第一篇：線性代數(shù)教案

第一章

線性方程組的消元法與矩陣的初等變換

教學(xué)目標(biāo)與要求

1.了解線性方程組的基本概念

2.掌握矩陣的三種初等變換 教學(xué)重點(diǎn)

運(yùn)用矩陣的初等變換解一般的線性方程組 教學(xué)難點(diǎn)

矩陣的初等變換

§1.1 線性方程組的基本概念

一、基本概念

定義：m個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的線性方程組為如下形式：

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn(1)????????????????am1x1?am2x2???amnxn?bm稱(1)為非齊次線性方程組；當(dāng)b1?b2???bm?0時(shí)則稱為齊次線性方程組。方程組(1)

a12a22?am2?a1n???a2n?為系????amn???a11??a21TA?的一個(gè)解為：x?(c1,c2,?,cn)（或稱為解向量）；此時(shí)稱????a?m1?a11a12?a1n??a21a22?a2n數(shù)矩陣，稱B???????a?m1am2?amn

二、線性方程組的消元法

b1??b2?為增廣矩陣。???bm???2x1?x2?3x3?1?例1：解線性方程組?4x1?2x2?5x3?4

?2x?2x?63?1?2x1?x2?3x3?1?2x1?x2?3x3?1?2x1?x2?3x3?1???解：?4x2?x3?2，?x2?x3?5，?x2?x3?5；

?x?x?5?4x?x?2?3x??18?23?23?3?2x1?x2?3x3?1?2x1?x2?19?2x1?18?x1?9????

?x2?x3?5，?x2??1，?x2??1，?x2??1

?x??6?x??6?x??6?x??6?3?3?3?3從上面可以看出，整個(gè)消元過(guò)程和回代過(guò)程都只與x1,x2,x3的系數(shù)有關(guān)，且僅用了以下3種變換：①交換兩行；②某行乘k倍；③某行乘k倍加至另一行（即初等行變換）。

故我們隱去x1,x2,x3,?，得到一個(gè)數(shù)字陣（即矩陣B），對(duì)B進(jìn)行初等行變換：

?2?131??2?131??2?131???????B??4254???04?12???01?15?

?2026??01?15??04?12???????1??2?131??2?1019??2?13????????01?15???01?15???010?1? ?003?18??001?6??001?6????????20018??1009???????010?1???010?1? ?001?6??001?6?????1??2?13?1009?????其中?01?15?稱為行階梯形矩陣，?010?1?稱為行最簡(jiǎn)形矩陣。

?003?18??001?6?????

三、小結(jié)

例1告訴我們求解一般的線性方程組的基本方法：對(duì)其增廣矩陣B進(jìn)行3種初等行變換，把它變?yōu)樾须A梯形矩陣，再最終變成行最簡(jiǎn)形矩陣，然后從中讀出所需的解。

四、一般解和通解

?x1?2x2?x3?2x4?1?例2：解方程組?2x1?4x2?x3?x4?5

??x?2x?2x?x??4234?1解：

2?121??12?121??12?121??1??????B??24115???003?33???003?33?

??1?2?21?4??00?33?3??00000????????12?121??12012???????001?11???001?11? ?00000??00000?????即??x1?2x2?x4?2?x1?2?2x2?x4，亦即一般解為?，其中x2,x4為自由未知量。

?x3?x4?1?x3?1?x4?x1?2?2c1?c2?x?c?21令x2?c1,x4?c2，得方程組的通解為?

?x3?1?c2??x4?c2注意：自由未知量的取法并不唯一。

?a11x1?a12x2???a1nxn?0?ax?ax???ax?0?2112222nn2、定理：在齊次線性方程組?中，若m?n（即方程

???????????????am1x1?am2x2???amnxn?0的個(gè)數(shù)小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)），則它必有非零解。

五、習(xí)題

P11 T1(2)

T2

§1.2 矩陣的初等變換

一、矩陣及其初等變換

1、定義：稱由m?n個(gè)數(shù)aij(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)排成的m行n列的數(shù)表

?a11??a21A?????a?m1a12a22?am2?a1n???a2n?為矩陣，簡(jiǎn)記為A?(aij)m?n。????amn??

二、矩陣的初等行(列)變換

①交換兩行(列)； ②某行(列)乘k倍；

③某行(列)乘k倍加至另一行(列)。

三、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形

定理：任意一個(gè)m?n的矩陣A，總可以經(jīng)過(guò)初等變換（包括行變換和列變換）化為如?1??0???下的標(biāo)準(zhǔn)形：F??0?0?????00?00?0??1?00?0????????Er0?10?0?即Am?n?F???O??0?00?0???????0?00?0?O?? ?O?其中1的個(gè)數(shù)r就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)。

四、習(xí)題

P18

T1(4)(5)

T2(1)

T3 P19 總復(fù)習(xí)題：T3

T4

第二章

行列式

教學(xué)目標(biāo)與要求

1.會(huì)用對(duì)角線法則計(jì)算二階行列式和三階行列式

2.理解排列、逆序數(shù)的概念，掌握n階行列式的定義及其重要性質(zhì) 3.理解并會(huì)靈活運(yùn)用行列式的展開公式，掌握范德蒙德行列式的結(jié)論 4.掌握克拉默法則及其應(yīng)用 教學(xué)重點(diǎn)

1.n階行列式的重要性質(zhì)

2.n階行列式展開公式的運(yùn)用以及范德蒙德行列式的結(jié)論

3.克拉默法則的運(yùn)用 教學(xué)難點(diǎn)

1.n階行列式的重要性質(zhì)及其展開公式 2.克拉默法則的運(yùn)用

§2.1 二階和三階行列式 一、二階行列式

?a11x1?a12x2?b1?a11a12??

1、引例：對(duì)于線性方程組?（1），其系數(shù)矩陣為A?? ???a21x1?a22x2?b2?a21a22?

用消元法解得 ??(a11a22?a12a21)x1?b1a22?b2a12（2）

?(a11a22?a12a21)x2?b2a11?b1a21a12?a11a22?a12a21稱為二階行列式，記D?A?detA

a12a11b1，D2? a22a21b22、定義：D?a11a21a22a11a12b1?Dx1?D1那么（2）可以表示為?，其中D?，D1?aab2Dx?D21222?2從而x1? 二、三階行列式 D1D,x2?2。DD?a11x1?a12x2?a13x3?b1?a11a12??ax?ax?ax?b1、定義：對(duì)于三元線性方程組?211a222222332，記A??a21?ax?ax?ax?b?a3?31a32?311322333a11稱D?A?detA?a21a13?? a23?，a33??a12a22a32a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32 a33a

31?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31 為三階行列式。

a112、三對(duì)角線法則（記憶）：D?a21a12a22a32a13a11a23a21a33a31a12a22 a32a31

三、習(xí)題

P25 T1(2)(3)(5)

T2

T3

§2.2 n階行列式的定義和性質(zhì)

一、排列與逆序數(shù)

1.定義1：由1,2,?,n組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n級(jí)排列。（n級(jí)排列共有n!個(gè)）定義2：在一個(gè)排列中，如果一對(duì)數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么它們就稱為一個(gè)逆序，一個(gè)排列中逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記作?。)?4?0?2?1?0?7（奇排列）例：?(25431；)?14?1?2?1?0?8（偶排列）

?(5243。

定理：對(duì)換改變排列的奇偶性；在全部n級(jí)排列中，奇、偶排列的個(gè)數(shù)相等，各有

二、n階行列式的定義

n!個(gè)。21.定義：n階矩陣A?(aij)n?n?a11??a??21???a?m1a12a22?am2?a1n???a2n?，則n階行列式定義如下： ????amn??a11 D?A?a12?a1np1p2?pna21?an1a22?a2n???an2?ann?(?1)?(p1p2?pn)a1p1a2p2?anpn

這里，?表示對(duì)1,2,?,n這n個(gè)數(shù)的所有排列p1p2?pn求和。即n階行列式是指n!項(xiàng)取自不同行不同列的n個(gè)元素乘積的代數(shù)和。

2、例：（常用結(jié)論）

a11（1）

a11a22?ann0?a11a22?ann??0n(n?1)2a12?a1na110?00 ?a22?a2na21?????0?annan1a22???an2?ann?1（2）?2??(?1)?1?2??n

?n3、n階行列式的等價(jià)定義

定理：D??1??2(?1)ai1j1ai2j2?ainjn；其中?1為行標(biāo)排列i1i2?in的逆序數(shù)，?2為列?標(biāo)排列j1j2?jn的逆序數(shù)。

三、行列式的性質(zhì)

設(shè)n階矩陣A?(aij)n?n的行列式為D?A，則D有如下性質(zhì)：

T①A?A；

②交換兩行（列），則D變號(hào)；

③提公因子：某行(列)所有元素的公因子可以提到D的外面。

特別地，若某行（列）為0，則D?0；若某兩行（列）成比例，則D?0。④拆和：若D中某行（列）的元皆為兩項(xiàng)之和，則D等于兩個(gè)行列式的和。⑤某行（列）乘k倍加至另一行（列），則D不變。

123例：②如211111211234??234；③如3?39?3?21?13

***123123④如456?123?333；

1?1?21?1?21?1?2111111111111⑤如?23?3?4?0?1?2?0?1?2?0?1?2?0 45345012000

注意：計(jì)算行列式的常用方法：(1)利用定義；

(2)利用性質(zhì)把行列式化為上(下)三角形行列式，從而算得行列式的值；(3)利用展開公式(下一節(jié))。

四、習(xí)題

P36

T1

T4

T5(3)(4)(8)

T6(1)

§2.3 行列式的展開公式

一、余子式與代數(shù)余子式

1、定義：在n階行列式det(aij)中，劃去元aij所在的第i行和第j列的元后，剩下的元按原來(lái)的順序所構(gòu)成的n?1階行列式稱為aij的余子式，記作Mij；又記Aij?(?1)i?jMij，稱Aij為aij的代數(shù)余子式。

142.如：***中，a11?1的余子式為M11?412，代數(shù)余子式為 23411234A11?(?1)1?1M11?M11，a21?4的余子式為M21?412，代數(shù)余子式為

341A21?(?1)2?1M21??M21，二、展開公式

定理：n階行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和。即可按第i行展開

D?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin(i?1,2,?,n)

或可按第j列展開

D?a1jA1j?a2jA2j???anjAnj(j?1,2,?,n)

14如：322143321443?1?A11?2?A12?3?A13?4?A14?1?A11?4?A21?3?A31?2?A41 21

2、講解P42例2和例3

三、范德蒙德行列式

1x1Dn?x12?x1n?1 1x22x2?n?1x21x32x3?1??1xn2?xn?1?i?j?n?(xj?xi)

n?1n?1x3?xn推論：行列式某行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。即

ai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn(i?j)或

a1iA1j?a2iA2j???aniAnj(i?j)

11例證：如322243331444?1A11?2A12?3A13?4A14?a21A11?a22A12?a23A13?a24A14?0

21四、習(xí)題

P46

T2(3)(4)(5)

§2.4 克拉默法則

一、克拉默法則

定理1：含有n個(gè)未知數(shù)x1,x2,?,xn與n個(gè)方程的線性方程組

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn

2?

(1)

???????????????an1x1?an2x2???annxn?bn

稱(1)為非齊次線性方程組；當(dāng)b1?b2???bn?0時(shí)稱為齊次線性方程組。

如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式D?A?0（這里A?(aij)n?n），那么(1)有唯一解，且解為xj?DjD(j?1,2,?,n)，其中Dj(j?1,2,?,n)是把D中第j列元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)替代后所得到的n階行列式。

推論：

(1)如果線性方程組(1)無(wú)解或至少有兩個(gè)不同的解，那么它的系數(shù)行列式D?0。

(2)如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式D?0，那么它只有零解；如果齊次線性方程組有非零解，那么它的系數(shù)行列式D?0。

注意：用克拉默法則解線性方程組的兩個(gè)條件：①方程個(gè)數(shù)等于未知數(shù)個(gè)數(shù)；②系數(shù)行列式不等于零。克拉默法則的意義主要在于建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系。它主要適用于理論推導(dǎo)。

二、習(xí)題

P50

T2 T3 ；

P51 總復(fù)習(xí)題：T1 T2 T3

T6

第三章

矩陣

教學(xué)目標(biāo)與要求

1.理解矩陣的概念，掌握矩陣的3種運(yùn)算(加法、數(shù)乘、乘法)，以及它們的運(yùn)算律

2.熟記幾種特殊矩陣(單位陣、對(duì)角陣、數(shù)量矩陣、三角陣、轉(zhuǎn)置矩陣、對(duì)稱和反對(duì)稱陣)及其性質(zhì)，掌握方陣行列式的性質(zhì)

3.掌握伴隨矩陣和逆矩陣的定義及其性質(zhì)，熟悉逆矩陣的運(yùn)算規(guī)律 4.了解分塊矩陣的運(yùn)算律，以及常用結(jié)論

5.理解初等矩陣與初等變換之間的關(guān)系，掌握初等變換求逆矩陣的方法 6.掌握矩陣的秩的概念及其性質(zhì)，會(huì)用初等變換求矩陣的秩 教學(xué)重點(diǎn)

1.矩陣乘法的運(yùn)算律和方陣行列式的性質(zhì)

2.逆矩陣和伴隨矩陣的運(yùn)算性質(zhì)，以及初等變換法求逆矩陣

3.矩陣的秩的性質(zhì)，以及初等變換法求矩陣的秩 教學(xué)難點(diǎn)

1.逆矩陣的概念，以及求逆的方法 2.矩陣的秩的概念，以及求秩的方法

§3.1 矩陣的概念及其運(yùn)算

一、矩陣的概念

1、定義：稱由m?n個(gè)數(shù)aij(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)排成的m行n列的數(shù)表

?a11??a21A?????a?m1a12a22?am2?a1n???a2n?為矩陣，簡(jiǎn)記為A?(aij)m?n?Am?n。????amn??矩陣的相等：Am?n?Bm?n?aij?bij(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)

?b1????b2?行矩陣（行向量）：A?(a1,a2,?,an)；列矩陣（列向量）：A???

????b??n?

二、矩陣的運(yùn)算

1、矩陣的加法

定義1：設(shè)A?(aij)m?n，B?(bij)m?n，則A?B?(aij?bij)m?n

注意：兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)才能進(jìn)行加法運(yùn)算。

矩陣的加法滿足下列運(yùn)算律(設(shè)A,B,C都是m?n矩陣)：(1)交換律：A?B?B?A；

(2)結(jié)合律：(A?B)?C?A?(B?C)(3)負(fù)矩陣A?(?A)?0，規(guī)定減法運(yùn)算：A?B?A?(?B)

2、矩陣的數(shù)乘

??a11??a21定義2：數(shù)?與矩陣A的乘積記作?A或A?，規(guī)定為?A???????am1?a12??a1n??a22??a2n????am2?????amn?；

矩陣的數(shù)乘滿足下列運(yùn)算律(設(shè)A,B都是m?n矩陣，?,?為數(shù))：(1)(??)A??(?A)；

(2)(???)A??A??A；(3)?(A?B)??A??B；

(4)1?A?A；(5)?A?0???0或A?0

3、矩陣的乘法

定義3：設(shè)A?(aij)m?s，B?(bij)s?n,那么矩陣A與矩陣B的乘積是一個(gè)m?n矩陣C?(cij)m?n，其中

cij?ai1b1j?ai2b2j???aisbsj??aikbkj(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)

k?1s記為Cm?n?Am?sBs?n（A的列數(shù)等于B的行數(shù)）。

例1：求矩陣A???4???24??2??與B????3?6??的乘積AB與BA。1?2???? 解：AB???4???16?32???24??2???? ???????16??1?2???3?6??8

BA???4???24??00??2???????AB ???????3?6??1?2??00?例1說(shuō)明：矩陣的乘法不滿足交換律，即一般地AB?BA。若AB?BA，則稱方陣A與B可交換。矩陣的乘法滿足下列運(yùn)算律：

(1)結(jié)合律：(AB)C?A(BC)

(2)?(AB)?(?A)B?A(?B)(3)分配律：A(B?C)?AB?AC，(B?C)A?BA?CA

例2：舉例說(shuō)明下列命題是錯(cuò)誤的（1）若A?0，則A?0；

2（2）若A?A，則A?0或A?E； 2（3）若AX?AY，且A?0，則X?Y。

?11??10??10??10?

解：（1）A??（2）A??（3）A?X????1?1??；?00??；?00??,Y???01??。

????????

三、方陣的冪及方陣多項(xiàng)式

1、定義：設(shè)A是n階方陣，則A1?A,A2?A?A,?,Ak?1?Ak?A

klk?lklkl方陣的冪滿足的運(yùn)算律：(1)AA?A；(2)(A)?A

2、方陣多項(xiàng)式

設(shè)f(x)?a0xm?a1xm?1???am?1x?am(a0?0)為m次多項(xiàng)式，A為n階方陣，則 稱f(A)為方陣A的多項(xiàng)式。f(A)?a0Am?a1Am?1???am?1A?amE仍為一個(gè)n階方陣，四、習(xí)題

P61 T2(3)(4)(5)(8)

T3

T4

T6

§3.2 特殊矩陣與方陣行列式

一、特殊矩陣

1、單位矩陣

?1??0En?????0???1??0??????0?0?0??1?0?，性質(zhì)：EA?AE?A ????0?1??n?n0?

2、對(duì)角矩陣

0???2?0??diag(?1,?2,?,?n)

????0??n??mm

性質(zhì)：[diag(?1,?2,?,?n)]m?diag(?1,?m2,?,?n)，m為正整數(shù)。

3、數(shù)量矩陣

??0???0???E??E??????00??

4、三角矩陣

0??0?，性質(zhì)：?EA??AE??A ??????a12?a1n??a11??a22?a2n??a21或????????0?ann???an

1性質(zhì)：A?a11a22?ann

5、轉(zhuǎn)置矩陣 ?a11??0A?????0?0?0??a22?0? ????an2?ann??如果A?(aij)m?n，則AT?(aij)n?m。

性質(zhì)：(1)(A)?A；

(2)(A?B)?A?B；

(3)(?A)??A；

(4)穿脫原理：(AB)?BA

6、對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣

TT設(shè)A?(aij)n?n，如果A?A，則稱A為對(duì)稱矩陣；如果A??A，則稱A為反對(duì)稱TTTTTTTTTT矩陣。

二、方陣行列式

性質(zhì)：①AB?AB?BA（A,B都是n階方陣）

n

②A?A n

③kA?knA

三、伴隨矩陣

定義：n階行列式A的各個(gè)元素的代數(shù)余子式Aij所構(gòu)成的如下矩陣

?A11??A12????A?1n稱為A的伴隨矩陣。

A21?An1??A22?An2?

????A2n?Ann??n?1*

例1：試證：（1）AA??A?A?AE；

（2）當(dāng)A?0時(shí)，A?A

證明：（1）因?yàn)?/p>

?a11??a21*故AA?????a?n1?A,i?jai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn??(i,j?1,2,?,n)

?0,i?ja12?a1n??A11A21?An1??A0?0??????a22?a2n??A12A22?An2??0A?0????AE ?????????????????????an2?ann??A1nA2n?Ann??00?A??同理可得A*A?AE。

?（2）對(duì)A*A?AE兩邊取行列式，得AA?AE

*

即 AA?AE?A，所以當(dāng)A?0時(shí)，A?A?nnn?1。

四、習(xí)題

P69 T1

T2

T6

T7

T8(2)

§3.3 逆矩陣

一、逆矩陣

1、定義：對(duì)于n階方陣A，如果有一個(gè)n階方陣B，使

AB?BA?E

?則稱A是可逆的，并把矩陣B稱為A的逆矩陣，記為B?A。

2、可逆的判定定理

定理：方陣A可逆?A?0；當(dāng)A可逆時(shí)，A??11? A，其中A?為A的伴隨矩陣。

A?E。證明：必要性.因?yàn)锳可逆，即存在A，使AA?1?1?1?

1故AA?AA?E?1，所以A?0

充分性.由§3.3的例1可知 AA?AA?AE；因?yàn)锳?0，故有

??A1?1?A?AA?E AA?1?A。

A按照逆矩陣的定義，即有

A?1注意：當(dāng)A?0時(shí)，稱A為非奇異矩陣，否則稱A為奇異矩陣?？梢?，可逆矩陣就是非奇異矩陣。同時(shí)，定理也提供了一種求逆矩陣的方法——伴隨矩陣法（公式法）。

?13、推論：若AB?E（或BA?E），則B?A。

證明：A?B?AB?E?1，故A?0，從而A存在，于是

?1B?EB?(A?1A)B?A?1(AB)?A?1E?A?1

二、逆矩陣的運(yùn)算律

方陣的逆矩陣滿足下列運(yùn)算律：

①若n階方陣A可逆，則A也可逆，且(A)②若A可逆，數(shù)??0，則?A可逆，且??A??1?1?1?1?A；

1??A?1；

?1③若A,B均為n階可逆方陣，則AB也可逆，且(AB)④若A可逆，且AB?AC，則B?C； ⑤若A可逆，則A也可逆，且(A)T； ?B?1A?1（穿脫原理）

T?1?(A?1)T；

⑥若A可逆，則A也可逆，且(A*)?1?(A?1)*；

⑦若A可逆，則(A*)T?(AT)*；

?1⑧若A可逆，則A?A?1*

⑨若A,B均為n階可逆方陣，則(AB)*?B*A*（穿脫原理）

證明： ①因?yàn)锳A?1?E，由推論可知，(A?1)?1?A

②因?yàn)?A?1?A?1?AA?1?E，由推論可知，??A???11?A?1

?1③(AB)(B?1A?1)?A(BB?1)A?1?AEA?1?AA?1?E，由推論有，(AB)?1?1④因?yàn)锳可逆，則AAB?AAC，即EB?EC，故B?C

?B?1A?1

⑤AT(A?1)T?(A?1A)T?ET?E，由推論有，(A)⑥因?yàn)锳可逆，故A?1T?1?(A?1)T

?1*AA1A，且A??A??E，從而(A*)?1?A； AAAA?

1又A(A)?(A)A?1?1*?1*?A?1E，即(A?1)*?AA?1E?1A A

所以(A)*?1?(A?1)*。

T*TT?1?1T⑦因?yàn)?A*)T?(AA?1)T?A(A?1)T，(A)?A(A)?A(A)

所以(A)?(A)

?1?1?1⑧因?yàn)锳A?E?1，即AA?1，所以A?*TT*1?1?A A⑨由AB?AB?0可知，AB也可逆。又(AB)(AB)*?ABE，所以(AB)*?AB(AB)?1?ABB?1A?1?BB?1AA?1?B*A*

?ab??1例

1、問(wèn)A???cd??滿足什么條件時(shí)可逆，并求A。

??解：A?ad?bc，A????c???d?b??，當(dāng)A?ad?bc?0時(shí)，A可逆； ?a?且

A

?1?1?d?b??? ??ad?bc??ca?例

2、設(shè)A是三階方陣，且A?解：(3A)?1?18A*?1?1*，求(3A)?18A 271?112A?18AA?1?A?1?A?1 333?(?1)A?1?(?1)3A?11? 33??27A??1

例

3、解矩陣方程?25????719?13???X?????411??? 解：X???25??1?719??3?5??719???1?13??????411????????12??????411???????1

三、習(xí)題

P75 T2

T3(3)

T6

T7

T9

2?3??? §3.4 分塊矩陣和初等矩陣

一、分塊矩陣

設(shè)An?n???O??A1O??B1??，B?n?n??OA2??O??，其中Ai與Bi(i?1,2)是同階的子方塊，則 ?B2?O?? A2B2??O?? ?1?A2??1?A2? O???A1?B1①A?B???O??A1k③A???O?k?A1B1??；

②AB???OA2?B2???O?A1?1O??1?；

④A??k??OA2???1?O?⑤A?A；

⑥A12?A?2A1??O??1???AO???1

二、初等矩陣

1、定義：由n階單位陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為n階初等矩陣。

2、三種初等變換對(duì)應(yīng)三種初等矩陣

(1)交換第i行和第j行；

對(duì)應(yīng)En(i,j)(2)第i行乘k倍；

對(duì)應(yīng)En(i(k))(3)第j行乘k倍加至第i行；

對(duì)應(yīng)En(i,j(k))

?24?例

1、將A???13??化為標(biāo)準(zhǔn)形。

??解：A????24??13??13??13??10???????????????B ??????????13??24??0?2??01??01?則

??0??10??01??1?3??1????0?1/2?????21????10??A?B 01????????12即 E2(1,2(?3))E2(2(?))E2(2,1(?2))E2(1,2)A?B

3、初等變換與初等矩陣的關(guān)系

定理1：設(shè)A是一個(gè)m?n矩陣，對(duì)A施行一次初等行變換，相當(dāng)于對(duì)A左乘一個(gè)相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)A施行一次初等列變換，相當(dāng)于對(duì)A右乘一個(gè)相應(yīng)的n階初等矩陣。

三、初等變換求逆矩陣

定理2：對(duì)任意一個(gè)m?n矩陣A，總存在有限個(gè)m階初等矩陣P1,P2,?,Ps和n階初等矩陣Ps?1,Ps?2,?,Pk，使得P1?PsAPs?1?Pk???O?

?ErO???Fm?n ?O?m?n定理3：對(duì)于n階可逆矩陣A，總存在有限個(gè)n階初等矩陣P1,?,Ps,Ps?1,?,Pk，使得P1?PsAPs?1?Pk?En?n

定理4：設(shè)A為可逆矩陣，則有限個(gè)初等矩陣P1,P2,?,Pk，使得A?P1P2?Pk 推論：m?n矩陣A與B等價(jià)?存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q，使

PAQ?B，記為A?B。（等價(jià)關(guān)系具有反身性、對(duì)稱性、傳遞性）

因此，由定理3可知，方陣A可逆?A?E

由定理4可知，方陣A可逆?A?P,2,?,k為初等矩陣)1P2?Pk(Pi,i?

1由推論可知，A?B?存在可逆矩陣P,Q，使PAQ?B1、求逆方法的推導(dǎo)：

?1?1?1由定理4的A?P1P2?Pk，得

Pk?P2P1A?E

（1）?1?1?1?1（1）式兩端分別右乘A，得

Pk?P2P1E?A

（2）

?

1上述兩式表明，用一樣的初等行變換將A變成E的同時(shí)，會(huì)將E變成A。

2、求逆矩陣的基本方法

初等變換法：(A|E)?初等行變換????(E|A?1)或（3、解矩陣方程AX?B或XA?B（A可逆）

初等變換法：(A|B)?初等行變換????(E|A?1B)或()?????（四、習(xí)題

P91 T1

T2(1)(2)

T3

?1AE)?初等列變換????(?1)EAAB初等列變換E)BA?1§3.5 矩陣的秩

一、k階子式的概念

2m,n})，其交叉處的k個(gè)元素定義：在m?n矩陣A中，任取k行k列(1?k?min{按原來(lái)的位置構(gòu)成的一個(gè)k階行列式，稱為矩陣A的一個(gè)k階子式。

?1111???1111例：A??1234?，?1,?0等都是A的一個(gè)2階子式。

1200?0000???kk可知，m?n矩陣A的k階子式共有Cm個(gè)。Cn

二、矩陣的秩

定義：矩陣A的非零子式的最高階數(shù)，稱為矩陣A的秩，記為R(A)。若R(A)?r，則A中至少有一個(gè)r階子式不為0，且所有r?1階子式都為0。

三、矩陣秩的性質(zhì)

m,n} ① 1?R(A)?min{② R(A)?R(A)

③ R(A)?r?A的行階梯形含r個(gè)非零行?A的標(biāo)準(zhǔn)形F???O?④ 若A~B則R(A)?R(B)（矩陣的初等變換不改變矩陣的秩）

⑤ 若P,Q可逆，則R(PAQ)?R(A)

⑥ max{A,B}?R(A,B)?R(A)?R(B)；

特別地，當(dāng)B為列向量b時(shí)，有R(A)?R(A,b)?R(A)?

1⑦ R(A?B)?R(A)?R(B)

⑧ R(AB)?min{R(A),R(B)}

⑨ 若Am?nBn?s?O，則R(A)?R(B)?n

例

1、設(shè)A為n階矩陣A的伴隨矩陣，證明 *T?ErO?? ?O?R(A)?n?n,?R(A*)??1,R(A)?n?1

?0,R(A)?n?1?

證明：

**(1)當(dāng)R(A)?n時(shí)，則A可逆，即A?0；由AA?AE知A?An?1?0。故A*可逆，從而R(A)?n

(2)若R(A)?n?1，則AA?AE?0。故R(A)?R(A)?n，R(A)?n?R(A)?1。又由R(A)?n?1知矩陣A中至少有一個(gè)n?1階子式不為零，也就是說(shuō)A中至少有一個(gè)元素不為零。所以R(A)?1，從而有R(A)?1。

*(3)若R(A)?n?1，則A的任意一個(gè)n?1階子式都為零。故A?0，即R(A)?0。

********?2?11?13???例

2、求A??4?2?232?的秩

?2?15?61????2?11?13??2?11?13??2?11?13???????解：?4?2?232???00?45?4???0045?4?

?2?15?61??00??4?5?2??????0000?6?

故R(A)?3

?1??2例

3、已知矩陣A??1??2?12a3??2314?的秩為3，求a的值

0115??3554??a3??112a3??112?????00?11?2a?2??00?11?2a?2?解：A?? ????0?1?11?a20?1?11?a2?????0115?2a?2??0006?3a0?????a3??112??0?1?11?a2??

因?yàn)镽(A)?3，所以6?3a?0，即a?2 ???00?11?2a?2???0006?3a0???

四、習(xí)題

P96 T2

T3(2)

T7

T8

P97 總復(fù)習(xí)題：T1 T2

T3

T4

T5

第四章

線性方程組理論

教學(xué)目標(biāo)與要求

1.掌握齊次和非齊次線性方程組解的判定定理和解的結(jié)構(gòu)定理

2.理解向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的概念，以及它們的判定方法

3.掌握向量組的秩和最大無(wú)關(guān)組的概念，會(huì)求向量組的秩

4.理解基礎(chǔ)解系的概念，會(huì)求齊次與非齊次線性方程組的通解 教學(xué)重點(diǎn)

1.齊次與非齊次線性方程組解的判定定理以及通解的求法 2.向量組線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的判定方法

3.向量組的最大無(wú)關(guān)組的求法和秩的求法 教學(xué)難點(diǎn)

1.齊次與非齊次線性方程組解的判定方法

2.向量組秩的概念及其求法

3.基礎(chǔ)解系的概念及其求法

§4.1 線性方程組有解的條件

一、線性方程組解的判定

1、非齊次線性方程組

定理1：對(duì)于非齊次線性方程組Am?nx?b（1），則

① 有唯一解?R(A)?R(A,b)?n

② 有無(wú)窮多解?R(A)?R(A,b)?n

③ 無(wú)解?R(A)?R(A,b)

2、齊次線性方程組

定理2：對(duì)于齊次線性方程組Am?nx?0（2），則 ① 僅有零解?R(A)?n ② 有非零解?R(A)?n

推論：當(dāng)m?n時(shí)，An?nx?0有非零解?R(A)?n?A?0

定理3：矩陣方程AX?B有解?R(A)?R(A,B)

二、線性方程組的解法

?x1?2x2?3x3?0?例

1、求下列線性方程組的通解?2x1?5x2?3x3?0

?x?8x?04?130??1090??1230??12??????解：?2530???01?30???01?30?

?1008??0?2?38??00?98???????0??1008??109????0???010?8/3?

??01?3?001?8/9??001?8/9???????x1??8x4?x1???8?

?????x8/38?2?????x2?x4，令x4?1，得通解為：???k??(k?R)x8/93??3???

?1??x?8????4?x3?x4?9?

例

2、問(wèn)?取何值時(shí)，下列線性方程組(1)有唯一解；(2)無(wú)解；(3)有無(wú)窮多解？并在有無(wú)窮多解時(shí)求其通解。

??x1??x2?2x3?

1???x1?(2??1)x2?3x3?1

???x1??x2?(??3)x3?2??1??2??2解：A??2??13?0??11??(??1)(??1)????300??1由克拉默法則知，當(dāng)??0,???1,??1時(shí)，方程組有唯一解。

?當(dāng)??0時(shí)，B??0021??0?131???0?1?0?131?????0021????00???003?1????003?1????00因R(A)?2，R(B)?3，R(A)?R(B)，所以方程組無(wú)解。

??1?121???1?12當(dāng)???1時(shí)，B????1?331????1??0?210??

???1?12?3????000?4??因R(A)?2，R(B)?3，R(A)?R(B)，所以方程組無(wú)解。

?1121??1121??當(dāng)??1時(shí)，B???1131??????0010????1101??0010???1141????0020????0000??因R(A)?R(B)?2?3，所以方程組有無(wú)窮多解。

即??x?x?x1?1?k1?12x?0，令x?2?k，得其通解為：?x2?k（k?R）?3??x3?0

三、習(xí)題

P106 T1 T2 T3(2)T4 T5 T6 T7

31??21?0?5?

2??

§4.2 向量組的線性相關(guān)性

一、n維向量及其線性運(yùn)算

1.定義：由n個(gè)數(shù)a1,a2,?,an組成的有序數(shù)組稱為n維向量。稱n?1矩陣

?a1????a2?a???為n維列向量；其轉(zhuǎn)置aT??a1,a2,?,an?稱為n維行向量。其中ai稱為a的第i????a??n?個(gè)分量(i?1,2,?,n)。

2.運(yùn)算

①n維向量的相等；②零向量；③負(fù)向量；④加法；⑤數(shù)乘

二、向量組的線性組合

1.向量組

定義：由若干個(gè)同維的列向量(或行向量)所組成的集合，稱為一個(gè)向量組。

2.向量組與矩陣

?a1j????a2j?(j?1,2,?,n)為矩陣A的列設(shè)A?(aij)m?n，則A???1,?2,?,?n?，其中?j???????a??mj???1?????2?向量組；或A??，其中?i??ai1,ai2,?,ain?(i?1,2,?,m)為矩陣A的行向量組。

????????m?3.向量組與線性方程組

一個(gè)線性方程組Am?nx?b可以寫成：x1?1?x2?2???xn?n?b

4.向量組的線性組合

定義：設(shè)向量組A:?1,?2,?,?m，對(duì)于數(shù)k1,k2,?,km，我們稱k1?1?k2?2???km?m為向量組A的一個(gè)線性組合，k1,k2,?,km稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)。

5.線性表示

給定向量組A:?1,?2,?,?m和向量b，若存在一組數(shù)?1,?2,?,?m，使得

b??1?1??2?2????m?m 則稱向量b是向量組A的線性組合，也稱向量b可以由向量組A線性表示。

例：任何一個(gè)n維向量a??a1,a2,?,an?都可以由n維單位向量組：

Te1?(1,0,0,?,0)T，e2?(0,1,0,?,0)T，?，en?(0,0,?,0,1)T

線性表示。即a?a1e1?a2e2???anen。

顯然，向量b能由向量組A線性表示，也就線性方程組：x1?1?x2?2???xn?n?b有解。

6.定理1：向量b能由向量組A:?1,?2,?,?m線性表示的充要條件是R(A)?R(A,b)，其中A?(?1,?2,?,?m)。

三、向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)

設(shè)齊次線性方程組Am?nx?0，寫成向量形式：x1?1?x2?2???xn?n?0。若它有非零解，即存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,?,kn，使得k1?1?k2?2???kn?n?0。因此，我們引入如下概念。

1.線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)

定義：設(shè)有n維向量組A:?1,?2,?,?m，如果存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,?,km使

k1?1?k2?2???kn?n?0

則稱向量組A線性相關(guān)；否則稱它線性無(wú)關(guān)。

注意：（特殊情形）

① 只有一個(gè)向量a的向量組線性相關(guān)?a?0

② 兩個(gè)向量a,b的向量組線性相關(guān)?a??b(即兩向量共線：對(duì)應(yīng)分量成比例)③ 三個(gè)向量線性相關(guān)：幾何意義是三個(gè)向量共面。

④ 含有零向量的向量組一定線性相關(guān)。

定理2：向量組?1,?2,?,?m(m?2)線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個(gè)向量可由其余m?1個(gè)向量線性表示。

定理3：設(shè)向量組A:?1,?2,?,?m構(gòu)成矩陣A?(?1,?2,?,?m)，則向量組A線性相關(guān)的充要條件是R(A)?m；向量組A線性無(wú)關(guān)的充要條件是R(A)?m。

推論1：當(dāng)向量的個(gè)數(shù)等于向量的維數(shù)時(shí)，向量組A線性相關(guān)的充要條件是A?0；向量組A線性無(wú)關(guān)的充要條件是A?0。

推論2：m(m?n)個(gè)n維向量組成的向量組一定線性相關(guān)。推論3：任一個(gè)n維向量組中線性無(wú)關(guān)的向量最多有n個(gè)。

定理4：

(1)設(shè)向量組A:?1,?2,?,?m線性無(wú)關(guān)，而向量組B:?1,?2,?,?m,b線性相關(guān)，則向量b必能由向量組A線性表示，且表示法是唯一的。

(2)若向量組?1,?2,?,?r線性相關(guān)，則向量組?1,?2,?,?r,?r?1,?,?n(n?r)必線性相關(guān)；反之，若向量組?1,?2,?,?r,?r?1,?,?n(n?r)線性無(wú)關(guān)，則向量組?1,?2,?,?r必線性無(wú)關(guān)。（部分相關(guān)，整體相關(guān)；整體無(wú)關(guān)，部分無(wú)關(guān)。）

(3)若m個(gè)n維向量?1,?2,?,?m線性相關(guān)，同時(shí)去掉其第i個(gè)分量(1?i?n)得到的m個(gè)n?1維向量也線性相關(guān)；反之，若m個(gè)n?1維向量?1,?2,?,?m線性無(wú)關(guān)，同時(shí)增加其第i個(gè)分量(1?i?n)得到的m個(gè)n維向量也線性無(wú)關(guān)。

四、習(xí)題

P116 T1(3)(4)T2 T3 T4(1)(2)T5 T6 T7 T8 T9(1)(3)

§4.3 向量組的秩

一、向量組的等價(jià)

定義1：設(shè)有向量組A:?1,?2,?,?m；向量組B:?1,?2,?,?s，若向量組A中的每一個(gè)向量都能由向量組B線性表示，則稱向量組A能由向量組B線性表示。如果向量組A和向量組B能相互線性表示，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)。

命題1：若A,B為有限個(gè)列向量組成的向量組，則向量組B能由向量組A線性表示的充要條件是矩陣方程B?AX有解。

命題2：若矩陣A經(jīng)過(guò)初等行(列)變換變成B，則矩陣A的列(行)向量組與矩陣B的列(行)向量組等價(jià)。

定理1：設(shè)向量組A:?1,?2,?,?m和向量組B:?1,?2,?,?s均為列向量組成的向量組，則向量組B能由向量組A線性表示的充要條件為R(A)?R(A,B)

推論：向量組A:?1,?2,?,?m和向量組B:?1,?2,?,?s等價(jià)的充要條件是

R(A)?R(B)?R(A,B)

其中A和B是向量組A和向量組B所構(gòu)成的矩陣。

講教材P118例1

二、向量組的秩 1.最大無(wú)關(guān)組

定義2設(shè)向量組A0:?1,?2,?,?r是向量組A:?1,?2,?,?m(m?r)的一個(gè)部分組，若(1)向量組A0:?1,?2,?,?r線性無(wú)關(guān)；

(2)A中的任意向量均可由向量組A0:?1,?2,?,?r線性表示； 則稱A0:?1,?2,?,?r為A的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)向量組（簡(jiǎn)稱最大無(wú)關(guān)組）。

顯然，最大無(wú)關(guān)組一般不唯一；任意向量組都與它的最大無(wú)關(guān)組等價(jià)。

2.最大無(wú)關(guān)組的求法

定理：矩陣的初等行變換不改變(部分或全部)列向量之間的線性關(guān)系； 矩陣的初等列變換不改變(部分或全部)行向量之間的線性關(guān)系。

注意：上述定理提供了求向量組最大無(wú)關(guān)組的方法 定理2：設(shè)向量組B:?1,?2,?,?r可由向量組A:?1,?2,?,?s線性表示，(1)若向量組B線性無(wú)關(guān)，則r?s；(2)若r?s，則向量組B線性相關(guān)。

推論1：兩個(gè)等價(jià)的線性無(wú)關(guān)的向量組必含有相同個(gè)數(shù)的向量。推論2：兩個(gè)等價(jià)的向量組的最大無(wú)關(guān)組含有相同個(gè)數(shù)的向量。推論3：一個(gè)向量組的任意兩個(gè)最大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)相等。

3.向量組的秩

定義3：向量組的最大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，稱為該向量組的秩。

定理2'：若向量組B能由向量組A線性表示，則向量組B的秩不大于向量組A的秩。

三、矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系

定理3：對(duì)矩陣A?(aij)m?n，則 R(A)?A的行秩?A的列秩。即矩陣的秩等于它的行向量組的秩也等于它的列向量組的秩。

四、矩陣的秩的性質(zhì)

性質(zhì)1：R(A?B)?R(A)?R(B)

性質(zhì)2：R(AB)?min{R(A),R(B)}

性質(zhì)3：若P,Q可逆，則R(PAQ)?R(PA)?R(AQ)?R(A)

五、習(xí)題

P124 T1

T2

T3

T9

§4.4 線性方程組解的結(jié)構(gòu)

一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

1.解的性質(zhì)

對(duì)于齊次線性方程組

Am?nx?0

(1)性質(zhì)1：若?1,?2都是Ax?0的解，則?1??2也是Ax?0的解。性質(zhì)2：若?是Ax?0的解，則k?也是Ax?0的解。

2.解的結(jié)構(gòu)

定義1：設(shè)?1,?2,?,?k是Ax?0的非零解，且滿足

(1)?1,?2,?,?k線性無(wú)關(guān)；

(2)Ax?0的任一個(gè)解?都可由?1,?2,?,?k線性表示，即??c1?1?c2?2???ck?k 則稱?1,?2,?,?k是齊次線性方程組Ax?0的基礎(chǔ)解系；且Ax?0的通解可表示為如下形式：??c1?1?c2?2???ck?k(c1,c2,?,ck為任意常數(shù))。

定理1：若n元齊次線性方程組Ax?0的系數(shù)矩陣A的秩R(A)?r?n，則Ax?0的基礎(chǔ)解系恰含有n?r個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量。

講教材P128 例1和例2

二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

1.解的性質(zhì)

對(duì)于非齊次線性方程組

Am?nx?b

(2)性質(zhì)1：若?1,?2都是Ax?b的解，則?1??2是Ax?0的解。

性質(zhì)2：若?是Ax?0的解，?是Ax?b的解，則???是Ax?b的解。

2.解的結(jié)構(gòu)

*定理2：設(shè)?是非齊次線性方程組Ax?b的一個(gè)解，?1,?2,?,?n?r是對(duì)應(yīng)的導(dǎo)出組Ax?0的基礎(chǔ)解系，則Ax?b的通解為

???*?k1?1?k2?2???kn?r?n?r

其中k1,k2,?,kn?r為任意常數(shù)。

講教材P132 例3和例4

三、習(xí)題

P134 T1 T2(1)T3 T4 T5 T6 T7 T8 P141 總復(fù)習(xí)題：T1 T2 T4 T5 T6至T13

第五章 特征值和特征向量

矩陣的對(duì)角化

教學(xué)目標(biāo)與要求

1.理解內(nèi)積和正交向量組的概念，掌握施密特正交化方法和正交矩陣的性質(zhì) 2.理解特征值與特征向量的定義，掌握它們的性質(zhì)及其求法 3.理解相似矩陣的定義，掌握相似矩陣的性質(zhì)

4.掌握矩陣可對(duì)角化的條件，熟悉實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化方法 教學(xué)重點(diǎn)

1.施密特正交化方法的運(yùn)用 2.特征值與特征向量的求法 3.實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化方法 教學(xué)難點(diǎn)

1.施密特正交化方法

2.特征值與特征向量的性質(zhì)及其求法 3.實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化方法

§5.1 預(yù)備知識(shí)

一、向量的內(nèi)積

定義1：設(shè)有n維向量x??x1,x2,?,xn?，y??y1,y2,?,yn?，令

TT?x,y??x1y1?x2y2???xnyn，稱?x,y?為向量x與y的內(nèi)積。

內(nèi)積的性質(zhì)：

(1)?x,y???y,x?

(2)??x,y????x,y?

(3)?x?y,z???x,z???y,z?

(4)?x,x??0，當(dāng)且僅當(dāng)x?0時(shí)等號(hào)成立

定義2：令x??x,x??22x12?x2???xn，稱為n維向量x的長(zhǎng)度（或范數(shù)）。當(dāng)x?1時(shí)，稱x為單位向量。

向量的長(zhǎng)度具有以下性質(zhì)：

(1)非負(fù)性：x?0

(2)齊次性：

定義3：當(dāng)x?0，y?0時(shí)，稱??arccos?x???x

(3)三角不等式：x?y?x?y

(4)柯西不等式：?x,y??x?y

?x,y?x?y為n維向量x與y的夾角。

定義4：當(dāng)?x,y??0時(shí)，稱向量x與y正交。

定義5：若一個(gè)向量組中任意兩個(gè)向量都正交，則稱此向量組為正交向量組。若正交向量組中的每一個(gè)向量都是單位向量，則稱此向量組為規(guī)范正交向量組或標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。

定理1：若n維向量?1,?2,?,?r是一組兩兩正交的非零向量，則?1,?2,?,?r線性無(wú)關(guān)。

二、施密特正交化方法 施密特正交化方法是將一組線性無(wú)關(guān)的向量?1,?2,?,?r，化為一組與之等價(jià)的正交向量組?1,?2,?,?r的方法。令

??2,?1??；?；

??1,?1?1??,????,????r,?r?1??。?r??r?r1?1?r2?2?????1,?1???2,?2???r?1,?r?1?r?1?1??1； ?2??2?

講教材P147 例2和例3

三、正交矩陣

定義6：如果方陣A滿足AA?AA?E（即A?cos?例如：En，??sin???AT），則稱A為正交矩陣。

?01/2?1/2????sin???，??2/61/61/6?都是正交陣。?cos????1/31/31/3????TT?1

定理2：A為正交矩陣?A的行(列)向量組為規(guī)范正交向量組。即

?1,i?jATA?E??iT?j??(i,j?1,2,?,n)（其中A?(?1,?2,?,?n)）

0,i?j?

定理3：設(shè)A,B都是n階正交方陣，則

(1)A??1；(2)A,A,AB也是正交方陣。

定義7：若P為正交矩陣，則線性變換y?Px稱為正交變換。

四、習(xí)題

P149 T1(2)T2(2)T3 T4 T5

§5.2 特征值和特征向量

T?

1一、特征值與特征向量的概念

定義1：設(shè)A是n階方陣，如果存在數(shù)?和非零列向量x，使得Ax??x，稱?為方陣A的特征值，非零列向量x稱為A的屬于特征值?的特征向量。

特征方程：Ax??x?(A??E)x?0 或者(?E?A)x?0

(A??E)x?0有非零解?A??E?0?特征矩陣：(A??E)或者(?E?A)

?E?A?0

a11??特征多項(xiàng)式：A??E?a12?an2??a1na2n???(?)

a21?an1a22????ann??nn?1?a??a????an?1??an0[a0?(?1)n]

二、求n階方陣A的特征值與特征向量的步驟

(1)求出特征方程?(?)?A??E?0的全部根?1,?2,...,?n，即是A的特征值；(2)對(duì)于每個(gè)特征值?i求解線性方程組?A??iE?x?0，得出的基礎(chǔ)解系就是A的屬于特征值?i的特征向量；基礎(chǔ)解系的線性組合就是A的屬于特征值?i的全部特征向量。

講教材P152 例3和例4

三、特征值與特征向量的性質(zhì)

性質(zhì)1：設(shè)A是n階方陣，則A與A有相同的特征值。性質(zhì)2：設(shè)?是方陣A的特征值，k,m?N，則(1)?是方陣A的特征值；

(2)f(?)?a0?a1????am?是f(A)?a0E?a1A???amA的特征值。

性質(zhì)3：設(shè)n階方陣A?(aij)n?n的n個(gè)特征值為?1,?2,...,?n，則(1)

mmkkT????aii?1i?1nnii，其中

?ai?1nii?tr(A)稱為A的跡；

(2)??i?A

i?1n

證明： 由特征值的定義可得

a11??

a12?a1na2n? ?(?)?A??E?a21?an1a22?????an2?ann??

?(a11??)(a22??)?(ann??)??

?(?1)n?n?(?1)n?1(a11?a22???ann)?n?1??

由題設(shè)可知 ?(?)?A??E?(?1??)(?2??)?(?n??)

?(?1)n?n?(?1)n?1(?1??2????n)?n?1???(?1?2??n)比較多項(xiàng)式同次冪的系數(shù)可得

a11?a22???ann??1??2????n，A??(0)??1?2??n

推論：A?0? 0是A的特征值；A可逆?A?0?A不含零特征值。

講教材P154 例5和例6

性質(zhì)4：?1,?2,?,?m是方陣A的互異特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向量依次為

p1,p2,?,pm，則向量組p1,p2,?,pm線性無(wú)關(guān)。

四、習(xí)題

P157 T1

T2

T3

T4

§5.3 相似矩陣

一、相似矩陣的概念

定義1：設(shè)A,B都是n階方陣，若存在可逆矩陣P，使PAP?B，則稱矩陣A與B相似，記為A~B，可逆矩陣P稱為相似變換矩陣。

相似矩陣的基本性質(zhì)：

1、(1)反身性：對(duì)任意方陣A，都有A~A

(2)對(duì)稱性：若A~B，則B~A

(3)傳遞性：若A~B，B~C，則A~C

2、定理1：若A~B，則

① A與B有相同的特征多項(xiàng)式和特征值；

② A?B； ③ R(A)?R(B)；

mm④ A與B也相似（m為正整數(shù)）；

?1⑤ tr(A)?tr(B)

二、矩陣可對(duì)角化的條件

定義：n階方陣A可以相似于一個(gè)對(duì)角矩陣?，則稱A可對(duì)角化。

定理2：n階方陣A可對(duì)角化?A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。

推論：n階方陣A有n個(gè)互異的特征值?A可對(duì)角化。

定理3：n階方陣A可對(duì)角化?A的每個(gè)k重特征值?對(duì)應(yīng)有k個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量（或R(A??E)?n?k）。即A的幾何重?cái)?shù)n?R(A??E)等于代數(shù)重?cái)?shù)k。

講教材P160 例1和例2

三、小結(jié)

n階方陣A對(duì)角化的步驟：

(1)解特征方程A??E?0，求出A的全部特征值?1,?2,...,?s，其中?i是ni重特征值（i?1,2,?,s），s?ni?1i?n。

(2)對(duì)每個(gè)?i，解齊次線性方程組?A??iE?x?0，得基礎(chǔ)解系?i1,?i2,...,?ini；(3)令P?(?11,?12,?,?1n1,?21,?22,?,?2n2,?,?s1,?s2,?,?sns)，則PAP??，其中??diag(?1,?,?1,?2,?,?2,?,?s,?,?s)，這里?i的個(gè)數(shù)為ni個(gè)（i?1,2,?,s）。

四、習(xí)題

P162 T1

T2

T3

T4

T5

T6

§5.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣

?

1一、實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值性質(zhì)

定理1：實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。

定理2：實(shí)對(duì)稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量相互正交。

定理3：設(shè)?是n階實(shí)對(duì)稱矩陣A的r重特征值，則R(A??E)?n?r，即對(duì)應(yīng)特征值?恰有r個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。

二、實(shí)對(duì)稱矩陣的相似理論

定理4：任意實(shí)對(duì)稱矩陣A都與對(duì)角矩陣相似。即實(shí)對(duì)稱陣一定可以對(duì)角化。

?1T定理5：設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則存在正交矩陣P，使PAP?PAP??。其中??diag(?1,?2,?,?n)，且?1,?2,...,?n是A的n個(gè)特征值。

三、實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化方法

n階實(shí)對(duì)稱矩陣A對(duì)角化的步驟：

(1)解特征方程A??E?0，求出A的全部特征值?1,?2,...,?s，其中?i是ni重特征值（i?1,2,?,s），s?ni?1i?n。

(2)對(duì)每個(gè)?i，解齊次線性方程組?A??iE?x?0，得基礎(chǔ)解系?i1,?i2,...,?ini；(3)利用施密特正交化方法將?i1,?i2,...,?ini正交化，得正交向量組?i1,?i2,...,?ini，再單位化得規(guī)范正交向量組?i1,?i2,...,?ini（i?1,2,?,s）；

(4)令P?(?11,?12,?,?1n1,?21,?22,?,?2n2,?,?s1,?s2,?,?sns)，則P為正交矩陣，且P?1AP?PTAP??，其中??diag(?1,?,?1,?2,?,?2,?,?s,?,?s)，這里?i的個(gè)數(shù)為。ni個(gè)（i?1,2,?,s）

講教材P164 例1和例2

四、習(xí)題

P167 T1

T2

T4 P167 總復(fù)習(xí)題：T1 T2 T3 T4 T5 T6；

T8 T9 T10 T11

T12 T13 T14 T15 T16

第六章 特征值和特征向量

矩陣的對(duì)角化 教學(xué)目標(biāo)與要求

1.理解二次型及其秩的相關(guān)概念，了解矩陣的合同關(guān)系

2.掌握二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，以及用配方法、正交變換法和初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型

3.理解慣性定理和二次型的規(guī)范形，掌握二次型正定的判別方法 教學(xué)重點(diǎn)

1.用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型 2.二次型正定的判別方法 教學(xué)難點(diǎn)

1.用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型 2.二次型正定的判別方法

§6.1 二次型及其矩陣表示 一、二次型及其矩陣表示

定義1：含有n個(gè)變量的二次齊次函數(shù)：

22f(x1,x2,...,xn)?a11x12?a22x2???annxn? ?2a12x1x2?2a13x1x3???2an?1,nxn?1xn稱為二次型。當(dāng)aij全為實(shí)數(shù)時(shí)，f稱為實(shí)二次型。

為了便于用矩陣討論二次型，令aij?aji，則二次型為：

f(x1,x2,...,xn)?a11x12?a12x1x2???a1nx1xn?2 a21x2x1?a22x2???a2nx2xn?.................................................2 an1xnx1?an2xnx2???annxn

??a11??a21記

A?????a?n1a12a22?an2i,j?1?anijxixj

?a1n??x1?????a2n??x2?x?，???，???????x???ann??n?T則二次型f(x1,x2,?,xn)?xAx，其中A為對(duì)稱矩陣。

由此可見，對(duì)稱矩陣A與二次型f是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，故稱對(duì)稱矩陣A為二次型f的矩陣，也稱二次型f為對(duì)稱矩陣A的二次型，R(A)也稱為二次型f的秩。

講教材P173 例1和例2

二、線性變換 ?x1?c11y1?c12y2???c1nyn?x?cy?cy???cy?22112222nn

定義2：稱?為由變量x1,x2,?,xn到變量y1,y2,?,yn.......................................?..........??xn?cn1y1?cn2y2???cnnyn的一個(gè)線性變量替換，簡(jiǎn)稱線性變換。

?c11??c21其中，矩陣C?????c?n1?c1n??c22?c2n?稱為線性變換的矩陣。?????cn2?cnn??c12?x1??y1?????x?2??y2?記x???，y???，則線性變換可用矩陣形式表示：x?Cy。

???????x??y??n??n?若C?0，則稱線性變換x?Cy為非退化的(或滿秩變換)；否則，稱為退化的(或降秩變換)。若C是正交矩陣，則稱線性變換x?Cy為正交變換。因此，我們有

f(x)?xTAx?(Cy)TA(Cy)?yTCTACy?yTBy，其中B?CTAC，而且 BT?(CTAC)T?CTATC?CTAC?B

三、矩陣的合同

1．定義3：設(shè)A,B為兩個(gè)n階方陣，如果存在n階可逆矩陣C，使得CAC?B，則

T?B。稱矩陣A與B合同，記為：A~?B（合同）定理：若A~，則A?B（等價(jià)），且R(A)?R(B)。

2．合同的性質(zhì)

?A

① 反身性：對(duì)任意方陣A，都有A~?B，則B~?A

② 對(duì)稱性：若A~?C ?B,B~?C，則A~③ 傳遞性：若A~3．定理：任何一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣A都合同于一個(gè)對(duì)角陣?（?是以A的n個(gè)特征根為對(duì)角元的對(duì)角陣），即存在可逆矩陣C，使得CAC??。

四、習(xí)題

P175 T1

T3

T4

§6.2 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形

T一、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形

222定義：形如d1x1的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。?d2x2???dnxn

二、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

（1）配方法

對(duì)任意一個(gè)二次型f?xTAx，都可用配方法找到滿秩變換x?Cy，將f化為標(biāo)準(zhǔn)形。步驟：若f中含變量項(xiàng)xi的平方項(xiàng)，則先將所有含xi的項(xiàng)合并在一起配成完全平方，依次類推直到都配成完全平方項(xiàng)；若f中不含任何平方項(xiàng)，則令x1?y1?y2,x2?y1?y2，xk?yk，使f中出現(xiàn)平方項(xiàng)，再按照前面的思路進(jìn)行配方。

（2）正交變換法

定理：任給二次型f(x)?xTAx，總存在正交矩陣Q，使QTAQ?Q?1AQ??，其中??diag(?1,?2,?,?n)，?1,?2,?,?n是A的全部特征值。

22即存在正交變換x?Qy使f化為標(biāo)準(zhǔn)形：（其中?1,?2,?,?n?1x12??2x2????nxn是對(duì)稱矩陣A的全部特征根）

講書上P176 例1

（3）初等變換法

由于任意對(duì)稱陣A都存在可逆矩陣C，使CAC為對(duì)角陣；由于C是可逆陣，故可表

TTTT示一系列初等矩陣的乘積。設(shè)C?P1P2?PS，則C?Ps?P2P1，因此

TCTAC?PsT?P2TP1AP1P2?Ps

①

T

C?P1P2?PS?EP1P2?PS

②

①式表示對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣A施行初等列變換的同時(shí)也施行相應(yīng)的行變換，將A化為對(duì)角陣；②表示單位陣E在相同的初等列變換下就化為C。即（三、習(xí)題

P181

T1

T3

T4

§6.3 慣性定理和二次型的正定性

A?)?合同變換????()EC

一、慣性定理和規(guī)范形

定理1：設(shè)實(shí)二次型f?xTAx的秩為r，有兩個(gè)實(shí)滿秩線性變換x?Cy及x?Pz，222使得 f?k1y1???kpy2,2,?,r)

（1）p?kp?1yp?1???kryr(ki?0,i?12222及

f??1z1????qzq??q?1zq,2,?,r)?1????rzr(?i?0,i?1則p?q；且稱p為二次型f的正慣性指數(shù)，r?p為二次型f的負(fù)慣性指數(shù)。

對(duì)二次型f的標(biāo)準(zhǔn)形（1）式再作滿秩線性變換

(y1,?,yr,yr?1,?,yn)T?diag(11,?，1,?,1)(t1,?,tr,tr?1,?,tn)T k1kr2222則有f?t1???tp?tp?1???tr，稱之為二次型f的規(guī)范形。

慣性定理的等價(jià)表述：任意一個(gè)秩為r的實(shí)二次型f都可以經(jīng)過(guò)滿秩線性變換化為規(guī)范形，且其規(guī)范形是唯一的。即規(guī)范形中正項(xiàng)的個(gè)數(shù)p與負(fù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)r?p都是唯一確定的。

定理2：實(shí)對(duì)稱陣A與B合同?A與B的正負(fù)慣性指數(shù)相同

?A與B的規(guī)范形相同?R(A)?R(B)，且A與B的正慣性指數(shù)相同 二、二次型的正定性

定義1：設(shè)實(shí)二次型f(x)?f(x1,x2,?,xn)?xTAx，若對(duì)任意x?0，都有f(x)?0，則稱f為正定二次型，并稱其對(duì)稱矩陣A為正定矩陣。三、二次型正定的判別方法

定理3：設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則

f?xTAx正定（或A正定）?A的n個(gè)特征值全為正；

?f的標(biāo)準(zhǔn)形的n個(gè)系數(shù)全為正?f的正慣性指數(shù)p?n； ?存在可逆矩陣P，使A?PTP?A與單位矩陣合同； ?A的各階順序主子式全為正，即

a11?a1na11a12??0

a11?0，?0，?，?a21a22an1?ann講教材P184 例3

四、習(xí)題

P185 T1(1)(3)

T2(3)

T3

T4

T5

T6 P186 總復(fù)習(xí)題： T4

T5

T6

T7 ；

T9

T12

T13

第二篇：線性代數(shù)教案第一章

線性代數(shù)教案第一章 第一章 行列式（12學(xué)時(shí)）

教學(xué)時(shí)數(shù)：12學(xué)時(shí)

教學(xué)目的與要求：理解并掌握行列式的概念和性質(zhì)，行列式按行（列）展開定理，行列式的計(jì)算，克萊姆法則解方程組。

教學(xué)重點(diǎn)：行列式的性質(zhì)，行列式按行（列）展開，克萊姆法則解方程組。教學(xué)難點(diǎn)：行列式按行按列展開。本章主要閱讀文獻(xiàn)資料：

1.吳贛昌主編，《線性代數(shù)》(第4版)，中國(guó)人民大學(xué)出版社，2008年2月。2.戴斌祥主編，《線性代數(shù)》，北京郵電大學(xué)出版社，2005年10月。3.陳維新主編，《線性代數(shù)》（第二版），科學(xué)出版社，2010年8月。

4.趙樹嫄主編，《線性代數(shù)學(xué)習(xí)與考試指導(dǎo)》，中國(guó)人民大學(xué)出版社，2008年5月。

教學(xué)內(nèi)容：

第一節(jié) 二階與三階行列式

一．二階行列式

引入新課：

我們從二元方程組的解的公式，引出二階行列式的概念。

在線性代數(shù)中，將含兩個(gè)未知量?jī)蓚€(gè)方程式的線性方程組的一般形式寫為

（1）

用加減消元法容易求出未知量x1，x2的值，當(dāng)

時(shí)，有

（2）這就是二元方程組的解的公式。但這個(gè)公式不好記，為了便于記這個(gè)公式，于是引進(jìn)二階行列式的概念。

（一）定義：我們稱記號(hào)

為二階行列式，它表示兩項(xiàng)的代數(shù)和：

即定義

（3）

二階行列式所表示的兩項(xiàng)的代數(shù)和，可用下面的對(duì)角線法則記憶：從左上角到右下角兩個(gè)元素相乘取正號(hào)，從右上角到左下角兩個(gè)元素相乘取負(fù)號(hào)，即

－ ＋

由于公式（3）的行列式中的元素就是二元方程組中未知量的系數(shù)，所以又稱它為二元方程組的系數(shù)行列式，并用字母D表示，即有

如果將D中第一列的元素a11，a21 換成常數(shù)項(xiàng)b1，b2，則可得到另一個(gè)行列式，用字母D1表示，于是有

按二階行列式的定義，它等于兩項(xiàng)的代數(shù)和：，這就是公式（2）中x1 的表達(dá)式的分子。同理將D中第二列的元素a a b2，12，22 換成常數(shù)項(xiàng)b1，可得到另一個(gè)行列式，用字母D2表示，于是有

按二階行列式的定義，它等于兩項(xiàng)的代數(shù)和：a11b2-b1a21，這就是公式（2）中x2的表達(dá)式的分子。

于是二元方程組的解的公式又可寫為

其中D≠0

例1 計(jì)算5?1=5×2-（-1）×3=13 32例2 設(shè)D??2?31

問(wèn)：(1)當(dāng)λ為何值時(shí)D=0(2)當(dāng)λ為何值時(shí)D≠0 解：D??2?31=?2?3?

(1)當(dāng)λ=0或3時(shí)，D=0(1)當(dāng)λ≠0且λ≠3時(shí)，D≠0

二.三階行列式

含有三個(gè)未知量三個(gè)方程式的線性方程組的一般形式為

（1）

還是用加減消元法，即可求得方程組（1）的解的公式，當(dāng)

時(shí)，有

（2）

這就是三元方程組的解的公式。這個(gè)公式更不好記，為了便于記它，于是引進(jìn)三階行列式的概念。

（二）定義： 我們稱記號(hào)

為三階行列式。三階行列式所表示的6項(xiàng)的代數(shù)和，也用對(duì)角線法則來(lái)記憶：從左上角到右下角三個(gè)元素相乘取正號(hào)，從右上角到左下角三個(gè)元素取負(fù)號(hào)，即

（3）

由于公式（3）的行列式中的元素是三元方程組中未知量的系數(shù)，所以稱它為三元方程組的系數(shù)行列式，也用字母D來(lái)表示，即有

同理將D中第一列、第二列、第三列的元素分別換成常數(shù)項(xiàng)得到另外三個(gè)三階行列式，分別記為

于是有

就可以

按照三階行列式的定義，它們都表示6項(xiàng)的代數(shù)和；并且分別是公式（2）中x1，x2，x3 的表達(dá)式的分子，而系數(shù)行列式D是它們的分母。

123例3 405

?106解：原式=-58 例4 實(shí)數(shù)a，b滿足什么條件時(shí)

ab0?ba0?0 101ab0解：?ba0?a2?b2

a，b為實(shí)數(shù)，若要a2?b2?0，則a，b需同時(shí)等于零。

a10例5 1a0＞0的充分必要條件是什么？

411a10a10解：1a0=a2?1，即a＞1時(shí)，1a0＞0，411411a10所以1a0＞0的充分必要條件a＞1 411作業(yè)：課本35頁(yè)，1,2,3,4,5

第三篇：線性代數(shù)電子教案LA2-2B

6.伴隨矩陣：A?(aij)n?n, detA中元素aij的代數(shù)余子式為Aij．

?a11?a21

A??????an1a12a22?an2?a1n??A11?A?a2n??，A*??12???????ann??A1nA21A22?A2n?An1??An2??

????Ann?

重要性質(zhì)：AA*?A*A?(detA)E

7.共軛矩陣：復(fù)矩陣A?(aij)m?n的共軛矩陣記作A?(aij)m?n．

算律：(1)(A?B)?A?B

(2)(kA)?kA

(3)(AB)?AB

(4)(A)?(A)?AH

§2.3 逆矩陣

定義：對(duì)于An?n, 若有Bn?n滿足AB?BA?E, 則稱A為可逆矩陣，且B為A的逆矩陣, 記作A?1?B．

定理1 若An?n為可逆矩陣, 則A的逆矩陣唯一．

證

設(shè)B與C都是A的逆矩陣, 則有

AB?BA?E, AC?CA?E

B?BE?B(AC)?(BA)C?EC?C

定理2 An?n為可逆矩陣?detA?0；

An?n為可逆矩陣?A?1?

證

必要性．已知A?1存在，則有

AA?1?E?detAdetA?1?1?detA?0

充分性．已知detA?0，則有

A*A*?A?E

AA?AA?(detA)E?AdetAdetA1A*．

由定義知A為可逆矩陣，且A?1?detA**TT記作1A*． deAt 7 [注]detA?0時(shí), 亦稱A為非奇異矩陣；

detA?0時(shí), 亦稱A為奇異矩陣．

推論1 對(duì)于An?n, 若有Bn?n滿足AB?E, 則A可逆, 且A?1?B．

證 AB?E?detAdetB?1?detA?0?A可逆

A?1?A?1E?A?1(AB)?(A?1A)B?EB?B

推論2 對(duì)于An?n, 若有Bn?n滿足BA?E, 則A可逆, 且A?1?B．

算律：

(1)A可逆?A?1可逆, 且(A?1)?1?A．

對(duì)于A?1, 取B?A, 有A?1B?A?1A?E．

(2)A可逆, k?0?kA可逆, 且(kA)?1?A?1．

k11

對(duì)于kA, 取B?A?1, 有(kA)B?(kA)(A?1)?AA?1?E．

kk

(3)An?n與Bn?n都可逆?AB可逆, 且(AB)?1?B?1A?1．

對(duì)于AB, 取C?B?1A?1, 有

(AB)C?(AB)(B?1A?1)?A(BB?1)A?1?E．

(4)A可逆?AT可逆, 且(AT)?1?(A?1)T．

對(duì)于AT, 取B?(A?1)T, 有ATB?AT(A?1)T?(A?1A)T?E．

(5)A可逆?detA?1?1． detA

(6)An?n與Bn?n都可逆?(AB)*?B*A*．

證(AB)*?[det(AB)](AB)?1?[(detA)(detB)][B?1A?1]

?[(deBt)B?1][(deAt)A?1]?B*A*

負(fù)冪：A可逆, 定義A0?E, A?k?(A?1)k(k?1,2,?), 則有

AkAl?Ak?l,(Ak)l?Akl

(k,l為整數(shù))?3?10??54?1??, A?1?1A*?1?1012?3?

例1 A???211???55???1??1?14???01?

例2 設(shè)An?n滿足A2?2A?4E?O, 求(A?E)?1． 解

A2?2A?4E?O?A2?2A?3E?E

?(A?E)(A?3E)?E?(A?E)?1?A?3E

應(yīng)用：

(1)n階線性方程組求解 An?nx?b, detA?0?x?A?1b

(2)求線性變換的逆變換 y?An?nx, detA?0?x?A?1y

(3)矩陣方程求解

設(shè)Am?m可逆, Bn?n可逆, 且Cm?n已知, 則

AX?C?X?A?1C

XB?C?X?CB?1

AXB?C?X?A?1CB?1

?21??5?10??, C??20? 滿足AX?C?2X, 求X．

例3 設(shè)A???231???????35???2?16??

解

并項(xiàng)：(A?2E)X?C

計(jì)算：X?(A?2E)?1C

0??54?1??21??31

??1012?3??20???7?1?

?????5??1?1??01???35????1?1?1??1? 滿足A*X?A?1?2X, 求X．

例4 設(shè)A???111???1??1?1? 9

解

并項(xiàng)：

(A*?2E)X?A?1

左乘A： [(detA)E?2A]X?E

t?4

計(jì)算：

deA

X?(4E?2A)?1?1(2E?A)?12?110?1? ??011?4?

密碼問(wèn)題：

a?1, b?2,c?3, ? ,z?26

?123??01?1?

A???112? , A?1??2?2?1????

?012??????111??

action：1, 3, 20, 9, 15, 14 ?1??67??9??81?

加密：A??3???44????? , A??15???52?

?20????43???????14????43??發(fā)出∕接收密碼：67, 44, 43, 81, 52, 43 ?

解密：A?1?67??44?????1??3??? , A?1?81??52??9?????15??

??43????20????43????14??明碼：1, 3, 20, 9, 15, 14表示action

??101??§2.4 分塊矩陣

?1??1

A???0??0?1??1

A???0??00?11?010????A1102?1???A21?00?3?0?11?010????B102?1??00?3?A12? ?A22?B2B3B4?

用若干條橫線與縱線將矩陣A劃分為若干個(gè)小矩陣, 稱這些小矩陣 為A的子矩陣, 以子矩陣為其元素的矩陣稱為分塊矩陣．

特點(diǎn)：同行上的子矩陣有相同的“行數(shù)”；

同列上的子矩陣有相同的“列數(shù)”．

?A11?A1r??B11?B1r?????????B??, m?n????

???As1?Asr???Bs1?Bsr??

1.加法：Am?n?A11?B11?A1r?B1r?????

A?B??? ??As1?Bs1?Asr?Bsr?? 要求：A與B同階, 且分塊方式相同．

2.數(shù)乘：kAm?n?kA11?kA1r????????

??kAs1?kAsr??

3.乘法：Am?l?A11?A1t??B11?B1r?????????B??, l?n????

???As1?Ast???Bt1?Btr??

Cij??Ai1?B1j????Ait?????Ai1B1j???AitBtj

?Btj??? 11 ?C11?C1r????

AB???? ??Cs1?Csr?? 要求：A的列劃分方式與B的行劃分方式相同．

?1?0

例1 A????1??1012100100?0????E0???A21?1?10420?1????B111???B21?0?O? E??0?1??12

B???10???1?1E? B22??B11?

AB???A21B11?B21?1?E???1??A21?B22???2???1024110330?1?? 3??1?

4.轉(zhuǎn)置：Am?nT?A11?A11?A1r???T????A?, ?????A1Tr??As1?Asr????AsT1???? T??Asr? 特點(diǎn)：“大轉(zhuǎn)”+“小轉(zhuǎn)”

5.準(zhǔn)對(duì)角矩陣：設(shè)A1,A2,?,As都是方陣, 記

?A1?A1,A2,?,As)??

A?dia(g?????? ???As?A2

性質(zhì)：(1)detA?(detA1)(detA2)?(detAs)

(2)A可逆?Ai(i?1,2,?,s)可逆

(3)Ai(i?1,2,?,s)可逆?A?1?A1?1????????1A2??? ???As?1???500??A1??

例2 A?031????O????021??A1?1?1

A???OO? A2??00??15?O?0? ?1?1?1???A2??0?23????AO??1M

例3 設(shè)Am?m與Bn?n都可逆, Cn?m, M??, 求． ??CB? 解 detM?(detA)(detB)?0?M可逆

?X1

M?1???X3X2? , X4???AO??X1?CB??X???3?X1??X2??X3??X4X2??Em???X4??O?A?1?O??BCA?B?1?1?1O? ?En??AX1?Em?AX?O?2

?

?CX1?BX3?O??CX2?BX4?En

M

?1?A?1O? ???1?1???BCAB?課后作業(yè)：習(xí)題二 7(1)(3)(5), 8(2)(4), 10～14

第四篇：Matlab 與線性代數(shù)教案

Matlab 與線性代數(shù)

一、Matlab 入門：

1.啟動(dòng)、退出、運(yùn)行： 2.窗口介紹： 3.基本符號(hào)： =：賦值符號(hào)

[ ]：數(shù)組定義符號(hào) , 區(qū)分列 函數(shù)參數(shù)分隔符;區(qū)分行 取消運(yùn)行顯示 % 注釋標(biāo)記

: 具有多種應(yīng)用功能

4.matlab的變量(區(qū)分大小寫): 預(yù)定義變量: ans

pi 相關(guān)命令: format(顯示格式 rat long short)

who whos clear

5.M 文件（純文本文件，擴(kuò)展名為.m）建立 修改 保存 運(yùn)行

二、Matlab 與線性代數(shù)的基本運(yùn)算

1.矩陣的輸入

數(shù)字矩陣：A=[1 2 3;3 2 1]

或 A=[1, 2, 3;3, 2, 1] 或 A=[1 2 3 2 1]

符號(hào)矩陣(顯示出來(lái)元素之間有逗號(hào)): 定義符號(hào)變量 sym syms

用法：(1).sym(‘[a,b,c;b,c,a]’)或 sym(‘[a b c;b c a]’)

(2).syms a b c

A=[a b c;b c a]

2.產(chǎn)生特殊矩陣的函數(shù)：

zeros(m,n)zeros(n)

ones(m,n)ones(n)eye(n)

magic(n)rand(m,n)randn(n)% 產(chǎn)生（0,1）區(qū)間均勻分布的隨機(jī)矩陣

3.相關(guān)命令：

round(A)% 表示對(duì)矩陣A中所有元素進(jìn)行四舍五入 length(A)% 返回A的長(zhǎng)度（列數(shù)）size(A)% 返回Ａ的尺寸，行數(shù) 列數(shù) A(i,j)% 引用矩陣A的第i行第j列元素

4.矩陣的基本運(yùn)算

(1).+-*.*

(2).轉(zhuǎn)置 A’

(3).方陣的冪：A^3

5.求向量組的極大無(wú)關(guān)組

A?[?1,?2,?3 ]

(1).U=rref(A)% U為A的行最簡(jiǎn)形

(2).[U,s]=rref(A)% U為A的行最簡(jiǎn)形, s為首非零元所在列組成的向量

(3).rrefmovie(A)% 返回A的行最簡(jiǎn)形，且給出每一步化簡(jiǎn)過(guò)程

6.求線性方程組的解

情形1。Ax=b，其中A為n階可逆陣

法1： x=inv(A)*b 或 x=A^(-1)*b

法2： U=rref([A,b])% 返回值U為矩陣的行最簡(jiǎn)形，最后一列即為解x。

情形2。Ax=0, 其中A 為m*n 矩陣，R(A)=r

法1：U=rref(A), 選定自由變量，得到一組基礎(chǔ)解系

法2：z=null(A)

% z的列向量為Ax=0的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。

情形3。Ax=b, 其中A 為m*n 矩陣, 求通解

U=rref([A,b])從最后一列找特解，前n列找導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，然后按格式寫

出Ax=b的通解。（或先寫出以U為增廣矩陣的同解方程組也可。）

?6x1?3x2?2x3?3x4?4x5?5??4x1?2x2?x3?2x4?3x5?4

例子: ?.4x?2x?3x?2x?x?02345?1?2x?x?7x?3x?2x?112345?(4).(5).(6).(7).方陣行列式 det(A)方陣的秩 rank(A)方陣的逆 inv(A)或 A^(-1)矩陣的除法 左除 右除/

AB=C

則 A=C/B B=AC 輸入：A=[6 3 2 3 4;4 2 1 2 3;4 2 3 2 1;2 1 7 3 2];

b=[5 4 0 1]’;

U=rref([A,b])?1?0得到：U???0??01/200001000010?3/4?17/20?3/2???2? 6??0???3/2???0??取x2,x5為自由變量，令x2?0,x5?0得Ax=b的特解?*???2?

??6???0???

??1/2??3/4?????10?????x2??1??0?分別令?????和??得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為：?1??0?，?2??1?

?????x5??0??1?0?7/2?????0??1?????3x2?4x5?x1??12?x3?x5或：導(dǎo)出組Ax=0的同解方程組：?，x2,x5為自由變量，分別令?x4??7x52???1/2??3/4?????10????x2?1,x5?0和x2?0,x5?1得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為：?1??0?，?2??1?。

????0?7/2?????0??1?????7.求矩陣的特征值與特征向量

(1).d=eig(A)% d為矩陣A的特征值構(gòu)成的向量

(2).[V,D]=eig(A)% D為A 的特征值構(gòu)成的對(duì)角陣，V 的列為A的單位特征向

量，與D中的特征值對(duì)應(yīng)，滿足：A?VDV8.Schmidt 正交化方法

B=orth(A)% B的列向量為A的列空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，換句話說(shuō)，B的列是

A的列向量的正交標(biāo)準(zhǔn)化，滿足B*B?eye(rank(A))。

9.用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

先寫出所給二次型的矩陣A，則A為實(shí)對(duì)稱矩陣，[V,D]=eig(A)% D 為A的特征值構(gòu)成的對(duì)角陣，V的列向量為A的正交單位特征

向量，次序與D的元素對(duì)應(yīng)。滿足VAV?D?VT?1'?1，即AV?VD。

AV。

第五篇：線性代數(shù)--中國(guó)科技大學(xué)--典型教案

典型教案

第一章

線性方程組的解法

線性方程組就是一次方程組。

先來(lái)分析中學(xué)數(shù)學(xué)怎樣解二元一次方程組?？此脑砗头椒ㄊ欠窨梢酝茝V到一般的多元一次方程組。

例

1、解方程組

3x+4y=2

(1)

2x-5y=9

(2)

解、用加減消去法消元：

5x(1)式+4x(2)式：23x=46

(3)

2x(1)式-3x(2)式： 23y=-23(4)由（3）和（4）解出

x=2，y=-1。代入（1），（2）式檢驗(yàn)知道它是原方程組的解。

以上解法的基本原理是: 由原方程(1)、(2)分別乘以適當(dāng)?shù)某?shù)再相加，得到 各消去了一個(gè)未知數(shù)的新方程(3)、(4), 從中容易解出未知數(shù)的值來(lái).將一組方程分別乘以常數(shù)再相加，得到的新方程稱為原來(lái)那一組方程的線性組合。原來(lái)那一組方程的公共解一定是它們的任意一個(gè)線性組合的解。

新方程(3)、(4)都是原方程(1)、(2)的線性組合,(1)、(2)的公共解一定是(3)、(4)的解.但反過(guò)來(lái), 由(3)、(4)求出的解是否一定是(1)、(2)的解？ 這卻并不顯然。

因此需要將(3)、(4)的解代入(1)、(2)檢驗(yàn)。

或者說(shuō)明(1)、(2)也是(3)、(4)的線性組合。從而由(3)、(4)組成的方程組與原方程組同解.1.1.方程組的同解變形

1.線性方程組的定義

2.方程的線性組合:

方程的加法

方程乘以常數(shù)

方程的線性組合: 將 m 個(gè)方程分別乘以m 個(gè)已知常數(shù)，再將所得的m 個(gè)方程相加, 得到的新方程稱為原來(lái)那 m 個(gè)方程的一個(gè)線性組合

容易驗(yàn)證: 如果一組數(shù)(c_1,c_2,…,c_n)是原來(lái)那些方程的公共解, 那么它也是這些方程的任一個(gè)線性組合的解.注意: 線性組合的系數(shù)中可以有些是 0, 甚至可以全部是 0.如果某些系數(shù)是 0, 所得到的線性組合實(shí)際上也就是系數(shù)不為 0 的那些方程的線性組合。

如果方程組(II)中每個(gè)方程其余都是方程組(I)中的方程的線性組合, 就稱方程組(II)是方程組(I)的線性組合.此時(shí)方程組(I)的每一組解也都是方程組(II)的解。

如果方程組(I)與方程組(II)互為線性組合, 就稱這兩個(gè)方程組等價(jià)。此時(shí)兩個(gè)方程組的同解。將方程組(I)變成方程組(II)的過(guò)程是同解變形。

解方程組的基本方法, 就是將方程組進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐庾冃? 直到最后得到的方程組的可以寫出來(lái)為止.3.基本的同解變形:

定理

1、方程組的以下三種變形是同解變形：

1.交換其中任意兩個(gè)方程的位置, 其余方程不變。

2.將任一個(gè)方程乘以一個(gè)非零的常數(shù), 其余方程不變。

3.將任一方程的 $la$ 倍加到另一方程上, 其余方程不變。

證、只須證明原方程組(I)與變形后得到的新方程組(II)互為線性組合。

定理 1 所說(shuō)的線性方程組的三類同解變形, 稱為線性方程組的初等變換。

這三類初等變換都是可逆的：如果方程組(I)通過(guò)初等變換變成了方程組(II), 則方程組(II)也可以通過(guò)初等變換變回(I)。

1.2.用消去法解方程組

反復(fù)利用定理 1 中所說(shuō)的三種初等變換, 可以將線性方程組消元,求出解來(lái)。

例

1、解線性方程組（略）

以上是方程組有唯一解的例子。解的每個(gè)分量都是由方程組的系數(shù)經(jīng)過(guò)加、減、乘、除四則運(yùn)算得到.如果原方程組的系數(shù)都是實(shí)數(shù), 由于實(shí)數(shù)集合對(duì)加、減、乘、除四則運(yùn)算封閉(當(dāng)然除數(shù)不允許為 0), 方程組的唯一解的所有分量就都是實(shí)數(shù)。同樣, 有理數(shù)集合對(duì)加、減、乘、除運(yùn)算也封閉, 因此有理系數(shù)線性方程組的唯一解的分量也都是有理數(shù).還可以考慮一般的系數(shù)范圍, 只要它們對(duì)加、減、乘、除四則運(yùn)算封閉。

定義、設(shè) F 是復(fù)數(shù)集合的子集, 至少包含一個(gè)非零的數(shù), 并且在加、減、乘、除運(yùn)算下封閉(除數(shù)不為 0), 就稱 F是數(shù)域。

例：復(fù)數(shù)集合 C、實(shí)數(shù)集合 R、有理數(shù)集合 Q。

按照這個(gè)術(shù)語(yǔ), 我們有: 如果線性方程組的系數(shù)都在某個(gè)數(shù)域 F的范圍內(nèi), 并且這個(gè)方程組有唯一解, 則解的分量也都在 F 的范圍內(nèi)。

以后, 凡是談到線性方程組, 總假定它的系數(shù)全都在某個(gè)數(shù)域 F 中, 稱它為F 上的線性方程組。解這個(gè)線性方程組的過(guò)程就只涉及到 F 中的數(shù)之間的加、減、乘、除四則運(yùn)算。

以上在解方程組的過(guò)程中, 實(shí)際上只對(duì)各方程中各項(xiàng)的系數(shù)進(jìn)行了運(yùn)算(加、減、乘、除運(yùn)算), 每次將代表未知數(shù)的字母抄寫一遍實(shí)際上是一種累贅.為了書寫的簡(jiǎn)便, 更為了突出解方程組中本質(zhì)的東西---系數(shù)的運(yùn)算, 我們采用分離系數(shù)法,將線性方程組中代表未知數(shù)的字母略去, 將等號(hào)也略去, 只寫出各方程的各系數(shù)。將每個(gè)方程的各項(xiàng)系數(shù)從左到右依次寫成一行, 將各方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)上下對(duì)齊, 常數(shù)項(xiàng)也上下對(duì)齊, 這樣得到一矩形數(shù)表, 來(lái)表示這個(gè)方程組。

例。

定義、對(duì)任意自然數(shù) m,n, 由數(shù)域 F 中 m x n 個(gè)數(shù)排成 m 行、n 列所得到的數(shù)表, 稱為F 上的m x n矩陣。按照這個(gè)定義, 由 m 個(gè) n 元線性方程組成的方程組用m行n+1列矩陣表示。每一行代表一個(gè)方程。每一列是同一未知數(shù)的系數(shù)或常數(shù)項(xiàng)。

定義、由數(shù)域 F 中 n 個(gè)數(shù) a_i排成的有序數(shù)組(a_1,a_2,…,a_n)稱為 F 上的 n 數(shù)組向量。所有分量都為 0 的向量稱為零向量。

F 上全體n數(shù)組向量組成的集合稱為 F 上的 n 數(shù)組向量空間, 記作 F^n

特別, 每個(gè)線性方程用行向量表示.方程組的解在平常也可以用行向量表示, 以節(jié)省空間.但我們將看到, 作理論分析時(shí), 用列向量來(lái)表示方程組的解有它的 優(yōu)越性.將線性方程用向量表示, 線性方程組用矩陣表示之后, 線性方程的加法、數(shù)乘、線性組合等運(yùn)算, 以及線性方程組的初等變換, 就對(duì)應(yīng)于向量的如下運(yùn)算和矩陣的如下基本變形。

n數(shù)組向量的加法，數(shù)乘，線性組合。

矩陣的三類初等行變換。

矩陣的三類初等行變換對(duì)應(yīng)于線性方程組的三類基本同解變形。用基本同解變形對(duì)線性方程組消元的過(guò)程, 也就是用初等行變換將盡可能多的矩陣元素化為零的過(guò)程。

例。

附件5

教學(xué)效果調(diào)查報(bào)告

線性代數(shù)是一門比較困難的基礎(chǔ)課程，是學(xué)生從具體的內(nèi)容到抽象內(nèi)容過(guò)渡需要通過(guò)的一個(gè)難關(guān)。特別是數(shù)學(xué)專業(yè)的線性代數(shù)，難度就更大。由于我們采用了從問(wèn)題出發(fā)、啟發(fā)式的教學(xué)方法，在引入抽象的概念時(shí)盡量從解決具體問(wèn)題的需要出發(fā)、以比較自然的方式來(lái)引入，便于學(xué)生理解其背景和實(shí)質(zhì)。這種教學(xué)方法收到很好的效果，學(xué)生普遍克服了害怕線性代數(shù)的情緒，培養(yǎng)了對(duì)這門課程乃至對(duì)代數(shù)學(xué)科的興趣。2000年上學(xué)期，學(xué)校教務(wù)處對(duì)全校435門課程進(jìn)行了教學(xué)檢查，由學(xué)生對(duì)授課教師課堂教學(xué)質(zhì)量評(píng)分。在以前這類檢查中，一般是比較易懂的課程更容易得到高分，而比較困難的課程難于得到高分。但在這次檢查中，李尚志教授承擔(dān)的《線性代數(shù)》課，以測(cè)評(píng)分4.89分的高分在全?？偣?35門課程中名列第三。這反映了該課程建設(shè)取得的很好的教學(xué)效果。