第一篇：2014年國賽數(shù)學(xué)建模論文-嫦娥三號

2014 高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽

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日期： 2014 年 月 15

日

賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）： 2014 高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽

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全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：

全國評閱編號（由全國組委會評閱前進(jìn)行編號）： 嫦娥三號軟著陸軌道設(shè)計與控制策略

摘要

采用軟軌道方式使探測器相對于月球的速度小，能夠使探測器安全著月，嫦娥三號 軟軌道的設(shè)計關(guān)鍵考慮探測器安全著陸在相對平坦的區(qū)域和燃料的節(jié)省。本文主要解決以下三個問題：

針對問題一，假設(shè)嫦娥三號著陸過程為類平拋運(yùn)動。依據(jù)嫦娥三號的著陸準(zhǔn)備軌道、著月點(diǎn)、月心在同一平面上的原理，利用萬有引力提供向心力公式

M 1M 2V2，計算求得嫦娥三號在近月點(diǎn)的速度為 1.6725km/s，遠(yuǎn)月點(diǎn)速度G M22R h1 R h1

為 1.633km/s。以近月點(diǎn)在月球赤道面的投影為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)

系，運(yùn)用空間幾何與勾股定理建立等量關(guān)系，勾勒出月球表面三維坐標(biāo)圖，測得軌道面

（45.01N，15000），與赤道面的夾角 arcsin 0.8839，進(jìn)而確定近月點(diǎn)的位置為 21.82W，方向

在月心空間極坐標(biāo)系中表示為(sin , cos , 0)，嫦娥三號在遠(yuǎn)月 點(diǎn)的位置、方向是

(（158.62E，25.08S，100000），sin , cos , 0)。

針對問題二，首先分析六個階段，主要分析主減速階段、粗避障和精避障三個階段； 對主減速軌道主要考慮以燃料為主，根據(jù)牛頓第二定律，列出嫦娥三號運(yùn)動方程式為

a豎 1 /m）-g（km，建立非線性規(guī)劃模型，確定最優(yōu)軌道；并且使性能指標(biāo)

T

J(x Qx u T ru)dt 極小。對粗避障和精避障階段通過分析照片，利用程序建立三維

圖形，模擬月球待選降落區(qū)域，利用 C 語言對高度相對平坦區(qū)域的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，即 對高度的方差分析，選擇相對平坦區(qū)域；對精避障階段增加分析指標(biāo)，準(zhǔn)確確定降落區(qū) 域，在緩慢下降階段，開啟發(fā)動機(jī)，降速。為解決問題三奠定了基礎(chǔ)。

針對問題三，主要考慮位置誤差、速度誤差、軌道根數(shù)誤差，根據(jù)軌道和軌道的位 置以及探測器速度的大小，建立月心坐標(biāo)系和探測器非慣性坐標(biāo)系采用開普勒根數(shù)進(jìn)行 誤差分析。

關(guān)鍵詞：近月制動 非慣性坐標(biāo)系 開普勒根數(shù)

一、問題重述

嫦娥三號于 2013 年 12 月 2 日 1 時 30 分成功發(fā)射，12 月 6 日抵達(dá)月球軌道。嫦娥 三號在著陸準(zhǔn)備軌道上的運(yùn)行質(zhì)量為 2.4t，其安裝在下部的主減速發(fā)動機(jī)能夠產(chǎn)生 1500N 到 7500N 的可調(diào)節(jié)推力，其比沖（即單位質(zhì)量的推進(jìn)劑產(chǎn)生的推力）為 2940m/s，可以滿足調(diào)整速度的控制要求。在四周安裝有姿態(tài)調(diào)整發(fā)動機(jī)，在給定主減速發(fā)動機(jī)的 推力方向后，能夠自動通過多個發(fā)動機(jī)的脈沖組合實(shí)現(xiàn)各種姿態(tài)的調(diào)整控制。嫦娥三號 的預(yù)定著陸點(diǎn)為 19.51W，44.12N，海拔為-2641m

嫦娥三號在高速飛行的情況下，要保證準(zhǔn)確地在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)軟著陸，關(guān)鍵 問題是著陸軌道與控制策略的設(shè)計。其著陸軌道設(shè)計的基本要求：著陸準(zhǔn)備軌道為近月 點(diǎn) 15km，遠(yuǎn)月點(diǎn) 100km 的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點(diǎn)至著陸點(diǎn)，其軟著陸過程共 分為 6 個階段，要求滿足每個階段在關(guān)鍵點(diǎn)所處的狀態(tài)；盡量減少軟著陸過程的燃料消 耗。

讓我們建立數(shù)學(xué)模型來解決以下問題：

問題一：確定著陸準(zhǔn)備軌道近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置，以及嫦娥三號相應(yīng)速度的大小與方 向。

問題二：確定嫦娥三號的著陸軌道和在 6 個階段的最優(yōu)控制策略。

問題三：針對上述確定的著陸軌道和控制策略做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析。

二、問題分析

嫦娥工程是我國探月工程的開始，嫦娥工程分為“繞、落、回”三個階段。

第一階段建立了我國月球探測航天工程初步系統(tǒng)。在此階段我國成功實(shí)施了嫦娥一 號探測工程。

第二階段目標(biāo)研制和發(fā)射月球探測器，用軟著陸的方式降落在月球上進(jìn)行探測。為 以后建立月球基地的選址提供月面的化學(xué)和物理參數(shù)。

第三階段目標(biāo)是月面巡視勘察與采樣返回。采集關(guān)鍵性樣品返回地球，對著陸區(qū)進(jìn) 行考察，為下一步載人登月探測準(zhǔn)備，為建立月球哨站的選址提供數(shù)據(jù)資料。嫦娥三號是嫦娥工程第二階段的登月探測器，嫦娥三號探測器在繞星體運(yùn)動的時候 受到向心力的作用，此時的橢圓軌道一定是和月球的球心在同一平面上，也就是說探測 器沿橢圓軌道繞月球球心運(yùn)動。嫦娥三號在著陸準(zhǔn)備軌道的近月點(diǎn)脫離軌道被月球捕 獲，采用近月制動，保證探測器安全著月。在探測器的著陸過程中，探測器做曲線運(yùn)動，我們假設(shè)這個曲線運(yùn)動為水平方向的勻減速和豎直方向的勻加速的類平拋運(yùn)動。由材料 二著陸過程中的快速調(diào)整階段調(diào)整探測器姿態(tài)使探測器只沿豎直方向運(yùn)動。在沿豎直方 向運(yùn)動的過程中，探測器進(jìn)行拍照，探測器運(yùn)用程序?qū)φ掌治?，根?jù)分析結(jié)果平移選 擇合適降落位置。

2.1 問題一的分析

確定近月點(diǎn)的位置，根據(jù)物理學(xué)知識，假設(shè)著陸過程為類平拋運(yùn)動，豎直和水平方 向做勻變速運(yùn)動，進(jìn)行運(yùn)動分析，確定近月點(diǎn)和著月點(diǎn)的水平距離，用空間天體運(yùn)動公 式計算出來速度大小，遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置和速度大小用同樣的方法計算出來，方向是和近月 點(diǎn)的相反。

2.2 問題二的分析

六個階段的降落過程中，主減速階段將接近1.7km/s 的速度減到 60m/s 左右，必須 要產(chǎn)生盡可能大的阻力，是最消耗燃料的一個階段?？焖僬{(diào)整階段是調(diào)整探測器姿態(tài)使 其在以后的過程朝豎直方向下降。粗避障利用光敏感成像技術(shù)分析月面地形；來判斷降 落的大致位置，調(diào)整發(fā)動機(jī)來粗步避開大隕坑。依據(jù)附件三有選擇的選取地表數(shù)字高程 圖進(jìn)行分析。細(xì)避障階段要求嫦娥三號懸停在距離月面 100 處，據(jù)附件四的三維數(shù)字高 程圖并分析，需要避開較大的隕石，并確定最佳著陸地點(diǎn)。2.3 問題三的分析

對問題三研究的意義的分析 對于問題三：

根據(jù)軌道和軌道的位置以及探測器速度的大小，建立月心坐標(biāo)系和探測器非慣性坐 標(biāo)系采用開普勒根數(shù)進(jìn)行誤差分析。

三、模型的基本假設(shè)

1、假設(shè)不考慮月球的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)

2、假設(shè)地球?qū)μ綔y器沒有吸引力

3、假設(shè)我們搜集的數(shù)據(jù)合理有效

四、符號說明

F ：探測器繞月球飛行向心力 F FG ：探測器在月球上空的重力 G ：月球上的萬有引力系數(shù) R :月球平均半徑

h1, h2 :近月點(diǎn)、遠(yuǎn)月點(diǎn)離月球表面的距離 M 1 :月球質(zhì)量

s ：近月點(diǎn)與著月點(diǎn)的水平距離 V :探測器在近、遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度 M 2 :探測器質(zhì)量

V0 , Vt :主減速段近月點(diǎn)水平方向的初始和末速度 s 2 ：方差

V0, Vt :主減速段近月點(diǎn)豎直方向的初始和末速度 m1 ：燃料消耗變化率

a1, a2 :分別是豎直和水平方向上的加速度大小 注：部分符號見模型建力和求解過程

五、模型的建立與求解

5.1 問題一的模型建立與求解：

嫦娥三號著月是從橢圓軌道做類平拋運(yùn)動。探測器做著月準(zhǔn)備工作時一直沿橢圓軌 道，由物理學(xué)中天體運(yùn)動知識，探測器在繞星體運(yùn)動的時候受到向心力的作用，此時的 橢圓軌道一定是和月球的球心在同一平面上，也就是說探測器沿橢圓軌道繞月球球心運(yùn)

v2

動。探測器在近月點(diǎn)開始著月，在探測器在橢圓上運(yùn)動時受到向心力 F m 的作用，r

在近月點(diǎn),重力剛好提供向心力 F FG，如果速度V 增大，向心力變大，即 F FG ,探測 器脫離橢圓軌道，反之，速度V 變小，向心力 F FG，探測器被星體捕獲。近月點(diǎn)速度大小計算：根據(jù)萬有引力提供向心力得

M 1M 2V2 G M2

（1）

1.6725km / s

2R h1 R hV 1

M 1M 2V2

遠(yuǎn)月點(diǎn)速度大小計算：同上式得 G M22R h2 R h2

（2）

V 1.633km / s

合速度的分解與合力的分解對應(yīng)比例相等。豎直方向和水平方向的速度比等于豎直方向 距離和水方向距離的比假設(shè)探，測器在著陸的過程中做類平拋運(yùn)動模型，水平方向上做 勻減速運(yùn)動，豎直方向做勻加速運(yùn)動，如圖 1：

類平拋運(yùn)動圖

在水平方向上，v0 1672.5m / s, vt 0 在豎直方向上，v '0 0, v 't 57 m / s

豎直和水平方向上的加速度大小分別為 a1，a2

1/ 2a1t 2 a1t v '0 v 't

（3）對運(yùn)動過程中分析得： tan

1/ 2a2t 2 a2tvt v0

得 tan

1672.5h 12600 tan（4）

ss

5712600

（）式和（）式相等

s 369.71km

1672.5s

所以，近月點(diǎn)在月球上的投影與著月點(diǎn)距離為 369.71km 方向的判定：

R以近月點(diǎn)在月球赤道面的投影為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，在月球赤道面上，AOB

為月球半徑，再根據(jù)經(jīng)緯度和距離的換算, AC 2171.84km ,運(yùn)用空間幾何與勾股定理 建立等量關(guān)系，求出 OBC arcsin 0.8839 ,即為軌道面以赤道面的夾角 如圖 2

模擬月球表面三維坐標(biāo)圖

由于橢圓軌道和月球的球心在同一平面上，同時拋物曲線在這個平面內(nèi)，在近月點(diǎn)速度 方向和空間中月球赤道面平行，軌道面和赤道面相交的直線 OB 與速度平行。建立空間 直角坐標(biāo)系如圖 3

模擬平面圖 在拋物運(yùn)動曲線階段，水平距離為 s 369.71km，近月點(diǎn)到月球圓心的距離為 1752.013km,著月點(diǎn)的位置是 19.51W , 44.12 N , 所以就能確定近月點(diǎn)的位置，使用

（45.01N，15000），DESKPOR 軟件將遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置轉(zhuǎn)化為空間位置 21.82W，方向在月心空間 極坐標(biāo)系中表示是(sin , cos , 0)。

根據(jù)地心對稱點(diǎn)是以地心為對稱軸的點(diǎn)和地心對稱點(diǎn)的特點(diǎn)：經(jīng)度對稱、緯度也對 稱。地心對稱點(diǎn)的經(jīng)度是西經(jīng)度對稱東經(jīng)度，W 對稱 E；經(jīng)度數(shù)的和 180°，即經(jīng)度數(shù)互 補(bǔ)。地心對稱點(diǎn)的緯度是北緯度對稱南緯度，N 對稱 S；緯度數(shù)相同。遠(yuǎn)月點(diǎn)的空間位（158.62E，25.08S，100000），置為方向為(sin , cos , 0)在主減速階段總耗時 442.102s.6.2 問題二的模型建立與求解：

如圖 4：以近月點(diǎn)在月球表面的的投影為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系

模擬飛行軌道圖

第一階段：著陸準(zhǔn)備階段

六個階段的降落過程中，主減速階段將接近1.7km/s 的速度減到 60m/s 左右，必須 要產(chǎn)生盡可能大的阻力，是最消耗燃料的一個階段。我們通過機(jī)械能守恒定律可以求出 此區(qū)間所需的最低能量。此過程路程由 15km 降落到 3km，共下降 12km。速度由 1672.5m/s 減速到 57m/s , 速度變化為 1615.5m/s。由運(yùn)動學(xué)公式 V 2 V0 2 2as，代入 計算得 a 116.42m / s2，嫦娥三號的總質(zhì)量 m 3700kg，嫦娥三號所帶燃料的質(zhì)量

m 1300kg，開始降落的總機(jī)械能為 W m嫦 g月h mv 2 5.2 109 J，這些機(jī)械能將為

下面幾個階段減速降落做準(zhǔn)備。第二階段：主減速階段

采用非線性變結(jié)構(gòu)控制與狀態(tài)反饋相結(jié)合的控制方法。以豎直方向的控制為例，假 設(shè)登月探測器的質(zhì)量為 m（包括燃料），燃料燃燒后噴出氣體相對于探測器的速度為

0 m1 M(M 0)

v1，則噴氣發(fā)動機(jī)產(chǎn)生的推力為 km（m1 為燃料消耗變化率）受不等式，1km / m 的約束，產(chǎn)生的加速度為 1

V

設(shè) h 為登月探測器離地球的表面高度，則登月探測器豎直運(yùn)動的速度為 豎，加速度為

1a豎

，月球重力加速度為 g

根據(jù)牛頓第二定律，列出嫦娥三號運(yùn)動方程式為：

/m）

-g

（km

x h

a 豎

1，根據(jù)運(yùn)動學(xué)方程構(gòu)建空間表達(dá)式，一豎直方向向上為正方向，選取狀態(tài)變量為

6（5）

x2 v豎，x3 a豎，并 設(shè) x4 a1 x2 a2 x2 a3 x3 u，則 系 統(tǒng) 狀 態(tài) 方 程 為

0 x1 0 0 x2 0 u

a3 x3 1

（6）

x(0)0, x2(0)v豎 0）0（其中初始狀態(tài)為 1，m(0)0 ； 探 測 器 的 終 端 狀 態(tài) 為 x1(t f)x(t f)0;x2(t f)v豎(t f)0;x3(t f)0

。根據(jù)方案確定找出最優(yōu) u(t)，使探測器著

x1(t f)h, x2(t f)0, x3(t f)0 路到最適宜的位置。使探測器從初始狀態(tài) x1(0)x10 , x2(0)x20 , x3(0)x30 轉(zhuǎn)移到終態(tài)

控制幅度 u(t)需要在系統(tǒng)偏離工作點(diǎn)狀態(tài)的正負(fù)絕對值大小的范圍內(nèi)取值，即 x1 a1 0 x 0 a 0 x3 0

xi u(t)x，并且使性能指標(biāo) J i TT

(x Qx u ru)dt 極小，其

中三

0 階方針的任意元素都大于零。

根據(jù)性能指標(biāo)，控制系統(tǒng)對應(yīng)的哈米爾登函數(shù)為

（7）H xT Qx u T Ru(Ax bu)

根據(jù)最優(yōu)控制的極小值原理可知

H min xT Qx u T Ru T(Ax bu)

uU22

（8）xT Qx T Ax min(u r 1bT)T R(u r 1bT)

xi u(t)

xi 22T x, r bi 1T

x

i當(dāng) u r b , bT Px

xi 時，達(dá)到最優(yōu)控制

t

m T m(t 0)exp k1(a

x1 a2 x2 a3 x3(（xi)sgn(bT Px))dt)其中 P 為矩陣?yán)杩ㄌ醫(yī)0

xi , b Px

xi 方程 AP PAT PBR 1 BT P Q 0 的解。根據(jù)最優(yōu)控制理論的相關(guān)知識可知

x, r b

i

1T

x

i

將公式

（9）

Px 帶入控制量 u 的表達(dá)式可得 u r 1bT , bT Px

xi

T

xi , b Px

xi

xi , bT Px 0 當(dāng) r 0 時，xi M

（10）

故上式為 u r 1bT , bT Px 0

T

即 u（xi)sgn(bT Px)，得到控制變量 u 的最優(yōu)的表達(dá)式，從而得到一個完整的xi , b Px 0

t

控制系統(tǒng)模型。通過公式 F km1 m(a1x1 a2 x2 a3 x3 u)dt 計算登月探探測器實(shí)時推 t

0力大小

m m(t 0)exp k1

(a 1 x1 a2 x2 a3 x3((t t0

x)sgn(b

i

T

Px))dt)

計算探測器所需燃料的質(zhì)量，同時也為下一步探測器的性能做準(zhǔn)備。

第三階段：快速調(diào)整階段

快速調(diào)整階段嫦娥三號速度從 57m/s 下降到水平速度 0m/s,高度從 3000m 降到 2400m，快速調(diào)整階段是調(diào)整探測器姿態(tài)使其在以后的過程朝豎直方向下降。第四階段：粗避障階段

要求滿足該階段在關(guān)鍵點(diǎn)所處的狀態(tài)為在著陸點(diǎn)上方 30m 處水平方向速度為 0m/s，耗時大約 38s。

在100m 精避障階段中，我們將高程圖分成 4m 4m 小區(qū)域共 250 250 個。具體程序見附 錄 1。由圖 7 可知，如果探測器垂直降落，將會落至黑色區(qū)域，而黑色區(qū)域是不安全區(qū) 域。如圖 5：

根據(jù)距 2400m 處的數(shù)字高程圖擬合出的三維圖像

要求滿足該階段在關(guān)鍵點(diǎn)所處的狀態(tài)為距離月面 2.4km 到 100m 區(qū)間，在設(shè)計著陸 點(diǎn)上方 100m 處懸停，并初步確定落月地點(diǎn)，耗時大約 125s。

在 2400m 粗避障階段中，我們將所給的高程圖分成100m 100m 的小區(qū)域共 25 25 個，具體程序見附錄 1。分別計算并比較每個區(qū)域所含高度 z 值的方差，若方差小，則表明 該區(qū)域高度變化不大，通過由小到大排序，得各個區(qū)域方差對比情況，如圖 6： 求得的結(jié)果請看如圖 7：

綜上，比較這些樣本點(diǎn)的方差，根據(jù) S

400

(xi x)2 得出這組數(shù)據(jù)的方差穩(wěn)定性最好。x1 2

i 第五階段：精避障階段

這個階段嫦娥三號利用光敏感成像技術(shù)分析月面地形；來判斷降落的大致位置，調(diào)整發(fā)動機(jī)來粗步避開大隕坑。依據(jù)附件三有選擇的選取地表數(shù)字高程圖中 20m 20m 的正方形樣本點(diǎn)，依據(jù) C 語言（程序見附錄一）計算出它們的平均值，最后計算出一個 方差 S，依次往下面退一行進(jìn)行其他的正方形樣本點(diǎn)的分析求解，分別為 較得出一個最小的正方形區(qū)域。

為了讓探測器運(yùn)動較短距離就可達(dá)到可降落點(diǎn)，通過同粗避障所用方法一樣，利用方差 擬預(yù)測地點(diǎn)，比

如圖 8：

該階段要求嫦娥三號懸停在距離月面 100 處，據(jù)附件四的三維數(shù)字高程圖并分析，需要避開較大的隕石，并確定最佳著陸地點(diǎn)。第六階段：緩慢下降階段

該階段嫦娥三號高度從 30m 降到 4m，即實(shí)現(xiàn)在距離月面 4m 處相對月面靜止。要求 滿足該階段在關(guān)鍵點(diǎn)所處的狀態(tài)為在距離月面 4m 處的速度為 0m/s。因此對嫦娥三號在 軟著陸過程中緩速下降階段的最優(yōu)控制策略為發(fā)動機(jī)推力方向向下，且推力大于月球引 力。

該階段最優(yōu)控制策略為推力大小為 0N，關(guān)閉發(fā)動機(jī)關(guān)閉，嫦娥三號在距離月面 4m 處以 初速度為 0m/s 自由落體到月面，且地面傾斜度小于 15 度。

6.3 問題三的模型建立與求解：

衛(wèi)星的軌道誤差分析是衛(wèi)星測控中需要加以約定的重要指標(biāo)之一，對我們設(shè)計的軌道進(jìn) 行誤差分析，我們主要考慮位置誤差、速度誤差、軌道根數(shù)誤差。軌道誤差

建立月心慣性坐標(biāo)系 O XYZ，記錄 t1 時刻探測器軌道開普勒根數(shù)為

(, , , , ,)，位置、速度矢量為,，那么軌道根數(shù)誤差是 ?(? ,? ,? ,? ,? ,?)，位置、速度矢 量為 ? ,?，那么有關(guān)系是

（11）

??? ?

?(H K)?()?(Z)?(N)?

?

2n

0

式 中 / 為 軌 道 升 交 點(diǎn) 方 向 單 位 矢 量 ； Z 0 為 O XYZ 的 Z 方 向 單 位 矢 量 ；

N 1 p()為軌道面法向量的單位矢量；符號 H , K , H , K , , n 表達(dá)式分別為：

r sin E H（12）

(cos E), K(1)

ppn

sin E p

H 1 , K cos E，GM 1（M 1 為月球引力常量）（13）

pr rr p

其中 r r，E 為探測器運(yùn)動軌跡偏近點(diǎn)角。

軌道位置誤差

建立月心慣性坐標(biāo)系 O XYZ，確定以探測器為中心徑向 R、跡向T 和法向 N 三個方向，建立非慣性星體坐標(biāo)系 S RTN

? 由開普勒根數(shù)誤差 ? 表示，在分別求出各根數(shù)

由開普勒根數(shù)誤差 V 表示。在分別求出各根數(shù)誤差的系數(shù)項對 R, T , N 的投影后，將 其相加即得 V r 的 RTN 分量。

?????????? H r+Kr

R sin f pr

有 r?r??對軌道半長軸誤差 V 的系數(shù)，H r+Kr T

N 0

cos f，T 0，pp（1

4）

? H r+Kr N 0

Hr+Kr R

cos f? ?????

r（15）

?對于軌道偏心率誤差 V 的系數(shù)，有

Hr+Kr T

(1)sin f

p

對于軌道傾角誤差 V 的系數(shù)，???????????有

+r R

+r T

+r N r sin

0，0，? Hr+Kr N 0

（16）

???????對于軌道傾角升交點(diǎn)赤經(jīng)誤差 V 的系數(shù)，有

Z +r R 0 ???，Z +r T r cos i

???

（17）

N +r N 0

對于軌道升交赤徑誤差 V 的系數(shù)，有

????Z +r N r cos sin Z +r T r cos ???，Z +r N r cos sin，，對于軌道近地點(diǎn)幅度角誤差 V 的系數(shù)，有 ???

N +r

p R 0 N +r N

對于軌道平近點(diǎn)角誤差 V 的系數(shù)，有，???

(1 cos f)cos

sin f sin

???，N +r N 0

r ?? sin fr ?? 2 1 2r ? ??R，T，N 0 nnrn1 2 綜上有

r

PR V

cos f V sin f V M

（18）

r 2 1 2

PT 1 sin f V r cos V V M rV

pr PN r sin V r sin cos V(rV)(r sin V)sin(0)同理，將 V 中各根數(shù)誤差的系數(shù)項對 R, T , N 投影后，將其相加即得 V r 的 RTN 分量。

對于軌道半長軸誤差 V 的系數(shù)，有

r?rr?r? 速度誤差

R T 0N 0，222

對于軌道偏心率誤差 V 的系數(shù).有

?????????? H r+Kr R sin f

pr

?????????? H

r+Kr

T

cos f

（19）

pp

? H r+Kr N 0

對于軌道傾角誤差 V 的系數(shù)，有 ???

+r，R 0 ???

+r

T 0，???

N p

N +r

(1 cos f)cos

sin f sin

對于軌道升交點(diǎn)赤經(jīng)誤差

的系數(shù)，有

??Z r T

sin f cos

p

（20）

?

?[(1

cos f)sin sin

sin f sin cos ]Z r N

p

p?

?Z r R cos

r

對于軌道近地點(diǎn)幅角誤差的系數(shù)，有（21）

?? Z r R

p / r ?

?Z r T sin f

p 對于軌道平近點(diǎn)用誤差的系數(shù)，有

r??Z 1 r N 0

? n(r 3)R n(r 2)

（22）

r ?(3)T 0

nr

r

?(3)N 0

nr ppr1 綜上有，VR

sin f cos

2prrrnr

VT(cos f)

sin f cos

sin f

pppp

六、模型的評價 VN

[(1 cos f)cos

sin f sin ]

[(1 cos f)sin cos

sin f sin sin ]

pp本文忽略了月球的公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn).盡管對于嫦娥三號著陸軌道和控制策略，滿

足每個階段在關(guān)鍵點(diǎn)所處的狀態(tài)且盡量減少軟著陸過程的燃料消耗。但此方面的理論研 究工作任然存在很多不完善、不穩(wěn)定的工作。針對問題三的誤差和敏感性分析，運(yùn)用 RTN,是航天工業(yè)常用的方式,RTN 可以快速方便地分析復(fù)雜的陸、海、空、天任務(wù).分析

能力，以復(fù)雜的數(shù)學(xué)算法迅速準(zhǔn)確地計算出衛(wèi)星任意時刻的位置、姿態(tài),評估陸地、海洋、空中和空間對象間的復(fù)雜關(guān)系,以及衛(wèi)星或地面站遙感器的覆蓋區(qū)域。

可見性分析,計算任意對象間的訪問時間并在二維地圖窗口動畫顯示,計算結(jié)果為圖

表或文字報告?？稍趯ο箝g增加幾何約束條件,如遙感器的可視范圍、地基或天基系統(tǒng)最 小仰角、方位角和可視距離。

遙感器分析,遙感器可以附加在任何空基或地基對象上,用于可見性分析的精確計

算。遙感器覆蓋區(qū)域的變化動態(tài)地顯示在二維地圖窗口,包括多種遙感器類型(復(fù)雜圓弧、半功率、矩形、掃擺、用戶定義)。

姿態(tài)分析,RTN 提供標(biāo)準(zhǔn)姿態(tài)定義,或從外部輸入姿態(tài)文件(標(biāo)準(zhǔn)四元數(shù)姿態(tài)文件),為 計算姿態(tài)運(yùn)動對其他參數(shù)的影響提供多種分析手段。

可視化的計算結(jié)果,分別以不同的投影方式和坐標(biāo)系顯示?？梢韵蚯?、向后或?qū)崟r地 顯示任務(wù)場景的動態(tài)變化:空基或地基對象的位置、遙感器覆蓋區(qū)域、可見情況、光照條 件、恒星/行星位置,可將結(jié)果保存為 BMP 位圖或 AVI 動畫。

可以對有關(guān)衛(wèi)星任務(wù)的各個階段進(jìn)行仿真,為衛(wèi)星系統(tǒng)的論證設(shè)計提供直觀的二維和三 維圖形和可信的仿真分析數(shù)據(jù)。

七、參考文獻(xiàn)

[1] 單永正月球精確定點(diǎn)軟著陸軌道設(shè)計及初始點(diǎn)選取哈爾濱工業(yè)大學(xué)

[2] 王鵬基，張熵，曲廣吉 月球軟著陸飛行動力學(xué)和制導(dǎo)控制建模與仿真 中國科學(xué) 家 [3]

[4] 譚浩強(qiáng)著 C 程序設(shè)計（第四版）清華大學(xué)出版社

歐陽自遠(yuǎn).月球探測進(jìn)展與我國的探月運(yùn)動(下)[J].自然雜志，2005，27(5)：253-257.[5] Thorne J D,et al.Optimal Continuous Thrust Orbit Transfer[R].American Astronautical

Society-96-197.[6] 趙吉松，袁建平，潘雪.月球最優(yōu)軟著陸兩點(diǎn)邊值問題的數(shù)值解法[J].中國空間科學(xué)

技術(shù)，2009，(4)：21-27.[7] 柳仲貴 衛(wèi)星軌道誤差的相關(guān)性

北京跟蹤與通信技術(shù)研究所

北京

100094

八、附錄

附錄一

#include int main()int average(int array[400]);int score[400],aver;int i;

printf(“input 400 scores:n”);for(i=0;i<400;i++)

scanf(“%d”,&score[i]);printf(“n”);

aver=average(score);

printf(“average score is %dn”,aver);

return 0;}

int average(int array[400]){ int i;

int aver,sum=array[0];for(i=0;i<400;i++)

sum=sum+array[i];

aver=sum/400;

return(aver);}附錄二

I2=imread('F:附件 3.tif')p2=I2;

[y,x]=size(p2);

[X,Y]=meshgrid(1:x,1:y);pp2=double(p2);mesh(X,Y,pp2);colormap附錄三

x=0:1:4;

y1=8-0.5*x.^2;plot(x,y1)hold on y2=8-2*x;plot(x,y2);hold off

第二篇：數(shù)學(xué)建模國賽論文規(guī)范

?本科組參賽隊從A、B題中任選一題，?？平M參賽隊從C、D題中任選一題。?論文用白色A4紙單面打??；上下左右各留出至少2.5厘米的頁邊距；從左

側(cè)裝訂。

?論文第一頁為承諾書，具體內(nèi)容和格式見本規(guī)范第二頁。

?論文第二頁為編號專用頁，用于賽區(qū)和全國評閱前后對論文進(jìn)行編號，具體

內(nèi)容和格式見本規(guī)范第三頁。

?論文題目和摘要寫在論文第三頁上，從第四頁開始是論文正文。?論文從第三頁開始編寫頁碼，頁碼必須位于每頁頁腳中部，用阿拉伯?dāng)?shù)字從

“1”開始連續(xù)編號。

?論文不能有頁眉，論文中不能有任何可能顯示答題人身份的標(biāo)志。?論文題目用三號黑體字、一級標(biāo)題用四號黑體字，并居中；二級、三級標(biāo)題

用小四號黑體字，左端對齊（不居中）。論文中其他漢字一律采用小四號宋體字，行距用單倍行距，打印時應(yīng)盡量避免彩色打印。

?提請大家注意：摘要應(yīng)該是一份簡明扼要的詳細(xì)摘要（包括關(guān)鍵詞），在整

篇論文評閱中占有重要權(quán)重，請認(rèn)真書寫（注意篇幅不能超過一頁，且無需譯成英文）。全國評閱時將首先根據(jù)摘要和論文整體結(jié)構(gòu)及概貌對論文優(yōu)劣進(jìn)行初步篩選。

?引用別人的成果或其他公開的資料(包括網(wǎng)上查到的資料)必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中均明確列出。正文引用處用方括號標(biāo)示參考文獻(xiàn)的編號，如[1][3]等；引用書籍還必須指出頁碼。參考文獻(xiàn)按正文中的引用次序列出，其中書籍的表述方式為：

[編號] 作者，書名，出版地：出版社，出版年。

參考文獻(xiàn)中期刊雜志論文的表述方式為：

[編號] 作者，論文名，雜志名，卷期號：起止頁碼，出版年。參考文獻(xiàn)中網(wǎng)上資源的表述方式為：

[編號] 作者，資源標(biāo)題，網(wǎng)址，訪問時間（年月日）。

?在不違反本規(guī)范的前提下，各賽區(qū)可以對論文增加其他要求（如在本規(guī)范要

求的第一頁前增加其他頁和其他信息，或在論文的最后增加空白頁等）；從承諾書開始到論文正文結(jié)束前，各賽區(qū)不得有本規(guī)范外的其他要求（否則一律無效）。

?本規(guī)范的解釋權(quán)屬于全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會。

第三篇：嫦娥三號時政材料

時政材料：2013年12月2我國“嫦娥3號”探月衛(wèi)星發(fā)射成功。這是我國自主研制的第三顆月球探測衛(wèi)星。標(biāo)志著在繼實(shí)現(xiàn)人造衛(wèi)星飛行和載人航天后，我國航天事業(yè)又向深空探測邁出了第一步。

命題趨勢：

1、“嫦娥三號”發(fā)射成功說明了什么？

（1）說明了我國綜合國力增強(qiáng)，國際地位不斷提高，一些科技水平已步入世界先進(jìn)行列；

（2）我國的科教興國戰(zhàn)略和人才強(qiáng)國戰(zhàn)略取得了重大成果；

（3）社會主義制度具有強(qiáng)大的生命力和無比的優(yōu)越性；

（4）航天科技工作者發(fā)揚(yáng)了艱苦奮斗、開拓創(chuàng)新的精神；

2、“嫦娥三號”發(fā)射成功有什么重要意義？

（1）“嫦娥一號”發(fā)射成功體現(xiàn)了我國強(qiáng)大的綜合國力，提升了我國的國際地位，有利于維護(hù)世界和平；

（2）進(jìn)一步增強(qiáng)了我們的民族自尊心、自信心和自豪感，振奮了我們的民族精神；

（3）將促進(jìn)我國航天技術(shù)實(shí)現(xiàn)跨越式發(fā)展，帶動我國信息、材料、能源等其他新技術(shù)的研究和開發(fā)；

（4）是我國推進(jìn)自主創(chuàng)新、建設(shè)創(chuàng)新型國家的又一標(biāo)志性成果。

3、“嫦娥三號”成功發(fā)射的原因有哪些？

（1）社會主義制度具有強(qiáng)大的生命力和無比的優(yōu)越性；

（2）我國實(shí)施了科教興國戰(zhàn)略和人才強(qiáng)國戰(zhàn)略；

（3）航天科技工作者發(fā)揚(yáng)了艱苦奮斗、開拓創(chuàng)新的精神；

（4）我國的綜合國力顯著增強(qiáng)。

4、列舉改革開放以來，我國自主創(chuàng)新的具體事例。

科技創(chuàng)新：袁隆平的雜交水稻；“中國芯”的研發(fā)；“神舟系列”飛船的發(fā)射成功； “嫦娥三號”發(fā)射成功、神舟十號成功發(fā)射；青藏鐵路順利通車；三峽大壩建成；“南水北調(diào)”工程開工等。

理論創(chuàng)新：建設(shè)中國特色社會主義理論；“三個代表”重要思想?？茖W(xué)發(fā)展觀

制度創(chuàng)新：“一國兩制”構(gòu)想；社會主義市場經(jīng)濟(jì)的確立；國務(wù)院實(shí)行大部委制等。

5、我們應(yīng)向航天科技工作者學(xué)習(xí)什么？

（1）學(xué)習(xí)他們的愛國主義精神；

（2）學(xué)習(xí)他們自強(qiáng)不息、艱苦創(chuàng)業(yè)的精神；

（3）學(xué)習(xí)他們開拓創(chuàng)新、知難而進(jìn)、頑強(qiáng)拼搏的精神；

（4）學(xué)習(xí)他們的團(tuán)結(jié)合作的團(tuán)隊精神。

6、我國目前實(shí)施的與自主創(chuàng)新、建設(shè)創(chuàng)新型國家有關(guān)的發(fā)展戰(zhàn)略是什么？科教興國戰(zhàn)略和人才強(qiáng)國戰(zhàn)略。

7、“嫦娥二號”成功發(fā)射，對我們青少年有什么啟示？

（1）樹立遠(yuǎn)大理想，努力學(xué)習(xí)科學(xué)文化知識，立志成才；

（2）開動腦筋、勤于思考，培養(yǎng)創(chuàng)新能力；

（3）發(fā)揚(yáng)艱苦奮斗精神，不怕困難、迎難而上；

（4）從現(xiàn)在做起，從小發(fā)明、小創(chuàng)造做起，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。

8、嫦娥二號成功發(fā)射極大振奮了中華民族精神。請思考：弘揚(yáng)民族精神、培育時代精神對于我們國家和我們個人有何意義？

1）對于國家和民族來說：民族精神是民族文化的精髓。弘揚(yáng)民族精神、培育時代精神，有助于加強(qiáng)社會主義精神文明建設(shè)，提高全民的思想道德素質(zhì)；有助于提高民族創(chuàng)新能力，實(shí)現(xiàn)國家的繁榮富強(qiáng)；有助于實(shí)現(xiàn)全面建設(shè)小康社會、構(gòu)建社會主義和諧社會的宏偉目標(biāo)，加快推進(jìn)社會主義現(xiàn)代化建設(shè)。

2）對于個人來說：弘揚(yáng)民族精神、培育時代精神，有助于引導(dǎo)人們樹立正確的世界觀、人生觀和價值觀，激勵人們追求真善美；有助于培養(yǎng)我們的艱苦創(chuàng)業(yè)精神和勇于克服困難的堅強(qiáng)意志，實(shí)現(xiàn)自己的人生價值。

9、我們青少年該如何弘揚(yáng)和培育民族精神？

（1）要自覺接受民族精神教育，積極參加弘揚(yáng)和培育民族精神的社會實(shí)踐活動，從樹立愛國主義思想、確立遠(yuǎn)大志向、規(guī)范行為習(xí)慣、提高自身素質(zhì)做起，向英雄模范人物學(xué)習(xí)，以實(shí)際行動弘揚(yáng)和培育民族精神。（2）以積極樂觀的心態(tài)面對人生的挫折和逆境，用堅強(qiáng)的意志克服干擾、戰(zhàn)勝困難、實(shí)現(xiàn)人生目標(biāo)。

10、下塘中學(xué)九（1）學(xué)生得知嫦娥三號成功發(fā)射后，興奮不已，準(zhǔn)備召開一次向航天科技工作者學(xué)習(xí)的演講比賽。假如你準(zhǔn)備參加演講，請你從以下幾個方面進(jìn)行準(zhǔn)備：

1）演講主題：

2）演講內(nèi)容的搜集途徑：

3）演講的發(fā)言提綱：

答案：1）如學(xué)習(xí)航天精神，做新世紀(jì)創(chuàng)新人才。

2）上網(wǎng)查找資料、查閱相關(guān)報刊雜志

3)a科學(xué)技術(shù)是第一生產(chǎn)力。創(chuàng)新是一個民族進(jìn)步的靈魂，是一個國家興旺發(fā)達(dá)的不竭動力。任何事業(yè)的成功都是一個艱苦奮斗的過程。我們要努力學(xué)習(xí)科學(xué)文化知識發(fā)揚(yáng)艱苦奮斗精神、創(chuàng)新精神，勇于承擔(dān)起時代賦予責(zé)任。

11、嫦娥三號的發(fā)射成功，對我國提高自主創(chuàng)新能力，建設(shè)創(chuàng)新型國家的啟示有哪些？

①要堅持科教興國戰(zhàn)略和人才強(qiáng)國戰(zhàn)略；②要把教育擺在優(yōu)先發(fā)展的戰(zhàn)略地位；③要加強(qiáng)科技創(chuàng)新和教育創(chuàng)新；④要加大對創(chuàng)新的資金投入和人才培養(yǎng)。

12.國家為什么鼓勵、倡導(dǎo)增強(qiáng)自主創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力？

答：①這是由我國的基本國情決定的，只有不斷提高自主創(chuàng)新能力，才能建設(shè)創(chuàng)新型國家，不斷解放和發(fā)展社會生產(chǎn)力，從根本上解決我國社會的主要矛盾；②創(chuàng)新是一個民族進(jìn)步的靈魂，是一個國家興旺發(fā)達(dá)的不竭動力。提高民族創(chuàng)新意識，增強(qiáng)民族創(chuàng)新能力，關(guān)系到中華民族和整個社會主義事業(yè)的興衰成敗。③科學(xué)的本質(zhì)就是創(chuàng)新。沒有創(chuàng)新，總是步人后塵，經(jīng)濟(jì)上會永遠(yuǎn)受制于人，更不可能縮短差距。④我國與西方發(fā)達(dá)國家在科技方面還有相當(dāng)大的差距，還面臨著發(fā)達(dá)國家在科技方面占優(yōu)勢的壓力，因此，我們更要樹立全民族的創(chuàng)新意識，增強(qiáng)創(chuàng)新能力。⑤科技創(chuàng)新能力，已越來越成為綜合國力競爭的決定性因素。日趨激烈的國際競爭，說到底，是人才的競爭，是民族創(chuàng)新能力的競爭。

13．我國應(yīng)如何提高自主創(chuàng)新能力，建設(shè)創(chuàng)新型國家?

①實(shí)施科教興國戰(zhàn)略，加速科技進(jìn)步，提高科技水平，使經(jīng)濟(jì)建設(shè)切實(shí)轉(zhuǎn)移到依靠科技進(jìn)步和提高勞動者素質(zhì)的軌道上來；②將教育擺在優(yōu)先發(fā)展的戰(zhàn)略地位上，深化教育改革，積極推進(jìn)教育創(chuàng)新，努力培養(yǎng)各類具有創(chuàng)新素質(zhì)的人才。③加大對創(chuàng)新的資金投入，為自主創(chuàng)新提供物質(zhì)保障；④實(shí)施人才強(qiáng)國戰(zhàn)略，注重人才資源的開發(fā)，尊重勞動、尊重知識、尊重人才、尊重創(chuàng)造，把培養(yǎng)人才、吸引人才、和用好人才作為一項重大的戰(zhàn)略任務(wù)切實(shí)抓好。⑤要深化科技體制改革，完善科技創(chuàng)新獎勵制度；

15．請為建設(shè)創(chuàng)新型國家設(shè)計宣傳口號或公益廣告。

（1）走自主創(chuàng)新之路，創(chuàng)中華民族輝煌。（2）增強(qiáng)創(chuàng)新能力，實(shí)現(xiàn)跨越發(fā)展。（3）自主創(chuàng)新，以人為本。（4）勇于開拓進(jìn)取，爭做創(chuàng)新人才。（5）創(chuàng)新——插上科技騰飛的翅膀。（6）走自主創(chuàng)新之路，創(chuàng)中華民族輝煌；（7）增強(qiáng)創(chuàng)新能力，實(shí)現(xiàn)跨越發(fā)展；（8）自主創(chuàng)新，以人為本；（9）創(chuàng)新——插上科技騰飛的翅膀。

第四篇：嫦娥三號演講稿

《百年探月夢，嫦娥正此時》

敬愛的老師、親愛的同學(xué)：

大家，早上好！我今天演講的題目是：《百年探月夢，嫦娥正此時》。記得去年我們八年級語文課本有篇關(guān)于蘇軾的詞——《水調(diào)歌頭〃明月幾時有》。想必大家肯定熟知這篇文章。其實(shí)在中國古代有很詩詞是通過寫月來抒發(fā)情懷的。而中國古代人們還不能登上瓊樓玉宇的月宮，還不知月面大片黑影的本來面目，更意想上面有神仙居住，而這些都只能通過自己的無限的想象來認(rèn)識。終于在公元2007年，中國成功發(fā)射一顆承載千百年人們夢想與夙愿的月球探測衛(wèi)星，他的名字就是嫦娥一號探月衛(wèi)星。2010年10月緊接著又發(fā)射了嫦娥二號衛(wèi)星。又于2013年12月2日凌晨1點(diǎn)48分嫦娥三號成功發(fā)射并進(jìn)入預(yù)設(shè)軌道。直到12月14日即前天晚上9：12分嫦娥三號成功落月，至此我國成為繼前蘇聯(lián)、美國之后世界上第三個有能力獨(dú)立自主實(shí)施月球軟著陸的國家。這三次的成功發(fā)射既是對我國航天實(shí)力的展示，更重要的是對我們仰望星空、探索宇宙的一大步實(shí)踐推進(jìn)。

中國探月工程首席科學(xué)家歐陽自遠(yuǎn)院士當(dāng)天面對媒體說：中國探月工程分?繞?、?落?、?回?三步走。已經(jīng)發(fā)射的嫦娥一號、嫦娥二號承擔(dān)第一步?繞?的任務(wù)。兩顆衛(wèi)星在月球上空的軌道進(jìn)行繞月飛行，距離月球表面最近時僅15公里。它們攜帶的照相機(jī)拍攝下月球表面的地形地貌。?在它們的辛勤工作下，我們已經(jīng)獲得了月球上‘虹灣’地區(qū)的立體圖像，分辨率達(dá)到了約1米。這片地勢相對平緩的區(qū)域正是嫦娥三號攜帶天兔號月球車即將著陸的地方?。

嫦娥三號上攜帶了一架天文望遠(yuǎn)鏡，它能幫助人類首次在月球上進(jìn)行天文觀測。由于月球上沒有地球上的地磁、大氣等干擾，科學(xué)家們對觀測結(jié)果十分期待。屆時，嫦娥三號著陸月面時將攜帶一面五星紅旗。

據(jù)介紹，無人月球探測計劃的實(shí)施，將為我國載人登月打下基礎(chǔ)。中國探月工程分三步走。第一步：繞，2007年起，嫦娥一號、二號衛(wèi)星實(shí)施中國人的繞月探測，此為一期工程；第二步：落，由嫦娥三號、四號衛(wèi)星實(shí)現(xiàn)，2013年后實(shí)現(xiàn)首次月球軟著陸和自動巡視勘測并開展月基天文觀測，此為二期工程；第三步：回，2020年前，進(jìn)行首次月球樣品自動取樣，在現(xiàn)場分析取樣的基礎(chǔ)上，采集關(guān)鍵樣品返回地球，此為三期工程。

按照規(guī)劃?回?是我國探月工程的最后一步。由于無法攜帶過多燃料，承擔(dān)這項任務(wù)的嫦娥五號預(yù)計將在2017年發(fā)射。登月取到樣本后，它要先飛到我國在太空中建立的空間站，中轉(zhuǎn)后才能回?家?。

在這里我們再看一個數(shù)據(jù)：截止2013年12月初全球共約１31次探月活動中，美國５9次，蘇聯(lián)６４次，中國3次，日本２次，歐洲航天局、印度各１次。以上成功或基本成功６7次、失?。叮炒?，成功率僅52％不到。由此可見，我國在探月的成功率尚屬領(lǐng)先，但在發(fā)射探測器的數(shù)量卻屈指可數(shù)，對月球探測經(jīng)驗與月球信息還很缺乏，所以我們借助近年來如火如荼的發(fā)展勢頭，扎實(shí)的進(jìn)行科技研發(fā)，腳踏實(shí)地、謙虛謹(jǐn)慎，獨(dú)立自主的開創(chuàng)我國探月的新局面。

最后，希望全體同學(xué)，關(guān)注我國航天事業(yè)的發(fā)展，關(guān)注時政，關(guān)心科技發(fā)展的前沿，讓我們在掌握教科書知識的同時，與時俱進(jìn)，確立崇高的理想，為人生道路的抉擇奠定良好的基礎(chǔ)。

謝謝大家我的演講完畢，九年級<三>班供稿。

第五篇：數(shù)學(xué)建模國賽論文寫作格式

論文題目居中（用3號黑體字）

姓名(學(xué)號)姓名(學(xué)號)姓名(學(xué)號)姓名(學(xué)號)姓名(學(xué)號)（中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院××專業(yè)2008級×班，青島?266100）

摘要：摘要二字要用小5號黑體．摘要應(yīng)寫清別人研究此問題的情況，你為什么對此模型進(jìn)行了研究, 得到了什么結(jié)論, 應(yīng)用到什么領(lǐng)域, 仿真結(jié)果說明了本文結(jié)果的可行性與有效性.文章的句號一律用圓點(diǎn).關(guān)鍵詞：選擇3～5個關(guān)鍵詞;中間用分號分開;最后不加任何標(biāo)點(diǎn)符號

0 引言(用４黑,頂頭寫)說清題目來源,國內(nèi)外現(xiàn)狀分析以及存在的主要問題等,說明你要研究的內(nèi)容，并按文章出現(xiàn)的順序注明參考文獻(xiàn)的序號.如[1][2][3];或[1-３]放在右上角(用5號宋體).1 模型準(zhǔn)備(用5黑,頂頭寫)寫清模型準(zhǔn)備的內(nèi)容與符號說明(用5宋).公式要居中,全篇論文按(1),(2),┄等編號,放在公式的最右邊.如

dx??x(t)dt??(t)(1)dt0x2 模型假設(shè)(用5黑,頂頭寫)寫清模型假設(shè)的內(nèi)容(用5宋).分1),2),┄等書寫清楚.3 模型建立(用5黑,頂頭寫)寫清建模機(jī)理(用5宋),建模過程,分析各變量之間的關(guān)系.必要時可分子節(jié)，如：3.1;4 模型求解(用5黑,頂頭寫)對建立的模型進(jìn)行求解(用5宋).必要時,可建立子節(jié),如4.1情形1;4.2情形2;等.5 模型分析(用5黑,頂頭寫)分析模型各變量的意義與模型的性質(zhì),說明對實(shí)際的具體指導(dǎo)作用(用5宋).6 模型檢驗(用5黑,頂頭寫)把建立的模型放到實(shí)際中進(jìn)行檢驗,若不符合要求,須重新調(diào)查、重新建模.7 模型應(yīng)用(用5黑,頂頭寫)將所建立的模型應(yīng)用到同類問題的實(shí)際中.8 結(jié)論(用5黑,頂頭寫)說清該模型的作用、意義和已解決的問題等.致謝: 感謝基金資助或別人提供的幫助等.參考文獻(xiàn)

[1]任善強(qiáng),雷鳴.數(shù)學(xué)模型[M](第二版).重慶:重慶大學(xué)出版社,1998,1-80.[2]趙靜,但琦．?dāng)?shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)實(shí)驗[M]（第２版）．北京：高等教育出版社，2003，8-37.[3]高存臣等．賽跑的最優(yōu)速度設(shè)計及其應(yīng)用[J]．控制與決策，2004.19(2): 199-203.注: 1.論文要求寫到4000-7000字,即10頁A4紙,字?jǐn)?shù)不到者請寫出學(xué)習(xí)本課程的體會.2.論文要求用計算機(jī)打印出來,交上一份,并寄到相應(yīng)的雜志,以收到稿件為準(zhǔn)計算本課程的成績,并將稿件用E-mail發(fā)給任課教師: ccgao@ouc.edu.cn , 電話:66787215；***