第一篇：計算方法公式總結(jié)

計算方法公式總結(jié)

緒論

?e?x?x，x?為準(zhǔn)確值，x為近似值。絕對誤差絕對誤差限

r|e|?|x??x|??，ε為正數(shù)，稱為絕對誤差限

x??xe?表示相對誤差 通常用e?xxrx??xe??相對誤差e?*xxr相對誤差限|er|??r或|e|??r 有效數(shù)字

一元函數(shù)y=f（x）

'e(y)?f(x)e(x)絕對誤差e(y)f(x)'e(x)xf'(x)e(y)???er(x)相對誤差ryyf(x)二元函數(shù)y=f（x1,x2）絕對誤差 ?f(x1,x2)?f(x1,x2)e(y)?dx1?dx2

?x1?x2?f(x1,x2)x1?f(x1,x2)x2e(y)?er(x1)?er(x2)相對誤差r?x1y?x2y

機器數(shù)系

注：1.β≥2，且通常取2、4、6、8 2.n為計算機字長

3.指數(shù)p稱為階碼（指數(shù)），有固定上下限L、U 4.尾數(shù)部 s??0.a1a2?an，定位部?p

n?11?2(??1)?(U?L?1)5.機器數(shù)個數(shù)機器數(shù)誤差限

1?np舍入絕對 |x?fl(x)|???截斷絕對|x?2fl(x)|???n?p

|x?fl(x)||x?fl(x)|11?n1?n????舍入相對截斷相對

|x||x|2

秦九韶算法

方程求根

f(x)?(x?x?)mg(x)，g(x)?0，x*為f（x）=0的m重根。

二分法

迭代法

f(x)?0?xk?1??(xk)

k=0、1、2……

**lim{x}?x??(x){xk}為迭代序列，?(x)為迭代函數(shù)，k??k

局部收斂

注：如果知道近似值，可以用近似值代替根應(yīng)用定理3判斷是否局部收斂

牛頓迭代法

f(x)?f(xk)?f(xk)(x?xk)?0

f(xk)xk?1?xk?'(k?0,1,2,?)f(xk)注：牛頓迭代對單根重根均局部收斂，只要初值足夠靠近真值。

'

牛頓迭代法對初值要求很高，要保證初值在較大范圍內(nèi)也收斂，加如下四個條件

注：證明牛頓迭代法大范圍收斂性，要構(gòu)造一個區(qū)間[ε,M(ε)],其中f(?)M(?)???',在這個區(qū)間內(nèi)驗證這四個條件。

f(?)

如果知道根的位置，構(gòu)造[ε，M（ε）]時應(yīng)該包括根，即ε+常數(shù)

線性方程組求解

有兩種方法：消去法和迭代法

高斯消去法 利用線性代數(shù)中初等行變換將增廣矩陣轉(zhuǎn)化為等價上三角矩陣。

注意：第一行第一列為0，將第一列不為0的某一行與第一行交換位置，繼續(xù)初等行變換。對角占優(yōu)矩陣

?a11?aA??21????an1na12a22?an2?a1n??a2n???? ??ann?則稱A為按行嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣 |aii|??|aij|(i?1,2,?,n)j?1j?in|ajj|??|aij|(j?1,2,?,n)i?1i?j則稱A為按列嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣

aij?aji(i?1,j?n)?x?R,x?0,(x,Ax)?0

則稱A是對稱正定的。

當(dāng)A是上面三種情況時，用高斯消去法消元時追趕法是高斯消元法的一種特例

nakk?0，不用換行。

列主元高斯消元法

|aik|，即第k次消元把k~n行第k列絕對值當(dāng)|ask|?maxk?i?n最大的行（s行）調(diào)到第k行，再進行高斯消元。(k)(k)

迭代序列構(gòu)造

Ax?b?x?Bx?f?x第三個等式為迭代序列，B為迭代矩陣。迭代收斂判別

1.充分條件：迭代矩陣范數(shù)小于1，?B??1

結(jié)論：Ax=b有唯一解x*

(k?1)?Bx(k)?f

2.充要條件：迭代矩陣譜半徑小于1,?(B)?1 Jacobi迭代法

A?L?D?U其中L（low）為下三角，U為上三角，D為對角線元素

迭代格式：x(k?1)??????D(L?U)x(k)?D?1b

?1??

迭代矩陣J??D(L?U)

?1??收斂性判據(jù)：

|?I?J|?0?|D|?|L??D?U|?0?|L??D?U|?0

求出?最大值小于1（J的譜半徑小于1）即迭代格式收斂.?1????Gauss-Seidel迭代法

迭代格式

x(k?1)?D(?Lx?1?(k?1)?Ux(k)?b)

?(k)?x(k?1)??(D?L)Ux??1??1?(D?L)?1b

?迭代矩陣：G??(D?L)U

?常數(shù)矩陣：g?(D?L)?1b

?

收斂性判據(jù)：

?????|?I?G|?0?|(D?L)|?|?(D?L)?U|?0?|?(D?L)?U|?0

求出?最大值小于1（G的譜半徑小于1）即迭代格式收斂.結(jié)論：當(dāng)A是嚴(yán)格對角占優(yōu)的，則Jacobi和Gauss-Seidal迭代法均是收斂的

?1插值法

用插值多項式p（x）代替被插函數(shù)f(x)

nP(x)?a?ax???ax插值多項式：，01nn+1個點P(xi)?yi(i?0?n)

插值區(qū)間：[a,b]，插值點滿足

a?x0?x1??xn?b

求插值多項式P（x），即求多項式系數(shù)的過程為插值法

帶入可知求系數(shù)的插值點行列式為范德蒙行列式，不為0，有唯一解。即n+1插值條件對應(yīng)的不超過n次的插值函數(shù)P（x）只有一個。一次線性插值nx?x0x?x1Py0?y1?y0l0(x)?y1l1(x)1(x)?x0?x1x1?x0(x?xi)lk(x)???i?0(x?x)?(xk?xi)i?kki

ni?0i?ki?0i?kn?(x?xi)Lagrange插值多項式

Ln(x)??yklk(x)??k?0k?0 nnx?xi(?)yki?0x?xii?kkn插值余項

非插值節(jié)點上Lagrange插值多項式為被插函數(shù)f(x)的近似值

f(n?1)(?)nRn(x)?f(x)?Ln(x)??(x?xi)(n?1)!i?0??(a,b)

帶導(dǎo)數(shù)插值條件的余項估計

注：推導(dǎo)過程用羅爾中值定理構(gòu)造輔助函數(shù)

?(t)?Rn(t)?K(x)Wn?1(t)

第二條性質(zhì)用于可以證明階數(shù)不大于n的f(x)的插值余項為0.差商和Newton插值法

記憶方法：先記分母，最后一個減去第一個，對應(yīng)的分子第一項是最后一個臨近k元素的差商，第二項是第一個臨近k個元素的差商。

牛頓插值多項式

通常記作Nn（x）分段樣條插值

分段二次樣條插值

討論n為奇偶情況時的三個點 余項估計式

三次樣條插值函數(shù)

第一類邊界條件（端點一階導(dǎo)數(shù)已知）

D0等于第一個式子，dn等于第二個式子

自然邊界條件（端點二階導(dǎo)數(shù)已知二階導(dǎo)數(shù)和M0，Mn=0）

曲線擬合

最小二乘原理

函數(shù)關(guān)于n個點線性無關(guān)

23n1,x,x,x,?,x注：線性無關(guān)的函數(shù)為才是最小二乘多項式

注：記住公式即可。

數(shù)值積分和數(shù)值微分

xk為求積節(jié)點，Ak為求積系數(shù)。

插值求積公式

梯形公式

Simpson公式

Cotes公式

截斷誤差

代數(shù)精度

當(dāng)f(x)為不超過m次多項式時上式成立，f（x）為m+1多項式時上式不成立。則稱為求積公式有m次代數(shù)精度。

梯形公式代數(shù)精度為1，Simpson公式代數(shù)精度為3，Cotes公式代數(shù)精度為5

截斷誤差 梯形公式

Simpson公式

Cotes公式

Gauss求積公式

求積公式代數(shù)精度為2n+1 [-1,1]上的兩點Gauss公式（3次代數(shù)精度）

11??1f(x)dx?f(?3)?f(3)1[-1,1]上的三點Gauss公式（5次代數(shù)精度）

53853??1f(x)dx?9f(?5)?9f(0)?9f(5)1

記住 xktk，AkAk的關(guān)系，tkAk??查表即可

復(fù)化梯形公式2階，復(fù)化Simpson公式4階，復(fù)化Cote公式6階

計算機通過不斷把區(qū)間二分，所得前后兩次積分差值滿足精度條件即可

1|I2n(f)?In(f)|??時 給定精度ε，p2?11|I(f)?I2n(f)|?p|I2n(f)?In(f)|??2?1因而可以取I2n(f)為I(f)的近似值。

梯形

Simpson數(shù)值微分

數(shù)值微分截斷誤差

中點公式：

f(x0?h)?f(x0?h)D(h)? 2h常微分方程數(shù)值解法

Euler方法

歐拉公式（單步顯式公式）求出的近似解

局部截斷誤差

Euler公式的局部截斷誤差（一階精度）

后退Euler公式

梯形公式(二階精度)

改進Euler公式（二階精度）

截斷誤差（推導(dǎo)要求掌握，利用梯形和Euler公式的截斷誤差）

第二篇：計算方法總結(jié)

第一章：基本概念

???x1x2...xm.xm?1xm?2...x?m?n 1.x??x1x2...xm.xm?1xm?2...xm?nxm?n?1x??若x?x1?m?n及其以前的非零數(shù)字稱為準(zhǔn)確數(shù)字。?準(zhǔn)確到n位小數(shù)，x?10?n，稱x2各位數(shù)字都準(zhǔn)確的近似數(shù)稱為有效數(shù)，各位準(zhǔn)確數(shù)字稱為有效數(shù)字。2.f(x)?x???l?0.x1x2...xt

進制：?，字長：t，階碼：l，可表示的總數(shù)：2?(U?L?1)?(??1)?t?1?1 3.計算機數(shù)字表達式誤差來源

實數(shù)到浮點數(shù)的轉(zhuǎn)換，十進制到二進制的轉(zhuǎn)換，結(jié)算結(jié)果溢出，大數(shù)吃小數(shù)。4.數(shù)據(jù)誤差影響的估計：

???y?y1nn?y?y??(x1,x2,...xn)??(x1,x2,...xn)xi?xi ???xi，小條件數(shù)。

?xiy?xiy1解接近于零的都是病態(tài)問題，避免相近數(shù)相減。避免小除數(shù)大乘數(shù)。

5.算法的穩(wěn)定性

若一個算法在計算過程中舍入誤差能得到控制，或者舍入誤差的積累不影響產(chǎn)生可靠的計算結(jié)果，稱算法數(shù)值穩(wěn)定。

第二章：解線性代數(shù)方程組的直接法

1.高斯消去法

步驟：消元過程與回代過程。

順利進行的條件：系數(shù)矩陣A不為零；A是對稱正定矩陣，A是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣。2.列主元高斯消去法

失真：小主元出現(xiàn)，出現(xiàn)小除數(shù)，轉(zhuǎn)化為大系數(shù)，引起較大誤差。解決：在消去過程的第K步，交換主元。還有行主元法，全主元法。3.三角分解法

杜立特爾分解即LU分解。

用于解方程AX?b?LUX?b???LY?b；

UX?Y?用于求A?LU?LU?U?u11u22...unn。

克羅特分解：A?LU?LDD?1U?(LD)(D?1U)，下三角陣和單位上三角陣的乘積。將杜立特爾分解或克羅特分解應(yīng)用于三對角方程，即為追趕法。

對稱正定矩陣的喬列斯基分解，A?GG，下三角陣及其轉(zhuǎn)置矩陣的乘積；用于求解

TAX?b的平方根法。

改進平方根法：利用矩陣的A?LDL分解。4.舍入誤差對解的影響

T向量范數(shù)定義： 常用的向量范數(shù)： 矩陣的范數(shù)： 常用的矩陣范數(shù)：

矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性： 影響：?x?xk1?k?AA(?b?A?1其中cond(A)?k?AA，k值大，病態(tài)問題。?)，bA第三章：插值法

1.定義

給定n+1個互不相同的點，xi及在xi處的函數(shù)值yi(i=0～n)，構(gòu)造一個次數(shù)不超過n次的多

nx)。項式：Pn(x)?a0?a1x?a1x2?...?a1xn，使?jié)M足Pn(xi)?yi。取f(x)?P(稱Pn(x)為插值多項式，xi為插值節(jié)點，f(x)為被插函數(shù)。插值問題具有唯一性。

2.Lagrange插值多項式 表達式：

誤差估計式：

3.Newton插值多項式 差商： 表達式： 誤差表達式： 差商的性質(zhì)：

1)差商與節(jié)點的次序無關(guān)； 2)K階差商對應(yīng)K階導(dǎo)數(shù)； 3)4)5)

4.埃爾米特（帶導(dǎo)數(shù)）插值多項式 1)Newton法，給定f及f(k)為數(shù)字；

2)Lagrange法，給定f及f(k)為表達式。

5.三次樣條插值函數(shù)

分段三次插值多項式的定義：S(x)在子區(qū)間[xi-1,xi]上是三次多項式，S(xi)=yi，s’’(x)在[a,b]上連續(xù)。

三次樣條插值函數(shù)的導(dǎo)出：

第四章：函數(shù)最優(yōu)逼近法

1.最優(yōu)平方逼近

對于廣義多項式：P(x)?c0?0(x)?c1?1(x)?c2?2(x)?...?cn?n(x)，其中?i(x)線性無關(guān)。要求：

若f(x)是表格函數(shù)，確定P(x)稱為最小二乘擬合函數(shù)，當(dāng)?i(x)?xi，P(x)為最小二乘多項式；若f(x)是連續(xù)函數(shù)，稱P(x)為最優(yōu)平方逼近函數(shù)。

2.函數(shù)的內(nèi)積，范數(shù)定義及其性質(zhì) 內(nèi)積的定義：

性質(zhì)：

范數(shù)的定義： 范數(shù)的性質(zhì)：

正規(guī)方程組或法方程組：

3.正交多項式

正交函數(shù)系的定義：

代入正規(guī)方程組的系數(shù)矩陣，則： 幾個正交多項式舉例： 1)勒讓德多項式

2)拉蓋爾多項式

3)埃爾米特多項式

4)切比雪夫多項式

四種正交多項式均可用于高斯型求積公式；P多項式用于最優(yōu)平方逼近，T多項式用于最優(yōu)一致逼近。

正交多項式的性質(zhì)：

1)正交多項式?gk(x)?線性無關(guān)，推論：Pk(x)(k?n)與gn(x)正交。2)在區(qū)間[a,b]或[min(xi),max(xi)]上，n次正交多項式gn(x)有n個不同的零點。3)設(shè)?gk(x)?是最高次項系數(shù)為1的正交多項式，則：

4.最優(yōu)一致逼近法

(1)切比雪夫多項式的性質(zhì) 性質(zhì)1：?Tk(x)?是[-1,1]上關(guān)于?(x)?11?x2(T0,T0)??,(Tk,Tk)??/2；的正交多項式，性質(zhì)2：Tk?1(x)?2xTk(x)?Tk?1(x)； 性質(zhì)3：Tk(x)是最高次項為2x的奇次項；

k?1xk的k次多項式，T2k(x)只含x的偶次項，T2k?1(x)只含

2i?1?,i?0,1...k?1； 2ki性質(zhì)5：在[-1,1]上，Tk(x)?1，且在k+1個極值點xi?cos?,i?0,1...k處Tk(x)依次取

k性質(zhì)4：Tk(x)有k個不同的零點，xi?cos得最大值1和-1；

性質(zhì)6：設(shè)Pn(x)是任意一個最高次項系數(shù)為1的n次多項式，則：

?1?x?1maxPn(x)?max?1?x?111 Tn(x)?n?1n?122(2)最優(yōu)一致逼近法的定義

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]連續(xù)，若n次多項式Pn(x)?c0?0(x)?c1?1(x)?c2?2(x)?...?cn?n(x)使Pn?f??maxPn(x)?f(x)達到最小，則稱Pn(x)為f(x)在[a,b]上的最優(yōu)一致逼近a?x?b函數(shù)。

切比雪夫定理：n次多項式P(x)成為函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上最優(yōu)一致逼近多項式的充要條件是誤差R(x)?f(x?)P(x)區(qū)間[a,b]上以正負(fù)或負(fù)正交替的符號依次取得在E?maxR(x)的點（偏差點）的個數(shù)不少于n+2。

a?x?b采用如下方程組進行求解：

(3)近似最優(yōu)一致逼近多項式 思路：

使用T多項式性質(zhì)6 若區(qū)間是[-1,1]，取xi(i=0～n)為Tn+1的零點，則xi?cos(值多項式Pn(x)；

若區(qū)間是[a,b]，通過轉(zhuǎn)換x?方法1：由ti?cos(2i?1?),i?0～n，以此構(gòu)造插

2(n?1)a?bb?a?t,t?[-1,1]； 222x?a?b2i?1代入Pn(t)，可?),i?0～n，構(gòu)造Pn(t)，然后將t?b?a2(n?1)得Pn(x)。方法2：取xi?a?bb?aa?bb?a2i?1?ti??cos?，i=0～n；構(gòu)造Pn(x)。22222(n?1)例：

(4)截斷切比雪夫級數(shù)法

n(Tk,f)設(shè)f(x)在[-1,1]上連續(xù)，Sn(x)??CkTk(x)，其中Ck?；記Sn(x)??CkTk(x)；

(Tk,Tk)k?0k?0n?應(yīng)用切比雪夫定理及性質(zhì)5，取f(x)?Sn(x)?(5)縮短冪級數(shù)法

方法1： 方法2：

?CT(x)。

kkk?0第五章：數(shù)值微積分

第一節(jié) 牛頓柯特斯公式

bI(f)???(x)f(x)dx?a?(x)?1b?f(x)dx?F(b)?F(a)

a一．?dāng)?shù)值算法 1.數(shù)值積分算法

對于復(fù)雜函數(shù)f(x)，考慮用其近似函數(shù)P(x)去逼近，用P(x)的積分值近似代替f(x)積分值。

2.插值型數(shù)值積分方法

對于拉格朗日插值多項式，廣義積分中值定理：若f(x)在[a,b]上連續(xù)，g(x)在[a,b]上部變號，則

????a,b?，使?f(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx

aabb3.牛頓柯特斯公式 梯形公式： 辛普森公式：

二．復(fù)化求積公式 b1.I(f)??f(x)dx，把[a,b]分成若干等長的小區(qū)間，在每個小區(qū)間用簡單低次數(shù)值積分公a式，在將其得到的結(jié)果相加。2.復(fù)化梯形公式

3.復(fù)化辛普森公式

三．變步長的積分公式

1.先取一步長h進行計算，再取較小步長h*計算，若兩次結(jié)果相差很大，則在取更小步長進行計算，依次進行，直到相鄰兩次計算結(jié)果相差很大，則取較小步長的結(jié)果為積分近似值。2.變步長復(fù)化梯形公式

3.變步長復(fù)化辛普森公式

四．龍貝格積分法

第二節(jié) 待定系數(shù)法

1.代數(shù)精度定義

對于近似公式I(f)?Q(f)，如果f(x)是任意不超過m次的多項式，I(f)?Q(f)成立，而對于某個m+1多項式，I(f)?Q(f)，稱代數(shù)精度為m次。2.判定方法

近似式的代數(shù)精度為m次?

對f(x)?1,x,...,xm，近似式精確成立，I(f)?Q(f)，f(x)?xm?1時不成立，I(f)?Q(f)。

梯形公式m=1，辛普森公式m=3。3.Peano定理

第三節(jié) 高斯型積分公式

一．定義

節(jié)點個數(shù)一定，具有最高階代數(shù)精度公式的插值型積分公式稱為Guass型求積公式。插值型積分公式定義：

定理：數(shù)值積分公式I(f)?Q(f)至少有n次代數(shù)精度?近似式是插值型積分公式。對于牛頓科特斯公式，若采用等距節(jié)點，n分別為奇數(shù)和偶數(shù)時，代數(shù)精度分別為n和n+1。

二．最高代數(shù)精度

定理：m?2n?1 So，給定n+1個節(jié)點，具有2n+1次代數(shù)精度的插值型數(shù)值積分公式稱為Gauss型求積公式。三．Gauss型積分公式的構(gòu)造方法 方法1：

代數(shù)精度為2n+1，則f(x)?1,x,...,xm時成立，可解出Ai和xi。方法2：

定理：代數(shù)精度m?2n?1?xi是[a,b]上關(guān)于?(x)的正交多項式gn?1(x)的零點(高斯點)，b其中Ai???(x)l(x)dx。ia四．高斯型求積公式的誤差

五．常用的高斯型求積公式 1.Gauss-Legendre求積公式 n=0 n=1

??1?f(x)dx??Af(x)?Q(f)，x是Pii1nin?1(x)的n+1個零點。

i?02.Gauss-Laguerre求積公式

???xx?e0?xf(x)dx??Aif(xi)?Q(f)

i?0n??0f(x)dx??e(ef(x))dx??e?xF(x)dx00??x??(a?t)??ef(x)dx??ea0f(a?t)dx?e??a?te?F(t)dt 03.Gauss-Hermite求積公式

???e?x2f(x)dx??Aif(xi)?Q(f)

i?0n14.Gauss-Chebyshev求積公式

?1?f(x)1?x2dx??n?1i?0?f(cosn2i?1?)2n?2第四節(jié) 數(shù)值微分

f'(x)?limh?0f(x?h)?f(x)，h大，不精確，h小，由于小除數(shù)引入大誤差。

h近似函數(shù)法

取等節(jié)距節(jié)點，xi?x0?ih,i?0,1,...n(1)一階導(dǎo)數(shù)，n=1，兩個節(jié)點x0x1

(2)一階導(dǎo)數(shù)，n=2，三個節(jié)點x0x1x2

(3)二階導(dǎo)數(shù)，n=2，三個節(jié)點x0x1x2

實用誤差估計

例：

第六章 非線性方程的迭代解法

第一節(jié) 方程求根法

根的定義：對于非線性方程組f(x)=0，若存在數(shù)?使f(?)=0，稱?是非線性方程組f(x)=0的根。

零點存在定理：若f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，若f(a)f(b)<0，則必然存在??[a,b]，使f(?)=0。

試探法，二分法。一．簡單迭代法

初值x0，xk?1??(xk)，產(chǎn)生迭代序列?xk?。簡單迭代收斂定理（壓縮映像原理）

[,]，對于迭代函數(shù)?(x)，若滿足(1)若x?[a,b],?(x)?[a,b]；(2)存在正數(shù)0

收斂速度(收斂階)：若存在實數(shù)P和非零常數(shù)C，使得limkkxk?1??xk??k???C?0，稱迭代序列是P階收斂。P=1，線性收斂；P>1，超線性收斂；P=2，平方收斂。定理：設(shè)?是方程x??(x)的根，如果迭代函數(shù)?(x)滿足?'(?)??''(?)?...??(P?1)(?)?0,?(P)(?)?0

?xk?1??(xk)產(chǎn)生的迭代序列?xk?是P階收斂。

二．牛頓迭代法

xk?1?xk?f(xk)f'(xk)收斂性分析：牛頓迭代法具有局部收斂性，初值x0?x????，產(chǎn)生迭代序列收斂。收斂定理：設(shè)f(x)在[a,b]上二階導(dǎo)數(shù)存在，若

??f(a)f(b)?0，f(x)在[a,b]上單調(diào)，f(x)在[a,b]上凹向不變（即f''(x)在區(qū)間上不變號），初值x0滿足f(x0)f''(x0)?0，則任意初值x0?[a,b]，有牛頓迭代法產(chǎn)生的?xk?收斂于方程的唯一根。

簡化牛頓法：xk?1?xk?三．弦割法或割線法 用差商代替導(dǎo)數(shù)xk?1?xk?f(xk)f(xk)f(xk)?xk?1?xk??xk?1?xk?f'(xk)f'(x0)Cf(xk)

f(xk)?f(xk?1)xk?xk?1第二節(jié) 線性代數(shù)方程組迭代解法

Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法

SOR迭代法（xik?1?(1??)xik??xG?Sk?1）?opt?迭代法的收斂性：

將迭代法用矩陣表示：A?D?E?F，xk?1?Bxk?g Jacobi迭代法： G-S迭代法： SOR迭代法：

0定理：xk?1?Bxk?g，對?x產(chǎn)生的迭代序列x21?1??(Bj)2 ??收斂的充要條件是：

klimBk?0或?(B)?1。

k??推論1：若B?1，則收斂；

推論2：SOR方法收斂的必要條件是0???2；

推論3：設(shè)A是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，則Jacobi，G-S，0???1的SOR方法收斂；

推論4：1)設(shè)A是對稱正定矩陣，則G-S方法收斂；2)設(shè)A是對稱正定矩陣，若2D-A也對稱正定，則Jacobi方法收斂；若2D-A不對稱正定，則Jacobi方法不收斂；3)設(shè)A是對稱正定矩陣，0???2，則SOR方法收斂。

第三節(jié) 非線性方程組的迭代解法

x k?1kkk?x?[f'(x)]?1f(x)

第七章 矩陣特征值和特征向量

矩陣A主特征值——模最大的特征值取為主特征值。對n個互不相同的特征值

?1??2??3?...??n，對應(yīng)特征向量?1?2?3…?n；

kk任意向量z0?c1?1?c2?2?...cn?n z?AZ0 limzk?c1?1k?1，zk是對應(yīng)A的?1的特征向量，k??(zk?1)i??1(zk)i

規(guī)范乘冪法

yk?Azk?1，yk按模取最大分量max?yk??mk，zk?limzk??10，?10是?1的規(guī)范化向量；limmk??1。

k??k??yk。mk加速法（原點位移法）yk??A?pI?zk?1

第八章 常微分方程數(shù)值解法的導(dǎo)出

?y'(x)?f(x,y(x))?y(a)?y0?一． 數(shù)值微分法

歐拉公式：yi?1?yi?hf(xi,yi)后退歐拉公式：yi?1?yi?hf(xi?1,yi?1)終點法：yi?1?yi?1?2hf(xi,yi)

h2局部截斷誤差：y(xi?1)?yi?y''(?)

2二． 數(shù)值積分法

hyi?1?yi?[f(xi,yi)?f(xi?1,yi?1)]

2預(yù)估yi?1?yi?hf(xi,yi)，校正yi?1?yi?

三．

四． 泰勒展示法

h[f(xi,yi)?f(xi?1,yi?1)] 2線性多步法

第三篇：計算方法總結(jié)

1.何為有根區(qū)間

給定一個方程f(x)=0,如果f(x)在[a,b]上連續(xù)，又f(a).f(b)<0,則由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知，方程f(x)=0在（a,b）內(nèi)至少有一個實根。這時我們稱區(qū)間[a,b]為方程f(x)=0有根區(qū)間 2.尋找方程的有根區(qū)間的常用方法是什么 1.作圖法 2.逐步搜索法

3.作圖法尋找有根區(qū)間適用于哪種情況

函數(shù)f(x)比較簡單時適用

4.對于已知方程，如何利用逐步搜索法在區(qū)間內(nèi)尋找有根區(qū)間

從X0=a出發(fā)，按照事先選擇的步長h=(b-a)/N(N為正整數(shù))，逐點計算Xk==a+kh處的函數(shù)值f(Xk)與f(Xk+1)的值異號時，那么[Xk,Xk+1]就是方程f(x)=0的一個有根區(qū)間 5.逐步搜索法在計算機上實現(xiàn)方便。

6.對于給定的n次代數(shù)方程，如何確定根模的上下界

（1）若a=max{|a1|,|a2|,….,|an|},則方程的根的絕對值小于a+1；

（2）若b=(1/|an|)max{1,|a1|,|a2|,….,|an-1|},則方程的根的絕對值大于1/(1+b).7.步長h的選擇，對于逐步搜索法有何影響

當(dāng)步長h越小時，找出的有根區(qū)間越小，這時以區(qū)間內(nèi)的某個值作為根的近似值就越精確。但h越小，計算量越大 8.二分法求解方程的根有和優(yōu)點，有何缺點

優(yōu)點是算法簡單，而且收斂性總能得到保證，缺點是收斂速度慢。

9.艾特金迭代法與二分法相比，計算收斂速度快，節(jié)省時間，并且能求出某些發(fā)散的迭代過程的根。10.牛頓法的優(yōu)點是什么，缺點是什么

優(yōu)點是收斂速度快，節(jié)省計算量，誤差累積少。

缺點是在計算時它要用到f（x）的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)f（x）比較復(fù)雜時，計算其導(dǎo)數(shù)花費時間多。11.弦截法的優(yōu)點是什么，它與牛頓法相比，收斂速度與計算速度如何

優(yōu)點是不必計算f'(x),收斂速度也相當(dāng)快,但比牛頓法慢。從計算速度來看，弦截法比牛頓法快。

12.弦截法的基本思想是什么（結(jié)合圖示說明），如何選取弦截法中的不動點

1準(zhǔn)備2迭代3控制4迭代準(zhǔn)備 13.何為階收斂，收斂速度與的大小有何關(guān)系

收斂速度的大小與收斂階數(shù)有關(guān)系，收斂階數(shù)越大，收斂速度越快。14.哪一類問題稱為插值問題

由實驗或測量得到了某一函數(shù)y=f(x)在n+1個點x0,x1,....,xn處的值y0,y1,...yn,需要構(gòu)造一個簡單函數(shù)p(x)作為函數(shù)y=f(x)的近似表達式

Y=f(x)約等于p(x),使得p(xi)=f(xi)=yi(i=0,1,2,...n),這類問題稱為插值問題

15.常用的插值算法有哪幾種，各有什么優(yōu)缺點

一拉格朗日插值 線性插值2二次插值3n次拉格朗日插值多項式（區(qū)間大時誤差也較大）

二分段插值1分段線性插值2分段二次插值（優(yōu)點是公式簡單，計算量小，有較好的收斂性和穩(wěn)定性，并且可以避免計算機上作高次乘冪時常遇到的上溢和下溢的困難。）

三差商與牛頓插值公式（不需要增加插值接點，不浪費）

四差分與等距節(jié)點差值公式（進一步簡化插值公式，計算也方便）五三次樣條差值（既能保證曲線連續(xù)，又能保證光滑性要求）

16.線性插值的幾何意義是什么（結(jié)合圖形進行說明）

線性插值的幾何意義是利用通過兩點的直線去近似代替曲線。

17.線性拉格朗日插值的截斷誤差限與什么量有關(guān), 是什么關(guān)系

與x 在[a,b]時，f''(x)絕對值的最大值有關(guān)系

|R1|<=[M1|(x-x0)(x-x1)]/2 18.二次拉格朗日插值的截斷誤差限與什么量有關(guān), 有什么關(guān)系

P93與x在[x0,x2]時，f'''(x)對值的最大值有關(guān)系，|R2(x)|<=M2(x-x0)(x-x1)(x-x2)/6

19.通過n+1個互異節(jié)點且滿足插值條件的插值多項式是唯一的

20.線性插值或二次插值優(yōu)缺點：簡單方便，計算量小。缺點是精度較低；

21.當(dāng)?shù)痛尾逯档木炔粔驎r，應(yīng)該適當(dāng)縮小插值區(qū)間的長度來提高精度； 22.高次插值優(yōu)缺點：插值精度高，缺點是數(shù)值不穩(wěn)定；

25.分段插值優(yōu)缺點：公式簡單，計算量小，且有較好的收斂性和穩(wěn)定性，并可避免計算機上作高次乘冪時常遇到的上溢和下溢的困難.缺點是不能保證曲線在連接點處的光滑性。

26.應(yīng)用低次插值進行分段插值時，應(yīng)盡可能地在插值點的鄰近選取插值節(jié)點。

27.拉格朗日插值多項式與牛頓插值公式相比而言，拉格朗日插值多項式有何缺點，牛頓插值公式有何優(yōu)點？

用拉格朗日插值多項式計算函數(shù)值時，當(dāng)精度不滿足要求而需要增加插值節(jié)點時，原來的插值多項式就不能使用了，必須重新構(gòu)造一個，將造成很大浪費。而牛插可以增加新的節(jié)點，原來的計算結(jié)果仍可利用。28.何為差商，給定個互異測試點,如何計算各階差商

函數(shù)值與自變量的差商就是差商，一階差商(或記作f[x0，x1])；

二階差商29.差商的對稱性

差商與插值節(jié)點順序無關(guān)

(或記作f[x0，x1，x2])

30.牛頓向前插值公式和牛頓向后插值公式有什么關(guān)系，有什么不同點

“牛前插”適用于計算x0附近的函數(shù)值，“牛后插”適用于計算函數(shù)表末端附近的函數(shù)值。31.為何要提出樣條插值，它克服了其它插值方法的何種缺點，它具有什么優(yōu)點

在整個插值區(qū)間上做高次插值多項式，曲線光滑，但計算量繁重，誤差積累大，穩(wěn)定性差。分段低次插值可避免這些缺點，但各段連接點處只能保證曲線連續(xù)，而不能保證光滑性要求。樣條插值其插值曲線不僅連續(xù)而且處處光滑。

32.曲線擬合解決了插值中的什么問題。擬合與插值有什么不同點

可以部分抵消原來數(shù)據(jù)組中所包含的測量誤差。P115 33.何為最小二乘曲線擬合法

用?(x)擬合數(shù)據(jù)(xk，yk)(k＝1，2，?，n)，使得誤差的平方和

為最小，求?(x)的方法，稱為最小二乘法。

第四篇：年終獎個人所得稅計算方法及其稅率表和公式(精)

年終獎個人所得稅計算方法及其稅率表和公式 我國年終獎個人所得稅征收方法的規(guī)定：

（一)全年一次性獎金是指行政機關(guān)、企事業(yè)單位等扣繳義務(wù)人根據(jù)其全年經(jīng)濟效益和對雇員全年工作業(yè)績的綜合考核情況，向雇員發(fā)放的一次性獎金。上述一次性獎金也包括年終加薪、實行年薪制和績效工資辦法的單位根據(jù)考核情況兌現(xiàn)的年薪和績效工資。

(二)納稅人取得全年一次性獎金，單獨作為一個月工資、薪金所得計算納稅，并按以下計稅辦法，由扣繳義務(wù)人發(fā)放時代扣代繳：

1.先將雇員當(dāng)月內(nèi)取得的全年一次性獎金，除以12個月，按其商數(shù)確定稅法規(guī)定的適用稅率；然后以其商數(shù)及適用稅率計算出應(yīng)納稅額后，再乘以12個月，即為全年一次性獎金的應(yīng)納稅額。除上述計算方法外，也可以按照本規(guī)定第十四條規(guī)定的計算方法，直接計算應(yīng)納稅額。

2.如果在發(fā)放年終一次性獎金的當(dāng)月，雇員當(dāng)月工資、薪金所得低于稅法規(guī)定的費用扣除標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)將全年一次性獎金減除“雇員當(dāng)月工資、薪金所得與費用扣除標(biāo)準(zhǔn)的差額”后的余額，按上述辦法確定全年一次性獎金的適用稅率。(三)在一個納稅內(nèi)，對每一個納稅人，該計稅辦法只允許采用一次。

(四)實行年薪制和績效工資的單位，個人取得年終兌現(xiàn)的年薪和績效工資按本條第(二)款、第(三)款的規(guī)定執(zhí)行。

前段時間網(wǎng)上傳的【47】號公告年終獎個人所得稅新計算方法，經(jīng)國家稅務(wù)總局聲明澄清【47】號公告系偽造，年終獎個人所得稅率與計算方法沒有改變。下面就是現(xiàn)年終獎個人所得稅稅率及計算方法： 年終獎適用稅率標(biāo)準(zhǔn)表 適用

應(yīng)稅所得1 應(yīng)稅所得 稅率

0 1500 4500 9000 35000 55000 80000 速算扣除數(shù) 3% 10% 20% 25% 30% 35% 45% 級數(shù) 1 2 3 4 5 6

0-1500 1500-4500 4500-9000 9000-35000 35000-55000 55000-80000 80000-105 555 1005 2755 5505 年終獎個稅計算公式：應(yīng)納稅額＝應(yīng)納稅所得額×適用稅率-速算扣除數(shù)。

具體來講，納稅人2011年9月1日(含)以后實際取得的工資、薪金所得，應(yīng)適用新稅法的減除費用標(biāo)準(zhǔn)和稅率表，計算繳納個人所得稅。而納稅人2011年9月1日前實際取得的工資、薪金所得，無論稅款是否在2011年9月1日以后由扣繳義務(wù)人申報入庫，均應(yīng)適用原稅法的減除費用標(biāo)準(zhǔn)和稅率表，計算繳納個人所得稅。舉例來看，韓先生在某一公司工作，2011年12月3日取得工資收入3400元，當(dāng)月又一次取得年終獎金24100元，其應(yīng)繳納多少個人所得稅。韓先生因當(dāng)月工資不足3500元，可用其取得的獎金收入24100元補足其差額部分100元，剩余24000元除以12個月，得出月均收入2000元，其對應(yīng)的稅率和速算扣除數(shù)分別為10%和105元。具體計算公式為：應(yīng)納稅額＝(24100＋3400－3500)×10%－105＝2295元。

年終獎個稅算法：針對工資薪金，當(dāng)前我國采用超額累進稅率，為了方便計算，就轉(zhuǎn)化用適用稅率和速算扣除數(shù)的簡化算法，目前的年終獎個稅計算方法是，先將年終獎除以12，以得出的商確定稅率和速算扣除數(shù)，再依據(jù)如下公式計算：應(yīng)納稅額＝應(yīng)納稅所得額×適用稅率-速算扣除數(shù)。年終獎個稅算法

以下只考慮年終獎當(dāng)月工資足夠3500元的，不足3500元的，先補足3500元，然后用余額

年終獎 月平獎金 稅額

20000 18000 1666.667 1500 1895 540 年終歲尾，年終獎已逐漸成為大家談?wù)摰拿舾性掝}，牽動著每位在崗人員的心旋，就百姓普遍關(guān)注的年終獎繳納個人所得稅問題，而今年9月1日起，我國的個稅法有了一些調(diào)整，個人所得稅起征點由原來的2000元調(diào)為3500元。同時，經(jīng)過詳細(xì)核算，年終獎多發(fā)1元，你最終反倒少得很多呢!那么，年終獎個人所得稅計算方法你要搞清楚嘍!【終獎個人所得稅計算方法之兩種計稅方法】

在國家稅務(wù)總局下發(fā)的通知中，關(guān)于納稅人取得的全年一次性獎金，給出了兩種計稅辦法。

一是先將雇員當(dāng)月內(nèi)取得的全年一次性獎金，除以12個月，按其商數(shù)確定稅法規(guī)定的適用稅率;然后以其商數(shù)及適用稅率計算出應(yīng)納稅額后，再乘以12個月，即為全年一次性獎金的應(yīng)納稅額。

二是按照最新公布的適用全年一次性獎金所得的稅率表，直接計算應(yīng)納稅額。

應(yīng)納稅額的計算公式為：應(yīng)納稅額=應(yīng)納稅所得額×適用稅率-速算扣除數(shù)。

值得注意的是，如果在發(fā)放年終一次性獎金的當(dāng)月，雇員當(dāng)月工資、薪金所得低于稅法規(guī)定的費用扣除標(biāo)準(zhǔn)(3500元/月)，應(yīng)將全年一次性獎金減除“雇員當(dāng)月工資、薪金所得與費用扣除標(biāo)準(zhǔn)的差額”后的余額，按上述辦法確定全年一次性獎金的適用稅率。

在一個納稅內(nèi)，對每一個納稅人，該計稅辦法只允許采用一次?！拘露惙ㄏ履杲K獎個人所得稅計算方法新舊方法對比】

韓先生在某一公司工作，2011年12月一次取得年終獎金6.1萬元，周先生在同一家公司工作，他取得的年終獎是5.9萬元。舊方法：

韓先生：6.1萬元÷12個月=5083.33元，適用的稅率是20%，速算扣除數(shù)375元，則他該付的稅是61000元×20%-375元=11825元。其稅后年終獎為61000元-11825元=49175元。周先生，5.9萬元÷12個月=4916.66元,適用于稅率為15%,速算扣除數(shù)125，則他該付的稅是59000元×15%-125=8725元。其稅后年終獎為59000元-8725元=50275元。

顯然，年終獎6.1萬元的韓先生，實際到手的獎金反而會比5.9萬元的周先生少拿了1100元。新方法： 韓先生應(yīng)納稅額=6.1萬元×20%-555元=11645元，其稅后年終獎為61000元-11645=49355元。周先生應(yīng)納稅額=5.9萬元×20%-555元=11245元，其稅后年終獎為59000元-11245元=47755元。按照新的計稅辦法，不會再出現(xiàn)獎金發(fā)得多、稅后所得反而少的情況，年終獎高的韓先生最后拿到的獎金依然比周先生高。

【年終獎個人所得稅計算方法之記者采訪】

那么，新稅法與原稅法究竟如何銜接?國家稅務(wù)總局相關(guān)負(fù)責(zé)人13日接受了記者的采訪。

問題一：工資、薪金所得如何銜接? 新稅法和實施條例均規(guī)定自2011年9月1日起施行。具體到工資、薪金所得項目而言，是指納稅人2011年9月1日(含)以后實際取得的工資、薪金所得，應(yīng)適用新稅法的減除費用標(biāo)準(zhǔn)和稅率表，計算繳納個人所得稅。

“具體來講，納稅人2011年9月1日(含)以后實際取得的工資、薪金所得，應(yīng)適用新稅法的減除費用標(biāo)準(zhǔn)和稅率表，計算繳納個人所得稅。而納稅人2011年9月1日前實際取得的工資、薪金所得，無論稅款是否在2011年9月1日以后由扣繳義務(wù)人申報入庫，均應(yīng)適用原稅法的減除費用標(biāo)準(zhǔn)和稅率表，計算繳納個人所得稅?！倍悇?wù)總局相關(guān)負(fù)責(zé)人說。

舉例來看，韓先生在某一公司工作，2011年12月3日取得工資收入3400元，當(dāng)月又一次取得年終獎金24100元，其應(yīng)繳納多少個人所得稅? 這位負(fù)責(zé)人說，韓先生因當(dāng)月工資不足3500元，可用其取得的獎金收入24100元補足其差額部分100元，剩余24000元除以12個月，得出月均收入2000元，其對應(yīng)的稅率和速算扣除數(shù)分別為10%和105元。具體計算公式為：應(yīng)納稅額=(24100+3400-3500)×10%-105=2295元。

問題二：個體工商戶生產(chǎn)、經(jīng)營所得如何銜接? 新稅法自9月1日起開始實施，鑒于個體工商戶、個人獨資企業(yè)和合伙企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營所得是按計算，而且是在一個完整的納稅產(chǎn)生的，這就需要分段計算應(yīng)納稅額，即：9月1日前適用原稅法的減除費用標(biāo)準(zhǔn)和稅率表;9月1日(含)后適用新稅法的減除費用標(biāo)準(zhǔn)和稅率表。

這位負(fù)責(zé)人介紹，年終匯算清繳分段計算應(yīng)納稅額時，需要分步進行： 第一，按照有關(guān)規(guī)定，計算全年應(yīng)納稅所得額;第二，計算前8個月應(yīng)納稅額：前8個月應(yīng)納稅額=(全年應(yīng)納稅所得額×原稅法的對應(yīng)稅率-速算扣除數(shù))×8/12;第三，計算后4個月應(yīng)納稅額：后4個月應(yīng)納稅額=(全年應(yīng)納稅所得額×新稅法的對應(yīng)稅率-速算扣除數(shù))×4/12;第四，全年應(yīng)納稅額=前8個月應(yīng)納稅額+后4個月應(yīng)納稅額。

“對企事業(yè)單位的承包經(jīng)營、承租經(jīng)營所得也是比照這個計算方法計算繳納個人所得稅。要注意的是，這個計算方法僅適用于納稅人2011年的生產(chǎn)經(jīng)營所得，2012年以后則按照稅法規(guī)定全年適用統(tǒng)一的稅率?！边@位負(fù)責(zé)人說。

舉例來看，某個人獨資企業(yè)按照稅法和相關(guān)規(guī)定計算出全年應(yīng)納稅所得額為45000元(注：按照相關(guān)規(guī)定，在計算全年應(yīng)納稅所得額時，投資者本人后四個月的費用扣除標(biāo)準(zhǔn)為每月3500元)，則其全年應(yīng)納稅額計算如下： 2011年前8個月應(yīng)納稅額=(45000×30%-4250)×8/12=6166.67元 2011后4個月應(yīng)納稅額=(45000×20%-3750)×4/12=1750元 全年應(yīng)納稅額=6166.67+1750=7916.67元 問題三：涉外人員附加減除費用如何調(diào)整? 稅法規(guī)定，對在中國境內(nèi)無住所而在中國境內(nèi)取得工資、薪金所得的納稅義務(wù)人和在中國境內(nèi)有住所而在中國境外取得工資、薪金所得的納稅義務(wù)人(簡稱“涉外人員”)，在按稅法規(guī)定減除費用標(biāo)準(zhǔn)基礎(chǔ)上，可以根據(jù)其平均收入水平、生活水平以及匯率變化情況確定附加減除費用，附加減除費用適用的范圍和標(biāo)準(zhǔn)由國務(wù)院規(guī)定。

原稅法實施條例規(guī)定的附加減除費用標(biāo)準(zhǔn)是每月2800元，即涉外人員每月在減除2000元費用的基礎(chǔ)上，再減除2800元的費用，減除費用的總額為4800元。

這位負(fù)責(zé)人說，考慮到現(xiàn)行涉外人員工資、薪金所得總的減除費用標(biāo)準(zhǔn)高于境內(nèi)中國公民，從稅收公平的原則出發(fā)，應(yīng)逐步統(tǒng)一內(nèi)、外人員工薪所得減除費用標(biāo)準(zhǔn)。

“這次在涉外人員的工資、薪金所得減除費用標(biāo)準(zhǔn)由2000元每月提高到3500元每月的同時，將其附加減除費用標(biāo)準(zhǔn)由2800元每月調(diào)整為1300元每月，這樣，涉外人員總的減除費用標(biāo)準(zhǔn)保持現(xiàn)行4800元每月不變?！边@位負(fù)責(zé)人說?！疽韵率俏⒉┥蟼鞯哪杲K獎個人所得稅計算方法】： 【年終獎多發(fā)1元，反倒少得1155.1元】 新稅法實施后，六大臨界點成年終獎“盲區(qū)” 合理避稅，網(wǎng)友建議“年終獎”改為“年終捐”

又到年關(guān)，一年一度的重頭戲——年終獎馬上就要發(fā)放，估計許多市民都伸長了脖子在翹首以盼。不過，年終獎也許并不是大家想的那樣，發(fā)得越多得到的越多，很有可能你比別人多發(fā)了1塊錢，卻要為此多繳納百元、千元甚至萬元的稅。

這絕對不是在跟你開玩笑，因為年終獎在計算應(yīng)該適用的稅率時會出現(xiàn)一個臨界點，一旦遭遇了這個臨界點，可能就會出現(xiàn)“多發(fā)少得”、“得不嘗稅”的情況。加之，今年是新修訂的個人所得稅法施行后的首次發(fā)放年終獎,稅法稅率及級次級距都發(fā)生了變化，這也使得市民最后真正拿到手的年終獎額度也隨之改變。鄭州晚報 趙柳影

【微博熱議年終獎臨界點】

最近，微博上轉(zhuǎn)載量最為火爆的除了關(guān)于明年1月的放假通知外，估計就是關(guān)于年終獎計稅的博文了。“請大家注意年終獎臨界點，寧可少千元不要超一元：發(fā)18001元比18000元多納稅1154.1元;54001元比54000元多納4950.2元;發(fā)108001元比108000元多納4950.25元;發(fā)420001元比420000元多納19250.3元;發(fā)660001元比660000元多納30250.35元;發(fā)960001元比960000元多納88000.45元。”12月4日傍晚，中國農(nóng)業(yè)大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院副教授葛長銀在微博上發(fā)表了關(guān)于年終獎臨界點的博文。

短短幾天，轉(zhuǎn)載量就有了4000多次，評論量也有近千條，不少網(wǎng)友在驚訝的同時也紛紛表示對于年終獎的計稅方法很模糊，將之戲稱為“年終獎的秘密”，并建議公司的領(lǐng)導(dǎo)和財務(wù)人員，以及納稅人都應(yīng)該好好看一看，研究研究?！灸杲K獎個人所得稅計算方法是怎么計算個稅的?】

年終獎的發(fā)放，直接關(guān)系著員工的“錢袋子”，不過和廣大網(wǎng)友一樣，大部分市民對于年終獎的計稅都不了解，它究竟是如何計算的?難道真如博文所說，年終獎多出來1塊錢，就會比別人多繳納如此之多的稅嗎?

“?多發(fā)少得?的情況的確存在，自從個人所得稅出臺的那一天，就一直伴隨著這個問題?！焙幽现信d稅務(wù)師事務(wù)所總經(jīng)理陳俊嶺說，年終獎是大家通俗的叫法，它專業(yè)的名字叫做全年一次性獎金。

據(jù)陳俊嶺介紹，全年一次性獎金的計算方法是先將員工當(dāng)月內(nèi)取得的全年一次性獎金，除以12個月，按其商數(shù)確定稅法規(guī)定的適用稅率，然后再用全年一次性獎金乘以稅率，之后減去速算扣除數(shù)，即為全年一次性獎金的應(yīng)納稅額。

“如果在發(fā)放年終一次性獎金的當(dāng)月，員工當(dāng)月工資、薪金所得低于稅法規(guī)定的費用扣除標(biāo)準(zhǔn)(3500元/月)，應(yīng)將全年一次性獎金減除?員工當(dāng)月工資、薪金所得與費用扣除標(biāo)準(zhǔn)的差額?后的余額，按上述辦法確定全年一次性獎金的適用稅率?！标惪X說。

【計稅時對應(yīng)的稅率不同，導(dǎo)致多發(fā)1元，反倒少得1155.1元】

既然計算方法清楚了，出現(xiàn)年終獎“多發(fā)少得”的根源也就找到了?！捌鋵嵕褪悄杲K獎計稅時所對應(yīng)的稅率不同，導(dǎo)致了稅額的差距這么大?！标惪X說。

據(jù)陳俊嶺介紹，按照新個稅的規(guī)定，年終獎的計算中，一共有7個稅率，由于不同的稅率對應(yīng)不同的全月應(yīng)納稅所得額，也就劃定出了6個區(qū)間，正是由于這6個區(qū)間的臨界點，才導(dǎo)致了年終獎?多發(fā)少得?的情況。這些臨界點分別是：18001元~19283.33元、54001元~60187.50元、108001元~114600元、420001元~447500元、660001元~706538.46元、960001元~1120000元。

隨后，參照圖表，陳俊嶺給記者舉了個例子，假如小王和小張的月工資都超過3500元，年末兩人的年終獎分別為18000和18001，小王的實得年終獎為：18000÷12=1500元，對應(yīng)稅率及速算扣除數(shù)為：3%、0，應(yīng)納稅額=18000×3%-0=540元，稅后所得17460元。

以此類推，小張的實得年終獎為：18001?12≈1500.08，超出了1500元，對應(yīng)稅率及速算扣除數(shù)為：10%、105，應(yīng)納稅額=18001×10%-105=1695.1，稅后所得16305.9。這樣一比，二者繳納稅額相差1155.1元?！灸杲K獎在萬元以內(nèi)就不存在“多發(fā)少得”】

如此看來，年終獎發(fā)多少，能保證員工的最佳利益，還真是個“技術(shù)活”。不過昨日，記者向認(rèn)識的同事、朋友，包括QQ群里的網(wǎng)友進行調(diào)查，詢問了近50位市民，只有兩位表示自己的年終獎超過了18000元。

“目前咱鄭州大部分市民的年終獎還徘徊在萬元以內(nèi)，這樣的話，就不存在?多發(fā)少得?的現(xiàn)象，大家計稅的稅率都一樣?！标惪X說，不過，像一些國企、大型私企的中高層領(lǐng)導(dǎo)，以及一些從事銷售工作的員工的年終獎很有可能會超過18000元?！耙恍氖落N售類型工作的員工平時的工資可能都不高，他們靠的就是年終豐厚的年終獎，少則幾萬，多則十幾萬，幾十萬?！?/p>

“繳稅是大家應(yīng)盡的義務(wù)，最好還是按照規(guī)定進行繳納。”陳俊嶺說，不過如果出現(xiàn)個別極端的現(xiàn)象，單位財務(wù)上的工作人員可以及時與當(dāng)事人聯(lián)系，少發(fā)一些獎金來保障員工的既得利益。

“我們也得到一些內(nèi)部消息稱針對年終獎的計稅，國家稅務(wù)總局正在商議新政策，可能會對計稅方法等進行調(diào)整，不過具體是什么情況現(xiàn)在還不知道?！标惪X透露。

【合理避稅，網(wǎng)友建議“年終獎”改為“年終捐”】

雖然繳稅是大家應(yīng)盡的義務(wù)，不過對于大部分市民來說，如果遇到“多發(fā)少得”的情況，還是會覺得比較“悲催”，那有沒有一些比較好的合理避稅的方法呢? 網(wǎng)友“徐曉”在微博稱：合理避稅最簡單的方式就是將年終獎分開發(fā)放，不至于都累計到一個月中，稅率比較高。不過采取這種方法的前提得保證分開發(fā)放扣除的稅額總和小于一次性發(fā)放的扣稅稅額。可這樣一來，每次發(fā)放年終獎之前，大家都得埋頭先做些數(shù)學(xué)題，估計實施起來會有難度。

網(wǎng)友“嚴(yán)壯”的意見似乎更受到大家的歡迎：建議各企業(yè)老板將“年終獎”改為“年終捐”，將員工們多出臨界點的部分獎金捐給慈善機構(gòu)，這樣既合理避稅又為社會做出了貢獻。

意見一出，立馬得到許多網(wǎng)友的鼓掌撒花，并被大家評為年終獎合理避稅之最優(yōu)解決方案。

【年終獎個人所得稅計算方法之新稅率表】(全月應(yīng)繳納稅額)級數(shù) 含稅級距 稅率(%)速算扣除數(shù) 1 不超過1500元的 3 0 2 超過1500元至4500元的部分 10 105 3 超過4500元至9000元的部分 20 555 4 超過9000元至35000元的部分 25 1005 5 超過35000元至55000元的部分 30 2755 6 超過55000元至80000元的部分 35 5505 7 超過80000元的部分 45 13505 注：1.本表含稅級距指以每月收入額減除費用3500元后的余額或者減除附加減除費用后的余額。

2.含稅級距適用于由納稅人負(fù)擔(dān)稅款的工資、薪金所得;不含稅級距適用于由他人(單位)代付稅款的工資、薪金所得。6個區(qū)間臨界點 導(dǎo)致年終獎“多發(fā)少得” 18001元~19283.33元 54001元~60187.50元

108001元~114600元 420001元~447500元 660001元~706538.46元 960001元~1120000元

看來新稅法下，年終獎個人所得稅計算方法還是很有爭議的。通過以上幾種年終獎個人所得稅計算方法的學(xué)習(xí)，想必你已經(jīng)十分清楚了年終獎個人所得稅怎么算了吧?這些年終獎個人所得稅計算方法雖然有點麻煩，但是關(guān)系到切身利益，還是不得不學(xué)習(xí)啊!如果您想知道更多關(guān)于年終獎的內(nèi)容，請繼續(xù)關(guān)注世界工廠網(wǎng)學(xué)堂頻道!

第五篇：水環(huán)境容量計算方法總結(jié)

1、中國地表水水環(huán)境容量研究過程中產(chǎn)生的五大類計算方法: 公式法、模型試錯法、系統(tǒng)最優(yōu)化法(線性規(guī)劃法和隨機規(guī)劃法)、概率稀釋模型法和未確知數(shù)學(xué)法

2、水環(huán)境容量軟件：WASP、Delft 3D 等大型綜合模型軟件

3、王華東和夏青［5］將環(huán)境容量定義為: 相對于某種環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)，某環(huán)境單元所容許承納的污染物的最大數(shù)量，同時認(rèn)為環(huán)境容量是一個變量，且由基本環(huán)境容量(差值容量)和變動環(huán)境容量(同化容量)兩部分組成，基本環(huán)境容量指擬定的環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)與環(huán)境本底值之差，變動環(huán)境容量指該環(huán)境單元的自凈能力。

4、水環(huán)境容量=稀釋容量+自凈容量+遷移容量表

5、公式法

6、模型試錯法 在河流的第一個區(qū)段的上斷面投入大量的污染物，使該處水質(zhì)達到水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)的上限，則投入的污染物的量即為這一河段的環(huán)境容量;由于河水的流動和降解作用，當(dāng)污染物流到下一控制斷面時，污染物濃度已有所降低，在低于水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)的某一水平(視降解程度而定)時又可以向水中投入一定的污染物，而不超出水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)，這部分污染物的量可認(rèn)為是第二個河段的環(huán)境容量;依此類推，最后將各河段容量求和即為總的環(huán)境容量

7、環(huán)境科學(xué)中所采用的系統(tǒng)最優(yōu)化方法有線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃及隨機規(guī)劃等

8、概率稀釋模型法方法的基本思路如下: ① 基于特定的基本假定，建立污染物與水體混合均勻后下游濃度的概率稀釋模型;② 利用矩量近似解法求解控制斷面在一定控制濃度下的達標(biāo)率;③利用數(shù)值積分求解水體在控制斷面不同控制濃度、不同達標(biāo)率下的水環(huán)境容量。9、10、粒子群算法眾多變種中的RPSM［21］方法11、12、三角模糊數(shù)/盲數(shù)理論

13、