第一篇：2012年成人高考專升本高等數(shù)學(xué)二考試真題及參考答案

2012年成人高考專升本高等數(shù)學(xué)二考試真題及參考答案

一、選擇題(1～10小題。每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中。只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．

【 】

【答案】B

2．【 】

【答案】C

3．【 】

【答案】A

4．【 】

【答案】A

5．【 】

【答案】C

6．【 】

【答案】D

7.【 】

【答案】B

8．【 】

【答案】C 【應(yīng)試指導(dǎo)】由題意可知，所求面積S的圖形為

9．【 】

【答案】D

10．【 】

A．0．44 B．0．5 C．0．1 D．0．06 【答案】B

第Ⅱ卷(非選擇題，共ll0分)

二、填空題(11～20小題。每小題4分，共40分)11．

________.【答案】一2

12._______.13．

_________.【答案】1

14．_________.【答案】(0，0)

15.__________.16．

_________.【答案】1

(-1，0)處的切線斜率為1．

17．________.18．

_________.19．

________.【答案】l

20．________.三、解答題(21～28題，共70分．解答應(yīng)寫出推理、演算步驟)21．

(本題滿分8分)

【答案】

22．(本題滿分8分)

【答案】

23．(本題滿分8分)

【答案】

24．(本題滿分8分)

【答案】

25．(本題滿分8分)已知某籃球運(yùn)動(dòng)員每次投籃投中的概率是0．9，記x為他兩次獨(dú)立投籃投中的次數(shù)．(1)求X的概率分布；

【答案】

26．(本題滿分l0分)

【答案】

27．(本題滿分l0分)

【答案】

28．(本題滿分l0分)

【答案】

第二篇：2015年成人高考專升本高等數(shù)學(xué)二考試真題及參考答案

2015年成人高考專升本高等數(shù)學(xué)二考試真題及參考答案1．

A．0 B．1/2C．1

D．2 【答案】A

【應(yīng)試指導(dǎo)】2．

【 】A．低階無窮小量 B．等價(jià)無窮小量 C．同階但不等價(jià)無窮小量 D．高階無窮小量 【答案】C

【應(yīng)試指導(dǎo)】3．

是2x的同階但不等價(jià)無窮小量．

【 】A．有定義且有極限B．有定義但無極限C．無定義但有極限D(zhuǎn)．無定義且無極限 【答案】B 【應(yīng)試指導(dǎo)】

4．【 】

【答案】C 【應(yīng)試指導(dǎo)】

5．4下列區(qū)間為函數(shù)f(x)=x-4x的單調(diào)增區(qū)間的是【 】A．(一∞，+∞)B．(一∞，O)C．(一1，1)D．(1，+∞)【答案】D

6．【 】

【答案】B

7．【 】

【答案】D

-x-1-cosx+C(C為任意常數(shù))．

8．【 】A．-lB．0C．1 D．2 【答案】C

9．【 】

【答案】A

10．【 】

【答案】D

二、填空題(11～20小題，每小題4分，共40分)11．

_________.【答案】0

【應(yīng)試指導(dǎo)】當(dāng)x→0時(shí)，x是無窮小量，12．

13．__________.14．

_________.15．

_________.16．

________.17．

_________.18．

________._________.19．

20．________.三、解答題(21～28題，共70分．解答應(yīng)寫出推理、演算步驟)

21．(本題滿分8分)

【答案】

22．(本題滿分8分)【答案】

23．(本題滿分8分)

【答案】

24．(本題滿分8分)

【答案】

25．(本題滿分8分)

【答案】 等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得

26．(本題滿分l0分)

【答案】

27．(本題滿分l0分)

【答案】

28．(本題滿分l0分)

從裝有2個(gè)白球，3個(gè)黑球的袋中任取3個(gè)球，記取出白球的個(gè)數(shù)為X．(1)求X的概率分布；(2)求X的數(shù)學(xué)期望E(X)． 【答案】

第三篇：成人高考高等數(shù)學(xué)二

成人高考高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及考試方法

考生要在成人高考中取得好成績(jī)，必須深刻理解《復(fù)習(xí)考試大綱》所規(guī)定的內(nèi)容及相關(guān)的考核要求，在知識(shí)內(nèi)容上要分清主次、突出重點(diǎn)。在考核要求方面，弄清要求的深度和廣度。要全面復(fù)習(xí)、夯實(shí)基礎(chǔ)，要將相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行橫向和縱向的梳理，建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，對(duì)考試大綱所列知識(shí)點(diǎn)，力求做到心中有數(shù)、融會(huì)貫通。

高數(shù)一大綱提示（總分150分、考試時(shí)間150分鐘、閉卷、筆試）：

高數(shù)二大綱提示（總分150分、考試時(shí)間150分鐘、閉卷、筆試）：

一元函數(shù)、極限連續(xù)大概占20多分，這些都是每年必須要考到的。一元微積分、微分學(xué)，這個(gè)占得挺多的，大概占40—50%。如果要是高數(shù)二，知識(shí)面考得少一些，集中一些，但是題的分量就重一些，比如說每年有二元的微積分，多元函數(shù)的微積分，這里面可能會(huì)出現(xiàn)比較難、刁鉆一些的題。高數(shù)

一、數(shù)二，不像高中起點(diǎn)的，可能差異稍稍大一點(diǎn)。考生可以根據(jù)不同的專業(yè)、考試類別，不管怎么樣，前面的一元函數(shù)、極限、一元函數(shù)的微分、積分是一個(gè)基本的東西，也是最拿分的東西，一定要把它們做熟了。比如說求極限的幾種方式，求微分的幾種方式，以及求倒數(shù)，都會(huì)面面俱到，學(xué)員還是要把握住歷年的考題，把握住大綱的要求，把握住考試卷，就應(yīng)該能把握住會(huì)考什么。

1、注意以《大綱》為依據(jù)。

弄清《高等數(shù)學(xué)》

（一）和《高等數(shù)學(xué)》(二)在知識(shí)內(nèi)容及相關(guān)考核要求上的區(qū)別。這種區(qū)別主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：其一是在共有知識(shí)內(nèi)容方面，同一章中要求掌握的知識(shí)點(diǎn)，或同一知識(shí)點(diǎn)要求掌握的程度不盡相同。如在一元函數(shù)微分學(xué)中，《高等數(shù)學(xué)》(一)要求掌握求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、掌握求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)，理解羅爾定理、拉格朗日中值定理，但上述知識(shí)點(diǎn)對(duì)《高等數(shù)學(xué)》(二)并不做要求；又如在一元函數(shù)積分學(xué)中，《高等數(shù)學(xué)》(一)要求掌握三角換元求不定積分，其中包括正弦變換、正切變換和正割變換，而《高等數(shù)學(xué)》(二)對(duì)正割變換不做考核要求。

其二是在不同的知識(shí)內(nèi)容方面，《高等數(shù)學(xué)》

（一）考核內(nèi)容中有二重積分，而《高等數(shù)學(xué)》(二)對(duì)二重積分并不做考核要求；再有《高等數(shù)學(xué)》

（一）有無窮級(jí)數(shù)、常微分方程，高數(shù)(二)均不做要求。從試卷中可以看出，高等數(shù)學(xué)

（一）比《高等數(shù)學(xué)》(二)多出來的這部分知識(shí)點(diǎn)，在考題中大約能占到30%的比例。共計(jì)45分左右。所以理科、工科類考生應(yīng)按照《大綱》的要求全面認(rèn)真復(fù)習(xí)。

2、對(duì)概念的理解。

考生要加強(qiáng)對(duì)高等數(shù)學(xué)中基本概念、基本方法和基本技能的理解和掌握，要努力提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力，特別是綜合運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

3、要在學(xué)習(xí)方法上追求學(xué)習(xí)效益。

加強(qiáng)練習(xí)，注重解題思路和解題技巧的培養(yǎng)和訓(xùn)練，對(duì)基本概念、基本理論、基本性質(zhì)能進(jìn)行多側(cè)面、多層次、由此及彼、由表及里的思索和辨析，對(duì)基本公式、基本方法、基本技能要進(jìn)行適度、適量的練習(xí)，在練習(xí)中加強(qiáng)理解和記憶，理解和記憶是相輔相承的，理解中加深記憶，記憶有助于更深入地理解，死記硬背是暫時(shí)的，只有理解愈深，才能記憶愈牢。

4、加強(qiáng)練習(xí)

熟悉考試中各種題型，要掌握選擇題、填空題和解答題等不同題型的解題方法與技巧。練習(xí)中要注意分析、總結(jié)、歸納、類比，掌握思考問題和處理問題的正確方法，尋求一般性的解題規(guī)律，從而提高解題能力。

在專升本考試中，《高等數(shù)學(xué)》是一門重要的公共基礎(chǔ)課程，也是考試成績(jī)上升空間較大的一門課程。學(xué)好數(shù)學(xué)同學(xué)好其他學(xué)科一樣，都要付出辛勤的汗水和艱辛的努力。

5、考前一個(gè)月沖刺備考建議 還有1個(gè)多月的時(shí)間，要是在這段時(shí)間里面設(shè)計(jì)一個(gè)自己復(fù)習(xí)計(jì)劃，至少在前十天看看題，一步一個(gè)腳印踏踏實(shí)實(shí)的掌握這些概念、公式?？荚囍霸摫车囊?，要上口背，這樣不容易忘。有的公式是根據(jù)特點(diǎn)去背，包括三角函數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)公式、微積分的公式，這些都得背下來。不但背公式，還得掌握方法，方法如果會(huì)的話可以復(fù)習(xí)一下，如果不會(huì)的話可以從模仿入手。能夠把公式運(yùn)用起來，多做幾道題對(duì)公式的運(yùn)用和內(nèi)涵就了解了。這個(gè)時(shí)候可以做一些做過的題，或者是做一些自己能做的題，不要摳難題。難題之所以難有兩條，一個(gè)是綜合性強(qiáng)，一個(gè)是技巧性。綜合性太強(qiáng)的話，如果知識(shí)學(xué)的不牢固的話，我們還沒有適應(yīng)綜合性的能力，往往會(huì)使你喪失信心。如果技巧性太強(qiáng)，技巧也有基本的方法，也有一些特殊的技巧。前兩年專升本也好，高中起點(diǎn)也好，都可能從里面出一些小技巧的東西，這也是想把一般考生和好的考生區(qū)分開來，增加試卷區(qū)分度，如果過分強(qiáng)調(diào)技巧，往往會(huì)在基本概念里面丟分，這樣會(huì)得不償失。所以說基本的東西不能丟。做一做常見的題，做一做做過的題，做一做會(huì)做的題，溫故而知新，做過的題要做懂了?？忌盐兆∵@兩條，應(yīng)該可以在考試中取得好成績(jī)。

6、最后這段時(shí)間，單靠記公式行不行？

公式必須得會(huì)，歷年考得就那么幾道類型題，都弄會(huì)了也不是很難。建議考生循序漸進(jìn)，一步一步的走，如果跳躍式學(xué)習(xí)，會(huì)覺得力不從心。所以一步一步的走，走到那兒是哪兒，這沒關(guān)系，如果非得滿分的話，也不現(xiàn)實(shí)，把自己會(huì)做的分都做出來。

7、考試過程中需要注意哪些地方

因?yàn)楹芏鄬W(xué)員的高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起來比較倉(cāng)促，沒有像高中或者初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)那么扎實(shí)，沒做那么多作業(yè)，運(yùn)算錯(cuò)誤率特別高。有些比較相近的公式也容易記錯(cuò)了，這就會(huì)造成不應(yīng)該丟的分丟了，會(huì)做的題目，知道怎么做，就要仔細(xì)。平時(shí)可能一分丟了，還看不出來不覺得，但考試的時(shí)候不是這樣，這是要丟分的。還是要盡量少有失誤，爭(zhēng)取每做一道題，對(duì)一道題，不求做的多，只求做的準(zhǔn)確。

8、基本公式

一、基本初等函數(shù)

1.常數(shù)函數(shù)： y=c，(c為常數(shù))2.冪函數(shù)： y=xn ,(n為實(shí)數(shù))3.指數(shù)函數(shù)： y=ax ,(a＞0、a≠1)4.對(duì)數(shù)函數(shù)： y=loga x ,(a＞0、a≠1)5.三角函數(shù)： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函數(shù)：y=arcsin x, y=arccon x 二、三角函數(shù)公式 1 兩角和公式 1 2

倍角公式 半角公式

4、和差化積

三、兩個(gè)重要極限

四、導(dǎo)數(shù)與微分 1 求導(dǎo)與微分法則1、2、3、（u +v）’=u’+ v’ 導(dǎo)數(shù)及微分公式

五、不定積分表（基本積分）

1、

第四篇：2008年成人高考(專升本)高等數(shù)學(xué)二考試試題和參考答案

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2008年成人高考（專升本）高等數(shù)學(xué)二考試試題和參考答案

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第五篇：成人高考專升本高等數(shù)學(xué)二概念和筆記公式

成人高考專升本高等數(shù)學(xué)二概念和筆記公式

第一章節(jié)公式

由

（1）對(duì)數(shù)的性質(zhì)：

①負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)；②1的對(duì)數(shù)是零；③底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1。

（2）對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則：

①

②

③

④

3、對(duì)數(shù)換底公式：

由換底公式推出一些常用的結(jié)論：

（1）

（2）

（3）

（4）

三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，的遞增區(qū)間是，數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則

如果那么

推廣：上面法則可以推廣到有限多個(gè)數(shù)列的情況。例如，若，有極限，則：

特別地，如果C是常數(shù)，那么

函數(shù)極限的四算運(yùn)則

如果那么

推論設(shè)都存在，為常數(shù)，為正整數(shù)，則有：

無窮小量的比較：

x與n同時(shí)趨向+￥

由夾擠準(zhǔn)則

第二章節(jié)公式

1.導(dǎo)數(shù)的定義：

函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率是

＝，我們稱它為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0即f′(x0)＝

.2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率k，即k＝

＝f′(x0)．

3．導(dǎo)函數(shù)(導(dǎo)數(shù))

當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)便是x的一個(gè)函數(shù)，我們稱它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù))，y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作y′，即f′(x)＝y(tǒng)′＝

.4．幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)c′＝0(c為常數(shù))，(2)(xn)′＝nxn－1(n∈Z)，(3)(ax)′＝axlna(a＞0,a1),(ex)′＝ex

(4)(lnx)′＝，(logax)′＝logae=(a＞0,a1)

(5)(sinx)′＝cosx，(6)(cosx)′＝－sinx

(7),(8)

(9),(10)

(11),(12)

5．函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)

(u±v)′＝u′±v′，(uv)′＝u′v＋uv′

′＝，(ku)′＝cu′(k為常數(shù))．

(uvw)′＝u′vw＋uv′w+

uvw′

微分公式：

（1）

(7),(8)

(9),(10)

(11),(12)

6．微分的四算運(yùn)則

d(u±v)＝du±dv，d(uv)＝v

du＋udv

d(ku)＝kdu(k為常數(shù))．

洛必達(dá)法則：在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)，再求極限來確定未定式的值的方法。

7.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：

=0的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)，求極值；

(1)時(shí)，;，;

(2)時(shí)，;，;

(3)

;

=0的點(diǎn)為函數(shù)的拐點(diǎn)，求凹凸區(qū)間；

第三章知識(shí)點(diǎn)概況

不定積分的定義：函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)稱為函數(shù)f(x)的不定積分，記作，并稱為積分符號(hào)，函數(shù)為被積函數(shù)，為被積表達(dá)式，x為積分變量。

不定積分的性質(zhì)：

基本積分公式：

換元積分（湊微分）法：

1.湊微分。對(duì)不定積分，將被積表達(dá)式g(x)dx湊成2.作變量代換。令3.用公式積分，并用換式中的u

常用的湊微分公式主要有：

分部積分法：適用于分部積分法求不定積分的常見題型及u和dv的選取法

上述式中的P（x)為x的多項(xiàng)式，a,b為常數(shù)。

一些簡(jiǎn)單有理函數(shù)的積分，可以直接寫成兩個(gè)分式之和，或通過分子加減一項(xiàng)之后，很容易將其寫成一個(gè)整式與一個(gè)分式之和或兩個(gè)分式之和，再求出不定積分。

定積分:

(1)定積分的值是一個(gè)常數(shù)，它只與被積函數(shù)f(x)及積分區(qū)間[a,b]有關(guān)，而與積分變量的字母無關(guān)，即應(yīng)有

（2）在定積分的定義中，我們假定a

如果a=b,則規(guī)定：

（3）對(duì)于定義在上的連續(xù)奇（偶）函數(shù)，有

為奇函數(shù)

為偶函數(shù)

定積分的性質(zhì)：

定積分的計(jì)算：

一、變上限函數(shù)

設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，并且設(shè)x為上的任一點(diǎn)，于是，在區(qū)間上的定積分為

這里x既是積分上限，又是積分變量，由于定積分與積分變量無關(guān)，故可將此改為

如果上限x在區(qū)間上任意變動(dòng)，則對(duì)于每一個(gè)取定的x值，定積分有一個(gè)確定值與之對(duì)應(yīng)，所以定積分在上定義了一個(gè)以x為自變量的函數(shù)，我們把稱為函數(shù)在區(qū)間上變上限函數(shù)

記為

推理：

定積分計(jì)算公式

利用定義計(jì)算定積分的值是十分麻煩的，有時(shí)甚至無法計(jì)算。因此，必須尋求計(jì)算定積分的簡(jiǎn)便方法。

我們知道：如果物體以速度作直線運(yùn)動(dòng)，那么在時(shí)間區(qū)間上所經(jīng)過的路程s為

圖

5-11

另一方面，如果物體經(jīng)過的路程s是時(shí)間t的函數(shù)，那么物體從t=a到t=b所經(jīng)過的路程應(yīng)該是（見圖5-11）

即

由導(dǎo)數(shù)的物理意義可知：即是一個(gè)原函數(shù)，因此，為了求出定積分，應(yīng)先求出被積函數(shù)的原函數(shù)，再求在區(qū)間上的增量即可。

如果拋開上面物理意義，便可得出計(jì)算定積分的一般方法：

設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是的一個(gè)原函數(shù)，即，則

這個(gè)公式叫做牛頓-萊布尼茲公式。

為了使用方便，將公式寫成牛頓-萊布尼茲公式通常也叫做微積分基本公式。它表示一個(gè)函數(shù)定積分等于這個(gè)函數(shù)的原函數(shù)在積分上、下限處函數(shù)值之差。它揭示了定積分和不定積分的內(nèi)在聯(lián)系，提供了計(jì)算定積分有效而簡(jiǎn)便的方法，從而使定積分得到了廣泛的應(yīng)用。

定積分的換元公式：

計(jì)算要領(lǐng)是：定積分的分部積分法：

y

a

o

b

x

圖5.8

5.4.2定積分求平面圖形的面積

1.直角坐標(biāo)系下面積的計(jì)算

(1)由曲線和直線所圍成曲邊梯形的面積的求法前面已經(jīng)介紹，此處不再敘述.(2)求由兩條曲線，及直線所圍成平面的面積（如圖5.8所示）.下面用微元法求面積.①取為積分變量，.②在區(qū)間上任取一小區(qū)間，該區(qū)間上小曲邊梯形的面積可以用高，底邊為的小矩形的面積近似代替，從而得面積元素

.③寫出積分表達(dá)式，即

.⑶求由兩條曲線，及直線所圍成平

o

x

y

d

y+dy

y

c

面圖形（如圖5.9）的面積.這里取為積分變量，用類似

(2)的方法可以推出：

.例5.4.1

求由曲線與

圖5.9

所圍圖形的面積.解

先畫出所圍的圖形（如圖5.10）

由方程組，得兩條曲線的交點(diǎn)為，取為積分變量，.由公式得

.o

x

A(2,-2)

y

B(8,4)

圖5.11

o

x

y

A

(1,1)

圖5.10

例5.4.2

求曲線與所圍圖形的面積.解

畫出所圍的圖形（如圖5.11）.由方程組得兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，取為積分變量，.將兩曲線方程分別改寫為得所求面積為

.注

本題若以為積分變量，由于圖形在兩個(gè)區(qū)間上的構(gòu)成情況不同，因此需要分成兩部分來計(jì)算，其結(jié)果應(yīng)為：

.顯然，對(duì)于例5.4.2選取作為積分變量，不如選取作為積分變量計(jì)算簡(jiǎn)便.可見適當(dāng)選取積分變量，可使計(jì)算簡(jiǎn)化.3．定積分求體積

(1)旋轉(zhuǎn)體的體積

旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)而成的立體.這條直線叫做旋轉(zhuǎn)軸.設(shè)旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線和直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成（如圖5.15）.取為積分變量，它的變化區(qū)間為，在上任取一小區(qū)間，相應(yīng)薄片的體積近似于以為底面圓半徑，為高的小圓柱體的體積，從而得到體積元素為，于是，所求旋轉(zhuǎn)體體積為

.o

a

x

x+dx

b

x

y

圖5.15

o

x

y

d

y+dy

y

y

圖5.16

c

類似地，由曲線和直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成（如圖5.16），所得旋轉(zhuǎn)體的體積為

.例5.4.5

求由橢圓繞軸及軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解

(1)繞軸旋轉(zhuǎn)的橢球體如圖5.17所示,它可看作上半橢圓與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成.取為積分變量，由公式所求橢球體的體積為

.(2)繞軸旋轉(zhuǎn)的橢球體,可看作右半橢圓與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成（如圖5.18所示）,取為積分變量，由公式所求橢球體體積為

b

o

x

y

圖5.18

.當(dāng)時(shí),上述結(jié)果為,這就是大家所熟悉的球體的體積公式.(2)平行截面面積為已知的立體體積

設(shè)一物體被垂直于某直線的平面所截的面積可求，則該物體可用定積分求其體積.不妨設(shè)直線為軸，則在處的截面面積是的已知連續(xù)函數(shù)，求該物體介于和之間的體積（如圖5.19）.o

a

x

x+dx

b

x

圖5.19

取為積分變量，它的變化區(qū)間為，在微小區(qū)間上近似不變，即把上的立體薄片近似看作

為底，為高的柱片，從而得

到體積元素.于是該物體的體積為.第四章知識(shí)點(diǎn)多元函數(shù)微分學(xué)

§4.1

偏導(dǎo)數(shù)與全微分

一.主要內(nèi)容：

㈠.多元函數(shù)的概念

1.二元函數(shù)的定義：

2.二元函數(shù)的幾何意義：

二元函數(shù)是一個(gè)空間曲面。（而一元函數(shù)是平面上的曲線）

Z=ax+by+c表示一個(gè)平面；

表示球心在原點(diǎn)、半徑為R的上半個(gè)球面；，表示開口向上的圓錐面；，表示開口向上的旋轉(zhuǎn)剖物面。

㈡.二元函數(shù)的極限和連續(xù)：

1.極限定義：設(shè)z=f(x,y)滿足條件：

2.連續(xù)定義：設(shè)z=f(x,y)滿足條件：

㈢.偏導(dǎo)數(shù)：

㈣.全微分：

1.定義：z=f(x,y)

則稱

在點(diǎn)(x,y)處的全微分。

3.全微分與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

㈤.復(fù)全函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：

1.2.㈥.隱含數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：

1.2.㈦.二階偏導(dǎo)數(shù)：

（八）隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)

(九).二元函數(shù)的無條件極值

1.二元函數(shù)極值定義：

☆

極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。

2.極值的必要條件：

兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)存在，則：

而非充分條件。

例：

∴駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。

3.極值的充分條件：

求二元極值的方法：

二倍角公式：(含萬能公式)

①

②

③

④

⑤

第五章排列與組合（1）加法原理：完成一件事情與分類有關(guān)，即每一類各自獨(dú)立完成，此事即可完成。

（2）乘法原理：完成一件事情與步驟有關(guān)，即一次完成每一步驟，此事才能完成。

排列：從n個(gè)不同元素里，任取個(gè)元素，按照一定的順序排列成一列，稱為從n個(gè)不同元素里取出m個(gè)元素的一個(gè)排列，計(jì)算公式：

組合：從n個(gè)不同元素里，任取個(gè)元素組成一組，叫做從n個(gè)不同元素里取出m個(gè)元素的一個(gè)組合，組合總數(shù)記為，計(jì)算公式：

第六章概率論

符號(hào)

概率論

集合論

樣本空間

全集

不可能事件

空集

基本事件

集合的元素

A

事件

子集

A的對(duì)立事件

A的余集

事件A發(fā)生導(dǎo)致

事件B發(fā)生

A是B的子集

A=B

A與B兩事件相等

集合A與B相等

事件A與事件B

至少有一個(gè)發(fā)生

A與B的并集

事件A與事件B同時(shí)發(fā)生

A與B的交集

A-B

事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生

A與B的差集

事件A與事件B互不相容

A與B沒有相同元素

由于隨機(jī)事件都可以用樣本空間中的某個(gè)集合來表示，于是事件間的關(guān)系和運(yùn)算就可以用集合論的知識(shí)來討論和表示，為了直觀，可以用集合的韋恩圖來表示事件的各種關(guān)系和運(yùn)算法則，一般用某個(gè)矩形區(qū)域表示樣本空間，該區(qū)域的一個(gè)子區(qū)域表示某個(gè)事件。于是各事件的關(guān)系運(yùn)算如圖中的圖示所示。

各事件的關(guān)系運(yùn)算如圖示：

9.完備事件組

n個(gè)事件，如果滿足下列條件：

（1）；

（2），則稱其為完備事件組。

顯然任何一個(gè)事件A與其對(duì)立事件構(gòu)成完備事件組。

10.事件運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)則：

（1）交換律

（2）結(jié)合律

（3）分配律

（4）對(duì)偶律

率的古典定義

定義：在古典概型中，若樣本空間所包含的基本事件總數(shù)為n，事件A包含的基本事件數(shù)為m，則事件A發(fā)生的概率為。

概率的基本性質(zhì)與運(yùn)算法則

性質(zhì)1.0≤P(A)≤1

特別地，P(Φ)=0，P(Ω)=1

性質(zhì)2.若，則P(B-A)=P(B)-P(A)

性質(zhì)3.（加法公式）．對(duì)任意事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

推論1.若事件A，B互不相容（互斥），則P(A+B)=P(A)+P(B)

推論2.對(duì)任一事件A,有

推論3.對(duì)任意事件A，B，C，有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

條件概率、乘法公式、事件的獨(dú)立性

條件概率

定義1：設(shè)有事件A，B，且P(B)>0,稱

類似地，如果P(A)>0，則事件B對(duì)事件A的條件概率為

概率的乘法公式

乘法公式可推廣到有限多個(gè)事件的情況，例如對(duì)事件A,B,C,有

事件的獨(dú)立性

一般地說,P(A︱B)≠P(A)，即說明事件B的發(fā)生影響了事件A發(fā)生的概率。若P(A︱B)≠P(A)，則說明事件B的發(fā)生在概率意義下對(duì)事件A的發(fā)生無關(guān),這時(shí)稱事件A，B相互獨(dú)立。

定義：對(duì)于事件A，B，若P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立。獨(dú)立試驗(yàn)序列概型

在相同的條件下，獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)中事件A可能發(fā)生或可能不發(fā)生，且事件A發(fā)生的概率為p，則在n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率為

一維隨機(jī)變量及其概率分布

（一）隨機(jī)變量

1.隨機(jī)變量

定義：設(shè)Ω為樣本空間，如果對(duì)每一個(gè)可能結(jié)果，變量X都有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱X為定義在Ω上的隨機(jī)變量，簡(jiǎn)記作。

2.離散型隨機(jī)變量

定義：如果隨機(jī)變量X只能取有限個(gè)或無限可列個(gè)數(shù)值，則稱X為離散型隨機(jī)變量。

（二）分布函數(shù)與概率分布

1.分布函數(shù)

定義：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。

分布函數(shù)F(x)有以下性質(zhì)：

（2）F(x)是x的不減函數(shù)，即對(duì)任意

（4）F(x)是右連續(xù)的，即

（5）對(duì)任意實(shí)數(shù)a＜b,有P{a＜X≤b}=F(b)-F(a)

2.離散型隨機(jī)變量的概率分布

則稱上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布（或概率函數(shù)或分布列）。

離散型隨機(jī)變量X的概率分布也可以用下列列表形式來表示：

3.分布函數(shù)與概率分布之間的關(guān)系

若X為離散型隨機(jī)變量，則。

隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1.數(shù)學(xué)期望

（1）數(shù)學(xué)期望的概念

定義：設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為

若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱為X的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望或均值，記作EX，即

（2）數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

①若C為常數(shù)，則E(C)=C

②若a為常數(shù)，則E(aX)=aE(X)

③若b為常數(shù)，則E(X+b)=E(X)+b

④若X,Y為隨機(jī)變量，則E(X+Y)=E(X)+E(Y)

2.方差

（1）方差的概念

定義：設(shè)X為隨機(jī)變量，如果存在，則稱為X的方差，記作DX，即

方差的算術(shù)平方根稱為均方差或標(biāo)準(zhǔn)差，對(duì)于離散型隨機(jī)變量X，如果X的概率函數(shù)為，則X的方差為

（2）方差的性質(zhì)

①若C為常數(shù)，則D(C)=0

②若a為常數(shù)，則

③若b為常數(shù)，則D(X+b)=D(X)

④

1、數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則

定理1.3（兩面夾準(zhǔn)則）若數(shù)列{xn},{yn},{zn}滿足以下條件：

（1），（2），則

定理1.4

若數(shù)列{xn}單調(diào)有界，則它必有極限。

2、數(shù)列極限的四則運(yùn)算定理。

（1）

（2），（3）當(dāng)時(shí)，3、當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f（x）的極限等于A的必要充分條件是

這就是說：如果當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f（x）的極限等于A，則必定有左、右極限都等于A。

反之，如果左、右極限都等于A，則必有。

4、函數(shù)極限的定理

定理1.7（惟一性定理）如果存在，則極限值必定惟一。

定理1.8（兩面夾定理）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)（可除外）滿足條件：

（1），（2），則有。

推論

：（1）

（2），（3）

5、無窮小量的基本性質(zhì)

性質(zhì)1　有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；

性質(zhì)2　有界函數(shù)（變量）與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮小量的乘積是無窮小量。

性質(zhì)3　有限個(gè)無窮小量的乘積是無窮小量。

性質(zhì)4　無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。

6、等價(jià)無窮小量代換定理：

如果當(dāng)時(shí)，均為無窮小量，又有且存在，則。

7、重要極限Ⅰ

8、重要極限Ⅱ是指下面的公式：

9、（2）

（3）

（4）

10、函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)

由于函數(shù)的連續(xù)性是通過極限來定義的，因而由極限的運(yùn)算法則，可以得到下列連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

定理1.12（四則運(yùn)算）設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在x0處均連續(xù)，則

（1）f（x）±g（x）

在x0處連續(xù)，（2）f（x）·g（x）在x0處連續(xù)

（3）若g（x0）≠0，則在x0處連續(xù)。

定理1.13（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù)u=g（x）在x=

x0處連續(xù)，y=f（u）在u0=g（x0）處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]在x=

x0處連續(xù)。

定理1.14（反函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少），則它的反函數(shù)x=f-1（y）也在對(duì)應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少）

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x），有以下幾個(gè)基本性質(zhì)，這些性質(zhì)以后都要用到。

定理1.15（有界性定理）

如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值和最小值。

定理1.17（介值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為M和m，則對(duì)于介于m和M之間的任何實(shí)數(shù)C，在[a，b]上至少存在一個(gè)ξ，使得

f（ξ）=C11、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x），有以下幾個(gè)基本性質(zhì)，這些性質(zhì)以后都要用到。

定理1.15（有界性定理）

如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值和最小值。

定理1.17（介值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為M和m，則對(duì)于介于m和M之間的任何實(shí)數(shù)C，在[a，b]上至少存在一個(gè)ξ，使得

f（ξ）=C12、推論（零點(diǎn)定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號(hào)，則在[a，b]內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ，使得

f（ξ）=013、初等函數(shù)的連續(xù)性

定理1.18　初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù)。

利用初等函數(shù)連續(xù)性的結(jié)論可知：如果f（x）是初等函數(shù)，且x0是定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，則

f（x）在x0處連續(xù)

也就是說，求初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的極限值，只要算出函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值即可。

14、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

定理2.1　如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則它在x0處必定連續(xù)。

15、由這個(gè)定理可知：若函數(shù)f（x）在x0不連續(xù)，則f（x）在x0處必定不可導(dǎo)。

16、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

（1）（C）＇=0

（2）（xμ）＇=μxμ-1

（3）（4）

（5）（ax）＇=axlna（a＞0,a≠1）

（6）（ex）＇=ex

（7）（8）

（9）（sinx）＇=cosx

（10）（cosx）＇=

-sinx

（11）（12）

（13）（secx）＇=secx·tanx

（14）（cscx）＇=

-cscx·cotx

（15）（16）

（17）（18）

2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

設(shè)u=u（x），v=v（x）均為x的可導(dǎo)函數(shù)，則有

（1）（u±v）＇=u＇±v＇

（2）（u·v）＇=u＇·v+u·v＇

（3）（cu）＇=c·u＇

（4）

（5）

（6）（u·v·w）＇=u＇·v·w+u·v＇·w+u·v·w＇

3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

如果u=φ（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，而y=f（u）在相應(yīng)的點(diǎn)u=φ（x）處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[φ（x）]在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為

同理，如果y=f（u），u=φ（v），v=ψ（x），則復(fù)合函數(shù)y=f[φ（ψ（x））]的導(dǎo)數(shù)為

4.反函數(shù)求導(dǎo)法則

如果x=φ（y）為單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，則其反函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)

17、微分的計(jì)算

dy=f′(x)dx

求微分dy只要求出導(dǎo)數(shù)f′(x)再乘以dx，所以我們前面學(xué)過的求導(dǎo)基本公式與求導(dǎo)法則完全適用于微分的計(jì)算。于是有下列的微分公式及微分法則：

（1）d（c）=0（c為常數(shù)）

（2）（為任意實(shí)數(shù)）

（6）d（ex）=exdx

（7）d（sin

x）=cos

xdx

（8）d（cos

x）=-sin

xdx

（17）d（c·u）=cdu18、微分形式不變性

設(shè)函數(shù)y=f(u)，則不論u是自變量還是中間變量，函數(shù)的微分dy總可表示為

dy=f′(u)du19、常用的湊微分公式：

1）、②，③

④，⑤，⑥

①，②③，④，⑤

⑥?、?/p>

20、常用的換元類型有：

被積函數(shù)類型

所用代換

代換名稱

正弦代換

正切代換

根式代換

21、定積分的基本性質(zhì)

（1）。（k為常數(shù)）。

（2）。

（3）。

（4）如果f（x）在區(qū)間[a,b]上總有f（x）≤g（x），則。

（5）

（6）設(shè)M和m分別為f（x）在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值，則有

（7）積分中值定理　如果f（x）在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在區(qū)間[a,b]上至少存在一點(diǎn)，使得

22、變上限定積分求導(dǎo)定理

1.變上限定積分定義

定義

積分上限x為變量時(shí)的定積分稱為變上限定積分。變上限定積分是積分上限x的函數(shù)，記作，一般有

2.變上限定積分求導(dǎo)定理

定理

如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則有

推論?、?，②

③

23、計(jì)算定積分

1.牛頓——萊布尼茨公式

如果f(x)在區(qū)間[a,b]上的連續(xù)，且，則有

推論：(1)若f(x)為奇函數(shù)，則

(2)若f(x)為偶函數(shù)，則

2、定積分的分部積分法

24、定積分的應(yīng)用

1.計(jì)算平面圖形的面積

(1)X型：曲線y=f(x)，y=g(x)(f(x)≥g(x))和直線x=a,x=b(a≤b)所圍成的平面圖形的面積A為。

(2)Y型：曲線和直線y=c,y=d(c≤d)，所圍成的平面圖形的面積A為。

2.旋轉(zhuǎn)體的體積

(1)X型

由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)≥0)和直線x=a,x=b(a

(2)Y型

由連續(xù)曲線和直線y=c,y=d(c

25、全微分

26、二元隱函數(shù)

設(shè)三元方程F(x,y,z)=0確定隱函數(shù)z=z(x,y)，如果F(x,y,z)對(duì)x,y,z存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則z對(duì)x、y的偏導(dǎo)數(shù)為。

27、概率的基本性質(zhì)與運(yùn)算法則

性質(zhì)1.0≤P(A)≤1，特別地，P(Φ)=0，P(Ω)=1

性質(zhì)2.若，則P(B-A)=P(B)-P(A)

性質(zhì)3.（加法公式）．對(duì)任意事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

推論1.若事件A，B互不相容（互斥），則P(A+B)=P(A)+P(B)

推論2.對(duì)任一事件A,有

推論3.對(duì)任意事件A，B，C，有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

28、條件概率

定義1：設(shè)有事件A，B，且P(B)>0,稱

29、概率的乘法公式，30、（1）數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

①若C為常數(shù)，則E(C)=C，②若a為常數(shù)，則E(aX)=aE(X)

③若b為常數(shù)，則E(X+b)=E(X)+b?、苋鬤,Y為隨機(jī)變量，則E(X+Y)=E(X)+E(Y)

（2）方差的性質(zhì)

①若C為常數(shù)，則D(C)=0；②若a為常數(shù)，則

③若b為常數(shù)，則D(X+b)=D(X)；

④