第一篇：求極限畢設(shè)

求極限的若干方法

數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生

李飛

指導(dǎo)教師

辛彩婷

摘要：本文首先介紹了數(shù)列極限的相關(guān)概念及其性質(zhì)定理,如數(shù)列極限的定義、性質(zhì)，Stolz定理等；其次是函數(shù)極限的相關(guān)概念及其性質(zhì)定理，包括函數(shù)極限的定義、性質(zhì)，洛必達(dá)法則，泰勒公式等；最后歸納和總結(jié)了求兩類極限的若干方法，主要是利用兩個重要極限、洛比達(dá)法則、泰勒公式、定積分等求極限的方法，并結(jié)合具體的例子，指出了在解題過程中常遇見的一些問題，以供學(xué)習(xí)者查閱借鑒。關(guān)鍵詞：數(shù)列 函數(shù) 極限 導(dǎo)數(shù)

Some methods of the calculation of the limits Student majoring in mathematics and applied mathematics

Li Fei

Tutor

Xin Cai-ting Abstract:This paper first introduces the related concepts and theorems of the sequence limit, such as definitions and properties of the sequence limit, the Stolz theorem;second is the related concepts and theorems of the function limit, including the definition and the property of the functional limit, L’Hospital rule, Taylor formula;finally summarizes some methods of two kinds of limits, mostly using two important limits, L’Hospital rule, Taylor formula, definite integral,and so on, combining with the specific example, and pointing out some problems that we often met in the process of solving problems for learners to refer to the reference.Key word: Series；Function；Limit；Derivative

引言 極限概念是高等數(shù)學(xué)中最重要、最基本的概念之一，它是研究變量數(shù)學(xué)的有力工具,也是研究高等數(shù)學(xué)的重要理論基礎(chǔ)，許多重要的概念如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、無窮級數(shù)的和及廣義積分等都是用極限來定義的.極限問題是高等數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)之一，圍繞極限的中心問題有兩個：一是證明極限存在，二是求極限的值.這兩個問題有密切關(guān)系：若求出了極限的值，自然極限存在性也被證明.反之，證明了極限存在，也就為計(jì)算極限鋪平了道路.掌握好求極限對學(xué)好高等數(shù)學(xué)是十分重要的，求極限的方法很多，但是每種方法都有其局限性，都不是萬能的.對某個具體的求極限的問題，我們應(yīng)該追求最簡便的方法.在求極限的過程中，必然以相關(guān)的概念、定理及公式為依據(jù)，并借助一些重要的方法和技巧.本文作者歸納總結(jié)出了如下常見的求極限的方法.數(shù)列極限的概念

關(guān)于如何求極限，必須先了解極限的概念.這里，我們先介紹數(shù)列極限，然后介紹函數(shù)極限.兩類極限有著相似的性質(zhì)定理與類似的求極限的方法，彼此有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系.下面給出數(shù)列極限的概念.1.1數(shù)列極限的定義

定義1.1.1 設(shè){xn}是一給定數(shù)列，a是一個實(shí)常數(shù).如果對于任意給定的??0，可以找到正整數(shù)N，使得當(dāng)n?N時，成立xn?a??，則稱數(shù)列{xn}收斂于a（或稱a是數(shù)列{xn}的極限），記為limxn?a，有時也記為xn?a（n??）.n??如果不存在實(shí)數(shù)a，使{xn}收斂于a，則稱數(shù)列{xn}發(fā)散.1.2數(shù)列極限的性質(zhì) 1.2.1極限的惟一性

定理1.2.1 收斂數(shù)列的極限必唯一.1.2.2數(shù)列的有界性

定理1.2.2 收斂數(shù)列必有界.1.2.3數(shù)列的保序性

{yn}均收斂，定理1.2.3 設(shè)數(shù)列{xn}，若limxn?a，limyn?b，且a?b，n??n??[1][1][1]則存在正整數(shù)N，當(dāng)n?N時，成立xn?yn.1.2.4極限的夾逼性

定理1.2.4 若三個數(shù)列{xn}，{yn}，{zn}從某項(xiàng)開始成立xn?yn?zn，n?N0，且limxn?limzn?a，則limyn?a.n??n??n??[1]1.3 Stolz定理

定理1.3.1（且lim?[1]型Stolz公式）設(shè){yn}是嚴(yán)格單調(diào)增加的正無窮大量，?n??xn?xn?1x?a（a可以為有限量，??與??），則limn?a.n??yyn?yn?1n 定理1.3.2（無窮小量，且lim 注意：0[1]型Stolz公式）設(shè)limxn?0，{yn}是嚴(yán)格單調(diào)減少的正

n??0xn?xn?1x?a（a可以為有限量，??與??），則limn?a.n??yyn?yn?1nn???型Stolz公式，其實(shí)只要求分母yn是嚴(yán)格單調(diào)增加的正無窮大量，?0至于分子xn是否是無窮大量，無關(guān)要緊.而型Stolz公式，則要求分母yn與分

0子xn都是無窮小量.1.4收斂準(zhǔn)則

定理1.4.1 單調(diào)有界數(shù)列必定收斂.定理1.4.2（Bolzano-Weierstrass定理）有界數(shù)列必有收斂子列.[1][1]2函數(shù)極限的概念

我們在第一部分討論了數(shù)列的極限，現(xiàn)在來討論另一類極限，即函數(shù)的極限.下面我們給出函數(shù)極限的嚴(yán)格定義.2.1函數(shù)極限的定義

定義2.1.1 設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某個空心領(lǐng)域中有定義，即存在??0，使UO(x0,?)?Df.如果存在實(shí)數(shù)A，對于任意給定的??0，可以找到??0，使得當(dāng)0?x?x0??時，成立f(x)?A??，則稱A是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的極限，記為limf(x)?A，或f(x)?A（x?x0）.x?x0如果不存在具有上述性質(zhì)的實(shí)數(shù)A，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的極限不存在.2.2函數(shù)的連續(xù)性

定義2.2.1 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某個鄰域中有定義，并且成立x?x0limf(x)?f(x0)，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)，或稱x0是函數(shù)f(x)的連續(xù)點(diǎn).定理2.2.1 一切初等函數(shù)在其定義域上連續(xù).2.3函數(shù)極限的性質(zhì) 2.3.1極限的惟一性

[1] 定理2.3.1設(shè)A與B都是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的極限，則A?B.[1]2.3.2局部保序性

[1] 定理2.3.2 若limf(x)?A，limg(x)?B，且A?B，則存在??0，當(dāng)

x?x0x?x00?x?x0??時，成立f(x)?g(x).2.3.3夾逼性

定理2.3.3[1] 若存在r?0，使得當(dāng)0?x?x0?r時，成立x?x0x?x0x?x0g(x)?f(x)?h(x)，limg(x)?limh(x)?A，則limf(x)?A.2.4函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 定理2.4.1（Heine定理）[1] limf(x)?A的充分必要條件是：對于任意滿

x?x0足條件limxn?x0，且xn?x0（n?1,2,3,?）的數(shù)列{xn}，相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列{f(xn)}n??成立limf(xn)?A.n?? 這一性質(zhì)被經(jīng)常用于證明某個函數(shù)極限不存在.定理2.4.2[1]

limf(x)存在的充分必要條件是：對于任意滿足條件

x?x0n??limxn?x0，且xn?x0（n?1,2,3,?）的數(shù)列{xn}，相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列{f(xn)}收斂.2.5單側(cè)極限與極限的關(guān)系

[2] 定理2.5.1 函數(shù)f(x)在x0極限存在的充分必要條件是f(x)在x0的左極限與右極限存在并且相等：limf(x)?A?lim?f(x)?lim?f(x)?A.x?x0x?x0x?x02.6 L’Hospital（洛必達(dá)）法則

02.6.1 型不定式極限

0 定理2.6.1 若函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)滿足： ①limf(x)?limg(x)?0，x?x0x?x0[2]②在點(diǎn)x0的某空心鄰域u0(x0)內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且g'(x)?0，③limf'(x)?A（A可為實(shí)數(shù)，也可為??或?），g'(x)f(x)f'(x)?lim?A.g(x)x?x0g'(x)x?x0則limx?x02.6.2 ?型不定式極限 ?[2] 定理2.6.2 若函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)滿足： ①lim?f(x)?lim?g(x)??，x?x0x?x0②在點(diǎn)x0的某空心鄰域u0?(x0)內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且g'(x)?0，③lim?x?x0f'(x)?A，（A可為實(shí)數(shù)，也可為??或?），g'(x)則lim?x?x0f(x)f'(x)?lim??A.x?xg(x)g'(x)02.6.3 其它類型不定式極限

不定式極限還有0??，1?，00，?0，???等類型.這些類型經(jīng)過簡單的恒

?0型和型的不定式極限.?02.7 Taylor(泰勒)公式 等變換，都可以化為 定理2.7.1（帶Peano余項(xiàng)的Taylor公式）設(shè)f(x)在x0處有n階導(dǎo)數(shù)，則存在x0的一個領(lǐng)域，對于該領(lǐng)域中的任一點(diǎn)，成立

f''(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n?rn(x)，2!n!余項(xiàng)rn(x)滿足rn(x)?o((x?x0)n).3 求數(shù)列極限與函數(shù)極限的方法及應(yīng)用

3.1 求數(shù)列極限的方法及應(yīng)用

3.1.1利用定義求數(shù)列極限

根據(jù)數(shù)列極限的定義來證明某一數(shù)列極限，其關(guān)鍵是對任意給定的??0尋找自然數(shù)N，通過解不等式xn?a??而得出的N.但在大多數(shù)情況下，這個不等式并不容易解.實(shí)際上，數(shù)列極限的定義并不要求取到最小的或最佳的自然數(shù)N，只需要其存在性即可，所以在證明中常常對xn?a適度的做一些放大處理，這是一種常用的技巧.1111????(?1)n例1 設(shè)xn??，求limxn.n??nn?1n?22n11111????(?1)n?，解：由0??nn?1n?22nn1?1?則對于??0，取N???，當(dāng)n?N時，成立xn???，則limxn?0.n??n???3.1.2 n項(xiàng)和數(shù)列極限問題

n項(xiàng)和數(shù)列極限問題有兩種處理方法：

(1)用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分來計(jì)算；(2)利用兩邊夾法則求極限.例2 求極限lim(n??111???).n?1n?22n分析：把此極限式化為某個積分和的極限式，并轉(zhuǎn)化為計(jì)算定積分，為此作如下變形：

J?limn??1?.?ini?11?n1在區(qū)間?0,1?上的一個積分和.（這1?xn1不難看出，其中的和式是函數(shù)f(x)?里所取的是等分分割，?xi?J??11i?i?1i?i?1.2.??????n., ?i???），所以 ,?（nn?nn?dx?ln(1?x)|1?ln2.001?x1當(dāng)然，也可把J看作f(x)? 在?1,2?上的定積分，同樣有

x2dx3dxJ?? ?1x?2x?1????????ln2.???111?111???dx?ln2.????解：原式＝limn??n?12n??01?x1?1???1?nnn???111????例3 極限lim?2n???n2?2n2?n?n?1??.??1??1??2??n?? 分析：(1)該題與例2類似，但是不能湊成lim?f?f???f????????n??n?nn???n?????的形式，根據(jù)各項(xiàng)的特點(diǎn)可以考慮用兩邊夾法則求解；(2)兩邊夾法則需要將原式適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小，要求放大和縮小后的表達(dá)式極限相等.解: 因?yàn)?nn?n2?1n?12?1n?22???1n?n2?nn?12，又

limn??n?lim?1，22n??n?nn?1??＝１.??n?111????所以 lim?2n???n2?2n2?n?n?13.1.3利用定積分求極限

利用定積分可求如下兩種形式的極限：

1??1?（1）lim?f???n??n???n??2?f??????n??n??型 f?????n??定理1?3? 設(shè)

f?x?在?0,1?上可積，則有：1??1?lim?f???n??n???n?例題見例3.?2?f??????n??n??1f?????f?x?dx.??n??0?1??2??n?（2）limnf???f?????f??型

n???n??n??n?定理2 若f?x?在?0,1?上可積，則： [4]?1?limnf???n???n?n?2?f????n??n??f???exp?n???lnf?x?dx?.10例4.求limn??n!.n解：原式?limnn??12n?，令f?x??x，則有 nnnnlimn??1n!12n?1?limn??exp???0lnxdx???e.n????nnnn3.1.4求和公式法（適合于等差數(shù)列、等比數(shù)列等類型）

關(guān)于無限項(xiàng)之和的極限，可以根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列以及其它數(shù)列的前n項(xiàng)求和公式，先求n項(xiàng)的和，然后再求出n趨于無窮時的極限.常用的求和公式見附錄1.例5 求lim1?2?3????n?1?.2n??nn?1?1?n?1?2n?n12解：原式?lim?lim?.22n??n??2n2n3.1.5利用Stolz定理求數(shù)列極限

有些 “ 無窮多項(xiàng)”極限問題，當(dāng)不能利用恒等變換轉(zhuǎn)化為有限多項(xiàng)時，若借助Stolz定理，就可迎刃而解了.12?32?52???(2n?1)2例6 求lim.n??n312?32?52???(2n?1)2(2n?1)24n2?4n?14解：lim?lim3?lim2?.n??n??n?(n?1)3n??3n?3n?1n333.1.6利用單調(diào)有界定理求數(shù)列極限 應(yīng)用該定理求極限時，通常要先證明這個數(shù)列是單調(diào)有界的，從而確定極限的存在性，在討論過程中有界性的確定往往是個難點(diǎn)，可借助單調(diào)遞增數(shù)列的極限是它的最小上界、單調(diào)遞減數(shù)列的極限是它的最大下界的性質(zhì)確定數(shù)列的界.最后找出數(shù)列xn?1與xn的遞推公式，設(shè)數(shù)列的極限是A，在xn?1與xn的遞推公式兩邊取極限，得到關(guān)于A的方程，從而求出A.234n?1例7求lim?????.n??3572n?1解：易得0?an?1，則{an}有界，234令an????357an?an?1?nn?1k?1n?1，得遞推公式 an????an?1，2n?1k?12k?12n?1n?1naan?1?an?1??n?1?0，則{an}單減.2n?12n?1n??由單調(diào)有界數(shù)列必收斂，則liman存在，令liman?a，n??1n?1an?1兩邊取極限，得a?a，有a?0，即liman?0.n??22n?13.1.7利用壓縮性條件證明極限存在再求極限 由an?應(yīng)用該條件求極限時，通常要先證明這個極限的存在性，然后找出數(shù)列xn?1與xn的遞推公式，設(shè)數(shù)列的極限是A，在xn?1與xn的遞推公式兩邊取極限，得到關(guān)于A的方程，從而求出A.例8 設(shè)x1?2，xn?1??1，求limxn.n??2?xn解：由?1?x1?2，歸納法易得?1?xn?2，xn?1?xn??1?1xn?xn?1??，2?xn2?xn?1(2?xn)(2?xn?1)由0?1?1，滿足壓縮性條件，則{xn}收斂，則limxn存在，n??(2?xn)(2?xn?1)?1?1兩邊取極限，得a?，有a??1，即2?xn2?a令limxn?a，由xn?1?n??n??limxn??1.3.1.8利用海涅定理求數(shù)列極限

海涅定理的意義在于通過對函數(shù)極限與數(shù)列極限的相互轉(zhuǎn)化來處理問題，從而，我們可以應(yīng)用海涅定理將某些不易求的數(shù)列極限的問題轉(zhuǎn)化為求易求的函數(shù)極限的問題.1??例9 極限lim?nsin?.n??n?? 分析：這是1?形式的數(shù)列極限，由于數(shù)列極限不能使用洛必達(dá)法則，若直接求有一定難度，但是若轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限，可通過3.2.7提供的方法結(jié)合洛必達(dá)法則求解.1??解：考慮輔助極限lim?xsin?x???x??x2n2?limex???1??x2?xsin?1?x???lime?y?0?1?1?siny?1??2?yy???e，?161??故由海涅定理的必要性得：lim?nsin?n??n??n2?e.?163.2 求函數(shù)極限的方法及應(yīng)用 3.2.1分子(母)有理化求極限

?0 如果函數(shù)的極限出現(xiàn)、、?-?等未定式，一般采用約簡分式，有理化

?0分子或分母等方法消去未定式.例10 求 limx?13x?1?2.x?1分析：本題因?yàn)榉肿?、分母都含有?”因子，給求極限帶來麻煩，因此想辦法消去“0”因子，采用分子有理化.(3x?1)2?223x?33?lim?lim?解：原式.x?1(x?1)(3x?1?2)x?1(x?1)(3x?1?2)4注：本題也可以用洛比達(dá)法則.3.2.2利用函數(shù)的連續(xù)性(適用于求函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處的極限)(1)初等函數(shù)

如果y?f?x?是初等函數(shù)，且點(diǎn)x0是 f?x?定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，則函數(shù)y?f?x?在點(diǎn)x0處連續(xù)，于是有l(wèi)imf?x??fx0.通常稱這種求極限的方法為代入法.x?x0??exsinx?x例11 求lim2.x?3x?lnx 分析：這是由幾個基本初等函數(shù)構(gòu)成的初等函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)，因此直接帶值.e3sin3?3解：原極限?lim2.x?33?ln3（2）復(fù)合函數(shù)

若函數(shù)f???x??是復(fù)合函數(shù)，且lim0??x??a,f?u?在u?a處連續(xù)，x?x則lim0f???x???f?lim0??x???f?a?.??x?x?x?x?1?cosx例12.求lime2arcsinx的極限.x?01?cosx2 分析：函數(shù)e2arcsixn可看成是由f?u??eu，u?21?cosx復(fù)合而成，且

2arcsinx2lim1?cosx11u?，在處連續(xù)，因此 u???fu?ex?02arcsinx244解：由于lim1?cosx11u?及函數(shù)在處連續(xù)，u???fu?ex?02arcsinx2441?cosx2arcsinx2故 limex?0=elim2x?02arcsinx1?cosx=e.說明：用此方法求極限有時常常會遇到，函數(shù)f?x?在x點(diǎn)沒有意義,即函數(shù)f?x?在x點(diǎn)不連續(xù),這時要視具體情況對f?x?進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃危D(zhuǎn)化為連續(xù)

0函數(shù),再利用函數(shù)的連續(xù)性求出極限,該方法常用于“”型的極限.在進(jìn)行變形

0時常用到因式分解、分子或分母“有理化”的運(yùn)算以及三角函數(shù)的有關(guān)公式,其目的就是消去分母中的零因子.3.2.3利用左右極限與極限關(guān)系

該方法適用于求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限或某函數(shù)在其間斷點(diǎn)處的極限，以及用定義求極限等情形.函數(shù)在某點(diǎn)處的極限存在的充要條件是：當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)在某點(diǎn)處的左、右極限都存在且相等，則函數(shù)在該點(diǎn)處的極限值即為所求的左右極限的值.?1?2e?x,x?0??x?x,0?x?1，求limf(x)及l(fā)imf(x).例13 設(shè)f(x)??x?0x?1x??x2,x?1??x解：?limf(x)?lim(1?2e)??1，limf(x)?lim(????x?0x?0x?0x?0x?x)?lim(x?1)??1?x?0x，由 limf(x)?limf(x)，?limf(x)??1.??x?0x?0x?0又limf(x)?lim??x?1x?1x?x2??limfx?limx?1，?limx?1?0???x?1x?1x?1x??由f?1?0??f?1?0?，?limf?x?不存在.x?13.2.4利用等價無窮小量代換求函數(shù)極限

o[2]定理 設(shè)函數(shù)f(x),g(x),h(x)在U(x0)內(nèi)有定義，且有

f(x)~g(x)(x?x0)，（1）若limf(x)g(x)?A,則limg(x)h(x)?A；

x?x0x?x0（2）若limx?x0h(x)h(x)?B,則lim?B.x?x0g(x)f(x)''?'??' 由定理知：若?~?,?~?且lim'存在，則有l(wèi)im?lim'.其中：

?????0,?'?0.所以，當(dāng)lim‘’?的計(jì)算較為困難時，就設(shè)法尋求與?、?等價的對應(yīng)無窮小??'?'??、?進(jìn)行代換，變求lim為求lim'，而lim'的計(jì)算較為容易，所給極限

???lim?的計(jì)算就迎刃而解.?顯然，利用等價無窮小的代換求極限的一個前提是：對一些常用的等價無窮小量要熟悉.例如：當(dāng)x?0時，有sinxx，tanx~x，arctanx~x，121?cosx~x，ax?1~xlna（a?0），ex?1~x，(1?bx)a?1~abx，2xxn1?x?1~，loga(1?x)~(l1?x)~x.（a?0），nnlna例14 求limx(1?cosx).x?0(1?ex)sinx21x?x21解：原式?lim22??.x?0?x?x2tanx?sinx例15 求lim的極限.3x?0sinxsinx(1?cosx)，而sinx~x,x?0； 解：由 tanx?sinx?cosxx21?cosx~,x?0；sinx3?x3~x3,x?0，2x2x?1tanx?sinx2?1.lim?故有 lim= x?0x?0cosxsinx3x32注：在利用等價無窮小代換求極限時，應(yīng)該注意：只有對所求極限中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量來代換，而對極限式中的相加或相減的部分則不能隨意代換.例如，在上式中，若因?yàn)橛衪anx~x，x?0，sinx~x，x?0，從而推出

limtanx?sinxx?x?lim?0，33x?0x?0sinxsinx則就會得出錯誤的結(jié)論.3.2.5利用夾逼定理求函數(shù)極限

利用夾逼定理可將某函數(shù)適當(dāng)縮小和放大，使得縮小和放大后得到的新函數(shù)的極 限分別存在且相等，從而得到原函數(shù)的極限．即原函數(shù)的極限就等于縮小或放大后的函數(shù)的極限.1?1??1??1?例16 求limx??（??為取整函數(shù)，??表示不大于的最大整數(shù)）.x?0x?x??x??x?分析：此極限難點(diǎn)：在取整函數(shù)不易求極限，所以想著去掉取整函數(shù)，故而采用適當(dāng)?shù)姆糯蠹翱s小，用夾逼準(zhǔn)則求原式極限.1?1?1解：由 ?1????（x?0），x?x?x?1??1?故，當(dāng)x?0時，有1?x?x???1，則lim(1?x)?limx?lim1，有?????x?0x?0x?0xx?????1?limx?1； ?x?0???x??1??1?當(dāng)x?0時，有1?x?x???1，則lim(1?x)?limx?lim1，有?????x?0x?0x?0xx?????1?limx?1； ?x?0???x??1?所以，limx???1.x?0?x?3.2.6利用洛必達(dá)法則求函數(shù)極限

?0?0 對于或型的極限,可通過洛必達(dá)法則來求.若所求極限呈現(xiàn)或型，?0?0則可直接利用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解，若所求的函數(shù)極限呈現(xiàn) 0??，1?，00，?0，則可將其恒等變形化成???型等形式，sinx1?cosx)例17 求lim(.x?0x1?0或型，再利用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解.?0分析：本題為1?型，所以要用洛必達(dá)法則求極限，恒等變形轉(zhuǎn)化為

?0或型.?0作為1?型，一般采用取對數(shù)，或者利用f(x)?elnf(x)這種形式恒等變形再轉(zhuǎn)化.解：取對數(shù)后，sinxsinxln(ln)'xcosx?sinx(xcosx?sinx)'xx, lim?lim?lim?lim23x?01?cosxx?0x?0x?012xsinx(x)'(x)'2?sinx1?cosx?xsinx1)?e3.?lim??，則lim(2x?0x?0x3x311有 注：如果采用取對數(shù)再求極限這種方法，一定要注意還原.這種方法易錯點(diǎn)，1誤把?當(dāng)作本題的最后極限.3lnx例18 求lima(a?0,x?0).x???x?解： 由limlnx??,limxa??，故此例屬于型；

x???x????1lnx1由洛必達(dá)法則有：lima?limx?lim?0(a?0,x?0).x???xx???axa?1x???axa例19 求limxlnx.?x?0?0或型，但?0是這一種類型需要注意，如果函數(shù)本身含有對數(shù)函數(shù)或者反三角函數(shù)，則需要將對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)保留在分子位置，否則再用洛必達(dá)法則時會越來越繁瑣且

lnx?不易求出結(jié)果.因此，作恒等變形xlnx?，將它轉(zhuǎn)化為型的不定式極限.1?x1lnxx?lim(?x)?0.解： limxlnx?lim?limx?0?x?0?1x?0??1x?0?xx2總而言之，在運(yùn)用洛必達(dá)法則時，應(yīng)注意：

0?（1）檢查所求極限是否屬于不定式，只有是“”型或“”型的不定式

0?分析：這是一個0??型的不定式極限，可將其恒等變形化成時才可直接運(yùn)用洛必達(dá)法則，其他型不定式(如0??，1?，00，?0，???等)應(yīng)先化為“0?”型或“”型不定式，再運(yùn)用洛必達(dá)法則.0?f?x?f'?x?（2）當(dāng)lim'不存在時，不能斷定lim不存在，即洛必達(dá)法則的條

g?x?g?x?件是充分但非必要條件.此時，只能說明此極限不能應(yīng)用洛必達(dá)法則求解，如x?sinxlim.x??x?sinx（3）在求不定式極限的過程中，有時一次洛必達(dá)法則不能解決問題需要多次使用洛必達(dá)法則，但是在使用時要檢查是否滿足條件.（4）在每次使用洛必達(dá)法則后，都應(yīng)對所得極限式子進(jìn)行整理化簡，然后再考慮是否繼續(xù)使用洛必達(dá)法則.有時用其他方法計(jì)算極限很方便時，就不必用洛必達(dá)法則了.x（5）如果f?x?或g?x?中含e或arctanx、arccotx，且求當(dāng)x??時的極限時，應(yīng)分別討論當(dāng)x???及x???時，f?x?f?x?的極限，并判斷l(xiāng)im是否存

x??g?x?g?x?在.（6）洛必達(dá)法則是求不定式極限的一個有效方法，但不是萬能的，要根據(jù)所求極限的具體特點(diǎn)選用恰當(dāng)?shù)姆椒?3.2.7利用Taylor(泰勒)公式求函數(shù)極限

利用泰勒公式求極限,一般用麥克勞林公式形式,并采用皮亞諾型余項(xiàng).當(dāng)函數(shù)為分式時,一般要求分子分母展成同一階的麥克勞林公式,再通過比較求出極限.一些常用的泰勒公式見附錄2.x2?1?1?x2例20 求lim2.x22x?0(cosx?e)sinx11(?1)1222112解：1?x?1?x?x4?o(x4)?1?x2?x4?o(x4)，22!28x2x4114cosx?1???o(x4)?1?x2?x?o(x4)2!4!224ex?1?x2?2，14x?o(x4)，2!x211?1?(1?x2?x4?o(x4))228原式?lim

x?0212141x[1?x?x?o(x4)?(1?x2?x4?o(x4))]2242!311x2(?x2?x4)224 注：用此法必須熟記基本的初等函數(shù)的展開式，它將原來函數(shù)求極限的問題轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式或有理式的極限問題.3.2.8利用兩個重要極限

0sinx1利用(A)lim?1(B)lim(1?)x?e.第一個重要的極限是型，第二個x?0x??0xxx?0?lim14x8??1.12重要極限是1?型，在1?型中滿足“外大內(nèi)小”，“內(nèi)外互倒”.在利用重要極限求函數(shù)極限時，關(guān)鍵在于把要求的函數(shù)極限化成重要極限的標(biāo)準(zhǔn)型或它們的變型.我們經(jīng)常使用的是它們的變形：

(A')limsin?(x)1?(x)?1,(?(x)?0)；(B')lim(1?)?e,(?(x)??).?(x)?(x)sinx?1例21 求lim.x?1x?122?x?1??sin?x?1??sin?x?1? 解：原式=lim?lim?x?1???2.x?1x?1?x?1??x?1?x2?1?2?注：limsinx?1的擴(kuò)展形式：

x?0x 令g?x??0，當(dāng)x?x0或x??時，則有

lim因而，limsing?x?sing?x??1.?1或limx??x?x0g?x?g?x?sinx?0?1.x??x1x例22 求lim(1?2x)的極限.x?011??22x2xlim(1?2x)?(1?2x)解：原式=???e.x?0??利用這兩個重要極限來求函數(shù)的極限時要仔細(xì)觀察所給的函數(shù)形式只有形式符合或經(jīng)過變化符合這兩個重要極限的形式時才能夠運(yùn)用此方法來求極限.一般常用的方法是換元法和配指數(shù)法.3.2.9利用微分中值定理求函數(shù)極限

[2] 因?yàn)橛晌⒎种兄刀ɡ砜傻玫皆谀骋稽c(diǎn)的具體的導(dǎo)數(shù)值.而根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的定義：fx0?lim'??f?x??fx0x?x0??x?x0,可知某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是極限的形式表示的.所以類似此類函數(shù)的極限而且符合中值定理的話，可利用此種方法.ex?esinx例23 求lim.x?0x?sinx分析：觀察可知，這是一個中值定理的結(jié)論

f?b??f?a?型的函數(shù)，我們很容易想到拉格朗日b?af?b??f?a?,???a,b? b?a從而，我們可以利用拉格朗日中值定理進(jìn)行求解.' f????解:令f(x)?ex，對它應(yīng)用微分中值定理得，ex?esinx?f(x)?f(sinx)?(x?sinx)f'(sinx??(x?sinx))(0???1)，ex?esinx?f'(sinx??(x?sinx))(0???1).即x?sinx?f'(x)?ex連續(xù)，?limf'(sinx??(x?sinx))?f'(0)?1，x?0ex?esinx?1.從而有 limx?0x?sinx3.2.10多種方法的綜合運(yùn)用

前面介紹了求解極限的基本方法,然而每一道題目并非只有一種方法.因此我們在解題中要注意各種方法的綜合運(yùn)用的技巧,使得計(jì)算大為簡化.1?cosx2例24 求lim2.x?0xsinx21?cosx22xsinx2?lim[解法一]: lim2

x?0xsinx2x?02x?x2cosx2?2xsinx2sinx22sinx21x ?lim2 ?lim?2x?0xcosx2?sinx2x?0sinx2cosx2?2x注:此法采用洛必達(dá)法則配合使用兩個重要極限法.x2x2x22sinsinsin1?cosx211222lim?lim?lim??? [解法二]: x?0x2sinx2x?0x2sinx2x?0x2sinx2x222?2x222注:此解法利用“三角和差化積法”配合使用兩個重要極限法.x2x22142sin2()x21?cosx12?lim22 [解法三]:lim2 ?lim?lim?x?0xsinx2x?0x2sinx2x?0x2(x2)x?0x422 注:此解法利用“三角和差化積法”配合使用無窮小代換法.(x2)21?cosx2x212 [解法四]:lim2 ?lim?lim?x?0xsinx2x?0x2sinx2x?02sinx22 注:此解法利用了無窮小代換法配合使用兩個重要極限的方法.顯然最簡單，因此在做題的時候一定要注意選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?此題還有其他十多種解法，本文就不再詳述.總之在求函數(shù)極限的問題時，一定要視問題本身而靈活選用各種方法.3.2.11多元函數(shù)極限的計(jì)算

計(jì)算多元函數(shù)的極限常用的方法是：1）利用不等式，使用兩邊夾法則；2）變量替換化為已知極限，或化為一元函數(shù)極限；3）利用極坐標(biāo)；4）利用初等函數(shù)的連續(xù)性，利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)；5）利用初等變形，特別指數(shù)形式常可先求其對數(shù)的極限；6）若事先能看出極限值，可用?-?方法進(jìn)行證明.1?cos?x2?y2?x?y22lim例25.求下列極限：1）?x,ylim；2）；3）???0,0?x2?y2exy22x????x?yy??lim?x?y2x?0y?0222xy?；

22解：1）因?yàn)??cosx?y~??12x?y22????x,y???0,0??，21222x?y??1?cos?x?y?x2?y22?limlim?0； 2222?22所以?x,ylim???0,0?x2?y2exy?x,y???0,0?x2?y2exy?x,y???0,0?2exy????222）因?yàn)??x?yx?y22?xx?y22?yx?y22?xx2?yy2?11?，xy又limx??y??x?y11lim?0.，所以由兩邊夾法則有：??022x??xyx?yy??

3x?0y?0）2先求取對數(shù)之后的極限：limlnx?y?222xy?x2y22222?lim2x?ylnx?y，x?0x?y2y?0????x2y2x2?y2因?yàn)?0?2?2?x2?y2?0，22x?yx?y??2lim?x2?y2?ln?x2?y2?令x2?y2?tlimtlnt?0，x?0y?0t?0故原極限?e0?1.注：取對數(shù)后求極限注意還原.總結(jié)

以上方法是總結(jié)出的高等數(shù)學(xué)里求極限的重要方法.在做求極限的題目時,僅僅掌握以上方法而不能夠透徹清晰地明白以上各方法所需的條件也是不夠的,必須認(rèn)真分析、仔細(xì)甄選,選擇出適當(dāng)?shù)姆椒?這樣不僅準(zhǔn)確率更高,而且還會省去許多不必要的麻煩,起到事半功倍的效果.這就要求學(xué)習(xí)者吃透其精髓,明白其道理,體會出做題的竅門,要達(dá)到這樣的境界必須要勤于思考,善于總結(jié),歸納出每種方法適用的題型,在做題時才會熟能生巧,得心應(yīng)手.

第二篇：求極限總結(jié)

首先 對 極限的總結(jié) 如下

極限的保號性很重要 就是說在一定區(qū)間內(nèi) 函數(shù)的正負(fù)與極限一致極限分為 一般極限，還有個數(shù)列極限，（區(qū)別在于數(shù)列極限時發(fā)散的，是一般極限的一種）

2解決極限的方法如下：（我能列出來的全部列出來了?。?！你還能有補(bǔ)充么？？？）等價無窮小的轉(zhuǎn)化，（只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用 但是前提是必須證明拆分后極限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等價于Ax 等等。全部熟記

（x趨近無窮的時候還原成無窮小）

2落筆他 法則（大題目有時候會有暗示 要你使用這個方法）

首先他的使用有嚴(yán)格的使用前提?。?！

必須是 X趨近而不是N趨近！?。。。ㄋ悦鎸?shù)列極限時候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件

（還有一點(diǎn) 數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無窮的 不可能是負(fù)無窮?。?/p>

必須是 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在！?。。。偃绺嬖V你g（x）, 沒告訴你是否可導(dǎo)，直接用無疑于找死！）

必須是 0比0 無窮大比無窮大?。。。?！

當(dāng)然還要注意分母不能為0

落筆他 法則分為3中情況0比0 無窮比無窮 時候 直接用0乘以無窮 無窮減去無窮（應(yīng)為無窮大于無窮小成倒數(shù)的關(guān)系）所以 無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通項(xiàng)之后 這樣就能變成1中的形式了0的0次方 1的無窮次方 無窮的0次方

對于（指數(shù)冪數(shù)）方程 方法主要是取指數(shù)還取對數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無窮時候他的冪移下來趨近于0 當(dāng)他的冪移下來趨近于無窮的時候 LNX趨近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的時候，尤其是含有正余旋 的加減的時候要 特變注意?。。〦的x展開 sina 展開 cos 展開 ln1+x展開

對題目簡化有很好幫助

4面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法

取大頭原則 最大項(xiàng)除分子分母?。。。。?！

看上去復(fù)雜處理很簡單?。。。?！

5無窮小于有界函數(shù)的處理辦法

面對復(fù)雜函數(shù)時候，尤其是正余旋的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時候，一定要注意這個方法。

面對非常復(fù)雜的函數(shù) 可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來了?。?/p>

6夾逼定理（主要對付的是數(shù)列極限?。?/p>

這個主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴(kuò)大。

7等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（對付數(shù)列極限）（q絕對值符號要小于1）

8各項(xiàng)的拆分相加（來消掉中間的大多數(shù)）（對付的還是數(shù)列極限）

可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù)

9求左右求極限的方式（對付數(shù)列極限）例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時一樣的，應(yīng)為極限去掉有限項(xiàng)目極限值不變化 10 2 個重要極限的應(yīng)用。這兩個很重要?。。Φ谝粋€而言是X趨近0時候的sinx與x

比值。地2個就如果x趨近無窮大 無窮小都有對有對應(yīng)的形式

（地2個實(shí)際上是 用于 函數(shù)是1的無窮的形式）（當(dāng)?shù)讛?shù)是1 的時候要特別注意可能是用地2 個重要極限）還有個方法，非常方便的方法

就是當(dāng)趨近于無窮大時候

不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的！?。。。。。?！

x的x次方 快于 x！快于 指數(shù)函數(shù) 快于 冪數(shù)函數(shù) 快于 對數(shù)函數(shù)（畫圖也能看出速率的快慢）?。。?/p>

當(dāng)x趨近無窮的時候 他們的比值的極限一眼就能看出來了換元法 是一種技巧，不會對模一道題目而言就只需要換元，但是換元會夾雜其中13假如要算的話 四則運(yùn)算法則也算一種方法，當(dāng)然也是夾雜其中的14還有對付數(shù)列極限的一種方法，就是當(dāng)你面對題目實(shí)在是沒有辦法 走投無路的時候可以考慮 轉(zhuǎn)化為定積分。一般是從0到1的形式。

15單調(diào)有界的性質(zhì)

對付遞推數(shù)列時候使用 證明單調(diào)性?。?！

16直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來求極限，（一般都是x趨近于0時候，在分子上f（x加減麼個值）加減f（x）的形式，看見了有特別注意）

（當(dāng)題目中告訴你F(0)=0時候 f（0）導(dǎo)數(shù)=0的時候 就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義?。。?/p>

(0)

回復(fù)

1樓2014-03-19 20:22舉報 |來自Android客戶端

張806788364

舉人5

函數(shù)的性質(zhì)也體現(xiàn)在積分 微分中

例如他的奇偶性質(zhì) 他的周期性。還有復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)

1奇偶性，奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱 偶函數(shù)關(guān)于軸對稱 偶函數(shù)左右2邊的圖形一樣（奇函數(shù)相加為0）

2周期性也可用在導(dǎo)數(shù)中 在定積分中也有應(yīng)用 定積分中的函數(shù)是周期函數(shù) 積分的周期和他的一致復(fù)合函數(shù)之間是 自變量與應(yīng)變量互換 的 關(guān)系

4還有個單調(diào)性。(再求0點(diǎn)的時候可能用到這個性質(zhì)?。?/p>

（可以導(dǎo)的函數(shù)的單調(diào)性和他的導(dǎo)數(shù)正負(fù)相關(guān)）

:o 再就是總結(jié)一下間斷點(diǎn)的問題（應(yīng)為一般函數(shù)都是連續(xù)的 所以 間斷點(diǎn) 是對于間斷函數(shù)而言的）

間斷點(diǎn)分為第一類 和第二類剪斷點(diǎn)第一類是左右極限都存在的（左右極限存在但是不等 跳躍的的間斷點(diǎn) 或者 左右極限存在相等但是不等于函數(shù)在這點(diǎn)的值 可取的間斷點(diǎn)

地二類 間斷點(diǎn)是 震蕩間斷點(diǎn) 或者是 無窮極端點(diǎn)

（這也說明極限即是 不存在也有可能是有界的）

:o 下面總結(jié)一下

求極限的一般題型求分段函數(shù)的極限

當(dāng)函數(shù)含有絕對值符號時，就很有可能是有分情況討論的了?。。。?/p>

當(dāng)X趨近無窮時候 存在e的x次方的時候，就要分情況討論 應(yīng)為 E的x次方的函數(shù)正負(fù)無窮的結(jié)果是不一樣的?。。。O限中含有變上下限的積分 如何解決類？？？？

說白了 就是說 函數(shù)中現(xiàn)在含有積分符號，這么個符號在極限中太麻煩了 你要想辦法把它搞掉?。。。。。。?！

解決辦法 ：

1求導(dǎo)，邊上下限積分求導(dǎo)，當(dāng)然就能得到結(jié)果了 這不是很容易么？

但是?。?！有2個問題要注意??！

問題1 積分函數(shù)能否求導(dǎo)？ 題目沒說積分可以導(dǎo)的話，直接求導(dǎo)的話是錯誤的！！問題2 被積分函數(shù)中 既含有T又含有x的情況下如何解決？？？？？？

解決1的方法： 就是方法2 微分中值定理?。。。?！

微分中值定理是函數(shù)與積分的聯(lián)系！更重要的是他能去掉積分符號?。?！

解決2的方法 ： 當(dāng)x與t的函數(shù)是相互乘的關(guān)系的話，把x看做常數(shù)提出來，再求導(dǎo)數(shù)！?。?/p>

第三篇：如何寫畢設(shè)論文

畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）寫作內(nèi)涵

完整的畢業(yè)論文應(yīng)包括：題目，中文摘要，中文關(guān)鍵詞，英文題目，英文摘要，英文關(guān)鍵詞，目錄，引言，正文，結(jié)論，參考文獻(xiàn)，后記，英文翻譯（原文、譯文）。下面主要針對論文各部分的取材及寫作方法逐一介紹。

1、題目

論文題目應(yīng)具有先進(jìn)性和鮮明性，既不能太寬，也不能太小，一般應(yīng)體現(xiàn)兩點(diǎn)：研究切入點(diǎn) + 核心工作，必要時候可加副標(biāo)題以說明論文的側(cè)重點(diǎn)，同時題目字?jǐn)?shù)一般不超過20個漢字。

例如：

P2P網(wǎng)絡(luò)文件高速下載技術(shù)的研究與實(shí)現(xiàn) 對等網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淇梢暬夹g(shù)研究與實(shí)現(xiàn) 對等網(wǎng)絡(luò)多關(guān)鍵字檢索技術(shù)研究與實(shí)現(xiàn)

2、中文摘要

論文摘要文字必須十分簡煉，內(nèi)容亦需充分概括，篇幅大小一般限制其字?jǐn)?shù)不超過論文字?jǐn)?shù)的5%。例如，對于6000字的一篇論文，其摘要一般不超出300字。

論文摘要應(yīng)包含以下內(nèi)容：

①從事這一研究的目的和重要性；

②研究的主要內(nèi)容，指明完成了哪些工作；

③獲得的基本結(jié)論和研究成果，突出論文的新見解； ④結(jié)論、結(jié)果的實(shí)際意義。

論文摘要不要列舉例證，不講研究過程，不用圖表，不給化學(xué)結(jié)構(gòu)式，也不要作自我評價。建議摘要可以先留出位置，在全文寫完后再寫。

3、中文關(guān)鍵詞

關(guān)鍵詞不少于4 個，以5—6個為宜，其排列順序遵循以下規(guī)則：

第1 個關(guān)鍵詞：列出該文主要工作或內(nèi)容所屬二級學(xué)科名稱。學(xué)科體系采用國家技術(shù)監(jiān)督局分布的《學(xué)科分類與代碼》（國標(biāo)GB/T 13745-92）；

第2 個關(guān)鍵詞：列出該文研究得到的成果名稱或文內(nèi)若干個成果的總類別名稱；

第3 個關(guān)鍵詞：列出該文在得到上述成果或結(jié)論時采用的科學(xué)研究方法的具體名稱。綜述和評述性學(xué)術(shù)論文等寫“綜述”或“評論”等。對科學(xué)研究方法的研究論文，此處寫所應(yīng)用的方法名稱；

第4 個關(guān)鍵詞：列出前三個關(guān)鍵詞中沒有出現(xiàn)的，但被該文作為主要研究對象的物質(zhì)的名稱，或在題目中出現(xiàn)的作者認(rèn)為重要的名詞。

如有需要，第五、六個關(guān)鍵詞等列出作者認(rèn)為有利于檢索和文獻(xiàn)利用的其它關(guān)鍵詞。

4、英文摘要

英文摘要的寫作應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

1）英文摘要題名以短語為主要形式，尤以名詞短語(noun phrase)最常見，即題名基本上由1個或幾個名詞加上其前置和(或)后置定語構(gòu)成。

2）英文摘要題名的字?jǐn)?shù)不應(yīng)過長，國外科技期刊一般對題名字?jǐn)?shù)有所限制。例如，美國醫(yī)學(xué)會規(guī)定題名不超過2行，每行不超過42個印刷符號和空格；美國國立癌癥研究所雜志J Nat Cancer Inst要求題名不超過14個詞；英國數(shù)學(xué)會要求題名不超過12個詞。這些規(guī)定可供我們參考?？偟脑瓌t是，題名應(yīng)確切、簡練、醒目，在能準(zhǔn)確反映論文特定內(nèi)容的前提下，題名詞數(shù)越少越好。

3）中英文題名在內(nèi)容上應(yīng)一致，但不一定詞語要一一對應(yīng)。在許多情況下，個別非實(shí)質(zhì)性的詞可以省略或變動。此外，近些年的趨勢是，凡可用可不用的冠詞均可不用。

4）英文摘要盡量用簡短、詞義清楚并為人熟知的詞。例如： The operation method is narrated based on the conscientious analysis of the dust collection system.其中的narrated和conscientious使用不得體，可改為The operation method is introduced based on the analysis of the dust collection system.在表示分析研究（討論）了時，用… are analyzed, 不用… are analyzed and studied(discussed).5）英美拼寫保持全文風(fēng)格一致。比如，Color和colour，program和 programme。

6）能用名詞做定語不要用動名詞，能用形容詞的而不用名詞。比如，用Measurement accuracy 而不用measuring accuracy；用Experimental results而不用experiment results。

7）可直接用名詞或名詞短語做定語的，盡量少用of。比如，用measurement accuracy而不用accuracy of measurement；用camera curtain shutter 而不用curtain shutter of camera；用equipment structure而不用structure of equipment。8）可用動詞的盡可能避免使用動詞的名詞形式。比如，用thickness of plastic sheets was measure，而不用measurement of thickness of plastic sheet was made。

9）摘要內(nèi)容中不能省略冠詞，正確地使用冠詞，不誤用、濫用或隨便省略。正：“Pressure is a function of the temperature”

誤：“The pressure is a function of the temperature”;

5、英文關(guān)鍵詞

對照中文關(guān)鍵詞逐一翻譯，注意保持原來的順序。

6、目錄

具體見格式要求。

7、引言

引言內(nèi)容應(yīng)該包含題目的研究背景，國內(nèi)外在該領(lǐng)域或該研究方向的研究狀況、發(fā)展趨勢以及述評，研究的意義或應(yīng)用價值，本論文的主要內(nèi)容簡述等。

8、正文

根據(jù)課題方向和導(dǎo)師意見展開成若干章節(jié)加以敘述，整個論文要自成一體，各章節(jié)間要相互呼應(yīng)，層次清晰。其它具體見格式要求

9、結(jié)論

對正文的內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，提出后續(xù)研究的相關(guān)建議。

10、參考文獻(xiàn)

參考文獻(xiàn)必須是學(xué)生本人真正閱讀過的，以近期發(fā)表與論文工作直接相關(guān)的文獻(xiàn)。參考文獻(xiàn)必須在文中引用處體現(xiàn)出來，并按順序編號。一般文科約15篇，理科約10篇左右，其中英文文獻(xiàn)至少應(yīng)有1—2篇。文獻(xiàn)應(yīng)按文中引用出現(xiàn)的順序列全，附于文末。

注錄格式如下：

[期刊]作者.論文題名[J].刊名，年，卷（期）：起止頁碼.[專著]作者.書名[M].出版地：出版者，出版年.引用參考起止頁碼

[論文集]作者.引文題[A].主編，論文集名[C].出版地：出版年.引文起止頁碼。

[報紙]作者.篇名.報名.出版日期（版次）[科技報告]作者.報告題名，報告號[R].出版單位，年代.[學(xué)位論文]作者.論文題名[D].機(jī)構(gòu)地址：所屬學(xué)校名，年.[專利]作者.專利名稱：專利國別，專利號[P].年.[網(wǎng)頁]作者.題名[EB/OL].發(fā)表年月日或引用年月日.網(wǎng)址

11、后記

敘述論文的寫作經(jīng)過和收獲、體會和感受，并向指導(dǎo)教師及其他相關(guān)人員致謝。

12、翻譯原文

具體由導(dǎo)師安排，盡可能地與論文研究內(nèi)容相關(guān)，并注明出處。

13、譯文

在準(zhǔn)確表達(dá)原文內(nèi)容的基礎(chǔ)上，力圖使譯文符合中文的語法和句法規(guī)則，文字表達(dá)流暢無誤，符合中文讀者的閱讀習(xí)慣。

空管學(xué)院 2206.2.28

第四篇：畢設(shè)規(guī)范

河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)本科生畢業(yè)論文寫作規(guī)范

1、論文結(jié)構(gòu)要求

學(xué)位論文應(yīng)采用漢語撰寫；一般由六部分組成，依次為：封面、摘要、目錄、正文、附錄、參考文獻(xiàn)。各部分具體要求如下：

（1）封面（采用河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)統(tǒng)一印制的封面）

論文題目：應(yīng)是整個論文總體內(nèi)容的體現(xiàn)，要引人注目，力求簡短，嚴(yán)格控制在25字以內(nèi)。當(dāng)論文的內(nèi)容比較豐富時，可以用副標(biāo)題對正題加以補(bǔ)充。

（2）摘要

摘要是論文內(nèi)容的簡要陳述，是一篇具有獨(dú)立性和完整性的短文。摘要應(yīng)包括本論文的基本研究內(nèi)容、研究方法、創(chuàng)造方法、創(chuàng)造性成果及其理論與實(shí)際意義。摘要中不宜使用公式、圖表、不標(biāo)注引用文獻(xiàn)編號。避免將摘要寫成目錄式的內(nèi)容介紹。

為便于國際交流，畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）應(yīng)有英文摘要。英文摘要內(nèi)容應(yīng)與中文摘要對應(yīng)，力求語法準(zhǔn)確，語句通順，文字流暢。

關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞是供檢索用的主題詞條，應(yīng)采用能覆蓋論文主要內(nèi)容的通用詞條。關(guān)鍵詞一般列3—5個，按詞條的外延層次從大到小排列。

（3）目錄

按三級標(biāo)題編寫，要求層次清晰，且要與正文標(biāo)題一致，主要包括正文主要層次標(biāo)題、附錄、參考文獻(xiàn)等，且標(biāo)明頁數(shù)。

（4）正文

論文正文包括緒論、論文主體及結(jié)論部分。（5）附錄

附錄內(nèi)容一般包括正文內(nèi)不便列出的冗長公式推導(dǎo)、輔助性數(shù)學(xué)工具、符號說明（含縮寫）、計(jì)算程序及說明等。

（6）參考文獻(xiàn)

畢業(yè)論文的參考文獻(xiàn)必須是學(xué)生本人真正閱讀過的，數(shù)目一般應(yīng)不少于15項(xiàng)（至少有1項(xiàng)外文文獻(xiàn)），應(yīng)有近兩年的參考文獻(xiàn)，以近期發(fā)表的雜志類文獻(xiàn)為主，圖書類文獻(xiàn)不能過多，且要與論文工作直接相關(guān)?？梢园ㄟB續(xù)出版物、專（譯）著、論文集、學(xué)位論文、專利、技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)等參考文獻(xiàn)。其排列順序?yàn)椋哼B續(xù)出版物、專（譯）著、論文集、學(xué)位論文、專利、技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)，同類參考文獻(xiàn)按其在論文中的參考順序排列。引用網(wǎng)上文獻(xiàn)時，應(yīng)注明該文獻(xiàn)的準(zhǔn)確網(wǎng)頁地址，網(wǎng)上參考文獻(xiàn)不包含在上述規(guī)定的文獻(xiàn)數(shù)量之內(nèi)。

2、正文字?jǐn)?shù)

畢業(yè)論文一般為0.6—1.2萬字，學(xué)院可根據(jù)學(xué)科專業(yè)特點(diǎn)提出具體要求。

3、論文書寫要求（1）摘要

摘要的字?jǐn)?shù)（以漢字計(jì)）一般為500字左右，以能將規(guī)定內(nèi)容闡述清楚為原則。摘要頁不需寫出論文題目，題頭“摘要”應(yīng)居中，加黑2號宋體，然后隔行打印摘要的正文部分，為小4號宋體。英文摘要在中文摘要后另起一頁書寫。

關(guān)鍵詞（小4號黑體）空一格（詞）；（詞）；?；（詞）（小4號宋體）關(guān)鍵詞如需轉(zhuǎn)行應(yīng)同第一個關(guān)鍵詞對齊（空4格）。（2）目錄

題頭“目錄”應(yīng)居中，加黑2號宋體，然后隔行打印目錄的內(nèi)容。目錄中各一級題序及標(biāo)題用小4號黑體，其余用小4號宋體。

（3）論文書寫

畢業(yè)論文一律要求在計(jì)算機(jī)輸入、以Word格式編排打印。要求正文中文用宋體，標(biāo)題中文用黑體，英文及阿拉伯?dāng)?shù)字為Times New Roman。

畢業(yè)論文開本為B5。頁邊距設(shè)置：上下分別為2.5cm，左側(cè)為2.5 cm，右側(cè)為2cm。正文每頁32行，每行35個字符，頁碼在版芯下邊線之下隔行居中放置；摘要、目錄部分的頁碼用羅馬數(shù)字單獨(dú)編排，正文以后的頁碼用阿拉伯

數(shù)字編排。

（4）標(biāo)題字號和層次代碼

正文中應(yīng)有論文題目，用4號黑體字并居中。

一、二級標(biāo)題上下均空一行。標(biāo)題字號：

一級標(biāo)題 4號黑體 二級標(biāo)題 4號黑體 三級標(biāo)題 小4號黑體 正 文 小4號宋體 層次代碼：

一、××××（空兩格）

（一）××××（空兩格）

1、××××（空兩格）（1）××××（空兩格）

理工類等專業(yè)可以采用1、1.1、1.1.1、1.1.1.1形式。（5）頁眉及頁碼

畢業(yè)論文除封面及扉頁外，各頁均應(yīng)加頁眉，頁眉文字居中，為“河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)畢業(yè)論文”。頁眉的文字用5號宋體。（6）注釋

注釋是對論文正文中某一特定內(nèi)容的進(jìn)一步解釋、補(bǔ)充說明或引文，要求排印在該頁地腳。注釋用數(shù)字加圓圈標(biāo)注（如①②?）。序號按頁分別編號，不采用通篇文章統(tǒng)一編號方式。

（7）參考文獻(xiàn)

參考文獻(xiàn)是作者寫作論文時所參考的文獻(xiàn)書目，要求另起一頁集中列于文末。參考文獻(xiàn)序號用方括號標(biāo)注。幾種主要參考文獻(xiàn)著錄表的格式為：

[1]連續(xù)出版物：作者，文題，刊名，年，卷號（期號）：起止頁碼。[2]專（譯）著：作者，書名（譯者），出版地：出版者，出版年，起止頁碼。[3]論文集：作者，文題，編者，文集名，出版地：出版者，出版年，起止頁碼。[4]學(xué)位論文：作者，文題，博士（或碩士學(xué)位論文），授予單位，授予年。[5]專利：申請者，專利名，國名，專利文獻(xiàn)種類，專利號，授權(quán)日期。

[6]技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)：發(fā)布單位，技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)代號，技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)名稱，出版地：出版者，出版日期。（8）外文字母的正、斜體用法

變量符號用斜體，計(jì)量單位等符號均用正體。（9）數(shù)字

除習(xí)慣用中文數(shù)字表示的以外，一般均采用阿拉伯?dāng)?shù)字（參照附錄）。（10）公式

公式原則上應(yīng)居中書寫。若公式前有文字（如“解”、“假定”等），文字空兩格寫，公式仍居中寫。公式末不加標(biāo)點(diǎn)。

公式較長時最好在等號“=”處轉(zhuǎn)行，如難實(shí)現(xiàn)，則可在＋、－、＊、／等運(yùn)算符號后斷開，而在下一行開頭不應(yīng)重復(fù)這一記號。

（11）插表

表格不加左、右邊線，上、下邊線為粗實(shí)線（1.5磅）余為細(xì)實(shí)線（0.5磅）。每個表格均應(yīng)有表題（由表序和表名組成）。表序與表名之間空一格，表名中不允許使用標(biāo)點(diǎn)符號，表名后不加標(biāo)點(diǎn)。表題置于表上，居中排寫，要求用5號宋體。表題與表格、表格與表格后段落間均設(shè)6磅。表頭設(shè)計(jì)應(yīng)簡單明了，盡量不用斜線。全表如用同一單位，則將單位符號移至表頭右上角。

表中數(shù)據(jù)應(yīng)準(zhǔn)確無誤，書寫清楚。數(shù)字空缺的格內(nèi)加橫線“——”（占2個數(shù)字寬度）。表內(nèi)文字及表的說明文字均用小5號宋體。

（12）插圖

插圖與文字緊密配合，文圖相符，內(nèi)容正確。選圖要力求精煉。

每個圖均應(yīng)有圖題（由圖號圖名組成）。圖題置于圖下，用中文居中書寫，要求用5號字。圖題與圖之間的豎向距離同插表。有圖注或其它說明時應(yīng)置于圖題之下。圖名在圖號之后空一格排寫。引用圖應(yīng)注明出處，在圖題右上角加引用文獻(xiàn)號。圖內(nèi)文字均用小5號宋體。

有數(shù)字標(biāo)注的坐標(biāo)圖，必須注明坐標(biāo)單位。（13）附錄

對需要收錄于畢業(yè)論文中且又不適合書寫于正文中的附加數(shù)據(jù)、資料、詳細(xì)公式推導(dǎo)等有特色的內(nèi)容，可做為附錄排寫，序號采用“附錄1”、“附錄2”等。

（14）開題報告

開題報告用B5紙打印，格式參照正文，頁碼單獨(dú)編排，附在《河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）開題報告申請書》（見附件）之后。

4、論文裝訂

（1）論文要求左側(cè)裝訂（封面除外），裝訂順序依次為：扉頁、摘要、目錄、正文、開題報告申請書、開題報告、教師指導(dǎo)意見記錄、河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)本科畢業(yè)論文指導(dǎo)教師評分表、河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)本科畢業(yè)論文答辯小組評分表。英文摘要裝訂到中文摘要后面，中英文摘要單獨(dú)編排頁碼；目錄單獨(dú)編排頁碼；開題報告裝訂到正文后面，頁碼單獨(dú)編排（詳見樣例）。

（2）裝訂后用學(xué)校統(tǒng)一印發(fā)的封面粘貼并切割整齊。

附錄 有關(guān)數(shù)字用法的規(guī)定

除習(xí)慣用中文數(shù)字表示的以外，一般數(shù)字均用阿拉伯?dāng)?shù)字。

1、世紀(jì)、年代、年、月、日和時刻一律用阿拉伯?dāng)?shù)字，如20世紀(jì)，80年代，4時3刻等。年號要用四位數(shù)，如1989年，不能用89年。

2、數(shù)與計(jì)算（含負(fù)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分比、約數(shù)等）一律用阿拉伯?dāng)?shù)字，如3/4，4.5%，10個月，500多種等。

3、一個數(shù)值的書寫形式要照顧到上下文。不是出現(xiàn)在一組表示科學(xué)計(jì)量和具有統(tǒng)計(jì)意義數(shù)字中的一位數(shù)字可以用漢字，如一個人，六條意見。星期幾一律用漢字，如星期六。鄰近兩個數(shù)字并列連用，表示概數(shù)，應(yīng)該用漢字?jǐn)?shù)字，數(shù)字間不用頓號隔開，如三五天，七八十種，四十五六歲，一千七八百元等。

4、數(shù)字作為詞素構(gòu)成定型的詞、詞組、慣用語、縮略語等應(yīng)當(dāng)使用漢字。如二倍體，三葉蟲，第三世界，“七五”規(guī)劃，相隔十萬八千里等。5、5位以上的數(shù)字，尾數(shù)零多的，可以寫為以萬、億為單位的數(shù)。一般情況下不得以

十、百、千、十萬、百萬、千萬、十億、百億、千億作為單位，如345 000 000公里可寫為3.45億公里或34 500萬公里，但不能寫為3億4 500萬公里或3億4千5百萬公里。

6、數(shù)字的書寫不必每格一個數(shù)碼，一般每兩數(shù)碼占一格，數(shù)字間分節(jié)不用分位號“，”，凡4位以上的數(shù)都從個位起每3位數(shù)空半個數(shù)碼（1/4漢字）?！? 000 000”，不寫成“3，000，000”，小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)從小數(shù)點(diǎn)起向右按每三位一組分節(jié)。用阿拉伯?dāng)?shù)字書寫的多位數(shù)不能從數(shù)字中間轉(zhuǎn)行。

第五篇：畢設(shè)流程

畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）管理系統(tǒng)

用戶手冊(學(xué)生)

2016年 12月

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Nanjing Change Technology Co.,Ltd.目錄

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Nanjing Change Technology Co.,Ltd.1.4論文，畢業(yè)答辯流程 論文，畢業(yè)答辯階段：

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Nanjing Change Technology Co.,Ltd.學(xué)生填寫課題名稱，選擇課題類型、課題來源、課題歸屬等選項(xiàng)。填寫課題簡介和要求

然后選擇課題的指導(dǎo)教師。選擇暫存，確認(rèn)無誤后提交課題。

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Nanjing Change Technology Co.,Ltd.4.2 學(xué)生選題

老師申報了盲選課題，院長發(fā)布后，學(xué)生即可點(diǎn)擊【學(xué)生選題】，可以選擇三個志愿，選擇后，等待相應(yīng)的老師確認(rèn)。

4.3 查看任務(wù)書

指導(dǎo)教師下達(dá)任務(wù)書并由專業(yè)負(fù)責(zé)人審核后，學(xué)生可以點(diǎn)擊此處查看任務(wù)書內(nèi)容。4.4 上傳翻譯譯文

指導(dǎo)教師下達(dá)翻譯原文后，學(xué)生可以下載翻譯原文，然后提交翻譯譯文。

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Nanjing Change Technology Co.,Ltd.4.5 上傳開題報告

指導(dǎo)教師下達(dá)任務(wù)書并由專業(yè)負(fù)責(zé)人審核后，學(xué)生即可提交開題報告，提交后由老師審核。

點(diǎn)擊上傳開題報告，填寫開題報告，可以上傳附件。點(diǎn)擊提交后，如果需要修改可進(jìn)入修改，需要再次確認(rèn)后，才算最終提交。頁面如下：

4.6 上傳論文定稿

學(xué)生提交開題報告并審核通過后，即可提交論文定稿，有附件可上傳附件。提交后，由指導(dǎo)教師審核打分。（注：如果需要修改，可以在特殊情況處理—論文定稿修改提交處修改，修改后作為終稿。

4.7 查看答辯信息

學(xué)生經(jīng)專業(yè)負(fù)責(zé)人分配答辯組后，在查看答辯信息處可以查看答辯組，答辯地點(diǎn)，答辯時間等信息。

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Nanjing Change Technology Co.,Ltd.4.8 表格材料打印

學(xué)生提交的各項(xiàng)材料由老師審核過后，即可在此處打印。比如開題報告、各項(xiàng)成績表等。

5．特殊情況處理 5.1 開題報告修改申請

該功能用于學(xué)生開題報告被老師審核通過，但是仍想補(bǔ)充，可以在特殊情況處理處進(jìn)行修改提交，提交后由老師在特殊情況進(jìn)行審核。

5.2 論文定稿修改提交

學(xué)生提交定稿后如要修改，可以在特殊情況進(jìn)行修改提交，提交后無需老師審核。注：如果教學(xué)秘書發(fā)布了成績，那該功能將關(guān)閉。

6．交流互動（學(xué)生在線給其他角色進(jìn)行留言和查看指導(dǎo)教師提交的指導(dǎo)日志以及指導(dǎo)教師的聯(lián)系方式）

收件箱，即學(xué)生查收本系統(tǒng)所有人發(fā)來的郵件信息；發(fā)件箱，即學(xué)生查看在本系統(tǒng)中發(fā)出的所有郵件信；指導(dǎo)日志，即學(xué)生查看指導(dǎo)教師提交的指導(dǎo)日志信息。

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Nanjing Change Technology Co.,Ltd.19，學(xué)生進(jìn)行答辯，答辯錄入員錄入學(xué)生答辯成績； 20，教學(xué)秘書發(fā)布總評成績 ；

＊教師申報指定學(xué)生課題流程：

1，教師申報指定學(xué)生課題； 2，專業(yè)負(fù)責(zé)人審核教師申報的課題；

3，教學(xué)院長或教學(xué)秘書審核發(fā)布選題即發(fā)布雙選結(jié)果（通過或者重選：如果選擇重選表示不同意選題，則該學(xué)生重新選擇課題）； 4，指導(dǎo)老師下發(fā)任務(wù)書； 5, 專業(yè)負(fù)責(zé)人審核任務(wù)書； 6，指導(dǎo)老師下達(dá)翻譯原文（可選）；

7，學(xué)生上傳翻譯譯文，指導(dǎo)教師審核（可選）； 8，學(xué)生上傳開題報告，指導(dǎo)教師審核； 9，學(xué)生填寫中期檢查指導(dǎo)教師審核（可選）； 10，學(xué)生提交論文定稿；

11，指導(dǎo)老師審核論文定稿并且審核評分； 12，專業(yè)負(fù)責(zé)人分配評閱教師

13，評閱教師進(jìn)行論文評閱給出評閱分?jǐn)?shù)；

14，專業(yè)負(fù)責(zé)人添加答辯組并且選擇相應(yīng)的學(xué)生進(jìn)入答辯組，并且在賬號管理中設(shè)置答辯錄入員賬號； 15，學(xué)生進(jìn)行答辯，答辯錄入員錄入學(xué)生答辯成績； 16，教學(xué)秘書發(fā)布總評成績 ；

＊學(xué)生申報課題流程：

1，學(xué)生申報課題

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Nanjing Change Technology Co.,Ltd.2，指導(dǎo)老師審核學(xué)生申報課題

3，專業(yè)負(fù)責(zé)人審核學(xué)生申報課題（如果審核退回直接退給學(xué)生，學(xué)生再提交，專業(yè)負(fù)責(zé)人再審核）4，教學(xué)院長或教學(xué)秘書審核發(fā)布選題即發(fā)布雙選結(jié)果

（通過或者重選：如果選擇重選表示不同意選題，則該學(xué)生重新選擇課題）5，指導(dǎo)老師下發(fā)任務(wù)書； 6, 專業(yè)負(fù)責(zé)人審核任務(wù)書； 7，指導(dǎo)老師下達(dá)翻譯原文（可選）；

8，學(xué)生上傳翻譯譯文，指導(dǎo)教師審核（可選）； 9，學(xué)生上傳開題報告，指導(dǎo)教師審核； 10，學(xué)生填寫中期檢查指導(dǎo)教師審核（可選）； 11，學(xué)生提交論文定稿；

12，指導(dǎo)老師審核論文定稿并且審核評分；

13，專業(yè)負(fù)責(zé)人分配評閱教師（注：教學(xué)院長或教學(xué)秘書發(fā)布選題結(jié)果后即可分配評閱教師）； 14，評閱教師進(jìn)行論文評閱給出評閱分?jǐn)?shù)；

15，專業(yè)負(fù)責(zé)人添加答辯組并且選擇相應(yīng)的學(xué)生進(jìn)入答辯組，并且在賬號管理中設(shè)置答辯錄入員賬號； 16，學(xué)生進(jìn)行答辯，答辯錄入員錄入學(xué)生答辯成績； 17，教學(xué)秘書發(fā)布總評成績 ；

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