第一篇：2014考研數(shù)學(xué)備考重點(diǎn)解析——定積分的計(jì)算和證明

2014考研數(shù)學(xué)備考重點(diǎn)解析——定積分的計(jì)算和證明

1.定義：?b

af(x)dx?lim?f(?k)?xk ??0k?1n

2.可積性：

1）必要條件：f(x)有界；

2）充分條件:f(x)連續(xù)或僅有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；

3.計(jì)算1）?b

af(x)dx?F(b)?F(a)

2）換元法

3）分部積分法

4）利用奇偶性，周期性

5）利用公式 ?n?1n?31????,n偶?nnnn?222(1)?2sinxdx??2cosxdx?? 00n?1n?32????,n奇?nn?23??

(2)

4.變上限積分：?π0xf(sinx)dx??2?0?f(sinx)dx ?x

af(t)dt

1)連續(xù)性：設(shè)f(x)在[a,b]上可積，則

2）可導(dǎo)性：設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則

變上限求導(dǎo)的三個(gè)類型： ?xaxaf(t)dt在[a,b]上連續(xù)。f(t)dt醫(yī)學(xué)考研論壇在[a,b]上可導(dǎo)且(?f(t)dt)??f(x).ax?

??(x)??(1)??f(t)dt??f(?(x))??(x)?f(?(x))??(x)??(x)?

??(x)x??(2)??f(x,t)dt?例1:F(x)??(t?x)f(t)dx 0??(x)?

?bdx2??(3)??f(x,t)dt?例2:sin(x?t)dt?0?a?dx

3）奇偶性：i）若f(x)為奇函數(shù)，則?x

0f(t)dt為偶函數(shù)。

ii）若f(x)為偶函數(shù)，則5.性質(zhì)：

?

x0

f(t)dt為奇函數(shù)。

1)不等式：i)若f(x)?g(x), 則

?

ba

f(x)dx??g(x)dx.a

b

ii)若f(x)在[a,b]上連續(xù)，則m(b?a)?iii)

?

ba

f(x)dx?M(b?a).?

ba

f(x)dx??|f(x)|dx.a

b

2)中值定理： i）若f(x)在[a,b]上連續(xù)，則

?

ba

f(x)dx?f(c)(b?a),a?c?b

g(x)不變號(hào)，則

ii）若f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)醫(yī)學(xué)考研論壇，?

ba

f(x)g(x)dx?f(c)?g(x)dx,a?c?b.a

b

【例1】I?

?

n?0

?x dx;

【解法1】原式=n=n=n=n

?

?

?sin2

??

?

?

(cos?sin)2 cosx?sinx

(cosx?sinx)dx???(sinx?cosx)?22n.?

?40

?

【解法2】原式=n

5?4

??

5?4

?sin2xdx

=n

?

?

(cosx?sinx)2dx

45?4

=n

?

??

(sinx?cosx)dx?2.ex4

sinxdx;【例2】 I???

?1?ex2

?x?t

ee44

sinxdx??2?sintdt【解析】I??2?

x?t?1?e?1?e22

?

(x??t)

?

sin???1?ettdt

?

??

?1?2ex1442sinxdx???sinxdx?????

?1?ex2??21?ex

2?

??2?sinxdx

2?2

?

?

?

?

sin4xdx?

31?3?

海文考研鉆石卡 ???

42216

【例3】 已知f(x)連續(xù)，【解析】令x?t?u得

?

x0

?

tf(x?t)dt?1?cosx,求?2f(x)dx的值.?

x

tf(x?t)dt??(x?u)f(u)du?x?f(u)du??uf(u)du，xxx

xxxdx，從而有tf(x?t)dt?f(u)du?xf(x)?xf(x)?f(u)duf(u)du?sinx ????0000dx

令x?

?

?

得

?

f(u)du?sin

?

?1.1n

??1??2??n??

【例4】 求 lim??1?2?????1?n2?????1?n2???n???n????????

?1?1222n2?12n?

(?2)?ln1(?2)???ln1(?2)? 【解析】令yn??(1?2)(1?2)?(1?2)?，則lnyn??ln1nnnn?nnn???

n

2x2?

?ln2?2(1?)limlnyn??ln(1?x)dx?xln(1?x)0??01?x20n??4

原式?e

ln2?2(1?

?)

?

?2e

?2

.【例5】 求證:【解析】

?

sinx2dx?0.2?

?

2?

sinxdx =?

?

sint20

（令x2?t）

?

?

sint2t

??

2?

sint2t

?

而

??

2?

2?

??sinusint

=?du（令t???u）

2?u

則

?

sinxdx??

?0

sint?11?

??dt?0.2??t??

【例6】 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，單調(diào)增。求證:【證法1】令F(x)?

b?ab

?axf(x)dx?2?af(x)dx

b

?

xa

tf(t)?

x?ax

f(t)dt ?a2

只要證明F(b)?0，顯然F(a)?0

2?a1x

f(x)??f(t)dt 22a

x1

=?(x?a)f(x)??f(t)dt?

?a??2?

=?(x?a)f(x)?(x?a)f(c)?(a?c?x)

而F?(x)?xf(x)??0 則F(b)?F(a)?0 原式得證.【證法2】由于f(x)在[a,b]上單調(diào)海文考研鉆石卡增，則

(x?

a?ba?b)(f(x)?f())?0 22

從而有即又則即

b

?

ba

(x?

a?b?a?b?)?f(x)?f()?dx?0 2?2?

a?ba?bba?b

(x?)f(x)dx?f()(x?)dx?0 ?a

22?a2ba?b(x?)dx?0 ?a

2ba?b(x?)f(x)dx?0 ?a

2ba?bbxf(x)dx?f(x)dx.?a?a2

第二篇：2018考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重點(diǎn)之定積分解析篇

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2018考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重點(diǎn)之定積分解析篇

2018考研數(shù)學(xué)大綱已發(fā)布，對(duì)于定積分部分，整體要求沒有什么出入，下面主要是根據(jù)2017年對(duì)定積分這一塊的考查，并結(jié)合今天出來的2018年考試大綱來給2018的同學(xué)們來聊聊，接下來這三個(gè)月，我們在2018年的考研備考中所要注意的問題：

首先，我們要結(jié)合剛剛出來的2018年考試大綱來明確這一部分的知識(shí)體系。

定積分這章包括：定積分的定義，性質(zhì);微積分基本定理;反常積分以及定積分的應(yīng)用這幾個(gè)部分。這幾個(gè)部分各有各的側(cè)重點(diǎn)。而其中有關(guān)定積分的定義是要求我們掌握的重點(diǎn)，我們要充分理解微積分基本定理以及還要掌握定積分在幾何和物理上面的應(yīng)用。至于反常積分這一塊，會(huì)計(jì)算簡單的反常積分，了解反常積分的概念就好了。

接下來，我們要挖掘考試大綱，以幫助我們更深刻理解這一章的知識(shí)點(diǎn)。

一、定積分

關(guān)于定積分的定義及性質(zhì)。這里要求同學(xué)們一定要理解分割，近似以及求和還有取極限這幾個(gè)步驟。與此同時(shí)還要求同學(xué)們知道其幾何意義及定義中我們所要注意的地方。對(duì)定積分定義這一部分的考察在每年考研中幾乎都是必考內(nèi)容。因此希望這一部分能引起同學(xué)們的一定的重視。關(guān)于定積分的性質(zhì)這一塊，同學(xué)們關(guān)鍵主要在于理解。定積分中的區(qū)間可加性、積分中值定理、比較定理這幾個(gè)是同學(xué)要掌握的。而對(duì)于微積分基本定理這一塊的知識(shí)點(diǎn)是非常重要的。這里面有一個(gè)新的函數(shù)叫做變上限積分函數(shù)。關(guān)于變上限積分函數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)是我們一定要掌握的。關(guān)于切線與法線;以及單調(diào)性;極值;凹凸性的應(yīng)用與變上限積分函數(shù)是可以相關(guān)聯(lián)的。有了變上限積分函數(shù)的定義后，我們就要注意變限積分求導(dǎo)問題了，有關(guān)變上限積分的求導(dǎo)，希望同學(xué)們能夠會(huì)證明，以前考研真題中也出現(xiàn)過此類問題。所以，應(yīng)當(dāng)值得我們重視。

二、反常積分

對(duì)反常積分這一塊內(nèi)容，要求同學(xué)們了解反常積分的基本定義，會(huì)利用用定積分來判斷其收斂性，會(huì)計(jì)算反常積分就夠了。而關(guān)于反常積分的計(jì)算，同學(xué)們就當(dāng)作定積分來求就可以了。

最后，就是有關(guān)定積分的應(yīng)用部分了。這一塊應(yīng)用希望童鞋們要掌握住，其主要就是利用微元法在幾何上應(yīng)用，對(duì)于數(shù)一和數(shù)二的同學(xué)還要求掌握物理上面的應(yīng)用。而這里，同學(xué)們一定要知道數(shù)學(xué)一、二、三的區(qū)別。數(shù)學(xué)三的同學(xué)要掌握用定積分求面積及簡單的體積。而對(duì)于數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二還要求掌握用定積分求曲線弧長、旋轉(zhuǎn)曲面面積。而數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二也要掌握物理方面的應(yīng)用，這里主要要求數(shù)一數(shù)二的同學(xué)掌握用定積分求變力做功、抽水做功及液太靜壓力和質(zhì)心問題。而這里最要的是同學(xué)們一定要掌握微元法這種思想方法。

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因此，關(guān)于定積分這一塊，希望同學(xué)們能夠結(jié)合上篇和下篇的全部內(nèi)容，來完整的明晰有關(guān)定積分的知識(shí)。

總之，今天考研大綱剛出來，我們通過對(duì)2016年考研大綱的整體分析以及單塊知識(shí)點(diǎn)的分析，這里我希望同學(xué)們能夠全面掌握住相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，為三個(gè)月后的2016考試做好充足的準(zhǔn)備，希望同學(xué)們能夠?qū)W習(xí)好定積分這一部分內(nèi)容，這樣可以為以后的高等數(shù)學(xué)的整體復(fù)習(xí)打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，最后，還有幾個(gè)月，希望每個(gè)同學(xué)都能認(rèn)認(rèn)真真的學(xué)，希望每一位同學(xué)都能考出一個(gè)好的成績。

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第三篇：2016考研數(shù)學(xué)：定積分的證明

2016考研數(shù)學(xué)：定積分的證明

定積分及其應(yīng)用這部分內(nèi)容在歷年真題的考察中形式多樣，是考試的重點(diǎn)內(nèi)容。啟航考研龍騰網(wǎng)校老師希望同學(xué)們要加以重視！

定積分的證明是指證明題目中出現(xiàn)積分符號(hào)的一類題目，一般的解題思路和常見的證明題大同小異，但是由于積分符號(hào)的出現(xiàn)，往往使得同學(xué)們有這樣那樣的不適應(yīng)，在這里呢，和同學(xué)們一起總結(jié)下關(guān)于這類題目的一般解題思路。常見的關(guān)于定積分的證明，主要包括以下幾

類

問

題。

2、定積分中值定理命題的證明。一般利用連續(xù)函數(shù)的介值定理、微分中值定理、積分中值定理等來證明，其關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)。

3、定積分不等式的證明。一般有三種方法。①利用被積函數(shù)的單調(diào)性、定積分的保序性和估值定理證明。

②將定積分的上(下)限改為變量，從而將定積分不等式化為函數(shù)不等式，再用微分學(xué)方法證明。

③利用微分中值定理、積分中值定理(適用于已知條件中有連續(xù)性和一階可導(dǎo)性)與泰勒公式(適用于題設(shè)中有二階以上可導(dǎo)性)。

第四篇：2018考研數(shù)學(xué)必看重點(diǎn)：定積分證明三大解題思路_斃考題

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2018考研數(shù)學(xué)必看重點(diǎn)：定積分證明三大解題思路

在考研數(shù)學(xué)中，定積分及其應(yīng)用這部分知識(shí)點(diǎn)考察形式多樣，是每年考察的重點(diǎn)，而定積分證明就是常見形式之一，大家需要加以重視，下面一起來看看這類題目的解題思路吧。

2、定積分中值定理命題的證明。一般利用連續(xù)函數(shù)的介值定理、微分中值定理、積分中值定理等來證明，其關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)。

3、定積分不等式的證明。一般有三種方法。

①利用被積函數(shù)的單調(diào)性、定積分的保序性和估值定理證明。

②將定積分的上(下)限改為變量，從而將定積分不等式化為函數(shù)不等式，再用微分學(xué)方法證明。

③利用微分中值定理、積分中值定理(適用于已知條件中有連續(xù)性和一階可導(dǎo)性)與泰勒公式(適用于題設(shè)中有二階以上可導(dǎo)性)。

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第五篇：利用定積分證明數(shù)列和型不等式

利用定積分證明數(shù)列和型不等式

我們把形如(為常數(shù))或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式，這類不等式常見于高中數(shù)學(xué)競賽和高考?jí)狠S題中，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明，則可達(dá)到以簡馭繁、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說明供參考.一、(為常數(shù))型

例1(2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題)已知正整數(shù)，求證

.分析

這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式，標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個(gè)不等式更強(qiáng)的不等式，這個(gè)不等式是怎么來的令人費(fèi)解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過程中“分割求和”這一步，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明 構(gòu)造函數(shù)數(shù)圖象可知，在區(qū)間

并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù)，由函

上的個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖1 即，因?yàn)?，所?所以

.例2 求證

.證明 構(gòu)造函數(shù)

而函數(shù)在，又，上是凹函數(shù)，由圖象知，在區(qū)間上的個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖

2即，所以.例3 證明。

證明 構(gòu)造函數(shù)可知，在區(qū)間 上，因，又其函數(shù)是凹函數(shù)，由圖

3個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖3

即

.所以

.二、型

例4 若，求證:.證明 不等式鏈的左邊是通項(xiàng)為前項(xiàng)之和，中間的的數(shù)列的前項(xiàng)之和，右邊通項(xiàng)為項(xiàng)之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的時(shí)這三個(gè)數(shù)

可當(dāng)作是某數(shù)列的前列的通項(xiàng)不等式

成立即可.構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?，作的圖象，由圖4知，在區(qū)間上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長度1為一邊長，以左右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長的兩個(gè)矩形面積之間，即，而，故不等式

成立，從而所證不等式成立.圖4

例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數(shù)處的切線方程為

（Ⅰ）用表示出 ；

.的圖象在點(diǎn)（Ⅱ）若 在內(nèi)恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）證明:

.本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強(qiáng)、難度大、思維含金量高、區(qū)分度大等特點(diǎn).這個(gè)不等式的證明既可用第二問的結(jié)論證明也可用定積分來證明.證明（Ⅲ）不等式數(shù)列的前項(xiàng)之和，我們也可把右邊當(dāng)作是通項(xiàng)為

左邊是通項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)之和，則當(dāng)?shù)臅r(shí)，此式適合，故只要證當(dāng) 時(shí)，即，也就是要證

.由此構(gòu)造函數(shù)，并作其圖象如圖5所示.由圖知，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面積，即

.圖

5而，所以，故原不等式成立.點(diǎn)評(píng) 本解法另辟蹊徑，挖掘新的待證不等式左右兩邊的幾何意義，通過構(gòu)造函數(shù)利用定積分的幾何意義來解決問題，解法雖然綜合性強(qiáng)，但由于數(shù)形結(jié)合解法直觀便于操作.積分法是在新課標(biāo)下證明不等式的一個(gè)新方法新亮點(diǎn)，很值得品味.由例4例5可知，要解決這類復(fù)雜問題的關(guān)鍵是要善于聯(lián)想善于分析問題和轉(zhuǎn)化問題，這樣才能化繁為簡、化難為易，