第一篇：三年級奧數(shù)3-0年齡問題.例題及答案

三年級奧數(shù)3-0年齡問題.例題及答案

Page 1 of 17 三年級奧數(shù)--年齡問題

教學(xué)目標(biāo)

1.掌握用線段圖法來分析題中的年齡關(guān)系.2.利用已經(jīng)學(xué)習(xí)的和差、和倍、差倍的方法求解年齡問題．

知識點(diǎn)說明：

一、年齡問題變化關(guān)系的三個(gè)基本規(guī)律：

1.兩人年齡的倍數(shù)關(guān)系是變化的量.2.每個(gè)人的年齡隨著時(shí)間的增加都增加相等的量； 3.兩個(gè)人之間的年齡差不變

二、年齡問題的解題要點(diǎn)是：

1．入手：分析題意從表示年齡間倍數(shù)關(guān)系的條件入手理解數(shù)量關(guān)系． 2．關(guān)鍵：抓住“年齡差”不變． 3．解法：應(yīng)用“差倍”、“和倍”或“和差”問題數(shù)量關(guān)系式． 4．陷阱：求過去、現(xiàn)在、將來。

年齡問題變化關(guān)系的三個(gè)基本規(guī)律： 1．兩人年齡的差是不變的量；

2．兩人年齡的倍數(shù)關(guān)系是變化的量；

年齡問題的解題正確率保證：驗(yàn)算！

例題精講

【例 1】 小卉今年6歲，媽媽今年36歲，再過6年，小卉讀初中時(shí)，媽媽比小卉大多少歲？

【解析】 這道題有兩種解答方法：

方法一：解答這道題，一般同學(xué)會想到，小卉今年6歲，再過6年6?6?12（歲）；媽媽今年36歲，再過6年是（36?6）歲，也就是42歲，那時(shí)，媽媽比小卉大42?12?30（歲）．

（36?6）?（6?6）列式：

?42?1

2?30（歲）

方法二：聰明的同學(xué)會想，雖然小卉和媽媽的歲數(shù)都在不斷變大，但她們兩人相差的歲數(shù)永遠(yuǎn)不變．今年媽媽比小卉大（36?6）歲，不管過多少年，媽媽比小卉都大這么多歲．通過比較第二種方法更簡便．

列式：36?6?30（歲）

答：再過6年，小卉讀初中時(shí)，媽媽比小卉大30歲．

【鞏固】 小英比小明小3歲，今年他們的年齡和是老師年齡的一半，再過15年，他們的年齡和就等于老師的年齡，今年小英的年齡是多少歲？ 三年級奧數(shù)3-0年齡問題.例題及答案

Page 2 of 17 【解析】 經(jīng)過15年，小英和小明的年齡和比老師多增加15歲，所以老師今年年齡的一半是15歲，即小英和小明今年的年齡和是15歲，小英今年的年齡是（15-3）÷2=6（歲）.【鞏固】 爸爸媽媽現(xiàn)在的年齡和是72歲；五年后，爸爸比媽媽大6歲．今年爸爸媽媽二人各多少歲？

【解析】 五年后，爸爸比媽媽大6歲，即爸媽的年齡差是6歲．它是一個(gè)不變量．所以爸爸、媽媽現(xiàn)在的年齡差仍然是6歲．這樣原問題就歸結(jié)成“已知爸爸、媽媽的年齡和是72歲，他們的年齡差是6歲，求二人各是幾歲”的和差問題．

（72?6）?2?39(歲)爸爸的年齡：媽媽的年齡：39?6?33(歲)

【鞏固】 今年小寧9歲，媽媽33歲，那么再過多少年小寧的歲數(shù)是媽媽歲數(shù)的一半？ 【解析】 今年小寧比媽媽小33?9?24（歲），那么小寧永遠(yuǎn)比媽媽小24歲．幾年后小寧是媽媽歲數(shù)的一半時(shí)，即媽媽年齡是小寧的2倍時(shí)，媽媽仍比小寧大24歲．這是個(gè)差倍問題．以小寧的年齡作為1倍量，媽媽年齡是2倍量，所以媽媽比小寧大的歲數(shù)也是1倍量，即1倍量代表著24歲．所以小寧24歲時(shí)是媽媽年齡的一半，因此再過24?9?15（年）．

【鞏固】 6年前，母親的年齡是兒子的5倍，6年后母子年齡和是78歲．問：母親今年多少歲? 【解析】 6年后母子年齡和是78歲，可以求出母子今年年齡和是78－6×2＝66(歲)．6年前母子年齡和是66－6×2＝54(歲)．又根據(jù)6年前母子年齡和與母親年齡是兒子的5倍，可以求出6年前母親年齡，再求出母親今年的年齡． 母子今年年齡和： 78－6×2＝66(歲)，母子6年前年齡和： 66－6×2＝54(歲)，母親6年前的年齡： 54÷(5＋1)×5＝45(歲)，母親今年的年齡： 45＋6＝51(歲)．

【例 2】 小航的爸爸比媽媽大4歲，今年小航的父母年齡之和是小航的7倍，3年后小航的父母年齡之和是小航的6倍，那么小航的媽媽今年多少歲？

【解析】 今年小航的父母年齡之和是小航的7倍，3年后小航的父母年齡之和剛好是小航的6倍，則小航今年的年齡與父母增加的年齡的和剛好是小航增加年齡的6倍．即“小航今年的年齡”?3?2 ?3?6，小航今年的年齡：18?6?12（歲）．小航父母今年的年齡和：12?7?84（歲）．小航的爸爸比媽媽大4歲，所以小航的媽媽今年（84?4）?2?40（歲）的年齡：．

【鞏固】 學(xué)而思學(xué)校張老師和劉備、張飛、關(guān)羽三個(gè)學(xué)生，現(xiàn)在張老師的年齡剛好是這三個(gè)學(xué)生的年齡和；9年后，張老師年齡為劉備、張飛兩個(gè)學(xué)生的年齡和；又3年后，張老師年齡為劉備、關(guān)羽兩個(gè)學(xué)生的年齡和；再3年后，張老師年齡為張飛、關(guān)羽兩個(gè)學(xué)生的年齡和．求現(xiàn)在各人的年齡．

【解析】 張老師?劉備?張飛?關(guān)羽，張老師?9?劉備?9?張飛?9，比較一下這兩個(gè)條件，很快得到關(guān)羽的年齡是9歲；同理可以得到張飛是9?3?12（歲），劉備是9?3?3?15（歲），張老師是9?12?15?36（歲）． 三年級奧數(shù)3-0年齡問題.例題及答案

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【鞏固】 父親與兩個(gè)兒子的年齡和為84歲，12年后父親的年齡正好等于兩個(gè)兒子的年齡和，父親現(xiàn)在多少歲？

【解析】 三人現(xiàn)在的年齡和是84歲，12年后的年齡和是84?12?3?120（歲），那時(shí)父親120?2?60（歲），父親現(xiàn)在60?12?48（歲）．

【例 3】 小明與爸爸的年齡和是53歲，小明年齡的4倍比爸爸的年齡多2歲，小明與爸爸的年齡相差幾歲？

【解析】 把小明的年齡看成是一份，那么爸爸的年齡是四份少2，根據(jù)和倍關(guān)系：

小明的年齡是：（53＋2）÷（4＋1）＝11（歲），爸爸的年齡是：53－11＝42（歲），小明與爸爸的年齡差是：42－11＝31（歲）．

【鞏固】 一家三口人，三人年齡之和是72歲，媽媽和爸爸同歲，媽媽的年齡是孩子的4倍，三人各是多少歲？

【解析】 媽媽的年齡是孩子的4倍，爸爸和媽媽同歲，那么爸爸的年齡也是孩子的4倍，把孩子的年齡作為1倍數(shù)，已知三口人年齡和是72歲，那么孩子的年齡為：72÷（1+4+4）=8（歲），媽媽的年齡是：8×4=32（歲），爸爸和媽媽同歲為32歲.【鞏固】(北京市第四屆“迎春杯”決賽)甲、乙、丙三人平均年齡為42歲，若將甲的歲數(shù)增加7，乙的歲數(shù)擴(kuò)大2倍，丙的歲數(shù)縮小2倍，則三人歲數(shù)相等，丙的年齡為多少歲？

【解析】 當(dāng)遇關(guān)系復(fù)雜時(shí)，將條件分別列出，再進(jìn)行解決。

甲增加7歲后，三人總年齡是42?3?7?133歲，并且這時(shí)丙是甲的2倍，甲是乙

（42?3?7）?（1?2?3）?19(歲)，所的2倍，丙是乙的4倍，所以這時(shí)乙的年齡是以丙的年齡是19?4?76(歲)

【例 4】 姐姐今年13歲，弟弟今年9歲，當(dāng)姐弟倆歲數(shù)和是40歲時(shí)，兩人各應(yīng)該多少歲？

【分析】 用線段圖顯示數(shù)量關(guān)系，可以看出這道題實(shí)際上就是前面總結(jié)過的和差問題.姐弟倆的年齡差總是13?9?4（歲），不管經(jīng)過多少年，姐弟年齡的差仍是4歲，由圖可見，如果從40歲中減去姐弟年齡的差，再除以2就得到所求的弟弟的年齡，也就可以求出姐姐的年齡了.弟弟的年齡：(40?4)?2?18（歲），姐姐的年齡：18?4?22（歲）．

【例 5】 東東3年前的年齡與西西4年后的年齡之和是25歲，東東3年后的年齡等于西西l年前的年齡，求東東、西西今年的年齡各是多少？

【分析】 東東3年后的年齡等于西西1年前的年齡，說明東東比西西小4歲； 東東3年前的年齡與西西4年后的年齡之和是25歲，所以今年東東和西西的年齡和是三年級奧數(shù)3-0年齡問題.例題及答案

Page 4 of 17 25?3?4?24(歲)，今年東東的年齡：(24?4)?2?10(歲)，今年西西的年齡：24?10?14(歲)．

【鞏固】 哥哥5年后的年齡與弟弟3年前的年齡和是29歲，弟弟現(xiàn)在的年齡是兩人年齡差的4倍．哥哥今年多少歲？

（4?5）?3（歲）【解析】 兄弟二人現(xiàn)在的年齡和是27歲，兩人的年齡差是27?，哥哥現(xiàn)在3?5?15（歲）．

【鞏固】 今年彬彬的年齡是表弟年齡的4倍，20年后，彬彬的年齡比表弟的年齡的2倍少l2歲，今年彬彬、表弟各多少歲？

【解析】 表弟今年年齡的4?1?2?2(倍)對應(yīng)的是：20?2?20?12?8(年)，由此可以求出表弟今年的年齡，使問題得解．8?2?4(歲)，4?4?16(歲)．所以表弟今年4歲，彬彬今年16歲．

【鞏固】 甲現(xiàn)在的年齡是乙過去某一時(shí)刻年齡的2倍，那時(shí)甲正好是乙現(xiàn)在這樣大，當(dāng)乙到了甲現(xiàn)在的年齡時(shí)，甲與乙年齡之和為63，那么現(xiàn)在甲、乙年齡分別是多少歲？

【解析】 當(dāng)乙到了甲現(xiàn)在的年齡時(shí)，甲與乙年齡之和為63，可知年齡差為：

7?4?28(歲）7?3?21(歲）63?(5?4)?7(歲），所以現(xiàn)在甲年齡為：，乙年齡為：．

【例 6】 李偉5年前的年齡與張磊8年后的年齡相等，李偉4年后與張磊3年前的年齡和是36歲，李偉和張磊兩人今年各多少歲？

【分析】 由題中“李偉5年前的年齡與張磊8年后的年齡相等”這個(gè)條件我們可以知道李偉比張磊大： 5?8?13（歲）；又由題中“李偉4年后與張磊3年前的年齡和是36歲”可以知道他們兩人今年的年齡和是：36?3?4?35（歲），再根據(jù)和差關(guān)系就可以解答了．李偉的年齡：(35?13)?2?24（歲），張磊的年齡：35?24?11（歲）．

【例 7】 甲的年齡比乙的年齡的4倍少3，甲在3年后的年齡等于乙9年后的年齡，問甲、乙現(xiàn)在各幾歲？

【分析】 甲在3年后的年齡等于乙9年后的年齡，也就是甲在3年后的年齡比乙在3年后的年齡多6歲，即甲、乙兩人年齡差為6歲．甲的年齡比乙的年齡的4倍少3，即“甲的年齡+3”就是乙年齡的4倍，剛才已經(jīng)得到甲、乙兩人年齡之差為6歲，所以“甲的年齡+3”與乙年齡之差為6?3?9，問題就轉(zhuǎn)化為“差倍問題”了．乙年齡為：(9?3?3)?(4?1)?3（歲），甲年齡為：3?4?3?9（歲）．

【例 8】 一天，小慧和劉老師一起談心，小慧問：“老師，您今年有多少歲??？”劉老師 回答說：“你猜猜，當(dāng)我像你這么大時(shí)，你才1歲；當(dāng)你到我這么大時(shí)，我就34 歲了．”那么劉老師今年的年齡是多少歲呢？

【分析】 小慧和劉老師的年齡差是一定的，設(shè)為1倍量，那么兩人的年齡差是：(34?1)?3?11（歲），所以，劉老師今年的年齡是：1?11?2?23（歲）．

【例 9】 父子年齡之和是45歲，再過5年，父親的年齡正好是兒子的4倍，父子今年各多少歲？ 三年級奧數(shù)3-0年齡問題.例題及答案

Page 5 of 17 【解析】 再過5年，父子倆一共長了10歲，那時(shí)他們的年齡之和是45?10=55(歲)，由于父親的年齡是兒子的4倍，因而55歲相當(dāng)于兒子年齡的4?1=5倍，可以先求出兒子5年后的年齡，再求出他們父子今年的年齡． 5年后的年齡和為：45?5?2?55(歲)5年后兒子的年齡：55?（4?1）?11(歲)兒子今年的年齡：11?5?6(歲)，父親今年的年齡：45?6?39(歲)

【鞏固】 父子年齡之和是60歲，8年前父親的年齡正好是兒子的3倍，問父子今年各多少歲？

【解析】 由已知條件可以得出，8年前父子年齡之和是60?8?2?44(歲)，又知道8年前父親的年齡正好是兒子的3倍，由此可得：

（60?8?2）?（3?1）?8?19(歲)兒子：父親：60?19?41(歲)

【鞏固】 李文今年9歲，爸爸媽媽的年齡和是81歲，問：多少年后他們仨的平均年齡是40歲？

【解析】 經(jīng)過若干年后，他們仨人的年齡和是40?3?120(歲)，比現(xiàn)在三人的年齡和多：120?(9?81)?30(歲)，所以，要經(jīng)過30?3?10(年)

【鞏固】 父親與兩個(gè)兒子的年齡和為84歲，12年后父親的年齡正好等于兩個(gè)兒子的年齡和，父親現(xiàn)在多少歲？

【解析】 三人現(xiàn)在的年齡和是84歲，12年后的年齡和是84?12?3?120（歲），那時(shí)父親120?2?60（歲），父親現(xiàn)在60?12?48（歲）．

【鞏固】 王老師與王平和李剛兩位同學(xué)的平均年齡是20歲，李老師與王平和李剛兩位同學(xué)的平均年齡是

18歲．王老師今年32歲，李老師今年多少歲? 【解析】 王老師比李老師大20?3?18?3?6(歲)．故李老師今年的年齡為32?6?26(歲)．

【例 10】 哥哥5年后的年齡與弟弟3年前的年齡和是29歲，弟弟現(xiàn)在的年齡是兩人年齡差的4倍．哥哥今年多少歲？

（4?5）?3（歲）【解析】 兄弟二人現(xiàn)在的年齡和是27歲，兩人的年齡差是27?，哥哥現(xiàn)在3?5?15（歲）．

【鞏固】 爸爸15年前的年齡相當(dāng)于兒子12年后的年齡，當(dāng)爸爸的年齡是兒子的4倍時(shí)，爸爸多少歲？

【解析】 由“爸爸15年前的年齡相當(dāng)于兒子12年后的年齡”可以知道，現(xiàn)在爸爸比兒子大：15?12?27（歲）爸爸與兒子的年齡差已知，此題可轉(zhuǎn)化為：爸爸比兒子大27歲，當(dāng)爸爸的年齡是兒子的4倍時(shí)，爸爸多少歲？這是一道典型的差倍題．

（4?1）?9（歲）兒子的年齡是：27?，爸爸的年齡是：9?4?36（歲）．

【鞏固】（2007年湖北省“創(chuàng)新杯”決賽）小華今年8歲，他和爸爸、媽媽三人年齡之和為81歲．若干年后，三人平均年齡是34歲．到那時(shí)，小華的年齡是 歲．

【解析】 三人平均年齡是34歲時(shí)，三人年齡總和為34?3?102歲，比小華8歲時(shí)的年齡總?cè)昙墛W數(shù)3-0年齡問題.例題及答案

Page 6 of 17 和多了102?81?21歲，每個(gè)人都長了21?3?7歲，若干年后，小華的年齡為8?7?15歲．

【例 11】 小芬家由小芬和她的父母組成，小芬的父親比母親大4歲，今年全家年齡的和是72歲，10年前這一家全家年齡的和是44歲．今年三人各是多少歲？

【解析】 一家人的年齡和今年與10年前比較增加了72?44?28（歲），而如果按照三人計(jì)算10年后應(yīng)增加10?3?30（歲），只能是小芬少了2歲，即小芬8年前出生，今年是8歲，今年父親是(72?8?4)?2?34（歲），今年母親是34?4?30（歲）．

【鞏固】 全家四口人，父親比母親大3歲，姐姐比弟弟大2歲．四年前他們?nèi)业哪挲g和為58歲，而現(xiàn)在是73歲．問：現(xiàn)在各人的年齡是多少？

73?58?15?4?4，我們知道四個(gè)人四年應(yīng)該增長了4?4?16歲，但實(shí)際上只增【解析】

長了15歲，是因?yàn)樵谒哪昵埃艿苓€沒有出生，那么弟弟今年應(yīng)該是幾歲呢？我們可以這樣想：父親、母親、姐姐三個(gè)人四年增長了4?3?12歲，15?12?3，3就是弟弟的年齡！那么很快能得到姐姐是3?2?5歲，父母今年的年齡和是73?3?5?65(歲)，根據(jù)和差問題，就可以得到父親是：(65?3）?2=34(歲)，母親是65?34=31(歲)．

【鞏固】(第三屆“走進(jìn)美妙數(shù)學(xué)花園)有一家三口，爸爸比媽媽大3歲，他們?nèi)医衲甑哪挲g加起來正好是58歲，而5年前他們?nèi)胰四挲g加起來剛好是45歲．小孩子今年多少歲？

【解析】 因?yàn)?8?45?13?5?3?15，所以孩子的年齡小于5歲，也就是5年前孩子還沒有

（15?13）?3(歲)出生，小孩今年的年齡是：5?

【例 12】（2007年春武漢明心奧數(shù)挑戰(zhàn)賽）泡泡比毛毛小7歲，再過4年泡泡的年齡將是毛毛年齡的一半，他們今年的年齡總和是 歲。

【詳解】 再過4年毛毛年齡將是泡泡年齡的2倍，所以那時(shí)泡泡年齡為7歲，毛毛為7?2?14歲，他們今年的年齡總和為7?14?4?2?13歲．

【鞏固】 四個(gè)人年齡之和是87歲，最小的一個(gè)12歲，他與最大的人年齡之和比另外兩個(gè)人年齡之和大7歲，那么這四個(gè)人中年齡最大的一個(gè)年齡是多少？

【解析】 最小的一個(gè)與最大的人年齡之和比另外兩個(gè)人年齡之和大7歲．最小的一個(gè)與最大的人年齡之和看成一個(gè)數(shù)，把另外兩個(gè)人年齡之和也看成一個(gè)數(shù)．問題就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)數(shù)的和是87，差是7．這是一個(gè)典型的和差同題．因此最小的一個(gè)與最大的人

（87?7）?2?47(歲)．最小的12歲，因此最大的年齡為：年齡之和是：47?12?35(歲)

【鞏固】 五位老人的年齡互不相同，其中年齡最大的比年齡最小的大6歲，已知他們的平均年齡為85歲，其中年齡最大的一位老人的年齡是多少歲？

【解析】 如果最小的比85只小1歲，那么由于這時(shí)其他人的年齡均不小于85歲，而最大的比85大6?1?5歲，這樣平均年齡必超過85歲；如果最小的比85小2歲，那么可能還有一人比85小1歲，但最大的比85大6?2?4歲，而4?1?2，從而平均年齡仍超過85歲；如果最小的比85小3歲，那么最大的比85大6?3?3歲，兩人的平均年齡正好是85歲，其他三人如果年齡是84、85、86(或83、85、87)，那么三年級奧數(shù)3-0年齡問題.例題及答案

Page 7 of 17 五人平均年齡正好是85歲；如果最小的比85小4歲或小5歲，類似前面的分析可知，這時(shí)平均年齡必小于85歲．因此，最大的年齡一定是85?3?88歲．

【例 13】 已知祖孫三人，祖父和父親的年齡差與父親和孫子的年齡差相同，祖父和孫子年齡之和為82歲，明年祖父年齡恰好等于孫子年齡的5倍．求祖孫三人各多少歲?

【詳解】 “祖父和父親的年齡差與父親和孫子的年齡差相同”這一條件較難理解，可作出示意圖，從圖中容易看出，祖父和孫子年齡之和恰為父親年齡的2倍．父親的年齡為：82?2?41(歲)，孫子的年齡為：(82?1?2)?(1?5)?1?13(歲)，祖父的年齡為：82?13?69(歲)．

【例 14】（第一屆祖沖之杯數(shù)學(xué)邀請賽)甲對乙說：“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你才5歲．”乙對甲說：“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你將50歲．”那么，甲現(xiàn)在()歲，乙現(xiàn)在()歲．

【解析】 根據(jù)題意畫出示意圖：

乙乙現(xiàn)在的歲數(shù)A甲現(xiàn)在的歲數(shù)D甲G5歲 BCEFHI

當(dāng)乙5歲時(shí)，甲的年齡等于乙現(xiàn)在的歲數(shù)，用線段AC表示，可知甲、乙二人年齡差等于線段BC；甲、乙現(xiàn)在的歲數(shù)差等于EF，當(dāng)乙的歲數(shù)等于甲現(xiàn)在的歲數(shù)(線段DF表示)，甲將50歲(線段GI表示)，此時(shí)年齡差等于線段HI，因?yàn)槟挲g差是不變的量，所以BC?EF?HI,根據(jù)圖，GI?5?BC?EF?HI,所以甲乙二人的年齡差為：(50?5)?3?15(歲)，乙現(xiàn)在的歲數(shù)是：15?5?20(歲)，甲現(xiàn)在的歲數(shù)是：20?15?35(歲)。

【鞏固】 小鯨魚說：“媽媽，我長到您現(xiàn)在這么大時(shí)，您就31歲啦！”鯨魚媽媽說：“我像你這么大時(shí)，你只有1歲．“求小鯨魚和媽媽現(xiàn)在多少歲？

【解析】 由小鯨魚說的話，再過它和媽媽的年齡差年，媽媽就31歲，由鯨魚媽媽說的話，在它們的年齡差年前，小鯨魚只有1歲，所以，由1到31之間含有3個(gè)年齡差，所以年齡差為：(31?1)?3?10(歲)，小鯨魚現(xiàn)在的年齡是：1?10?11(歲)，鯨魚媽媽現(xiàn)在的年齡是：11?10?21(歲)

【鞏固】 甲對乙說：“我在你這么大歲數(shù)的時(shí)候，你的歲數(shù)是我今年歲數(shù)的一半.”乙對甲說：“我到你這么大歲數(shù)的時(shí)候，你的歲數(shù)是我今年歲數(shù)的2倍減7.”問：甲、乙二人現(xiàn)在各多少歲？ 三年級奧數(shù)3-0年齡問題.例題及答案

Page 8 of 17 【解析】 從已知條件中可以看出甲比乙年齡大，甲乙年齡差這是一個(gè)不變的量.甲對乙說“我在你這么大歲數(shù)的時(shí)候”，意思是說幾年以前.這幾年就是甲乙的年齡差.因此，甲整句話可理解為：乙今年的歲數(shù)，減去年齡差，正好是甲今年歲數(shù)的一半.1甲今(1)2乙對甲說“我到你這么大歲數(shù)的時(shí)候”，意思是說幾年后.因此，乙整句話可理解為：甲今年的歲數(shù)，加上年齡差，正好是乙今年歲數(shù)的2倍減去7.即 乙今?年齡差?即 甲今?年齡差?2?乙今?7(2)把甲乙的對話用下圖表示為：

由(1)得甲今?2?乙今?2?年齡差(3)由(2)得 甲今?2?乙今?7?年齡差(4)由(3)(4)年齡差?7(歲)…

從上圖不難看出，甲現(xiàn)在的年齡是乙?guī)啄昵澳挲g的2倍，1倍相當(dāng)于2個(gè)年齡差，2倍相當(dāng)于4個(gè)年齡差.乙現(xiàn)在的年齡相當(dāng)3個(gè)年齡差.乙?guī)啄旰蟮哪挲g和甲現(xiàn)在的年齡相等，所以乙?guī)啄旰笙喈?dāng)4個(gè)年齡差.甲幾年后的年齡比乙?guī)啄旰蟮哪挲g多一個(gè)年齡差，正好是7歲，從而得出年齡差是7歲.解：①乙現(xiàn)在年齡：7?3?21(歲)②甲現(xiàn)在年齡：7?4?28(歲)

10年前父親的年齡是兒子的7倍，15年后父親的年齡是兒子的2倍，問現(xiàn)在父子【例 15】 的年齡各是多少？

15?10?25年，【解析】 10年前到15年后，前后共經(jīng)過：父子應(yīng)各自比10年前增加25歲．假設(shè)此時(shí)父親的年齡仍然是兒子的7倍，父親的年齡應(yīng)增加25?7?175(歲)，要比實(shí)際年齡多增加175?25?150(歲)，而實(shí)際倍數(shù)相差7?2?5倍，可以知道這150歲就相當(dāng)于15年后兒子年齡的5倍．因此，15年后兒子的年齡是：150?5?30(歲)，父親的年齡是：30?2?60(歲)，兒子現(xiàn)在的年齡是30?15?15(歲)，父親現(xiàn)在的年齡是：60?15?45(歲)

【鞏固】（2008年第七屆“小機(jī)靈杯”數(shù)學(xué)競賽決賽）11年前父親的年齡是兒子年齡的7三年級奧數(shù)3-0年齡問題.例題及答案

Page 9 of 17 倍，今年父親 歲，兒子 歲。14年后父親的年齡是兒子年齡的2倍，11?14?25【解析】 “1”倍量，父親的年齡為“7”倍量，那么14年后，11年前兒子的年齡看做（歲），兒子的年齡為“1”倍量?25，父親的年齡是“7”倍量?25，而此時(shí)兒子年齡的兩倍為“2”倍量?50，也等于父親的年齡，所以“5”倍量?25（歲），那么“1”倍量為5（歲），所以今年兒子年齡為5?11?16（歲），父親年齡為7?5?11?46（歲）。

【鞏固】 今年父親的年齡是兒子的5倍，15年后，父親的年齡是兒子年齡的2倍，問：現(xiàn)在父子的年齡各是多少歲？

【解析】 今年父子的年齡差是兒子的5－1＝4倍，15年后父子的年齡差是兒子的2－1＝1倍，這說明在過了15年后，兒子的年齡是現(xiàn)在的四倍，根據(jù)差倍問題的公式可以計(jì)算出兒子今年的年齡是15÷（4－1）＝5歲，父親今年是5×5＝25歲．

【鞏固】 14年前爸爸的年齡是兒子的5倍，14年后父子二人年齡和是98歲，父子二人今年分別多少歲？

【解析】 14年后父子二人年齡和是98歲，那么14年前父子二人年齡和是98?14?2?2?42(歲)，所以14年前兒子的年齡是：42?（5?1）?7(歲)，爸爸的年齡是：7?5?35(歲)，今年爸爸的年齡是：35?14?49(歲)，兒子年齡是7?14?21(歲)

【例 16】（2007年湖北省“創(chuàng)新杯”初賽題改編）現(xiàn)在哥哥的年齡恰好是弟弟年齡的2倍．而9年前哥哥的年齡是弟弟年齡的5倍，則哥哥現(xiàn)在的年齡是 歲．

【詳解】 由于年齡差不變，設(shè)九年前弟弟的年齡為1份，則九年前哥哥與弟弟的年齡差為4份，而現(xiàn)在的年齡差為1倍量，所以對應(yīng)的是4份，所以現(xiàn)在弟弟年齡為4份，所以9年前弟弟的年齡為9?(4?1)?3歲，則哥哥現(xiàn)在的年齡為3?5?9?24歲．

9年前弟弟9年前哥哥現(xiàn)在弟弟現(xiàn)在哥哥

【鞏固】 6年前爸爸的年齡是小玲的6倍，18年后爸爸的年齡是小玲的2倍．問現(xiàn)在父女倆的年齡各是多少歲？

18年后爸爸的年齡是小玲的2倍，那么兩人的年齡差等于小玲當(dāng)時(shí)（18年后）的【解析】

年齡，所以，兩人的年齡差等于小玲6年前的年齡加18?6?24歲．6年前爸爸的年齡是小玲的6倍，所以兩人的年齡差等于小玲當(dāng)時(shí)（6年前）年齡的6?1?5倍．由于年齡差是不變的，所以小玲6年前的年齡的(5?1)倍等于24，小玲當(dāng)時(shí)（6年前）的年齡為：24?(5?1)?6（歲），現(xiàn)在的年齡為：6?6?12（歲），爸爸現(xiàn)在的年齡為：12?6?5?42（歲）．

【例 17】（2008年“希望杯”五年級一試試題）

前年，父親年齡是兒子年齡的4倍；后年，父親年齡是兒子年齡的3倍.父親今年

歲.三年級奧數(shù)3-0年齡問題.例題及答案

Page 10 of 17 【解析】 方法一：由題意知前年父親和兒子的年齡比為4:1，后年父親和兒子的年齡比為3:1，由于年齡差不變，前年年齡差為4?1?3，后年年齡差為3?1?2，所以年齡差為[2,3]?6.前年父親和兒子的年齡比為4:1?8:2，后年父親和兒子的年齡比為3:1?9:3，設(shè)前年父親和兒子的年齡分別為8份，2份，則后年父親和兒子的年齡分別為9份，3份，因?yàn)榍澳甑胶竽赀^去了4年，恰好是9?8?3?2?1份，所以父親今年的年齡為8?4?2?34（歲）

方法二：設(shè)前年兒子的年齡是x歲，那么前年父子的年齡差為3x，那么后年兒子的年齡是x?4歲，父子的年齡差為2?(x?4)，年齡差不變，所以2?(x?4)?3x，解得x?8，那么前年父親的年齡是8?4?32(歲)，今年是32?2?34(歲)。

【鞏固】 12年前，父親的年齡是女兒年齡的11倍；今年，父親的年齡是女兒年齡的3倍，請問多少年后父親年齡是女兒年齡的2倍

［分析］ 設(shè)12年前女兒年齡為1份，父親年齡為11份，則年齡差為10份，由于年齡差不變所以現(xiàn)在的年齡差也應(yīng)當(dāng)為10份，而現(xiàn)在年齡差卻差2倍，所以1倍為5份，所以父親現(xiàn)在年齡為15份，女兒年齡為5份，這樣12年對應(yīng)為4份，所以年齡差為10份對應(yīng)30歲，于是今年女兒年齡為15（歲），父親年齡為15?30?45（歲）． 當(dāng)父親年齡是女兒年齡的2倍時(shí)，父女年齡差是女兒年齡的2?1?1（倍）． 因此那時(shí)女兒年齡即為父女年齡差30歲，所以再過30?15?15（年），父親年齡是女兒年齡的2倍．

【例 18】（第三屆小學(xué)“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽)當(dāng)哥哥的年齡是弟弟現(xiàn)在的年齡時(shí)，哥哥的年齡是弟弟年齡的3倍，當(dāng)?shù)艿艿哪挲g是哥哥現(xiàn)在的年齡時(shí)，他們兩人的年齡和是48，弟弟現(xiàn)在多少歲？

【解析】 如圖所示，用實(shí)線段分別表示弟弟和哥哥現(xiàn)在的年齡，兩條實(shí)線段的長度之差表示年齡差．由于他們的年齡差不變，所以可以在圖上確定出當(dāng)“哥哥的年齡是弟弟現(xiàn)在的年齡”時(shí)弟弟的年齡，和當(dāng)“弟弟的年齡是哥哥現(xiàn)在的年齡”時(shí)哥哥的年齡，倍數(shù)關(guān)系一目了然．

假設(shè)“當(dāng)哥哥的年齡是弟弟現(xiàn)在的年齡時(shí)，哥哥的年齡是弟弟年齡的3倍”時(shí)弟弟的年齡為1份，則弟弟現(xiàn)在的年齡是3份，哥哥現(xiàn)在的年齡是5份，哥哥和弟弟的年齡差是2份．那么“當(dāng)?shù)艿艿哪挲g是哥哥現(xiàn)在的年齡時(shí)”，哥哥的年齡

（5?7）?4(歲)．所以弟弟現(xiàn)在是5?2?7份，那么線段l代表的年齡是：48?的年齡是：4?3?12(歲)

【鞏固】 哥哥現(xiàn)在的年齡是弟弟當(dāng)年年齡的3倍，哥哥當(dāng)年的年齡與弟弟現(xiàn)在的年齡相同，哥哥與弟弟現(xiàn)在的年齡和為30歲．問：哥哥現(xiàn)在多少歲？

【解析】 假設(shè)弟弟當(dāng)年年齡是1份，那么哥哥現(xiàn)在的年齡就是3份，因?yàn)楦绺绠?dāng)年的年齡與弟弟現(xiàn)在的年齡相同，因?yàn)榈艿墚?dāng)年年齡，弟弟現(xiàn)在年齡(?哥哥當(dāng)年年齡)，哥哥現(xiàn)在年齡這三個(gè)數(shù)是等差的，所以弟弟現(xiàn)在年齡(?哥哥當(dāng)年年齡)就剛好是2份，三年級奧數(shù)3-0年齡問題.例題及答案

Page 11 of 17 那么兄弟現(xiàn)在的年齡和是3?2?5份，一份就是30?5?6，哥哥現(xiàn)在是6?3?18(歲)．

【鞏固】 哥哥對弟弟說：“當(dāng)我在你現(xiàn)在的年齡時(shí)，你才7歲”．弟弟又對哥哥說：“當(dāng)我長到你現(xiàn)在的年齡時(shí)，你已22歲了”，問哥哥和弟弟現(xiàn)在各多少歲？

【解析】 7歲到22歲之間是3個(gè)年齡差，哥哥與弟弟的年齡差為5歲，因此弟弟現(xiàn)在年齡為12歲，哥哥現(xiàn)在年齡為17歲．

【例 19】 甲對乙說：“我在你這么大歲數(shù)的時(shí)候，你的歲數(shù)是我今年歲數(shù)的一半．”乙對甲說：“我到你這么大歲數(shù)的時(shí)候，你的歲數(shù)是我今年歲數(shù)的2倍減7．”問：甲、乙二人現(xiàn)在各多少歲？

【詳解】 從已知條件中可以看出甲比乙年齡大，甲乙年齡差這是一個(gè)不變的量．甲對乙說“我在你這么大歲數(shù)的時(shí)候”，意思是說幾年以前．這幾年就是甲乙的年齡差．因此，甲整句話可理解為：乙今年的歲數(shù)，減去年齡差，正好是甲今年歲數(shù)的一半．即，乙今－年齡差＝甲今的一半（1）；乙對甲說“我到你這么大歲數(shù)的時(shí)候”，意思是說幾年后．因此，乙整句話可理解為：甲今年的歲數(shù)，加上年齡差，正好是乙今年歲數(shù)的2倍減去7．即 甲今＋年齡差＝2×乙今－7（2）.把甲乙的對話用下圖表示為：

由（1）得甲今＝2×乙今－2×年齡差（3）由（2）得 甲今＝2×乙今－7－年齡差（4）由（3）（4）年齡差＝7（歲）從上圖不難看出，甲現(xiàn)在的年齡是乙?guī)啄昵澳挲g的2倍，1倍相當(dāng)于2個(gè)年齡差，2倍相當(dāng)于4個(gè)年齡差，乙現(xiàn)在的年齡相當(dāng)3個(gè)年齡差．乙?guī)啄旰蟮哪挲g和甲現(xiàn)在的年齡相等，所以乙?guī)啄旰笙喈?dāng)4個(gè)年齡差．甲幾年后的年齡比乙?guī)啄旰蟮哪挲g多一個(gè)年齡差，正好是7歲，從而得出年齡差是7歲．所以，乙現(xiàn)在年齡： 7×3＝21（歲），甲現(xiàn)在年齡： 7×4＝28（歲）.【鞏固】 甲現(xiàn)在的年齡是乙過去某一時(shí)刻年齡的2倍，那時(shí)甲正好是乙現(xiàn)在這樣大，當(dāng)乙到了甲現(xiàn)在的年齡時(shí)，甲與乙年齡之和為63，那么現(xiàn)在甲、乙年齡分別是多少歲？

【解析】 如圖所示，每一段表示甲乙二人的年齡差，根據(jù)題意可以得到如上線段圖，由當(dāng)乙到了甲現(xiàn)在的年齡時(shí)，甲與乙年齡之和為63，可知年齡差為：63÷（5+4）=7（歲），所以現(xiàn)在甲年齡為：7×4=28（歲），乙年齡為：7×3=21（歲）

【例 20】（第三屆小學(xué)《祖沖之杯》數(shù)學(xué)邀請賽試題）爸爸在過50歲生日時(shí)，弟弟說：“等我長到哥哥現(xiàn)在的年齡時(shí)，我和哥哥那時(shí)的年齡之和等于那時(shí)爸爸的年齡”，那么哥哥今年多少歲？

【解析】 方法一：設(shè)弟弟今年x歲，哥哥今年y歲，則哥哥與弟弟的年齡差為(y?x)歲，弟弟長到哥哥年齡時(shí)，相當(dāng)于長了（y?x）歲，到那時(shí)弟弟年齡為y歲，哥哥年齡為y?（y?x）歲，爸爸年齡為50?（y?x）歲，根據(jù)題意列方程得y?y?（y?x）?50?（y?x）,解得y?25,所以哥哥今年25歲． 方法二：

設(shè)a表示當(dāng)?shù)艿芎透绺缒挲g一樣時(shí)增加的歲數(shù)，其實(shí)就是哥哥比弟弟大的歲數(shù)． 三年級奧數(shù)3-0年齡問題.例題及答案

Page 12 of 17 弟弟 | |

a |

哥哥 | | a | 爸爸 | |

a | 設(shè)經(jīng)過了a年，當(dāng)?shù)艿芎透绺绲哪挲g一樣時(shí)，他們的年齡和就相當(dāng)于兩個(gè)哥哥實(shí)際的歲數(shù)再加上a歲．爸爸的歲數(shù)就是實(shí)際的歲數(shù)加上a歲，抵消a歲．也就是兩個(gè)哥哥的年齡等于爸爸的年齡．爸爸的年齡是50歲，哥哥的年齡就是25歲．

【鞏固】 今年父親的年齡是48歲，哥哥的年齡是弟弟的2倍．當(dāng)?shù)艿荛L到哥哥現(xiàn)在的年齡時(shí)，父親的年齡恰好等于兄弟倆年齡之和．請問：今年哥哥多少歲？

【解析】 今年弟弟的年齡為：48?(2?1?1?1?1)?12（歲），所以今年哥哥的年齡為12?2?24（歲）．

【例 21】 1年前父母的年齡和是兄弟二人年齡和的7倍；4年后，父母的年齡和是兄弟二人年齡和的4倍。已知爸爸比媽媽大2歲，媽媽今年幾歲？

【解析】 將父母看成一個(gè)人，年齡每年增加2歲，兄弟看成一個(gè)人每年增加2歲，設(shè)父母1年前年齡和是7份，那么1年前兄弟二人的年齡就是1份，后來過了1+4=5年，兄弟年齡是1份加10，4倍就是4份加40，父母年齡是7份加10，所以1份就是(40?10)?(7?3)?10，所以1年前父母和是70，媽媽年齡(70?2)?2?34，媽媽今年35歲。

【鞏固】 梁老師問陳老師有多少子女，她說：“現(xiàn)在我和愛人的年齡和是子女年齡和的6倍；兩年前，我們的年齡和是子女年齡和的10倍；六年后，我們的年齡和是子女年齡和的3倍．”問陳老師有多少子女．

【解析】 2年前，年齡差是子女年齡和的10-1=9倍；今年，年齡差是子女年齡和的6-1=5倍；6年后，年齡差是子女年齡和的3-1=2倍．這個(gè)時(shí)候可以看到這個(gè)題中的年齡差不是一定的，否則年齡差是9，5，2倍數(shù)，至少是90，這是不合常理的，也就是說子女個(gè)數(shù)不會是2個(gè)．最好的方法就是先假設(shè)陳老師有1個(gè)子女，很快就會得到矛盾，最后可以算出陳老師是3個(gè)子女．

【例 22】(北京市“迎春杯”選題)

⑴今年，父親年齡是女兒年齡的4倍，三年前父女年齡之和是49歲，問父親現(xiàn)在 歲？女兒現(xiàn)在 歲? ⑵媽媽今年40歲，恰好是小紅年齡的4倍； 年后媽媽的年齡是小紅的2倍? ⑶陳老師今年34歲，她的學(xué)生小光、小亮、小聰?shù)哪挲g分別是9、10、11歲． 年后，這三個(gè)學(xué)生年齡的和才同陳老師的年齡相等? 【解析】 ⑴三年前父女之和是49歲，現(xiàn)在父女年齡和是49?3?2?55歲

女兒：55?(1?4)?11，爸爸：11?4=44

⑵a.今年媽媽比小紅大40?40?4?30(歲)

b.當(dāng)媽媽的年齡是小紅的2倍時(shí)，媽媽年齡是30?(2?1)?2?60(歲)

c.多少年后媽媽的年齡是小紅的2倍?60?40?20(年)

⑶小光、小亮、小聰?shù)哪挲g和比陳老師的年齡小34?9?10?11?4(歲)

每過一年，陳老師增1歲，而三個(gè)學(xué)生共增1?3?3(歲)，增長的歲數(shù)差為3?1?2(歲)．幾年后，老師年齡和她的三個(gè)學(xué)生年齡和相等呢?4÷2=2(年)綜合算式：(34?9?10?11)?(3?1)?2(年)三年級奧數(shù)3-0年齡問題.例題及答案

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【鞏固】 三個(gè)人的年齡和是75歲，最大的人比其它兩個(gè)人的年齡和還要大15歲，最小的人是12歲，問三個(gè)人的年齡各是多少？

【解析】 已知“最大的人比其它兩個(gè)人的年齡和還要大15歲”，把“其它兩個(gè)人的年齡和”看成一個(gè)數(shù)，還知道三個(gè)人年齡和是75歲，這便是轉(zhuǎn)化成一個(gè)典型的和差問題，最大的人的年齡是：(75?15)?2?45(歲)，其它兩人的年齡和是：(75?15)?2?30(歲)，已知最小的年齡是12歲，所以剩下的一人年齡為：30?12?18(歲)．

【例 23】 已知祖孫三人，祖父和父親年齡的差與父親和孫子年齡的差相同，祖父和孫子年齡之和為82歲，明年祖父年齡恰好等于孫子年齡的5倍．求祖孫三人各多少歲? 【解析】 “祖父和父親年齡差與父親和孫子年齡的差相同”這一條件較難理解，可作出示意圖

孫子年齡父親年齡祖父年齡

從圖中容易看出，祖父和孫子年齡之和恰為父親年齡的2倍．

(1)父親的年齡：

82?2?41(歲)(2)孫子的年齡：

(82?1?2)?(1?5)?1?13(歲)

(3)祖父的年齡：

82?13?69(歲)

驗(yàn)算：69?41?41?13(祖父和父親年齡的差與父親和孫子的差相同)

(13?1)?5?69?1(明年祖父年齡恰好等于孫子年齡的5倍)

【例 24】 今年，祖父的年齡是小明的年齡的6倍，幾年后，祖父的年齡將是小明年齡的5倍，又過幾年以后，祖父的年齡將是小明的年齡的4倍，求：祖父今年是多少歲？

【解析】 祖父的年齡比小明的年齡大，兩人的年齡差是不變的.因?yàn)榻衲曜娓傅哪挲g是小明的年齡的6倍，所以年齡差是小明年齡的5倍，從而是年年差是5的倍數(shù)，同理，由“幾年后，祖父的年齡是小明的年齡的5倍”，“又過幾年以后，祖父的年齡是小明的年齡的4倍”，知道年齡差是4、3的倍數(shù)，所以，年齡差是5?4?3?60的倍數(shù).而60的倍數(shù)是：60，120，…，合理的選擇是60，今年小明的年齡是60?5?12(歲)，祖父的年齡是12?6?72(歲).【例 25】 爸爸、哥哥、妹妹三人現(xiàn)在的年齡和是64歲．當(dāng)爸爸的年齡是哥哥年齡的3倍時(shí)，妹妹是9歲；當(dāng)哥哥的年齡是妹妹年齡的2倍時(shí)，爸爸是34歲．現(xiàn)在三個(gè)人的年齡各是多少歲？

【詳解】（法1）操作分析法．①妹妹9歲時(shí)，爸爸年齡是哥哥年齡的3倍，如果妹妹再增加25歲，妹妹便是34歲．此時(shí)，哥哥和爸爸也都增加25歲．那么此時(shí)爸爸年齡三年級奧數(shù)3-0年齡問題.例題及答案

Page 14 of 17 是此時(shí)哥哥的三倍減去50歲；

②當(dāng)哥哥的年齡是妹妹年齡的2倍時(shí)，爸爸是34歲，假設(shè)此時(shí)妹妹是x歲，則哥哥是2x歲．則妹妹到34歲時(shí)，爸爸是34?34?x?68?x歲，哥哥是2x?34?x?34?x歲．

根據(jù)①的分析，妹妹34歲時(shí)爸爸年齡是哥哥年齡的3倍減去50歲，有：

可以得到x?4．則此時(shí)妹妹4歲，哥哥是8歲，爸爸是34?34?x??3?50?68?x．歲．

③此時(shí)三人的年齡和為4?8?34?46，而三人現(xiàn)在的年齡和為64歲，所以還要過(64?46)?3?6歲．則現(xiàn)在妹妹是4?6?10歲，哥哥是8?6?14歲，爸爸是34?6?40歲．

（法2）年齡問題中不變的數(shù)量是年齡差，所以我們可以以年齡差為未知數(shù)．設(shè)爸爸和哥哥的年齡差為x歲，哥哥和妹妹的年齡差為y歲，那么爸爸的年齡是哥哥年

x歲，哥哥的年齡是妹妹年齡的2倍時(shí)，妹妹2的年齡為y歲，根據(jù)題目給出的條件有以下等量關(guān)系： 齡的3倍時(shí)，哥哥年齡為x??3?1???x?x?26??y?9，這個(gè)二元一次方程組的解為． 2??y?4???y?y?x?34如果現(xiàn)在妹妹的年齡為z歲，那么有z?z?4?z?4?26?64．解得z?10，所以現(xiàn)在妹妹10歲，哥哥和爸爸的年齡分別是14歲和40歲．

【鞏固】甲、乙、丙三人現(xiàn)在的年齡和是50歲，當(dāng)甲的年齡是乙的年齡的一半時(shí)丙26歲，當(dāng)乙的年齡是丙的年齡的一半時(shí)甲5歲．現(xiàn)在甲、乙、丙各幾歲？

【詳解】假設(shè)甲、乙、丙現(xiàn)在的年齡分別為x歲、y歲、z歲，根據(jù)題意有：

?x?y?z?50?x?8???y?x?z?x?26，解得?y?15．

?z?27?z?y?x?y?5??故現(xiàn)在甲、乙、丙分別為8歲、15歲、27歲．

【鞏固】 當(dāng)王力的年齡像李彤現(xiàn)在這么大時(shí)，劉強(qiáng)的年齡比王力和李彤他們現(xiàn)在的年齡之和小7歲．當(dāng)劉強(qiáng)像王力現(xiàn)在這么大時(shí)，王力的年齡是______歲． 【詳解】由題意知，劉強(qiáng)的年齡加上李彤與王力的年齡差，等于王力與李彤的年齡和減去7，即劉??李?王??王?李?7，化為劉?王?王?7．當(dāng)劉強(qiáng)像王力這么大時(shí)，即劉強(qiáng)的年齡減少?王-7?歲，此時(shí)王力的年齡是王??王?7??7歲．

3年前姐姐與妹妹的年齡比為5:2，2年后姐姐和妹妹的年齡比為10:7，問姐姐【例 26】

和妹妹的年齡差為

【解析】 這樣年齡差為3份，從3年前到2年后是5年，恰好對應(yīng)5份，所以姐姐和妹妹的年齡差為3歲

三年級奧數(shù)3-0年齡問題.例題及答案

Page 15 of 17 【例 27】（第五屆“華杯賽”初賽試題）小明今年的年齡是他出生那年的年份的數(shù)字之和．問：他今年（1995年）多少歲？ 【解析】 設(shè)小明出生那年是19ab年，則1?9?a?b?95?10a?b，從而有11a?2b?85．

若a?8，則11a?2b＞85；若a?6，則11a?2b?66?2?9?84．所以必有a?7，b?4．小明今年是1?9?7?4?21或1995?1974?21（歲）．

【鞏固】（第五屆“華杯賽”初賽試題）小明今年的年齡是他出生那年的年份的數(shù)字之和．問：他今年（1995年）多少歲？ 【解析】 設(shè)小明出生那年是19ab年，則1?9?a?b?95?10a?b，從而有11a?2b?85．

若a?8，則11a?2b＞85；若a?6，則11a?2b?66?2?9?84．所以必有a?7，b?4．小明今年是1?9?7?4?21或1995?1974?21（歲）．

【鞏固】（第七屆“華杯賽”初賽試題）小明爺爺?shù)哪挲g是一個(gè)兩位數(shù)，將此兩位數(shù)的數(shù)字交換得到的數(shù)就是小明爸爸的年齡，又知道他們的年齡的差是小明年齡的4倍，求小明的年齡．

【解析】 假設(shè)爺爺?shù)哪挲g是10a?b，其中a、b都是數(shù)字，則爸爸的年齡是10b?a，年齡（10a?b）?（10b?a）?9?（a?b）差是．這差是4的倍數(shù)，所以a?b是4的倍數(shù)，但a?9，而根據(jù)常識，小明爸爸的年齡不可能是十幾歲，因此b?2，a?b?7，從而必有a?b?4．

（a?b）?4?9（歲）小明的年齡是9?．

【鞏固】 同學(xué)們可能知道，歌星、影星一般都不愿意公開自己的年齡。這個(gè)小故事說的就是一個(gè)記者千方百計(jì)要從一個(gè)女影星嘴里打聽出她的年齡。影星不想說謊，卻又不愿意把自己的年齡講出來，于是就對記者說：“我5年后歲數(shù)的5倍，減去我5年前歲數(shù)的5倍，正好是我現(xiàn)在的年齡?！庇浾呦肓税胩?，還是沒有想出來影星的年齡。同學(xué)們開動腦筋想一想，這個(gè)影星今年到底多少歲了？ 【解析】 可以假設(shè)影星現(xiàn)在的年齡是a歲，那么她5年前、5年后的年齡分別是5?a?5?歲和5?a?5?歲。兩者相差5?a?5??5?a?5??50（歲），所以這個(gè)影星今年的年齡是50歲。

同學(xué)們可以考慮一下，自己5年后比5年前的年齡大多少歲？自己的爸爸、媽媽5年后又比5年前的年齡大多少歲呢？我們會發(fā)現(xiàn)，都是10歲。所以，這個(gè)影星今年的年齡是?5?5??5?50（歲）。

【例 28】（第五屆“迎春杯”刊賽試題）有甲、乙、丙三個(gè)人，當(dāng)甲的年齡是乙的2倍時(shí)，丙是22歲；當(dāng)乙的年齡是丙的2倍時(shí)，甲是31歲；當(dāng)甲60歲時(shí)，丙是多少歲？

【解析】 當(dāng)甲31歲時(shí)，乙是丙年齡的2倍．設(shè)這是丙年齡是a歲，則乙年齡是2a歲，乙、（22?a）丙年齡的差為a．丙22歲時(shí)，乙的年齡為歲，正好等于甲、乙年齡之差（31?2a），即22?a?31?2a，得a?3，也就是說，甲與丙的年齡差是31?3?28三年級奧數(shù)3-0年齡問題.例題及答案

Page 16 of 17（歲）．因此，當(dāng)甲60歲時(shí)，丙是60?28?32（歲）．

【鞏固】 甲、乙、丙、丁四個(gè)人的年齡之和是64歲，甲21歲時(shí)，乙17歲；今年甲18歲，丙的年齡是丁的3倍．問丁今年的年齡？

【解析】 由“甲21歲時(shí)，乙17歲”可以推知甲比乙大21?17?4歲，因此當(dāng)甲18歲時(shí)，乙就是18?4?14 歲．由于甲、乙、丙、丁四個(gè)人的年齡之和是64歲，甲18歲，乙14歲，故丙和丁的年齡和就是64?14?18?32(歲)．因?yàn)楸哪挲g是丁的3倍，剩下的問題是個(gè)和倍問題．以丁的年齡作為1倍量，丙的年齡就是3倍量，從而兩個(gè)人的年齡和32歲，就是4倍量，因此1倍量的大小即丁的年齡是：32?4?8(歲)．

【例 29】（2001年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽）一位一百多歲的老壽星（2001年時(shí)），公元x2年時(shí)年齡為x歲，此老壽星2001年是多少 【詳解】2001年，老壽星100多歲，說明出生年份是18年．在此后的某一年，他的年齡為x歲，而那一年恰是公元x2年．平方大于1800而小于2001的數(shù)在40與45之間，這就大大縮小了思考范圍，再通過檢驗(yàn)就可確定x，進(jìn)而確定老壽星的出生年份及2001年的歲數(shù)．

由于402?1600，452?2025，所以x應(yīng)在41～44之間．

而412?1681，422?1764，432?1849，442?1936，所以x顯然不等于41、42． 若x?43，即1849年時(shí)43歲，則出生于1806年，2001年195歲； 若x?44，即1936年時(shí)44歲，出生于1892年，2001年109歲． 可知比較合乎實(shí)際的答案是老壽星2001年109歲．

【例 30】 爸爸、哥哥、妹妹三人現(xiàn)在的年齡和是64歲．當(dāng)爸爸的年齡是哥哥年齡的3倍時(shí)，妹妹是9歲；當(dāng)哥哥的年齡是妹妹年齡的2倍時(shí)，爸爸是34歲．現(xiàn)在三個(gè)人的年齡各是多少歲？

【詳解】（法1）操作分析法．①妹妹9歲時(shí)，爸爸年齡是哥哥年齡的3倍，如果妹妹再增加25歲，妹妹便是34歲．此時(shí)，哥哥和爸爸也都增加25歲．那么此時(shí)爸爸年齡是此時(shí)哥哥的三倍減去50歲；

②當(dāng)哥哥的年齡是妹妹年齡的2倍時(shí)，爸爸是34歲，假設(shè)此時(shí)妹妹是x歲，則哥哥是2x歲．則妹妹到34歲時(shí)，爸爸是34?34?x?68?x歲，哥哥是2x?34?x?34?x歲．

根據(jù)①的分析，妹妹34歲時(shí)爸爸年齡是哥哥年齡的3倍減去50歲，有：

可以得到x?4．則此時(shí)妹妹4歲，哥哥是8歲，爸爸是34?34?x??3?50?68?x．歲．

③此時(shí)三人的年齡和為4?8?34?46，而三人現(xiàn)在的年齡和為64歲，所以還要過(64?46)?3?6歲．則現(xiàn)在妹妹是4?6?10歲，哥哥是8?6?14歲，爸爸是34?6?40歲．

（法2）年齡問題中不變的數(shù)量是年齡差，所以我們可以以年齡差為未知數(shù)．設(shè)爸爸和哥哥的年齡差為x歲，哥哥和妹妹的年齡差為y歲，那么爸爸的年齡是哥哥年

x歲，哥哥的年齡是妹妹年齡的2倍時(shí)，妹妹2的年齡為y歲，根據(jù)題目給出的條件有以下等量關(guān)系： 齡的3倍時(shí)，哥哥年齡為x??3?1??三年級奧數(shù)3-0年齡問題.例題及答案

Page 17 of 17 ?x?x?26??y?9，這個(gè)二元一次方程組的解為． ??2y?4???y?y?x?34如果現(xiàn)在妹妹的年齡為z歲，那么有z?z?4?z?4?26?64．解得z?10，所以現(xiàn)在妹妹10歲，哥哥和爸爸的年齡分別是14歲和40歲．

【鞏固】 甲乙丙三人現(xiàn)在歲數(shù)的和是113歲，當(dāng)甲的歲數(shù)是乙的歲數(shù)的一半時(shí)，丙是38歲，當(dāng)乙的歲數(shù)是丙的歲數(shù)的一半時(shí)，甲是17歲，那么乙現(xiàn)在是多少歲？

（2?a）【解析】 假設(shè)當(dāng)甲的歲數(shù)是乙的歲數(shù)的一半時(shí)，甲是a歲，乙就是歲，丙38歲；當(dāng)甲17歲的時(shí)候，注意到甲乙的年齡差不變，都是a，所以乙是17+a歲，那么丙是

（17?a），再根據(jù)甲丙的年齡差可以得到：乙的2倍，就是2?38?a?2?（17?a）?17，由此可以得到a是等于7的，所以在某一年，甲7歲，乙

（113?59）?3?18，再過18年后，三14歲，丙38歲，和是7?14?38?59（歲），人年齡和是113歲，所以乙今年的年齡是14?18?32（歲）．

【鞏固】甲、乙、丙三人現(xiàn)在的年齡和是50歲，當(dāng)甲的年齡是乙的年齡的一半時(shí)丙26歲，當(dāng)乙的年齡是丙的年齡的一半時(shí)甲5歲．現(xiàn)在甲、乙、丙各幾歲？

【解析】 假設(shè)甲、乙、丙現(xiàn)在的年齡分別為x歲、y歲、z歲，根據(jù)題意有：

?x?y?z?50?x?8???y?x?z?x?26，解得?y?15．

?z?27?z?y?x?y?5??故現(xiàn)在甲、乙、丙分別為8歲、15歲、27歲．

第二篇：奧數(shù) 年齡問題

三 年 級

上 學(xué) 期

數(shù) 學(xué) 練習(xí)

年齡問題

一、父親36歲，兒子4歲。幾年后父親年齡是兒子年齡的3倍？

二、現(xiàn)在哥哥25歲，弟弟15歲，幾年前哥哥的年齡為弟弟年齡的2倍？

三、女兒8歲，母親38歲。母親多少歲時(shí)是女兒年齡的3倍？

四、甲對乙說：“現(xiàn)在我的年齡是你的年齡的2倍。”乙對甲說：“我6年后的年齡和你10年前的年齡一樣?！奔?、乙年齡各是多少？

五、小江14歲，爸爸41歲。幾年前時(shí)爸爸的年齡比小江年齡大3倍？

六、甲在銀行存款4000元，乙在銀行存款2000元。兩人從銀行中取出同樣多錢后，甲的存款數(shù)是乙存款的5倍。兩人各取出多少元？

七、哥哥年齡是弟弟年齡的3倍，但3年前哥哥的年齡等于弟弟3年后的年齡?，F(xiàn)在年齡各是幾歲？ 三 年 級

上 學(xué) 期

數(shù) 學(xué) 練習(xí)

八、母親現(xiàn)在的年齡是兒子年齡的4倍。母親27歲時(shí)生的這個(gè)孩子，問母子現(xiàn)在各多少歲？

九、10年前母親的年齡是女兒的7倍，15年后母親的年齡是女兒的2倍。現(xiàn)在母女兩人的年齡各是多少歲？

十、哥哥與弟弟兩人3年后的年齡和是27歲。弟弟今年的年齡等于兩人年齡差。問哥哥和弟弟今年各幾歲？

十一、今年哥哥、弟弟兩人歲數(shù)和是50.曾有一年，哥哥的歲數(shù)是今年弟弟的歲數(shù)，那時(shí)哥哥的歲數(shù)正好是弟弟當(dāng)年的歲數(shù)的2倍。問哥哥和弟弟今年各多少歲？

十二、父親與弟弟的年齡和是58歲，父親比哥哥大23歲，哥哥比弟弟大5歲。問三人的年齡各是多少歲？

十三、四人年齡和是77歲，最小的10歲，他與最大的年齡之和比另外兩個(gè)人年齡和大7歲。最大的年齡是多少歲？ 三 年 級

上 學(xué) 期

數(shù) 學(xué) 練習(xí)

十四、姐妹兩人，當(dāng)姐姐像妹妹這么大年齡時(shí)，妹妹才9歲；當(dāng)妹妹像姐姐現(xiàn)在這么大年齡時(shí)，姐姐就27歲了。求姐姐和妹妹現(xiàn)在各多少歲？

十五、同學(xué)們問王老師年齡。王老師說：“我已過半百。3年前，我的年齡時(shí)6的倍數(shù)；3年后，我的年齡是5的倍數(shù)。”請問王老師現(xiàn)在的年齡是多少歲？

十六、甲比乙小4歲，丙比甲小4歲，丁比丙小4歲，丁的年齡正好是乙的一半。他們各多少歲？

十七、祖孫三人的年齡和正好是100歲。祖父過的年數(shù)正好等于孫子過的月數(shù)，兒子過的星期數(shù)正好等于孫子過的天數(shù)。問祖父、兒子、孫子各多少歲？

十八、一個(gè)中學(xué)生說，我的年齡減去10，再乘以5，恰好等于我的年齡加上10.問這位中學(xué)生的年齡多大？ 三 年 級

上 學(xué) 期

數(shù) 學(xué) 練習(xí)

練習(xí)

1、甲、乙兩人的年齡和是33歲，四年后，甲比乙大3歲。問甲、乙兩人各多少歲？

2、父子的年齡和是64歲，兒子年齡的3倍比父親的年齡多8歲。求父子兩人各多少歲？

3、甲、乙兩人年齡和為35歲，乙、丙兩人年齡和為45歲。甲、丙兩人年齡和為40歲。求甲、乙、丙各多少歲？

4、父親47歲，兒子21歲。幾年前父親年齡是兒子年齡的3倍？

5、小紅11歲時(shí)，也有68歲。今年小紅考上了大學(xué)，爺爺?shù)哪挲g剛好是小紅的4倍。問爺爺今年多大歲數(shù)？

6、小明和叔叔今年共40歲，曾有一年叔叔的歲數(shù)是今年小明的歲數(shù)，那時(shí)叔叔的歲數(shù)恰好是小明歲數(shù)的3倍，叔叔和小明今年各多少歲？

7、媽媽今年32歲，兒子今年6歲，問：在幾年后，媽媽的年齡是兒子年齡的3倍？

8、父親今年45歲，兒子23歲，幾年前父親的歲數(shù)是兒子的3倍？ 三 年 級

上 學(xué) 期

數(shù) 學(xué) 練習(xí)

年齡問題一 三 年 級

上 學(xué) 期

數(shù) 學(xué) 練習(xí)

年齡問題二 三 年 級

上 學(xué) 期

數(shù) 學(xué) 練習(xí)

年齡問題三

第三篇：三年級暑假奧數(shù)練習(xí)題(13)年齡問題

三年級暑假奧數(shù)練習(xí)題（13）年齡問題姓名

（1）甲、乙兩人的年齡和是33歲,甲比乙大3歲,那么甲乙各多少歲？

（2）父親今年47歲,兒子21歲,幾年前父親的年齡是兒子年齡的3倍？

（3）明明比爸爸小28歲,爸爸今年的年齡是明明年齡的5倍,明明和爸爸今年各多少歲？

（4）爸爸比小強(qiáng)大30歲,明年爸爸的年齡是小強(qiáng)的3倍,今年小強(qiáng)多少歲？

（5）父親現(xiàn)年43歲，兒子現(xiàn)年13歲。問幾年以前，父親的年齡是兒子的4倍？

（6）叔叔比紅紅大19歲,叔叔的年齡比紅紅的年齡的3倍多1歲,叔叔和紅紅各多少歲？

（7）父子兩人的年齡相差20歲，父親的年齡是兒子的6倍。問：父子各多少歲？

（8）今年叔叔21歲,小強(qiáng)5歲,幾年后叔叔的年齡是小強(qiáng)的3倍？

（9）小江14歲，爸爸41歲。幾年前爸爸的年齡比小江大3倍？

（10）今年兒子比爸爸小30歲。2年后，爸爸的年齡正好是兒子的6倍。問父子兩人今年各多少歲？

（11）小紅和小明現(xiàn)在的年齡和為29歲，小紅年齡比小明年齡的2倍少1歲，問小紅、小明各幾歲？

（12）小明今年14歲,奶奶今年74歲,奶奶多少歲時(shí),正好是小明的7倍？

第四篇：小學(xué)三年級奧數(shù)下冊年齡問題教案

小學(xué)三年級奧數(shù)下冊年齡問題教案

發(fā)布:佚名 時(shí)間:2009-9-25 15:38:00 來源:京翰教育中心 錄入:楊 人氣:7960

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年齡問題

年齡問題是小學(xué)數(shù)學(xué)中常見的一類問題.例如：已知兩個(gè)人或若干個(gè)人的年齡，求他們年齡之間的某種數(shù)量關(guān)系等等.年齡問題又往往是和倍、差倍、和差等問題的綜合.它有一定的難度，因此解題時(shí)需抓住其特點(diǎn)。

年齡問題的主要特點(diǎn)是：大小年齡差是個(gè)不變的量，而年齡的倍數(shù)卻年年不同.我們可以抓住差不變這個(gè)特點(diǎn)，再根據(jù)大小年齡之間的倍數(shù)關(guān)系與年齡之和等條件，解答這類應(yīng)用題。

解答年齡問題的一般方法是：

幾年后年齡=大小年齡差÷倍數(shù)差-小年齡，幾年前年齡=小年齡-大小年齡差÷倍數(shù)差。

例1 爸爸媽媽現(xiàn)在的年齡和是72歲；五年后，爸爸比媽媽大6歲.今年爸爸媽媽二人各多少歲？

分析 五年后，爸比媽大6歲，即爸媽的年齡差是6歲.它是一個(gè)不變量.所以爸爸、媽媽現(xiàn)在的年齡差仍然是6歲.這樣原問題就歸結(jié)成“已知爸爸、媽媽的年齡和是72歲，他們的年齡差是6歲，求二人各是幾歲”的和差問題。

解：①爸爸年齡：（72+6）÷2=39（歲）

②媽媽的年齡：39-6=33（歲）

答：爸爸的年齡是39歲，媽媽的年齡是33歲。

例2 在一個(gè)家庭里，現(xiàn)在所有成員的年齡加在一起是73歲.家庭成員中有父親、母親、一個(gè)女兒和一個(gè)兒子.父親比母親大3歲，女兒比兒子大2歲.四年前家庭里所有的人的年齡總和是58歲.現(xiàn)在家里的每個(gè)成員各是多少歲？

分析 根據(jù)四年前家庭里所有的人的年齡總和是58歲，可以求出到現(xiàn)在每個(gè)人長4歲以后的實(shí)際年齡和是58+4×4=74（歲）。

但現(xiàn)在實(shí)際的年齡總和只有73歲，可見家庭成員中最小的一個(gè)兒子今年只有3歲.女兒比兒子大2歲，女兒是3+2=5（歲）.現(xiàn)在父母的年齡和是73-3-5=65（歲）.又知父母年齡差是3歲，可以求出父母現(xiàn)在的年齡。

解：①從四年前到現(xiàn)在全家人的年齡和應(yīng)為：

58+4×4=74（歲）

②兒子現(xiàn)在幾歲？ 4-（74-73）=3（歲）

③女兒現(xiàn)在幾歲？3+2=5（歲）

④父親現(xiàn)在年齡：（73-3-5+3）÷2=34（歲）

⑤母親現(xiàn)在年齡： 34-3=31（歲）

答：父親現(xiàn)在34歲，母親31歲，女兒5歲，兒子3歲。

例3 父親現(xiàn)年50歲，女兒現(xiàn)年14歲.問：幾年前父親年齡是女兒的5倍？

分析 父女年齡差是50-14=36（歲）.不論是幾年前還是幾年后，這個(gè)差是不變的.當(dāng)父親的年齡恰好是女兒年齡的5倍時(shí)，父親仍比女兒大36歲.這36歲是父親比女兒多的5-1=4（倍）所對應(yīng)的年齡。

解：（50-14）÷（5-1）=9（歲）

當(dāng)時(shí)女兒9歲，14-9=5（年），也就是5年前。

答：5年前，父親年齡是女兒的5倍.例4 6年前，母親的年齡是兒子的5倍.6年后母子年齡和是78歲.問：母親今年多少歲？

分析 6年后母子年齡和是78歲，可以求出母子今年年齡和是 78-6×2=66（歲）.6年前母子年齡和是 66-6×2=54（歲）.又根據(jù)6年前母子年齡和與母親年齡是兒子的5倍，可以求出6年前母親年齡，再求出母親今年的年齡。

解：①母子今年年齡和： 78-6× 2=66（歲）

②母子6年前年齡和： 66-6×2=54（歲）

③母親6年前的年齡：54÷（5+1）×5=45（歲）

④母親今年的年齡：45+6=51（歲）

答：母親今年是51歲。

例5 10年前吳昊的年齡是他兒子年齡的7倍.15年后，吳昊的年齡是他兒子的2倍.現(xiàn)在父子倆人的年齡各是多少歲？

分析 根據(jù)15年后吳昊的年齡是他兒子年齡的2倍，得出父子年齡差等于兒子當(dāng)時(shí)的年齡.因此年齡差等于10年前兒子的年齡加上25歲。

10年前吳昊的年齡是他兒子年齡的7倍，父子年齡差相當(dāng)于兒子當(dāng)時(shí)年齡的7-1=6倍。

由于年齡差不變，所以兒子10年前的年齡的6-1=5倍正好是25歲，可以求出兒子當(dāng)時(shí)的年齡，從而使問題得解。

解：①兒子10年前的年齡：（10+15）÷（7-2）=5（歲）

②兒子現(xiàn)在年齡：5+10=15（歲）

③吳昊現(xiàn)在年齡： 5×7+10=45（歲）

答：吳昊現(xiàn)在45歲，兒子15歲.例6 甲對乙說：“我在你這么大歲數(shù)的時(shí)候，你的歲數(shù)是我今年歲數(shù)的一半.”乙對甲說：“我到你這么大歲數(shù)的時(shí)候，你的歲數(shù)是我今年歲數(shù)的2倍減7.”問：甲、乙二人現(xiàn)在各多少歲？

分析 從已知條件中可以看出甲比乙年齡大，甲乙年齡差這是一個(gè)不變的量。

甲對乙說“我在你這么大歲數(shù)的時(shí)候”，意思是說幾年以前.這幾年就是甲乙的年齡差.因此，甲整句話可理解為：乙今年的歲數(shù)，減去年齡差，正好是甲今年歲數(shù)的一半.乙對甲說“我到你這么大歲數(shù)的時(shí)候”，意思是說幾年后.因此，乙整句話可理解為：甲今年的歲數(shù)，加上年齡差，正好是乙今年歲數(shù)的2倍減去7。

即 甲今+年齡差=2×乙今-7（2）

把甲乙的對話用下圖表示為：

由（1）得甲今=2×乙今-2×年齡差（3）

由（2）得 甲今=2×乙今-7一年齡差（4）

由（3）（4）年齡差=7（歲）

…

從上圖不難看出，甲現(xiàn)在的年齡是乙?guī)啄昵澳挲g的2倍，1倍相當(dāng)于2個(gè)年齡差，2倍相當(dāng)于4個(gè)年齡差.乙現(xiàn)在的年齡相當(dāng)3個(gè)年齡差。

乙?guī)啄旰蟮哪挲g和甲現(xiàn)在的年齡相等，所以乙?guī)啄旰笙喈?dāng)4個(gè)年齡差.甲幾年后的年齡比乙?guī)啄旰蟮哪挲g多一個(gè)年齡差，正好是7歲，從而得出年齡差是7歲。

解：①乙現(xiàn)在年齡： 7×3=21（歲）

②甲現(xiàn)在年齡：7×4=28（歲）

答：乙現(xiàn)在21歲，甲現(xiàn)在28歲.

第五篇：三年級奧數(shù) 盈虧問題

第4講盈虧問題

教學(xué)目標(biāo)

本講主要學(xué)習(xí)三種類型的盈虧問題： 1.理解掌握條件轉(zhuǎn)型盈虧問題： 2.理解掌握關(guān)系互換性盈虧問題;3.理解掌握其他類型的盈虧問題，本節(jié)課要求老師首先上學(xué)生理解盈虧問題其本公式的含義，在通過例題讓學(xué)生掌握解答應(yīng)困問題的其本技巧，培養(yǎng)學(xué)生的思維分析能力。經(jīng)典精講

盈虧問題，故名思意有剩下就叫盈，不夠分就叫虧，不同的方法分配物品時(shí)，經(jīng)常會產(chǎn)程這種盈虧現(xiàn)象。盈虧問題的關(guān)鍵是專注兩次分配時(shí)盈虧總量的變化。我們把盈虧問題分為三類：“一盈一虧”、“兩盈”“兩虧”。1.“盈虧”型

例如：學(xué)而思學(xué)校四年級基礎(chǔ)班的同學(xué)分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒則少6粒，問：有多少位同學(xué)分多少粒糖果？

【分析】由題目條件知道，同學(xué)的人數(shù)與糖果的粒數(shù)不變，比較兩種分配方案，第一種沒人分4粒就多9粒，第二種每人分5粒則少6粒，兩種不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原理在于兩種方案分配數(shù)不同，兩次分配數(shù)之差為15?1?15（位），糖果的粒數(shù)為：4?15?9?69（粒）。2.“盈盈”型

例如：老猴子給小猴子分桃，每只小猴10個(gè)桃，就多出9個(gè)桃，每只小猴分11個(gè)桃則多出2個(gè)桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少個(gè)桃子？

分析：老猴子的第一種方案盈9個(gè)桃子，第二種方案盈2個(gè)，所以盈虧綜合是9-2=7（個(gè)），兩次分配之差是11-10-1（個(gè)）有盈虧問題公式得，有小猴子：7?1?7（只），老猴子有7?10?9?79（個(gè)）桃子。3.“虧虧”型

例如：學(xué)而思學(xué)校新近一批書，將它們分給幾位老師，如果每人發(fā)10本，還差9本，每人發(fā)9本，還差9本，第二次就只差2本了呢？因?yàn)閮纱畏峙鋽?shù)量不一樣，第一次分配時(shí)每人少發(fā)一本，也就是共有7?1?7（人）書有7?10?9?61（本）。

根據(jù)以上具體題目的分析，可以得出盈虧問題的基本關(guān)系式：

(盈+虧)?兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)

（盈-盈）?兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)

（虧-虧）?兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)

條件轉(zhuǎn)化型的盈虧問題

這種類型的題目不能直接計(jì)算，要將其中的一個(gè)條件轉(zhuǎn)化，使之成為普通盈虧問題。

【例1】 軍隊(duì)分配宿舍，如果每間住3人，則多出20人；如果每間住6人，余下2人可以每人住一個(gè)房間，現(xiàn)在每間住10人，可以空出多少個(gè)房間？

【分析】每間住6人，余下2人可以每人各住一個(gè)房間，說明多出兩個(gè)房間，同時(shí)多出兩個(gè)人，也就是第二次分配少6?2?2?10（人），那么兩次分配方案人數(shù)相差20+10=30（人），即可以空出10-50?10?5（間）房間?！句亯|】學(xué)校給一批新入學(xué)分配宿舍。如果每個(gè)房間住12人，則34人沒有位置；如果每個(gè)房間住14人，則空出4個(gè)房間。求學(xué)生宿舍有多少間，住宿學(xué)生有多少人？

【分析】把“每個(gè)房間住14人，則空出4個(gè)房間”轉(zhuǎn)化為“每間住14人，則少14?4?56（人）”這樣兩種方案就可以比較了。

第一種方案多出34人，第二種方案少56人，90?2?45（間），學(xué)生數(shù)為：12?45?34?574（人）

[例2]媽媽買來一籃橘子分給全家人，如果其中兩人分4個(gè)，其余人每人分2個(gè)，則多出4個(gè)；如果其中一人分6人，其余人每人分4個(gè)，則缺少12個(gè)，媽媽買來橘子多少個(gè)？全加共有多少人？ 【分析】由“其中兩人分4個(gè)，其余每人分2個(gè)，則多出4個(gè)，”轉(zhuǎn)化為全家每人都分2個(gè)，這分4個(gè)的兩人每人都拿出2個(gè)，共拿出4個(gè)，結(jié)果就多了4+4=8個(gè)：由“一人分6個(gè)，其余每人分4個(gè)，則缺少12個(gè)”轉(zhuǎn)化為全家每人都分4個(gè)，分6個(gè)的人拿出2個(gè)。結(jié)果就少了12-2=10個(gè)，轉(zhuǎn)變成了盈虧問題的一半類型,則：

全家的人數(shù)：[4?2?2?(12?2)]?(4?2)?18?2?9（人）

橘子的個(gè)數(shù)：2?9?8?26（個(gè)）

【鋪墊】實(shí)驗(yàn)小學(xué)的少先隊(duì)員去植樹。如果每人種5棵還有3棵每人種；如果其中2人各種4棵。其余的人各種6棵，這些樹苗正好種完，問有多少少先隊(duì)員參加植樹，一共iozhong多少課樹苗？

【分析】這是一道較難的盈虧問題，主要難在對第二個(gè)已知條件的理解上：如果其中2人各種4棵，其余的人各種6棵，就恰好種完，這組條件中包含著兩種種樹的情況——2人各種4棵，其余的人各種6棵。如果我們把他們統(tǒng)一成一種情況，讓每人種六棵，那么，就可以多種樹（6-4）?2?4（棵）。因此，原問題就轉(zhuǎn)化為：如果每人各種5棵樹苗，還有3棵沒人種;如果每人種6棵數(shù)樹苗，還缺4棵。問有多少少先隊(duì)員，一共種多少樹苗？ 人數(shù)：[3+(6-4)?2]?(6?5)?7(人)，棵樹：5?7?3?38（棵）或6?7?4?38（棵）【小結(jié)】盈虧問題必須是將一定數(shù)量的物體平均分給固定對象，而本題中兩次分橘子均不是每人分別的橘子數(shù)相同。碰到此類似情況時(shí)，不需將其調(diào)整成兩次都是平均分，然后解答。

【例2】 學(xué)校規(guī)定上午8時(shí)到校，小明去上學(xué)，如果每分鐘走60米，可提早10分鐘到校；如果每分鐘走50米，可提早8分鐘到校，求小明幾時(shí)幾分離家剛好8時(shí)到校？由家到學(xué)校的路程是多少？

【分析】小明每分鐘走60米，可提早10分鐘到校，即到校后還可多走60?10?600米，如果每分鐘走50米，可提早8分鐘到校，即到校后還可多走50?8=400（米），第一種情況比第二種情況每分鐘多走60-50=10（米），就可以奪走600-400=200（米），從而可以求出小明由家道校所需時(shí)間。（1）10分鐘走多少米？60?10?600（米），（2）8分鐘走多少米？50?8?400（米）

（3）需要時(shí)間：（600-400）?(60?50)?20（分鐘），所以小明7時(shí)40分離家剛好8時(shí)到校。（4）由家到校的路程：60?(20?10)?600（米）或50?(20?8)?600（米）.【鋪墊】童童從家到學(xué)校，如果每分鐘走50 米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘60米，就可以比上課時(shí)間提前2分鐘奪走60-50=10（米），就可以奪走150+120=270（米），童童從家到學(xué)校所用時(shí)間是：270?10?27（分鐘），加到學(xué)校的距離是：50?(27?3)?50?30?1500（米）。

【例4】（第二屆“華杯賽”試題）有一個(gè)半同學(xué)去劃船。他們計(jì)算以下，如果增加一條船，正好每條船作6人；跑如果減少一條船，正好每條船坐6人。如果減少一條船，正好每條船坐9人。問：這個(gè)班共有多少學(xué)生 【分析】先增加一條船，那么正好每條船坐6人。然后去掉兩條船，就會余下6?2?12（名）同學(xué)。改為每條船9人，也就是說，每條船增加9-6=3（人），正好可以把余下的12名同學(xué)全部安排上去，所以現(xiàn)在還有12?3?4（條）船，而全班同學(xué)的人數(shù)是9?4?36（人）。【鞏固】增加兩條船，正好每條船坐6人，然后去掉四條船，就會余下6?4?24（人），改為每只船9人，即每條船增加9-6=3（人），正好可以把余下的24人全部安排上去，所以現(xiàn)在船數(shù)為24?3?8（條），這個(gè)班的人數(shù)為9?8?72（人）?！拘〗Y(jié)】這部分的題目不能直接運(yùn)用公式計(jì)算，首先需要將一定的條件轉(zhuǎn)化，使之成為跟第一步分相似的題型，在運(yùn)用公式計(jì)算。關(guān)系互換型的盈虧問題

這種題型中會出現(xiàn)兩種物品，一半兩者之間還存在數(shù)量關(guān)系，如和差關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系等，我們應(yīng)該先利用數(shù)量關(guān)系將已知條件轉(zhuǎn)化為一種物品的盈虧關(guān)系，再根據(jù)盈虧問題的 解法計(jì)算。

【例5】（2004“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”數(shù)學(xué)邀請賽）

幼兒園老師把一袋糖果分給下朋友。如果分給打扮的小朋友，每人5粒就缺6粒。如果分給小班的小朋友，每人4粒。已知大班比小班少2個(gè)小朋友這袋糖果共有多少粒？ 【分析】如果大班增加2個(gè)小朋友，大、小班人數(shù)就相等了，變?yōu)椤懊咳?粒缺16粒，每人4粒多4粒”的盈虧問題。小班有(16?4)?(5?4)?20（人）。這袋糖果有4?20?4?84（粒）。【拓展】（2007年湖北省“創(chuàng)新杯”決賽）

四（2）班舉行“六一”聯(lián)歡晚會，輔導(dǎo)員老師帶著一筆錢取買糖果。如果買芒果13千克，還差4元;如果買奶糖15千克，則還剩2元。已知每千克芒果比奶糖貴2元，那么，輔導(dǎo)員老師帶了_____________元錢.[分析]這筆錢買了13千克芒果還差4元,若把13千克芒果換成奶糖就會多出13?2?26元，所以這筆錢買13千克奶糖會多出26-4=22元。而這筆錢埋15千克奶糖會多出2元，所以每千克奶糖的價(jià)格為：（22-2）?(15?13)?10（元）。輔導(dǎo)老師共帶了10?15?2?152（元）

【例6】（2004南京市少年數(shù)學(xué)智力冬令營）

甲、乙兩人各買了相同數(shù)量的信封與相同數(shù)量的信封與相同數(shù)量的信封，甲每封信用2張信紙信紙，乙每封信用3張信紙，一段時(shí)間后，甲用完了所有的信封還剩20張信封，乙用完所有信紙還剩下10個(gè)信封，則他們每人各買了多少張信紙？ 【分析】由題意，如果乙用完所有的信封，那么缺30張信紙。這是盈虧問題，盈虧總額為（20+30）張信紙，兩次分配的差為（3-2）張信紙，所有的信封（20+30）?(3?2)?50（個(gè)），有信紙2?50?20?120）（張）【鞏固】甲、乙兩人的信紙一樣多，信封也一樣多，甲寫一封信用一張信紙，乙寫一封信用3張信紙。結(jié)果甲的信封用完時(shí)還剩50張信紙，乙的信紙用完時(shí)還剩50個(gè)信封，原來他們

各自有信封多少個(gè)？信紙多少張？

【分析】乙要想用完剩余的50個(gè)信封，還需再多50?3=150張信紙，也就是要用完同樣多的信封，甲多50張信紙，乙少150張信紙。

信封的個(gè)數(shù)：(50?3?50)?(3?1)?100（個(gè)）信紙的張數(shù)：100+50=150（張）

【小結(jié)】不同的人，相同的物品，假設(shè)都用完同樣多的信封，這就是“盈虧”的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，問題便于解決了。【例7】體育中心將一些乒乓球分給若干人，每人5個(gè)還多余10個(gè)乒乓球，如果人數(shù)增加到3倍，那么每人分2個(gè)乒乓球還缺少8個(gè)，問有乒乓球多少個(gè)？

【分析】考慮人數(shù)增加3倍后，相當(dāng)于按原人數(shù)每人給2?3?6（個(gè)），每人給5個(gè)與給6個(gè)，總數(shù)相差10+8=18（個(gè)），所以原有人數(shù)18?(6?5)?18（人），乒乓球總數(shù)是5?18?10?100（個(gè)）

【拓展】臥龍自然保護(hù)區(qū)管理員把一些竹子分給若干只大熊貓，每只大熊貓分5個(gè)還多余10棵竹子，如果大熊貓數(shù)增加到3倍還少5只大熊貓，那么每只大熊貓分2個(gè)還缺8棵竹子，問有大熊貓多少只，竹子多少課？

【注意】以上題型中會出現(xiàn)兩種物品，一般兩者之間還存在數(shù)量關(guān)系，如和差關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系等，我們應(yīng)該先利用數(shù)量關(guān)系將已知條件轉(zhuǎn)化為一種物品的盈虧關(guān)系，再根據(jù)普通盈虧問題的解法計(jì)算。

【例8】幼兒園阿姨拿來水果糖和奶糖分給小朋友，且水果糖的個(gè)數(shù)是奶糖的2倍。如果每個(gè)小朋友分2個(gè)奶糖，就多余4個(gè)奶糖；如果每個(gè)小朋友分5個(gè)水果糖，則少2個(gè)水果糖。阿姨拿來了水果糖和奶糖個(gè)多少個(gè)？ 【分析】水果糖和奶糖的個(gè)數(shù)不相等，不能將兩者直接比較，如果本題中水果糖和奶糖一樣多就好了。所以，我們可以假設(shè)水果糖和奶糖一樣多，也就是假設(shè)奶糖是實(shí)際數(shù)量的2倍，那么，分給同樣多的小朋友后，每個(gè)小朋友可以分到2?2=4個(gè)，而多余的奶糖是4?2?8（個(gè)）、分到太奶糖和水果糖相差8+2=10個(gè)，原因是每個(gè)小朋友多分了5-4=1個(gè)，這樣就可以求出小朋友的人數(shù)，然后根據(jù)太燙和水果糖的實(shí)際分配情況，分別求出奶糖和水果糖的個(gè)數(shù)，然后根據(jù)奶糖和水果糖的實(shí)際分配情況，分別求出奶糖和水果糖的個(gè)數(shù)，即：

(4?2?2)?(5?2?2)?10?1?10（個(gè)）小朋友的人數(shù)

10?2?4?24(個(gè))

奶糖的個(gè)數(shù) 10?5?2?48（個(gè)）水果糖的個(gè)數(shù)

【注意】本題的解題關(guān)鍵在于通過假設(shè)，使兩種糖的個(gè)數(shù)變得同樣多在解答。其他類型的盈虧問題

盈虧問題有的題型不想普通的盈虧問題那么標(biāo)準(zhǔn)，它是經(jīng)過普通盈虧問題的變形和拓展，解答這類問題也要利用其本盈虧問題解答方法，根據(jù)不同的題型作出相應(yīng)的應(yīng)對。

【例9】幼兒園老師給小朋友分糖果。若每人分8快，還剩10快；若沒人分9塊，左后一人分不到9塊，但至少可分到一塊。那么糖果最多有多少塊？

【分析】最后一人分不到9塊，那么最多可以分到8塊，即若每人分9塊，還差1塊。根據(jù)盈虧計(jì)算公式，人數(shù)有（1+10）?（9-8）=11（人），糖果最多有9?11?1?98（塊）；最后一人分不到9塊，但至少可分到一塊，即最少是最后一人差8塊，根據(jù)盈虧計(jì)算公式，人數(shù)有（8+10）?(9?8)?18（人），糖果最多有9?18?8?154（塊）；所以，這批糖果最多有154塊。

【拓展】有若干盒卡片，每盒中卡片數(shù)一樣多。把這些卡片分給一些小朋友，如果只分一盒，每人均至少可得7張，但若都分8張則缺少5張。現(xiàn)在把所有卡片都分完，每人都分到60張，而且還多出4張。問共有小朋友多少人？ 【分析】60?7?8…4，60?8?7…4，說明卡片的盒數(shù)是8盒，“若都分8張則還缺少5張”，即如果我們每盒中加5張（8盒共加40張），每人就可以得到8?8?64（張），現(xiàn)在時(shí)機(jī)每人得到60張，即每人需要退4張，其中要有4張式每人60張后多下來的，還有40張我們一開始借來的要還出去，即要退出44張，44?4?11（人），說明有11人。

【例10 】媽媽給了紅紅一些錢去買賀年卡，有甲、乙、丙三種賀年卡，甲種卡每張1元，丙種卡片每張2元。用完這些錢買甲種卡要比乙種卡多買8張，買乙種卡要比買丙種卡多買6張。媽媽給了紅紅多少錢？乙種卡每張多少錢？

【分析】“用這些錢買甲種卡要比買乙種卡多買8張，買乙種要比買丙種卡多買6張”所以盈虧總額是：1?8?2?6?20（元），單價(jià)相加2-1=1（元），所以工可以買衣種卡20?1?20（張），媽媽給紅紅的錢數(shù)是：

（20+8）?1=28（元），乙種卡每張：28?20=1元4角。

【拓展】樂樂有一個(gè)儲蓄筒，存放的都是硬幣，其中2分幣比5分幣多22個(gè);按錢數(shù)算，5分幣比2分幣多4角；另外，還有36個(gè)1分幣。樂樂共花了多少錢？

【分析】假設(shè)去掉22個(gè)2分幣，那么按錢數(shù)算，5分幣比2分幣多8角4分，一個(gè)5分幣比一個(gè)二分幣多3分，所（5-2）=28個(gè) 以5分幣有：84 ?2分幣有：28+22=50（個(gè)）

所以樂樂共存錢：5 ?28?2?50?1?36?140?100?36?276（分）。鞏固精煉

1.小明讀一本書，如果每天讀6頁，還剩20頁沒有讀完，如果每天讀10也，書還少24頁，這本書共有多少頁，小明打算幾天讀完？ 【分析】在兩種方法中，數(shù)的頁數(shù)和打算讀的天數(shù)沒有改變，而第一種讀法，書沒讀完，還剩20頁；第二種讀法，不僅可將余下的29頁讀完，如果書還有24頁也能恰好讀完。兩種不同讀法總頁數(shù)相差20+24=44頁，造成這個(gè)差異的原因就是每天多讀天了 10-6=4頁。每天多讀4頁就要多讀44頁，因此打算毒的天數(shù)是44 ?4?11天，即：

（20+24）?（10-6）=44?4=11（天）6?114?20?86（頁）

2.陽光小學(xué)學(xué)生乘汽車到香山春游。如果每車坐65人，則有5人不能乘上車；如果沒車多坐5人，恰好多于一輛車，問一共有幾輛汽車，有多少學(xué)生? [分析]每車多坐5人，實(shí)際是每車可坐5+65=70（人），恰好多余一輛車，也就是還差一輛汽車的人，即70人，因而原因問題轉(zhuǎn)化為：如果沒車坐65人，則多出5人無人乘坐；如果每車坐70人，還少70人，求有多少人和多少輛車？車數(shù)是（5+5+65）?5?15（輛）人數(shù)是65?15?5?980（人）或（5+65）?(15?1)?980（人）3.王老師由家里到學(xué)校，如果騎車每分鐘每分鐘500米，上課就要遲到3分鐘；如果騎車每分鐘600米，就可以比上課時(shí)間提前2分鐘到校。王老師家到學(xué)校的路程是多少米？ 【分析】遲到3分鐘轉(zhuǎn)化成米數(shù)：500?3=1500（米），提前兩分鐘到校轉(zhuǎn)化成米數(shù)：600?2=1200（米），（1500+1200）?（600-500）=27（分鐘）500?(27?3)?15000（米）

4.王阿姨去買水果。如果買5千克橙子，就差10元錢；如果買6千克葡萄，則余2元錢。已知每千克橙子比每千克葡萄貴4元，每千克橙子和每千克葡萄個(gè)多少元？ 【分析】本題涉及到兩種水果，較難入手。但題中告訴我們每千克橙子比每千克葡萄貴4元，所以可以設(shè)法把兩種水果轉(zhuǎn)化為一種水果。

因?yàn)槊壳Э顺茸颖让壳Э似咸奄F4元，所以將買5千克橙子換成買5千克葡萄，就要少用4?5=20（元），于是，“買5千克橙子差10元錢”就可以變成“買5千克葡萄余20-10=10元”，則題目乘為：王阿姨買水果，如果買5千克葡萄，就余下10元錢；如果買6千克葡萄就余2元錢，而每千克橙子比每千克葡萄貴4元，求每千克橙子和葡萄各多少元？解答這個(gè)問題就不難了。

每千克葡萄的價(jià)錢：(5?4?10?2)?(6?5)?8?1?8（元）每千克橙子的價(jià)錢：8+4=12（元）

5.媽媽去超市買洗衣粉，雕牌和碧浪的單價(jià)分別為8元和10元，媽媽帶的錢買雕牌洗衣粉比買碧浪洗衣粉可多買3袋，并且沒有剩余的錢。問：媽媽帶了多少錢？ 【分析】（法一）“多買3袋，”這三袋洗衣粉多花8?3?24（元）又因?yàn)榛ǖ腻X總數(shù)一樣多多，所以在買碧浪洗衣粉的時(shí)候要把這些錢補(bǔ)上，而碧浪比雕牌每袋貴2元，所以要買碧浪洗衣粉袋數(shù)24?2?12（袋。）這樣?jì)寢寧У腻X數(shù)是10?12?120（元）。（法2）如果買雕牌與碧浪洗衣粉數(shù)量一樣多，則買雕牌洗衣粉以后還剩3?8?24（元），買碧浪洗衣粉的數(shù)量是：24?(10?8)?24?2?12（袋）所以媽媽帶的錢數(shù)是12?10?120（元）