第一章

函數(shù)、極限和連續(xù)

§1.1

函數(shù)

一、主要內(nèi)容

㈠

函數(shù)的概念

1.函數(shù)的定義:

y=f(x),x∈D

定義域:

D(f),值域:

Z(f).2.分段函數(shù):

3.隱函數(shù):

F(x,y)=

0

4.反函數(shù):

y=f(x)

→

x=φ(y)=f-1(y)

y=f-1

(x)

定理:如果函數(shù):

y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y

是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的；

則它必定存在反函數(shù)：

y=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-1)=X

且也是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的。

㈡

函數(shù)的幾何特性

1.函數(shù)的單調(diào)性:

y=f(x),x∈D,x1、x2∈D

當(dāng)x1＜x2時(shí),若f(x1)≤f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)增加（）；

若f(x1)≥f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)減少（）；

若f(x1)＜f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加（）；

若f(x1)＞f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少（）。

2.函數(shù)的奇偶性：D(f)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

偶函數(shù)：f(-x)=f(x)

奇函數(shù)：f(-x)=-f(x)

3.函數(shù)的周期性：

周期函數(shù)：f(x+T)=f(x),x∈(-∞，+∞)

周期：T——最小的正數(shù)

4.函數(shù)的有界性：

|f(x)|≤M,x∈(a,b)

㈢

基本初等函數(shù)

1.常數(shù)函數(shù)：

y=c，(c為常數(shù))

2.冪函數(shù)：

y=xn,(n為實(shí)數(shù))

3.指數(shù)函數(shù)：

y=ax,(a＞0、a≠1)

4.對(duì)數(shù)函數(shù)：

y=loga

x,(a＞0、a≠1)

5.三角函數(shù)：

y=sin

x,y=con

x

y=tan

x,y=cot

x

y=sec

x,y=csc

x

6.反三角函數(shù)：y=arcsin

x,y=arccon

x

y=arctan

x,y=arccot

x

㈣

復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)

1.復(fù)合函數(shù)：

y=f(u),u=φ(x)

y=f[φ(x)],x∈X

2.初等函數(shù):

由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算（加、減、乘、除）和復(fù)合所構(gòu)成的，并且能用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)

§1.2

極

限

一、主要內(nèi)容

㈠極限的概念

1.數(shù)列的極限:

稱數(shù)列以常數(shù)A為極限;

或稱數(shù)列收斂于A.定理:

若的極限存在必定有界.2.函數(shù)的極限：

⑴當(dāng)時(shí)，的極限：

⑵當(dāng)時(shí)，的極限：

左極限：

右極限：

⑶函數(shù)極限存的充要條件：

定理：

㈡

無(wú)窮大量和無(wú)窮小量

1.無(wú)窮大量：

稱在該變化過(guò)程中為無(wú)窮大量。

X再某個(gè)變化過(guò)程是指：

2.無(wú)窮小量：

稱在該變化過(guò)程中為無(wú)窮小量。

3.無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系：

定理：

4.無(wú)窮小量的比較：

⑴若,則稱β是比α較高階的無(wú)窮小量；

⑵若

（c為常數(shù)），則稱β與α同階的無(wú)窮小量；

⑶若，則稱β與α是等價(jià)的無(wú)窮小量，記作：β～α；

⑷若,則稱β是比α較低階的無(wú)窮小量。

定理：若：

則：

㈢兩面夾定理

1．?dāng)?shù)列極限存在的判定準(zhǔn)則：

設(shè)：

（n=1、2、3…）

且：

則：

2．函數(shù)極限存在的判定準(zhǔn)則：

設(shè)：對(duì)于點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)的一切點(diǎn)

（點(diǎn)x0除外）有：

且：

則：

㈣極限的運(yùn)算規(guī)則

若：

則：①

②

③

推論：①

②

③

㈤兩個(gè)重要極限

1．或

2．§1.3

連續(xù)

一、主要內(nèi)容

㈠

函數(shù)的連續(xù)性

1.函數(shù)在處連續(xù)：在的鄰域內(nèi)有定義，1o

2o

左連續(xù)：

右連續(xù)：

2.函數(shù)在處連續(xù)的必要條件：

定理：在處連續(xù)在處極限存在3.函數(shù)在處連續(xù)的充要條件：

定理：

4.函數(shù)在上連續(xù)：

在上每一點(diǎn)都連續(xù)。

在端點(diǎn)和連續(xù)是指：

左端點(diǎn)右連續(xù)；

右端點(diǎn)左連續(xù)。

a+

0

b-

x

5.函數(shù)的間斷點(diǎn)：

若在處不連續(xù)，則為的間斷點(diǎn)。

間斷點(diǎn)有三種情況：

1o在處無(wú)定義；

2o不存在；

3o在處有定義，且存在，但。

兩類間斷點(diǎn)的判斷：

1o第一類間斷點(diǎn)：

特點(diǎn)：和都存在。

可去間斷點(diǎn)：存在，但，或在處無(wú)定義。

2o第二類間斷點(diǎn)：

特點(diǎn)：和至少有一個(gè)為∞，或振蕩不存在。

無(wú)窮間斷點(diǎn)：和至少有一個(gè)為∞

㈡函數(shù)在處連續(xù)的性質(zhì)

1.連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算：

設(shè)，1o

2o

3o

2.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性：

則：

3.反函數(shù)的連續(xù)性：

㈢函數(shù)在上連續(xù)的性質(zhì)

1.最大值與最小值定理：

在上連續(xù)在上一定存在最大值與最小值。

y

y

+M

M

f(x)

f(x)

0

a

b

x

m

-M

0

a

b

x

a)

有界定理：

在上連續(xù)在上一定有界。

3.介值定理：

在上連續(xù)在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得：，其中：

y

y

M

f(x)

C

f(x)

0

a

ξ

b

x

m

0

a

ξ1

ξ2

b

x

推論：

在上連續(xù)，且與異號(hào)在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得：。

b)

初等函數(shù)的連續(xù)性：

初等函數(shù)在其定域區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。

第二章

一元函數(shù)微分學(xué)

§2.1

導(dǎo)數(shù)與微分

一、主要內(nèi)容

㈠導(dǎo)數(shù)的概念

1．導(dǎo)數(shù)：在的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，2．左導(dǎo)數(shù)：

右導(dǎo)數(shù)：

定理：在的左（或右）鄰域上連續(xù)在其內(nèi)可導(dǎo)，且極限存在；

則：

（或：）

3.函數(shù)可導(dǎo)的必要條件：

定理：在處可導(dǎo)在處連續(xù)

4.函數(shù)可導(dǎo)的充要條件：

定理：存在，且存在。

5.導(dǎo)函數(shù)：

在內(nèi)處處可導(dǎo)。

y

6.導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)：

是曲線上點(diǎn)

處切線的斜率。

o

x0

x

㈡求導(dǎo)法則

1.基本求導(dǎo)公式：

2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算：

1o

2o

3o

3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：，或

☆注意與的區(qū)別：

表示復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量求導(dǎo)；

表示復(fù)合函數(shù)對(duì)中間變量求導(dǎo)。

4.高階導(dǎo)數(shù)：

函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)等于其n-1導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

㈢微分的概念

1.微分：在的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，其中：與無(wú)關(guān)，是比較高

階的無(wú)窮小量，即：

則稱在處可微，記作：

2.導(dǎo)數(shù)與微分的等價(jià)關(guān)系：

定理：

在處可微在處可導(dǎo)，且：

3.微分形式不變性：

不論u是自變量，還是中間變量，函數(shù)的微分都具有相同的形式。

§2.2

中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

一、主要內(nèi)容

㈠中值定理

1.羅爾定理:

滿足條件:

y

a

o

ξ

b

x

a

o

ξ

b

x

2.拉格朗日定理：滿足條件:

㈡羅必塔法則：（型未定式）

定理：和滿足條件：

1o；

2o在點(diǎn)a的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且；

3o

則：

☆注意：1o法則的意義：把函數(shù)之比的極限化成了它們導(dǎo)數(shù)之比的極限。

2o若不滿足法則的條件，不能使用法則。

即不是型或型時(shí)，不可求導(dǎo)。

3o應(yīng)用法則時(shí)，要分別對(duì)分子、分母

求導(dǎo)，而不是對(duì)整個(gè)分式求導(dǎo)。

4o若和還滿足法則的條件，可以繼續(xù)使用法則，即：

5o若函數(shù)是型可采用代數(shù)變

形，化成或型；若是型可

采用對(duì)數(shù)或指數(shù)變形，化成或型。

㈢導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1．切線方程和法線方程：

設(shè)：

切線方程：

法線方程：

2．曲線的單調(diào)性：

⑴

3.函數(shù)的極值：

⑴極值的定義：

設(shè)在內(nèi)有定義，是內(nèi)的一點(diǎn)；

若對(duì)于的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意點(diǎn)，都有：

則稱是的一個(gè)極大值（或極小值），稱為的極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）。

⑵極值存在的必要條件：

定理：

稱為的駐點(diǎn)

⑶極值存在的充分條件：

定理一：

當(dāng)漸增通過(guò)時(shí)，由（+）變（-）；

則為極大值；

當(dāng)漸增通過(guò)時(shí)，由（-）變（+）；則為極小值。

定理二：

若，則為極大值；

若，則為極小值。

☆注意：駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，極值點(diǎn)也不一定是駐點(diǎn)。

4．曲線的凹向及拐點(diǎn)：

⑴若；則在內(nèi)是上凹的（或凹的），（∪）；

⑵

；則在內(nèi)是下凹的（或凸的），（∩）；

⑶

5。曲線的漸近線：

⑴水平漸近線：

⑵鉛直漸近線：

第三章

一元函數(shù)積分學(xué)

§3.1

不定積分

一、主要內(nèi)容

㈠重要的概念及性質(zhì)：

1．原函數(shù)：設(shè)：

若：

則稱是的一個(gè)原函數(shù)，并稱是的所有原函數(shù),其中C是任意常數(shù)。

2．不定積分：

函數(shù)的所有原函數(shù)的全體，稱為函數(shù)的不定積分；記作：

其中：稱為被積函數(shù)；

稱為被積表達(dá)式；

稱為積分變量。

3.不定積分的性質(zhì)：

⑴

或：

⑵

或：

⑶

—分項(xiàng)積分法

⑷

(k為非零常數(shù))

4.基本積分公式：

㈡換元積分法：

⒈第一換元法：（又稱“湊微元”法）

常用的湊微元函數(shù)有：

1o

2o

3o

4o

5o

6o

2.第二換元法：

第二換元法主要是針對(duì)含有根式的被積函數(shù)，其作用是將根式有理化。

一般有以下幾種代換：

1o

(當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí))

2o

(當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí))

3o

(當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí))

4o

(當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí))

㈢分部積分法：

1.分部積分公式：

2.分部積分法主要針對(duì)的類型：

⑴

⑵

⑷

⑷

⑸

其中：

（多項(xiàng)式）

3.選u規(guī)律：

⑴在三角函數(shù)乘多項(xiàng)式中，令，其余記作dv;簡(jiǎn)稱“三多選多”。

⑵在指數(shù)函數(shù)乘多項(xiàng)式中，令，其余記作dv;簡(jiǎn)稱“指多選多”。

⑶在多項(xiàng)式乘對(duì)數(shù)函數(shù)中，令，其余記作dv;簡(jiǎn)稱“多對(duì)選對(duì)”。

⑷在多項(xiàng)式乘反三角函數(shù)中，選反三角函數(shù)

為u，其余記作dv;簡(jiǎn)稱“多反選反”。

⑸在指數(shù)函數(shù)乘三角函數(shù)中，可任選一函數(shù)

為u，其余記作dv;簡(jiǎn)稱“指三任選”。

㈣簡(jiǎn)單有理函數(shù)積分：

1.有理函數(shù)：

其中是多項(xiàng)式。

2.簡(jiǎn)單有理函數(shù)：

⑴

⑵

⑶

§3.2定積分

f(x)

一．

主要內(nèi)容

（一）.重要概念與性質(zhì)

1.定積分的定義：

O

a

x1

x2

xi-1

ξi

xi

xn-1

b

x

定積分含四步：分割、近似、求和、取極限。

定積分的幾何意義：是介于x軸，曲線y=f(x),直線x=a,x=b之間各部分面積的代數(shù)和。

x軸上方的面積取正號(hào)，y

x

軸下方的面積取負(fù)號(hào)。

+

+

a

0

b

x

2.定積分存在定理：

若：f(x)滿足下列條件之一:

若積分存在，則積分值與以下因素?zé)o關(guān)：

3.牛頓——萊布尼茲公式：

牛頓——萊布尼茲公式是積分學(xué)中的核心定理，其作用是將一個(gè)求曲邊面積值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋找原函數(shù)及計(jì)算差量的問(wèn)題。

4.原函數(shù)存在定理：

5.定積分的性質(zhì)：

y

y

y

f(x)

g(x)

f(x)

0

a

c

b

x

0

a

b

x

0

a

b

x

y

y

M

f(x)

f(x)

m

0

a

b

x

0

a

ξ

b

x

（二）定積分的計(jì)算：

1.換元積分

2.分部積分

3.廣義積分

4.定積分的導(dǎo)數(shù)公式

(三)定積分的應(yīng)用

1.平面圖形的面積:

與x軸所圍成的圖形的面積

y

f(x)

①.求出曲線的交點(diǎn)，畫出草圖；

②.確定積分變量，由交點(diǎn)確定積分上下限；

③.應(yīng)用公式寫出積分式，并進(jìn)行計(jì)算。

2.旋轉(zhuǎn)體的體積

及x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積：

0

a

b

x

及y軸所圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積：

第四章

多元函數(shù)微積分初步

§4.1

偏導(dǎo)數(shù)與全微分

一.主要內(nèi)容：

㈠.多元函數(shù)的概念

c)

二元函數(shù)的定義：

d)

二元函數(shù)的幾何意義：

二元函數(shù)是一個(gè)空間曲面。（而一元函數(shù)是平面上的曲線）

㈡.二元函數(shù)的極限和連續(xù)：

1.極限定義：設(shè)z=f(x,y)滿足條件：

2.連續(xù)定義：設(shè)z=f(x,y)滿足條件：

㈢.偏導(dǎo)數(shù)：

㈣.全微分：

1.定義：z=f(x,y)

在點(diǎn)(x,y)處的全微分。

3.全微分與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

㈤.復(fù)全函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：

1.2.㈥.隱含數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：

1.2.㈦.二階偏導(dǎo)數(shù)：

㈧.二元函數(shù)的無(wú)條件極值

1.二元函數(shù)極值定義：

極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。

2.極值的必要條件：

兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)存在，則：

★

而非充分條件。

例：

∴駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。

e)

極值的充分條件：

求二元極值的方法：

極值點(diǎn)。

二倍角公式：(含萬(wàn)能公式)

①

②

③

④

⑤

第五章排列與組合（1）加法原理：完成一件事情與分類有關(guān)，即每一類各自獨(dú)立完成，此事即可完成。

（2）乘法原理：完成一件事情與步驟有關(guān)，即一次完成每一步驟，此事才能完成。

排列：從n個(gè)不同元素里，任取個(gè)元素，按照一定的順序排列成一列，稱為從n個(gè)不同元素里取出m個(gè)元素的一個(gè)排列，計(jì)算公式：

組合：從n個(gè)不同元素里，任取個(gè)元素組成一組，叫做從n個(gè)不同元素里取出m個(gè)元素的一個(gè)組合，組合總數(shù)記為，計(jì)算公式：

第六章概率論

符號(hào)

概率論

集合論

樣本空間

全集

不可能事件

空集

基本事件

集合的元素

A

事件

子集

A的對(duì)立事件

A的余集

事件A發(fā)生導(dǎo)致

事件B發(fā)生

A是B的子集

A=B

A與B兩事件相等

集合A與B相等

事件A與事件B

至少有一個(gè)發(fā)生

A與B的并集

事件A與事件B同時(shí)發(fā)生

A與B的交集

A-B

事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生

A與B的差集

事件A與事件B互不相容

A與B沒有相同元素

由于隨機(jī)事件都可以用樣本空間中的某個(gè)集合來(lái)表示，于是事件間的關(guān)系和運(yùn)算就可以用集合論的知識(shí)來(lái)討論和表示，為了直觀，可以用集合的韋恩圖來(lái)表示事件的各種關(guān)系和運(yùn)算法則，一般用某個(gè)矩形區(qū)域表示樣本空間，該區(qū)域的一個(gè)子區(qū)域表示某個(gè)事件。于是各事件的關(guān)系運(yùn)算如圖中的圖示所示。

各事件的關(guān)系運(yùn)算如圖示：

9.完備事件組

n個(gè)事件，如果滿足下列條件：

（1）；

（2），則稱其為完備事件組。

顯然任何一個(gè)事件A與其對(duì)立事件構(gòu)成完備事件組。

10.事件運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)則：

（1）交換律

（2）結(jié)合律

（3）分配律

（4）對(duì)偶律

率的古典定義

定義：在古典概型中，若樣本空間所包含的基本事件總數(shù)為n，事件A包含的基本事件數(shù)為m，則事件A發(fā)生的概率為。

概率的基本性質(zhì)與運(yùn)算法則

性質(zhì)1.0≤P(A)≤1

特別地，P(Φ)=0，P(Ω)=1

性質(zhì)2.若，則P(B-A)=P(B)-P(A)

性質(zhì)3.（加法公式）．對(duì)任意事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

推論1.若事件A，B互不相容（互斥），則P(A+B)=P(A)+P(B)

推論2.對(duì)任一事件A,有

推論3.對(duì)任意事件A，B，C，有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

條件概率、乘法公式、事件的獨(dú)立性

條件概率

定義1：設(shè)有事件A，B，且P(B)>0,稱

類似地，如果P(A)>0，則事件B對(duì)事件A的條件概率為

概率的乘法公式

乘法公式可推廣到有限多個(gè)事件的情況，例如對(duì)事件A,B,C,有

事件的獨(dú)立性

一般地說(shuō),P(A︱B)≠P(A)，即說(shuō)明事件B的發(fā)生影響了事件A發(fā)生的概率。若P(A︱B)≠P(A)，則說(shuō)明事件B的發(fā)生在概率意義下對(duì)事件A的發(fā)生無(wú)關(guān),這時(shí)稱事件A，B相互獨(dú)立。

定義：對(duì)于事件A，B，若P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立。獨(dú)立試驗(yàn)序列概型

在相同的條件下，獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)中事件A可能發(fā)生或可能不發(fā)生，且事件A發(fā)生的概率為p，則在n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率為

一維隨機(jī)變量及其概率分布

（一）隨機(jī)變量

1.隨機(jī)變量

定義：設(shè)Ω為樣本空間，如果對(duì)每一個(gè)可能結(jié)果，變量X都有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱X為定義在Ω上的隨機(jī)變量，簡(jiǎn)記作。

2.離散型隨機(jī)變量

定義：如果隨機(jī)變量X只能取有限個(gè)或無(wú)限可列個(gè)數(shù)值，則稱X為離散型隨機(jī)變量。

（二）分布函數(shù)與概率分布

1.分布函數(shù)

定義：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。

分布函數(shù)F(x)有以下性質(zhì)：

（2）F(x)是x的不減函數(shù)，即對(duì)任意

（4）F(x)是右連續(xù)的，即

（5）對(duì)任意實(shí)數(shù)a＜b,有P{a＜X≤b}=F(b)-F(a)

2.離散型隨機(jī)變量的概率分布

則稱上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布（或概率函數(shù)或分布列）。

離散型隨機(jī)變量X的概率分布也可以用下列列表形式來(lái)表示：

3.分布函數(shù)與概率分布之間的關(guān)系

若X為離散型隨機(jī)變量，則。

隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1.數(shù)學(xué)期望

（1）數(shù)學(xué)期望的概念

定義：設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為

若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱為X的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望或均值，記作EX，即

（2）數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

①若C為常數(shù)，則E(C)=C

②若a為常數(shù)，則E(aX)=aE(X)

③若b為常數(shù)，則E(X+b)=E(X)+b

④若X,Y為隨機(jī)變量，則E(X+Y)=E(X)+E(Y)

2.方差

（1）方差的概念

定義：設(shè)X為隨機(jī)變量，如果存在，則稱為X的方差，記作DX，即

方差的算術(shù)平方根稱為均方差或標(biāo)準(zhǔn)差，對(duì)于離散型隨機(jī)變量X，如果X的概率函數(shù)為，則X的方差為

（2）方差的性質(zhì)

①若C為常數(shù)，則D(C)=0

②若a為常數(shù)，則

③若b為常數(shù)，則D(X+b)=D(X)

④

基本公式

由

（1）對(duì)數(shù)的性質(zhì)：

①負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)；②1的對(duì)數(shù)是零；③底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1。

（2）對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則：

①

②

③

④

3、對(duì)數(shù)換底公式：

由換底公式推出一些常用的結(jié)論：

（1）

（2）

（3）

（4）

三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，的遞增區(qū)間是，1、數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則

定理1.3（兩面夾準(zhǔn)則）若數(shù)列{xn},{yn},{zn}滿足以下條件：

（1），（2），則

定理1.4

若數(shù)列{xn}單調(diào)有界，則它必有極限。

2、數(shù)列極限的四則運(yùn)算定理。

（1）

（2），（3）當(dāng)時(shí)，3、當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f（x）的極限等于A的必要充分條件是

這就是說(shuō)：如果當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f（x）的極限等于A，則必定有左、右極限都等于A。

反之，如果左、右極限都等于A，則必有。

4、函數(shù)極限的定理

定理1.7（惟一性定理）如果存在，則極限值必定惟一。

定理1.8（兩面夾定理）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)（可除外）滿足條件：

（1），（2），則有。

推論

：（1）

（2），（3）

5、無(wú)窮小量的基本性質(zhì)

性質(zhì)1　有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍是無(wú)窮小量；

性質(zhì)2　有界函數(shù)（變量）與無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量；特別地，常量與無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量。

性質(zhì)3　有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量。

性質(zhì)4　無(wú)窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無(wú)窮小量。

6、等價(jià)無(wú)窮小量代換定理：

如果當(dāng)時(shí)，均為無(wú)窮小量，又有且存在，則。

7、重要極限Ⅰ

8、重要極限Ⅱ是指下面的公式：

9、（2）

（3）

（4）

10、函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)

由于函數(shù)的連續(xù)性是通過(guò)極限來(lái)定義的，因而由極限的運(yùn)算法則，可以得到下列連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

定理1.12（四則運(yùn)算）設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在x0處均連續(xù)，則

（1）f（x）±g（x）

在x0處連續(xù)，（2）f（x）·g（x）在x0處連續(xù)

（3）若g（x0）≠0，則在x0處連續(xù)。

定理1.13（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù)u=g（x）在x=

x0處連續(xù)，y=f（u）在u0=g（x0）處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]在x=

x0處連續(xù)。

定理1.14（反函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少），則它的反函數(shù)x=f-1（y）也在對(duì)應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少）

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x），有以下幾個(gè)基本性質(zhì)，這些性質(zhì)以后都要用到。

定理1.15（有界性定理）

如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值和最小值。

定理1.17（介值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為M和m，則對(duì)于介于m和M之間的任何實(shí)數(shù)C，在[a，b]上至少存在一個(gè)ξ，使得

f（ξ）=C11、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x），有以下幾個(gè)基本性質(zhì)，這些性質(zhì)以后都要用到。

定理1.15（有界性定理）

如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值和最小值。

定理1.17（介值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為M和m，則對(duì)于介于m和M之間的任何實(shí)數(shù)C，在[a，b]上至少存在一個(gè)ξ，使得

f（ξ）=C12、推論（零點(diǎn)定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號(hào)，則在[a，b]內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ，使得

f（ξ）=013、初等函數(shù)的連續(xù)性

定理1.18　初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù)。

利用初等函數(shù)連續(xù)性的結(jié)論可知：如果f（x）是初等函數(shù)，且x0是定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，則

f（x）在x0處連續(xù)

也就是說(shuō)，求初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的極限值，只要算出函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值即可。

14、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

定理2.1　如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則它在x0處必定連續(xù)。

15、由這個(gè)定理可知：若函數(shù)f（x）在x0不連續(xù)，則f（x）在x0處必定不可導(dǎo)。

16、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

（1）（C）＇=0

（2）（xμ）＇=μxμ-1

（3）（4）

（5）（ax）＇=axlna（a＞0,a≠1）

（6）（ex）＇=ex

（7）（8）

（9）（sinx）＇=cosx

（10）（cosx）＇=

-sinx

（11）（12）

（13）（secx）＇=secx·tanx

（14）（cscx）＇=

-cscx·cotx

（15）（16）

（17）（18）

2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

設(shè)u=u（x），v=v（x）均為x的可導(dǎo)函數(shù)，則有

（1）（u±v）＇=u＇±v＇

（2）（u·v）＇=u＇·v+u·v＇

（3）（cu）＇=c·u＇

（4）

（5）

（6）（u·v·w）＇=u＇·v·w+u·v＇·w+u·v·w＇

3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

如果u=φ（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，而y=f（u）在相應(yīng)的點(diǎn)u=φ（x）處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[φ（x）]在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為

同理，如果y=f（u），u=φ（v），v=ψ（x），則復(fù)合函數(shù)y=f[φ（ψ（x））]的導(dǎo)數(shù)為

4.反函數(shù)求導(dǎo)法則

如果x=φ（y）為單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，則其反函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)

17、微分的計(jì)算

dy=f′(x)dx

求微分dy只要求出導(dǎo)數(shù)f′(x)再乘以dx，所以我們前面學(xué)過(guò)的求導(dǎo)基本公式與求導(dǎo)法則完全適用于微分的計(jì)算。于是有下列的微分公式及微分法則：

（1）d（c）=0（c為常數(shù)）

（2）（為任意實(shí)數(shù)）

（6）d（ex）=exdx

（7）d（sin

x）=cos

xdx

（8）d（cos

x）=-sin

xdx

（17）d（c·u）=cdu18、微分形式不變性

設(shè)函數(shù)y=f(u)，則不論u是自變量還是中間變量，函數(shù)的微分dy總可表示為

dy=f′(u)du19、常用的湊微分公式：

1）、②，③

④，⑤，⑥

①，②③，④，⑤

⑥?、?/p>

20、常用的換元類型有：

被積函數(shù)類型

所用代換

代換名稱

正弦代換

正切代換

根式代換

21、定積分的基本性質(zhì)

（1）。（k為常數(shù)）。

（2）。

（3）。

（4）如果f（x）在區(qū)間[a,b]上總有f（x）≤g（x），則。

（5）

（6）設(shè)M和m分別為f（x）在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值，則有

（7）積分中值定理　如果f（x）在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在區(qū)間[a,b]上至少存在一點(diǎn)，使得

22、變上限定積分求導(dǎo)定理

1.變上限定積分定義

定義

積分上限x為變量時(shí)的定積分稱為變上限定積分。變上限定積分是積分上限x的函數(shù)，記作，一般有

2.變上限定積分求導(dǎo)定理

定理

如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則有

推論?、伲?/p>

③

23、計(jì)算定積分

1.牛頓——萊布尼茨公式

如果f(x)在區(qū)間[a,b]上的連續(xù)，且，則有

推論：(1)若f(x)為奇函數(shù)，則

(2)若f(x)為偶函數(shù)，則

2、定積分的分部積分法

24、定積分的應(yīng)用

1.計(jì)算平面圖形的面積

(1)X型：曲線y=f(x)，y=g(x)(f(x)≥g(x))和直線x=a,x=b(a≤b)所圍成的平面圖形的面積A為。

(2)Y型：曲線和直線y=c,y=d(c≤d)，所圍成的平面圖形的面積A為。

2.旋轉(zhuǎn)體的體積

(1)X型

由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)≥0)和直線x=a,x=b(a

(2)Y型

由連續(xù)曲線和直線y=c,y=d(c

25、全微分

26、二元隱函數(shù)

設(shè)三元方程F(x,y,z)=0確定隱函數(shù)z=z(x,y)，如果F(x,y,z)對(duì)x,y,z存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則z對(duì)x、y的偏導(dǎo)數(shù)為。

27、概率的基本性質(zhì)與運(yùn)算法則

性質(zhì)1.0≤P(A)≤1，特別地，P(Φ)=0，P(Ω)=1

性質(zhì)2.若，則P(B-A)=P(B)-P(A)

性質(zhì)3.（加法公式）．對(duì)任意事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

推論1.若事件A，B互不相容（互斥），則P(A+B)=P(A)+P(B)

推論2.對(duì)任一事件A,有

推論3.對(duì)任意事件A，B，C，有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

28、條件概率

定義1：設(shè)有事件A，B，且P(B)>0,稱

29、概率的乘法公式，30、（1）數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

①若C為常數(shù)，則E(C)=C，②若a為常數(shù)，則E(aX)=aE(X)

③若b為常數(shù)，則E(X+b)=E(X)+b?、苋鬤,Y為隨機(jī)變量，則E(X+Y)=E(X)+E(Y)

（2）方差的性質(zhì)

①若C為常數(shù)，則D(C)=0；②若a為常數(shù)，則

③若b為常數(shù)，則D(X+b)=D(X)；

④