第一篇：高等數(shù)學(xué)第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)

高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

高等數(shù)學(xué)

教學(xué)備課系統(tǒng)

與《高等數(shù)學(xué)多媒體教學(xué)系統(tǒng)（經(jīng)濟(jì)類）》配套使用

教師姓名：________________________

教學(xué)班級(jí)：________________________

2004年9月1至2005年1月10

高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

第一章

函數(shù)、極限與連續(xù)

第一節(jié) 函數(shù)概念

1、內(nèi)容分布圖示

★ 集合的概念

★ 集合的運(yùn)算

★ 區(qū)間

★ 例

1★ 鄰域

★ 例2

★ 常量與變量

★ 函數(shù)概念

★ 例

3★ 例

4★ 例★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 分段函數(shù)舉例

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11

★ 函數(shù)關(guān)系的建立

★ 例 12

★ 例 13

★ 例 14

★ 函數(shù)特性

★ 內(nèi)容小結(jié)

★ 課堂練習(xí)

★習(xí)題1-1

★ 返回

2、講解注意：

3、重點(diǎn)難點(diǎn)：

4、例題選講：

例1解下列不等式,并將其解用區(qū)間表示.(1)|2x?1|?3;(2)|3x?2|?3;(3)0?(x?1)2?9.講解注意：

例2將點(diǎn)12的鄰域表示為不帶絕對(duì)值的不等式.33

講解注意：

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例3函數(shù)y?2.講解注意：

例4絕對(duì)值函數(shù)y?|x|??x,x?0??x,x?0?

講解注意：

例5下面是幾個(gè)常見的表格.(1)2002年2月21日國(guó)務(wù)院公布的利率表.如表1.1.1.表1.1.1時(shí)間年利率(%)3個(gè)月6個(gè)月1年1.711.891.982年2.253年2.525年2.79(2)國(guó)民生產(chǎn)總值統(tǒng)計(jì)表《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒((2001)》).如表1.1.2.表1.1.2年份生產(chǎn)總值(億元)******.966850.573142.776967.280579.488189.6

講解注意：

例6下面是幾個(gè)常見的圖形.(1)兩位患者的心電圖.見圖1.1.1.圖1.1.1(2)1995?2000年天津市人才市場(chǎng)狀況圖《天津年鑒((2001)》).見圖1.1.2.高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

人數(shù)(人)55 00044 00033 00022 00011 00001995達(dá)成意向人次進(jìn)場(chǎng)人次***92000年份圖1.1.2

講解注意：

例7下面是幾個(gè)常見的公式.(1)自由落體運(yùn)動(dòng)的距離公式:12gt,g為常數(shù)2(2)成本函數(shù)(costfunctiong):C(x)?C0?C1(x),其中C0為S?固定成本;C1(x)為可變成本;x為生產(chǎn)量.講解注意：

例8判斷下面函數(shù)是否相同,并說明理由,畫圖表示.(1)y?x2與y?|x|;(2)y?1與y?sin2x?cos2x(3)y?2x?1與x?2y?1.講解注意：

例9求函數(shù)y ?講解注意：

121?x ?x?2的定義域.例10設(shè)f(x)??講解注意：

?1,0?x?1??2,1?x?2,求函數(shù)f(x?3)的定義域.高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

例11求函數(shù)f(x)?講解注意：

lg(3?x)sinx?5?4x?x2的定義域.例12把一半徑為R的圓形鐵片,自中心處剪去圓心角為?的扇形后,圍成一無底圓錐,試將圓錐的體積V表為?的函數(shù).講解注意：

例13某工廠生產(chǎn)某型號(hào)車床,年產(chǎn)量為a臺(tái),分若干批進(jìn)行生產(chǎn),每批生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為b元,設(shè)產(chǎn)品均勻投入市場(chǎng),且上一批用完后立即生產(chǎn)下一批,即平均庫存量為批量的一半.設(shè)每年每臺(tái)庫存費(fèi)為c元.顯然,生產(chǎn)批量大則庫存費(fèi)高;生產(chǎn)批量少則批數(shù)增多,因而生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)高.為了選擇最優(yōu)批量,試求出一年中庫存費(fèi)與生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)的和與批量的函數(shù)關(guān)系.講解注意：

例14某運(yùn)輸公司規(guī)定貨物的噸公里運(yùn)價(jià)為:在a公里以內(nèi),每公里k元,超過部分每公里為數(shù)關(guān)系.講解注意：

例15證明(1)函數(shù)y?(2)函數(shù)y?xx2?1在(??,??)上是有界的;4k元.求運(yùn)價(jià)m和里程s之間的函5

1在(0,1)上是無界的.x2

講解注意：

例16證明函數(shù)y?講解注意：

x在(?1,??)內(nèi)是單調(diào)增加的函數(shù).1?x

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例17判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1)f(x)?ex?1ex?1ln1?x1?x?1?x?1;(2)f(x)?(2?3)x?(2?3)x;(3)f(x)?lg(x?1?x2);(4)f(x)?(x2?x)sinx.講解注意：

例18設(shè)f(x)滿足af(x)?bf|a|?|b|,證明f(x)是奇函數(shù).c?,其中a,b,c為常數(shù),且(1)xx

講解注意：

?1,x?Q7,求D?,D(1?例19設(shè)D(x)??5?0,x?Q()2).并討論D(D(x))的性質(zhì).講解注意：

例20若f(x)對(duì)其定義域上的一切x,恒有f(x)?f(2a?x),則稱f(x)對(duì)稱于x?a.證明:若f(x)對(duì)稱于x?a及x?b(a?b),則f(x)是以T?2(b?a)為周期的周期函數(shù).講解注意：

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第二節(jié) 初等函數(shù)

1、內(nèi)容分布圖示

★ 反函數(shù)

★ 例★ 例2 ★ 復(fù)合函數(shù)

★ 例★ 例4

★ 例★ 例6

★ 例7

★ 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

★ 三角函數(shù)

★ 反三角函數(shù)

★ 初等函數(shù)

★ 函數(shù)圖形的迭加與變換

★ 內(nèi)容小結(jié)

★ 課堂練習(xí)

★習(xí)題1-2

★ 返回

2、講解注意：

3、重點(diǎn)難點(diǎn)：

4、例題選講：

例1求函數(shù)y?1?1?1?4x1?4x的反函數(shù).講解注意：

例2已知?1,x?0?sgnx??0,x?0,sgnx為符號(hào)函數(shù),??1,x?0?求y?(1?x2)sgnx的反函數(shù).講解注意：

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例3將下列函數(shù)分解成基本初等函數(shù)的復(fù)合.(1)y?lnsin2x;(2)y?earctanx2;(3)y?cos2ln(2?1?x2).講解注意：

例4設(shè)f(x)?x?1,?(x)?x2,求f[?(x)]及?[f(x)],并求它們的定義域.講解注意：

例5設(shè)求f[?(x)].f(x)??e??xx,x?1,x?1,??x?2,(x)??2?x?1,x?0x?0，講解注意：

例6設(shè)fx?講解注意：

(11?x2?2,求f(x).xx)

例7設(shè)f(x)?ln(3?x)?的定義域(a?0).149?x2,求g(x)?f(x?a)?f(x?a)

講解注意：

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第三節(jié) 經(jīng)濟(jì)學(xué)中的常用函數(shù)

1、內(nèi)容分布圖示

★ 單利與復(fù)利

★ 例1

★ 多次付息

★ 貼現(xiàn)

★ 例2 ★ 需求函數(shù)

★ 供給函數(shù)

★ 市場(chǎng)均衡

★ 例

3★ 例4 ★ 成本函數(shù)

★ 例5

★ 收入函數(shù)與利潤(rùn)函數(shù)

★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 內(nèi)容小結(jié)

★ 課堂練習(xí)

★習(xí)題1-3

★ 返回

2、講解注意：

3、重點(diǎn)難點(diǎn)：

4、例題選講：

例1現(xiàn)有初始本金100元,若銀行年儲(chǔ)蓄利率為7%,問：(1)按單利計(jì)算,3年末的本利和為多少?(2)按復(fù)利計(jì)算,3年末的本利和為多少?(3)按復(fù)利計(jì)算,需多少年能使本利和超過初始本金的一倍?

講解注意：

例2某人手中有三張票據(jù),其中一年后到期的票據(jù)金額是500元,二年后到期的是800元,五年后到期的是2000元,已知銀行的貼現(xiàn)率6%,現(xiàn)在將三張票據(jù)向銀行做一次性轉(zhuǎn)讓,銀行的貼現(xiàn)金額是多少?

講解注意：

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例3某種商品的供給函數(shù)和需求函數(shù)分別為qd?25P?10,qs?200?5P求該商品的市場(chǎng)均衡價(jià)格和市場(chǎng)均衡數(shù)量.講解注意：

例4某批發(fā)商每次以160元/臺(tái)的價(jià)格將500臺(tái)電扇批發(fā)給零售售商,在這個(gè)基礎(chǔ)上零售商每次多進(jìn)100臺(tái)電扇,則批發(fā)價(jià)相應(yīng)降低2元,批發(fā)商最大批發(fā)量為每次1000臺(tái),試將電扇批發(fā)價(jià)格表示為批發(fā)量的函數(shù),并求出零售商每次進(jìn)800臺(tái)電扇時(shí)的批發(fā)價(jià)格.講解注意：

例5某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品,每日最多生產(chǎn)200單位.它的日固定成本為150元,生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品的可變成本為16元.求該廠日總成本函數(shù)及平均成本函數(shù).講解注意：

例6某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品年產(chǎn)量為q臺(tái),每臺(tái)售價(jià)500元,當(dāng)年產(chǎn)量超過800臺(tái)時(shí),超過部分只能按9折出售.這樣可多售出200臺(tái),如果再多生產(chǎn).本年就銷售不出去了.試寫出本年的收益(入)函數(shù).講解注意：

例7已知某廠生產(chǎn)單位產(chǎn)品時(shí),可變成本為15元,每天的固定成本為2000元,如這種產(chǎn)品出廠價(jià)為20元,求(1)利潤(rùn)函數(shù);(2)若不虧本,該廠每天至少生產(chǎn)多少單位這種產(chǎn)品.講解注意：

例8某電器廠生產(chǎn)一種新產(chǎn)品,在定價(jià)時(shí)不單是根據(jù)生產(chǎn)成本而定,還要請(qǐng)各銷售單位來出價(jià),即他們?cè)敢庖允裁磧r(jià)格來購買.根據(jù)調(diào)查得出需求函數(shù)為x??900P?45000.該廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本是270000元,而單位產(chǎn)品的變動(dòng)成本為10元.為獲得最大利潤(rùn),出廠價(jià)格應(yīng)為多少?

講解注意：

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例9已知某商品的成本函數(shù)與收入函數(shù)分別是C?12?3x?x2R?11x試求該商品的盈虧平衡點(diǎn),并說明盈虧情況.講解注意：

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第四節(jié) 數(shù)列的極限

1、內(nèi)容分布圖示

★ 極限概念的引入

★ 數(shù)列的意義 ★ 數(shù)列的極限

★ 例1

★ 例

2★ 例

3★ 例

4★ 例

5★ 例6 ★ 收斂數(shù)列的有界性

★ 極限的唯一性

★ 例7

★ 收斂數(shù)列的保號(hào)性

★ 子數(shù)列的收斂性

★ 內(nèi)容小結(jié)

★習(xí)題1-4

★ 返回

2、講解注意：

3、重點(diǎn)難點(diǎn)：

4、例題選講：

例1證明limn?(?1)n?1n?1.n??

講解注意：

例2證明limqn?0,其中q?1.n??

講解注意：

例3用數(shù)列極限定義證明5?2n2??.n??1?3n3lim

講解注意：

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n2?2?1.例4用數(shù)列極限定義證明lim2n??n?n?1

講解注意：

例5設(shè)xn?0,且limxn?a?0,求證limn??n??xn?a.講解注意：

例6證明:若limxn?A,則存在正整數(shù)N,當(dāng)n?N時(shí),不等式n??|xn|?|A|2成立.講解注意：

例7證明數(shù)列xn?(?1)n?1是發(fā)散的.講解注意：

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第五節(jié) 函數(shù)的極限

1、內(nèi)容分布圖示

★ 自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限

★ 例★ 例★ 例3 ★ 自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限

★ 例★ 例5

★ 左右極限

★ 例6

★ 例7 ★ 函數(shù)極限的性質(zhì)

★ 子序列收斂性 ★ 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系

★ 內(nèi)容小結(jié)

★ 課堂練習(xí)

★習(xí)題1-5

★ 返回

2、講解注意：

3、重點(diǎn)難點(diǎn)：

4、例題選講：

例1證明lim講解注意：

sinx?0.x??x

例2用函數(shù)極限的??X定義證明limx??x?2?1.x?1

講解注意：

例3(1)lim12xx????0;(2)lim2x?0.x???

講解注意：

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例4證明limx2?1?2.x?1x?1

講解注意：

例5證明:當(dāng)x0?0時(shí),lim講解注意：

x?x0x?x0.例6設(shè)f(x)??講解注意：

例7驗(yàn)證lim?1?x,x?0?1,x?0?x2,求limf(x).x?0

x?0x不存在.x

講解注意：

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第六節(jié) 無窮大與無窮小

1、內(nèi)容分布圖示

★ 無窮小

★ 無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系

★ 例1 ★ 無窮小的運(yùn)算性質(zhì)

★ 例2 ★ 無窮大

★ 無窮大與無界變量

★ 無窮小與無窮大的關(guān)系

★ 例3

★ 內(nèi)容小結(jié)

★習(xí)題1-6

★ 返回

2、講解注意：

3、重點(diǎn)難點(diǎn)：

4、例題選講：

1例1根據(jù)定義證明:y?x2sinx當(dāng)x?0時(shí)為無窮小.講解注意：

例2求lim講解注意：

x??sinx.x

x4.例3求lim3x??x?5講解注意：

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第七節(jié) 極限運(yùn)算法則

1、內(nèi)容分布圖示

★ 極限運(yùn)算法則

★ 例1

★ 例2 –3

★ 例★ 例★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11 ★ 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則

★ 例 12

★ 例 13

★ 內(nèi)容小結(jié)

★ 課堂練習(xí)

★習(xí)題1-7

★ 返回

2、講解注意：

3、重點(diǎn)難點(diǎn)：

4、例題選講：

例1求x3?1xlim?2x2?3x?5.講解注意：

例2求lim4x?1x2?2x?3.x?1

講解注意：

例3求limx2?1.x?1x2?2x?3

講解注意：

★ 例 14

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例4求lim講解注意：

2x3?3x2?57x3?4x2?1x??.例5求lim講解注意：

x??12n?????222nnn

例6計(jì)算下列極限:x?1lim(1?x)(1?x)(1?x)(1?x)334.講解注意：

例7計(jì)算下列極限:?12?lim???.x?1?1?x21?x?

講解注意：

例8計(jì)算下列極限:3x??lim8x3?6x2?5x?1.3x?2

講解注意：

例9計(jì)算下列極限:x???lim(sinx?1?sinx).講解注意：

例10求lim(x2?x?x2?x).x??8

講解注意：

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例11計(jì)算下列極限:3(1)limn??n2sinn!;n?1(2)x?0limtanx12?ex.講解注意：

例12已知?x?1,?f(x)??x2?3x?1,??x3?1x???x?0x?0求limf(x),limf(x),limf(x).x?0x???

講解注意：

例13求極限limlnx?1[x2?1.2(x?1)]

講解注意：

例14已知lim(5x?ax2?bx?c)?2,求a,b之值.x???

講解注意：

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第八節(jié) 極限存在準(zhǔn)則

兩個(gè)重要極限

1、內(nèi)容分布圖示

★夾逼準(zhǔn)則★例1★例2★單調(diào)有界準(zhǔn)則★例4★limsinx?1x?0x★例6★例7★例9★例10 x★xlim??(1?1x)?e★例12 ★例13 ★例15 ★例16 ★例17 柯西極限存在準(zhǔn)則★連續(xù)復(fù)制★內(nèi)容小結(jié)★課堂練習(xí)★習(xí)題1-8★返回

2、講解注意：

3、重點(diǎn)難點(diǎn)：

4、例題選講：

例1求nlim1??n2?1?1n2?2???1n2?n?

講解注意：

例2計(jì)算下列極限:(1)lim(1nn???2?3n1)n;(2)1nlim??n2?1(n?1)2???1(n?n)2?

講解注意：

★例3★例5★例8★例11★例14★例18

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例3證明下列極限:n?0(a?1);n??anan(2)lim?0(a?0);n??n!n!(3)limn?0.n??n(1)lim

講解注意：

例4證明數(shù)列xn?3?3???3(n重根式)的極限存在.講解注意：

例5設(shè)a?0為常數(shù),數(shù)列xn由下式定義:xn?1axn?1?xn?12n??

(n?1,2,??)其中x0為大于零的常數(shù),求limxn.講解注意：

例6求lim講解注意：

tan3x.x?0sin5x

例7求lim講解注意：

x?01?cosx.x2

例8下列運(yùn)算過程是否正確:x??limxtanxtanxxtanx?lim??limlim?1.sinxx??xsinxx??xx??sinx

講解注意：

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例9計(jì)算lim講解注意：

cosx?cos3x.2x?0x

例10計(jì)算lim講解注意：

x21?xsinx?cosxx?0.例11計(jì)算lim講解注意：

x?02?tanx?2?sinx.x3

1例12求lim1?xx??講解注意：

().x

例13計(jì)算下列極限:limx?01x(1?2x);

講解注意：

例14求lim1?n??(1n)n?3.講解注意：

例15求lim講解注意：

x??(x2x2?1)x.例16計(jì)算limxx??0cosx.高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

講解注意：

例17計(jì)算lim(e?x?0x1xx).講解注意：

tan2x.例18求極限lim(tanx)x??4

講解注意：

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第九節(jié) 無窮小的比較

1、內(nèi)容分布圖示

★ 無窮小的比較

★ 例1-2

★ 例3 ★ 常用等價(jià)無窮小

★ 等價(jià)無窮小替換定理

★ 例★ 例★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11

★ 內(nèi)容小結(jié)

★ 課堂練習(xí)

★習(xí)題1-9 ★ 返回

2、講解注意：

3、重點(diǎn)難點(diǎn)：

4、例題選講：

例1證明:當(dāng)x?0時(shí),4xtan3x為x的四階無窮小.講解注意：

例2當(dāng)x?0時(shí),求tanx?sinx關(guān)于x的階數(shù).講解注意：

例3當(dāng)x?1時(shí),試將下列各量與無窮小量x?1進(jìn)行比較:(1)x3?3x?2;(2)lgx;(3)(x?1)?sin1.x?1

講解注意：

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例4求limx?0tan2x.sin5x

講解注意：

例5求limtanx?sinx.sin32xx?0

講解注意：

(1?x2)1/3?1.例6求limx?0cosx?1

講解注意：

例7計(jì)算lim1?tanx?1?tanx1?2x?1.x?0

講解注意：

ex?excosx.例8計(jì)算limx?0xln(1?x2)講解注意：

例9計(jì)算lim講解注意：

x?02?1?cosx.sin2x

例10求lim講解注意：

x?0ln(1?x?x2)?ln(1?x?x2).secx?cosx

例11求limx?0tan5x?cosx?1.sin3x

高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

講解注意：

高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

第十節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

1、內(nèi)容分布圖示

★ 函數(shù)的連續(xù)性

★ 例

1★ 例2 ★ 左右連續(xù)

★ 例3

★ 例

4★ 例5 ★ 連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間

★ 例6

★ 函數(shù)的間斷點(diǎn)

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11

★ 例 12

★ 內(nèi)容小結(jié)

★ 課堂練習(xí)

★習(xí)題1-10

★ 返回

2、講解注意：

3、重點(diǎn)難點(diǎn)：

4、例題選講：

?xsin1,x?0,?x例1試證函數(shù)f(x)??在x?0處連續(xù).?x?0,?0，講解注意：

例2f(x)是定義于[a,b]上的單調(diào)增加函數(shù),x0?(a,b),若x?x0limf(x)存在,證明f(x)在x0連續(xù).講解注意：

?x?2,x?0,()fx3?例討論在x?0處的連續(xù)性.??x?2,x?0，高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

講解注意：

?1?x,x?0?2?x?0在x?0和x?1處的連例4討論函數(shù)f(x)??0,?1?x2,0?x?1?x?1?4?x,續(xù)性.講解注意：

?x4?ax?b,x?1,x??2,?例5設(shè)f(x)??(x?1)(x?2)為使f(x)在x?1?x?1,?2,處連續(xù),a與b應(yīng)如何取值?

講解注意：

例6證明函數(shù)y?sinx在區(qū)間(??,??)內(nèi)連續(xù).講解注意：

例7討論函數(shù)f(x)????x,x?0,?1?x,x?0,在x?0處的連續(xù)性.講解注意：

例8討論函數(shù)?2x,0?x?1?f(x)??1,x?1?x?1?1?x,在x?1處的連續(xù)性.講解注意：

?1,x?0,?x例9討論函數(shù)f(x)??在x?0處的連續(xù)性.,0,xx??

講解注意：

高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

例10求下列函數(shù)的間斷點(diǎn),并判斷其類型.若為可去間斷點(diǎn),試補(bǔ)充或修改定義后使其為連續(xù)點(diǎn).?x2?x?|x|(x2?1),f(x)???0,?x??1及0x??1

講解注意：

?x?sin1,x?0,?x例11研究f(x)??在x?0的連續(xù)性.?ex??,x?0,?

講解注意：

x?x2e?nx例12討論f(x)?lim的連續(xù)性.n??1?e?nx

講解注意：

高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

第十一節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)

1、內(nèi)容分布圖示

★ 連續(xù)函數(shù)的算術(shù)運(yùn)算

★ 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

★ 例1★ 初等函數(shù)的連續(xù)性

★ 例

3★ 例★ 例4

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) ★ 最大最小值定理與有界性定理

★ 零點(diǎn)定理與介值定理

★ 例5

★ 例6

★ 例7

★ 內(nèi)容小結(jié)

★ 課堂練習(xí)★習(xí)題1-11 ★ 返回

2、講解注意：

3、重點(diǎn)難點(diǎn)：

4、例題選講：

例1求nlim??cos(x?1?x).講解注意：

例2求limln(1?x)x?0x.講解注意：

例3求limx?1sinex?1.講解注意：

★ 例8

高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

例4求lim(x?2ex?01xx?1).講解注意：

例5證明方程x3?4x2?1?0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)根.講解注意：

例6證明方程內(nèi)的兩個(gè)實(shí)根.111???0有分別包含于(1,2),(2,3)x?1x?2x?3

講解注意：

例7設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)?a,f(b)?b證明:???(a,b),使得f(?)??.講解注意：

例8設(shè)f(x)在[a,??)上連續(xù),f(a)?0,且limf(x)?A?0,x???證明:在(a,??)上至少有一點(diǎn)?,使f(?)?0.講解注意：

第二篇：高等數(shù)學(xué)函數(shù)極限連續(xù)練習(xí)題及解析

數(shù)學(xué)任務(wù)——啟動(dòng)——習(xí)題

1一、選擇題：

(1)函數(shù)y??x?arccosx?1的定義域是()

2(A)x?1;(B)?3?x?1(C)??3,1?(D)xx?1?x?3?x?

1(2)函數(shù)y?xcosx?sinx是()

(A)偶函數(shù)(B)奇函數(shù)(C)非奇非偶函數(shù)(D)奇偶函數(shù)

(3)函數(shù)y?1?cos?????

2x的最小正周期是()

(A)2?(B)

(4)與y??(C)4(D)1 2x2等價(jià)的函數(shù)是()

(A)x;(B)?x?(C)x?(D)23x

?x?1?1?x?0(5)f?x???,則limf?x??()x0?x?1x?0?

(A)-1(B)1(C)0(D)不存在二、填空題：

(1)若f????1?

?t?5?2t2,則f?t??_________,ft2?1?__________.t??

??

1(2)??t????sinx??????3，則??????______。???______,??6??6?x?

30,1?，則fx2的定義域?yàn)開_____，f?sinx?的定義域?yàn)閤??(3)若f?x?的定義域?yàn)??

______，f?x?a??a?0?的定義域?yàn)開__，f?x?a??f?x?a??a?0?的定義域?yàn)開_____。

1?4x

2(4)lim。?__________

12x?1x??2

(5)無窮小量皆以______為極限。

三、計(jì)算題

(1)證明函數(shù)y?11sin在區(qū)間?0,1?上無界，但當(dāng)x??0時(shí)，這個(gè)函數(shù)不是無窮大。xx

(2)求下列極限(1)lim2x3?3x2?5

x??7x3?4x2?1

(3)lim?tanx?tan2x

x??

(5)limex?1

x

x?0

(7)lim?xsinx?1

x?0x2arctanx

(2)lim1?cos2x x?0xsinx(4)lim?1?2n?3n1n n??(6)limtanx?sinxx?0sin32x ?1(8)limx??ex?1??x?????

(3)設(shè)f?x???

?1?xx?0，求limf?x?。2x?0?x?1x?0

(4)證明數(shù)列2,2?2,2?2?2,??的極限存在，并求出該極限。

f(x)?2x3f(x)?2,lim?3, 求f(x)(5)設(shè)f(x)是多項(xiàng)式, 且lim2x??x?0xx

(6)證明方程x?asinx?b，其中a?0,b?0，至少有一個(gè)正根，并且它不超過a?b。

x2?ax?b?2,求:a,b.(7).lim2x?2x?x?2

第三篇：函數(shù)極限與連續(xù)

函數(shù)、極限與連續(xù)

一、基本題

1、函數(shù)f?

x??ln?6?x?的連續(xù)區(qū)間?ax2?x?2x?

12、設(shè)函數(shù)f?x???，若limf?x??0，且limf?x?存在，則 x?1x??1x?1?2ax?b

a?-1，b?

41sin2x??

3、lim?x2sin???-2x?0xx??

4、n2x?4/(√2-3)?k?

5、lim?1???e2，則k=-1x???x?

x2?ax?b?5，則a?3，b?-

46、設(shè)limx?1x?

17、設(shè)函數(shù)f?x??2x?sinx?1,g?x??kx，當(dāng)x?0時(shí)，f?x?~g?x?，則k

?ex?2x?0?

8、函數(shù)f?x???2x?10?x?1的定義域R ；連續(xù)區(qū)間(-oo,1),(1,+oo)?3x?1x?1?

?1?xsinx

?a9、函數(shù)f?x????1?xsin?bx?x?0x?0在x?0處連續(xù)，則a?1，b?1x?010、函數(shù)f?x??e?

1e?11

x1x的間斷點(diǎn)為x=0，類型是 跳躍間斷點(diǎn)。

11、f?x,y??x2?y2?xycosx，則f?0,1??f?t,1??y12、f?xy,x?y??x2?y2，則f?x,y??y^2+x13、函數(shù)z?ln?

2?x2?y2??的定義域?yàn)?{(x,y)|1=0}

14、1?e2?xylim?-1?2；?x,y???0,0?x2?y2?exy?x,y???0,0?1?x2?y2x2?y2lim

3?-12；lim?1?2xy?x?15、x?0

y?0

二、計(jì)算題

1、求下列極限

（1）0

0型：

1）limex?e?x?2x

x?0xsin3x；=0

2）limex?x?

1x?0x1?e2x;=-1/

43）limtan3x?ln?1?2x?

x?01?cos2x;=-

34）limtanx?sinx

x?0xsin2x2;=1/4

（2）?

?型：

1）lnsin3x

xlim?0?lnsin2x=1

lim2n?1?3n?1

2）n??2n?3n=3

（3）???型：

1）lim?11?

x?0??x?ex?1??=1/

22）lim?

x?1?11??x?1?lnx??=-1/2

3)xlim???arccosx?=π/3

4)xlim???x?=-1 x?0y?2

（4）0??型：

???1）limx??arctanx?=1x????2?

2)lim?x?1?tanx?1?x2=-π/2

（5）1?型：

?2?1）lim?1??x???x?3x?2=e^(-6)

4x?2?3x?1?2）lim??x??3x?2??

3)lim?1?2x?x?0 =e^(-4)=e^(2/5)1sin5x

1??4)lim?cos?=e^(-1/2)x??x??

（6）00型：1）lim?xsinx=1 x?0x2

方法:lim x^sinx=lim e^(sinxlnx)

公式：f(x)^g(x)=e^(g(x)ln(f(x)))

（7）?型：1）lim?x?20x

x????1x=2

同上

2、已知：f?x??sin2x?ln?1?3x??2limf?x?，求f?x? x?0x

f(x)=(sin2x)/x+ln(1-3x)+

2(方法：兩邊limf(x)x->0)

x2?x3、求函數(shù)f?x??的間斷點(diǎn)，并判定類型。2xx?1駐點(diǎn)x=0,x=1,x=-

11）當(dāng)x=0+時(shí)，f(x)=-1；當(dāng)x=0-時(shí)，f(x)=1 跳躍間斷點(diǎn)

2）當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=oo;第二類間斷點(diǎn)

3）當(dāng)x=-1時(shí)，f(x)=1/2;但f(-1)不存在，所以x=-1是可去間斷點(diǎn)

?sin2x?x??

4、設(shè)函數(shù)f?x???a

?ln1?bx?????1?e2xx?0x?0在定義域內(nèi)連續(xù)，求a與b x?0

Lim sin(2x)/x|x->0-=2=a=b/-2=>a=2,b=-

45、證明方程：x3?3x2?9x?1?0在?0,1?內(nèi)有唯一的實(shí)根。（存在性與唯一性）證明：

1）存在性：

令f(x)=x^3-3x^2-9x+1

f(0)=1>0;

f(1)=-10<0;

因?yàn)閒(0).f(1)<0所以在（0,1）內(nèi)存在一個(gè)實(shí)根

2）唯一性

f’(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)

所以f(x)在(0,1)內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)

故x3?3x2?9x?1?0在?0,1?內(nèi)有唯一的實(shí)根。

第四篇：函數(shù)極限與連續(xù)教案

第四講

Ⅰ 授課題目（章節(jié)）

1.8：函數(shù)的連續(xù)性

Ⅱ 教學(xué)目的與要求：

1、正確理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)及在某一區(qū)間內(nèi)連續(xù)的定義；

2、會(huì)判斷函數(shù)的間斷點(diǎn).4、了解初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的、基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的；

5、了解初等函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性，反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性； 6 掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：

重點(diǎn)：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義，間斷點(diǎn)，初等函數(shù)的連續(xù)性

難點(diǎn)：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

Ⅳ 講授內(nèi)容：

一 連續(xù)函數(shù)的概念函數(shù)的增量

定義1設(shè)變量u從它的初值u0變到終值u1，終值與初值之差u1?u0，稱為變量u的增

量，或稱為u的改變量，記為?u，即?u?u1?u0

?x?x1?x0

?y?f(x0??x)?f(x0)函數(shù)的連續(xù)性

定義2 設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量的增量?x趨近于零

時(shí)，相應(yīng)函數(shù)的增量?y也趨近于零，即

lim?y?0或 ?x?0

?x?0limf(x0??x)?f(x0)?0

則稱函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)

2例1 用連續(xù)的定義證明y?3x?1在點(diǎn)x0?2處是連續(xù)的證明 略

若令x??x0?x則當(dāng)?x?0時(shí)，x?x0又?y?f(x0??x)?f(x0)即

f(x)?f(x0)??y故?y?0就是f(x)?f(x0)

因而lim?y?0可以改寫成limf(x)?f(x0)?x?0x?x0

定義3 設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若

x?x0limf(x)?f(x0)

則稱函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)

由定義3知函數(shù)f?x?在點(diǎn)x0連續(xù)包含了三個(gè)條件：

（1）f?x?在點(diǎn)x0有定義

（2）limf(x)存在x?x0

（3）limf(x)?f(x0)x?x0

?sinx,x?0?例2 考察函數(shù)f(x)??x在點(diǎn)x?0處得連續(xù)性

?1,x?0?

解略

3左連續(xù)及右連續(xù)的概念.定義4 若limf(x)?f(x0)，則函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)左連續(xù) x?x0?

若limf(x)?f(x0)，則函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)右連續(xù) x?x0+

由此可知函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)左連續(xù)又右連續(xù)

4、函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義

（a,b）（a,b）定義5 若函數(shù)f(x)在開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間內(nèi)連

續(xù)

（a,b）若函數(shù)f(x)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且在左端點(diǎn)a右連續(xù)，在右端點(diǎn)b左連續(xù)，則

稱稱函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)

（-?,+?）例3 討論函數(shù)y?x在內(nèi)的連續(xù)性

解 略

二 函數(shù)的間斷點(diǎn)定義6函數(shù)f(x)不連續(xù)的點(diǎn)x0稱為函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)

由定義6可知函數(shù)f(x)不連續(xù)的點(diǎn)x0有下列三種情況

（1）f?x?在點(diǎn)x0沒有定義

（2）limf(x)不存在x?x0

（3）limf(x)?f(x0)x?x0

2間斷點(diǎn)的分類

??左右極限都相等（可去間斷點(diǎn)）第一類間斷點(diǎn)：左右極限都存在??間斷點(diǎn)? ?左右極限不相等（跳躍間斷點(diǎn)）

?第二類間斷點(diǎn)：左右極限至少有一個(gè)不存在?

?x2?1,x?0例4考察函數(shù)f(x)??在x?0處得連續(xù)性

?0,x?0

解 略

例5考察函數(shù)f(x)??

解 略

?1?,x?0例6考察函數(shù)f(x)??x在x?0處得連續(xù)性

?0,x?0??x,x?0?x?1,x?0在x?0處得連續(xù)性

解 略

三 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性

1、連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性

2、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

3、初等函數(shù)的連續(xù)性：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的．一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．對(duì)于初等函數(shù),由于連續(xù)性x?x0limf(x)?f(x0),求其極限即等價(jià)于求函數(shù)的函數(shù)值

四閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

定理1（最大值最小值定理）

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上必有最大值和最小值

定理2（介值定理）

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，m 和M分別為f(x)在?a,b?上的最小值和最大值，則對(duì)于介于m 和M之間的任一實(shí)數(shù)C，至少存在一點(diǎn)???a,b?，使得

f(?)?C

定理3（零點(diǎn)定理）

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)，則至少存在一點(diǎn)???a,b?，使得f(?)?0

例7 證明x5?2x?2?0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根 證明 略

Ⅴ 小結(jié)與提問：

Ⅵ 課外作業(yè)：

習(xí)題1-8 2，5，7，9

第五篇：高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第二章極限與連續(xù)

第二章 極限與連續(xù)

一、教學(xué)要求

1.了解極限概念，了解無窮小量的定義與基本性質(zhì)，掌握求極限的方法.2.了解函數(shù)連續(xù)性的概念，掌握函數(shù)連續(xù)性的性質(zhì)及運(yùn)算.重點(diǎn)：極限的計(jì)算，函數(shù)連續(xù)性的性質(zhì)及運(yùn)算。難點(diǎn)：極限、連續(xù)的概念。

二、課程內(nèi)容導(dǎo)讀

1.掌握求簡(jiǎn)單極限的常用方法。求極限的常用方法有(1)利用極限的四則運(yùn)算法則；(2)利用兩個(gè)重要極限；

(3)利用無窮小量的性質(zhì)（無窮小量乘以有界變量還是無窮小量）；(4)利用連續(xù)函數(shù)的定義。

例1 求下列極限：

（1）limx?09?sin3x?

3x1x

（2）limsin(x?1)2x?1x?1（3）lim(1?2x)

x?0

x2?cos2x?

1（4）lim

x??(x?sinx)2（5）lim(xe?x?0x1)x?1 解（1）對(duì)分子進(jìn)行有理化，然后消去零因子，再利用四則運(yùn)算法則和第一重要極限計(jì)算，即 limx?09?sin3x?3

x =lim(9?sin3x?3)(9?sin3x?3)

x?0x(9?sin3x?3)=limsin3x1 ?limx?0x?0x9?sin3x?3 =3?11? 62（2）利用第一重要極限和函數(shù)的連續(xù)性計(jì)算，即 limsin(x?1)sin(x?1)?lim

x?1x?1(x?1)(x?1)x2?1 ?lim sin(x?1)1 ?limx?1x?1x?1x?111 ?1??

1?12（3）利用第二重要極限計(jì)算，即

lim(1?2x)＝lim[(1?2x)x?0x?01x1?2x?2]?e?2。

（4）利用無窮小量的性質(zhì)（無窮小量乘以有界變量還是無窮小量）計(jì)算，即

cos2x?1cos2x?11?lim[1?]22x??x2?cos2x?1xx

lim= 1 ?lim?2x??(x?sinx)x??sinx2sinx2(1?)lim(1?)x??xxcos2x?11sinx1注：其中當(dāng)x??時(shí)，?2(cos2x?1)都是無窮小量乘以有?sinx，2xxxx界變量，即它們還是無窮小量。

（5）利用函數(shù)的連續(xù)性計(jì)算，即

lim(xe?x?0x11)＝0?e0???1 x?10?1 2.知道一些與極限有關(guān)的概念

(1)知道數(shù)列極限、函數(shù)極限、左右極限的概念，知道函數(shù)在某點(diǎn)極限存在的充分必要條件是該點(diǎn)左右極限都存在且相等；

(2)了解無窮小量的概念，了解無窮小量與無窮大量的關(guān)系，知道無窮小量的性質(zhì)；(3)了解函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的概念，知道左連續(xù)和右連續(xù)的概念，了解“初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)”的結(jié)論；會(huì)判斷函數(shù)在某點(diǎn)的連續(xù)性，會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)；

例2 填空、選擇題

(1)下列變量中，是無窮小量的為（）A.ln?1(x?0?)

B.lnx(x?1)x1x C.e(x?0)

D.?x?2(x?2)2x?4111???，故 ln???，ln不是無窮小量； xxx 選項(xiàng)B中：因?yàn)閤?1時(shí)，lnx?0，故lnx是無窮小量； 解 選項(xiàng)A中：因?yàn)?x?0時(shí)，?11? 選項(xiàng)C中：因?yàn)?x?0時(shí)，故ex?0；但是x?0時(shí)，????，? ???，xx?1???，因此e當(dāng)x?0時(shí)不是無窮小量。

x?21x?21x?2 選項(xiàng)D中：因?yàn)?，故當(dāng)x?2時(shí)，2不是無窮小??，2x?4x?2x?44x?4故e量。

因此正確的選項(xiàng)是B。

（2）下列極限計(jì)算正確的是（）。A.limxsinx?0?1x?1x11?limxlimsin?0

xx?0x?0xtan2xtan2x B.lim?lim2x?1

x?0sin2xx?0sin2x2x C.lim(x2?x?x)?limx??x??x2?x?limx?0

x??x?1x?1x?1xx?1?1e?1)?lim()lim()??1e?e

x??x?1x??x?1x??x?1e1 解 選項(xiàng)A不正確。因?yàn)閘imsin不存在，故不能直接用乘積的運(yùn)算法則，即

x?0x11limxsin?limxlimsin x?0xx?0x?0x D.lim(選項(xiàng)B正確。將分子、分母同除以2x，再利用第一個(gè)重要極限的擴(kuò)展形式，得到

tan2xtan2xlim?lim2x?1 x?0sin2xx?0sin2x2x 選項(xiàng)C不正確。因?yàn)閤??時(shí)，x?x??，x??，故不能直接用極限的減法運(yùn)算法則，即

2lim(x2?x?x)?limx2?x?limxx??x??x??

x?1x?1)可以分成兩項(xiàng)乘積，即

x??x?1x?1x?1x?1xx?1?1lim()=lim()lim()x??x?1x??x?1x??x?1111?lim(1?)xx?1xx)x=x??x?e 其中第一項(xiàng)lim()=lim(x??x??x?111xe?11?lim(1?)x??xx11?x?1?1x)?1?1?e?1 而第二項(xiàng)lim()?lim(x??x??x?111?x 選項(xiàng)D不正確。lim(故原算法錯(cuò)誤。

正確選項(xiàng)應(yīng)是B。

?x?1（3）當(dāng)k?（）時(shí)，f(x)??2?x?kx?0x?0在x?0處連續(xù)。

A.0 B.－1 C.2 D.1 解 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足既是左連續(xù)又是右連續(xù)。因?yàn)楹瘮?shù)已是右連續(xù)，且

f(0)?0?1?1

?2而左連續(xù)f(0)?lim?(x?k)?k?f(0)

x?0 故當(dāng)k?1時(shí)，f(x)在x?0處連續(xù)。

正確的選項(xiàng)是D。