第一篇:線性代數(shù)教案
第一章
線性方程組的消元法與矩陣的初等變換
教學(xué)目標(biāo)與要求
1.了解線性方程組的基本概念
2.掌握矩陣的三種初等變換 教學(xué)重點(diǎn)
運(yùn)用矩陣的初等變換解一般的線性方程組 教學(xué)難點(diǎn)
矩陣的初等變換
§1.1 線性方程組的基本概念
一、基本概念
定義:m個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的線性方程組為如下形式:
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn(1)????????????????am1x1?am2x2???amnxn?bm稱(1)為非齊次線性方程組;當(dāng)b1?b2???bm?0時(shí)則稱為齊次線性方程組。方程組(1)
a12a22?am2?a1n???a2n?為系????amn???a11??a21TA?的一個(gè)解為:x?(c1,c2,?,cn)(或稱為解向量);此時(shí)稱????a?m1?a11a12?a1n??a21a22?a2n數(shù)矩陣,稱B???????a?m1am2?amn
二、線性方程組的消元法
b1??b2?為增廣矩陣。???bm???2x1?x2?3x3?1?例1:解線性方程組?4x1?2x2?5x3?4
?2x?2x?63?1?2x1?x2?3x3?1?2x1?x2?3x3?1?2x1?x2?3x3?1???解:?4x2?x3?2,?x2?x3?5,?x2?x3?5;
?x?x?5?4x?x?2?3x??18?23?23?3?2x1?x2?3x3?1?2x1?x2?19?2x1?18?x1?9????
?x2?x3?5,?x2??1,?x2??1,?x2??1
?x??6?x??6?x??6?x??6?3?3?3?3從上面可以看出,整個(gè)消元過程和回代過程都只與x1,x2,x3的系數(shù)有關(guān),且僅用了以下3種變換:①交換兩行;②某行乘k倍;③某行乘k倍加至另一行(即初等行變換)。
故我們隱去x1,x2,x3,?,得到一個(gè)數(shù)字陣(即矩陣B),對(duì)B進(jìn)行初等行變換:
?2?131??2?131??2?131???????B??4254???04?12???01?15?
?2026??01?15??04?12???????1??2?131??2?1019??2?13????????01?15???01?15???010?1? ?003?18??001?6??001?6????????20018??1009???????010?1???010?1? ?001?6??001?6?????1??2?13?1009?????其中?01?15?稱為行階梯形矩陣,?010?1?稱為行最簡(jiǎn)形矩陣。
?003?18??001?6?????
三、小結(jié)
例1告訴我們求解一般的線性方程組的基本方法:對(duì)其增廣矩陣B進(jìn)行3種初等行變換,把它變?yōu)樾须A梯形矩陣,再最終變成行最簡(jiǎn)形矩陣,然后從中讀出所需的解。
四、一般解和通解
?x1?2x2?x3?2x4?1?例2:解方程組?2x1?4x2?x3?x4?5
??x?2x?2x?x??4234?1解:
2?121??12?121??12?121??1??????B??24115???003?33???003?33?
??1?2?21?4??00?33?3??00000????????12?121??12012???????001?11???001?11? ?00000??00000?????即??x1?2x2?x4?2?x1?2?2x2?x4,亦即一般解為?,其中x2,x4為自由未知量。
?x3?x4?1?x3?1?x4?x1?2?2c1?c2?x?c?21令x2?c1,x4?c2,得方程組的通解為?
?x3?1?c2??x4?c2注意:自由未知量的取法并不唯一。
?a11x1?a12x2???a1nxn?0?ax?ax???ax?0?2112222nn2、定理:在齊次線性方程組?中,若m?n(即方程
???????????????am1x1?am2x2???amnxn?0的個(gè)數(shù)小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)),則它必有非零解。
五、習(xí)題
P11 T1(2)
T2
§1.2 矩陣的初等變換
一、矩陣及其初等變換
1、定義:稱由m?n個(gè)數(shù)aij(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)排成的m行n列的數(shù)表
?a11??a21A?????a?m1a12a22?am2?a1n???a2n?為矩陣,簡(jiǎn)記為A?(aij)m?n。????amn??
二、矩陣的初等行(列)變換
①交換兩行(列); ②某行(列)乘k倍;
③某行(列)乘k倍加至另一行(列)。
三、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形
定理:任意一個(gè)m?n的矩陣A,總可以經(jīng)過初等變換(包括行變換和列變換)化為如?1??0???下的標(biāo)準(zhǔn)形:F??0?0?????00?00?0??1?00?0????????Er0?10?0?即Am?n?F???O??0?00?0???????0?00?0?O?? ?O?其中1的個(gè)數(shù)r就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)。
四、習(xí)題
P18
T1(4)(5)
T2(1)
T3 P19 總復(fù)習(xí)題:T3
T4
第二章
行列式
教學(xué)目標(biāo)與要求
1.會(huì)用對(duì)角線法則計(jì)算二階行列式和三階行列式
2.理解排列、逆序數(shù)的概念,掌握n階行列式的定義及其重要性質(zhì) 3.理解并會(huì)靈活運(yùn)用行列式的展開公式,掌握范德蒙德行列式的結(jié)論 4.掌握克拉默法則及其應(yīng)用 教學(xué)重點(diǎn)
1.n階行列式的重要性質(zhì)
2.n階行列式展開公式的運(yùn)用以及范德蒙德行列式的結(jié)論
3.克拉默法則的運(yùn)用 教學(xué)難點(diǎn)
1.n階行列式的重要性質(zhì)及其展開公式 2.克拉默法則的運(yùn)用
§2.1 二階和三階行列式 一、二階行列式
?a11x1?a12x2?b1?a11a12??
1、引例:對(duì)于線性方程組?(1),其系數(shù)矩陣為A?? ???a21x1?a22x2?b2?a21a22?
用消元法解得 ??(a11a22?a12a21)x1?b1a22?b2a12(2)
?(a11a22?a12a21)x2?b2a11?b1a21a12?a11a22?a12a21稱為二階行列式,記D?A?detA
a12a11b1,D2? a22a21b22、定義:D?a11a21a22a11a12b1?Dx1?D1那么(2)可以表示為?,其中D?,D1?aab2Dx?D21222?2從而x1? 二、三階行列式 D1D,x2?2。DD?a11x1?a12x2?a13x3?b1?a11a12??ax?ax?ax?b1、定義:對(duì)于三元線性方程組?211a222222332,記A??a21?ax?ax?ax?b?a3?31a32?311322333a11稱D?A?detA?a21a13?? a23?,a33??a12a22a32a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32 a33a
31?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31 為三階行列式。
a112、三對(duì)角線法則(記憶):D?a21a12a22a32a13a11a23a21a33a31a12a22 a32a31
三、習(xí)題
P25 T1(2)(3)(5)
T2
T3
§2.2 n階行列式的定義和性質(zhì)
一、排列與逆序數(shù)
1.定義1:由1,2,?,n組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n級(jí)排列。(n級(jí)排列共有n!個(gè))定義2:在一個(gè)排列中,如果一對(duì)數(shù)的前后位置與大小順序相反,即前面的數(shù)大于后面的數(shù),那么它們就稱為一個(gè)逆序,一個(gè)排列中逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù),記作?。)?4?0?2?1?0?7(奇排列)例:?(25431;)?14?1?2?1?0?8(偶排列)
?(5243。
定理:對(duì)換改變排列的奇偶性;在全部n級(jí)排列中,奇、偶排列的個(gè)數(shù)相等,各有
二、n階行列式的定義
n!個(gè)。21.定義:n階矩陣A?(aij)n?n?a11??a??21???a?m1a12a22?am2?a1n???a2n?,則n階行列式定義如下: ????amn??a11 D?A?a12?a1np1p2?pna21?an1a22?a2n???an2?ann?(?1)?(p1p2?pn)a1p1a2p2?anpn
這里,?表示對(duì)1,2,?,n這n個(gè)數(shù)的所有排列p1p2?pn求和。即n階行列式是指n!項(xiàng)取自不同行不同列的n個(gè)元素乘積的代數(shù)和。
2、例:(常用結(jié)論)
a11(1)
a11a22?ann0?a11a22?ann??0n(n?1)2a12?a1na110?00 ?a22?a2na21?????0?annan1a22???an2?ann?1(2)?2??(?1)?1?2??n
?n3、n階行列式的等價(jià)定義
定理:D??1??2(?1)ai1j1ai2j2?ainjn;其中?1為行標(biāo)排列i1i2?in的逆序數(shù),?2為列?標(biāo)排列j1j2?jn的逆序數(shù)。
三、行列式的性質(zhì)
設(shè)n階矩陣A?(aij)n?n的行列式為D?A,則D有如下性質(zhì):
T①A?A;
②交換兩行(列),則D變號(hào);
③提公因子:某行(列)所有元素的公因子可以提到D的外面。
特別地,若某行(列)為0,則D?0;若某兩行(列)成比例,則D?0。④拆和:若D中某行(列)的元皆為兩項(xiàng)之和,則D等于兩個(gè)行列式的和。⑤某行(列)乘k倍加至另一行(列),則D不變。
123例:②如211111211234??234;③如3?39?3?21?13
***123123④如456?123?333;
1?1?21?1?21?1?2111111111111⑤如?23?3?4?0?1?2?0?1?2?0?1?2?0 45345012000
注意:計(jì)算行列式的常用方法:(1)利用定義;
(2)利用性質(zhì)把行列式化為上(下)三角形行列式,從而算得行列式的值;(3)利用展開公式(下一節(jié))。
四、習(xí)題
P36
T1
T4
T5(3)(4)(8)
T6(1)
§2.3 行列式的展開公式
一、余子式與代數(shù)余子式
1、定義:在n階行列式det(aij)中,劃去元aij所在的第i行和第j列的元后,剩下的元按原來的順序所構(gòu)成的n?1階行列式稱為aij的余子式,記作Mij;又記Aij?(?1)i?jMij,稱Aij為aij的代數(shù)余子式。
142.如:***中,a11?1的余子式為M11?412,代數(shù)余子式為 23411234A11?(?1)1?1M11?M11,a21?4的余子式為M21?412,代數(shù)余子式為
341A21?(?1)2?1M21??M21,二、展開公式
定理:n階行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和。即可按第i行展開
D?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin(i?1,2,?,n)
或可按第j列展開
D?a1jA1j?a2jA2j???anjAnj(j?1,2,?,n)
14如:322143321443?1?A11?2?A12?3?A13?4?A14?1?A11?4?A21?3?A31?2?A41 21
2、講解P42例2和例3
三、范德蒙德行列式
1x1Dn?x12?x1n?1 1x22x2?n?1x21x32x3?1??1xn2?xn?1?i?j?n?(xj?xi)
n?1n?1x3?xn推論:行列式某行(列)的元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。即
ai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn(i?j)或
a1iA1j?a2iA2j???aniAnj(i?j)
11例證:如322243331444?1A11?2A12?3A13?4A14?a21A11?a22A12?a23A13?a24A14?0
21四、習(xí)題
P46
T2(3)(4)(5)
§2.4 克拉默法則
一、克拉默法則
定理1:含有n個(gè)未知數(shù)x1,x2,?,xn與n個(gè)方程的線性方程組
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn
2?
(1)
???????????????an1x1?an2x2???annxn?bn
稱(1)為非齊次線性方程組;當(dāng)b1?b2???bn?0時(shí)稱為齊次線性方程組。
如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式D?A?0(這里A?(aij)n?n),那么(1)有唯一解,且解為xj?DjD(j?1,2,?,n),其中Dj(j?1,2,?,n)是把D中第j列元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)替代后所得到的n階行列式。
推論:
(1)如果線性方程組(1)無解或至少有兩個(gè)不同的解,那么它的系數(shù)行列式D?0。
(2)如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式D?0,那么它只有零解;如果齊次線性方程組有非零解,那么它的系數(shù)行列式D?0。
注意:用克拉默法則解線性方程組的兩個(gè)條件:①方程個(gè)數(shù)等于未知數(shù)個(gè)數(shù);②系數(shù)行列式不等于零。克拉默法則的意義主要在于建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系。它主要適用于理論推導(dǎo)。
二、習(xí)題
P50
T2 T3 ;
P51 總復(fù)習(xí)題:T1 T2 T3
T6
第三章
矩陣
教學(xué)目標(biāo)與要求
1.理解矩陣的概念,掌握矩陣的3種運(yùn)算(加法、數(shù)乘、乘法),以及它們的運(yùn)算律
2.熟記幾種特殊矩陣(單位陣、對(duì)角陣、數(shù)量矩陣、三角陣、轉(zhuǎn)置矩陣、對(duì)稱和反對(duì)稱陣)及其性質(zhì),掌握方陣行列式的性質(zhì)
3.掌握伴隨矩陣和逆矩陣的定義及其性質(zhì),熟悉逆矩陣的運(yùn)算規(guī)律 4.了解分塊矩陣的運(yùn)算律,以及常用結(jié)論
5.理解初等矩陣與初等變換之間的關(guān)系,掌握初等變換求逆矩陣的方法 6.掌握矩陣的秩的概念及其性質(zhì),會(huì)用初等變換求矩陣的秩 教學(xué)重點(diǎn)
1.矩陣乘法的運(yùn)算律和方陣行列式的性質(zhì)
2.逆矩陣和伴隨矩陣的運(yùn)算性質(zhì),以及初等變換法求逆矩陣
3.矩陣的秩的性質(zhì),以及初等變換法求矩陣的秩 教學(xué)難點(diǎn)
1.逆矩陣的概念,以及求逆的方法 2.矩陣的秩的概念,以及求秩的方法
§3.1 矩陣的概念及其運(yùn)算
一、矩陣的概念
1、定義:稱由m?n個(gè)數(shù)aij(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)排成的m行n列的數(shù)表
?a11??a21A?????a?m1a12a22?am2?a1n???a2n?為矩陣,簡(jiǎn)記為A?(aij)m?n?Am?n。????amn??矩陣的相等:Am?n?Bm?n?aij?bij(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)
?b1????b2?行矩陣(行向量):A?(a1,a2,?,an);列矩陣(列向量):A???
????b??n?
二、矩陣的運(yùn)算
1、矩陣的加法
定義1:設(shè)A?(aij)m?n,B?(bij)m?n,則A?B?(aij?bij)m?n
注意:兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)才能進(jìn)行加法運(yùn)算。
矩陣的加法滿足下列運(yùn)算律(設(shè)A,B,C都是m?n矩陣):(1)交換律:A?B?B?A;
(2)結(jié)合律:(A?B)?C?A?(B?C)(3)負(fù)矩陣A?(?A)?0,規(guī)定減法運(yùn)算:A?B?A?(?B)
2、矩陣的數(shù)乘
??a11??a21定義2:數(shù)?與矩陣A的乘積記作?A或A?,規(guī)定為?A???????am1?a12??a1n??a22??a2n????am2?????amn?;
矩陣的數(shù)乘滿足下列運(yùn)算律(設(shè)A,B都是m?n矩陣,?,?為數(shù)):(1)(??)A??(?A);
(2)(???)A??A??A;(3)?(A?B)??A??B;
(4)1?A?A;(5)?A?0???0或A?0
3、矩陣的乘法
定義3:設(shè)A?(aij)m?s,B?(bij)s?n,那么矩陣A與矩陣B的乘積是一個(gè)m?n矩陣C?(cij)m?n,其中
cij?ai1b1j?ai2b2j???aisbsj??aikbkj(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)
k?1s記為Cm?n?Am?sBs?n(A的列數(shù)等于B的行數(shù))。
例1:求矩陣A???4???24??2??與B????3?6??的乘積AB與BA。1?2???? 解:AB???4???16?32???24??2???? ???????16??1?2???3?6??8
BA???4???24??00??2???????AB ???????3?6??1?2??00?例1說明:矩陣的乘法不滿足交換律,即一般地AB?BA。若AB?BA,則稱方陣A與B可交換。矩陣的乘法滿足下列運(yùn)算律:
(1)結(jié)合律:(AB)C?A(BC)
(2)?(AB)?(?A)B?A(?B)(3)分配律:A(B?C)?AB?AC,(B?C)A?BA?CA
例2:舉例說明下列命題是錯(cuò)誤的(1)若A?0,則A?0;
2(2)若A?A,則A?0或A?E; 2(3)若AX?AY,且A?0,則X?Y。
?11??10??10??10?
解:(1)A??(2)A??(3)A?X????1?1??;?00??;?00??,Y???01??。
????????
三、方陣的冪及方陣多項(xiàng)式
1、定義:設(shè)A是n階方陣,則A1?A,A2?A?A,?,Ak?1?Ak?A
klk?lklkl方陣的冪滿足的運(yùn)算律:(1)AA?A;(2)(A)?A
2、方陣多項(xiàng)式
設(shè)f(x)?a0xm?a1xm?1???am?1x?am(a0?0)為m次多項(xiàng)式,A為n階方陣,則 稱f(A)為方陣A的多項(xiàng)式。f(A)?a0Am?a1Am?1???am?1A?amE仍為一個(gè)n階方陣,四、習(xí)題
P61 T2(3)(4)(5)(8)
T3
T4
T6
§3.2 特殊矩陣與方陣行列式
一、特殊矩陣
1、單位矩陣
?1??0En?????0???1??0??????0?0?0??1?0?,性質(zhì):EA?AE?A ????0?1??n?n0?
2、對(duì)角矩陣
0???2?0??diag(?1,?2,?,?n)
????0??n??mm
性質(zhì):[diag(?1,?2,?,?n)]m?diag(?1,?m2,?,?n),m為正整數(shù)。
3、數(shù)量矩陣
??0???0???E??E??????00??
4、三角矩陣
0??0?,性質(zhì):?EA??AE??A ??????a12?a1n??a11??a22?a2n??a21或????????0?ann???an
1性質(zhì):A?a11a22?ann
5、轉(zhuǎn)置矩陣 ?a11??0A?????0?0?0??a22?0? ????an2?ann??如果A?(aij)m?n,則AT?(aij)n?m。
性質(zhì):(1)(A)?A;
(2)(A?B)?A?B;
(3)(?A)??A;
(4)穿脫原理:(AB)?BA
6、對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣
TT設(shè)A?(aij)n?n,如果A?A,則稱A為對(duì)稱矩陣;如果A??A,則稱A為反對(duì)稱TTTTTTTTTT矩陣。
二、方陣行列式
性質(zhì):①AB?AB?BA(A,B都是n階方陣)
n
②A?A n
③kA?knA
三、伴隨矩陣
定義:n階行列式A的各個(gè)元素的代數(shù)余子式Aij所構(gòu)成的如下矩陣
?A11??A12????A?1n稱為A的伴隨矩陣。
A21?An1??A22?An2?
????A2n?Ann??n?1*
例1:試證:(1)AA??A?A?AE;
(2)當(dāng)A?0時(shí),A?A
證明:(1)因?yàn)?/p>
?a11??a21*故AA?????a?n1?A,i?jai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn??(i,j?1,2,?,n)
?0,i?ja12?a1n??A11A21?An1??A0?0??????a22?a2n??A12A22?An2??0A?0????AE ?????????????????????an2?ann??A1nA2n?Ann??00?A??同理可得A*A?AE。
?(2)對(duì)A*A?AE兩邊取行列式,得AA?AE
*
即 AA?AE?A,所以當(dāng)A?0時(shí),A?A?nnn?1。
四、習(xí)題
P69 T1
T2
T6
T7
T8(2)
§3.3 逆矩陣
一、逆矩陣
1、定義:對(duì)于n階方陣A,如果有一個(gè)n階方陣B,使
AB?BA?E
?則稱A是可逆的,并把矩陣B稱為A的逆矩陣,記為B?A。
2、可逆的判定定理
定理:方陣A可逆?A?0;當(dāng)A可逆時(shí),A??11? A,其中A?為A的伴隨矩陣。
A?E。證明:必要性.因?yàn)锳可逆,即存在A,使AA?1?1?1?
1故AA?AA?E?1,所以A?0
充分性.由§3.3的例1可知 AA?AA?AE;因?yàn)锳?0,故有
??A1?1?A?AA?E AA?1?A。
A按照逆矩陣的定義,即有
A?1注意:當(dāng)A?0時(shí),稱A為非奇異矩陣,否則稱A為奇異矩陣??梢姡赡婢仃嚲褪欠瞧娈惥仃嚒M瑫r(shí),定理也提供了一種求逆矩陣的方法——伴隨矩陣法(公式法)。
?13、推論:若AB?E(或BA?E),則B?A。
證明:A?B?AB?E?1,故A?0,從而A存在,于是
?1B?EB?(A?1A)B?A?1(AB)?A?1E?A?1
二、逆矩陣的運(yùn)算律
方陣的逆矩陣滿足下列運(yùn)算律:
①若n階方陣A可逆,則A也可逆,且(A)②若A可逆,數(shù)??0,則?A可逆,且??A??1?1?1?1?A;
1??A?1;
?1③若A,B均為n階可逆方陣,則AB也可逆,且(AB)④若A可逆,且AB?AC,則B?C; ⑤若A可逆,則A也可逆,且(A)T; ?B?1A?1(穿脫原理)
T?1?(A?1)T;
⑥若A可逆,則A也可逆,且(A*)?1?(A?1)*;
⑦若A可逆,則(A*)T?(AT)*;
?1⑧若A可逆,則A?A?1*
⑨若A,B均為n階可逆方陣,則(AB)*?B*A*(穿脫原理)
證明: ①因?yàn)锳A?1?E,由推論可知,(A?1)?1?A
②因?yàn)?A?1?A?1?AA?1?E,由推論可知,??A???11?A?1
?1③(AB)(B?1A?1)?A(BB?1)A?1?AEA?1?AA?1?E,由推論有,(AB)?1?1④因?yàn)锳可逆,則AAB?AAC,即EB?EC,故B?C
?B?1A?1
⑤AT(A?1)T?(A?1A)T?ET?E,由推論有,(A)⑥因?yàn)锳可逆,故A?1T?1?(A?1)T
?1*AA1A,且A??A??E,從而(A*)?1?A; AAAA?
1又A(A)?(A)A?1?1*?1*?A?1E,即(A?1)*?AA?1E?1A A
所以(A)*?1?(A?1)*。
T*TT?1?1T⑦因?yàn)?A*)T?(AA?1)T?A(A?1)T,(A)?A(A)?A(A)
所以(A)?(A)
?1?1?1⑧因?yàn)锳A?E?1,即AA?1,所以A?*TT*1?1?A A⑨由AB?AB?0可知,AB也可逆。又(AB)(AB)*?ABE,所以(AB)*?AB(AB)?1?ABB?1A?1?BB?1AA?1?B*A*
?ab??1例
1、問A???cd??滿足什么條件時(shí)可逆,并求A。
??解:A?ad?bc,A????c???d?b??,當(dāng)A?ad?bc?0時(shí),A可逆; ?a?且
A
?1?1?d?b??? ??ad?bc??ca?例
2、設(shè)A是三階方陣,且A?解:(3A)?1?18A*?1?1*,求(3A)?18A 271?112A?18AA?1?A?1?A?1 333?(?1)A?1?(?1)3A?11? 33??27A??1
例
3、解矩陣方程?25????719?13???X?????411??? 解:X???25??1?719??3?5??719???1?13??????411????????12??????411???????1
三、習(xí)題
P75 T2
T3(3)
T6
T7
T9
2?3??? §3.4 分塊矩陣和初等矩陣
一、分塊矩陣
設(shè)An?n???O??A1O??B1??,B?n?n??OA2??O??,其中Ai與Bi(i?1,2)是同階的子方塊,則 ?B2?O?? A2B2??O?? ?1?A2??1?A2? O???A1?B1①A?B???O??A1k③A???O?k?A1B1??;
②AB???OA2?B2???O?A1?1O??1?;
④A??k??OA2???1?O?⑤A?A;
⑥A12?A?2A1??O??1???AO???1
二、初等矩陣
1、定義:由n階單位陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為n階初等矩陣。
2、三種初等變換對(duì)應(yīng)三種初等矩陣
(1)交換第i行和第j行;
對(duì)應(yīng)En(i,j)(2)第i行乘k倍;
對(duì)應(yīng)En(i(k))(3)第j行乘k倍加至第i行;
對(duì)應(yīng)En(i,j(k))
?24?例
1、將A???13??化為標(biāo)準(zhǔn)形。
??解:A????24??13??13??13??10???????????????B ??????????13??24??0?2??01??01?則
??0??10??01??1?3??1????0?1/2?????21????10??A?B 01????????12即 E2(1,2(?3))E2(2(?))E2(2,1(?2))E2(1,2)A?B
3、初等變換與初等矩陣的關(guān)系
定理1:設(shè)A是一個(gè)m?n矩陣,對(duì)A施行一次初等行變換,相當(dāng)于對(duì)A左乘一個(gè)相應(yīng)的m階初等矩陣;對(duì)A施行一次初等列變換,相當(dāng)于對(duì)A右乘一個(gè)相應(yīng)的n階初等矩陣。
三、初等變換求逆矩陣
定理2:對(duì)任意一個(gè)m?n矩陣A,總存在有限個(gè)m階初等矩陣P1,P2,?,Ps和n階初等矩陣Ps?1,Ps?2,?,Pk,使得P1?PsAPs?1?Pk???O?
?ErO???Fm?n ?O?m?n定理3:對(duì)于n階可逆矩陣A,總存在有限個(gè)n階初等矩陣P1,?,Ps,Ps?1,?,Pk,使得P1?PsAPs?1?Pk?En?n
定理4:設(shè)A為可逆矩陣,則有限個(gè)初等矩陣P1,P2,?,Pk,使得A?P1P2?Pk 推論:m?n矩陣A與B等價(jià)?存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q,使
PAQ?B,記為A?B。(等價(jià)關(guān)系具有反身性、對(duì)稱性、傳遞性)
因此,由定理3可知,方陣A可逆?A?E
由定理4可知,方陣A可逆?A?P,2,?,k為初等矩陣)1P2?Pk(Pi,i?
1由推論可知,A?B?存在可逆矩陣P,Q,使PAQ?B1、求逆方法的推導(dǎo):
?1?1?1由定理4的A?P1P2?Pk,得
Pk?P2P1A?E
(1)?1?1?1?1(1)式兩端分別右乘A,得
Pk?P2P1E?A
(2)
?
1上述兩式表明,用一樣的初等行變換將A變成E的同時(shí),會(huì)將E變成A。
2、求逆矩陣的基本方法
初等變換法:(A|E)?初等行變換????(E|A?1)或(3、解矩陣方程AX?B或XA?B(A可逆)
初等變換法:(A|B)?初等行變換????(E|A?1B)或()?????(四、習(xí)題
P91 T1
T2(1)(2)
T3
?1AE)?初等列變換????(?1)EAAB初等列變換E)BA?1§3.5 矩陣的秩
一、k階子式的概念
2m,n}),其交叉處的k個(gè)元素定義:在m?n矩陣A中,任取k行k列(1?k?min{按原來的位置構(gòu)成的一個(gè)k階行列式,稱為矩陣A的一個(gè)k階子式。
?1111???1111例:A??1234?,?1,?0等都是A的一個(gè)2階子式。
1200?0000???kk可知,m?n矩陣A的k階子式共有Cm個(gè)。Cn
二、矩陣的秩
定義:矩陣A的非零子式的最高階數(shù),稱為矩陣A的秩,記為R(A)。若R(A)?r,則A中至少有一個(gè)r階子式不為0,且所有r?1階子式都為0。
三、矩陣秩的性質(zhì)
m,n} ① 1?R(A)?min{② R(A)?R(A)
③ R(A)?r?A的行階梯形含r個(gè)非零行?A的標(biāo)準(zhǔn)形F???O?④ 若A~B則R(A)?R(B)(矩陣的初等變換不改變矩陣的秩)
⑤ 若P,Q可逆,則R(PAQ)?R(A)
⑥ max{A,B}?R(A,B)?R(A)?R(B);
特別地,當(dāng)B為列向量b時(shí),有R(A)?R(A,b)?R(A)?
1⑦ R(A?B)?R(A)?R(B)
⑧ R(AB)?min{R(A),R(B)}
⑨ 若Am?nBn?s?O,則R(A)?R(B)?n
例
1、設(shè)A為n階矩陣A的伴隨矩陣,證明 *T?ErO?? ?O?R(A)?n?n,?R(A*)??1,R(A)?n?1
?0,R(A)?n?1?
證明:
**(1)當(dāng)R(A)?n時(shí),則A可逆,即A?0;由AA?AE知A?An?1?0。故A*可逆,從而R(A)?n
(2)若R(A)?n?1,則AA?AE?0。故R(A)?R(A)?n,R(A)?n?R(A)?1。又由R(A)?n?1知矩陣A中至少有一個(gè)n?1階子式不為零,也就是說A中至少有一個(gè)元素不為零。所以R(A)?1,從而有R(A)?1。
*(3)若R(A)?n?1,則A的任意一個(gè)n?1階子式都為零。故A?0,即R(A)?0。
********?2?11?13???例
2、求A??4?2?232?的秩
?2?15?61????2?11?13??2?11?13??2?11?13???????解:?4?2?232???00?45?4???0045?4?
?2?15?61??00??4?5?2??????0000?6?
故R(A)?3
?1??2例
3、已知矩陣A??1??2?12a3??2314?的秩為3,求a的值
0115??3554??a3??112a3??112?????00?11?2a?2??00?11?2a?2?解:A?? ????0?1?11?a20?1?11?a2?????0115?2a?2??0006?3a0?????a3??112??0?1?11?a2??
因?yàn)镽(A)?3,所以6?3a?0,即a?2 ???00?11?2a?2???0006?3a0???
四、習(xí)題
P96 T2
T3(2)
T7
T8
P97 總復(fù)習(xí)題:T1 T2
T3
T4
T5
第四章
線性方程組理論
教學(xué)目標(biāo)與要求
1.掌握齊次和非齊次線性方程組解的判定定理和解的結(jié)構(gòu)定理
2.理解向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念,以及它們的判定方法
3.掌握向量組的秩和最大無關(guān)組的概念,會(huì)求向量組的秩
4.理解基礎(chǔ)解系的概念,會(huì)求齊次與非齊次線性方程組的通解 教學(xué)重點(diǎn)
1.齊次與非齊次線性方程組解的判定定理以及通解的求法 2.向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)的判定方法
3.向量組的最大無關(guān)組的求法和秩的求法 教學(xué)難點(diǎn)
1.齊次與非齊次線性方程組解的判定方法
2.向量組秩的概念及其求法
3.基礎(chǔ)解系的概念及其求法
§4.1 線性方程組有解的條件
一、線性方程組解的判定
1、非齊次線性方程組
定理1:對(duì)于非齊次線性方程組Am?nx?b(1),則
① 有唯一解?R(A)?R(A,b)?n
② 有無窮多解?R(A)?R(A,b)?n
③ 無解?R(A)?R(A,b)
2、齊次線性方程組
定理2:對(duì)于齊次線性方程組Am?nx?0(2),則 ① 僅有零解?R(A)?n ② 有非零解?R(A)?n
推論:當(dāng)m?n時(shí),An?nx?0有非零解?R(A)?n?A?0
定理3:矩陣方程AX?B有解?R(A)?R(A,B)
二、線性方程組的解法
?x1?2x2?3x3?0?例
1、求下列線性方程組的通解?2x1?5x2?3x3?0
?x?8x?04?130??1090??1230??12??????解:?2530???01?30???01?30?
?1008??0?2?38??00?98???????0??1008??109????0???010?8/3?
??01?3?001?8/9??001?8/9???????x1??8x4?x1???8?
?????x8/38?2?????x2?x4,令x4?1,得通解為:???k??(k?R)x8/93??3???
?1??x?8????4?x3?x4?9?
例
2、問?取何值時(shí),下列線性方程組(1)有唯一解;(2)無解;(3)有無窮多解?并在有無窮多解時(shí)求其通解。
??x1??x2?2x3?
1???x1?(2??1)x2?3x3?1
???x1??x2?(??3)x3?2??1??2??2解:A??2??13?0??11??(??1)(??1)????300??1由克拉默法則知,當(dāng)??0,???1,??1時(shí),方程組有唯一解。
?當(dāng)??0時(shí),B??0021??0?131???0?1?0?131?????0021????00???003?1????003?1????00因R(A)?2,R(B)?3,R(A)?R(B),所以方程組無解。
??1?121???1?12當(dāng)???1時(shí),B????1?331????1??0?210??
???1?12?3????000?4??因R(A)?2,R(B)?3,R(A)?R(B),所以方程組無解。
?1121??1121??當(dāng)??1時(shí),B???1131??????0010????1101??0010???1141????0020????0000??因R(A)?R(B)?2?3,所以方程組有無窮多解。
即??x?x?x1?1?k1?12x?0,令x?2?k,得其通解為:?x2?k(k?R)?3??x3?0
三、習(xí)題
P106 T1 T2 T3(2)T4 T5 T6 T7
31??21?0?5?
2??
§4.2 向量組的線性相關(guān)性
一、n維向量及其線性運(yùn)算
1.定義:由n個(gè)數(shù)a1,a2,?,an組成的有序數(shù)組稱為n維向量。稱n?1矩陣
?a1????a2?a???為n維列向量;其轉(zhuǎn)置aT??a1,a2,?,an?稱為n維行向量。其中ai稱為a的第i????a??n?個(gè)分量(i?1,2,?,n)。
2.運(yùn)算
①n維向量的相等;②零向量;③負(fù)向量;④加法;⑤數(shù)乘
二、向量組的線性組合
1.向量組
定義:由若干個(gè)同維的列向量(或行向量)所組成的集合,稱為一個(gè)向量組。
2.向量組與矩陣
?a1j????a2j?(j?1,2,?,n)為矩陣A的列設(shè)A?(aij)m?n,則A???1,?2,?,?n?,其中?j???????a??mj???1?????2?向量組;或A??,其中?i??ai1,ai2,?,ain?(i?1,2,?,m)為矩陣A的行向量組。
????????m?3.向量組與線性方程組
一個(gè)線性方程組Am?nx?b可以寫成:x1?1?x2?2???xn?n?b
4.向量組的線性組合
定義:設(shè)向量組A:?1,?2,?,?m,對(duì)于數(shù)k1,k2,?,km,我們稱k1?1?k2?2???km?m為向量組A的一個(gè)線性組合,k1,k2,?,km稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)。
5.線性表示
給定向量組A:?1,?2,?,?m和向量b,若存在一組數(shù)?1,?2,?,?m,使得
b??1?1??2?2????m?m 則稱向量b是向量組A的線性組合,也稱向量b可以由向量組A線性表示。
例:任何一個(gè)n維向量a??a1,a2,?,an?都可以由n維單位向量組:
Te1?(1,0,0,?,0)T,e2?(0,1,0,?,0)T,?,en?(0,0,?,0,1)T
線性表示。即a?a1e1?a2e2???anen。
顯然,向量b能由向量組A線性表示,也就線性方程組:x1?1?x2?2???xn?n?b有解。
6.定理1:向量b能由向量組A:?1,?2,?,?m線性表示的充要條件是R(A)?R(A,b),其中A?(?1,?2,?,?m)。
三、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)
設(shè)齊次線性方程組Am?nx?0,寫成向量形式:x1?1?x2?2???xn?n?0。若它有非零解,即存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,?,kn,使得k1?1?k2?2???kn?n?0。因此,我們引入如下概念。
1.線性相關(guān)與線性無關(guān)
定義:設(shè)有n維向量組A:?1,?2,?,?m,如果存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,?,km使
k1?1?k2?2???kn?n?0
則稱向量組A線性相關(guān);否則稱它線性無關(guān)。
注意:(特殊情形)
① 只有一個(gè)向量a的向量組線性相關(guān)?a?0
② 兩個(gè)向量a,b的向量組線性相關(guān)?a??b(即兩向量共線:對(duì)應(yīng)分量成比例)③ 三個(gè)向量線性相關(guān):幾何意義是三個(gè)向量共面。
④ 含有零向量的向量組一定線性相關(guān)。
定理2:向量組?1,?2,?,?m(m?2)線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個(gè)向量可由其余m?1個(gè)向量線性表示。
定理3:設(shè)向量組A:?1,?2,?,?m構(gòu)成矩陣A?(?1,?2,?,?m),則向量組A線性相關(guān)的充要條件是R(A)?m;向量組A線性無關(guān)的充要條件是R(A)?m。
推論1:當(dāng)向量的個(gè)數(shù)等于向量的維數(shù)時(shí),向量組A線性相關(guān)的充要條件是A?0;向量組A線性無關(guān)的充要條件是A?0。
推論2:m(m?n)個(gè)n維向量組成的向量組一定線性相關(guān)。推論3:任一個(gè)n維向量組中線性無關(guān)的向量最多有n個(gè)。
定理4:
(1)設(shè)向量組A:?1,?2,?,?m線性無關(guān),而向量組B:?1,?2,?,?m,b線性相關(guān),則向量b必能由向量組A線性表示,且表示法是唯一的。
(2)若向量組?1,?2,?,?r線性相關(guān),則向量組?1,?2,?,?r,?r?1,?,?n(n?r)必線性相關(guān);反之,若向量組?1,?2,?,?r,?r?1,?,?n(n?r)線性無關(guān),則向量組?1,?2,?,?r必線性無關(guān)。(部分相關(guān),整體相關(guān);整體無關(guān),部分無關(guān)。)
(3)若m個(gè)n維向量?1,?2,?,?m線性相關(guān),同時(shí)去掉其第i個(gè)分量(1?i?n)得到的m個(gè)n?1維向量也線性相關(guān);反之,若m個(gè)n?1維向量?1,?2,?,?m線性無關(guān),同時(shí)增加其第i個(gè)分量(1?i?n)得到的m個(gè)n維向量也線性無關(guān)。
四、習(xí)題
P116 T1(3)(4)T2 T3 T4(1)(2)T5 T6 T7 T8 T9(1)(3)
§4.3 向量組的秩
一、向量組的等價(jià)
定義1:設(shè)有向量組A:?1,?2,?,?m;向量組B:?1,?2,?,?s,若向量組A中的每一個(gè)向量都能由向量組B線性表示,則稱向量組A能由向量組B線性表示。如果向量組A和向量組B能相互線性表示,則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)。
命題1:若A,B為有限個(gè)列向量組成的向量組,則向量組B能由向量組A線性表示的充要條件是矩陣方程B?AX有解。
命題2:若矩陣A經(jīng)過初等行(列)變換變成B,則矩陣A的列(行)向量組與矩陣B的列(行)向量組等價(jià)。
定理1:設(shè)向量組A:?1,?2,?,?m和向量組B:?1,?2,?,?s均為列向量組成的向量組,則向量組B能由向量組A線性表示的充要條件為R(A)?R(A,B)
推論:向量組A:?1,?2,?,?m和向量組B:?1,?2,?,?s等價(jià)的充要條件是
R(A)?R(B)?R(A,B)
其中A和B是向量組A和向量組B所構(gòu)成的矩陣。
講教材P118例1
二、向量組的秩 1.最大無關(guān)組
定義2設(shè)向量組A0:?1,?2,?,?r是向量組A:?1,?2,?,?m(m?r)的一個(gè)部分組,若(1)向量組A0:?1,?2,?,?r線性無關(guān);
(2)A中的任意向量均可由向量組A0:?1,?2,?,?r線性表示; 則稱A0:?1,?2,?,?r為A的一個(gè)最大線性無關(guān)向量組(簡(jiǎn)稱最大無關(guān)組)。
顯然,最大無關(guān)組一般不唯一;任意向量組都與它的最大無關(guān)組等價(jià)。
2.最大無關(guān)組的求法
定理:矩陣的初等行變換不改變(部分或全部)列向量之間的線性關(guān)系; 矩陣的初等列變換不改變(部分或全部)行向量之間的線性關(guān)系。
注意:上述定理提供了求向量組最大無關(guān)組的方法 定理2:設(shè)向量組B:?1,?2,?,?r可由向量組A:?1,?2,?,?s線性表示,(1)若向量組B線性無關(guān),則r?s;(2)若r?s,則向量組B線性相關(guān)。
推論1:兩個(gè)等價(jià)的線性無關(guān)的向量組必含有相同個(gè)數(shù)的向量。推論2:兩個(gè)等價(jià)的向量組的最大無關(guān)組含有相同個(gè)數(shù)的向量。推論3:一個(gè)向量組的任意兩個(gè)最大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)相等。
3.向量組的秩
定義3:向量組的最大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù),稱為該向量組的秩。
定理2':若向量組B能由向量組A線性表示,則向量組B的秩不大于向量組A的秩。
三、矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系
定理3:對(duì)矩陣A?(aij)m?n,則 R(A)?A的行秩?A的列秩。即矩陣的秩等于它的行向量組的秩也等于它的列向量組的秩。
四、矩陣的秩的性質(zhì)
性質(zhì)1:R(A?B)?R(A)?R(B)
性質(zhì)2:R(AB)?min{R(A),R(B)}
性質(zhì)3:若P,Q可逆,則R(PAQ)?R(PA)?R(AQ)?R(A)
五、習(xí)題
P124 T1
T2
T3
T9
§4.4 線性方程組解的結(jié)構(gòu)
一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)
1.解的性質(zhì)
對(duì)于齊次線性方程組
Am?nx?0
(1)性質(zhì)1:若?1,?2都是Ax?0的解,則?1??2也是Ax?0的解。性質(zhì)2:若?是Ax?0的解,則k?也是Ax?0的解。
2.解的結(jié)構(gòu)
定義1:設(shè)?1,?2,?,?k是Ax?0的非零解,且滿足
(1)?1,?2,?,?k線性無關(guān);
(2)Ax?0的任一個(gè)解?都可由?1,?2,?,?k線性表示,即??c1?1?c2?2???ck?k 則稱?1,?2,?,?k是齊次線性方程組Ax?0的基礎(chǔ)解系;且Ax?0的通解可表示為如下形式:??c1?1?c2?2???ck?k(c1,c2,?,ck為任意常數(shù))。
定理1:若n元齊次線性方程組Ax?0的系數(shù)矩陣A的秩R(A)?r?n,則Ax?0的基礎(chǔ)解系恰含有n?r個(gè)線性無關(guān)的解向量。
講教材P128 例1和例2
二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)
1.解的性質(zhì)
對(duì)于非齊次線性方程組
Am?nx?b
(2)性質(zhì)1:若?1,?2都是Ax?b的解,則?1??2是Ax?0的解。
性質(zhì)2:若?是Ax?0的解,?是Ax?b的解,則???是Ax?b的解。
2.解的結(jié)構(gòu)
*定理2:設(shè)?是非齊次線性方程組Ax?b的一個(gè)解,?1,?2,?,?n?r是對(duì)應(yīng)的導(dǎo)出組Ax?0的基礎(chǔ)解系,則Ax?b的通解為
???*?k1?1?k2?2???kn?r?n?r
其中k1,k2,?,kn?r為任意常數(shù)。
講教材P132 例3和例4
三、習(xí)題
P134 T1 T2(1)T3 T4 T5 T6 T7 T8 P141 總復(fù)習(xí)題:T1 T2 T4 T5 T6至T13
第五章 特征值和特征向量
矩陣的對(duì)角化
教學(xué)目標(biāo)與要求
1.理解內(nèi)積和正交向量組的概念,掌握施密特正交化方法和正交矩陣的性質(zhì) 2.理解特征值與特征向量的定義,掌握它們的性質(zhì)及其求法 3.理解相似矩陣的定義,掌握相似矩陣的性質(zhì)
4.掌握矩陣可對(duì)角化的條件,熟悉實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化方法 教學(xué)重點(diǎn)
1.施密特正交化方法的運(yùn)用 2.特征值與特征向量的求法 3.實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化方法 教學(xué)難點(diǎn)
1.施密特正交化方法
2.特征值與特征向量的性質(zhì)及其求法 3.實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化方法
§5.1 預(yù)備知識(shí)
一、向量的內(nèi)積
定義1:設(shè)有n維向量x??x1,x2,?,xn?,y??y1,y2,?,yn?,令
TT?x,y??x1y1?x2y2???xnyn,稱?x,y?為向量x與y的內(nèi)積。
內(nèi)積的性質(zhì):
(1)?x,y???y,x?
(2)??x,y????x,y?
(3)?x?y,z???x,z???y,z?
(4)?x,x??0,當(dāng)且僅當(dāng)x?0時(shí)等號(hào)成立
定義2:令x??x,x??22x12?x2???xn,稱為n維向量x的長度(或范數(shù))。當(dāng)x?1時(shí),稱x為單位向量。
向量的長度具有以下性質(zhì):
(1)非負(fù)性:x?0
(2)齊次性:
定義3:當(dāng)x?0,y?0時(shí),稱??arccos?x???x
(3)三角不等式:x?y?x?y
(4)柯西不等式:?x,y??x?y
?x,y?x?y為n維向量x與y的夾角。
定義4:當(dāng)?x,y??0時(shí),稱向量x與y正交。
定義5:若一個(gè)向量組中任意兩個(gè)向量都正交,則稱此向量組為正交向量組。若正交向量組中的每一個(gè)向量都是單位向量,則稱此向量組為規(guī)范正交向量組或標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。
定理1:若n維向量?1,?2,?,?r是一組兩兩正交的非零向量,則?1,?2,?,?r線性無關(guān)。
二、施密特正交化方法 施密特正交化方法是將一組線性無關(guān)的向量?1,?2,?,?r,化為一組與之等價(jià)的正交向量組?1,?2,?,?r的方法。令
??2,?1??;?;
??1,?1?1??,????,????r,?r?1??。?r??r?r1?1?r2?2?????1,?1???2,?2???r?1,?r?1?r?1?1??1; ?2??2?
講教材P147 例2和例3
三、正交矩陣
定義6:如果方陣A滿足AA?AA?E(即A?cos?例如:En,??sin???AT),則稱A為正交矩陣。
?01/2?1/2????sin???,??2/61/61/6?都是正交陣。?cos????1/31/31/3????TT?1
定理2:A為正交矩陣?A的行(列)向量組為規(guī)范正交向量組。即
?1,i?jATA?E??iT?j??(i,j?1,2,?,n)(其中A?(?1,?2,?,?n))
0,i?j?
定理3:設(shè)A,B都是n階正交方陣,則
(1)A??1;(2)A,A,AB也是正交方陣。
定義7:若P為正交矩陣,則線性變換y?Px稱為正交變換。
四、習(xí)題
P149 T1(2)T2(2)T3 T4 T5
§5.2 特征值和特征向量
T?
1一、特征值與特征向量的概念
定義1:設(shè)A是n階方陣,如果存在數(shù)?和非零列向量x,使得Ax??x,稱?為方陣A的特征值,非零列向量x稱為A的屬于特征值?的特征向量。
特征方程:Ax??x?(A??E)x?0 或者(?E?A)x?0
(A??E)x?0有非零解?A??E?0?特征矩陣:(A??E)或者(?E?A)
?E?A?0
a11??特征多項(xiàng)式:A??E?a12?an2??a1na2n???(?)
a21?an1a22????ann??nn?1?a??a????an?1??an0[a0?(?1)n]
二、求n階方陣A的特征值與特征向量的步驟
(1)求出特征方程?(?)?A??E?0的全部根?1,?2,...,?n,即是A的特征值;(2)對(duì)于每個(gè)特征值?i求解線性方程組?A??iE?x?0,得出的基礎(chǔ)解系就是A的屬于特征值?i的特征向量;基礎(chǔ)解系的線性組合就是A的屬于特征值?i的全部特征向量。
講教材P152 例3和例4
三、特征值與特征向量的性質(zhì)
性質(zhì)1:設(shè)A是n階方陣,則A與A有相同的特征值。性質(zhì)2:設(shè)?是方陣A的特征值,k,m?N,則(1)?是方陣A的特征值;
(2)f(?)?a0?a1????am?是f(A)?a0E?a1A???amA的特征值。
性質(zhì)3:設(shè)n階方陣A?(aij)n?n的n個(gè)特征值為?1,?2,...,?n,則(1)
mmkkT????aii?1i?1nnii,其中
?ai?1nii?tr(A)稱為A的跡;
(2)??i?A
i?1n
證明: 由特征值的定義可得
a11??
a12?a1na2n? ?(?)?A??E?a21?an1a22?????an2?ann??
?(a11??)(a22??)?(ann??)??
?(?1)n?n?(?1)n?1(a11?a22???ann)?n?1??
由題設(shè)可知 ?(?)?A??E?(?1??)(?2??)?(?n??)
?(?1)n?n?(?1)n?1(?1??2????n)?n?1???(?1?2??n)比較多項(xiàng)式同次冪的系數(shù)可得
a11?a22???ann??1??2????n,A??(0)??1?2??n
推論:A?0? 0是A的特征值;A可逆?A?0?A不含零特征值。
講教材P154 例5和例6
性質(zhì)4:?1,?2,?,?m是方陣A的互異特征值,其對(duì)應(yīng)的特征向量依次為
p1,p2,?,pm,則向量組p1,p2,?,pm線性無關(guān)。
四、習(xí)題
P157 T1
T2
T3
T4
§5.3 相似矩陣
一、相似矩陣的概念
定義1:設(shè)A,B都是n階方陣,若存在可逆矩陣P,使PAP?B,則稱矩陣A與B相似,記為A~B,可逆矩陣P稱為相似變換矩陣。
相似矩陣的基本性質(zhì):
1、(1)反身性:對(duì)任意方陣A,都有A~A
(2)對(duì)稱性:若A~B,則B~A
(3)傳遞性:若A~B,B~C,則A~C
2、定理1:若A~B,則
① A與B有相同的特征多項(xiàng)式和特征值;
② A?B; ③ R(A)?R(B);
mm④ A與B也相似(m為正整數(shù));
?1⑤ tr(A)?tr(B)
二、矩陣可對(duì)角化的條件
定義:n階方陣A可以相似于一個(gè)對(duì)角矩陣?,則稱A可對(duì)角化。
定理2:n階方陣A可對(duì)角化?A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。
推論:n階方陣A有n個(gè)互異的特征值?A可對(duì)角化。
定理3:n階方陣A可對(duì)角化?A的每個(gè)k重特征值?對(duì)應(yīng)有k個(gè)線性無關(guān)的特征向量(或R(A??E)?n?k)。即A的幾何重?cái)?shù)n?R(A??E)等于代數(shù)重?cái)?shù)k。
講教材P160 例1和例2
三、小結(jié)
n階方陣A對(duì)角化的步驟:
(1)解特征方程A??E?0,求出A的全部特征值?1,?2,...,?s,其中?i是ni重特征值(i?1,2,?,s),s?ni?1i?n。
(2)對(duì)每個(gè)?i,解齊次線性方程組?A??iE?x?0,得基礎(chǔ)解系?i1,?i2,...,?ini;(3)令P?(?11,?12,?,?1n1,?21,?22,?,?2n2,?,?s1,?s2,?,?sns),則PAP??,其中??diag(?1,?,?1,?2,?,?2,?,?s,?,?s),這里?i的個(gè)數(shù)為ni個(gè)(i?1,2,?,s)。
四、習(xí)題
P162 T1
T2
T3
T4
T5
T6
§5.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣
?
1一、實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值性質(zhì)
定理1:實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。
定理2:實(shí)對(duì)稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量相互正交。
定理3:設(shè)?是n階實(shí)對(duì)稱矩陣A的r重特征值,則R(A??E)?n?r,即對(duì)應(yīng)特征值?恰有r個(gè)線性無關(guān)的特征向量。
二、實(shí)對(duì)稱矩陣的相似理論
定理4:任意實(shí)對(duì)稱矩陣A都與對(duì)角矩陣相似。即實(shí)對(duì)稱陣一定可以對(duì)角化。
?1T定理5:設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣,則存在正交矩陣P,使PAP?PAP??。其中??diag(?1,?2,?,?n),且?1,?2,...,?n是A的n個(gè)特征值。
三、實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化方法
n階實(shí)對(duì)稱矩陣A對(duì)角化的步驟:
(1)解特征方程A??E?0,求出A的全部特征值?1,?2,...,?s,其中?i是ni重特征值(i?1,2,?,s),s?ni?1i?n。
(2)對(duì)每個(gè)?i,解齊次線性方程組?A??iE?x?0,得基礎(chǔ)解系?i1,?i2,...,?ini;(3)利用施密特正交化方法將?i1,?i2,...,?ini正交化,得正交向量組?i1,?i2,...,?ini,再單位化得規(guī)范正交向量組?i1,?i2,...,?ini(i?1,2,?,s);
(4)令P?(?11,?12,?,?1n1,?21,?22,?,?2n2,?,?s1,?s2,?,?sns),則P為正交矩陣,且P?1AP?PTAP??,其中??diag(?1,?,?1,?2,?,?2,?,?s,?,?s),這里?i的個(gè)數(shù)為。ni個(gè)(i?1,2,?,s)
講教材P164 例1和例2
四、習(xí)題
P167 T1
T2
T4 P167 總復(fù)習(xí)題:T1 T2 T3 T4 T5 T6;
T8 T9 T10 T11
T12 T13 T14 T15 T16
第六章 特征值和特征向量
矩陣的對(duì)角化 教學(xué)目標(biāo)與要求
1.理解二次型及其秩的相關(guān)概念,了解矩陣的合同關(guān)系
2.掌握二次型的標(biāo)準(zhǔn)形,以及用配方法、正交變換法和初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型
3.理解慣性定理和二次型的規(guī)范形,掌握二次型正定的判別方法 教學(xué)重點(diǎn)
1.用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型 2.二次型正定的判別方法 教學(xué)難點(diǎn)
1.用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型 2.二次型正定的判別方法
§6.1 二次型及其矩陣表示 一、二次型及其矩陣表示
定義1:含有n個(gè)變量的二次齊次函數(shù):
22f(x1,x2,...,xn)?a11x12?a22x2???annxn? ?2a12x1x2?2a13x1x3???2an?1,nxn?1xn稱為二次型。當(dāng)aij全為實(shí)數(shù)時(shí),f稱為實(shí)二次型。
為了便于用矩陣討論二次型,令aij?aji,則二次型為:
f(x1,x2,...,xn)?a11x12?a12x1x2???a1nx1xn?2 a21x2x1?a22x2???a2nx2xn?.................................................2 an1xnx1?an2xnx2???annxn
??a11??a21記
A?????a?n1a12a22?an2i,j?1?anijxixj
?a1n??x1?????a2n??x2?x?,???,???????x???ann??n?T則二次型f(x1,x2,?,xn)?xAx,其中A為對(duì)稱矩陣。
由此可見,對(duì)稱矩陣A與二次型f是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,故稱對(duì)稱矩陣A為二次型f的矩陣,也稱二次型f為對(duì)稱矩陣A的二次型,R(A)也稱為二次型f的秩。
講教材P173 例1和例2
二、線性變換 ?x1?c11y1?c12y2???c1nyn?x?cy?cy???cy?22112222nn
定義2:稱?為由變量x1,x2,?,xn到變量y1,y2,?,yn.......................................?..........??xn?cn1y1?cn2y2???cnnyn的一個(gè)線性變量替換,簡(jiǎn)稱線性變換。
?c11??c21其中,矩陣C?????c?n1?c1n??c22?c2n?稱為線性變換的矩陣。?????cn2?cnn??c12?x1??y1?????x?2??y2?記x???,y???,則線性變換可用矩陣形式表示:x?Cy。
???????x??y??n??n?若C?0,則稱線性變換x?Cy為非退化的(或滿秩變換);否則,稱為退化的(或降秩變換)。若C是正交矩陣,則稱線性變換x?Cy為正交變換。因此,我們有
f(x)?xTAx?(Cy)TA(Cy)?yTCTACy?yTBy,其中B?CTAC,而且 BT?(CTAC)T?CTATC?CTAC?B
三、矩陣的合同
1.定義3:設(shè)A,B為兩個(gè)n階方陣,如果存在n階可逆矩陣C,使得CAC?B,則
T?B。稱矩陣A與B合同,記為:A~?B(合同)定理:若A~,則A?B(等價(jià)),且R(A)?R(B)。
2.合同的性質(zhì)
?A
① 反身性:對(duì)任意方陣A,都有A~?B,則B~?A
② 對(duì)稱性:若A~?C ?B,B~?C,則A~③ 傳遞性:若A~3.定理:任何一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣A都合同于一個(gè)對(duì)角陣?(?是以A的n個(gè)特征根為對(duì)角元的對(duì)角陣),即存在可逆矩陣C,使得CAC??。
四、習(xí)題
P175 T1
T3
T4
§6.2 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形
T一、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形
222定義:形如d1x1的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。?d2x2???dnxn
二、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形
(1)配方法
對(duì)任意一個(gè)二次型f?xTAx,都可用配方法找到滿秩變換x?Cy,將f化為標(biāo)準(zhǔn)形。步驟:若f中含變量項(xiàng)xi的平方項(xiàng),則先將所有含xi的項(xiàng)合并在一起配成完全平方,依次類推直到都配成完全平方項(xiàng);若f中不含任何平方項(xiàng),則令x1?y1?y2,x2?y1?y2,xk?yk,使f中出現(xiàn)平方項(xiàng),再按照前面的思路進(jìn)行配方。
(2)正交變換法
定理:任給二次型f(x)?xTAx,總存在正交矩陣Q,使QTAQ?Q?1AQ??,其中??diag(?1,?2,?,?n),?1,?2,?,?n是A的全部特征值。
22即存在正交變換x?Qy使f化為標(biāo)準(zhǔn)形:(其中?1,?2,?,?n?1x12??2x2????nxn是對(duì)稱矩陣A的全部特征根)
講書上P176 例1
(3)初等變換法
由于任意對(duì)稱陣A都存在可逆矩陣C,使CAC為對(duì)角陣;由于C是可逆陣,故可表
TTTT示一系列初等矩陣的乘積。設(shè)C?P1P2?PS,則C?Ps?P2P1,因此
TCTAC?PsT?P2TP1AP1P2?Ps
①
T
C?P1P2?PS?EP1P2?PS
②
①式表示對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣A施行初等列變換的同時(shí)也施行相應(yīng)的行變換,將A化為對(duì)角陣;②表示單位陣E在相同的初等列變換下就化為C。即(三、習(xí)題
P181
T1
T3
T4
§6.3 慣性定理和二次型的正定性
A?)?合同變換????()EC
一、慣性定理和規(guī)范形
定理1:設(shè)實(shí)二次型f?xTAx的秩為r,有兩個(gè)實(shí)滿秩線性變換x?Cy及x?Pz,222使得 f?k1y1???kpy2,2,?,r)
(1)p?kp?1yp?1???kryr(ki?0,i?12222及
f??1z1????qzq??q?1zq,2,?,r)?1????rzr(?i?0,i?1則p?q;且稱p為二次型f的正慣性指數(shù),r?p為二次型f的負(fù)慣性指數(shù)。
對(duì)二次型f的標(biāo)準(zhǔn)形(1)式再作滿秩線性變換
(y1,?,yr,yr?1,?,yn)T?diag(11,?,1,?,1)(t1,?,tr,tr?1,?,tn)T k1kr2222則有f?t1???tp?tp?1???tr,稱之為二次型f的規(guī)范形。
慣性定理的等價(jià)表述:任意一個(gè)秩為r的實(shí)二次型f都可以經(jīng)過滿秩線性變換化為規(guī)范形,且其規(guī)范形是唯一的。即規(guī)范形中正項(xiàng)的個(gè)數(shù)p與負(fù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)r?p都是唯一確定的。
定理2:實(shí)對(duì)稱陣A與B合同?A與B的正負(fù)慣性指數(shù)相同
?A與B的規(guī)范形相同?R(A)?R(B),且A與B的正慣性指數(shù)相同 二、二次型的正定性
定義1:設(shè)實(shí)二次型f(x)?f(x1,x2,?,xn)?xTAx,若對(duì)任意x?0,都有f(x)?0,則稱f為正定二次型,并稱其對(duì)稱矩陣A為正定矩陣。三、二次型正定的判別方法
定理3:設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣,則
f?xTAx正定(或A正定)?A的n個(gè)特征值全為正;
?f的標(biāo)準(zhǔn)形的n個(gè)系數(shù)全為正?f的正慣性指數(shù)p?n; ?存在可逆矩陣P,使A?PTP?A與單位矩陣合同; ?A的各階順序主子式全為正,即
a11?a1na11a12??0
a11?0,?0,?,?a21a22an1?ann講教材P184 例3
四、習(xí)題
P185 T1(1)(3)
T2(3)
T3
T4
T5
T6 P186 總復(fù)習(xí)題: T4
T5
T6
T7 ;
T9
T12
T13
第二篇:線性代數(shù)教案第一章
線性代數(shù)教案第一章 第一章 行列式(12學(xué)時(shí))
教學(xué)時(shí)數(shù):12學(xué)時(shí)
教學(xué)目的與要求:理解并掌握行列式的概念和性質(zhì),行列式按行(列)展開定理,行列式的計(jì)算,克萊姆法則解方程組。
教學(xué)重點(diǎn):行列式的性質(zhì),行列式按行(列)展開,克萊姆法則解方程組。教學(xué)難點(diǎn):行列式按行按列展開。本章主要閱讀文獻(xiàn)資料:
1.吳贛昌主編,《線性代數(shù)》(第4版),中國人民大學(xué)出版社,2008年2月。2.戴斌祥主編,《線性代數(shù)》,北京郵電大學(xué)出版社,2005年10月。3.陳維新主編,《線性代數(shù)》(第二版),科學(xué)出版社,2010年8月。
4.趙樹嫄主編,《線性代數(shù)學(xué)習(xí)與考試指導(dǎo)》,中國人民大學(xué)出版社,2008年5月。
教學(xué)內(nèi)容:
第一節(jié) 二階與三階行列式
一.二階行列式
引入新課:
我們從二元方程組的解的公式,引出二階行列式的概念。
在線性代數(shù)中,將含兩個(gè)未知量兩個(gè)方程式的線性方程組的一般形式寫為
(1)
用加減消元法容易求出未知量x1,x2的值,當(dāng)
時(shí),有
(2)這就是二元方程組的解的公式。但這個(gè)公式不好記,為了便于記這個(gè)公式,于是引進(jìn)二階行列式的概念。
(一)定義:我們稱記號(hào)
為二階行列式,它表示兩項(xiàng)的代數(shù)和:
即定義
(3)
二階行列式所表示的兩項(xiàng)的代數(shù)和,可用下面的對(duì)角線法則記憶:從左上角到右下角兩個(gè)元素相乘取正號(hào),從右上角到左下角兩個(gè)元素相乘取負(fù)號(hào),即
- +
由于公式(3)的行列式中的元素就是二元方程組中未知量的系數(shù),所以又稱它為二元方程組的系數(shù)行列式,并用字母D表示,即有
如果將D中第一列的元素a11,a21 換成常數(shù)項(xiàng)b1,b2,則可得到另一個(gè)行列式,用字母D1表示,于是有
按二階行列式的定義,它等于兩項(xiàng)的代數(shù)和:,這就是公式(2)中x1 的表達(dá)式的分子。同理將D中第二列的元素a a b2,12,22 換成常數(shù)項(xiàng)b1,可得到另一個(gè)行列式,用字母D2表示,于是有
按二階行列式的定義,它等于兩項(xiàng)的代數(shù)和:a11b2-b1a21,這就是公式(2)中x2的表達(dá)式的分子。
于是二元方程組的解的公式又可寫為
其中D≠0
例1 計(jì)算5?1=5×2-(-1)×3=13 32例2 設(shè)D??2?31
問:(1)當(dāng)λ為何值時(shí)D=0(2)當(dāng)λ為何值時(shí)D≠0 解:D??2?31=?2?3?
(1)當(dāng)λ=0或3時(shí),D=0(1)當(dāng)λ≠0且λ≠3時(shí),D≠0
二.三階行列式
含有三個(gè)未知量三個(gè)方程式的線性方程組的一般形式為
(1)
還是用加減消元法,即可求得方程組(1)的解的公式,當(dāng)
時(shí),有
(2)
這就是三元方程組的解的公式。這個(gè)公式更不好記,為了便于記它,于是引進(jìn)三階行列式的概念。
(二)定義: 我們稱記號(hào)
為三階行列式。三階行列式所表示的6項(xiàng)的代數(shù)和,也用對(duì)角線法則來記憶:從左上角到右下角三個(gè)元素相乘取正號(hào),從右上角到左下角三個(gè)元素取負(fù)號(hào),即
(3)
由于公式(3)的行列式中的元素是三元方程組中未知量的系數(shù),所以稱它為三元方程組的系數(shù)行列式,也用字母D來表示,即有
同理將D中第一列、第二列、第三列的元素分別換成常數(shù)項(xiàng)得到另外三個(gè)三階行列式,分別記為
于是有
就可以
按照三階行列式的定義,它們都表示6項(xiàng)的代數(shù)和;并且分別是公式(2)中x1,x2,x3 的表達(dá)式的分子,而系數(shù)行列式D是它們的分母。
123例3 405
?106解:原式=-58 例4 實(shí)數(shù)a,b滿足什么條件時(shí)
ab0?ba0?0 101ab0解:?ba0?a2?b2
a,b為實(shí)數(shù),若要a2?b2?0,則a,b需同時(shí)等于零。
a10例5 1a0>0的充分必要條件是什么?
411a10a10解:1a0=a2?1,即a>1時(shí),1a0>0,411411a10所以1a0>0的充分必要條件a>1 411作業(yè):課本35頁,1,2,3,4,5
第三篇:線性代數(shù)電子教案LA2-2B
6.伴隨矩陣:A?(aij)n?n, detA中元素aij的代數(shù)余子式為Aij.
?a11?a21
A??????an1a12a22?an2?a1n??A11?A?a2n??,A*??12???????ann??A1nA21A22?A2n?An1??An2??
????Ann?
重要性質(zhì):AA*?A*A?(detA)E
7.共軛矩陣:復(fù)矩陣A?(aij)m?n的共軛矩陣記作A?(aij)m?n.
算律:(1)(A?B)?A?B
(2)(kA)?kA
(3)(AB)?AB
(4)(A)?(A)?AH
§2.3 逆矩陣
定義:對(duì)于An?n, 若有Bn?n滿足AB?BA?E, 則稱A為可逆矩陣,且B為A的逆矩陣, 記作A?1?B.
定理1 若An?n為可逆矩陣, 則A的逆矩陣唯一.
證
設(shè)B與C都是A的逆矩陣, 則有
AB?BA?E, AC?CA?E
B?BE?B(AC)?(BA)C?EC?C
定理2 An?n為可逆矩陣?detA?0;
An?n為可逆矩陣?A?1?
證
必要性.已知A?1存在,則有
AA?1?E?detAdetA?1?1?detA?0
充分性.已知detA?0,則有
A*A*?A?E
AA?AA?(detA)E?AdetAdetA1A*.
由定義知A為可逆矩陣,且A?1?detA**TT記作1A*. deAt 7 [注]detA?0時(shí), 亦稱A為非奇異矩陣;
detA?0時(shí), 亦稱A為奇異矩陣.
推論1 對(duì)于An?n, 若有Bn?n滿足AB?E, 則A可逆, 且A?1?B.
證 AB?E?detAdetB?1?detA?0?A可逆
A?1?A?1E?A?1(AB)?(A?1A)B?EB?B
推論2 對(duì)于An?n, 若有Bn?n滿足BA?E, 則A可逆, 且A?1?B.
算律:
(1)A可逆?A?1可逆, 且(A?1)?1?A.
對(duì)于A?1, 取B?A, 有A?1B?A?1A?E.
(2)A可逆, k?0?kA可逆, 且(kA)?1?A?1.
k11
對(duì)于kA, 取B?A?1, 有(kA)B?(kA)(A?1)?AA?1?E.
kk
(3)An?n與Bn?n都可逆?AB可逆, 且(AB)?1?B?1A?1.
對(duì)于AB, 取C?B?1A?1, 有
(AB)C?(AB)(B?1A?1)?A(BB?1)A?1?E.
(4)A可逆?AT可逆, 且(AT)?1?(A?1)T.
對(duì)于AT, 取B?(A?1)T, 有ATB?AT(A?1)T?(A?1A)T?E.
(5)A可逆?detA?1?1. detA
(6)An?n與Bn?n都可逆?(AB)*?B*A*.
證(AB)*?[det(AB)](AB)?1?[(detA)(detB)][B?1A?1]
?[(deBt)B?1][(deAt)A?1]?B*A*
負(fù)冪:A可逆, 定義A0?E, A?k?(A?1)k(k?1,2,?), 則有
AkAl?Ak?l,(Ak)l?Akl
(k,l為整數(shù))?3?10??54?1??, A?1?1A*?1?1012?3?
例1 A???211???55???1??1?14???01?
例2 設(shè)An?n滿足A2?2A?4E?O, 求(A?E)?1. 解
A2?2A?4E?O?A2?2A?3E?E
?(A?E)(A?3E)?E?(A?E)?1?A?3E
應(yīng)用:
(1)n階線性方程組求解 An?nx?b, detA?0?x?A?1b
(2)求線性變換的逆變換 y?An?nx, detA?0?x?A?1y
(3)矩陣方程求解
設(shè)Am?m可逆, Bn?n可逆, 且Cm?n已知, 則
AX?C?X?A?1C
XB?C?X?CB?1
AXB?C?X?A?1CB?1
?21??5?10??, C??20? 滿足AX?C?2X, 求X.
例3 設(shè)A???231???????35???2?16??
解
并項(xiàng):(A?2E)X?C
計(jì)算:X?(A?2E)?1C
0??54?1??21??31
??1012?3??20???7?1?
?????5??1?1??01???35????1?1?1??1? 滿足A*X?A?1?2X, 求X.
例4 設(shè)A???111???1??1?1? 9
解
并項(xiàng):
(A*?2E)X?A?1
左乘A: [(detA)E?2A]X?E
t?4
計(jì)算:
deA
X?(4E?2A)?1?1(2E?A)?12?110?1? ??011?4?
密碼問題:
a?1, b?2,c?3, ? ,z?26
?123??01?1?
A???112? , A?1??2?2?1????
?012??????111??
action:1, 3, 20, 9, 15, 14 ?1??67??9??81?
加密:A??3???44????? , A??15???52?
?20????43???????14????43??發(fā)出∕接收密碼:67, 44, 43, 81, 52, 43 ?
解密:A?1?67??44?????1??3??? , A?1?81??52??9?????15??
??43????20????43????14??明碼:1, 3, 20, 9, 15, 14表示action
??101??§2.4 分塊矩陣
?1??1
A???0??0?1??1
A???0??00?11?010????A1102?1???A21?00?3?0?11?010????B102?1??00?3?A12? ?A22?B2B3B4?
用若干條橫線與縱線將矩陣A劃分為若干個(gè)小矩陣, 稱這些小矩陣 為A的子矩陣, 以子矩陣為其元素的矩陣稱為分塊矩陣.
特點(diǎn):同行上的子矩陣有相同的“行數(shù)”;
同列上的子矩陣有相同的“列數(shù)”.
?A11?A1r??B11?B1r?????????B??, m?n????
???As1?Asr???Bs1?Bsr??
1.加法:Am?n?A11?B11?A1r?B1r?????
A?B??? ??As1?Bs1?Asr?Bsr?? 要求:A與B同階, 且分塊方式相同.
2.數(shù)乘:kAm?n?kA11?kA1r????????
??kAs1?kAsr??
3.乘法:Am?l?A11?A1t??B11?B1r?????????B??, l?n????
???As1?Ast???Bt1?Btr??
Cij??Ai1?B1j????Ait?????Ai1B1j???AitBtj
?Btj??? 11 ?C11?C1r????
AB???? ??Cs1?Csr?? 要求:A的列劃分方式與B的行劃分方式相同.
?1?0
例1 A????1??1012100100?0????E0???A21?1?10420?1????B111???B21?0?O? E??0?1??12
B???10???1?1E? B22??B11?
AB???A21B11?B21?1?E???1??A21?B22???2???1024110330?1?? 3??1?
4.轉(zhuǎn)置:Am?nT?A11?A11?A1r???T????A?, ?????A1Tr??As1?Asr????AsT1???? T??Asr? 特點(diǎn):“大轉(zhuǎn)”+“小轉(zhuǎn)”
5.準(zhǔn)對(duì)角矩陣:設(shè)A1,A2,?,As都是方陣, 記
?A1?A1,A2,?,As)??
A?dia(g?????? ???As?A2
性質(zhì):(1)detA?(detA1)(detA2)?(detAs)
(2)A可逆?Ai(i?1,2,?,s)可逆
(3)Ai(i?1,2,?,s)可逆?A?1?A1?1????????1A2??? ???As?1???500??A1??
例2 A?031????O????021??A1?1?1
A???OO? A2??00??15?O?0? ?1?1?1???A2??0?23????AO??1M
例3 設(shè)Am?m與Bn?n都可逆, Cn?m, M??, 求. ??CB? 解 detM?(detA)(detB)?0?M可逆
?X1
M?1???X3X2? , X4???AO??X1?CB??X???3?X1??X2??X3??X4X2??Em???X4??O?A?1?O??BCA?B?1?1?1O? ?En??AX1?Em?AX?O?2
?
?CX1?BX3?O??CX2?BX4?En
M
?1?A?1O? ???1?1???BCAB?課后作業(yè):習(xí)題二 7(1)(3)(5), 8(2)(4), 10~14
第四篇:Matlab 與線性代數(shù)教案
Matlab 與線性代數(shù)
一、Matlab 入門:
1.啟動(dòng)、退出、運(yùn)行: 2.窗口介紹: 3.基本符號(hào): =:賦值符號(hào)
[ ]:數(shù)組定義符號(hào) , 區(qū)分列 函數(shù)參數(shù)分隔符;區(qū)分行 取消運(yùn)行顯示 % 注釋標(biāo)記
: 具有多種應(yīng)用功能
4.matlab的變量(區(qū)分大小寫): 預(yù)定義變量: ans
pi 相關(guān)命令: format(顯示格式 rat long short)
who whos clear
5.M 文件(純文本文件,擴(kuò)展名為.m)建立 修改 保存 運(yùn)行
二、Matlab 與線性代數(shù)的基本運(yùn)算
1.矩陣的輸入
數(shù)字矩陣:A=[1 2 3;3 2 1]
或 A=[1, 2, 3;3, 2, 1] 或 A=[1 2 3 2 1]
符號(hào)矩陣(顯示出來元素之間有逗號(hào)): 定義符號(hào)變量 sym syms
用法:(1).sym(‘[a,b,c;b,c,a]’)或 sym(‘[a b c;b c a]’)
(2).syms a b c
A=[a b c;b c a]
2.產(chǎn)生特殊矩陣的函數(shù):
zeros(m,n)zeros(n)
ones(m,n)ones(n)eye(n)
magic(n)rand(m,n)randn(n)% 產(chǎn)生(0,1)區(qū)間均勻分布的隨機(jī)矩陣
3.相關(guān)命令:
round(A)% 表示對(duì)矩陣A中所有元素進(jìn)行四舍五入 length(A)% 返回A的長度(列數(shù))size(A)% 返回A的尺寸,行數(shù) 列數(shù) A(i,j)% 引用矩陣A的第i行第j列元素
4.矩陣的基本運(yùn)算
(1).+-*.*
(2).轉(zhuǎn)置 A’
(3).方陣的冪:A^3
5.求向量組的極大無關(guān)組
A?[?1,?2,?3 ]
(1).U=rref(A)% U為A的行最簡(jiǎn)形
(2).[U,s]=rref(A)% U為A的行最簡(jiǎn)形, s為首非零元所在列組成的向量
(3).rrefmovie(A)% 返回A的行最簡(jiǎn)形,且給出每一步化簡(jiǎn)過程
6.求線性方程組的解
情形1。Ax=b,其中A為n階可逆陣
法1: x=inv(A)*b 或 x=A^(-1)*b
法2: U=rref([A,b])% 返回值U為矩陣的行最簡(jiǎn)形,最后一列即為解x。
情形2。Ax=0, 其中A 為m*n 矩陣,R(A)=r 法1:U=rref(A), 選定自由變量,得到一組基礎(chǔ)解系 法2:z=null(A) % z的列向量為Ax=0的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。 情形3。Ax=b, 其中A 為m*n 矩陣, 求通解 U=rref([A,b])從最后一列找特解,前n列找導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系,然后按格式寫 出Ax=b的通解。(或先寫出以U為增廣矩陣的同解方程組也可。) ?6x1?3x2?2x3?3x4?4x5?5??4x1?2x2?x3?2x4?3x5?4 例子: ?.4x?2x?3x?2x?x?02345?1?2x?x?7x?3x?2x?112345?(4).(5).(6).(7).方陣行列式 det(A)方陣的秩 rank(A)方陣的逆 inv(A)或 A^(-1)矩陣的除法 左除 右除/ AB=C 則 A=C/B B=AC 輸入:A=[6 3 2 3 4;4 2 1 2 3;4 2 3 2 1;2 1 7 3 2]; b=[5 4 0 1]’; U=rref([A,b])?1?0得到:U???0??01/200001000010?3/4?17/20?3/2???2? 6??0???3/2???0??取x2,x5為自由變量,令x2?0,x5?0得Ax=b的特解?*???2? ??6???0??? ??1/2??3/4?????10?????x2??1??0?分別令?????和??得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為:?1??0?,?2??1? ?????x5??0??1?0?7/2?????0??1?????3x2?4x5?x1??12?x3?x5或:導(dǎo)出組Ax=0的同解方程組:?,x2,x5為自由變量,分別令?x4??7x52???1/2??3/4?????10????x2?1,x5?0和x2?0,x5?1得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為:?1??0?,?2??1?。 ????0?7/2?????0??1?????7.求矩陣的特征值與特征向量 (1).d=eig(A)% d為矩陣A的特征值構(gòu)成的向量 (2).[V,D]=eig(A)% D為A 的特征值構(gòu)成的對(duì)角陣,V 的列為A的單位特征向 量,與D中的特征值對(duì)應(yīng),滿足:A?VDV8.Schmidt 正交化方法 B=orth(A)% B的列向量為A的列空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,換句話說,B的列是 A的列向量的正交標(biāo)準(zhǔn)化,滿足B*B?eye(rank(A))。 9.用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 先寫出所給二次型的矩陣A,則A為實(shí)對(duì)稱矩陣,[V,D]=eig(A)% D 為A的特征值構(gòu)成的對(duì)角陣,V的列向量為A的正交單位特征 向量,次序與D的元素對(duì)應(yīng)。滿足VAV?D?VT?1'?1,即AV?VD。 AV。 典型教案 第一章 線性方程組的解法 線性方程組就是一次方程組。 先來分析中學(xué)數(shù)學(xué)怎樣解二元一次方程組??此脑砗头椒ㄊ欠窨梢酝茝V到一般的多元一次方程組。 例 1、解方程組 3x+4y=2 (1) 2x-5y=9 (2) 解、用加減消去法消元: 5x(1)式+4x(2)式:23x=46 (3) 2x(1)式-3x(2)式: 23y=-23(4)由(3)和(4)解出 x=2,y=-1。代入(1),(2)式檢驗(yàn)知道它是原方程組的解。 以上解法的基本原理是: 由原方程(1)、(2)分別乘以適當(dāng)?shù)某?shù)再相加,得到 各消去了一個(gè)未知數(shù)的新方程(3)、(4), 從中容易解出未知數(shù)的值來.將一組方程分別乘以常數(shù)再相加,得到的新方程稱為原來那一組方程的線性組合。原來那一組方程的公共解一定是它們的任意一個(gè)線性組合的解。 新方程(3)、(4)都是原方程(1)、(2)的線性組合,(1)、(2)的公共解一定是(3)、(4)的解.但反過來, 由(3)、(4)求出的解是否一定是(1)、(2)的解? 這卻并不顯然。 因此需要將(3)、(4)的解代入(1)、(2)檢驗(yàn)。 或者說明(1)、(2)也是(3)、(4)的線性組合。從而由(3)、(4)組成的方程組與原方程組同解.1.1.方程組的同解變形 1.線性方程組的定義 2.方程的線性組合: 方程的加法 方程乘以常數(shù) 方程的線性組合: 將 m 個(gè)方程分別乘以m 個(gè)已知常數(shù),再將所得的m 個(gè)方程相加, 得到的新方程稱為原來那 m 個(gè)方程的一個(gè)線性組合 容易驗(yàn)證: 如果一組數(shù)(c_1,c_2,…,c_n)是原來那些方程的公共解, 那么它也是這些方程的任一個(gè)線性組合的解.注意: 線性組合的系數(shù)中可以有些是 0, 甚至可以全部是 0.如果某些系數(shù)是 0, 所得到的線性組合實(shí)際上也就是系數(shù)不為 0 的那些方程的線性組合。 如果方程組(II)中每個(gè)方程其余都是方程組(I)中的方程的線性組合, 就稱方程組(II)是方程組(I)的線性組合.此時(shí)方程組(I)的每一組解也都是方程組(II)的解。 如果方程組(I)與方程組(II)互為線性組合, 就稱這兩個(gè)方程組等價(jià)。此時(shí)兩個(gè)方程組的同解。將方程組(I)變成方程組(II)的過程是同解變形。 解方程組的基本方法, 就是將方程組進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐庾冃? 直到最后得到的方程組的可以寫出來為止.3.基本的同解變形: 定理 1、方程組的以下三種變形是同解變形: 1.交換其中任意兩個(gè)方程的位置, 其余方程不變。 2.將任一個(gè)方程乘以一個(gè)非零的常數(shù), 其余方程不變。 3.將任一方程的 $la$ 倍加到另一方程上, 其余方程不變。 證、只須證明原方程組(I)與變形后得到的新方程組(II)互為線性組合。 定理 1 所說的線性方程組的三類同解變形, 稱為線性方程組的初等變換。 這三類初等變換都是可逆的:如果方程組(I)通過初等變換變成了方程組(II), 則方程組(II)也可以通過初等變換變回(I)。 1.2.用消去法解方程組 反復(fù)利用定理 1 中所說的三種初等變換, 可以將線性方程組消元,求出解來。 例 1、解線性方程組(略) 以上是方程組有唯一解的例子。解的每個(gè)分量都是由方程組的系數(shù)經(jīng)過加、減、乘、除四則運(yùn)算得到.如果原方程組的系數(shù)都是實(shí)數(shù), 由于實(shí)數(shù)集合對(duì)加、減、乘、除四則運(yùn)算封閉(當(dāng)然除數(shù)不允許為 0), 方程組的唯一解的所有分量就都是實(shí)數(shù)。同樣, 有理數(shù)集合對(duì)加、減、乘、除運(yùn)算也封閉, 因此有理系數(shù)線性方程組的唯一解的分量也都是有理數(shù).還可以考慮一般的系數(shù)范圍, 只要它們對(duì)加、減、乘、除四則運(yùn)算封閉。 定義、設(shè) F 是復(fù)數(shù)集合的子集, 至少包含一個(gè)非零的數(shù), 并且在加、減、乘、除運(yùn)算下封閉(除數(shù)不為 0), 就稱 F是數(shù)域。 例:復(fù)數(shù)集合 C、實(shí)數(shù)集合 R、有理數(shù)集合 Q。 按照這個(gè)術(shù)語, 我們有: 如果線性方程組的系數(shù)都在某個(gè)數(shù)域 F的范圍內(nèi), 并且這個(gè)方程組有唯一解, 則解的分量也都在 F 的范圍內(nèi)。 以后, 凡是談到線性方程組, 總假定它的系數(shù)全都在某個(gè)數(shù)域 F 中, 稱它為F 上的線性方程組。解這個(gè)線性方程組的過程就只涉及到 F 中的數(shù)之間的加、減、乘、除四則運(yùn)算。 以上在解方程組的過程中, 實(shí)際上只對(duì)各方程中各項(xiàng)的系數(shù)進(jìn)行了運(yùn)算(加、減、乘、除運(yùn)算), 每次將代表未知數(shù)的字母抄寫一遍實(shí)際上是一種累贅.為了書寫的簡(jiǎn)便, 更為了突出解方程組中本質(zhì)的東西---系數(shù)的運(yùn)算, 我們采用分離系數(shù)法,將線性方程組中代表未知數(shù)的字母略去, 將等號(hào)也略去, 只寫出各方程的各系數(shù)。將每個(gè)方程的各項(xiàng)系數(shù)從左到右依次寫成一行, 將各方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)上下對(duì)齊, 常數(shù)項(xiàng)也上下對(duì)齊, 這樣得到一矩形數(shù)表, 來表示這個(gè)方程組。 例。 定義、對(duì)任意自然數(shù) m,n, 由數(shù)域 F 中 m x n 個(gè)數(shù)排成 m 行、n 列所得到的數(shù)表, 稱為F 上的m x n矩陣。按照這個(gè)定義, 由 m 個(gè) n 元線性方程組成的方程組用m行n+1列矩陣表示。每一行代表一個(gè)方程。每一列是同一未知數(shù)的系數(shù)或常數(shù)項(xiàng)。 定義、由數(shù)域 F 中 n 個(gè)數(shù) a_i排成的有序數(shù)組(a_1,a_2,…,a_n)稱為 F 上的 n 數(shù)組向量。所有分量都為 0 的向量稱為零向量。 F 上全體n數(shù)組向量組成的集合稱為 F 上的 n 數(shù)組向量空間, 記作 F^n 特別, 每個(gè)線性方程用行向量表示.方程組的解在平常也可以用行向量表示, 以節(jié)省空間.但我們將看到, 作理論分析時(shí), 用列向量來表示方程組的解有它的 優(yōu)越性.將線性方程用向量表示, 線性方程組用矩陣表示之后, 線性方程的加法、數(shù)乘、線性組合等運(yùn)算, 以及線性方程組的初等變換, 就對(duì)應(yīng)于向量的如下運(yùn)算和矩陣的如下基本變形。 n數(shù)組向量的加法,數(shù)乘,線性組合。 矩陣的三類初等行變換。 矩陣的三類初等行變換對(duì)應(yīng)于線性方程組的三類基本同解變形。用基本同解變形對(duì)線性方程組消元的過程, 也就是用初等行變換將盡可能多的矩陣元素化為零的過程。 例。 附件5 教學(xué)效果調(diào)查報(bào)告 線性代數(shù)是一門比較困難的基礎(chǔ)課程,是學(xué)生從具體的內(nèi)容到抽象內(nèi)容過渡需要通過的一個(gè)難關(guān)。特別是數(shù)學(xué)專業(yè)的線性代數(shù),難度就更大。由于我們采用了從問題出發(fā)、啟發(fā)式的教學(xué)方法,在引入抽象的概念時(shí)盡量從解決具體問題的需要出發(fā)、以比較自然的方式來引入,便于學(xué)生理解其背景和實(shí)質(zhì)。這種教學(xué)方法收到很好的效果,學(xué)生普遍克服了害怕線性代數(shù)的情緒,培養(yǎng)了對(duì)這門課程乃至對(duì)代數(shù)學(xué)科的興趣。2000年上學(xué)期,學(xué)校教務(wù)處對(duì)全校435門課程進(jìn)行了教學(xué)檢查,由學(xué)生對(duì)授課教師課堂教學(xué)質(zhì)量評(píng)分。在以前這類檢查中,一般是比較易懂的課程更容易得到高分,而比較困難的課程難于得到高分。但在這次檢查中,李尚志教授承擔(dān)的《線性代數(shù)》課,以測(cè)評(píng)分4.89分的高分在全??偣?35門課程中名列第三。這反映了該課程建設(shè)取得的很好的教學(xué)效果。第五篇:線性代數(shù)--中國科技大學(xué)--典型教案