第一篇：k56.3不等式的證明3分析法

知識(shí)就是力量

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選題人：仲堅(jiān)

選題人：仲堅(jiān)

選題人：仲堅(jiān)

選題人：仲堅(jiān)

選題人：仲堅(jiān)

第二篇：不等式·用分析法證明不等式

不等式·用分析法證明不等式·教案

教學(xué)目標(biāo)

通過(guò)教學(xué)，學(xué)生掌握和應(yīng)用分析法證明不等式． 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

理解分析法的證題格式并能熟練應(yīng)用． 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了綜合法證明不等式．綜合法是從已知條件入手去探明解題途徑，概括地說(shuō)，就是“從已知，看已知，逐步推向未知”． 綜合法的思路如下：（從上往下看）（用投影片）

師：其中，A表示已知條件，由A可以得到它的許多性質(zhì)，如B，B1，B2，而由B又可以得到C，由B1還可以得到C1，C2，由B2又可以得到C3，?，而到達(dá)結(jié)D的只有C，于是我們便找到了A→B→C→D這條通路．當(dāng)然，有時(shí)也可以有其他的途徑達(dá)到D，比如A→B1→C1→D等．

但是有許多不等式的證明題，已知條件很隱蔽，使用綜合法證明有一定困難．

這一命題若用綜合法證明就不知應(yīng)從何處下手，今天我們介紹用分析法證明不等式，來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題．

（復(fù)習(xí)了舊知識(shí)，并指出單一用綜合法證明的不足之處，說(shuō)明了學(xué)習(xí)分析法的必要性）分析法是從結(jié)論入手，逆求使它成立的充分條件，直到和已知條件溝通為止，從而找出解題途徑．概括地說(shuō)，就是“從未知，看需知，逐步靠攏已知”． 分析法的思路如下：（從下往上看）（用投影片）

師：欲使結(jié)論D成立，可能有C，C1，C2三條途徑，而欲使C成立，又有B這條途徑，欲使C1成立，又有B1這條途徑，欲使C2成立，又有B2，B3兩條途徑，在B，B1，B2，B3中，只有B可以從A得到，于是便找到了A→B→C→D這條解題途徑．（對(duì)比綜合法敘述分析法及其思路，便于學(xué)生深刻理解分析法的實(shí)質(zhì)及其與綜合法的關(guān)系）

師：用分析法論證“若A到B”這個(gè)命題的模式是：（用投影片）欲證命題B為真，只需證命題B1為真，只需證命題B2為真，??

只需證命題A為真，今已知A真，故B必真．

師：在運(yùn)用分析法時(shí)，需積累一些解題經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)一些常規(guī)思路，這樣可以克服無(wú)目的的亂碰，從而加強(qiáng)針對(duì)性，較快地探明解題途徑． 下面舉例說(shuō)明如何用分析法證明不等式．首先解決剛才提出的問(wèn)題．（板書）

師：這個(gè)題目我們?cè)?jīng)用比較法進(jìn)行過(guò)證明，請(qǐng)同學(xué)們考慮用分析法如何證明？（學(xué)生討論，請(qǐng)一學(xué)生回答）

生：因?yàn)閎＞0，所以b＋1＞0，去分母，化為a（b＋1）＜b（a＋1），就是a＜b，這個(gè)式子就是已知條件，所以求證的不等式成立．

（學(xué)生理解了分析法的原理，應(yīng)予以肯定，但這個(gè)回答不能作為證明過(guò)程，學(xué)生往往忽略分析法證明的格式，要及時(shí)糾正）

師：這位同學(xué)“執(zhí)果索因”，逐步逆找結(jié)論成立的充分條件，直至找到明顯成立的不等式為止．很明顯，逆找的過(guò)程正是把“欲證”由繁化簡(jiǎn)的過(guò)程，因而分析法對(duì)于形式復(fù)雜的證明題是一種行之有效的方法．

但是作為證明過(guò)程，這位同學(xué)的回答不符合要求．應(yīng)該如何證明呢？（請(qǐng)一位同學(xué)板書）

=（a+b）（a2-ab+b2）-ab（a＋b）

=（a＋b）（a2-2ab＋b2）

=（a＋b）（a-b）2．

由a，b∈R＋，知a＋b＞0，又a≠b，則（a-b）2＞0，進(jìn)而（a＋b）（a-b）2＞0，即（a3＋b3）-（a2b＋ab2）＞0，所以a3＋b3＞a2b-ab2．

生乙：我是用分析法證明的．

證法2：

欲證a3＋b3＞a2b＋ab2，即證（a＋b）（a2-ab＋b2）＞ab（a＋b），因?yàn)閍＋b＞0，課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

教學(xué)過(guò)程是不斷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的思維過(guò)程．因此，教師應(yīng)及時(shí)提出問(wèn)題或引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，然后開拓學(xué)生思路，啟迪學(xué)生智慧，求得問(wèn)題的解決．一個(gè)問(wèn)題解決后，及時(shí)地提出新問(wèn)題，提高學(xué)生的思維層次，逐步由特殊到一般，由具體到抽象，由表面到本質(zhì)，把學(xué)生的思維步步引向深入，直至完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)．總之，本節(jié)課的教學(xué)安排是讓學(xué)生的思維由問(wèn)題開始，到問(wèn)題深化，始終處于積極主動(dòng)狀態(tài)．

本節(jié)課練中有講，講中有練，講練結(jié)合．在講與練的相互作用下，使學(xué)生的思維逐步深化．教師提出的問(wèn)題和例題，先由學(xué)生自己解答，然后教師分析與概括．在教師講解中，又不斷提出問(wèn)題讓學(xué)生解答和練習(xí)，力求在練習(xí)中加深理解，盡量改變課堂上教師包辦代替的做法．

在安排本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容時(shí)，我注意按認(rèn)識(shí)規(guī)律，由淺入深，由易及難，逐漸展開教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生形成有序的知識(shí)結(jié)構(gòu)．

第三篇：不等式證明三(分析法)

Xupeisen110高中數(shù)學(xué)

教材：不等式證明三（分析法）

目的：要求學(xué)生學(xué)會(huì)用分析法證明不等式。

過(guò)程：

一、介紹“分析法”：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題。

二、例

一、求證：3?7?2

5證：

5)

22xy

32∵x2?y2?2xy?xy成立 3只需證：x2?y2?

∴(x?y)?(x?y)22312133

證二：（綜合法）∵(x2?y2)3?x6?y6?3x2y2(x2?y2)?x6?y6?6x3y3

1?x6?y6?2x3y3?(x3?y3)2

∵x > 0，y > 0，∴(x?y)?(x?y)22312133

例

三、已知：a + b + c = 0，求證：ab + bc + ca ≤ 0

證一：（綜合法）∵a + b + c = 0∴(a + b + c)2 = 0

a2?b2?c2展開得：ab?bc?ca??

2例

四、?l????，?2??

?l?周長(zhǎng)為l的正方形邊長(zhǎng)為，截面積為?? 4?4?2

2?l??l?問(wèn)題只需證：???> ?? ?2???4?

?l2l2

即證：2>164?22

兩邊同乘

411?，得：2?4l2

因此只需證：4 > ?（顯然成立）

?l??l?∴ ???> ??也可用比較法（取商）證，也不困難。?2???4?

三、作業(yè)： 22P18練習(xí)1—3及習(xí)題6.3余下部分

補(bǔ)充作業(yè)：

1．已知0 < ? < ?，證明：2sin2??cot? 2

1?cos?∵0 < ? < ?∴sin? > 0

略證：只需證：4sin?cos??sin?

2． 已知a >0（成立）3． 設(shè)a, b, c4ab?4S 即證：2?cosC?23sinC

即：3sinC?cosC?2

?即證：sin(C?)?1（成立）6

第四篇：分析法證明不等式專題

分析法證明不等式

已知非零向量a,b,a⊥b，求證|a|+|b|/|a+b|<=√

2【1】

∵a⊥b

∴ab=0

又由題設(shè)條件可知，a+b≠0(向量)

∴|a+b|≠0.具體的，即是|a+b|>0

【2】

顯然，由|a+b|>0可知

原不等式等價(jià)于不等式：

|a|+|b|≤(√2)|a+b|

該不等式等價(jià)于不等式：

(|a|+|b|)2≤2.整理即是：

a2+2|ab|+b2≤2(a2+2ab+b2)

【∵|a|2=a2.|b|2=b2.|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2

又ab=0,故接下來(lái)就有】】

a2+b2≤2a2+2b2

0≤a2+b2

∵a，b是非零向量，∴|a|≠0,且|b|≠0.∴a2+b2>0.推上去，可知原不等式成立。

作為數(shù)學(xué)題型的不等式證明問(wèn)題和作為數(shù)學(xué)證明方法的分析法，兩者皆為中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)難點(diǎn)。本文僅就用分析法證明不等式這一問(wèn)題稍作探討。

注:“本文中所涉及到的圖表、公式注解等形式請(qǐng)以pDF格式閱讀原文?！?/p>

就是在其兩邊同時(shí)除以根號(hào)a+根號(hào)b，就可以了。

下面我給你介紹一些解不等式的方法

首先要牢記一些我們常見的不等式。比如均值不等式，柯西不等式，還有琴深不等式(當(dāng)然這些是翻譯的問(wèn)題)

然后要學(xué)會(huì)用一些函數(shù)的方法，這是解不等式最常見的方法。分析法，綜合法，做減法，假設(shè)法等等這些事容易的。

在考試的時(shí)候方法最多的是用函數(shù)的方法做，關(guān)鍵是找到函數(shù)的定義域，還有求出它的導(dǎo)函數(shù)。找到他的最小值，最大值。

在結(jié)合要求的等等

一句話要靈活的用我們學(xué)到的知識(shí)解決問(wèn)題。

還有一種方法就是數(shù)學(xué)證明題的最會(huì)想到的。就是歸納法

這種方法最好，三部曲。你最好把它掌握好。

若正數(shù)a，b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是?

解：ab-3=a+b>=2根號(hào)ab

令T=根號(hào)ab,T^2-2T-3>=0

T>=3orT<=-1(舍)

即，根號(hào)ab>=3，故，ab>=9(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3是取等號(hào))。

第五篇：分析法證明不等式08

分析法證明不等式

教學(xué)目標(biāo):

1．掌握分析法證明不等式；

2．理解分析法實(shí)質(zhì)——執(zhí)果索因；

3．提高證明不等式證法靈活性.教學(xué)重點(diǎn):

分析法

教學(xué)難點(diǎn):

分析法實(shí)質(zhì)的理解

教學(xué)過(guò)程:

一．分析法：

證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題，如果能夠肯定這些充分條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法.例1求證3?7?25 證明：因?yàn)?和2都是正數(shù)，所以為了證明??2 只需證明(3?7)2?(2)2

展開得10?221?20

即221?10,21?25

因?yàn)?1?25成立，所以

(3?7)2?(2)2成立 即證明了??2

注意：①分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，它與

綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法.綜合法是“由因?qū)Ч?/p>

②分析法論證“若A則B”這個(gè)命題的模式是：為了證明命題B為真，這只需要證明命題B1為真，從而有??

這只需要證明命題B2為真，從而又有??

這只需要證明命題A為真

而已知A為真，故B必真

例2證明：通過(guò)水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管截面的周長(zhǎng)相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大.分析：當(dāng)水的流速相同時(shí)，水管的流量取決于水管截面面積的大小，LL設(shè)截面的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，則周長(zhǎng)為L(zhǎng)的圓的半徑為，截面積為T1()2；周2?2?

LL長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形邊長(zhǎng)為，截面積為()2.所以本題只需證明44

LL?()2?()2.2?4

說(shuō)明：對(duì)于較復(fù)雜的不等式，直接運(yùn)用綜合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經(jīng)常是結(jié)合在一起使用的。

二．課堂練習(xí)：

課本P16練習(xí)1，2，3

三．課堂小結(jié)

師：通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家在理解分析法的邏輯關(guān)系的基礎(chǔ)上掌握分析法證明不等式，并加深認(rèn)識(shí)不等式證明方法的靈活性，能綜合運(yùn)用證明不等式的各種方法.四．課后作業(yè)

P17習(xí)題6.34，5，9

五．板書設(shè)計(jì)