”或“則”開始的部分就是結(jié)論，要求學(xué)生掌握這些重要的關(guān)聯(lián)詞語進(jìn)行劃分，有的命題，題設(shè)，結(jié)論較為明顯，如：如果兩條直線都與第三條直線平行（題設(shè)），那么這兩條直線也互相平行（結(jié)論）。但也有的命題，題設(shè)與結(jié)論不太明顯，例如“等角的補(bǔ)角相等”對這樣的命題，最好要求將它改寫成“如果……那么……”的形式，等角的補(bǔ)角相等“可改寫為：如果兩個角是等角的補(bǔ)角（題設(shè)），那么這兩個角相等（結(jié)論）。

2、使學(xué)生正確劃分命題的“題設(shè)”和結(jié)論，必須使學(xué)生理解每個命題，它都是一個完整的整體，是判斷一件事情的語句，每個命題都由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，一個命題中，題設(shè)就是已知條件，即被判斷的對象，結(jié)論就是由已知條件判斷出來的結(jié)果，也就是“求證”部分，在教學(xué)中，要在平時不斷的訓(xùn)練中加強(qiáng)學(xué)生對幾何命題的理解。

二、其次要培養(yǎng)學(xué)生將文字?jǐn)⑹龅拿}改寫成數(shù)學(xué)式子并畫出圖形的能力。

1、按命題題意，畫出相應(yīng)的幾何圖形，并標(biāo)注字母。

2、根據(jù)命題題意，結(jié)合相應(yīng)圖形，將題設(shè)與結(jié)論用數(shù)學(xué)符號或數(shù)學(xué)式子具體化，即具體地寫出“已知”和“求證”。

3、對于初一剛學(xué)幾何的學(xué)生，還要注意加強(qiáng)幾何符號語言的培養(yǎng)與訓(xùn)練。例如：（人教版七年級下冊P24，練習(xí)第8題）用式子表示下列語句。

因為∠1和∠2相等，根據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”所以AB和EF平行。用式子表示為 ∵ ∠1=∠2（已知）

∴ AB//EF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

三、培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會推理說明。

1幾何證明的意義和要求

推理論證的過程要符合客觀實際，論證要有充分的根據(jù)，不能主觀猜想，證明中的每一步推理論證的根據(jù)就是命題中給出的題和已證事項，定義、公理和定理，這也就是說幾何命題的證明，就是要把給出的結(jié)論用充分的根據(jù)，嚴(yán)密的邏輯推理加以說明。

2、加強(qiáng)分析訓(xùn)練，培養(yǎng)邏輯推理能力。

幾何中命題復(fù)雜，類型繁多，要培養(yǎng)學(xué)生分析與綜合的邏輯推理能力，特別要重視對問題的分析，在初中幾何中常用的分析方法有：

（1）綜合法：即由命題的題設(shè)至結(jié)論的定向思考方法，我們從已知條件出發(fā)進(jìn)行推理，順次逐步推向結(jié)論，達(dá)到目標(biāo)的思考過程。

例如：求證:等腰梯形的對角線成相等已知：梯形ABCD為等腰梯形

求證：AC=BD

證明：∵梯形ABCD為等腰梯形

∴AB=CD

∠ABC=∠DCB（等腰梯形兩底角相等）

又∵BC=CB（公共邊）

∴△ABC≌△DCB（SAS）

∴AC=BD（全等三角形對應(yīng)邊相等）

（2）分析法：即由命題的結(jié)論至題設(shè)的定向思考方法，在探究證題途經(jīng)時，我們不是從已知條件入手，而是從求證著手進(jìn)行分析推理，要獲得這個結(jié)果，需要什么條件，這個條件又由什么可獲得，一步一步往前找，直至推究的條件與已知條件相合為止。

例如：如圖□ABCD的對角成AC和BD相交于點O，點E、F是AC上的兩點，并且AE=CF，求證：四邊形BFDE是平行四邊形。

分析：綜合平行四邊形的幾種判定方法要證四邊形BFDE是平行四邊形，只需證BD與EF互相平分，即EO=FO，3、培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會添輔助成分析

要使學(xué)生認(rèn)識到在幾何證明題中，輔助線引導(dǎo)恰當(dāng)，可使較難證明題轉(zhuǎn)化為較易證明題，但輔助線的引導(dǎo)要有一定目的，在一定分析基礎(chǔ)上進(jìn)行的，怎樣引輔助成要根據(jù)具體的命題分析后再確定，但在平時的教學(xué)中教師要強(qiáng)調(diào)常用輔助線的和作法應(yīng)用。例如：有直徑出現(xiàn)，往往構(gòu)造直徑所對的圓周角是直角。過圓心作弦的垂線從而運(yùn)用垂經(jīng)定理，有中點出現(xiàn)常構(gòu)造出三角形或梯形的中位線等等。

四、最后，要培養(yǎng)學(xué)生證題時養(yǎng)成規(guī)范的書寫習(xí)慣。

對于初學(xué)幾何的學(xué)生，可用填充形式來訓(xùn)練學(xué)生證題的書寫格式和邏輯推理過程，使書寫規(guī)范，推理有理有據(jù)，訓(xùn)練的時間久了，學(xué)生也就在潛移默化中轉(zhuǎn)入了獨立書寫這樣一個規(guī)范的過程當(dāng)中。

求證AB//CD

證明：∵AD//BC（）

∴∠1=（）

又∵∠BAD=∠BCD（）

∴∠BAD－∠1=∠BCD－∠2

即：∠3=∠4

∴AB//（）

總之：幾何推理證明的分析和書寫是一個重要而學(xué)生又難以掌握的過程，它需要教師較長時間的引導(dǎo)和幫助，才能逐步形成學(xué)生自己的技能和技巧，但不管怎樣，教師在教學(xué)中要反復(fù)強(qiáng)調(diào)這樣一個模式：要證什么→需要什么→題目有了什么→還缺什么→需補(bǔ)什么，按照這種模式反復(fù)訓(xùn)練，學(xué)生是能夠?qū)W好幾何推理證明的。

第四篇：初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中推理與證明能力的培養(yǎng)

初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中能力的培養(yǎng)

初中學(xué)生要學(xué)好幾何，對能力的訓(xùn)練和培養(yǎng)十分重要，教師要循序漸進(jìn)，不要急于求成。真正讓學(xué)生把握知識的來龍去脈，讓學(xué)生在主動獲得知識的過程中，學(xué)會有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法，形成良好思維習(xí)慣，從而為能力發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

1、識圖能力先要由簡到繁，再由繁到簡，反復(fù)訓(xùn)練感知，提高識別抗干擾能力

2、幾何語言能力應(yīng)著手從以下三點培養(yǎng)：①定義、概念、定理的文字語言與圖形和符號語言互轉(zhuǎn)能力；②由圖形抽象文字語言；③準(zhǔn)確、簡練的文字語言概括能力

3、邏輯推理能力，推理是幾何教學(xué)的核心，必須以正確的概念和一定的識圖，語言能力為基礎(chǔ)。教學(xué)中必須有計劃、有目的地進(jìn)行推理能力的滲透訓(xùn)練，拓展訓(xùn)練，

第五篇：設(shè)計與材料—以水杯為例

水杯的材料選用

杯子的類別很多.可以根據(jù)材料分類，比如陶瓷杯,玻璃杯，塑料杯,不銹鋼杯，木魚石杯,景泰藍(lán)杯等，可以根據(jù)功能分為日用杯,廣告杯 ,促銷杯，保健杯等,可以根據(jù)寓意分為合歡杯，情侶杯,夫妻杯等，根據(jù)結(jié)構(gòu)工藝分為單層杯,雙層杯 ,真空杯，納米杯,能量杯，生態(tài)杯等.。

1.陶瓷水杯

陶瓷的應(yīng)用源遠(yuǎn)流長，在古代的茶具中占有主要的地位，現(xiàn)在陶瓷的應(yīng)用雖不如古代那么流行，但是由于陶瓷的特殊性能，往往加入新的材料，使陶瓷具有某些特殊的性能成為新型陶瓷。陶瓷的熔點很高，大多在2000攝氏度以上，因此具有很高的耐熱性能。陶瓷的線脹系數(shù)小，導(dǎo)熱性和抗熱震性都較差，受熱沖擊時容易破裂。但是在水杯的應(yīng)用時陶瓷對于100攝氏度左右的熱沖擊還是不在話下的，導(dǎo)熱性較差，使得盛著熱水的陶瓷水杯不是很燙。陶瓷的價格不是很貴，因此大多數(shù)人都能消費，在水杯設(shè)計中應(yīng)用廣泛，現(xiàn)在往往用陶瓷做一些有特殊趣味的水杯，陶瓷這種材料經(jīng)常被一些著名的設(shè)計師采用。陶瓷用作水杯的缺點就是容易摔碎，但這并不能影響陶瓷在水杯中的應(yīng)用。因為陶瓷的加工特性是陶瓷水杯絕大多數(shù)都是敞口外形，附加造型很少。

上圖中的陶瓷水杯，網(wǎng)上售價僅為十元，開口比底部略大，心形的設(shè)計十分簡潔，附加的造型僅為把手，符合大多數(shù)陶瓷水杯的造型式樣。

2.塑料水杯

塑料水杯占據(jù)了水杯市場的大部分份額，特別是在經(jīng)常攜帶的水杯使用場合，如現(xiàn)在學(xué)生上課時帶水所用的水杯95%為塑料水杯，5%為不銹鋼水杯，原因在于塑料水杯質(zhì)量小，容易密封不漏水，一般的價格處于水杯價格的最底端。塑料之所以應(yīng)用廣泛是因為相對其他材料而言，塑料易成型、成本低，水杯的形狀可以不受其形態(tài)和線性的限制，基本上都可以在注射機(jī)上一次成型，且批量生產(chǎn)數(shù)量一次性產(chǎn)量高，單件產(chǎn)品成本很低；有一定的強(qiáng)度，足以滿足盛水的需要；透明性好、著色性強(qiáng)，因此水杯的顏色可以千變?nèi)f化以供選擇；耐磨性高，水杯不易變花；透光保溫；耐熱性較差，對于100攝氏度左右的溫度沒有問題；部分塑料在熱水作用下產(chǎn)生有毒物質(zhì)。采用塑料進(jìn)行水杯設(shè)計，水杯的造型幾乎能夠隨心所欲，能夠給設(shè)計師提供充分的想象任意發(fā)揮。

上圖的兩個水杯采用的是雙層印花，材質(zhì)為PS塑料，雙層結(jié)構(gòu)，不易損壞，重90g，高13.5cm，滿水容量0.4L。

3.玻璃水杯

玻璃的透明性往往給人以干凈的感覺，因此玻璃水杯與陶瓷水杯經(jīng)常作為家居物品使用。玻璃材料在水杯設(shè)計時的優(yōu)點有透光性好，有種高雅的感覺，整體著色，顏色變化奇特；硬度高，比一般金屬都硬；化學(xué)穩(wěn)定性極高，是所有材料中最穩(wěn)定的材料；導(dǎo)熱性差，只有鋼的1/400。玻璃材料在水杯設(shè)計時的缺點是熱穩(wěn)定性極差，溫度急變時玻璃內(nèi)部產(chǎn)生的內(nèi)應(yīng)力很容易超過了玻璃的強(qiáng)度在急冷急熱情況下很容易炸裂，造成危險。在水杯的制造中最常采用的成型工藝是吹制法和壓制法。

4.不銹鋼杯

不銹鋼指耐空氣、蒸汽、水等弱腐蝕介質(zhì)和酸、堿、鹽等化學(xué)浸蝕性介質(zhì)腐蝕的鋼，又稱不銹耐酸鋼。實際應(yīng)用中，常將耐弱腐蝕介質(zhì)腐蝕的鋼稱為不銹鋼，而將耐化學(xué)介質(zhì)腐蝕的鋼稱為耐酸鋼。一般說來，含硌量大于12%的鋼就具有了不銹鋼的特點 不銹鋼按熱處理后的顯微組織又可分為五大類：即鐵素體不銹鋼、馬氏體不銹鋼、奧氏體不銹鋼、奧氏體-鐵素體不銹鋼及沉淀碳化不銹鋼文字。

由于鋼的導(dǎo)熱性能極好，所以以上兩個杯子都是，雙層不銹鋼真空構(gòu)造。不銹鋼的延展性能又很好，做成雙層不銹鋼工藝仍然不是很復(fù)雜。附加把手等多用其他材料如塑料等進(jìn)行設(shè)計，因為在大批量生產(chǎn)時，不規(guī)則的把手等形狀不容易成形，而塑料等則很容易進(jìn)行變形加工。所以在設(shè)計將不同材料結(jié)合起來使用能將各自的優(yōu)點充分發(fā)揮出來，并且不會使成本太高。以上兩個杯子的杯蓋設(shè)計也是將不銹鋼和橡膠塑料結(jié)合起來，是因為不銹鋼不容易做到密封效果，而相對不銹鋼橡膠塑料比較容易，同時，杯蓋的設(shè)計既可以做杯蓋，又可以做杯子來使用。

不銹鋼杯子的使用場合多為外出旅游時，因其的重量問題使得它在平時生活中不常使用。

5.木杯

木質(zhì)杯子的材料大多是竹子，而且經(jīng)常是直接利用。因為竹子的特點恰好和杯子的特征相似，中空外直，有節(jié)（有底），正可以直接就用來做杯子使用。如上圖所示，這兩個杯子的設(shè)計均是取了竹子的一節(jié)，進(jìn)行打磨，口部設(shè)計成橢圓形狀，更富有動態(tài)變化。把手的設(shè)計也是直接從竹子上取成條狀直接熱彎嵌入杯子之中。木質(zhì)材料的使用往往使人覺著更貼近自然，在設(shè)計時幾乎不采用任何裝飾，充分表現(xiàn)木材自然質(zhì)感特征。

6.紙杯

把用化學(xué)木漿制成的原紙（白紙板）進(jìn)行機(jī)械加工、粘合所做得的一種紙容器，外觀呈口杯形。供冷凍食品使用的紙杯涂蠟，可盛裝冰淇淋、果醬和黃油等。供熱飲使用的紙杯涂塑料，耐90℃ 以上溫度，甚至可盛開水。紙杯分為單面PE淋膜紙杯和雙面PE淋膜紙杯：單面PE淋膜紙杯用單面PE淋膜紙張生產(chǎn)，(國內(nèi)常見的市場紙杯,廣告紙杯大多數(shù)都是單面PE淋膜紙杯),其表現(xiàn)形式為: 紙杯裝水的那一面有光滑的PE淋膜；雙面PE淋膜紙杯用雙面PE淋膜紙張生產(chǎn)，表現(xiàn)形式為紙杯內(nèi)面和外面都有PE淋膜。紙杯的特點是安全衛(wèi)生、十分輕巧方便。最常見的適用場合使公共場所、飯店、餐廳，絕大多數(shù)作為一次性用品。

上圖紙杯的設(shè)計加入所用場所的標(biāo)識，因為容易在紙質(zhì)的表面進(jìn)行圖案噴涂。巧妙地把手設(shè)計，使杯子更容易被端起來，避免經(jīng)常發(fā)生的捏癟燙傷。杯壁也是采用的雙層紙質(zhì)設(shè)計，提高隔熱效果。

7：磁化杯

磁化杯是水磁化器的一種，將自然水放入磁化杯磁化后而成為磁化水的一種裝置。在我國磁化水治病有悠久歷史，早在1400年前，南北朝(420-589)醫(yī)學(xué)家陶弘景(452一536)在《名醫(yī)別錄》中記載，飲用磁石“煉水治病”?，F(xiàn)代生物磁學(xué)及磁醫(yī)學(xué)大量研究證實，磁化水(磁化酒)具有良好的磁效應(yīng)。

普通水在磁化器內(nèi)，以一定量，流速流過磁場時(或在磁場中停留)水體垂直切割線(或由水的熱運(yùn)動切割磁力線)產(chǎn)生電磁感應(yīng)，在磁場作用下，使水體的理化性質(zhì)發(fā)生變化，就可成為有生物效應(yīng)的磁化水。磁化水分子中的原子結(jié)構(gòu)也發(fā)生了變化。水分了中的三個原子，并不在一條直線上。用X線衍射法對冰的結(jié)構(gòu)進(jìn)行測定，表明二個0一H鍵之間構(gòu)成104.5度的夾角。氧原子在水中吸引電子的能力比氫原子大得多。磁化杯處于水分子一端的氧原子帶部份負(fù)電荷，另一端的兩個氫原子帶部份正電荷。從微觀理化特性上確有多方面的改變。從而產(chǎn)生了特異效應(yīng)。

隨著水的磁化過程，逐漸改變了水分子的排列，破壞了水分子之間的氫鍵，使締合的水分子變成了單散的分子，長鍵變成短鍵，從而促進(jìn)其滲透能力和溶解能力增加，比較容易地滲透人體結(jié)石之中以及機(jī)體內(nèi)部臟層與壁層之間。加之磁化水可能激活機(jī)體內(nèi)某些酶的活性;有力地促進(jìn)了營養(yǎng)物質(zhì)的代謝。