第一篇：二元函數(shù)的極限與連續(xù)

§2.3 二元函數(shù)的極限與連續(xù)

定義

設(shè)二元函數(shù)有意義, 若存在常數(shù)A,都有

則稱A是函數(shù)當(dāng)點(diǎn) 趨于點(diǎn)

或

或

趨于點(diǎn)時(shí)的極限,記作。的方式無關(guān),即不,當(dāng)（即）時(shí)，在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)或

必須注意這個(gè)極限值與點(diǎn)

論P(yáng)以什么方

向和路徑（也可是跳躍式地，忽上忽下地）趨向

分接近, 就能 使。只要P與 充與A 接近到預(yù)先任意指定的程度。注意：點(diǎn)P趨于點(diǎn)點(diǎn)方式可有無窮多

種,比一元函數(shù)僅有左,右兩個(gè)單側(cè)極限要復(fù)雜的多（圖8-7）。

圖8-7

同樣我們可用歸結(jié)原則,若發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P按兩個(gè)特殊的路徑趨于點(diǎn)時(shí),極限

在該點(diǎn)

存在,但不相等, 則可以判定元函數(shù)極限不 存在的重要方法之一。

極限不存在。這是判斷多

一元函數(shù)極限中除了單調(diào)有界定理外,其余的有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論, 在二元函數(shù)極

限理論中都適用，在這里就不一一贅述了。例如若

有, 其中。

求多元函數(shù)的極限, 一般都是轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限來求, 或利用夾逼定理

來計(jì)算。例4 求。解由于,而,根據(jù)夾逼定理知,所以。

a≠0)。

解

例

求

（。例6 求。解

由于理知

且,所以根據(jù)夾逼定

.例7

研究函數(shù)

在點(diǎn)

處極限是否存在。解當(dāng)x

2+y2≠0時(shí)，我們研究函數(shù)，沿x→0,y=kx→0這一方式趨于

（0，0）的極限，有值，可得到不同的極 限值,所以極限

不存在,但,。很顯然，對于不同的k。

注意：極限方式的的區(qū)別, 前面兩個(gè)求

本質(zhì)是兩次求一元函數(shù)的極限, 我們稱為累次極限, 而最后一個(gè)是求二元函數(shù)的極限,我們稱為求二重極限。

例8

設(shè)函數(shù)極限都不存在,因

為對任何,當(dāng)

時(shí),。它關(guān)于原點(diǎn)的兩個(gè)累次的第二項(xiàng)不存在極限；同理對任何

時(shí), 的第 一項(xiàng)也不存在極限,但是因此。

由例7知, 兩次累次極限存在, 但二重極限不存在。由例8可知,二重極限存

在,但二個(gè)累次極限不存在。我們有下面的結(jié)果:定理1 若累次極限

都存在,則

三者相等（證明略）。推論

若但不相等,則二重極限

不

存在和二重極

限,由于,存在。定義 設(shè)

在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有意義,且稱

函

數(shù),則

在點(diǎn)

處

連

續(xù),記

上式稱為函數(shù)(值)的全增

量。

則。

定義

增量。

為函數(shù)(值)對x的偏

二元函數(shù)連續(xù)的定義可寫為

偏增量。

若

斷點(diǎn), 若

在點(diǎn)

為函數(shù)（值）對y的處不連續(xù),則稱點(diǎn)

是的間

在某區(qū)域

在區(qū)域G上連續(xù)。若

在閉區(qū)域G

G上每一點(diǎn)都連續(xù),則稱的每一內(nèi)點(diǎn)都連 續(xù),并在G的連界點(diǎn)

處成立,則稱

為連續(xù)曲面。

在閉域G上連續(xù)。閉域上連續(xù)的二元函數(shù)的圖形稱

關(guān)于一元函數(shù)連續(xù)的有關(guān)性質(zhì), 如最值定理、介值定理、Cantor

定理,對于

二元函數(shù)也相應(yīng)成立?？梢宰C明如下的重要結(jié)果：定理2設(shè)

在平面有界閉區(qū)域G上連續(xù),則

（1）必在G上取到最大值,最小值及其中間的一切值;（2）,當(dāng)

時(shí),都有

。以上關(guān)于二元函數(shù)的在G上一致連續(xù),即

極限和連續(xù)的有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論在n元函數(shù)中仍然成立。

第二篇：二元函數(shù)的極限與連續(xù)

§2.3 二元函數(shù)的極限與連續(xù)

定義 設(shè)二元函數(shù)有意義, 若存在 常數(shù)A,都有

則稱A是函數(shù)

當(dāng)點(diǎn)

趨于點(diǎn)

或 或趨于點(diǎn)

時(shí)的極限,記作

。的方式無關(guān),即不,當(dāng)

（即）時(shí)，在點(diǎn)的某鄰域

內(nèi) 或 必須注意這個(gè)極限值與點(diǎn)論P(yáng)以什么方

向和路徑（也可是跳躍式地，忽上忽下地）趨向分接近, 就能 使

。只要P與 充與A 接近到預(yù)先任意指定的程度。注意：點(diǎn)P趨于點(diǎn)點(diǎn)方式可有無窮多

種,比一元函數(shù)僅有左,右兩個(gè)單側(cè)極限要復(fù)雜的多（圖8-7）。

圖8-7

同樣我們可用歸結(jié)原則,若發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P按兩個(gè)特殊的路徑趨于點(diǎn)時(shí),極限

在該點(diǎn)

存在,但不相等, 則可以判定元函數(shù)極限不 存在的重要方法之一。

極限不存在。這是判斷多 一元函數(shù)極限中除了單調(diào)有界定理外,其余的有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論, 在二元函數(shù)極

限理論中都適用，在這里就不一一贅述了。例如

若

有, 其中。

求多元函數(shù)的極限, 一般都是轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限來求, 或利用夾逼定理

來計(jì)算。例4 求。

解由于 , 而,根據(jù)夾逼定理知

,所以。

a≠0)。

解 例5 求

（。例6 求。解

由于理知

且,所以根據(jù)夾逼定

.例7 研究函數(shù)在點(diǎn)處極限是否存在。

解 當(dāng)x2+y2≠0時(shí)，我們研究函數(shù)，沿x→0,y=kx→0這一方式趨于

（0，0）的極限，有值，可得到不同的極 限值,所以極限

不存在,但 ,。很顯然，對于不同的k。注意：極限方式的 的區(qū)別, 前面兩個(gè)求本質(zhì)是兩次求一元函數(shù)的極限, 我們稱為累次極限, 而最后一個(gè)是求二元函數(shù)的

極限,我們稱為求二重極限。

例8 設(shè)函數(shù)極限都不存在,因 為對任何,當(dāng)

時(shí),。它關(guān)于原點(diǎn)的兩個(gè)累次

的第二項(xiàng)不存在極限；同理對任何 時(shí), 的第 一項(xiàng)也不存在極限,但是因此。

由例7知, 兩次累次極限存在, 但二重極限不存在。由例8可知,二重極限存

在,但二個(gè)累次極限不存在。我們有下面的結(jié)果: 定理1 若累次極限都存在,則

三者相等（證明略）。推論 若但不相等,則二重極限

不

存在和二重極限, 由于, 存在。定義 設(shè)

在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有意義,且稱函數(shù),則

在點(diǎn)

處

連

續(xù),記

上式稱為函數(shù)(值)的全增量。則。

定義

增量。

為函數(shù)(值)對x的偏二元函數(shù)連續(xù)的定義可寫為

偏增量。若斷點(diǎn), 若

在點(diǎn)

為函數(shù)（值）對y的處不連續(xù),則稱點(diǎn)

是的間在某區(qū)域

在區(qū)域G上連續(xù)。若

在閉區(qū)域GG上每一點(diǎn)都連續(xù),則稱的每一內(nèi)點(diǎn)都連 續(xù),并在G的連界點(diǎn)

處成立 , 則稱為連續(xù)曲面。在閉域G上連續(xù)。閉域上連續(xù)的二元函數(shù)的圖形稱 關(guān)于一元函數(shù)連續(xù)的有關(guān)性質(zhì), 如最值定理、介值定理、Cantor定理,對于

二元函數(shù)也相應(yīng)成立?？梢宰C明如下的重要結(jié)果：

定理2 設(shè)

在平面有界閉區(qū)域G上連續(xù),則（1）必在G上取到最大值,最小值及其中間的一切值;（2）,當(dāng)

時(shí),都有

。以上關(guān)于二元函數(shù)的在G上一致連續(xù),即

極限和連續(xù)的有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論在n元函數(shù)中仍然成立。

第三篇：6.1 二元函數(shù)的極限與連續(xù)

第6章 多元微分學(xué)

教學(xué)目的：

1．理解多元函數(shù)的概念和二元函數(shù)的幾何意義。

2．了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

3．理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。

4．理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計(jì)算方法。5．掌握多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法。

6．會求隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導(dǎo)數(shù)。

7．了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。

8．理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值。

9．會用拉格郎日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應(yīng)用問題。

教學(xué)重點(diǎn)：

1．二元函數(shù)的極限與連續(xù)性； 2．函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分；

3．方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計(jì)算； 4．多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)； 5．隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

6．曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線； 7．多元函數(shù)極值和條件極值的求法。教學(xué)難點(diǎn)：

1．二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念； 2．全微分形式的不變性； 3．復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法；

4．隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導(dǎo)數(shù)； 5．拉格郎日乘數(shù)法；

6．多元函數(shù)的最大值和最小值。

6.1 二元函數(shù)的極限與連續(xù)

6．1．1 區(qū)域

1．平面點(diǎn)集

由平面解析幾何知道? 當(dāng)在平面上引入了一個(gè)直角坐標(biāo)系后?平面上的點(diǎn)P與有序二元實(shí)數(shù)組(x,y)之間就建立了一一對應(yīng)? 于是? 我們常把有序?qū)崝?shù)組(x,y)與平面上的點(diǎn)P視作是等同的? 這種建立了坐標(biāo)系的平面稱為坐標(biāo)平面?

二元的序?qū)崝?shù)組(x,y)的全體? 即R2?R?R??(x,y)x,y?R?就表示坐標(biāo)平面?

坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)B的點(diǎn)的集合? 稱為平面點(diǎn)集? 記作：E?(x,y)(x,y)具有性質(zhì)B??。

例如?平面上以原點(diǎn)為中心、r為半徑的圓內(nèi)所有點(diǎn)的集合是 C??(x,y)x2?y2?r2?

如果我們以點(diǎn)P表示(x,y)，以O(shè)P表示點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離? 那么集合C可表成 C??POP?r?.2．鄰域

設(shè)P0(x0,y0)是xoy平面上的一個(gè)點(diǎn)? ?是某一正數(shù)? 與點(diǎn)P0(x0,y0)距離小于?的點(diǎn)P(x,y)的全體? 稱為點(diǎn)P0的?鄰域? 記為U(P0,?)? 即

U(P0,?)?{P| |PP0|??}或U(P0,?)?{(x, y)|(x?x0)2?(y?y0)2?? }?

鄰域的幾何意義：U(P0,?)表示xoy平面上以點(diǎn)P0(x0,y0)為中心、? >0為半徑的圓的內(nèi)部的點(diǎn)P(x,y)的全體?

點(diǎn)P0的去心?鄰域? 記作U(P0, ?)，即 ：U(P0, ?)?{P| 0?|P0P|??}? 注：如果不需要強(qiáng)調(diào)鄰域的半徑?? 則用U(P0)表示點(diǎn)P0的某個(gè)鄰域? 點(diǎn)P0的去心鄰域記作U(P0)?

3．點(diǎn)與點(diǎn)集之間的關(guān)系

任意一點(diǎn)P?R2與任意一個(gè)點(diǎn)集E?R2之間必有以下三種關(guān)系中的一種?(1)內(nèi)點(diǎn)：如果存在點(diǎn)P的某一鄰域U(P)? 使得U(P)?E? 則稱P為E的內(nèi)點(diǎn)?

(2)外點(diǎn)：如果存在點(diǎn)P的某個(gè)鄰域U(P)? 使得U(P)?E??? 則稱P為E的???外點(diǎn)?

(3)邊界點(diǎn)：如果點(diǎn)P的任一鄰域內(nèi)既有屬于E的點(diǎn)? 也有不屬于E的點(diǎn)? 則稱P點(diǎn)為E的邊界點(diǎn)?

E的邊界點(diǎn)的全體? 稱為E的邊界? 記作?E?

E的內(nèi)點(diǎn)必屬于E? E的外點(diǎn)必定不屬于E? 而E的邊界點(diǎn)可能屬于E? 也可能不屬于E?

聚點(diǎn)：如果對于任意給定的??0? 點(diǎn)P的去心鄰域U(P,?)內(nèi)總有E中的點(diǎn)? 則稱P是E的聚點(diǎn)?

由聚點(diǎn)的定義可知? 點(diǎn)集E的聚點(diǎn)P本身? 可以屬于E? 也可能不屬于E。例如? 設(shè)平面點(diǎn)集E?{(x? y)|1?x?y?2}?

滿足1?x2?y2?2的一切點(diǎn)(x? y)都是E的內(nèi)點(diǎn)? 滿足x2?y2?1的一切點(diǎn)(x? y)都是E的邊界點(diǎn)? 它們都不屬于E? 滿足x2?y2?2的一切點(diǎn)(x? y)也是E的邊界點(diǎn)? 它們都屬于E? 點(diǎn)集E以及它的界邊?E上的一切點(diǎn)都是E的聚點(diǎn)?

4．區(qū)域

開集? 如果點(diǎn)集E 的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)? 則稱E為開集?

c 閉集? 如果點(diǎn)集的余集E為開集? 則稱E為閉集?

開集的例子? E?{(x? y)|1

閉集的例子? E?{(x? y)|1?x2?y2?2}? 集合{(x? y)|1?x?y?2}既非開集? 也非閉集?

連通性? 如果點(diǎn)集E內(nèi)任何兩點(diǎn)? 都可用折線連結(jié)起來? 且該折線上的點(diǎn)都屬于E? 則稱E為連通集?

區(qū)域(或開區(qū)域)? 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域? 例如E?{(x? y)|1?x2?y2?2}?

閉區(qū)域? 開區(qū)域連同它的邊界一起所構(gòu)成的點(diǎn)集稱為閉區(qū)域? 例如E ? {(x? y)|1?x2?y2?2}?

有界集? 對于平面點(diǎn)集E? 如果存在某一正數(shù)r? 使得E?U(O? r)? 其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)? 則稱E為有界點(diǎn)集?

無界集? 一個(gè)集合如果不是有界集? 就稱這集合為無界集?

例如? 集合{(x? y)|1?x2?y2?2}是有界閉區(qū)域? 集合{(x? y)| x?y?1}是無界開區(qū)域?

集合{(x? y)| x?y?1}是無界閉區(qū)域?

*5? n維空間

設(shè)n為取定的一個(gè)自然數(shù)? 我們用Rn表示n元有序數(shù)組(x1? x2? ? ? ? ? xn)的全體所構(gòu)成的集合? 即

Rn?R?R?????R?{(x1? x2? ? ? ? ? xn)| xi?R? i?1? 2? ???? n}? nR中的元素(x1? x2? ? ? ? ? xn)有時(shí)也用單個(gè)字母x來表示? 即x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)? 當(dāng)所有的xi(i?1? 2? ???? n)都為零時(shí)? 稱這樣的元素為Rn中的零元? 記為0

23或O ? 在解析幾何中? 通過直角坐標(biāo)? R(或R)中的元素分別與平面(或空間)中的點(diǎn)或向量建立一一對應(yīng)? 因而Rn中的元素x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)也稱為Rn中的一個(gè)點(diǎn)或一個(gè)n維向量? xi稱為點(diǎn)x的第i個(gè)坐標(biāo)或n維向量x的第i個(gè)分量? 特別地? Rn中的零元0稱為Rn中的坐標(biāo)原點(diǎn)或n維零向量?

為了在集合Rn中的元素之間建立聯(lián)系? 在Rn中定義線性運(yùn)算如下?

? 設(shè)x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)? y?(y1? y2? ? ? ? ? yn)為Rn中任意兩個(gè)元素? ??R? 規(guī)定

x?y?(x1? y1? x2? y2? ? ? ? ? xn? yn)? ?x?(?x1? ?x2? ? ? ? ? ?xn)?

n這樣定義了線性運(yùn)算的集合R稱為n維空間?

Rn中點(diǎn)x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)和點(diǎn) y?(y1? y2? ? ? ? ? yn)間的距離? 記作?(x? y)? 規(guī)定

?(x,y)?(x1?y1)2?(x2?y2)2? ? ? ? ?(xn?yn)2?

顯然? n?1? 2? 3時(shí)? 上術(shù)規(guī)定與數(shù)軸上、直角坐標(biāo)系下平面及空間中兩點(diǎn)間的距離一致?

n1 R中元素x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)與零元0之間的距離?(x? 0)記作||x||(在R、R2、R3中? 通常將||x||記作|x|)? 即 ||x||?x12?x2? ? ? ? ? xn采用這一記號? 結(jié)合向量的線性運(yùn)算? 便得

||x?y||?(x1?y1)2?(x2?y2)2? ? ? ? ?(xn?yn)2??(x,y)?

在n維空間Rn中定義了距離以后? 就可以定義Rn中變元的極限?

設(shè)x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)? a?(a1? a2? ? ? ? ? an)?Rn? 如果

||x?a||?0?

n則稱變元x在R中趨于固定元a? 記作x?a ?

顯然? x?a ? x1?a1? x2?a2? ? ? ? ? xn?an ?

在Rn中線性運(yùn)算和距離的引入? 使得前面討論過的有關(guān)平面點(diǎn)集的一系列概念? 可以方便地引入到n(n?3)維空間中來? 例如?

設(shè)a?(a1? a2? ? ? ? ? an)?Rn? ?是某一正數(shù)? 則n維空間內(nèi)的點(diǎn)集

U(a? ?)?{x| x? Rn? ?(x? a)??} 就定義為Rn中點(diǎn)a的?鄰域? 以鄰域?yàn)榛A(chǔ)? 可以定義點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)和聚點(diǎn)? 以及開集、閉集、區(qū)域等一系列概念?

6．1．2 多元函數(shù)的概念

例１ 圓柱體的體積V 和它的底半徑r、高h(yuǎn)之間具有關(guān)系

V ??r2h?

這里? 當(dāng)r、h在集合{(r ? h)| r>0? h>0}內(nèi)取定一對值(r ? h)時(shí)? V對應(yīng)的值就隨之確定?

例2 一定量的理想氣體的壓強(qiáng)p、體積V和絕對溫度T之間具有關(guān)系 p?RT?

V其中R為常數(shù)? 這里? 當(dāng)V、T在集合{(V ?T)| V>0? T>0}內(nèi)取定一對值(V? T)時(shí)? p的對應(yīng)值就隨之確定?

例3 設(shè)R 是電阻R1、R2并聯(lián)后的總電阻? 由電學(xué)知道? 它們之間具有關(guān)系 R?R1R2R1?R2? 這里? 當(dāng)R1、R2在集合{(R1? R2)| R1>0? R2>0}內(nèi)取定一對值(R1 ? R2)時(shí)? R的對應(yīng)值就隨之確定?

定義1：設(shè)D是R2的一個(gè)非空子集? 稱映射f:D?R為定義在D上的二元函數(shù)? 通常記為： z?f(x,y),(x,y)?D(或z?f(P),P?D)其中點(diǎn)集D稱為該函數(shù)的定義域? x? y稱為自變量? z稱為因變量?

上述定義中? 與自變量x、y的一對值(x? y)相對應(yīng)的因變量z的值? 也稱為f在點(diǎn)(x? y)處的函數(shù)值? 記作f(x,y)? 即z?f(x,y).值域? f(D)?{z| z?f(x? y)?(x? y)?D}?

函數(shù)的其它符號: z?z(x,y), z?g(x,y)等.類似地可定義三元函數(shù)u?f(x? y? z)?(x? y? z)?D以及三元以上的函數(shù)?

一般地? 把定義1中的平面點(diǎn)集D換成n維空間Rn內(nèi)的點(diǎn)集D? 映射f ? D?R就稱為定義在D上的n元函數(shù)? 通常記為：u?f(x1? x2? ? ? ? ? xn)?(x1? x2? ? ? ? ? xn)?D?

或簡記為：u?f(x)? x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)?D? 也可記為：u?f(P)? P(x1? x2? ? ? ? ? xn)?D ?

關(guān)于函數(shù)定義域的約定? 在一般地討論用算式表達(dá)的多元函數(shù)u?f(x)時(shí)? 就以使這個(gè)算式有意義的變元x的值所組成的點(diǎn)集為這個(gè)多元函數(shù)的自然定義域? 因而? 對這類函數(shù)? 它的定義域不再特別標(biāo)出? 例如?

函數(shù)z?ln(x?y)的定義域?yàn)閧(x? y)|x?y>0}(無界開區(qū)域)?

函數(shù)z?arcsin(x2?y2)的定義域?yàn)閧(x? y)|x2?y2?1}(有界閉區(qū)域)?

二元函數(shù)的圖形? 點(diǎn)集{(x? y? z)|z?f(x? y)?(x? y)?D}稱為二元函數(shù)z?f(x? y)的圖形? 二元函數(shù)的圖形是一張曲面?

例如 z?ax?by?c是一張平面? 而函數(shù)z=x2+y2的圖形是旋轉(zhuǎn)拋物面?

6．1．3 二元函數(shù)的極限

與一元函數(shù)的極限概念類似? 如果在P(x,y)?P0(x0,y0)的過程中? 對應(yīng)的函數(shù)值f(x,y)無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A? 則稱A是函數(shù)f(x,y)當(dāng)(x,y)?(x0,y0)時(shí)的極限?

定義2：設(shè)二元函數(shù)f(P)?f(x,y)的定義域?yàn)镈，P0(x0,y0)是D的聚點(diǎn).如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)??0總存在正數(shù)?? 使得當(dāng)P(x,y)?D?U(P0,?)時(shí)? 都有 f(P)?A?f(x,y)?A???

成立? 則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x,y)當(dāng)(x,y)?(x0,y0)時(shí)的極限? 記為 也記作(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A? 或f(x,y)?A((x,y)?(x0,y0)), limf(P)?A或f(P)?A(P?P0)

P?P0 上述定義的極限也稱為二重極限? 例4.設(shè)f(x,y)?(x2?y2)sin證：因?yàn)?/p>

|f(x,y)?0|?|(x?y)sin221x2?y2? 求證

(x,y)?(0,0)limf(x,y)?0?

1x?y22?0| ?|x?y|?|sin221x?y22| ?x?y22?

可見對??>0? 取???? 則

當(dāng)0?(x?0)?(y?0)??，即P(x,y)?D?U(O,?)時(shí)，總有f(x,y)??，22?因此lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?0。

必須注意?

(1)二重極限存在? 是指P以任何方式趨于P0時(shí)? 函數(shù)都無限接近于A.(2)如果當(dāng)P以兩種不同方式趨于P0時(shí)? 函數(shù)趨于不同的值? 則函數(shù)的極限不存在.討論：

?xy22 x?y?0?2（i）函數(shù)f(x,y)??x?y2在點(diǎn)(0? 0)有無極限？

22??0 x?y?0提示：當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿x軸趨于點(diǎn)(0? 0)時(shí)? lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?limf(x, 0)?lim0?0?

x?0x?0當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿y軸趨于點(diǎn)(0? 0)時(shí)? lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?limf(0, y)?lim0?0?

y?0y?0當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿直線y?kx有

(x,y)?(0,0)y?kxlimxyx?y22?limkx2222x?0x?kx?k1?k2?

因此? 函數(shù)f(x,y)在(0? 0)處無極限?（ii）xy?1?1x?y(x,y)?(0,0)lim

提示：f(x,y)?xy?1?1x?y在(0,0)點(diǎn)的去心領(lǐng)域內(nèi)并不總是有意義（x?y?0），這有悖于二重極限的定義，所以極限不存在。亦可：當(dāng)取路徑y(tǒng)?kx2?x(k?0)時(shí)，由于極限

1(x,y)?(0,0)limxy?1?1x?y=limkx?x?1?1kx232x?0=lim2x?0(kx?x)kx232??12k

與k值有關(guān)[(1?t)??1）～?t（t?0）]，所以極限不存在。

多元函數(shù)的極限運(yùn)算法則? 與一元函數(shù)的情況類似? 例5：求lim(x,y)?(0,2)sin(xy)x?

解?

sin(xy)sin(xy)sin(xy)?lim?y?lim?limyxxy(x,y)?(0,2)(x,y)?(0,2)xy(x,y)?(0,2)(x,y)?(0,2)lim?1?2?2?

注（3）：求二元函數(shù)的極限一般是通過換元或代數(shù)式變形等方法把問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限問題---即多元問題‘一元化’。需要強(qiáng)調(diào)的是一元函數(shù)極限的L’Hospital法則不能用于二元函數(shù)求極限。例6：求下列極限

1（1）(x,y)?(0,0)lim(1?sinxy)4xy；（2）

(x,y)?(0,0)lim(x?y)sin1xcos1y；

（3）(x,y)?(0,0)limsin(x?y)x?y224；（4）lim(x???y???1xyx?y22)x2

sinxy1解：（1）(x,y)?(0,0)lim(1?sinxy)xy=

1y(x,y)?(0,0)lim[(1?sinxy)sinxy]xy?e；

（2）(x,y)?(0,0)lim(x?y)sin1xcos=0；（無窮小乘有界函數(shù)仍為無窮?。?）設(shè)x?rcos?,y?rsin?，則

limsin(x?y)x?y2244(x,y)?(0,0)=limsin(rcos??rsin?)r24444=limr2(sin4??cos4?)?0；

r?0r?0（4）由于：?0(xyx?y22)x2?122??(x?y)????222?x?y?????x2?()21x2，lim()x???1x22?0，由夾逼法則可知原極限等于零。

6．1．4 二元函數(shù)的連續(xù)性

定義3：設(shè)二元函數(shù)f(P)?f(x,y)的定義域?yàn)镈,P0(x0,y0)為D的聚點(diǎn)? 且P0?D.如果

lim(x,y)?(x0,y0)f(x,y)?f(x0,y0)?

則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)連續(xù)?

如果函數(shù)f(x,y)在D的每一點(diǎn)都連續(xù)? 那么就稱函數(shù)f(x,y)在D上連續(xù)? 或者稱f(x,y)是D上的連續(xù)函數(shù)?

二元函數(shù)的連續(xù)性概念可相應(yīng)地推廣到n元函數(shù)f(P)上去? 例7：設(shè)f(x,y)?sinx,證明f(x,y)是R2上的連續(xù)函數(shù)。

證 設(shè)P0(x0,y0)?R2, ???0? 由于sinx在x0處連續(xù)? 故???0? 當(dāng)x?x0??時(shí)? 有 sinx?sinx0??

以上述?作P0的?鄰域U(P0,?)，則當(dāng)P(x,y)?U(P0,?)時(shí)? 顯然 f(x,y)?f(x0,y0)?sinx?sinx0??

即f(x,y)?sinx在點(diǎn)P0(x0,y0)連續(xù)? 由P0的任意性知? sinx作為x,y的二元函數(shù)在R2上連續(xù)。

證 對于任意的P0(x0,y0)?R2，因?yàn)? lim(x,y)?(x0,y0)f(x,y)?lim(x,y)?(x0,y0)sinx?sinx0?f(x0,y0)? 所以函數(shù)f(x,y)?sinx在點(diǎn)P0(x0,y0)連續(xù)? 由P0的任意性知? sinx作為x,y的二元函數(shù)在R2上連續(xù)?

類似的討論可知? 一元基本初等函數(shù)看成二元函數(shù)或二元以上的多元函數(shù)時(shí)? 它們在各自的定義域內(nèi)都是連續(xù)的?

定義4:設(shè)函數(shù)f(x,y)的定義域?yàn)镈,P0(x0,y0)是D的聚點(diǎn)? 如果函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)不連續(xù)? 則稱P0(x0,y0)為函數(shù)f(x,y)的間斷點(diǎn)?

?xy x2?y2?0?22 例如:函數(shù)f(x,y)??x?y?

22??0 x?y?0其定義域D?R2,O(0? 0)是D的聚點(diǎn)? f(x,y)當(dāng)(x? y)?(0? 0)時(shí)的極限不存在? 所以點(diǎn)O(0? 0)是該函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn)?

又如? 函數(shù)z?sin1? 其定義域?yàn)?2x?y?1D?{(x? y)|x2?y2?1}? 圓周C?{(x? C上沒有定義? 當(dāng)然

f(x,y)在y)|x2?y2?1}上的點(diǎn)都是D的聚點(diǎn)? 而f(x,y)在C上各點(diǎn)都不連續(xù)? 所以圓周C上各點(diǎn)都是該函數(shù)的間斷點(diǎn)?

注? 間斷點(diǎn)可能是孤立點(diǎn)也可能是曲線上的點(diǎn)?

可以證明? 多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)? 連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零處仍連續(xù)? 多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)?

多元初等函數(shù)? 與一元初等函數(shù)類似? 多元初等函數(shù)是指可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)? 這個(gè)式子是由常數(shù)及具有不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算而得到的?

例如x?x2?y221?y? sin(x?y), ex2?y2?z2都是多元初等函數(shù)?

一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的? 所謂定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域?

由多元連續(xù)函數(shù)的連續(xù)性? 如果要求多元連續(xù)函數(shù)f(P)在點(diǎn)P0處的極限? 而該點(diǎn)又在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi)? 則limf(P)?f(P0)。

p?p0例8：求lim(x,y)?(1,2)x?yxy?

是初等函數(shù)? 它的定義域?yàn)镈??(x,y)x?0,y?0?, 解? 函數(shù)f(x,y)?P0(1,2)為Dx?yxy的內(nèi)點(diǎn)? 故存在P0的某一鄰域U(P0)?D,而任何鄰域都是區(qū)域? 所以U(P0)是f(x,y)的一個(gè)定義區(qū)域? 因此

(x,y)?(1,2)limf(x,y)?f(1,2)?32?

一般地? 求limf(P)時(shí)? 如果f(P)是初等函數(shù)? 且P0是f(P)的定義域的內(nèi)P?P0點(diǎn)? 則f(P)在點(diǎn)P0處連續(xù)? 于是limf(P)?f(P0).P?P0例9：求lim(x,y)?(0, 0)xy?1?1xy?

(xy?1?1)(xy?1?1)xy(xy?1?1)解? lim(x,y)?(0, 0)xy?1?1xy?lim(x,y)?(0, 0)?lim(x,y)?(0, 0)1xy?1?1?1? 2

多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)?

性質(zhì)1(有界性與最大值最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)? 必定在D上有界? 且能取得它的最大值和最小值?

性質(zhì)1就是說? 若f(P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)? 則必定存在常數(shù)M?0? 使得對一切P?D,有f(P)?M,且存在P1,P2?D,使得

f(P1)?max?f(P)P?D?;f(P2)?min?f(P)P?D?，性質(zhì)2(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任何值?

思考：一元連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理在多元連續(xù)函數(shù)中該如何理解？

第四篇：函數(shù)極限與連續(xù)

函數(shù)、極限與連續(xù)

一、基本題

1、函數(shù)f?

x??ln?6?x?的連續(xù)區(qū)間?ax2?x?2x?

12、設(shè)函數(shù)f?x???，若limf?x??0，且limf?x?存在，則 x?1x??1x?1?2ax?b

a?-1，b?

41sin2x??

3、lim?x2sin???-2x?0xx??

4、n2x?4/(√2-3)?k?

5、lim?1???e2，則k=-1x???x?

x2?ax?b?5，則a?3，b?-

46、設(shè)limx?1x?

17、設(shè)函數(shù)f?x??2x?sinx?1,g?x??kx，當(dāng)x?0時(shí)，f?x?~g?x?，則k

?ex?2x?0?

8、函數(shù)f?x???2x?10?x?1的定義域R ；連續(xù)區(qū)間(-oo,1),(1,+oo)?3x?1x?1?

?1?xsinx

?a9、函數(shù)f?x????1?xsin?bx?x?0x?0在x?0處連續(xù)，則a?1，b?1x?010、函數(shù)f?x??e?

1e?11

x1x的間斷點(diǎn)為x=0，類型是 跳躍間斷點(diǎn)。

11、f?x,y??x2?y2?xycosx，則f?0,1??f?t,1??y12、f?xy,x?y??x2?y2，則f?x,y??y^2+x13、函數(shù)z?ln?

2?x2?y2??的定義域?yàn)?{(x,y)|1=0}

14、1?e2?xylim?-1?2；?x,y???0,0?x2?y2?exy?x,y???0,0?1?x2?y2x2?y2lim

3?-12；lim?1?2xy?x?15、x?0

y?0

二、計(jì)算題

1、求下列極限

（1）0

0型：

1）limex?e?x?2x

x?0xsin3x；=0

2）limex?x?

1x?0x1?e2x;=-1/

43）limtan3x?ln?1?2x?

x?01?cos2x;=-

34）limtanx?sinx

x?0xsin2x2;=1/4

（2）?

?型：

1）lnsin3x

xlim?0?lnsin2x=1

lim2n?1?3n?1

2）n??2n?3n=3

（3）???型：

1）lim?11?

x?0??x?ex?1??=1/

22）lim?

x?1?11??x?1?lnx??=-1/2

3)xlim???arccosx?=π/3

4)xlim???x?=-1 x?0y?2

（4）0??型：

???1）limx??arctanx?=1x????2?

2)lim?x?1?tanx?1?x2=-π/2

（5）1?型：

?2?1）lim?1??x???x?3x?2=e^(-6)

4x?2?3x?1?2）lim??x??3x?2??

3)lim?1?2x?x?0 =e^(-4)=e^(2/5)1sin5x

1??4)lim?cos?=e^(-1/2)x??x??

（6）00型：1）lim?xsinx=1 x?0x2

方法:lim x^sinx=lim e^(sinxlnx)

公式：f(x)^g(x)=e^(g(x)ln(f(x)))

（7）?型：1）lim?x?20x

x????1x=2

同上

2、已知：f?x??sin2x?ln?1?3x??2limf?x?，求f?x? x?0x

f(x)=(sin2x)/x+ln(1-3x)+

2(方法：兩邊limf(x)x->0)

x2?x3、求函數(shù)f?x??的間斷點(diǎn)，并判定類型。2xx?1駐點(diǎn)x=0,x=1,x=-

11）當(dāng)x=0+時(shí)，f(x)=-1；當(dāng)x=0-時(shí)，f(x)=1 跳躍間斷點(diǎn)

2）當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=oo;第二類間斷點(diǎn)

3）當(dāng)x=-1時(shí)，f(x)=1/2;但f(-1)不存在，所以x=-1是可去間斷點(diǎn)

?sin2x?x??

4、設(shè)函數(shù)f?x???a

?ln1?bx?????1?e2xx?0x?0在定義域內(nèi)連續(xù)，求a與b x?0

Lim sin(2x)/x|x->0-=2=a=b/-2=>a=2,b=-

45、證明方程：x3?3x2?9x?1?0在?0,1?內(nèi)有唯一的實(shí)根。（存在性與唯一性）證明：

1）存在性：

令f(x)=x^3-3x^2-9x+1

f(0)=1>0;

f(1)=-10<0;

因?yàn)閒(0).f(1)<0所以在（0,1）內(nèi)存在一個(gè)實(shí)根

2）唯一性

f’(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)

所以f(x)在(0,1)內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)

故x3?3x2?9x?1?0在?0,1?內(nèi)有唯一的實(shí)根。

第五篇：函數(shù)極限與連續(xù)教案

第四講

Ⅰ 授課題目（章節(jié)）

1.8：函數(shù)的連續(xù)性

Ⅱ 教學(xué)目的與要求：

1、正確理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)及在某一區(qū)間內(nèi)連續(xù)的定義；

2、會判斷函數(shù)的間斷點(diǎn).4、了解初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的、基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的；

5、了解初等函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性，反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性； 6 掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：

重點(diǎn)：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義，間斷點(diǎn)，初等函數(shù)的連續(xù)性

難點(diǎn)：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

Ⅳ 講授內(nèi)容：

一 連續(xù)函數(shù)的概念函數(shù)的增量

定義1設(shè)變量u從它的初值u0變到終值u1，終值與初值之差u1?u0，稱為變量u的增

量，或稱為u的改變量，記為?u，即?u?u1?u0

?x?x1?x0

?y?f(x0??x)?f(x0)函數(shù)的連續(xù)性

定義2 設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量的增量?x趨近于零

時(shí)，相應(yīng)函數(shù)的增量?y也趨近于零，即

lim?y?0或 ?x?0

?x?0limf(x0??x)?f(x0)?0

則稱函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)

2例1 用連續(xù)的定義證明y?3x?1在點(diǎn)x0?2處是連續(xù)的證明 略

若令x??x0?x則當(dāng)?x?0時(shí)，x?x0又?y?f(x0??x)?f(x0)即

f(x)?f(x0)??y故?y?0就是f(x)?f(x0)

因而lim?y?0可以改寫成limf(x)?f(x0)?x?0x?x0

定義3 設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若

x?x0limf(x)?f(x0)

則稱函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)

由定義3知函數(shù)f?x?在點(diǎn)x0連續(xù)包含了三個(gè)條件：

（1）f?x?在點(diǎn)x0有定義

（2）limf(x)存在x?x0

（3）limf(x)?f(x0)x?x0

?sinx,x?0?例2 考察函數(shù)f(x)??x在點(diǎn)x?0處得連續(xù)性

?1,x?0?

解略

3左連續(xù)及右連續(xù)的概念.定義4 若limf(x)?f(x0)，則函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)左連續(xù) x?x0?

若limf(x)?f(x0)，則函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)右連續(xù) x?x0+

由此可知函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)左連續(xù)又右連續(xù)

4、函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義

（a,b）（a,b）定義5 若函數(shù)f(x)在開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間內(nèi)連

續(xù)

（a,b）若函數(shù)f(x)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且在左端點(diǎn)a右連續(xù)，在右端點(diǎn)b左連續(xù)，則

稱稱函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)

（-?,+?）例3 討論函數(shù)y?x在內(nèi)的連續(xù)性

解 略

二 函數(shù)的間斷點(diǎn)定義6函數(shù)f(x)不連續(xù)的點(diǎn)x0稱為函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)

由定義6可知函數(shù)f(x)不連續(xù)的點(diǎn)x0有下列三種情況

（1）f?x?在點(diǎn)x0沒有定義

（2）limf(x)不存在x?x0

（3）limf(x)?f(x0)x?x0

2間斷點(diǎn)的分類

??左右極限都相等（可去間斷點(diǎn)）第一類間斷點(diǎn)：左右極限都存在??間斷點(diǎn)? ?左右極限不相等（跳躍間斷點(diǎn)）

?第二類間斷點(diǎn)：左右極限至少有一個(gè)不存在?

?x2?1,x?0例4考察函數(shù)f(x)??在x?0處得連續(xù)性

?0,x?0

解 略

例5考察函數(shù)f(x)??

解 略

?1?,x?0例6考察函數(shù)f(x)??x在x?0處得連續(xù)性

?0,x?0??x,x?0?x?1,x?0在x?0處得連續(xù)性

解 略

三 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性

1、連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性

2、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

3、初等函數(shù)的連續(xù)性：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的．一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．對于初等函數(shù),由于連續(xù)性x?x0limf(x)?f(x0),求其極限即等價(jià)于求函數(shù)的函數(shù)值

四閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

定理1（最大值最小值定理）

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上必有最大值和最小值

定理2（介值定理）

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，m 和M分別為f(x)在?a,b?上的最小值和最大值，則對于介于m 和M之間的任一實(shí)數(shù)C，至少存在一點(diǎn)???a,b?，使得

f(?)?C

定理3（零點(diǎn)定理）

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號，則至少存在一點(diǎn)???a,b?，使得f(?)?0

例7 證明x5?2x?2?0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根 證明 略

Ⅴ 小結(jié)與提問：

Ⅵ 課外作業(yè)：

習(xí)題1-8 2，5，7，9