第一篇：2016高教杯數(shù)學建?！題分析

【百納知識提供】B 題分析初稿，旨在交流，注意：這只是看了 3 篇文章，找到的思路，請大家多看文獻，思路會很多！我 們后續(xù)會整理更多的思路！

關(guān)鍵詞：

1.評價指標體系，評價開放對周邊道路通行的效果。

2.車輛通行的數(shù)學模型，研究小區(qū)開放對周邊道路通行的影響。

3.小區(qū)開放產(chǎn)生的效果，可能會與小區(qū)結(jié)構(gòu)及周邊道路結(jié)構(gòu)、車流量有關(guān)。

請選取或構(gòu)建不同類型的小區(qū)，應用你們建立的模型，定量比較各類型小區(qū)開放 前后對道路通行的影響。

4.根據(jù)你們的研究結(jié)果，從交通通行的角度，向城市規(guī)劃和交通管理部門 提出你們關(guān)于小區(qū)開放的合理化建議。相關(guān)資料整理：

1.評價指標體系，評價開放對周邊道路通行的效果。

用層次分析 AHP 進行了研究。

我們要做的可能是強調(diào)類似哪些指標是針對開放對周邊道路通行的效果，不 屬于這類的指標可以刪除。

2.車輛通行的數(shù)學模型，研究小區(qū)開放對周邊道路通行的影響。

是不是建模就是選取小區(qū)附件的某些范圍研究，這就是理論依據(jù)。

簡單的車輛模型，可以化個節(jié)點，圖，權(quán)重。分析流量

用其中的符號定義等，后面的應急什么別管，太復雜。利用這里模型分析第 一個問題中指標系統(tǒng)的指標。

3.小區(qū)開放產(chǎn)生的效果，可能會與小區(qū)結(jié)構(gòu)及周邊道路結(jié)構(gòu)、車流量有關(guān)。

請選取或構(gòu)建不同類型的小區(qū)，應用你們建立的模型，定量比較各類型小區(qū)開放 前后對道路通行的影響。小區(qū)結(jié)構(gòu)：

我們要定量分析幾類小區(qū)的開放效果，第 4 問寫建議時候，可能鴨血，那些小區(qū) 就不要開放了，那些很有必要，等等。

利用前兩個模型，對不同小區(qū)進行計算。要考慮小區(qū)結(jié)構(gòu)及周邊道路結(jié)構(gòu)、車流 量等的影響。就是調(diào)參數(shù)，算結(jié)果。

4.根據(jù)你們的研究結(jié)果，從交通通行的角度，向城市規(guī)劃和交通管理部門 提出你們關(guān)于小區(qū)開放的合理化建議。

寫建議，寫建議時候注意文章說了兩種觀點，除了開放小區(qū)可能引發(fā)的安保 等問題外，議論的焦點之一是：開放小區(qū)能否達到優(yōu)化路網(wǎng)結(jié)構(gòu)，提高道路通行 能力，改善交通狀況的目的，以及改善效果如何。一種觀點認為封閉式小區(qū)破壞 了城市路網(wǎng)結(jié)構(gòu)，堵塞了城市“毛細血管”，容易造成交通阻塞。小區(qū)開放后，路網(wǎng)密度提高，道路面積增加，通行能力自然會有提升。也有人認為這與小區(qū)面 積、位置、外部及內(nèi)部道路狀況等諸多因素有關(guān)，不能一概而論。還有人認為小 區(qū)開放后，雖然可通行道路增多了，相應地，小區(qū)周邊主路上進出小區(qū)的交叉路 口的車輛也會增多，也可能會影響主路的通行速度。

模型要做的是解答這些觀點，比如哪類小區(qū)結(jié)構(gòu)，哪類周邊道路結(jié)構(gòu)、車流 量等適合第一個觀點，那個是第二個，或者有新的觀點，等等。

可參考開放策略《基于城市道路網(wǎng)絡脆弱性的小區(qū)開放策略研究_詹斌》 其他：

大神可做更復雜的流量模型《城市混合交通流微觀仿真建模研究_鄺先驗》 可參考，元胞自動機模型。

第二篇：2014高教社杯數(shù)學建模A題解法

摘要

本文針對嫦娥三號軟著陸軌道設計與控制策略的實際問題，以理論力學（萬有引力、開普勒定律、萬能守恒定律等）和衛(wèi)星力學知識為理論基礎，結(jié)合微分方程和微元法，借助MATLAB軟件解決了題目所要求解的問題。

針對問題（1），在合理的假設基礎上，利用物理理論知識、解析幾何知識和微元法，分析并求解出近月點和遠月點的位置，即139.1097。再運用能量守恒定律和相關(guān)數(shù)據(jù)，計算出速度v1（近月點的速度）=1750.78m/s,v2（遠月點的速度）=1669.77m/s，最后利用曲線的切線方程，代入點（近月點與遠月點）的坐標求值，計算出方向余弦即為相應的速度方向。針對問題（2）

關(guān)鍵詞：模糊評判，聚類分析，流體交通量，排隊論，多元非線性回歸

一、問題重述

嫦娥三號于2013年12月2日1時30分成功發(fā)射，12月6日抵達月球軌道。嫦娥三號在著陸準備軌道上的運行質(zhì)量為2.4t，其安裝在下部的主減速發(fā)動機能夠產(chǎn)生1500N到7500N的可調(diào)節(jié)推力，其比沖（即單位質(zhì)量的推進劑產(chǎn)生的推力）為2940m/s，可以滿足調(diào)整速度的控制要求。在四周安裝有姿態(tài)調(diào)整發(fā)動機，在給定主減速發(fā)動機的推力方向后，能夠自動通過多個發(fā)動機的脈沖組合實現(xiàn)各種姿態(tài)的調(diào)整控制。嫦娥三號的預定著陸點為19.51W，44.12N，海拔為-2641m（見附件1）。嫦娥三號在高速飛行的情況下，要保證準確地在月球預定區(qū)域內(nèi)實現(xiàn)軟著陸，關(guān)鍵問題是著陸軌道與控制策略的設計。其著陸軌道設計的基本要求：著陸準備軌道為近月點15km，遠月點100km的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點至著陸點，其軟著陸過程共分為6個階段（見附2），要求滿足每個階段在關(guān)鍵點所處的狀態(tài)；盡量減少軟著陸過程的燃料消耗。

根據(jù)上述的基本要求，請你們建立數(shù)學模型解決下面的問題：

（1）確定著陸準備軌道近月點和遠月點的位置，以及嫦娥三號相應速度的大小與方向。

（2）確定嫦娥三號的著陸軌道和在6個階段的最優(yōu)控制策略。（3）對于你們設計的著陸軌道和控制策略做相應的誤差分析和敏感性分析。

二、問題分析

2.1問題（1）的分析 首先根據(jù)問題的假設、題目中所提供的數(shù)據(jù)及圖片分析，可以知道嫦娥三號繞月球的軌道是由圓形軌道變?yōu)闄E圓形軌道，借助開普勒定律、能量守恒定律求解出近月點的速度。

為了確定近月點和元月點的精確位置及相應的速度方向，我們建立以赤道（月球的赤道）平面為xoy平面、月心為原點、月心與零度經(jīng)線和零度緯線交線的交點的連線為坐標軸的坐標系和赤道（月球的赤道）平面為xoy平面，為極軸（月球的極軸）為z軸建立空間直角坐標系，x軸與極坐標系的軸相重合。

首先根據(jù)著陸點的經(jīng)度、緯度及月球的半徑求解出著陸點和近月點（帶參數(shù)?)的空間直角坐標。其次利用兩點間的距離公式，并借助MATLAB軟件求解出近月點與著陸點最短距離。從而計算出?（近月點的經(jīng)度）=。

最后利用衛(wèi)星的軌跡是以月心為其中一個焦點，以近月點與遠月點的距離為長軸的橢圓，從而求解出衛(wèi)星的軌跡方程，再運用隱函數(shù)求導的應用的知識，求解出在近月點和遠月點的方向?qū)?shù)，進而求解近月點和遠月點方向余即為近月點和遠月點的速度的方向。2.2問題（2）的分析

首先在根據(jù)題意，將嫦娥三號軟著陸問題，分為6個階段依次為主減速、快速調(diào)整、粗避障、精避障、緩慢下降、自由下降，我們先將6個階段分為4個階段，依次為第一階段（主減速和快速調(diào)整）、第二階段（粗避障）

第三階段(精避障),第四階段（緩慢下降和自由下降）。其次在第一階段

粗避障階段，嫦娥三號懸停在月球表面約2400米上方，對星下月表進行二維和三維成像，利用遺傳算法的思想，從圖像中先隨機選取部分點，能直接從三維圖像中得知該點的海拔高度，再分別掃描這些點附近的地貌，找出一些地勢平坦的區(qū)域，我們用區(qū)域內(nèi)所有點與中心點海拔的均方差作為地勢判斷依據(jù)之一，保留這些坐標，并進行重新組合，并改變某些坐標以便能獲得其他新區(qū)域的坐標，再次搜索地勢平坦的區(qū)域，重復進行多次搜索，直到?jīng)]有出現(xiàn)崎嶇地勢的時候，我們將此時地勢最平坦的地方作為全局最優(yōu)降落地點

三、模型假設

1、不考慮空間飛行器上各點因燃料消耗而產(chǎn)生的位移；

2、在對衛(wèi)星和空間飛行器進行軌道估計時，認為作用于其上的所有外力都通過其質(zhì)心；

3、衛(wèi)星和空間飛行器的運動是在真空中進行的；

4、衛(wèi)星只受重力影響，空間飛行器除自身推力外只受重力影響；

5、衛(wèi)星的觀測圖片及數(shù)據(jù)精準；

6、四、變量與符號說明

C0 一條車道的基本通行能力 連續(xù)車流的車頭間距 n 條車道的基本通行能力 排隊長度 車流量

橫斷面通行能力系數(shù)車流量 持續(xù)時間 L C y x1 x2 x3

五、模型建立與求解

5.1 問題(1)的分析、模型建立與求解 5.1.1建模準備（1）開普勒定律

開普勒第一定律開普勒第一定律開普勒第一定律，也稱橢圓定律：每一個行星都沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點中。開普勒第二定律開普勒定律開普勒第二定律，也稱面積定律：在相等時間內(nèi)，太陽和運動著的行星的連線所掃過的面積都是相等的。這一定律實際揭示了行星繞太陽公轉(zhuǎn)的角動量守恒。用公式表示為開普勒定律開普勒第

三定律開普勒定律開普勒第三定律，也稱調(diào)和定律：各個行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方和它們的橢圓軌道的半長軸的立方成正比。由這一定律不難導出：行星與太陽之間的引力與半徑的平方成反比。這是牛頓的萬有引力定

a3律的一個重要基礎。用公式表示為2?K開普勒定律 T 這里，是行星公轉(zhuǎn)軌道半長軸，是行星公轉(zhuǎn)周期，是常數(shù)。（2）萬有引力

萬有引力：任意兩個質(zhì)點有通過連心線方向上的力相互吸引。該引力大小與它們質(zhì)量的乘積成正比與它們距離的平方成反比，與兩物體的化學組成和其間介質(zhì)種類無關(guān)。即： M1M2，r2 ?11 其中M1，M2為兩物體的質(zhì)量，G?6.67?10Nm.2kg.2（牛頓每平方米二次方千F?G 克）

5.1.2 模型的建立

根據(jù)以上的分析，建立以月球赤道平面為xOy平面,月心為原點O、Ox為月心與零度經(jīng)線和零度緯線交線的交點的連線，Oz為極軸（月球的極軸），Oy與Ox和Oz滿足右手標架，建立空間直角坐標系(如圖5-1所示）。圖5-1 衛(wèi)星繞月軌跡及軟著陸軌跡

由于著陸點在球面上且近月點與遠月點是由月球的經(jīng)度、緯度及高度唯一確定，在此為了便于計算 將極坐標轉(zhuǎn)化為空間直角坐標，并代數(shù)題中相關(guān)數(shù)據(jù)，反解出經(jīng)度?。極坐標轉(zhuǎn)化為空間直角坐標 ?x?rsin?cos??即：?y?rsin?sin? ?z?rcos??（5.1.1）

x'?rsin(90-?）cos(-?)?'?y?rsin(90-?）cos(-?)（5.1.2）?z'?rcos(90-?）?

距離公式：

d?（5.1.3）其中：?為緯度；?為經(jīng)度；r為嫦娥三號距月心的距離；d為嫦娥三號距著陸點的距離；根據(jù)能量守恒、開普勒第二定律（面積定律），建立以下模型 即： r1v1?r2v2?

?（5.1.4）?1122mv1?mgh?mv2?mgH??22 則近月點的速度，近月點的速度：

??v1?? ?（5.1.5）?v??2?

其中：m為衛(wèi)星的質(zhì)量，h1為海拔高度，h近月點距月球表面的距離； r1?h?r0?h1，r2?H?r0?h1，r0月球半徑，H遠月點距月球表面的距離，g月球重力加速度，v1近月點的速度，v2近月點的速度。5.1.3模型的求解

5.1.3.1近月點與遠月點的位置

根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)以上分析，可知： ??0,h?15000m,r0?1737013m,h1??2641m 將以上數(shù)據(jù)代入（5.1.1）式可得，著陸點及近月點的空間直角坐標分別為：

?x0?r0sin(90??)cos?????r0sin(90?19.51)cos??44.12????y0?r0sin(90??)sin?????r0sin(90?19.51)sin??44.12?（5.1.6）?z?rcos(90??)?r0cos(90?19.51)??00 ?x'?rsin(90-?）cos(-?)=(r0?h)cos??'?y?rsin(90-?）sin(-?)=-(r0?h)sin? ?z'?rcos(90-?）=0?

（5.1.7）再將（5.1.6）式和（5.1.7）式代入（5.1.3）式可得關(guān)于?與d（近月點和著陸點距離）的函數(shù)，？利用Mathematica 5.0編程求解可得：??-139.107 5.1.3.2近月點與遠月點的速度大小及方向

近月點與遠月點的速度方向，即為相應速度在x軸與y軸方向上的投影（如圖5-2所示）

圖5-2近月點與遠月點的速度方向示意圖 由圖易知：

5.2 模型二的建立 5.2.1模型準備 5.2.1.1系統(tǒng)模型

1、著陸器的動力下降段一般從15km左右的軌道高度開始，下降到月球表面的時間比較短，在幾百秒范圍內(nèi)，所以可以不考慮月球引力攝動。月球自轉(zhuǎn)速度比較小，也可忽略。因此，可以利用二體模型描述系統(tǒng)的運動。建立圖5-2所示的著陸坐標系，并假設著陸軌道在縱向平面內(nèi)，令月心為坐標原點，Oy指向動力下降段的開始制動點，Ox 指向著陸器的開始運動方向。則著陸器的質(zhì)心動力學方程可描述如下: ?r?v?v?(F/m)sin???/r2?r?2?????? ????[(F/m)cos??2v?]/r ⑴ ???m??F/ISP 式中:r,?,?和m分別為著陸器的月心距、極角、角速度和質(zhì)量；v為著陸器沿r 方向上的速度；F為制動發(fā)動機的推力(固定的常值或0）；ISP為其比

?為月球引力常數(shù)；?為發(fā)動機推力與當?shù)厮骄€的夾角即推力方向角。沖；

圖5-3 月球軟著陸坐標系

動力下降的初始條件由霍曼變軌后的橢圓軌道近月點確定，終端條件為著陸器在月面實現(xiàn)軟著陸。令初始時刻t0?0，終端時刻tf不定，則相應的

初始條件為 r0 終端約束為

rf?rL,vf?0,?f?0 ⑶ ?rL?h0,v0?0,?0??o ⑵

式中:rL為月球半徑；h0為初始軌道高度；?o為軌道角速度。月球軟著陸的最優(yōu)軌道設計就是要在滿足上述初始條件和終端約束的前提下，調(diào)整推力大小和方向9使得著陸器實現(xiàn)燃料最優(yōu)軟著陸，即要求以下性能指標達最大。J??mdt 0tf 5.2.1.2模型歸一化

在軌道優(yōu)化過程中，由于各狀態(tài)變量的量級相差較大，尋優(yōu)過程中可能會導致有效位數(shù)的丟失。通過歸一化處理可以克服這一缺點[9]，提高。計算精度。令rref?r0,mtef?

m0，則?r/rref,?v/vref,vref?ISp?I7 2?F/Fref,Fref?mrefvref/rref,?m/mref,??t/tref ,?rref/vref,??。那么，著陸器的動力學方程可改為： ??v?22?(F/m)sin???/

?? ? ???????[(F/)cos??2]/????F/ISP相應的初始條件和終端約束變

為：

?1,?0,?? 000/? f?r1/r0,vf?0,?f?0 性能指標改寫為：

第4期朱建豐等:基于自適應模擬退火遺傳算法的月球軟著陸軌道優(yōu)

化 道優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為多參數(shù)優(yōu)化問題,再利用SQP 方法求解。雖然避開了沒有明確物理意義的參數(shù) 猜測,但是SQP的本質(zhì)仍然會使該方法遇到病態(tài) 梯度、初始點敏感和局部收斂問題。曾國強[6]和徐 敏[7]分別用二進制和浮點數(shù)GA對著陸軌道進行 了優(yōu)化,避免了初值猜測,得到的結(jié)果也比較滿意。但是,鑒于GA局部搜索能力較差的缺點,會使得 GA的優(yōu)化精度不夠或優(yōu)化效率不高。相對而言, 國外對月球軟著陸軌道的優(yōu)化問題研究比較少。

GA最早是由Holland教授提出的[8],它是 一種隨機優(yōu)化方法,具有不依賴問題模型、適用面 廣和魯棒性強的優(yōu)點,并已應用在航天器的軌道 優(yōu)化設計中[1]。然而,GA在實際應用中存在收 斂速度慢和早熟等問題,不具備“爬山”的能力。模擬退火算法(SAA)最早是由Kirkpatrick等提 出的,它是一種啟發(fā)式隨機搜索算法,具有很強的 局部搜索能力和“爬山”能力,但是SAA產(chǎn)生的 新解不及GA豐富,對全局的了解甚少,尋優(yōu)過程 很慢。因此,可以將GA和SAA的優(yōu)點結(jié)合起 來,揚長避短,構(gòu)成高效、魯棒的新算法。本文將GA

和

SAA

有機地結(jié)合,形成自適應

模擬退火遺傳算法(ASAGA),并將其應用到月 球1軟著

陸的最系

優(yōu)

軌統(tǒng)

道

設模計

中

。型

著陸器的動力下降段一般從15 km左右的軌 道高度開始,下降到月球表面的時間比較短,在幾 百秒范圍內(nèi),所以可以不考慮月球引力攝動。月 球自轉(zhuǎn)速度比較小,也可忽略。因此,可以利用二 體模型描述系統(tǒng)的運動。建立圖1所示的著陸坐 標系,并假設著陸軌道在縱向平面內(nèi),令月心O 為坐標原點,Oy指向動力下降段的開始制動點, Ox指向著陸器的開始運動方向。則著陸器的質(zhì) 心動力

學

方

程

可

描

述

如

下

:

?r= v

?v=(F /m)sinψ-μ /r2+ rω 2

?θ= ω

?ω =-[(F /m)cosψ+ 2vω] /r

?m=-F /ISP(1)式中:r,θ,ω和m分別為著陸器的月心距、極角、角速度和質(zhì)量;v為著陸器沿r方向上的速度;F 為制動發(fā)動機的推力(固定的常值或0);ISP為其 比沖;μ為月球引力常數(shù);ψ為發(fā)動機推力與當?shù)?水圖平1線 的月

夾球

角軟即著推

力陸

方極

向坐

角標

。系

Fig.1 Polar coordinate system of lunar soft landing 動力下降的初始條件由霍曼變軌后的橢圓軌 道近月點確定,終端條件為著陸器在月面實現(xiàn)軟 著陸。令初始時刻t0= 0,終端時刻tf不定,則相 應的初

始

條

件

為

r0= rL+ h0,v0= 0,ω0= ωo(2)

終端約束為 rf= rL,vf= 0,ωf= 0(3)式中:rL為月球半徑;h0為初始軌道高度;ωo為 軌道角速度。

月球軟著陸的最優(yōu)軌道設計就是要在滿足上 述初始條件和終端約束的前提下,調(diào)整推力大小 和方向,使得著陸器實現(xiàn)燃料最優(yōu)軟著陸,即要求 以下性

能

指

標

達

最

大。

J=∫tf0?mdt(4)2 歸一化

在軌道優(yōu)化過程中,由于各狀態(tài)變量的量級 相差較大,尋優(yōu)過程中可能會導致有效位數(shù)的丟 失。通過歸一化處理可以克服這一缺點[9],提高

計算精度。令rref= r0,mref= m0,則–r= r /rref, v= v /vref,vref= μ /rref, ISP= ISPrref/μ, F= F /Fref, Fref= mrefv2ref/rref, m= m /mref, ω=ω r3ref/μ,–t= t / tref,tref= rref/vref,–θ=θ。那么,著陸器的動力學方

程可改寫為

–r= v

v=(F / m)sinψ-1 /–r2+–r ω 2

–θ= ω

ω=-[(F / m)cosψ+ 2 v ω] /–r

m=l);%步長dx x1 = x + dx;%下一個估計點

x1 =(x1 < l).*l +(l <= x1).*(x1 <= u).*x1 +(u < x1).*u;%將x1限定在區(qū)間[l,u]上 fx1 = feval(f,x1);df = fx1-fx;

if df < 0|rand < exp(-Ti*df/(abs(fx)+ eps)/TolFun)%如果fx1

end

if fx < fo xo = x;fo = fx1;

end end

%模擬退火法中的mu^（-1）定理 function x = Mu_Inv(y,mu)

x =(((1+mu).^abs(y)-1)/mu).*sign(y);

function [xo,fo] = genetic(f,x0,l,u,Np,Nb,Pc,Pm,eta,kmax)% 遺傳算法求f(x）最小值 s.t.l <= x <= u

%f為待求函數(shù),x0初值，l，u上下限，Np群體大小，Nb每一個變量的基因值（二進制數(shù)）

%Pc交叉概率，Pm變異概率，eta學習率，kmax最大迭代次數(shù) N = length(x0);

%%%%%確定各變量缺省值 if nargin < 10

kmax = 100;%最大迭代次數(shù)缺省為100 end

if nargin < 9|eta > 1|eta <= 0

eta = 1;%學習率eta,(0 < eta < 1)end

if nargin < 8

Pm = 0.01;%變異概率缺省0.01 end

if nargin < 7

Pc = 0.5;%交叉概率缺省0.5 end

if nargin < 6

Nb = 8*ones(1,N);%每一變量的基因值（二進制數(shù)）end

if nargin < 5

Np = 10;%群體大?。ㄈ旧w數(shù)）end

%%%%%生成初始群體 NNb = sum(Nb);

xo = x0(:)';l = l(:)';u = u(:)';fo = feval(f,xo);X(1,:)= xo;for n = 2:Np

X(n,:)= l + rand(size(x0)).*(ufX;%將函數(shù)值轉(zhuǎn)化為非負的適合度值 fXm = fX1(nb);

if fXm < eps %如果所有的染色體值相同，終止程序

return;

end

%%%%%復制下一代

for n = 1:Np

X(n,:)= X(n,:)+ eta*(fXmX(n,:));%復制準則

end

P = gen_encode(X,Nb,l,u);%對下一代染色體編碼

%%%%%%隨機配對/交叉得新的染色體數(shù)組 is = shuffle([1:Np]);

for n = 1:2:Np1;

X(n,m)= bin2dec(P(n,b1:b2))*(u(m)1)+ l(m);%解碼方程

end end

第三篇：2010高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽B題評閱要點

2010高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽B題評閱要點

[說明]本要點僅供參考，各賽區(qū)評閱組應根據(jù)對題目的理解及學生的解答，自主地進行評閱。

本題是一道比較開放的題目，同學對問題的理解和所關(guān)注的側(cè)面（角度）的不同，會導致答卷的多樣性。以下幾點在評閱中值得特別關(guān)注：

1.影響力的定義，即因素的選定：考慮到3天時間不太可能進行一個全面的影響力分析，如何恰當?shù)剡x擇一個影響力的側(cè)面極其相關(guān)因素是解題的基本前提。容易考慮到的影響力包括經(jīng)濟、旅游、社會、文化等多個方面，也可以是一個較小的側(cè)面（比如表演、自愿者、攝影）。要求有明確具體的定義，要有合理的論證，要有數(shù)據(jù)支撐。

2.因素的組織結(jié)構(gòu)模型和有關(guān)信息的搜索：因素的相關(guān)性、信息的完備性等都是值得注意的問題。鼓勵直接從網(wǎng)絡采集因素數(shù)據(jù)，比如詞匯搜索量、點擊率等等。

3.定量建模，數(shù)據(jù)的收集和分析：要注意模型的合理性，注意數(shù)據(jù)之間的可比性與歸一化。鼓勵縱向（時間）和橫向（其它重大事件）的比較。

4.科學、直觀地表達結(jié)論：結(jié)論一般不應該是一個簡單常識。

第四篇：2011數(shù)學建模A,B題

2011高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽題目

（請先閱讀“全國大學生數(shù)學建模競賽論文格式規(guī)范”）

A題

城市表層土壤重金屬污染分析

隨著城市經(jīng)濟的快速發(fā)展和城市人口的不斷增加，人類活動對城市環(huán)境質(zhì)量的影響日顯突出。對城市土壤地質(zhì)環(huán)境異常的查證，以及如何應用查證獲得的海量數(shù)據(jù)資料開展城市環(huán)境質(zhì)量評價，研究人類活動影響下城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，日益成為人們關(guān)注的焦點。

按照功能劃分，城區(qū)一般可分為生活區(qū)、工業(yè)區(qū)、山區(qū)、主干道路區(qū)及公園綠地區(qū)等，分別記為1類區(qū)、2類區(qū)、??、5類區(qū)，不同的區(qū)域環(huán)境受人類活動影響的程度不同。

現(xiàn)對某城市城區(qū)土壤地質(zhì)環(huán)境進行調(diào)查。為此，將所考察的城區(qū)劃分為間距1公里左右的網(wǎng)格子區(qū)域，按照每平方公里1個采樣點對表層土（0~10 厘米深度）進行取樣、編號，并用GPS記錄采樣點的位置。應用專門儀器測試分析，獲得了每個樣本所含的多種化學元素的濃度數(shù)據(jù)。另一方面，按照2公里的間距在那些遠離人群及工業(yè)活動的自然區(qū)取樣，將其作為該城區(qū)表層土壤中元素的背景值。

附件1列出了采樣點的位置、海拔高度及其所屬功能區(qū)等信息，附件2列出了8種主要重金屬元素在采樣點處的濃度，附件3列出了8種主要重金屬元素的背景值。

現(xiàn)要求你們通過數(shù)學建模來完成以下任務：

(1)給出8種主要重金屬元素在該城區(qū)的空間分布，并分析該城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域重金屬的污染程度。

(2)通過數(shù)據(jù)分析，說明重金屬污染的主要原因。

(3)分析重金屬污染物的傳播特征，由此建立模型，確定污染源的位置。(4)分析你所建立模型的優(yōu)缺點，為更好地研究城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，還應收集什么信息？有了這些信息，如何建立模型解決問題？

B題

交巡警服務平臺的設置與調(diào)度

“有困難找警察”，是家喻戶曉的一句流行語。警察肩負著刑事執(zhí)法、治安管理、交通管理、服務群眾四大職能。為了更有效地貫徹實施這些職能，需要在市區(qū)的一些交通要道和重要部位設置交巡警服務平臺。每個交巡警服務平臺的職能和警力配備基本相同。由于警務資源是有限的，如何根據(jù)城市的實際情況與需求合理地設置交巡警服務平臺、分配各平臺的管轄范圍、調(diào)度警務資源是警務部門面臨的一個實際課題。

試就某市設置交巡警服務平臺的相關(guān)情況，建立數(shù)學模型分析研究下面的問題：

（1）附件1中的附圖1給出了該市中心城區(qū)A的交通網(wǎng)絡和現(xiàn)有的20個交巡警服務平臺的設置情況示意圖，相關(guān)的數(shù)據(jù)信息見附件2。請為各交巡警服務平臺分配管轄范圍，使其在所管轄的范圍內(nèi)出現(xiàn)突發(fā)事件時，盡量能在3分鐘內(nèi)有交巡警（警車的時速為60km/h）到達事發(fā)地。

對于重大突發(fā)事件，需要調(diào)度全區(qū)20個交巡警服務平臺的警力資源，對進出該區(qū)的13條交通要道實現(xiàn)快速全封鎖。實際中一個平臺的警力最多封鎖一個路口，請給出該區(qū)交巡警服務平臺警力合理的調(diào)度方案。

根據(jù)現(xiàn)有交巡警服務平臺的工作量不均衡和有些地方出警時間過長的實際情況，擬在該區(qū)內(nèi)再增加2至5個平臺，請確定需要增加平臺的具體個數(shù)和位置。

（2）針對全市（主城六區(qū)A，B，C，D，E，F(xiàn)）的具體情況，按照設置交巡警服務平臺的原則和任務，分析研究該市現(xiàn)有交巡警服務平臺設置方案（參見附件）的合理性。如果有明顯不合理，請給出解決方案。

如果該市地點P（第32個節(jié)點）處發(fā)生了重大刑事案件，在案發(fā)3分鐘后接到報警，犯罪嫌疑人已駕車逃跑。為了快速搜捕嫌疑犯，請給出調(diào)度全市交巡警服務平臺警力資源的最佳圍堵方案。

附件1：A區(qū)和全市六區(qū)交通網(wǎng)絡與平臺設置的示意圖。

附件2：全市六區(qū)交通網(wǎng)絡與平臺設置的相關(guān)數(shù)據(jù)表（共5個工作表）。

第五篇：2011年數(shù)學建模B題

2011年全國大學生數(shù)學建模B題

交巡警服務平臺的設置與調(diào)度

題 目 警車配置及巡邏問題的研究

摘 要：

本文研究的是某城區(qū)警車配置及巡邏方案的制定問題，建立了求解警車巡邏方案的模型，并在滿足D1的條件下給出了巡邏效果最好的方案。

在設計整個區(qū)域配置最少巡邏車輛時，本文設計了算法1：先將道路離散化成近似均勻分布的節(jié)點，相鄰兩個節(jié)點之間的距離約等于一分鐘巡邏路程。由警車的數(shù)目m,將全區(qū)劃分成m個均勻的分區(qū)，從每個分區(qū)的中心點出發(fā)，找到最近的道路節(jié)點，作為警車的初始位置，由Floyd算法算出每輛警車3分鐘或2分鐘行駛路程范圍內(nèi)的節(jié)點?？紤]區(qū)域調(diào)整的概率大小和方向不同會影響調(diào)整結(jié)果，本文利用模擬退火算法構(gòu)造出遷移幾率函數(shù)，用遷移方向函數(shù)決定分區(qū)的調(diào)整方向。計算能滿足D1的最小車輛數(shù)，即為該區(qū)應該配置的最小警車數(shù)目，用MATLAB計算，得到局部最優(yōu)解為13輛。

在選取巡邏顯著性指標時，本文考慮了兩個方面的指標：一是全面性，即所有警車走過的街道節(jié)點數(shù)占總街道節(jié)點數(shù)的比例，用兩者之比來評價；二是均勻性，即所有警車經(jīng)過每個節(jié)點數(shù)的次數(shù)偏離平均經(jīng)過次數(shù)的程度，用方差值來大小評價。

問題三：為簡化問題，假設所有警車在同一時刻，大致向同一方向巡邏，運動狀態(tài)分為四種：向左，向右，向上，向下，記錄每個時刻，警車經(jīng)過的節(jié)點和能夠趕去處理事故的點，最后匯總計算得相應的評價指標。

在考慮巡邏規(guī)律隱蔽性要求時，文本將巡邏路線進行隨機處理，方向是不確定的，采用算法2進行計算，得出相應巡邏顯著指標，當車輛數(shù)減少到10輛或巡邏速度變大時，用算法2計算巡邏方案和對應的參數(shù)，結(jié)果見附錄所示。

本文最后還考慮到4個額外因素，給出每個影響因素的解決方案。

關(guān)鍵詞：模擬退火算法；Floyd算法；離散化

一 問題的重述

110警車在街道上巡邏，既能夠?qū)`法犯罪分子起到震懾作用，降低犯罪率，又能夠增加市民的安全感，同時也加快了接處警時間，提高了反應時效，為社會和諧提供了有力的保障。

現(xiàn)給出某城市內(nèi)一區(qū)域，其道路數(shù)據(jù)和地圖數(shù)據(jù)已知，該區(qū)域內(nèi)三個重點部位的坐標分別為：（5112，4806），（9126，4266），（7434，1332）。該區(qū)域內(nèi)共有307個道路交叉口，為簡化問題，相鄰兩個交叉路口之間的道路近似認為是直線，且所有事發(fā)現(xiàn)場均在下圖的道路上。

該市擬增加一批配備有GPS衛(wèi)星定位系統(tǒng)及先進通訊設備的110警車。設110警車的平均巡邏速度為20km/h，接警后的平均行駛速度為40km/h。警車配置及巡邏方案要盡量滿足以下要求：

D1.警車在接警后三分鐘內(nèi)趕到現(xiàn)場的比例不低于90％；而趕到重點部位的時間必須在兩分鐘之內(nèi)。

D2.使巡邏效果更顯著；

D3.警車巡邏規(guī)律應有一定的隱蔽性。現(xiàn)在我們需要解決以下幾個問題：

一.若要求滿足D1,該區(qū)最少需要配置多少輛警車巡邏？ 二.請給出評價巡邏效果顯著程度的有關(guān)指標。

三．請給出滿足D1且盡量滿足D2條件的警車巡邏方案及其評價指標值。

四.在第三問的基礎上，再考慮D3條件，給出你們的警車巡邏方案及其評價指標值。五．如果該區(qū)域僅配置10輛警車，應如何制定巡邏方案，使D1、D2盡量得到滿足？ 六.若警車接警后的平均行駛速度提高到50km/h，回答問題三。

七.你們認為還有哪些因素、哪些情況需要考慮？給出你們相應的解決方案。

二 問題分析

本題為城區(qū)道路網(wǎng)絡中警車配置及巡邏問題。在進行警車配置時，首先要考慮警車在接警后在規(guī)定時間內(nèi)趕到現(xiàn)場的比例，在此條件下，以車數(shù)最少為目標，建模、求解；在制定巡邏方案時，要考慮巡邏的效果及隱蔽性問題。

問題一只要求滿足D1，求最少的警車配置數(shù)，可以認為警車是不動的，在三分鐘或兩分鐘內(nèi)它能到達的區(qū)域就是它的覆蓋范圍。據(jù)此，在滿足所有街道的覆蓋率不低于90%的條件下，尋找最優(yōu)解。

問題二要評價巡邏效果，有兩個方面需要考慮：一是巡邏的全面性，即經(jīng)過一段時間后警車走過的街道數(shù)占總街道數(shù)的比例；二是巡邏的不均勻性，即經(jīng)過一段時間后警車經(jīng)過每一條街道的次數(shù)相差不大，用方差來衡量。

問題三是在滿足D1的條件上盡量滿足問題二所給的指標，并給出評價方案的指標。首先找到一組滿足D1的各警車位置，然后在和各警車位置相連的點中隨機尋找一個點，判斷新的點是否滿足D1，如果滿足則警車行駛到該點，否則重新尋找，直到滿足為止。一段時間后統(tǒng)計所有車走過的點數(shù)及每個點被走過的次數(shù)，用問題二給出的兩個指標進行評價。綜合兩個指標，可判斷此路徑的好壞，重復這個過程，直到綜合評價指標達到一個滿意的值為止。

問題四增加了隱蔽性要求，首先給出評價隱蔽性的指標，隱蔽性可用路線的隨機性來評價，將它加入到問題三的模型中去進行求解。

問題五限制警車數(shù)量為10，要綜合考慮D1、D2，先分配這10輛車使道路的覆蓋率最高，然后按照問題三的步驟進行求解，其中每一步對D1的判斷只需使道路的覆蓋率盡量高即可。

問題六同問題三，只需將車速改為50km/h即可。

三 模型的假設

1.警車都在路上巡邏，巡警去處理案件的時間不考慮；

2.所有事發(fā)現(xiàn)場都在道路上，案件在道路上任一點是等概率發(fā)生的； 3.警車初始?？奎c是隨機的，但盡量讓它們分散分布，一輛警車管轄一個分區(qū)； 4.假定各個劃分區(qū)域內(nèi)，較短時間內(nèi)，最多會發(fā)生一個案件；

5.假設區(qū)域內(nèi)的每條道路都是雙行線，不考慮轉(zhuǎn)彎對結(jié)果造成的影響； 6.如果重點部位不在道路上的，假設這些重點部位在離它們最近的道路上； 7.圖中水域?qū)ρ策壏桨笡]有影響。

四 符號說明

m 表示警車數(shù)目

d 表示警車初始?？奎c到各道路的最短距離 L 表示整個區(qū)域的總道路長度

l 表示不能在3分鐘內(nèi)到達的區(qū)域的道路的長度

k 表示非重點部位的警車在3分鐘內(nèi)不能到達現(xiàn)場的比例 r 表示三分鐘內(nèi)能從接警位置趕到事發(fā)現(xiàn)場的最大距離是 n 表示整個區(qū)域總的離散點個數(shù) ni 表示第i區(qū)內(nèi)的節(jié)點個數(shù) f1 表示區(qū)內(nèi)調(diào)整函數(shù)

t 表示模擬退火的時間，表征溫度值 f2 表示區(qū)間調(diào)整函數(shù)

r 表示全面性指標 e 表示不均勻性指標 h 表示綜合評價指標

si 表示第i輛車經(jīng)過每條道路的次數(shù) s 表示整個區(qū)域每條道路經(jīng)過的平均次數(shù)

五 模型的建立與算法的設計

5.1 滿足D1時，該區(qū)所需要配置的最少警車數(shù)目和巡邏方案 5.1.1 滿足D1條件時，區(qū)域最少警車的規(guī)律

題目要求警車的配置和巡邏方案滿足D1要求時，整個區(qū)域所需要配置的警車數(shù)目最少。由假設可知警車都在道路上，且所有事發(fā)現(xiàn)場也都在道路上，但區(qū)域內(nèi)總的道路長度是個定值的；警車在接警后趕到事發(fā)現(xiàn)場有時間限制和概率限制：三分鐘內(nèi)趕到普通區(qū)域案發(fā)現(xiàn)場的比例不低于90％，而趕到重點部位的時間必須控制在兩分鐘之內(nèi)。由此可知每輛警車的管轄范圍不會很大，于是考慮將整個區(qū)域分成若干個分區(qū)，每輛警車管轄一個分區(qū)域。由上面的分析，求解整個區(qū)域的警車數(shù)目最少這個問題可轉(zhuǎn)化為求解每一輛警車所能管轄的街道范圍盡量的大。于是我們尋找出使每輛警車管轄的范圍盡量大的規(guī)律。為了簡化問題，我們不考慮趕到現(xiàn)場的90%的幾率的限制，僅對警車能在三分鐘內(nèi)趕到事發(fā)現(xiàn)場的情況作定性分析，其分析示意圖如圖1所示。警車的初始?？课恢檬请S機的分布在道路上的任一節(jié)點上，我們假設一輛警車?？吭贏點上。

圖1 一輛警車管轄范圍分析示意圖

由于警車的平均巡邏速度為20km/h，接警后的平均行駛速度為40km/h，由于距離信息比較容易得到，于是我們將時間限制轉(zhuǎn)化為距離限制，這樣便于分析和求解。當警車接警后，在三分鐘內(nèi)能從接警位置趕到事發(fā)現(xiàn)場的最大距離是r，其中3r??40?2km。

60如圖1所示，我們設警車初始?？课恢迷贏點，A點是道路1，2，3，4的道路交叉口。我們僅以警車在道路1巡邏為例來進行分析，警車以20km/h的速度在道路1上A到A'點之間巡邏，A'與初始停靠點A的距離為xkm。由于案件有可能在道路上任一點發(fā)生，當警車巡邏到A點時，若案發(fā)現(xiàn)場在道路2，3，4上發(fā)生時，警車以40km/h的速度向事發(fā)現(xiàn)場行駛，警車能在三分鐘內(nèi)從A'點趕到現(xiàn)場的最大距離為(2?x)km。如果警車在道路1上繼續(xù)向前行駛，則該警車能在三分鐘內(nèi)趕到現(xiàn)場的距離繼續(xù)縮小，當警車從初始點向A點行駛但沒有達到A'點時，此時該警車的最大管轄范圍比警車到達A'點時的最大管轄范圍大。為了使警車的管轄范圍盡量大，警車的巡邏范圍越小越好，當x?0時，即警車在初始?？奎c靜止不動時，警車的管轄范圍達到最大值2km。

圖1所分析的是特殊的情況，道路1，2，3，4對稱分布，現(xiàn)在我們來對一般的情況進行分析，如圖2所示。

圖2.1 圖2.2 圖2 一輛警車最大管轄范圍分析示意圖

圖2.1所示的情況是道路分布不對稱，與圖1相比，圖2.1所示的道路方向和角度都發(fā)生了改變，圖2.3中的情形更為復雜。參照對圖1的分析方法，我們分析這兩種情形下，警車巡邏時能在三分鐘內(nèi)趕到現(xiàn)場的最大距離的規(guī)律，我們只分析圖2.2的情況，道路1，2，3，4，5相交于點C,同時道路1與道路6也有個道路交叉口D，由于警車巡邏時是在道路上行駛的，行走的路線是分段直線,并不影響路徑的長度，所以當警車巡邏到距離初始?？奎cC點x遠處的D，此時若有案件發(fā)生時，該警車要在三分鐘內(nèi)能趕到現(xiàn)場處理案件，最大行駛距離在(2?x)km之內(nèi)，如果警車在道路1上繼續(xù)向前行駛，則該警車能在三分鐘內(nèi)趕到現(xiàn)場的距離繼續(xù)縮小，當警車沒有行駛到D點時，此時該警車的最大管轄范圍比(2?x)km大，為了使警車的管轄范圍盡量大，警車的巡邏范圍越小越好。當x?0時，即警車靜止不動時，一輛警車的管轄范圍能達到最大值。

以上分析的僅作定性的分析，對于三個重點部位也可以同理分析，所得的結(jié)論是一致的，以上的分析沒有考慮到90%的到達幾率限制，但在設計算法需要充分考慮。

綜上所述，當警車靜止在初始?？奎c時，在三分鐘時間限制內(nèi)，警車能從初始?？奎c趕到事發(fā)現(xiàn)場的最大距離為2km。

5.1.2 將道路離散化

由于事發(fā)現(xiàn)場是等概率地分布在道路上的，由區(qū)域地圖可以發(fā)現(xiàn)，整個區(qū)域中的道路長度不均，為了使計算結(jié)果更加精確，可將這些道路離散化。只要選取合適的離散方案，就能使警車在經(jīng)過道路上的離散的點時就相當于經(jīng)過了這條道路。這樣，不論是求解警車初始?？奎c還求解警車趕到事發(fā)現(xiàn)場所經(jīng)過的道路時，所計算得的的結(jié)果顯然比僅考慮整條道路的叉路口要精確得多。區(qū)域中共有307個道路交叉口，458條道路。我們采用線性插值方法對道路進行離散化，以20km/h的速度行走一分鐘的距離作為步長，一分鐘時間的選擇是參照問題三的11?20?km。用線性插值的方法，從道路的一個方向進結(jié)果要求來設定的，步長b?6031行線性插值，實現(xiàn)將每條道路離散化的目標，考慮到有些道路不是km的整數(shù)倍，我們

311就一般情況進行討論，其分析示意圖如圖3所示。道路AB長度為n個km與x(x?km)33長度的和，為了更精確處理CB段道路，那么就要考慮在CB之間是否要插入一個新的點，根據(jù)x的長度不同，其對應的處理方式也有所不同。

圖3 道路離散化分析示意圖

引進臨界指數(shù)y，選取y大小的準則是使盡量離散化后警車等效的平均巡邏速度和題目給定的速度（20km/h）的差值盡量小，經(jīng)過計算得y?0.189km時，不再插入新的坐

1標點時能使整個區(qū)域的道路離散效果較好。此時，將CB段長度設定為km處理，于是

3離散后的AB道路長度會比實際長度短些；當x?0.189Km時，需要在兩個點之間再插入一點，因為這樣處理能使整個區(qū)域的整體道路的離散化效果比較理想。如圖3所示，在1C與B間再插入新的坐標點，插入的位置在距C點km的D點處,這樣處理后所得的道

31路長度比實際長度長了(?x)km。采用這樣的方法進行線性插值，我們使用MATLAB編3程實現(xiàn)對整個區(qū)域道路的離散，所得的離散結(jié)果如圖4所示，離散后共得到762個節(jié)點，比原始數(shù)據(jù)多了455個節(jié)點，離散后的節(jié)點數(shù)據(jù)見附件中的“newpoint.txt”。

圖4 整個區(qū)域離散結(jié)果圖

采用這種插值方法道路離散后，將直線上的無窮多個點轉(zhuǎn)化有限個點，便于分析問題和實現(xiàn)相應的算法，由圖4可知，所取得的整體離散效果還是比較理想的。

5.1.3 分區(qū)域求解警車數(shù)目的算法設計

考慮到警車配置和巡邏方案需要滿足：警車在接警后三分鐘內(nèi)趕到普通部位案發(fā)現(xiàn)場的比例不低于90%，趕到重點部位必須控制在兩分鐘之內(nèi)的要求。設計算法的目標就是求解出在滿足D1情況下，總的警車數(shù)目最小，即每個區(qū)域都盡可能多地覆蓋道路節(jié)點。由于警車的初始位置是未知的，我們可設警車初始?？奎c在道路上的任一點，即分布在圖4所示的762個離散點中的某些點節(jié)點上，總體思路是讓每兩輛車之間盡量分散地分布，一輛警車管轄一個分區(qū)，用這些分區(qū)覆蓋整個區(qū)域。于是我們設計算法1，步驟如下所示：

Step1：將整個區(qū)域預分配為m個分區(qū)，每個分區(qū)分配一輛警車，警車的初始?？课恢迷O在預分配區(qū)中心的道路節(jié)點上，若區(qū)域的中心不在道路節(jié)點上，則將警車放在離中心最近的道路節(jié)點上；

Step2：統(tǒng)計分區(qū)不能覆蓋的節(jié)點，調(diào)整警車的初始?？奎c，使分區(qū)覆蓋盡可能多的道路節(jié)點，調(diào)整分為區(qū)內(nèi)調(diào)整和區(qū)間調(diào)整方案：（1）區(qū)內(nèi)調(diào)整按照模擬退火思想構(gòu)造的函數(shù)，在區(qū)間調(diào)整調(diào)整車輛初始點的位置（后文中有詳細說明），當分區(qū)內(nèi)節(jié)點數(shù)較多時，調(diào)整的概率小些，分區(qū)內(nèi)節(jié)點數(shù)較少時，調(diào)整的概率大些，（2）當區(qū)域中存在未被覆蓋的節(jié)點或節(jié)點群（大于等于三個節(jié)點集中在一個范圍內(nèi)）時，將警車初始位置的調(diào)整方向為朝著這些未被覆蓋的節(jié)點按一定的規(guī)則（在算法說明中有詳細敘述）移動，同時要保證 3個重點部位能在2分鐘之內(nèi)100%到達；

Step3：用Floyd算法計算出警車初始?？奎c到周邊各道路節(jié)點的最短距離d；

Step4：以m個劃分區(qū)域未覆蓋的總的道路長度l與整個區(qū)域的道路總長度L的比值lk??100%來表示警車不能3分鐘內(nèi)到達現(xiàn)場的概率；

LStep5：模擬足夠多的次數(shù)，若k?10%，將車輛數(shù)m減1，跳轉(zhuǎn)到Step1；

Step6：計算結(jié)束后，比較當k?10%時所對應的m值，當m取得最小值時，記錄此時的區(qū)域劃分方案，m即為最少的警車數(shù)。

對算法的幾點說明：

（1）該算法所取的車輛數(shù)m是由多到少進行計算的，m初始值設為20，這個值的選取是根據(jù)區(qū)域圖估算的。

(2)預分區(qū)的優(yōu)點在于使警車的初始位置盡可能均勻地分散分布，警車的初始?？奎c在一個分區(qū)的中心點附近尋找得到，比起在整個區(qū)域隨機生成?？奎c，計算效率明顯得到提高。

預分配之后，需要對整個區(qū)域不斷地進行調(diào)整，調(diào)整時需要考慮調(diào)整方向和 調(diào)整概率。

警車調(diào)整借鑒的是模擬退火算法的方法，為了使分區(qū)內(nèi)包含道路節(jié)點數(shù)較多的分區(qū)的初始停車點調(diào)整的概率小些，而分區(qū)內(nèi)包含道路節(jié)點數(shù)的少的分區(qū)內(nèi)的初始停車點調(diào) 整的概率大些，我們構(gòu)造了一個調(diào)整概率函數(shù)f1，f1?aexp(?bmni)（1）t（1）式中，a,b均為常數(shù)，m為整個區(qū)域車輛數(shù)，ni為第i分區(qū)內(nèi)覆蓋的節(jié)點數(shù)，t為時間，同時t也能表征模擬退火的溫度變化情況：初始溫度較高，區(qū)域調(diào)整速度較快，隨著時間的增加，溫度不斷下降，區(qū)域調(diào)整速度逐漸變慢，這個調(diào)整速度變化也是比較符合實際情況的。

由式（1）可以得出調(diào)整概率函數(shù)f1，假設在相同的溫度t（時間）的條件下，由于總的車輛數(shù)目m是定值，當ni?nj時，即第i分區(qū)內(nèi)的節(jié)點數(shù)大于第j分區(qū)的節(jié)點數(shù)時，分區(qū)i調(diào)整的概率大些，分區(qū)j的調(diào)整概率小些。分析其原因：當分區(qū)內(nèi)包含了較多的節(jié)點個數(shù)時，該分區(qū)的警車初始?？课恢眠x取地比較合適了，而當分區(qū)內(nèi)包含的道路節(jié)點數(shù)較少時，說明警車的初始停靠位置沒有選好，需要更大概率的調(diào)整，這樣的結(jié)論也是比較客觀的。

對于所有分區(qū)外未被覆蓋的道路節(jié)點和很多節(jié)點（稱之為節(jié)點群），用來調(diào)整警車位置遷移的方向，其分析示意圖如圖5所示。調(diào)整方案目標是使未被覆蓋的節(jié)點數(shù)盡量的少。在設計調(diào)整方向函數(shù)時，需要考慮：（1）節(jié)點群內(nèi)節(jié)點的數(shù)目；（2）警車距離節(jié)點群的位置。優(yōu)先考慮距離，所以在公式（2）中，用距離的平方來描述調(diào)整方向函數(shù)。由于某一個區(qū)域范圍內(nèi)的未被覆蓋節(jié)點數(shù)，整個區(qū)域未被覆蓋的節(jié)點總數(shù)，分區(qū)域與未被覆蓋的節(jié)點或節(jié)點群的距離等幾個因素會影響到調(diào)整的方案，所以要綜合考慮這些因素。于是設計了區(qū)間調(diào)整函數(shù)f2，f2?nili2??li?1pi?1p2i（2）

i?n式中，ni表示第i個分區(qū)內(nèi)未被覆蓋的節(jié)點數(shù)，li表示第i分區(qū)域與未被覆蓋的節(jié)點或節(jié)點群的距離，p表示未被覆蓋的節(jié)點和節(jié)點群個數(shù)。

現(xiàn)在簡要分析第i分區(qū)按區(qū)間調(diào)整函數(shù)的調(diào)整方案，當某兩節(jié)點群i,j的節(jié)點數(shù)目相等，但是距離不等時，如li?lj，由區(qū)間調(diào)整公式可知，該區(qū)間向節(jié)點群j方向調(diào)整。當某個分區(qū)與兩個節(jié)點群的距離相等，但節(jié)點群的內(nèi)節(jié)點個數(shù)不相等，如ni?nj時，由（4）可知，該分區(qū)域會想節(jié)點群j方向調(diào)整。

注意在整個調(diào)整過程中，調(diào)整幾率控制是否調(diào)整，調(diào)整方向函數(shù)控制調(diào)整的方向，尋找在這種調(diào)整方案下的最優(yōu)結(jié)果。

圖5 調(diào)整分區(qū)域示意圖

（3）在step3中，使用Floyd算法計算出警車初始停靠點到周邊各節(jié)點的最短距離d,目的是當區(qū)域內(nèi)有情況發(fā)生時，警車能在要求的時間限制內(nèi)到達現(xiàn)場。

（4）為求出較優(yōu)的警車?？奎c，采用模擬退火算法，算出局部最優(yōu)的方案。5.1.4 警車的配置和巡邏方案

使用MATLAB編程實現(xiàn)算法1得到，整個區(qū)域配備13輛警車，這些警車靜止在初始停靠點時，能滿足D1要求。警車的初始?？课恢梅謩e為道路交叉節(jié)點6，25，30，37，82，84，110，111，126，214，253，258，278處。每個警車所管轄的交叉點（原始的交叉節(jié)點）如圖6所示，求解的分區(qū)結(jié)果見附錄所示。9

圖6 滿足D1條件下的區(qū)分劃分圖

13個分區(qū)共覆蓋了252個交叉點，另外的55個原始交叉點沒有被這些分區(qū)域覆蓋：137，138，151，159，167，168，170，174，175，186，188，189，211，215，226，242，255，260，261，262，263，267，270，271，272，275，282，283，284，287，288，289，292，296，297，299，304，305，307。在這種分區(qū)方案下，這些點中，每兩個相連的點間的道路離散值長度占整個區(qū)域總的長度的比值為lk??100%?90.18%。因此，在整個區(qū)域配置13輛警車，每個警車在初始?？奎c靜L止不動，當有案件發(fā)生時，離案發(fā)現(xiàn)場最近的警車從初始?？奎c趕到現(xiàn)場。

5.2 評價巡邏效果顯著的指標

110警車在街道上巡邏是目的是為了對違法犯罪分子起到震懾作用，降低犯罪率，又能夠增加市民的安全感，同時還加快了接處警（接受報警并趕往現(xiàn)場處理事件）時間，提高了反應時效，為社會和諧提供了有力的保障。巡警在城市繁華街道、公共場所執(zhí)行巡邏任務, 維護治安, 服務群眾, 可以得良好的社會效應[1]。

在整個區(qū)域中，由于案發(fā)現(xiàn)場都在道路上，道路上的每一點都是等概率發(fā)生的，因此警車巡邏的面越廣，所巡邏的街道數(shù)目越多，警車的巡邏效果就越好，對違法犯罪分子就越有威懾力，警車也能更及時地處理案件。

我們采用全面性r來衡量巡邏的效果顯著性，即用警車巡邏所經(jīng)過的街道節(jié)點數(shù)占區(qū)域總節(jié)點數(shù)的比值。當警車重復經(jīng)過同一條街道同一個離散點時，c僅記錄一次。

c

（3）n式中，c表示警車經(jīng)過的離散點數(shù)，n代表整個區(qū)域總的離散點數(shù)。r值越大，表明警車所經(jīng)過的街道數(shù)目越多，所取得的效果越顯著。

同時考慮到在巡邏過程中可能會出現(xiàn)這樣的情況：在相同的時段內(nèi)，警車會多次巡邏部分街道，而一些街道卻很少巡邏甚至沒有警車到達，這樣會造成一些巡邏盲區(qū)。分布很不均衡。這樣就可能出現(xiàn)巡邏密度大的街道上的違法犯罪分子不敢在街道上作案，而流竄到巡邏密度稀疏的街道上作案，因此在相同的警車數(shù)目條件下，密度不均衡的巡邏方式的巡邏效果的效果較差，而密度較均衡的巡邏方式所取得的巡邏效果會更好些。我們引入一個巡邏的不均勻度e來衡量巡邏效果的顯著性，考慮到方差能表示不均衡度，于是我們用方差的大小來表征不均衡，方差越大，巡邏密度越不均衡，所取得的巡邏效果越差。r?e??(si?1mi?s)2p（4）

式中，p表示警車經(jīng)過的點數(shù)，當警車重復經(jīng)過某一節(jié)點時，警車經(jīng)過該點多少次就計多少次。，si表示第i輛車經(jīng)過每條道路的次數(shù)，s表示整個區(qū)域每條道路經(jīng)過的平均次數(shù)。

我們分析這兩個指標時，發(fā)現(xiàn)它們是緊密聯(lián)系的，在相同的時間段內(nèi)，一輛警車在一個分區(qū)巡邏時，警車經(jīng)過的街道節(jié)點數(shù)越多，巡邏的全面性指標越大，巡邏效果越顯著，而巡邏經(jīng)過了越多的街道節(jié)點數(shù)，對應的不均勻度越小，巡邏效果也越好，所以我們將這兩個指標統(tǒng)一來求解，設定為綜合評價指標h：

rh?（5）

e當h越大時，警車巡邏的顯著性效果越好，而當h越小時，警車巡邏的效果越差。

5.3 滿足D1且盡量滿足D2條件的警車巡邏方案和評價指標值

問題1所給出的滿足D1條件下的警車數(shù)目為13輛，這時每輛警車在初始?？奎c靜止不動，只有該管轄區(qū)域內(nèi)發(fā)生了案件時，警車才從初始停靠點趕到案發(fā)現(xiàn)場處理案件。當警車在巡邏狀態(tài)時，所需要考慮的問題就更復雜一些，如當節(jié)點運動時，警車還能否達到D1的要求，警車的運動方向如何等問題，但基本算法思想與問題1類似，所得的算法2的框圖如圖7所示，為了簡化問題，我們假設各分區(qū)警車的巡邏時候，盡量保證所有的警車的行駛方向相一致，且警車都走雙行道，即當警車走到某個節(jié)點后，它們又同時返回初始?？奎c，警車的行駛方向有四種方式，如6所示。

在圖6中，數(shù)字1代表走巡邏走的第一步，2表示朝1的巡邏方向相反的方向巡邏。在具體程序?qū)崿F(xiàn)時，四種巡邏方向任意選擇，但是盡量保證所有的警車向同一個方向巡邏。

圖6 各警車巡邏方向圖

我們用MATLAB編程對這種巡邏方式進行計算，所得的車輛數(shù)目為18輛，綜合評價指標為h?0.612，其結(jié)果巡邏方案見附件中的“1193402-Result3.txt”所示。

5.4 在滿足問題三的基礎上討論D3條件，警車的巡邏方案和評價指標

巡邏的隱蔽性體現(xiàn)在警車的巡邏路線和時間沒有明顯的規(guī)律，主要目的是讓違法犯罪分子無可乘之機，防止他們在非巡邏時間實施違法犯罪活動，危害人民的生命和財產(chǎn)安全。

為了使巡邏的規(guī)律具有隱蔽性，這就需要警車在巡邏時至少具有兩條不同的路線，時間最好也是不相同的。因此，考慮到隱蔽性時，只需要在問題2的基礎上加上一個隨機過程即可。對于其評價指標，由于警車有幾條可選的巡邏路線，當相同的路線在同一時間內(nèi)重復出現(xiàn)時，重新將所設定的方案再執(zhí)行一遍，我們用這個時間間隔來衡量隱蔽性的程度，當循環(huán)周期T越大，表明可選的巡邏方案越多，其規(guī)律就越具有隱蔽性，而循環(huán)周期T越小時，表明巡邏方案比較少，其隱蔽性較差。在巡邏狀態(tài)時，最差的隱蔽性巡邏方案是巡邏方案只有一個，并且時間固定，這樣的巡邏方案沒有任何隱蔽性可言。

5.5 整個區(qū)域為10輛車時的巡邏方案

由第三問的結(jié)果可知，10輛車的數(shù)量是不能把整個區(qū)域完全覆蓋的，其算法與算法2類似，不同的是此時車的數(shù)目已經(jīng)固定了，要求使D1,D2盡量大的滿足，我們求得的評價指標值為h?0.524，所得的巡邏方案見附件中的“1193402-Result5.txt”所示。

5.6平均行駛速度提高到50km/h時的巡邏方式和評價指標值

問題六的分析方法與具體實現(xiàn)與問題三一致，但是警車的接警后的平均速度由原來的40km/h提高到50km/h，于是各分區(qū)的覆蓋范圍也增大了，將數(shù)值帶入問題3的算法中求解，計算得的指標值為h?0.703，其巡邏方案見附件中的“1193402-Result6.txt”所示。

圖7 算法2框圖 5.7 需要另外考慮的因素和對應的解決方案

考慮到具體巡邏情況的復雜性，我們還需考慮以下幾個因素：

1．該城市的巡邏方式僅有110警車，雖然能將巡邏范圍大大擴大，但是警員坐在汽車里遠離市民，對社區(qū)情況和案件的了解情況不如徒步巡邏的效果好，同時警車巡邏時，只能在道路上行駛，對應圖中的非道路區(qū)域沒有進行巡邏，使非街道區(qū)域成為巡邏盲區(qū)；

2.對于突發(fā)事件的處理問題；

3.各巡邏警員之間在一些未被覆蓋的區(qū)域如何合作才能使整體的巡邏效果取得比較好的成效；

4.巡邏頻率的選取問題。

針對以上問題，我們提出以下幾個解決方案： 1.為了了解社區(qū)情況和將巡邏范圍擴大到非街道區(qū)，可以采用警車加徒步巡邏或摩托車方式進行巡邏，這樣做會使整個巡邏范圍擴大，必會大大增加巡警人數(shù)，在制定巡邏方案時，需要綜合考慮，選取最合適的巡邏方案；

2.當有突發(fā)事件發(fā)生時，要突破分區(qū)限制，各分區(qū)需要通力合作，還要求巡警及時掌握準確信息，向上級部門匯報，隨機應變地解決所遇到的問題；

3.在警員人數(shù)有限的情況下，需要各分區(qū)巡警明確巡邏目的，踏實工作，明確責任制，做好本職工作，使人民生命財產(chǎn)安全得到最大限度的保障；

4.巡邏頻率太高，會影響到人民的正常工作和生活（報紙刊登有相關(guān)消息），如果巡邏頻率太低，將降低市民的安全感，同時給一些違法犯罪分子予可乘之機，所以要合理安排巡邏方案，將巡邏頻率控制在一個適當?shù)姆秶鷥?nèi)。

六 模型的分析和評價

在求解滿足D1的條件下，整個區(qū)域需要配備多少輛警車問題中，采用分區(qū)巡邏的思想，先分析能使各區(qū)管轄范圍達到最大值時的規(guī)律，由特殊到一般層層進行分析，邏輯嚴密，結(jié)果合理。

在求解區(qū)域和警車數(shù)目時，在初步設定警車?？奎c位置的基礎上，用模擬退火算法思路構(gòu)造函數(shù)f1來確定調(diào)整的概率大小，綜合考慮了影響區(qū)間調(diào)整的因素后構(gòu)造了f2函數(shù)來確定分區(qū)的調(diào)整方向，當分區(qū)按照這兩個調(diào)整函數(shù)進行調(diào)整時，各分區(qū)能管轄盡可能多的道路節(jié)點，所取得效果也比較理想。

參 考 文 獻

[1]中小城市警察巡邏勤務方式的探討，俞詳，江蘇公安?？茖W校學報，1998年第1期 [2]Matlab7.0從入門到精通，求是科技，人民郵電出版社； [3]不確定車數(shù)的隨機車輛路徑問題模型及算法，運懷立等，工業(yè)工程，第10卷第3期，2005年5月；

[4]隨機交通分配中的有效路徑的確定方法，李志純等，交通運輸系統(tǒng)工程與信息，第3卷第1期，2003年2月。

附 錄

圖 問題三巡邏路徑

圖 問題五巡邏路徑

圖 問題六巡邏路徑