第一篇：數(shù)學(xué)與善——超越數(shù)學(xué)的本性

數(shù)學(xué)與善——超越數(shù)學(xué)的本性

約在兩千三百年前，舉行了一次著名的演講。聽眾都很有名，包括亞里士多德和色諾芬。這次演講的題目是“善的概念”。演講者是權(quán)威人士：他是柏拉圖。

這篇演說，就其對題目的闡述而論，是失敗的；這是由于演講者主要是獻(xiàn)身于數(shù)學(xué)的。自從柏拉圖和他的直接門徒以后，善的概念就與數(shù)學(xué)脫離了關(guān)系。就是在現(xiàn)代，著名的柏拉圖學(xué)者，除了很少例外，都竭力避免表現(xiàn)出對數(shù)學(xué)的興趣。柏拉圖的一生中，一直意識到數(shù)學(xué)對于探求理想的重要性。在他最后的一篇著作里，他把對這種重要性的無知形容為像“豬一般”。如果柏拉圖復(fù)生，他就會用這樣的詞來刻畫上世紀(jì)大多數(shù)柏拉圖學(xué)者。這個(gè)形容詞是他給的，不是我給的。

但是，毫無疑問，他的演講是失敗的；因?yàn)樗鼪]有使后人弄明白：如何根據(jù)他對數(shù)學(xué)的直覺來闡述善的概念。許多數(shù)學(xué)家曾是善人——例如，帕斯卡和牛頓。還有許多哲學(xué)家曾是數(shù)學(xué)家。但是數(shù)學(xué)與善的特有關(guān)系，仍是未加展開的課題；自從它由柏拉圖首先提出以來，就是如此。但是，這個(gè)理論作為哲學(xué)的基本真理，自柏拉圖時(shí)代以來，就從活躍的思想中消逝了。在歐洲文明的各個(gè)時(shí)代，倫理學(xué)和數(shù)學(xué)分屬于大學(xué)不同的系。

本文的目的是，根據(jù)我們現(xiàn)代的知識，研究這個(gè)課題。思想的進(jìn)步和語言的擴(kuò)充使得我們對于那些由柏拉圖只能用模糊的語句和使人迷惑的神話所表達(dá)的思想，能比較容易地加以闡述了。然而，你們應(yīng)當(dāng)明白：我在這里不是論述柏拉圖。我的題目是現(xiàn)代數(shù)學(xué)和善的概念之間的聯(lián)系。我們根本不涉及任何詳細(xì)的數(shù)學(xué)定理。我們所要討論的是，現(xiàn)在處于發(fā)展過程中的這門科學(xué)的一般性質(zhì)。這是哲學(xué)方面的探討，許多數(shù)學(xué)家知道他們所研究的東西的細(xì)節(jié)，但對于表述數(shù)學(xué)科學(xué)的哲學(xué)特征卻毫無所知。

在距今六、七十年前的時(shí)期中，歐洲人的進(jìn)步文明經(jīng)歷了人類歷史上最深刻的一種變化。整個(gè)世界受到了影響；這一變革起源于西歐和北美。這是觀點(diǎn)的變化。約有四個(gè)世紀(jì)（即16、17、18和19世紀(jì)），科學(xué)思想以一致的步伐向前發(fā)展。在17世紀(jì)，伽利略、笛卡爾、牛頓和萊布尼茨，精心構(gòu)造了一套數(shù)學(xué)的和物理的概念；整個(gè)科學(xué)思想借助于這些概念得到迅速發(fā)展。頂峰可能在從1870~1880的10年中。在那個(gè)時(shí)代，赫爾姆霍茨、巴士德、達(dá)爾文和麥克斯韋做出了他們的發(fā)現(xiàn)。這個(gè)時(shí)代就以這樣的勝利而告結(jié)束。這個(gè)變化影響著各個(gè)思想部門。我在這里主要強(qiáng)調(diào)的是，在數(shù)學(xué)知識領(lǐng)域中所發(fā)生的變動(dòng)。在對這次變革具有影響的發(fā)現(xiàn)中，許多是我們所說的頂峰的十年之前的一百年中做出的。但是，廣泛認(rèn)識到它們的總的影響，則是1880年之后的50年內(nèi)的事。作為題外話，我還想說的是，在數(shù)學(xué)和善這個(gè)主題之外，要舉例說明：從一個(gè)時(shí)代到另一個(gè)時(shí)代，科學(xué)思想是如何緩慢地、不太明顯地向前發(fā)展的？沒有這樣的認(rèn)識，你就不能理解柏拉圖，也不能理解其他哲學(xué)家。

為了理解上述變化，讓我們設(shè)想：一個(gè)有智力的生命在1870年左右開始成長，那時(shí)他大約九歲或十歲。整個(gè)故事可當(dāng)成柏拉圖對話（比如，《泰阿泰德篇》或《巴門尼德篇》）的今譯來讀。這小孩在他的智力生活開始時(shí)，已經(jīng)知道12×12的乘法表。他已經(jīng)掌握加、減、乘、除。簡單的分?jǐn)?shù)是他熟悉的概念。再往后的二三年內(nèi)，還增加上小數(shù)的記法。這樣，整個(gè)算數(shù)基礎(chǔ)不久就被這個(gè)小學(xué)生熟練地掌握了。

在同一個(gè)時(shí)期，他學(xué)習(xí)了幾何和代數(shù)。在幾何中，點(diǎn)、線、平面和其他表面的概念是作為起點(diǎn)的。按照這個(gè)程序，他就會引進(jìn)這些實(shí)體的某種復(fù)雜的模式，而這一模式是由各個(gè)組成部分之間的某些關(guān)系所確定的；然后，就要研究在這樣的模式中有什么其他關(guān)系隱含于這些假定中。例如，它引進(jìn)了直角三角形。然后要證明的是：在假定歐氏幾何的情況下，斜邊上的正方形等于其他兩邊上正方形的和。

這個(gè)例子是有趣的。因?yàn)橐粋€(gè)孩子能容易地觀看由他的老師畫在黑板上的直角三角形的圖形，但在他的意識中并沒有各邊上正方形的概念。換言之，一個(gè)確定的模式（例如直角三角形）并不把它的各種錯(cuò)綜復(fù)雜的性質(zhì)直接顯示給人的意識。

理性意識的這個(gè)奇特的局限性，是認(rèn)識論的基本事實(shí)。小孩知道，老師所講的是，用粗粉筆線在黑板上十分清楚的畫出的直角三角形。但是，這小孩并不知道隱含于其中的無限多的性質(zhì)。

在這個(gè)小孩對他在黑板上看到的直角三角形所產(chǎn)生的概念中，主要因素是：點(diǎn)、線、線的直性、角、直角。離開無所不包的空間，所有這些概念都沒有什么意義。點(diǎn)在空間中有確定的位置，但是并不具有任何空間的廣袤性。線和直線有位置，在明確的限制下，也具有空間的廣袤性。角是直線之間的某些空間關(guān)系。因而，離開所涉及的那個(gè)空間體系，與直角三角形的概念有關(guān)的任何概念都是沒有意義的。

在那個(gè)時(shí)代，甚至著名的數(shù)學(xué)家總要假定：對空間的概念，只有一個(gè)一致的理解；換言之，如果要對空間諸關(guān)系的意義的每一細(xì)節(jié)做出充分的分析，那么談?wù)摽臻g的任何兩個(gè)人就必須指稱同樣的關(guān)系體系。根據(jù)數(shù)學(xué)家的信念，根據(jù)柏拉圖的信念并且根據(jù)歐幾里德的信念，數(shù)學(xué)的目的就是對這個(gè)惟一的、一致的空間概念做出恰當(dāng)?shù)谋硎?。這個(gè)觀點(diǎn)在大約兩千四百年中，作為任何物理科學(xué)的必要基礎(chǔ)曾占統(tǒng)治地位；現(xiàn)在我們知道，它是錯(cuò)誤的，但這是一個(gè)有偉大意義的錯(cuò)誤。因?yàn)橐菦]有把這個(gè)簡化了的假定作為科學(xué)思想的基礎(chǔ)，我們的現(xiàn)代物理學(xué)家就會沒有一個(gè)大家都承認(rèn)的簡化，可是現(xiàn)代物理學(xué)正是借助于這種簡化才能表達(dá)自己。

這樣，上述錯(cuò)誤把學(xué)術(shù)向前推進(jìn)，直到19世紀(jì)末。可是在19世紀(jì)末，他卻成了恰當(dāng)表達(dá)科學(xué)思想的障礙。數(shù)學(xué)家們（至少有一些人）幸運(yùn)地超越了有理性的科學(xué)家們的樸素思想，并且，發(fā)明了各種奇異的與傳統(tǒng)幾何不同的幾何。在世紀(jì)交替的時(shí)候，即在1890~1910年之間，人們發(fā)現(xiàn)：這些不同類型的幾何，對于表達(dá)我們現(xiàn)代的科學(xué)知識有重要意義。

從幾何學(xué)在埃及和美索不達(dá)米亞初步發(fā)端到現(xiàn)在，延續(xù)了差不多四千年的時(shí)間。這種“只有一種幾何學(xué)”的錯(cuò)誤曾盛行于整個(gè)時(shí)期。我們今天的看法，大約有一百年到一百五十年的歷史。我們可以深感滿意地說：“現(xiàn)在我們知道了”。如果我們對于在每一時(shí)代中流行的各種類型的學(xué)術(shù)，不去考察他們與“現(xiàn)在我們知道了”這種情感之間的關(guān)系，那么我們就絕不會理解精確的科學(xué)知識的歷史。這種情感總是以這種或那種形式在保存和推進(jìn)文明的一群卓越人物之中表現(xiàn)出來的。在事業(yè)上取得成功的想法對于任何事業(yè)的繼續(xù)前進(jìn)來說是十分重要的，可是上述情感卻歪曲了這種想法。能否詳細(xì)地說明這種歪曲的特征呢？我們可以用一個(gè)副詞把“現(xiàn)在我們知道了”這句話寫完全。我們可以說：“現(xiàn)在我們部分地知道了”；或者我們可以說：“現(xiàn)在我們完全地知道了”。就柏拉圖和亞里士多德對于后人的影響而言，兩句話之間的區(qū)別標(biāo)志柏拉圖和亞里士多德之間的差別。對有限知識中的任何一次感到完全自我滿足是犯了獨(dú)斷論的根本錯(cuò)誤。每一項(xiàng)知識與無限宇宙這一背景有不可分割的聯(lián)系，各項(xiàng)知識的真實(shí)性及其意義就是由此導(dǎo)出的。甚至算術(shù)的最簡單概念也逃避不了這個(gè)沒法逃避的存在條件。我們是宇宙中的因素，并且對我們的經(jīng)驗(yàn)的每一細(xì)節(jié)來說要依賴于這個(gè)宇宙，我們的知識的每一片斷就是從上述事實(shí)導(dǎo)出其意義的。一個(gè)徹底的懷疑論者就是一個(gè)獨(dú)斷論者。他迷戀于完全無益的東西。凡是我感到滿足、完善的地方，就有錯(cuò)誤的獨(dú)斷論的胚芽。并沒有這樣一種實(shí)體：它具有孤立的、自我感到滿足的存在。換句話說，有限不是自身的根據(jù)。

對上述討論可作如下的小結(jié)：各個(gè)時(shí)代所研究的幾何學(xué)是模式原理的一章；并且，模式為有限的識別力所知道，它又部分地揭示了與宇宙背景的本質(zhì)聯(lián)系?！皫缀巍边@個(gè)詞指的是模式的一個(gè)屬，這個(gè)屬包括各種各樣的種。

現(xiàn)在我們來討論數(shù)學(xué)的基本概念——數(shù)。這一節(jié)可以簡化，因?yàn)樵S多有關(guān)的見解，已經(jīng)在前面考察幾何學(xué)時(shí)講過了。

自希臘時(shí)代以來，數(shù)的學(xué)說總包含一些奇異的小矛盾。他們往往被許多思想家所忽略。19世紀(jì)的最后25年中，德國和奧地利的康托爾、弗雷格，意大利的皮亞諾和皮耶里，以及英國的符號邏輯研究者們，對整個(gè)學(xué)科開始進(jìn)行更加全面的研究，揭示了許多棘手的問題。最后羅素提出了日常推理中的一個(gè)突出的自相矛盾。我記得很清楚：他在給弗雷格的一封私人信件中揭示了他。弗雷格的復(fù)信，一開始就驚訝地說：“哎呀！算術(shù)動(dòng)搖了!”

弗雷格是正確的：算術(shù)動(dòng)搖了，并且仍在動(dòng)搖。但是，羅素能隨機(jī)應(yīng)變。后來我們合作寫了《數(shù)學(xué)原理》，羅素引進(jìn)了實(shí)體的“類型”的概念。根據(jù)這個(gè)學(xué)說，數(shù)的概念之應(yīng)當(dāng)適用于一種同類型的實(shí)體。這樣，數(shù)“三”在應(yīng)用于某一類型的實(shí)體時(shí)，與應(yīng)用于另一類型的實(shí)體的數(shù)“三”，有不同的意義。例如，如果我們考慮兩種不同的類型，那么就有數(shù)“三”的兩種不同的意義。

羅素是完全正確的。把數(shù)的推理限定在某一類型內(nèi)，所有的困難就被克服了。他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)安全的規(guī)則。但很不幸，這個(gè)規(guī)則如果不預(yù)設(shè)在該規(guī)則限制外所使用的屬概念，它就不能被表達(dá)。因?yàn)樵诿恳活愋椭械臄?shù)“三”，它本身屬于不同的類型。每一類型本身又是與其他類型有區(qū)別的一種類型。這樣，根據(jù)該規(guī)則，兩個(gè)不同類型的想法是毫無意義的，數(shù)三的兩種不同意義的想法也是毫無意義的。因而，我們理解該規(guī)則的惟一方法是毫無意義的。因而，該規(guī)則必須理解為只是一個(gè)安全的規(guī)則；要完全解釋數(shù)就要理解事物的多樣性與無限性的概念之間的關(guān)系。甚至在算術(shù)中，你們也不能不下意識的涉及無限的宇宙。你們是從總體中抽象出細(xì)節(jié)，并且對這種抽象強(qiáng)加上各種限制。請記住，拒絕思考并不意味所思考的實(shí)體不存在。我們有意識的思想，是以實(shí)體存在為背景對實(shí)體所進(jìn)行的抽象。這思想只是強(qiáng)調(diào)的一種形式。

在概述數(shù)學(xué)概念時(shí)，最后來談?wù)劥鷶?shù)。是誰發(fā)明了代數(shù)？是“在阿拉伯”，還是“在印度”發(fā)明的，請你們都要告訴我。在一種意義上，對于代數(shù)概念有用的符號體系創(chuàng)始于這兩個(gè)國家中的一個(gè)或另一個(gè)，或二者，這都是真的。但是，還有一個(gè)進(jìn)一步的問題，我確信，如果柏拉圖有代數(shù)方面的知識，這個(gè)問題一定會引起柏拉圖的興趣。它就是：加以符號化這個(gè)基本思想，是誰發(fā)明的？

什么是代數(shù)的基本概念呢？這就是：“給定的同類東西中的任何一個(gè)例子，這是從這個(gè)特例或那個(gè)特例抽象得來的”。

在地球上，即使片刻具有上述概念的第一個(gè)動(dòng)物，也是第一個(gè)有理性的生物。你能看到動(dòng)物在這東西和那東西之間進(jìn)行選擇。但是動(dòng)物的智力要求具體的實(shí)例。人類的智力能從實(shí)例中抽象出某一類型東西來。人類這個(gè)特性的最明顯的表現(xiàn)就是數(shù)學(xué)概念和善的理想，這種理想超出了任何直接的認(rèn)識。

有關(guān)認(rèn)識精確性的任何實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，人類是不承認(rèn)的；而數(shù)學(xué)和完善的理想，正是與精確性相聯(lián)系。這是實(shí)踐與理論之間的差別。所有理論要求精確的概念，而不管它隱藏在什么地方。在實(shí)踐中，精確性消失了：只剩下一個(gè)問題，“它起作用了嗎？”但是，實(shí)踐的目的，只能靠使用理論來確定；所以，“它起作用了嗎？”這個(gè)問題是與理論有關(guān)的。理論的重要性在于它與實(shí)踐的關(guān)系。實(shí)踐的模糊性，被清晰的理想經(jīng)驗(yàn)加強(qiáng)了。

在實(shí)踐中，沒有人遵循著任何一個(gè)精確的數(shù)學(xué)概念。請考慮上述在學(xué)習(xí)幾何時(shí)的那個(gè)小孩吧。他絕不會看到一個(gè)精確的點(diǎn)或一條精確的線，或精確的線的直性，或一個(gè)精確的圓。這樣一些事物，是在那個(gè)孩子的思想中不能實(shí)現(xiàn)的理想。很多這樣的理想將被有理性的人所承認(rèn)。但是，當(dāng)我們轉(zhuǎn)到算術(shù)上時(shí)，這樣的人就要陷入泥潭。你們可以聽到他說（也許你們自己就這么說）：“我能見到一把椅子、兩把椅子、三把椅子、四把椅子和五把椅子，并且，我能觀察到：兩把椅子和三把椅子，當(dāng)歸到一起時(shí)，構(gòu)成五把椅子的一組?！边@樣，我們的聰明的朋友已經(jīng)精確的觀察到算術(shù)概念和一條算術(shù)定理的實(shí)例。

現(xiàn)在，問題是：他已經(jīng)精確的觀察到了嗎？或者，它是否有了從其概念性的經(jīng)驗(yàn)中引出的精確觀念？在什么意義上，它精確的觀察到了一把椅子？他觀察到，它的視覺經(jīng)驗(yàn)的一般范圍內(nèi)的模糊差別。但是，假定我們把它限定在一兆兆分之一英寸的范圍內(nèi)，那么椅子在哪里終止，其余的東西又在哪里開始呢？哪個(gè)原子屬于椅子，哪個(gè)原子屬于周圍的空間？椅子在不斷地得到和失去原子。它既不是恰好和環(huán)境分開；當(dāng)時(shí)間不知不覺逝去時(shí)，它也并不恰好保持自我統(tǒng)一。再則，讓我們長期地考察椅子。它逐漸變化，甚至遍及其堅(jiān)實(shí)的木質(zhì)部分。在窯洞里放了一百萬年之后，它變成易損壞的，并且，一觸就散了。緩慢的、感覺不到的變化總是在進(jìn)行。

我們要記?。喝祟愐挥⒋玳L的概念，一秒鐘時(shí)間的概念，作為合理的基本數(shù)量，是僅僅與人類生活相聯(lián)系的。此外，物理學(xué)家和天文學(xué)家的現(xiàn)代發(fā)現(xiàn)向我們揭示了微小的的事件和極巨大的事件同人類生活的聯(lián)系。我們的精確的概念性的經(jīng)驗(yàn)是強(qiáng)調(diào)的一種方式。理想使現(xiàn)實(shí)的事件受到鼓舞，而概念性的經(jīng)驗(yàn)使理想活躍。這種概念性的經(jīng)驗(yàn)對感性經(jīng)驗(yàn)的單純變化增添了價(jià)值觀和美感。日落顯示了天空的光輝，這正是由于概念的刺激。這么說，并不意味著一系列明顯無力的思想創(chuàng)造出了非凡的奇跡，而是意味著從現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)過渡到它的理想領(lǐng)域。我們的存在受到概念性的理想的鼓舞，轉(zhuǎn)變著模糊的知覺。

如果我們不能認(rèn)識到構(gòu)成我們?nèi)祟惤?jīng)驗(yàn)的不斷變動(dòng)由于強(qiáng)調(diào)方式的各種相繼的類型（這些類型產(chǎn)生出有限聚集事物的能動(dòng)能力）因而并不是無價(jià)值的無限性，那么我們就不能理解這種變動(dòng)。由迷信引起的對無限的畏懼曾是哲學(xué)的禍根。無限沒有特性。全部價(jià)值都是有限的此物，這是能動(dòng)性的必要條件。能動(dòng)性還意味著：創(chuàng)造聚集物的模式，而數(shù)學(xué)就是對模式的研究。在這里，我們發(fā)現(xiàn)把數(shù)學(xué)與善的研究和惡的研究相聯(lián)系的重要線索。

請讀者注意：在本文的較前部分，我曾強(qiáng)調(diào)，沒有自我存在的有限實(shí)體。有限本質(zhì)上涉及一個(gè)無限的背景。我們現(xiàn)在得出了相反的原理，即無限本來是無意義的和無價(jià)值的。它靠具體化為有限實(shí)體而獲得意義和價(jià)值。離開有限，無限就沒有意義，并不能同非實(shí)體相區(qū)別。所有事物之間的本質(zhì)聯(lián)系的思想是理解下述問題的主要步驟：有限實(shí)體如何需要無限制的宇宙，宇宙如何靠具體化為有限的活動(dòng)獲得意義和價(jià)值。

在哲學(xué)家中間，斯賓諾莎強(qiáng)調(diào)，無限是十分重要的，并且，以有限的方式引進(jìn)一個(gè)次要的差別。萊布尼茨則反過來強(qiáng)調(diào)有限單子的必要性，并且把他們建立與自然神論的無限這個(gè)下層基礎(chǔ)之上。他們二人都沒有適當(dāng)強(qiáng)調(diào)以下事實(shí)：無限若不具體化為有限的價(jià)值，它就是一句空話，并且，有限實(shí)體若沒有它們同無限的關(guān)系就是毫無意義的?！袄斫狻边@個(gè)概念，需要把握住所說的實(shí)體的有限性如何需要無限，還要把握住無限如何需要有限這種觀念。探求這樣的“理解”就是哲學(xué)的本意。這就是為什么處理有限模式的數(shù)學(xué)，與善的概念和惡的概念有關(guān)的理由。

現(xiàn)以大的宗教來說明這個(gè)原理。佛教強(qiáng)調(diào)神學(xué)原理的絕對無限，因而其實(shí)際影響已經(jīng)喪失了充沛的活力。該宗教的后繼者們已經(jīng)缺乏沖勁?；浇痰慕塘x上的爭論已經(jīng)涉及以有限來刻畫無限的問題。以其他術(shù)語來想象有限物的能力是不可能的。善這個(gè)概念，正是通過對惡勢力的有力反對，從而通過神性的限制而被想象的。這種限制表面上被否認(rèn)，而暗中卻被承認(rèn)。

代數(shù)科學(xué)的歷史，是表達(dá)有限模式的技巧成長的故事。代數(shù)是一個(gè)更大的技巧中的一個(gè)組成部分，這個(gè)技巧就是語言。但是，當(dāng)語言的意義在人類歷史上產(chǎn)生時(shí)，語言主要是借助偶然的聯(lián)系來指明這些意義。誠然，語言竭力體現(xiàn)其結(jié)構(gòu)中的那些意義的某些方面。含義很深很響的詞體現(xiàn)了極度深沉的悲痛。事實(shí)上，文學(xué)藝術(shù)（口頭的或書面的）是要整理語言，使得它可體現(xiàn)它要指明的東西。

但是，在語言自然所表現(xiàn)的東西中較大部分是與所指明的意義無關(guān)的。句子是詞的一個(gè)序列。但是，這個(gè)序列一般地與意義無關(guān)。例如，“矮胖子坐在墻上”就包含一個(gè)與意義無關(guān)的序列?！皦Α苯^不是在“矮胖子”后面。還有，做的姿勢可以與坐者和墻的創(chuàng)設(shè)同時(shí)被實(shí)現(xiàn)。這樣，詞語的次序，對于所傳達(dá)的思想，關(guān)系極小。詞語的次序確實(shí)影響接受者的感情（如渴望和猶豫）。但是，像這樣產(chǎn)生的這種感情，與接受者的性格有關(guān)。代數(shù)徹底改變了日常語言中比較重要的因素。它本質(zhì)上是一種書寫語言，并且，它努力在其書寫的結(jié)構(gòu)中體現(xiàn)它所要表達(dá)的模式。也許這種努力并不總是成功的。但是代數(shù)徹底改變了日常的語言習(xí)慣。在代數(shù)的用法中，紙上符號的模式是用以傳達(dá)思想的模式的一個(gè)特例。

另外，對“任何”這個(gè)概念可以有一個(gè)擴(kuò)充。在算術(shù)中，我們寫“二加三”等于“三加二”。我們考慮的是，聚集物的兩個(gè)過程。這種類型的聚集物用“加”這個(gè)詞（或記號）表示，并且，其意義限定于與數(shù)有關(guān)。我們可以斷言：兩個(gè)程序得到有同樣多成員的集合。這個(gè)數(shù)事實(shí)上是“五”，但是沒有說出來。

然后，在代數(shù)中，思想上限于特定數(shù)的限制取消了。我們寫“x＋y＝y(tǒng)＋x”;在這里，x和y是任何兩個(gè)數(shù)。因此，代數(shù)在其創(chuàng)始時(shí)，就涉及模式研究中的巨大進(jìn)展。多種多樣的模式關(guān)系，比如，在二項(xiàng)式定理中涉及的關(guān)系，就進(jìn)入人類的思想。自然，代數(shù)是慢慢成長的。幾百年來，它被認(rèn)為是求方程解的方法。在中世紀(jì)的某個(gè)地方，一位運(yùn)氣不好的皇帝（或別的要人）和他的朝臣一起，必須聽一位有學(xué)問的意大利人詳述一個(gè)三次方程的解法?？蓱z的人們——可愛的意大利人花費(fèi)了一個(gè)下午??！如果他們的興趣沒有被什么魔法吸引住的話，他們準(zhǔn)會打哈欠的！

19世紀(jì)初，代數(shù)所研究的就是上述這些模式，他們涉及把數(shù)聚合在一起的各種方式，使得每一集合可用一個(gè)屬表示，這一個(gè)數(shù)被看成是那集合的結(jié)果。兩個(gè)集合之間的相等關(guān)系意指：兩個(gè)集合表示同一個(gè)數(shù)。但是，令人感興趣的是具有同一個(gè)數(shù)的集合的兩個(gè)模式。這樣，在發(fā)展著的宇宙中所認(rèn)識的數(shù)模式的某些一般特征，與二維表面（通常是幾張紙）上記號模式的特征相同。這種把意義的模式等同于寫出的記號（或聲音的記號）的模式是日常語言的一個(gè)次要特征，盡管它對于口頭語言有某種程度的重要性。但是，這種等同卻是代數(shù)語言的主要特征。

今天，總攬20世紀(jì)上半葉，我們發(fā)現(xiàn)代數(shù)有很大的擴(kuò)展。它已經(jīng)擴(kuò)展到數(shù)的領(lǐng)域之外，并且應(yīng)用于一大批模式（數(shù)在其中是次要因素）。往往在數(shù)為人們明確的承認(rèn)時(shí)，它的主要用處就是提供名稱，例如，用作房子的名稱。這樣，數(shù)學(xué)現(xiàn)在就變?yōu)閷Ω鞣N類型的模式進(jìn)行理智的分析。

模式具有重要性的看法和文明一樣古老。每一種藝術(shù)都奠基于模式的研究。社會組織的結(jié)合力也依賴于行為模式的變更。因而，把模式灌輸進(jìn)自然發(fā)生的事物，這些模式的穩(wěn)定性，以及這些模式的變更，對于善的實(shí)現(xiàn)都是必要條件。

數(shù)學(xué)對于理解模式和分析模式之間的關(guān)系，是最強(qiáng)有力的技術(shù)。在這里，我們基本上闡明了柏拉圖講演的題目的意思?？紤]到數(shù)學(xué)有無窮多的主題內(nèi)容，數(shù)學(xué)甚至現(xiàn)代數(shù)學(xué)也是處于嬰兒時(shí)期的一門科學(xué)。如果文明繼續(xù)發(fā)展，那么在今后兩千年，人類思想中壓倒一切的新特點(diǎn)就是數(shù)學(xué)悟性要占統(tǒng)治地位。這種推廣了的數(shù)學(xué)的本質(zhì)就是，研究相關(guān)模式的最顯著的實(shí)例，而應(yīng)用數(shù)學(xué)則是將這種研究轉(zhuǎn)移到實(shí)現(xiàn)這些模式的其他實(shí)例上。

模式只是我們理解經(jīng)驗(yàn)的一個(gè)因素，它或是具有直接的價(jià)值，或是激起追求未來價(jià)值的活動(dòng)。例如，在一幅圖畫中，幾何的模式也許是好的，但是，配上顏色，也許是可憎的。還有，每一種單獨(dú)的顏色也許是貧乏的、不確定的和微弱的。由這個(gè)例子可得出如下一條真理：沒有一個(gè)實(shí)體只是由其個(gè)別特征，或只是由它與其他實(shí)體的關(guān)系來刻畫的。每一實(shí)體本質(zhì)上具有一個(gè)個(gè)別特征，并且本質(zhì)上也是潛在的或現(xiàn)實(shí)的關(guān)系之一端。個(gè)別特征的一些因素成為關(guān)系的一部分，并且，反過來，關(guān)系成為該特征的一部分。換句話說，沒有一個(gè)實(shí)體能被看成是脫離天地萬物的；并且，沒有一個(gè)實(shí)體能被奪去自己的個(gè)性。傳統(tǒng)邏輯過分強(qiáng)調(diào)個(gè)別特征?！叭魏我粋€(gè)”這個(gè)概念除去了個(gè)別特征；但是，沒有一個(gè)實(shí)體只是“任何一個(gè)”。因而，當(dāng)我們應(yīng)用代數(shù)時(shí)，在代數(shù)思想之外的因素是與總的情況有關(guān)的?，F(xiàn)在我們回到那幅圖畫，單純的幾何并不是全部，此外，顏色也是有關(guān)的。

在一幅圖畫中，顏色（包括黑和白）可被縮減到極少，例如，在一幅筆墨寫生畫中就是如此。但是，顏色的某種差別，對于自然表示幾何圖樣是必要的。另一方面，顏色在某些壯麗的藝術(shù)作品中可能占重要地位。再則，圖畫可能是好的，而著色的結(jié)果也許失敗了。因此，善和惡的整個(gè)課題就發(fā)生了。如果不涉及各種錯(cuò)綜復(fù)雜的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ?，你就沒法討論善和惡。討論善和惡可能要求對經(jīng)驗(yàn)的理解具有一定的深度，而一個(gè)單薄的模式可能阻撓預(yù)想的實(shí)現(xiàn)。于是，有一種微不足道的惡——一幅寫生畫竟能取代一幅完全的圖畫。另外，引起強(qiáng)烈經(jīng)驗(yàn)的兩個(gè)模式可以彼此沖突。于是，就有一種由主動(dòng)的對抗所產(chǎn)生的、強(qiáng)烈的惡。這種類型有三種形式：一個(gè)概念與一個(gè)實(shí)在沖突，或兩個(gè)實(shí)在相沖突，或兩個(gè)概念相沖突。

也許有其他類型的惡。但是，我們關(guān)心的是經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ降氖д{(diào)。整個(gè)模式已經(jīng)抑制其各部分的顯著影響。但是，這一想法如果不涉及感覺背景（即情感的和解析的經(jīng)驗(yàn)）就是毫無意義的，而整個(gè)模式就是在這個(gè)感覺背景上產(chǎn)生的。每一抽象的重要性來自它對某種感覺背景的關(guān)系；那感覺背景所要找的正是他的單元，即直接當(dāng)下的一個(gè)個(gè)別的復(fù)雜事實(shí)。一個(gè)模式本來既非善，也非惡。但是每一個(gè)模式的存在只有通過對經(jīng)驗(yàn)的理解（實(shí)際的理解或概念性的理解）才能決定。這樣一來，一個(gè)模式就在感覺強(qiáng)烈時(shí)起作用，喚醒無限去認(rèn)識有限的活動(dòng)。存在的本性是這樣的：它是通過感覺獲得模式，他強(qiáng)調(diào)一組有限的所選定的個(gè)體（即模式化的實(shí)體），例如，顏色和聲音的空間排列。但是，這些有關(guān)的個(gè)體不一定是純質(zhì)的東西。人類超出了顏色和聲音的配合。模式的概念強(qiáng)調(diào)存在的相對性，即事物如何相聯(lián)系的。但是，這樣聯(lián)系的事物本來就是實(shí)體。一個(gè)模式中的每一實(shí)體進(jìn)入別的模式，并且，在存在的這種多樣性中保留其自己的個(gè)體性。哲學(xué)的關(guān)鍵是在存在的個(gè)體性和存在的相對性之間保持平衡。在一個(gè)模式中的每一個(gè)個(gè)別實(shí)體，也許可以加以分析，以便使其表現(xiàn)為所得到的模式的單元。我在這里強(qiáng)調(diào)的是，模式在有限多個(gè)享有那個(gè)模式的感覺單元中具有引進(jìn)善和惡的功能。數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征就是，在從模式化的個(gè)體作抽象的過程中對模式進(jìn)行研究。

當(dāng)柏拉圖在其講演中把數(shù)學(xué)和善的概念相聯(lián)系時(shí)，它自覺的或不自覺地在為全人類所流傳的傳統(tǒng)思想方式作辯護(hù)。新穎之處是希臘才子們所逐漸強(qiáng)調(diào)的抽象方法。數(shù)學(xué)正如在柏拉圖學(xué)園所研究的那樣，是從對雅典生活的具體事實(shí)所作的幾何和數(shù)值的刻畫中抽象出來的。亞里士多德解剖動(dòng)物，并且分析整體。它構(gòu)想出屬和種。就這樣，它從內(nèi)容充實(shí)的經(jīng)驗(yàn)中抽象出邏輯特性?？茖W(xué)抽象的新時(shí)代就出現(xiàn)了。

在使用這種技巧方面的一個(gè)危險(xiǎn)就是片面地使用邏輯，因而，所要拋棄的僅僅是一個(gè)錯(cuò)誤的命題。然而，如果一切命題不涉及與背景的關(guān)系加以解釋，那么他們就全是錯(cuò)誤的；而那個(gè)背景是我們所經(jīng)歷的，用不著加以任何有意識的分析。19世紀(jì)中的大科學(xué)家們所承認(rèn)的每一個(gè)科學(xué)命題，從嗣后所得到的解釋來看，是錯(cuò)誤的。他們的空間學(xué)說是錯(cuò)誤的，他們的物質(zhì)學(xué)說是錯(cuò)誤的，他們的各種證據(jù)理論也是錯(cuò)誤的。柏拉圖的對話所引起的持久的興趣不在于它們闡明了抽象的學(xué)說。這些對話充滿著對經(jīng)驗(yàn)的具體單元所作的暗示，因此，每一個(gè)抽象課題引起了人們的興趣。

抽象涉及強(qiáng)調(diào)，而強(qiáng)調(diào)卻使經(jīng)驗(yàn)活躍起來，對善和惡也都如此?，F(xiàn)實(shí)所持有的一切特性都是強(qiáng)調(diào)方式；根據(jù)這種方式有限使無限活躍起來。這樣，創(chuàng)造性涉及價(jià)值經(jīng)驗(yàn)的產(chǎn)生，這要依靠從無限進(jìn)入有限，因此，要從有限模式的細(xì)節(jié)和總體導(dǎo)出特殊的特征。

這就是在創(chuàng)造任何現(xiàn)實(shí)及其同有限和無限的統(tǒng)一體中所涉及的抽象。但是，意識進(jìn)到二階抽象，通過這種抽象，現(xiàn)實(shí)事物的有限要素，就從那個(gè)事物抽象出來了。雖然這個(gè)程序降低了“實(shí)在”的意義，但對有限的思想?yún)s是必要的。它是科學(xué)的基礎(chǔ)。哲學(xué)的任務(wù)是把這個(gè)過程倒過來，從而展現(xiàn)出理解和現(xiàn)實(shí)是融為一體的。由此可見，哲學(xué)不是一門具體科學(xué)。

第二篇：超越是非是善智故事

感情上不執(zhí)不舍，禪者之情；

物欲上不貪不拒，禪者之欲；

對世間不厭不求，禪者之性；

對生死不戀不離，禪者之命。

將信息化合成知識者，稱為學(xué)者；

將知識升華為智慧者，譽(yù)為哲人；

將智慧凝結(jié)為信仰者，擁為領(lǐng)袖；

將信仰普惠于眾生者，奉為神明。

若能真悟無常，改變自己便不是難事；

若能徹悟生死，超脫輪回便不是戲言。

不說是非是善口；

不聽是非是善耳；

不傳是非是善意；

不怕是非是善膽。

超越是非是善智。

度化是非是善心。

第三篇：超越模式的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的讀后感

暑假一開始，我拿起了黃靜名師工作室下發(fā)的特級教師林富良著《超越模式的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)》一書，讓我得以領(lǐng)略到特級教師的教學(xué)風(fēng)采和高超的課堂教學(xué)藝術(shù)。本書通過五個(gè)章節(jié)對小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式進(jìn)行了深入地闡述和總結(jié)。其中第一章主要闡述了作者對于小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式的基本認(rèn)識，第二、三、四章著重記錄了課改十年間作者歷經(jīng)課改的探索歷程和課改成果，第五章表達(dá)的是建構(gòu)教學(xué)模式與教師專業(yè)成長的關(guān)系。讓我感觸最深的是第一、四兩章。

模仿—整合—超越是教學(xué)模式的三重境界

翻開第一章，映入我頭腦中的是：模仿—整合—超越是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式的三重境界。回顧十五年的數(shù)學(xué)教學(xué)從教生涯，期間也聽了許多名師課堂、專家講座，也接觸過形形色色的教學(xué)模式，并在課堂中淺嘗輒止，所以一直處于教學(xué)的第一重境界?？赐甑谝徽率刮业靡孕盐?，名師專家的課堂報(bào)告不應(yīng)自是當(dāng)時(shí)的一時(shí)沖動(dòng)和向往，不應(yīng)只是拿來玩玩或嘗嘗鮮，而應(yīng)該是和自己的教學(xué)向比較，把從名師專家那里獲取和得到的好的方法模式和自己的模式結(jié)合起來加以實(shí)踐，不斷磨合，將多種模式融入到自己的課堂教學(xué)之中，以此形成自己的教學(xué)風(fēng)格，通過不斷優(yōu)化課堂教學(xué)，形成有自己風(fēng)格的高效的課堂教學(xué)模式，有了整合后的教學(xué)模式還只是達(dá)到了第二重境界。

課堂教學(xué)的第三重境界超越模式

那么怎樣才算是達(dá)到課堂教學(xué)模式的第三重境界呢？有研究者提出：“教學(xué)不是應(yīng)該有模式，而是應(yīng)該有合適的教學(xué)程序，教學(xué)程序也無須模式化！”由于教學(xué)模式的實(shí)施是復(fù)雜的、非線性的、開發(fā)的、具有非確定性、隨機(jī)性和自組織性的特點(diǎn)，教師在課堂教學(xué)中就不能機(jī)械地按原先設(shè)定的一種思路進(jìn)行教學(xué)，而是要關(guān)注課堂的動(dòng)態(tài)生成敢于放棄預(yù)設(shè)，超越既定的模式，與學(xué)生一起互動(dòng)、創(chuàng)新，因材施教、因勢利導(dǎo)。這才是課堂教學(xué)的第三重境界超越模式?？梢姟敖虒W(xué)有法，但無定法，貴在得法”，這句俗語不僅是經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，更是對教學(xué)模式的追求目標(biāo)?；仡欁约阂约吧磉叺慕處熡袔缀螘r(shí)在課堂上能做到第三重境界，我們多半是機(jī)械地按事先設(shè)定好的思路進(jìn)行教學(xué)，課堂上不論學(xué)生出現(xiàn)的是什么情況我們都要往設(shè)計(jì)好的流程上引導(dǎo)，缺乏與學(xué)生的真切交流，沒有真正關(guān)注學(xué)生思維的發(fā)展，上一節(jié)課如同是在照著劇本去演戲，生怕演雜了。林老師一語中的，課堂上作為教師我們是應(yīng)該根據(jù)師生、生生互動(dòng)的情況，因勢利導(dǎo)，創(chuàng)造性地組織起適合學(xué)生參與、自主、創(chuàng)新的教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在獲取知識的同時(shí)產(chǎn)生自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，獲得豐富的情感體驗(yàn)，使課堂充滿智慧的光芒和生命的色彩。

先學(xué)后教：變革學(xué)生的學(xué)習(xí)方式

先學(xué)后教是怎樣的教學(xué)方式？先學(xué)后教應(yīng)該如何實(shí)施？先學(xué)后教教師究竟怎樣教，學(xué)生究竟怎樣學(xué)？先學(xué)后教的方式會在課堂上產(chǎn)生怎樣的效果，對學(xué)生的發(fā)展是不是有利？帶著這樣的問題我翻開了第四章，開始尋找答案。

“先學(xué)后教”是以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的，將學(xué)生已有的知識、能力、興趣、愛好極大地激發(fā)出來，讓學(xué)生主動(dòng)參與課堂教學(xué)活動(dòng)，成為課堂的主人的一種教學(xué)模式先學(xué)是要學(xué)生先通過獨(dú)立學(xué)習(xí)，獨(dú)立閱讀、思考以及完成作業(yè)，自行解決能夠解決的問題，后教是教師要轉(zhuǎn)變角色走下講臺以合作者、促進(jìn)者的身份積極參與學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)，與學(xué)生一起合作一起成長。這種教學(xué)模式是把學(xué)生當(dāng)做課堂的主體，學(xué)習(xí)的主人，先學(xué)后教的課堂特征第一是學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，教師要幫助學(xué)生構(gòu)建有效的可持續(xù)進(jìn)行的主動(dòng)學(xué)習(xí)框架。第二是學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，學(xué)生首先通知自主學(xué)習(xí)，小組合作學(xué)習(xí)，有困難時(shí)才由教師點(diǎn)撥、講解幫助解決。這種學(xué)習(xí)方式有利于激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)需求以及學(xué)習(xí)的積極主動(dòng)性，有助于建立計(jì)良好的師生、生生關(guān)系，有利于學(xué)生自身的發(fā)展。

先學(xué)后教的實(shí)施方法即路徑有很多種，林老師主要講解了“三環(huán)六學(xué)”的教學(xué)結(jié)構(gòu)。三環(huán)為導(dǎo)入自學(xué)、展示探討、鞏固運(yùn)用。六學(xué)為引學(xué)、自學(xué)、展學(xué)、研學(xué)、固學(xué)、延學(xué)。有了這三環(huán)六學(xué)的實(shí)施路徑，接下來是如何借助多種載體加以實(shí)施，實(shí)施過程中教師和學(xué)生的角色如何定位，林老師通過實(shí)踐總結(jié)出利用下面五種載體在課堂的不同時(shí)間段加以實(shí)施，第一、適當(dāng)使用導(dǎo)學(xué)案，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會預(yù)習(xí)；第二、精心設(shè)計(jì)嘗試題，讓學(xué)生探究更有效；第三、老師讓講臺，小先生們開口講起來；第四、通過小組合作學(xué)習(xí)，促進(jìn)人人參與學(xué)習(xí)；第五、教師四周掛白板，讓學(xué)習(xí)進(jìn)展成為生成資源。借助“導(dǎo)學(xué)案、嘗試題、講臺、小組、白板”這五種載體充分把學(xué)生放在的主體位置，教師為學(xué)生的先學(xué)鋪路搭橋，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、自主發(fā)展，為學(xué)生學(xué)習(xí)提供強(qiáng)有力的保障。這種教學(xué)模式與我市教研室提出的“學(xué)講”計(jì)劃有著十分相似之處。

先學(xué)后教的教學(xué)思想的優(yōu)勢體現(xiàn)在它充分利用了學(xué)生已有的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)及探究學(xué)習(xí)的方法，把學(xué)生當(dāng)做學(xué)習(xí)的主體，學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，充分利用了學(xué)習(xí)小組的優(yōu)勢和潛能，讓學(xué)生通過自主嘗試、小組合作交流、學(xué)生自主講學(xué)、師生共同研討的學(xué)習(xí)活動(dòng)使學(xué)生經(jīng)歷問題的提出、探究的歷程、獲取數(shù)學(xué)思路、思想的過程，從而提高學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)能力，促進(jìn)學(xué)生的自身發(fā)展。正如古人云“授之以魚，不如授之以漁”，學(xué)生需要的不僅是知識，比知識更重要的是學(xué)生的方法、學(xué)習(xí)的經(jīng)歷，“先學(xué)后教”的模式把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，使他們既得“魚”，又得“漁”。

第四篇：莊子本性與物性[模版]

莊子本性與物性

故事：

乾隆下江南的時(shí)候，在鎮(zhèn)江金山寺，他問當(dāng)時(shí)的高僧法磐：“長江中船只來來往往，這么繁華，這么繁華，一天到底要過多少只船??？”

法磐回答：“只有兩只船?！?/p>

乾隆問：“怎么會只有兩只船呢？”

法磐說：“一條為名，一條為利，整個(gè)長江中來往的無非是這兩條船?！?/p>

司馬遷在《史記》中也寫到：天下熙熙皆為利來，天下攘攘皆為利往。除了利，世人心中最看重的就是名了，多少人辛苦奔波，名和利就是最基本的支點(diǎn)。

我們的莊子雖然過著清貧的生活，但是他卻能安貧樂道，過的逍遙，自在。

在《莊子·逍遙游》中，他寫到“若夫天地之正，而御六氣之辯，以有無窮者，彼且惡乎待哉！”他上窮碧落下黃泉，嬉笑怒罵，說盡天下，但其實(shí)他的內(nèi)心并不激烈。莊子認(rèn)為，人生的最高境界就是逍遙游。

人的本性是無羈無絆的，只有釋放了自己的本性，才能達(dá)到逍遙的境界。人的本性不應(yīng)該被外物所役使，所左右。順乎自然，就能獲得人生的快樂。他在《列御寇》中獎(jiǎng)了一個(gè)故事：莊子和曹商的故事。

莊子說過一句驚心動(dòng)魄的話，在我們的這種以圣賢為規(guī)矩法度的價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)中，“自三代以下者，天下莫不以物易其性矣?！保簿褪钦f，從堯、舜、禹大治天下以下，人們無不在以外在的物質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)去改變?nèi)说谋拘浴?/p>

現(xiàn)實(shí)生活中的人

有一人，做媒體出身，后來開始從事房地產(chǎn)業(yè)，資產(chǎn)越做越大，事業(yè)越來越成功。他離開媒體的時(shí)候非常痛苦，因?yàn)槊襟w是他最喜歡的事業(yè)。但是為什么要去做房地產(chǎn)呢？他說：因?yàn)槲乙獮槲覍淼募彝ズ秃⒆迂?fù)責(zé)，要給他們幸福的生活。所以我違背了我的“心”，我必須要有更多的金錢。

他結(jié)了婚，有一個(gè)非?？蓯鄣膬鹤?，錢也掙得很多，生活也應(yīng)該挺好了。忽然他說，他要移民，去一個(gè)很遠(yuǎn)的國家，而且先是讓他的妻子帶著孩子過去，而他則還要繼續(xù)在國內(nèi)掙錢。為什么他那么喜歡他的妻子和孩子，最終卻要和他們分開呢？

他的回答是：“以我們家現(xiàn)在的資產(chǎn)，這個(gè)孩子如果在國內(nèi)上學(xué)，我擔(dān)心孩子會被綁架。所以我要將他們送走。

這就是我們身邊的故事，利真的越大越好嗎？

莊子把這些看得很淡，沒有被外界的事物所牽絆，他守住了自己的“心”，保持一種清明的心態(tài)，“名利”束縛不了他，因此他獲得了很多的快樂，達(dá)到逍遙的境界。

第五篇：《超越模式的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)》讀后感（最終版）

《超越模式的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)》讀后感

龍港二小 陳云霄

暑假一開始，我拿起了黃靜名師工作室下發(fā)的特級教師林富良著《超越模式的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)》一書，讓我得以領(lǐng)略到特級教師的教學(xué)風(fēng)采和高超的課堂教學(xué)藝術(shù)。本書通過五個(gè)章節(jié)對小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式進(jìn)行了深入地闡述和總結(jié)。其中第一章主要闡述了作者對于小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式的基本認(rèn)識，第二、三、四章著重記錄了課改十年間作者歷經(jīng)課改的探索歷程和課改成果，第五章表達(dá)的是建構(gòu)教學(xué)模式與教師專業(yè)成長的關(guān)系。讓我感觸最深的是第一、四兩章。

模仿-整合-超越是教學(xué)模式的三重境界

翻開第一章，映入我頭腦中的是：模仿-整合-超越是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式的三重境界?；仡櫴迥甑臄?shù)學(xué)教學(xué)從教生涯，期間也聽了許多名師課堂、專家講座，也接觸過形形色色的教學(xué)模式，并在課堂中淺嘗輒止，所以一直處于教學(xué)的第一重境界?？赐甑谝徽率刮业靡孕盐?，名師專家的課堂報(bào)告不應(yīng)自是當(dāng)時(shí)的一時(shí)沖動(dòng)和向往，不應(yīng)只是拿來玩玩或嘗嘗鮮，而應(yīng)該是和自己的教學(xué)向比較，把從名師專家那里獲取和得到的好的方法模式和自己的模式結(jié)合起來加以實(shí)踐，不斷磨合，將多種模式融入到自己的課堂教學(xué)之中，以此形成自己的教學(xué)風(fēng)格，通過不斷優(yōu)化課堂教學(xué)，形成有自己風(fēng)格的高效的課堂教學(xué)模式，有了整合后的教學(xué)模式還只是達(dá)到了第二重境界。

課堂教學(xué)的第三重境界超越模式

那么怎樣才算是達(dá)到課堂教學(xué)模式的第三重境界呢？有研究者提出：“教學(xué)不是應(yīng)該有模式，而是應(yīng)該有合適的教學(xué)程序，教學(xué)程序也無須模式化！”由于教學(xué)模式的實(shí)施是復(fù)雜的、非線性的、開發(fā)的、具有非確定性、隨機(jī)性和自組織性的特點(diǎn)，教師在課堂教學(xué)中就不能機(jī)械地按原先設(shè)定的一種思路進(jìn)行教學(xué)，而是要關(guān)注課堂的動(dòng)態(tài)生成敢于放棄預(yù)設(shè)，超越既定的模式，與學(xué)生一起互動(dòng)、創(chuàng)新，因材施教、因勢利導(dǎo)。這才是課堂教學(xué)的第三重境界超越模式?？梢姟敖虒W(xué)有法，但無定法，貴在得法”,這句俗語不僅是經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，更是對教學(xué)模式的追求目標(biāo)?；仡欁约阂约吧磉叺慕處熡袔缀螘r(shí)在課堂上能做到第三重境界，我們多半是機(jī)械地按事先設(shè)定好的思路進(jìn)行教學(xué)，課堂上不論學(xué)生出現(xiàn)的是什么情況我們都要往設(shè)計(jì)好的流程上引導(dǎo)，缺乏與學(xué)生的真切交流，沒有真正關(guān)注學(xué)生思維的發(fā)展，上一節(jié)課如同是在照著劇本去演戲，生怕演雜了。林老師一語中的，課堂上作為教師我們是應(yīng)該根據(jù)師生、生生互動(dòng)的情況，因勢利導(dǎo)，創(chuàng)造性地組織起適合學(xué)生參與、自主、創(chuàng)新的教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在獲取知識的同時(shí)產(chǎn)生自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，獲得豐富的情感體驗(yàn)，使課堂充滿智慧的光芒和生命的色彩。

先學(xué)后教：變革學(xué)生的學(xué)習(xí)方式

先學(xué)后教是怎樣的教學(xué)方式？先學(xué)后教應(yīng)該如何實(shí)施？先學(xué)后教教師究竟怎樣教，學(xué)生究竟怎樣學(xué)？先學(xué)后教的方式會在課堂上產(chǎn)生怎樣的效果，對學(xué)生的發(fā)展是不是有利？()帶著這樣的問題我翻開了第四章，開始尋找答案。

“先學(xué)后教”是以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的，將學(xué)生已有的知識、能力、興趣、愛好極大地激發(fā)出來，讓學(xué)生主動(dòng)參與課堂教學(xué)活動(dòng)，成為課堂的主人的一種教學(xué)模式先學(xué)是要學(xué)生先通過獨(dú)立學(xué)習(xí)，獨(dú)立閱讀、思考以及完成作業(yè)，自行解決能夠解決的問題，后教是教師要轉(zhuǎn)變角色走下講臺以合作者、促進(jìn)者的身份積極參與學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)，與學(xué)生一起合作一起成長。這種教學(xué)模式是把學(xué)生當(dāng)做課堂的主體，學(xué)習(xí)的主人，先學(xué)后教的課堂特征第一是學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，教師要幫助學(xué)生構(gòu)建有效的可持續(xù)進(jìn)行的主動(dòng)學(xué)習(xí)框架。第二是學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，學(xué)生首先通知自主學(xué)習(xí)，小組合作學(xué)習(xí)，有困難時(shí)才由教師點(diǎn)撥、講解幫助解決。這種學(xué)習(xí)方式有利于激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)需求以及學(xué)習(xí)的積極主動(dòng)性，有助于建立計(jì)良好的師生、生生關(guān)系，有利于學(xué)生自身的發(fā)展。

先學(xué)后教的實(shí)施方法即路徑有很多種，林老師主要講解了“三環(huán)六學(xué)”的教學(xué)結(jié)構(gòu)。三環(huán)為導(dǎo)入自學(xué)、展示探討、鞏固運(yùn)用。六學(xué)為引學(xué)、自學(xué)、展學(xué)、研學(xué)、固學(xué)、延學(xué)。有了這三環(huán)六學(xué)的實(shí)施路徑，接下來是如何借助多種載體加以實(shí)施，實(shí)施過程中教師和學(xué)生的角色如何定位，林老師通過實(shí)踐總結(jié)出利用下面五種載體在課堂的不同時(shí)間段加以實(shí)施，第一、適當(dāng)使用導(dǎo)學(xué)案，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會預(yù)習(xí)；第二、精心設(shè)計(jì)嘗試題，讓學(xué)生探究更有效；第三、老師讓講臺，小先生們開口講起來；第四、通過小組合作學(xué)習(xí)，促進(jìn)人人參與學(xué)習(xí)；第五、教師四周掛白板，讓學(xué)習(xí)進(jìn)展成為生成資源。借助“導(dǎo)學(xué)案、嘗試題、講臺、小組、白板”這五種載體充分把學(xué)生放在的主體位置，教師為學(xué)生的先學(xué)鋪路搭橋，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、自主發(fā)展，為學(xué)生學(xué)習(xí)提供強(qiáng)有力的保障。這種教學(xué)模式與我市教研室提出的“學(xué)講”計(jì)劃有著十分相似之處。

先學(xué)后教的教學(xué)思想的優(yōu)勢體現(xiàn)在它充分利用了學(xué)生已有的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)及探究學(xué)習(xí)的方法，把學(xué)生當(dāng)做學(xué)習(xí)的主體，學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，充分利用了學(xué)習(xí)小組的優(yōu)勢和潛能，讓學(xué)生通過自主嘗試、小組合作交流、學(xué)生自主講學(xué)、師生共同研討的學(xué)習(xí)活動(dòng)使學(xué)生經(jīng)歷問題的提出、探究的歷程、獲取數(shù)學(xué)思路、思想的過程，從而提高學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)能力，促進(jìn)學(xué)生的自身發(fā)展。正如古人云“授之以魚，不如授之以漁”,學(xué)生需要的不僅是知識，比知識更重要的是學(xué)生的方法、學(xué)習(xí)的經(jīng)歷，“先學(xué)后教”的模式把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，使他們既得“魚”,又得“漁”.