第一篇：柯布西耶和現(xiàn)代建筑五原則

柯布西耶和現(xiàn)代建筑五原則

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底層架空 屋頂花園 自由平面 水平長窗 自由立面

這是柯布西耶的新建筑五點(diǎn)。從我手上的資料看，柯布西耶和他的伙伴皮埃爾.讓納雷提出這些原則是在1926年，那一年柯布39歲，已是83年前的事。新建筑五點(diǎn)，或說現(xiàn)代建筑五原則，學(xué)校里背過、考過，工作后不考了，差不多忘了，十幾年后有一天想起來，才忽然有一點(diǎn)點(diǎn)理解它講的是什么意思，才知道自己一直以來做的，還算不上現(xiàn)代建筑，汗顏。

80多年了，現(xiàn)在談的已經(jīng)是信息時(shí)代的建筑，談五原則是不是過時(shí)？是的，技術(shù)和觀念已經(jīng)有了極大的發(fā)展進(jìn)步，但是不能否認(rèn)，許許多多的發(fā)展進(jìn)步都是建立在現(xiàn)代建筑精神的基礎(chǔ)上的，五原則的背后正是現(xiàn)代建筑精神。在相對(duì)抽象的精神之外，五原則是個(gè)具體的坐標(biāo)，參照它能夠判別一個(gè)建筑是否從手法上擺脫了桎梏，進(jìn)入現(xiàn)代的領(lǐng)域。而手法上擺脫桎梏，從反映了從精神上脫離蒙昧。也許五原則在西方已經(jīng)過時(shí)了，那是因?yàn)樗詽B透在幾代建筑師的血液里，不言自明。但在中國，它還太超前，恐怕真正懂得它的中國建筑師還很少。若說我們現(xiàn)在的多數(shù)建筑甚至沒有從手法上進(jìn)入現(xiàn)代，恐怕很多人不同意。那么這里結(jié)合五原則的條目試解之：

底層架空：讓實(shí)用空間遠(yuǎn)離地面的陰冷潮濕，把地面留給花園和交通空間，這是底層架空的意義?？虏嫉闹埸c(diǎn)，首先是技術(shù)上的可能（鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)）；其次，是實(shí)現(xiàn)目的帶來的人性化的意義（居住擺脫陰暗潮濕，更好的享受陽光）；第三，緩解地面層通?？臻g緊張的矛盾；最后，才是新穎的形式。

底層架空的做法現(xiàn)在不具有普遍性了，因?yàn)榭虏嫉臅r(shí)代是工業(yè)化社會(huì)的時(shí)代，而現(xiàn)在是商業(yè)化的社會(huì)，商業(yè)成了城市的血液，商業(yè)需要地面做容身之處。這是柯布沒有看到的，但我們應(yīng)該注意到他的出發(fā)點(diǎn)，實(shí)際上是針對(duì)解決問題，非常務(wù)實(shí)的。

屋頂花園：這個(gè)屋頂花園的意思，也要放在當(dāng)時(shí)去看。當(dāng)時(shí)的通行做法是屋頂為坡面的閣樓層，里面是儲(chǔ)藏間和傭人的住所?？虏枷胝f的是，首先在新的排水技術(shù)、新的結(jié)構(gòu)形式下，屋頂不再有做坡形的必要性，可以是平的（從這個(gè)角度，把“屋頂花園”的說法換成“平屋面”亦未嘗不可）。其次柯布認(rèn)識(shí)到屋頂也是好的空間，有最好的陽光和視野，應(yīng)該加以利用；此外，屋頂?shù)木G植、覆土可以縮短鋼筋混凝土的溫度反差，在技術(shù)上不容易產(chǎn)生裂縫。所以這個(gè)屋頂花園并不是一個(gè)簡單的花園，也融合了多層次的思考。正如柯布所說，技術(shù)的原因，經(jīng)濟(jì)的原因，舒適的原因，情感的原因，要求我們采用平頂式屋面。

底層架空和屋頂花園列于建筑五點(diǎn)之前兩項(xiàng)，定義了現(xiàn)代建筑的形象特征。從簡單的建筑邏輯看：這樣處理帶來的輕巧的形式感、入口的空間感，還有打破沉悶的天際線，彌補(bǔ)了減去裝飾之后的枯燥感，都不失為很好的手法。但如今的情況發(fā)展了，它們不再具有普適性意義，但是自由平面就不同了。

自由平面：基于框架的混凝土結(jié)構(gòu)體系，墻不參與承重，因此平面與古典建筑大不相同。對(duì)此，柯布自己的作品是很好的說明。自由平面的最大特點(diǎn)是：墻、柱脫離，分別成為獨(dú)立的構(gòu)件，其他如樓梯、坡道等構(gòu)件亦然。結(jié)果是，首先，“房間”的概念被弱化，取而代之的是“空間”概念。拋開了結(jié)構(gòu)的限制，室內(nèi)空間的形狀、比例、組織形式可以有無窮的變化，這是“自由”的淺層意義；其次，墻體的厚度不再重要，回歸成單純的分隔空間的線條，柱不參與空間的分割，回歸成單純的結(jié)構(gòu)件，構(gòu)件的屬性回歸了本質(zhì)，回歸了單純；第三，墻體和其他構(gòu)件產(chǎn)生了自足性，其本身成為可欣賞的對(duì)象，即：構(gòu)件的材料、質(zhì)地可以不再為所在的空間服務(wù)，而是單純的表達(dá)構(gòu)件本身，單純的裝飾不再是必須的，這是現(xiàn)代建筑審美的重要特征?？虏荚谠O(shè)計(jì)實(shí)踐中為了貫徹這些原則不惜矯枉過正：他的平面除非別無選擇，決不讓墻與柱發(fā)生關(guān)系，其他構(gòu)件亦然。為了方便墻的布置，柯布偏愛無梁的平板體系。直至現(xiàn)在，西方建筑仍然盡可能弱化梁的存在以求得空間的自由干凈。（而這在中國是極端非常規(guī)的。這種差異的優(yōu)劣無須討論，它直接代表審美的關(guān)注方向，是否認(rèn)可這樣的審美，是區(qū)分建筑觀現(xiàn)代與否的標(biāo)志。）

新建筑不是柯布的發(fā)明，柱板結(jié)構(gòu)在柯布出生前早已出現(xiàn)，在同一時(shí)期，格羅皮烏斯、密斯等很多建筑師都在做同樣的工作。而柯布在理論和實(shí)踐雙重角度，從美學(xué)的層次奠定了新建筑的體系，這是柯布最卓越的貢獻(xiàn)。

水平長窗：柯布對(duì)水平條窗的推崇，還是源于他對(duì)陽光、美景的基本的熱愛，在柯布的理想中，城市是充滿陽光，遍植綠樹的，在這樣的環(huán)境里，水平長窗就是很自然的結(jié)果?？吹郊夹g(shù)上的可能，并把它實(shí)現(xiàn)，這之中一定也包含著喜悅。不過說到底，水平長窗只是實(shí)踐自由立面的可能性之一。自由立面：沒有自由平面，就沒有自由立面。只有外墻脫離了最外側(cè)的那一排柱，立面才有了自由呈現(xiàn)的可能，這即是自由度。自由立面的基礎(chǔ)，就在于擺脫受力結(jié)構(gòu)對(duì)表皮的限制。可能性不等于必然性，自由不代表不克制?？虏嫉暮芏嘟ㄖ⒚鎸?shí)際是非?？酥频?，也都遵循柱網(wǎng)的模數(shù)，簡單而規(guī)整，但這種規(guī)整是主動(dòng)追求的，與限制下的規(guī)整有本質(zhì)的不同。

柯布一生所做的大都是低造價(jià)建筑，立面可用的材料十分有限。但反觀現(xiàn)在的建筑技術(shù)與手法，從玻璃幕墻到時(shí)髦的“表皮”，都與自由立面的精神契合。了解了自由平面和自由立面的意義，就容易分辨一個(gè)建筑是否是不現(xiàn)代的，我們反思一下，很容易看到的一類設(shè)計(jì)是：立面花哨漂亮，但平面上柱子緊貼外皮，這些通常不是具有現(xiàn)代精神的設(shè)計(jì)。五條原則出現(xiàn)的背景是：結(jié)構(gòu)技術(shù)的進(jìn)步，把建筑從受力構(gòu)件的包圍中解放出來了，帶來更廣泛的可能性，于是平面可以這么做了、立面、屋頂可以那么做了，等等。我想柯布總結(jié)五原則的目的在于告訴世人，這么做不僅是可以的，而且是應(yīng)該的，因?yàn)榛谶@樣體系的建筑，這樣做才是最美的?？虏纪ㄟ^他自己的建筑實(shí)踐，雄辯的向世人證明了這一點(diǎn)。

我們知道真理要經(jīng)得起時(shí)間的檢驗(yàn)，我們從現(xiàn)在的眼界重新審視和濃縮，五原則的其他三條可以劃去，剩下自由平面和自由立面，而這兩條其實(shí)是同一個(gè)事物的兩個(gè)側(cè)面，這個(gè)事物就是“自由”，自由是現(xiàn)代建筑的精神，不僅現(xiàn)在仍然適用，很可能還會(huì)一直適用下去。

怎樣理解“自由”？自由是一種整體和局部的關(guān)系，自由是一種狀態(tài)。自由的建筑中，每一個(gè)構(gòu)件都不被忽視，都發(fā)出自己的聲音，墻就是墻，柱就是柱，樓梯就是樓梯，都以獨(dú)立鮮明的姿態(tài)出現(xiàn)，不扭曲本身的性格。與此同時(shí)，每個(gè)構(gòu)件的聲音是得體的，和諧的空間在各個(gè)構(gòu)件的關(guān)系中呈現(xiàn)。這個(gè)道理跟人與人的關(guān)系，跟社會(huì)的情況是一樣的。

柯布提出的五原則在當(dāng)時(shí)有一點(diǎn)激進(jìn)性，但我覺得，五原則并不是要徹底顛覆既有的建筑傳統(tǒng)，它更多的是改變了我們看建筑的眼光，通過現(xiàn)代建筑的精神看建筑，就不是只看整體，還要用專注的目光來看待建筑細(xì)節(jié)的獨(dú)立性，就是每一個(gè)哪怕最普通的局部，都值得尊重并欣賞。這種目光是友善的，包容的，這種目光的交流，使現(xiàn)代建筑泛起人性的光輝。

五原則昭示的精神是自由，自由是人性最崇高的追求，是人類共同的天性。正是因?yàn)檫@共同的天性，柯布的毫不矯飾的作品才被理解和熱愛。自由是這個(gè)時(shí)代無法回避的精神，假使沒有柯布和它的五原則，我們會(huì)失去許多寶貴的遺產(chǎn)，現(xiàn)代建筑也許不會(huì)是這個(gè)樣子，但自由的精神是一定會(huì)存在的。

可惜的是，我們，中國現(xiàn)在的大多數(shù)建筑師，做著世界上最多最大的項(xiàng)目，卻偏偏隔離在世界的潮流之外。我們的建筑教育連現(xiàn)代建筑最基本的精神尚不能清晰完好的教授，實(shí)在是太可悲了。我想，作為一個(gè)建筑師，有意識(shí)的摒棄浮躁，回頭仔細(xì)體會(huì)一下80年前的建筑五原則，可能是非常值得做的一件事情。

第二篇：《柯布西耶和他的建筑思想》閱讀練習(xí)題

①上世紀(jì)二十年代，一位建筑師這樣規(guī)劃理想中的“光輝城市”：

②“一天早上，你在寬敞明亮的房間中醒來，室內(nèi)溫濕度宜人，這是因?yàn)榕鋫淞讼冗M(jìn)的中央空調(diào)系統(tǒng)。房屋的盡頭是一面完整的中空玻璃墻，清澈的綠意在窗外徐徐展開?！?/p>

③今天的我們驚訝地發(fā)現(xiàn)，某些瑰麗的想象，比如中央空調(diào)系統(tǒng)、玻璃幕墻等都已成為現(xiàn)實(shí)，而比現(xiàn)實(shí)更瑰麗的想象，比如底層架空所帶來的蒼茫、道路從地面刪除所帶來的自由，這種全新的空間秩序，依然誘惑著今天城市鋼筋森林里的我們。

④這位建筑師就是勒·柯布西耶。1887年10月6日，他出生于瑞士，由畫家轉(zhuǎn)型為建筑師。

⑤柯布西耶的“光輝城市”是20張城市規(guī)劃圖紙，筆筆傾注著他的心血，像一本詳盡的城市使用說明書。是一本厚厚的書籍，他在書中寫盡了對(duì)未來城市的狂熱想象。是一種深刻的批評(píng)，針對(duì)的不是科技本身，而是科技的濫用所造成的重大社會(huì)危機(jī)；不是財(cái)富的積累，而是以財(cái)富積累為唯一目的的經(jīng)濟(jì)發(fā)展模式；不是人類正常的欲望和享樂，而是貪婪、惰性和懦弱，以及各種各樣的揮霍。

⑥柯布西耶的建筑思想分為兩個(gè)階段：上世紀(jì)50年代以前是合理主義、功能主義和國家樣式的主要領(lǐng)袖，以1929年的薩伏伊別墅和1945年的馬賽公寓為代表，許多建筑結(jié)構(gòu)承重墻被鋼筋水泥取代，建筑往往騰空于地面之上；上世紀(jì)50年代以后，他轉(zhuǎn)向表現(xiàn)主義、后現(xiàn)代主義，朗香教堂就是這一時(shí)期的代表作。

⑦在柯布西耶所有的經(jīng)典作品中，朗香教堂是經(jīng)典中的經(jīng)典。

⑧朗香教堂，位于法國東部的一座小山頂上，1950開始設(shè)計(jì)建造，1955年落成，被譽(yù)為20世紀(jì)最為震撼、最具表現(xiàn)力的建筑之一。柯布西耶摒棄了傳統(tǒng)教堂的模式和現(xiàn)代建筑的一般手法，把它當(dāng)作一件混凝土雕塑作品加以創(chuàng)造。

⑨教堂的墻體幾乎全是彎曲的，有的還傾斜著；塔樓式祈禱室的外形更像是座糧倉；沉重的屋頂向上翻卷著，與墻體之間留有一條40厘米的帶形空隙；粗糙的白色墻面上開著大大小小的方形或矩形的窗洞，鑲嵌著彩色玻璃；入口隱在卷曲墻面與塔樓交接的夾縫處；室內(nèi)主要空間也不規(guī)則，墻面呈弧線形，光線在透過屋頂與墻面之間的縫隙進(jìn)入室內(nèi)之前，又被彩色玻璃所暈染，產(chǎn)生一種神秘的美感。

⑩教堂的獨(dú)特之處還在于它有著一個(gè)非常復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。上世紀(jì)初期，柯布西耶和他的現(xiàn)代主義同道們與美術(shù)界的立體主義派遙相呼應(yīng)，提倡建筑形象的簡化、凈化，在這段時(shí)期，他設(shè)計(jì)的住宅即使內(nèi)部相當(dāng)復(fù)雜，其外形總是處理得光凈簡單。薩伏伊別墅即是一例，人們很難找出一個(gè)比它更簡單光溜的建筑名作了。然而，在朗香教堂這個(gè)項(xiàng)目上，柯布西耶走向簡單的反面——復(fù)雜。小小的教堂，四個(gè)立面竟然各個(gè)不同，僅看一面，絕想象不出其他三面會(huì)是什么模樣；即使看完了三面，第四面仍會(huì)給你驚嘆。再看那些窗洞形式，也是不怕變化，只怕單一。再看那些墻線和由它們組成的室內(nèi)空間，也都極其復(fù)雜。平面構(gòu)圖上既找不出一點(diǎn)規(guī)律，立面上也看不出所謂章法。中世紀(jì)哥特式教堂的復(fù)雜在于細(xì)部，總體布局結(jié)構(gòu)倒是簡單的，而朗香教堂的復(fù)雜性則相反，它是結(jié)構(gòu)性的復(fù)雜，其細(xì)部，無論是墻面還是屋檐，外觀還是內(nèi)里，仍然相當(dāng)簡潔。

面對(duì)如此怪異的建筑，人們總要追問，設(shè)計(jì)靈感從何而來。在教堂建成好多年后，柯布西耶又回到那里，他同樣喃喃自問：“我是從哪兒想出這一切來的呢?”他不是故弄玄虛，也不是賣關(guān)子，藝術(shù)創(chuàng)作至今仍是難以說清的問題。關(guān)于自己的創(chuàng)作方法，他曾經(jīng)這樣描述：“一項(xiàng)任務(wù)定下來，我的習(xí)慣是把它存在腦子里，幾個(gè)月一筆也不畫。人的大腦有獨(dú)立性，那是一個(gè)匣子，盡可往里面大量存入同問題有關(guān)的資料信息，讓其在里面游動(dòng)、煨煮、發(fā)酵。然后，到某一天，喀噠一下，內(nèi)在的自然創(chuàng)造過程完成。我抓過一支鉛筆，一根炭條，一些色筆（顏色很關(guān)鍵），在紙上畫來畫去，想法就出來了。”針對(duì)朗香教堂，他說希望能設(shè)計(jì)成一個(gè)“視覺領(lǐng)域的聽覺器件”、“像（人的）聽覺器官一樣柔軟、微妙、精確和不容改變”。用建筑激發(fā)音響效果，真是一個(gè)別開生面的立意。

1、柯布西耶關(guān)于“光輝城市”的20張規(guī)劃圖紙是針對(duì)哪些城市發(fā)展弊端而構(gòu)畫的？（3分）

2、第⑩段中作者寫到中世紀(jì)哥特式教堂的用意理解不正確的一項(xiàng)是。（2分）

A、說明朗香教堂與中世紀(jì)哥特式教堂都有復(fù)雜的特點(diǎn)。

B、通過對(duì)比突出朗香教堂的結(jié)構(gòu)性復(fù)雜的更勝一籌。

C、通過比較說明朗香教堂是結(jié)構(gòu)性復(fù)雜而細(xì)部簡潔。

D、為了體現(xiàn)柯布西耶建筑思想的突破章法與眾不同。

3、第⑾段中“視覺領(lǐng)域的聽覺器件”的含義是。（2分）

4、文中插入“朗香教堂”的圖片的作用是。（2分）

5、概括朗香教堂的獨(dú)特性。（4分）

6、《板橋題畫三則》中鄭板橋畫竹“意在筆先，趣在法外”，這一點(diǎn)也體現(xiàn)在柯布西耶的建筑創(chuàng)作中，請(qǐng)結(jié)合文意具體闡釋。（4分）

第三篇：數(shù)學(xué)史話-柯西

柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857），十九世紀(jì)前半世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家。在大學(xué)畢業(yè)后當(dāng)土木工程師，因數(shù)學(xué)上的成就被推薦為科學(xué)院院士，同時(shí)任工科大學(xué)教授。后來在巴黎大學(xué)任教授，一直到逝世。他信仰羅馬天主教，追隨保皇黨，終生堅(jiān)守氣節(jié)。他在學(xué)術(shù)上成果相當(dāng)多，他的研究是多方面的。在代數(shù)學(xué)上，他有行列式論和群論的創(chuàng)始性的功績；在理論物理學(xué)、光學(xué)、彈性理論等方面，也有顯著的貢獻(xiàn)。他的特長是在分析學(xué)方面，他對(duì)微積分給出了嚴(yán)密的基礎(chǔ)。他還證明了復(fù)變函數(shù)論的主要定理以及在實(shí)變數(shù)和復(fù)變數(shù)的情況下微分方程解的存在定理，這些都是很重要的。他的全集26卷，僅次于歐拉，居第二位?？挛魇菤v史上有數(shù)的大分析學(xué)家之一。幼年時(shí)在父親的教導(dǎo)下學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。拉格朗日、拉普拉斯常和他的父親交往，曾預(yù)言柯西日后必成大器。1805年柯西入理工科大學(xué)，1816年成為那里的教授。1830年法王查理十世被逐，路易。菲利普稱帝。柯西由于拒絕作效忠宣誓，被革去職位，出走國外。

1838年柯西返回法國，法蘭西學(xué)院給他提供了一個(gè)要職，但是宣誓的要求仍然成為接納他的障礙。1848年路易。菲利普君主政體被推翻，成立了法蘭西第二共和國，宣誓的規(guī)定被廢除，柯西終于成為理工科大學(xué)的教授。1852年發(fā)生政變，共和國又變成帝國，恢復(fù)了宣誓儀式，唯獨(dú)柯西和阿拉果（Ｄ.Ａｒａｇｏ 1786－1853 法國物理學(xué)家）可以免除。1821年，在拉普拉斯和泊松的鼓勵(lì)下，柯西出版了《分析教程》、《無窮小計(jì)算講義》、《無窮小計(jì)算在幾何中的應(yīng)用》這幾部劃時(shí)代的著作。他給出了分析學(xué)一系列基本概念的嚴(yán)格定義?？挛鞯臉O限定義至今還在普遍使用，連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、無窮級(jí)數(shù)的和等概念也建立在較為堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上。

現(xiàn)今所謂的柯西定義或ε－δ方法是半個(gè)世紀(jì)后經(jīng)過維爾斯特拉斯的加工才完成的。柯西時(shí)代實(shí)數(shù)的嚴(yán)格理論還未建立起來，因此極限理論也就不可能完成?？挛髟?821年提出ε方法（后來又改成δ），即所謂極限概念的算術(shù)化，把整個(gè)極限過程用一系列不等式來刻畫，使無窮的運(yùn)算化成一系列不等式的推導(dǎo)。后來維爾斯特拉斯將ε和δ聯(lián)系起來，完成了ε－δ方法。

第四篇：關(guān)于柯西不等式的證明

關(guān)于柯西不等式的證明

王念

數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 07 級(jí) 指導(dǎo)老師：吳明忠

摘要：研究柯西不等式的多種證明方法，得到一些有用的結(jié)論，并簡單介紹一些它的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：柯西不等式、數(shù)學(xué)歸納法、二次型正定、歐式空間向量內(nèi)積、詹森不等式，二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。

Cauchy inequality is an important inequality.It has aroused people’s interest and its widespread application.In this paper、quadratic form、European space inner product、and the relation between Cauchy inequality.Wang Ni an

Xxxxxxxxxxx Grade 07 Instructor: Wu Ming Zhong

Abstract: The paper discusses the certifying ways of Cauchy inequality then gets some useful conduction and introduces some appliances.Key words: Cauchy inequality;quadratic form;inner product;Jensen inequality;mathematic Expectation.柯西不等式是大家熟知的一個(gè)重要不等式，它的結(jié)構(gòu)和諧對(duì)稱、以及廣泛的運(yùn)用引起了人們的興趣和討論。本文運(yùn)用高等代數(shù)、微積分的基本內(nèi)容來證明柯西不等式。柯西不等式的內(nèi)容 1.1

(a1b1?a2b2?....?anbn)2?(a12?a22?....an2)2(b12?b22?....?bn2)2(aibi?R,i?1,2......n)

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2?.....?an?0或bi?kai時(shí)成立（k為常數(shù)，i=1,2…..n）.1.2 設(shè)a1,a2,.....an及b1,b2,.....bn為任意實(shí)數(shù)則不等式(?aibi)?(?a)(?bi2)成2

i?1

i?1

i?1

n

n

n

立，當(dāng)且僅當(dāng)bi?kai（i=1,2…..n）取等號(hào)。1,2這兩種形式就是著名的柯西不

等式?？挛鞑坏仁降淖C明 2.1構(gòu)造二次函數(shù)，證明柯西不等式。(其關(guān)鍵在于利用二次函數(shù)??0時(shí)函數(shù)f(x)?0

f(x)?(a1x?b1)2?(a2x?b2)2?....?(anx?bn)2

?(a12?a22?....?an2)x2?2(a1b1?a2b2?....?anbn)x ?(b12?b22?....bn2)顯然f(x)?0

又?a12?a22?....ann?0則利用??0可得

??4(a1b1?a2b2?.....?anbn)2?4(a12?a22?....?ann)(b?b2?.....?bn)?0即

n

(a1b1?a2b2?....?anbn)2?(a12?a22?....?an2)(b?b2?....?bn)

當(dāng)且僅當(dāng)aix?bi?0(i?1,2....n)即

aa1a2

??.......?n是等號(hào)成立。b1b2bn

2.2 利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。（關(guān)鍵把握由特殊到一般情況的嚴(yán)密性）

（1）當(dāng)n?1時(shí)左式=?a1b1?右式=?a1b1?

顯然左式=右式 當(dāng)

n?2

時(shí)，右式

??a12?a2??b12?b22???a1b1???a2b2??a22b12?a12b22

??a1b1???a2b2??2a1a2b1b2??a1b2?a2b2??左式

僅當(dāng)即 a2b1?a1b2 即

a1a2

?時(shí)等號(hào)成立 b1b2

故n?1,2時(shí) 不等式成立

（2）假設(shè)n?k?k??,k?2?時(shí)，不等式成立

2k???ak即 ?a1b1?a2b2???akbk???a12?a2??b12?b22???bk2?

當(dāng) bi?kai，k為常數(shù)，i?1,2?n 或a1?a2???ak?0時(shí)等號(hào)成立

??a12?a2?....?ak

設(shè)B?b12?b22?....?bk2

C?a1b1?a2b2?....?akbk

222222則???ak?1????bk?1??????bk?1?ak?1bk?1?Bak?1 22?C2?2Cak?1bk?1?ak?1bk?1??C?ak?1bk?1? 2222?a1?a2???ak?ak?1

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?b

??a1b1?a2b2???akbk?ak?1bk?1?

當(dāng) bi?kai，k為常數(shù)，i?1,2?n 或a1?a2???ak?0時(shí)等號(hào)成立

即n?k?1時(shí)不等式成立 綜上所述原柯西不等式得證。

2.3 利用基本不等式（均值不等式）進(jìn)行證明（關(guān)鍵在于利用它 “形式”）由于x?y?2xy(x,y?

R)，令x?

y?

?

ai22?ak2

k?1

n

n

?

bi22?bk2

k?1n

(i?1,2.......n)

將N

不等式相加得：

?ab

ii

??aibi?

i?1n

?

?a

i?1

nk?1

n

i

?

?b

i?1nk?1

n

i

?1

2?ak22?bk2

n

n

n

i?1

k?1

即(?aibi)?(?ai)(?bk2)

i?1

原柯西不等式得證。

2.4 利用二次正定型理論進(jìn)行證明（關(guān)鍵在于理解二次型正定的定義）正定二次型定義：R上一個(gè)n元二次型q(x1,x2,....xn)可以看成定義在實(shí)數(shù)域上n個(gè)變量的實(shí)函數(shù)。如果對(duì)于變量x1,x2,....xn的每一組不全為零的值，函數(shù)值

q(x1,x2,....xn)都是正數(shù)，那么就稱q(x1,x2,....xn)是一個(gè)正定二次型。

?(aix1?bix2)?ai2x12?bi2x22?2aibix1x2?0(i?1,2,.....n)

n

n

n

有(?ai)x?(?bi)x2?(2?aibi)x1x2?0

i?1

i?1

i?1

設(shè)二次型 f(x1,x2)?(?ai)x?(?bi)x2?(2?aibi)x1x2?0

i?1

i?1

i?1

nnn

故f為正定必有二次型矩陣

?n2??aii?1

A??n

?

??aibi?i?1

n

?ab?ii?i?1

?正定 n

2?b?i?i?1?

n

n

n

(?ai)(?bi)?(?aibi)2?0

則A?0,即

i?1

i?1

i?1

?(?aibi)2?(?ai2)(?bi2)

i?1

i?1

i?1

nnn

當(dāng)

aa1a2

??.......?n時(shí)等號(hào)成立。b1b2bn

故原不等式成立，及柯西不等式得證。2.5 利用歐式空間中內(nèi)積的性質(zhì)進(jìn)行證明。

定理：在一個(gè)歐式空間里，對(duì)于任意向量?,?，有不等式：

??,??2???,????,??;當(dāng)且僅當(dāng)?與?線性相關(guān)時(shí)，才取等號(hào)。

證 如果?與?線性相關(guān)，那么或者??0，或者??a?，不論哪一種情況都有

??,??2???,????,??.現(xiàn)在設(shè)?與?線性無關(guān)。那么對(duì)于任意實(shí)數(shù)t來說，t????0，于是

?t???,t?????0,即 t2??,???2t??,????,?????,???0.最后不等式左端是t的一個(gè)二次三項(xiàng)式。由于它對(duì)于t的任意是數(shù)值來說都是正數(shù)，所以它的判別式一定小于零，即

??,??2???,????,???0或??,??2???,????,??.又在Rn里，對(duì)于任意兩個(gè)向量

??(x1,x2,....xn),??(y1,y2,....yn),規(guī)定（必須規(guī)定）??,???x1y1?x2y2?.....?xnyn.容易驗(yàn)證，關(guān)于內(nèi)積的公理被滿足，因而R對(duì)于這樣定義的內(nèi)積來說作成一個(gè)歐式空

n

間.再由不等式??,??2???,????,??;推出對(duì)于任意實(shí)數(shù)a1,a2,....an,b1,b2,....bn,有不等式

(a1b1?....?anbn)2?(a12?....?an2)(b12?....?bn2).即柯西不等式得證。2.6 利用行列式進(jìn)行證明

n

n

n

證 ?(?ai)(?b)?(?aibi)?

i?1

i?1

i?1

?a

i?1ni?1

n

i

?ab

i?1n

2ii?1

n

ii

?ab?b

iin

n

???

i?1j?1

ai2aibi

ajbjbj2

?

1?i?j?n

?

(aibj?ajbi)2?0

若令a?(a1,a2,?an),b?(b1,b2?bn)則可以得到：

(?aibi)?(a)(b)?1?i 即柯西不等式得證。

i?1

i?1

i?1

n

n

n

2.7 利用詹森不等式進(jìn)行證明

考察函數(shù)?(x)?x2,(x?0),??(x)?2x,???(x)?2?0,故?(x)?x2是(0,??)上的凸函數(shù)，詹森（Jensen）不等式

?n

??PkXk?k?1n?

??Pk?k?1

n

n

?2??PkXk??k?1n(其中，P,2,?n),得 k?0,k?1?Pk??

k?1?

n

n

(?PkXk)?(?Pk)(?PKxk2)

k?1

k?1

k?1

nnn

ak22

上式中令Pk?bk,Xk?即（?PkXk)?(?bk)(?ak2)

bkk?1k?1k?1

從而不等式成立。

2.8 利用二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望證明

表格 2

1n1n21n222

E(??)??aibi，E???ai,E???bi

ni?1ni?1ni?1

由E(??)?E?2E?2

1n1n21n22

所以有(?aibi)?(?ai)(?bi)

ni?1ni?1ni?1

即(?aibi)?(?ai)(?bi2)

i?1

i?1

i?1

nnn

則柯西不等式得證。

第五篇：柯西不等式的證明

柯西不等式的證明

二維形式的證明

(a^2+b^2)(c^2+d^2)（a,b,c,d∈R)

=a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^

2=a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2

=(ac+bd)^2+(ad－bc)^2

≥(ac+bd)^2，等號(hào)在且僅在ad－bc=0即ad=bc時(shí)成立。

三角形式的證明

√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]

證明： [√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2*√(a^2+b^2)*√(c^2+d^2)≥a^2+b^2+c^2+d^2+2*|a*c+b*d| 注： | |表示絕對(duì)值。*表示乘

≥a^2+b^2+c^2+d^2-2（a*c+b*d）

=a^2-2*a*c+c^2+b^2-2bd+d^2

=(a-c)^2+(b-d)^2

兩邊開根號(hào)即得 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]

一般形式的證明

求證：(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai·bi)^2

證明：

當(dāng)a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0時(shí)，一般形式顯然成立

令A(yù)=∑ai^2 B=∑ai·bi C=∑bi^2

當(dāng)a1，a2，…，an中至少有一個(gè)不為零時(shí)，可知A>0

構(gòu)造二次函數(shù)f(x)=Ax^2+2Bx+C，（請(qǐng)注意，一次項(xiàng)系數(shù)是2B，不是B）展開得：f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑(ai·x+bi)^2≥0

故f(x)的判別式△=4B^2－4AC≤0，（請(qǐng)大家注意：一元二次方程ax^2+bx+c=0的判別式確實(shí)是△=b^2-4ac，但是這里的方程Ax^2+2Bx+C = 0已經(jīng)發(fā)生如下替換a = A，b = 2B，c = C，這里面b已經(jīng)換成了2B，因而導(dǎo)致很多網(wǎng)友的誤解。此步若錯(cuò)，柯西不等式就無法證明了?。┮祈?xiàng)得AC≥B^2，欲證不等式已得證。

向量形式的證明

令m=(a1, a2, …, an)，n=(b1, b2, …, bn)

m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos=√(a1^2+a2^2+…+an^2)×√(b1^2+b2^2+…+bn^2)×cos

∵cos≤

1∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1^2+a2^2+…+an^2)×√(b1^2+b2^2+…+bn^2)注：“√”表示平方根。

注：以上僅是柯西不等式部分形式的證明。

【柯西不等式的應(yīng)用】 柯西不等式在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時(shí)是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)給予極大的重視。

巧拆常數(shù)證不等式

例：設(shè)a、b、c為正數(shù)且互不相等。求證：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)∵a、b、c 均為正數(shù)

∴為證結(jié)論正確，只需證：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9

而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)

又9=(1+1+1)^2 ∴只需證：

2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)^2=9

又a、b、c互不相等，故等號(hào)成立條件無法滿足

∴原不等式成立

求某些函數(shù)最值

例：求函數(shù)y=3√(x－5)+4√(9－x)的最大值。(注：“√”表示平方根)

函數(shù)的定義域?yàn)閇5, 9]，y>0

y=3√(x－5)+4√(9－x)≤√(3^2+4^2)×√{ [√(x－5)] ^2 + [√(9－x)] ^2 }=5×2=10函數(shù)僅在4√(x－5)=3√(9－x)，即x=6.44時(shí)取到。

以上只是柯西不等式的部分示例。

更多示例請(qǐng)參考有關(guān)文獻(xiàn)。三角形式證明 :兩邊同時(shí)平方,展開,消去同樣的項(xiàng),剩余部分再平方,消去同樣的項(xiàng),得一完全平方式,大于或等于0,得證

代數(shù)形式

設(shè)a1，a2，...an及b1，b2，...bn為任意實(shí)數(shù)，則（a1b1+a2b2+...+anbn）①，當(dāng)且僅當(dāng)a1/b1=a2/b2=...=an/bn（規(guī)定ai=0時(shí)，bi=0）時(shí)等號(hào)成立.推廣形式的證明

推廣形式為

(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n(*)

證明如下

記A1=x1+y1+…,A2=x2+y2+…,….由平均值不等式得(1/n)(x1/A1+x2/A2+…+xn/An)≥[x1*x2*…*xn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

=[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

(1/n)(y1/A1+y2/A2+…+yn/An)≥[y1*y2*…*yn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

=[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n), …… 上述m個(gè)不等式疊加得

即即 即1≥[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+…(A1*A2*…*An)^(1/n)≥(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…A1*A2*…*An≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n

成立.（注：推廣形式即為卡爾松不等式）

(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n，因此,不等式(*)