第一篇：不等式的證明——比較法、綜合法、分析法

不等式的證明—比較法，綜合法，分析法 典型問題:

（一）比較法證明不等式

ama?mam??1,求證:1.已知a,b,m,n?R,且?bnb?n bn?

2.a,b,m,n?R

3.a?b??,求證：abm?n?bm?n1a2?ab?ab1?b2mnnm 21a20,求證:()21b2?()a?

3322a?b?0a?b?ab?ab4.已知，求證：

（二）綜合法證明不等式

?a,b,c?R1.設(shè),3332222222(a?b?c)?ab?ac?ba?bc?ca?cb?6abc.求證:

?a,b,c?R2.已知,且a?b?c?1,求證: 111???9(1)abc

124???18(2)abc

1?b)(1?c)(3)(1?a)(?8abc111(?1)?(?1)?(?1)?8(4)abc

（三）分析法證明不等式

1.證明：3?22?2?722x3?y3已知x?0，y?0x?y?2.a?b?0a?b?a?b 3.設(shè),求證:

4.若a,b,c三數(shù)均大于1,且ab=10,求證:logac?logbc?4lgc

41?a?b?.5.已知a?0,b?0,a?b,且a?b?a?b，求證：33322

6.實(shí)數(shù)a,b,c滿足a>b>c,且a+b+c=0,求證:

?a,b?R,2c?a?b,求證: 7.已知b?ac?3a.2

(1)c?ab c?ab?a?c?c?ab.?2(2)c?2222（a?b）a?b（a?b）??ab?8.已知a?0，b?0，a?b 8a28b9.已知a,b,c?R,且ab+bc+ca=1,abc???3(a?b?c)求證:bcacab

第二篇：比較法、分析法、綜合法、換元法證明不等式

2a ?b?? ??1?1a?b

2??a2 ?b2?2ab?? ??a2 ?b?1(a?b)2

2??2 2??a?b????整式形

式 ab??????2?? 22?a?b? ab???2? ??? ???a? b??ab???2 根式形式??22 b?a?2(a?b)??? ???b a分式形??2(a,b同號）? ab?1? ?0?a??2?a??a 倒數(shù)形式??1 ?a?0?a???2?a??

1.比較法、分析法、換元法

一.比較法（作差比較或作商比較）

1）作差比較法：要證不等式a?b?a?b?，只需證a?b?0?a?b?0?即可。其步驟為：作差、變形、判斷符號（正或負(fù)）、得出結(jié)論。

2）作商比較法：若b?0，要證不等式a?b，只需證

作商、變形、判斷與1的大小、得出結(jié)論。

222222例1.設(shè)a?b?c，求證：bc?ca?ab?bc?ca?ab aa?1，欲證a?b，需證?1。其步驟為：bb

22例2（1）證明不等式a?b?ab?a?b?

1abba（2）若a>b>0，求證：ab?ab

b?a

2??a?bb（3）若a>b>0，求證：a

二.分析法

a3?b3a?b3?()22例2已知a>0，b>0，求證：

2222證法二由(a?b)?0，得a?2ab?b?0，a?ab?b?ab，2

∵a>0，b>0∴a+b>0，∴(a?b)(a?ab?b)?ab(a?b)，33223322∴a?b?ab?ab，3a?3b?3ab?3ab 22

∴4a?4b?a?3ab?3ab?b?(a?b)，333223

3a3?b3(a?b)3

?28∴，a3?b3a?b3?()22∴。

2?a?b?練習(xí)．1.已知a?b?0，求證：8a?a?b? a?b??ab?28b2

2.求證

a2?b2a?a?

均值不等式

例3已知a、b、c?R，且a+b+c=1。?

111(?1)?(?1)?(?1)?8bc求證：（1）a

（2）a?b?c?

例4設(shè)a、b、c、d?R，令?s?abcd???a?d?bb?c?ac?d?bd?a?c，求證：1

114??例5已知a>b>c，求證：a?bb?ca?c

2.均值換元法：

使用均值換元法能達(dá)到減元的目的，使證明更加簡捷直觀有效。例2.已知a，b?R且a?b?1，求證：?a?2???b?2??

2225 2

例3.設(shè)a，b，c為三角形三邊，求證：

4.增量換元法： abc???3 b?c?aa?c?ba?b?c

例4.已知a?2，b?2，求證：a?b?ab

第三篇：2.4：不等式證明綜合法與分析法

2.4不等式的證明（2）綜合法與分析法。

【知識要點(diǎn)】

綜合法：從已知出發(fā)，通過一系列正確的推理，得出結(jié)論的證明方法。（由因?qū)Ч┓治龇ǎ簭囊C明的結(jié)論出發(fā)，尋找使命題成立的充分條件。（執(zhí)果素因）分析法書寫格式：

題目：已知A，求證B。

證明：要證B成立，只要證B1成立；要證B1成立，只要證B2成立；?只要證A成立。而A是成立的，所以B成立。

注意：

1．在具體處理問題時(shí)，常常是先用分析法分析，再用綜合法證明，二種方法結(jié)合使用。

2．如果采用分析法證明時(shí)，要注意書寫的要求。

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1．判斷下列推理是否正確：

（1）若a1b，要證明a2+b2<1+a2b2，由于2ab

（2）要證|a+b|?|a||b|，只要證(|a+b|)?(|a|2|b|)。（）

2（3）要證a

2．某工廠第二年增長率為a，第三年增長率為b，這兩年的平均增長率為x，則（）

a+ba+ba+ba+b（A）x3（B）x>（C）x￡（D）x< 2222

1a+b

3．若a>b>1,P=Q，則（）(lga+lgb),R=lg22

（A）R

驏驏驏111 4．設(shè)a,b,c為正數(shù)，且a+b+c=1，若M=-1-1-1，則（）c 桫桫桫ab

（A）0?M

【精選例題】 11（B）＃M881（C）1?M8（D）M38

例1．設(shè)x?R,0a<1，求證：logaax+a-(x2)

解法指導(dǎo)：用綜合法證明，也可采用分析法證之，要證logaa+a

只要證logaa+a(x-x2)

18(x-x2)驏1

8÷

2a<1，所以只要證a+a2-x2>2a。證明：因?yàn)閍>0,所以ax>0,a-x>

0，所以ax+a-x匙，驏1÷11又因?yàn)閤-x2=-?x-÷+，0

4ì1??x=2a，由于?2不成立，所以上式等號不能成立，í?2???x=-x18

22所以所以logaax+a-x

1例2．設(shè)a,b?R,c?0，求證：|a?b|2?(1?c)|a|2?(1?)|b|2。c

解法指導(dǎo)：可以采用先分析后綜合的方法處理。11方法一：原不等式?a2?b2?2ab?a2?ca2?b2?b2?ca2?b2?2ab cc

1?2ab。因?yàn)閏?

0，所以ca2?b2?)2?)2?c方法二：用分析法寫（略）。

1125例3．設(shè)x,y是正數(shù)，且x?y?1，求證：(x?)2?(y?)2?。xy2

11解法指導(dǎo)：如果用基本不等式x??2,y??2，則只能得出左邊大于4的結(jié)論，而xy

得不出要證明的結(jié)論。這時(shí)可以考慮用分析法處理。證明：原不等式?x2?

?(1?2xy)(1?11171?17222??y???(x?y)1??x2y2??2 x2y22??117)?。22xy2

(x?y)21117?，所以(1?2xy)(1?22)?成因?yàn)樵O(shè)x,y是正數(shù)，且x?y?1，所以xy?44xy2

立。故要不得證不等式成立。

思考：還有其它方法嗎？ ?11??11??1?因?yàn)??(x?)2?(y?)2???(x?)?(y?)???1???25。xy??xy??xy??22

變題1：設(shè)x,y是正數(shù)，且x?y?1，求證：（證明：（略）11?1)(?1)?9。22xy

1125變題2：設(shè)x,y是正數(shù)，且x?y?1，求證：(x?)(y?)?。xy4

1125xy125?證明：要證(x?)(y?)?成立，只要證：xy???，xy4yxxy4

因?yàn)?x,y是正數(shù)，所以只要證4(x2y2?x2?y2?1)?25xy，又因?yàn)閤?y?1，所以只要

33332332

證4(xy?1?2xy?1)?25xy?xy?xy?2?0?(xy?)?2?2?0 488

(x?y)2***332

?，所以(xy?)?2?2?(?)?2?2?0。又因?yàn)閤y?8848844

【能力訓(xùn)練】

一、填空題 222

21．已知a,b?R+，則下列不等式：

(1)a+b+（a驏1b)?+??桫a1÷2+2

÷吵b÷a+b;(4)2ab a+b其中恒成立的是______________。

bb+m2．設(shè)a,b,m?R+，若<成立，則a,b的大小關(guān)系為____________。aa+m

二、選擇題

3．(2004年遼寧)對于0

11+111+a ①loga(1+a)loga(1+)③a

④a1+a>a1+

1a其中成立的是________.4.（2005年山東）0?a?1，下列不等式一定成立的是（）

（A）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?2（B）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)

（C）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)

（D）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)

三、解答題

5.設(shè)g(x)=a b),求證|g(a)-g(b)|<|a-b|.6.設(shè)n>0,求證

:

7.若a,b,c均為大于1的數(shù),且ab=10,求證:logac+logbc 4lgc.118.已知命題:如果a>0,b>0,a+b=1,那么+ 4.ab

（1）證明這個(gè)命題為真命題；

（2）如果a>0,b>0,c>0,a+b+c=1，推廣上述命題，并加以證明；

（3）將上述命題推廣為關(guān)于n個(gè)正數(shù)的命題（不必證明）。

第四篇：不等式的證明(分析法與綜合法)B

不等式的證明（分析法與綜合法）B

一、選擇題

1、若a、b?R，c?Q,則使ac?bc成立的充分條件是（）A．a(chǎn)>b>0,c<0B．a(chǎn)>b,a>0,c>0C．b>a>0,c<0D．b>a>0,c>0

2、若a>b,m>0,則下列不等式恒成立的是（）A．(a?m)2?(b?m)2B．

b?mb

?C．(a?m)3?(b?m)3D．? a?ma

3已知0

a

(xy)<0B．0

a

(xy)<1C．1

a

(xy)<

2D．loga(xy)>24、設(shè)x,y,z∈(-?,0),則三數(shù)x+,y+,z+中（）A．都不大于-2B.都不小于-2C.只少有一個(gè)不大于-2D.只少有一個(gè)不大于-2 △

5、設(shè)函數(shù)f(x

x?1，在f(x)的定義域內(nèi)任取x1

①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 ②(x1-x2)[f(1)-f(③)]>0

x?x2f(x)?f(x2)f(x1)-f(x2))>1其中正確的是（）?0④f（122x2?x1

A.②③B.①②③C.②③④D.①②③④△

6、已知a,b∈R?，則下列個(gè)式中成立的是（）

A.cos2??lga?sin2??lg(a?b)

lg(a?b)C.a

cos2?

?b

sin2?

?a?bD.a

cos2?

?b

sin2?

?a?b

二、填空題

7、若a>0且a≠1,則loga(1+a)_______ loga(1+)(用不等式填空)

a8、設(shè)x,y∈R,且x+y=3,則3x?3y的最小值___________。△

9、已知x,y∈R?,且 xy≥x+y+1,則 x+y的最小值______________?！?/p>

10、設(shè)x,y∈R?,0<θ<π,則

三、解答題

11、a、b、c、d∈R?,求證：a2?b2?c2?d2?(a?c)2?(b?d)

2△

12、設(shè)a1、、a2∈R+,且、a1、+ a2=1,λ

1、λ2,∈R+，求證：（?1a1??2a2）（☆

13、設(shè)a>0,b>0,c>0, 求證：ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc

a1x?yxsin??y(用不等式填空)x?yxsin??y?1?a2?2）≤(?1??2)4?1?

2不等式的證明（分析法與綜合法）B答案；

一、C C D C C A

二、7.>8.69.2+2210.≥

三、略

第五篇：2、綜合法和分析法證明不等式

南化一中高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義55第六章《不等式》

§6.2綜合法和分析法證明不等式

【復(fù)習(xí)目標(biāo)】

1． 熟悉證明不等式的綜合法、分析法，并能應(yīng)用其證明不等式；

2． 理解分析法的實(shí)質(zhì)是“執(zhí)果索因”；注意用分析法證明不等式的表述格式；

3． 對于較復(fù)雜的不等式，能綜合使用各種方法給予證明。

【重點(diǎn)難點(diǎn)】

綜合法的難點(diǎn)在于從何處出發(fā)進(jìn)行論證并不明確，因此我們經(jīng)常用分析法尋找解題的思路，再用綜合法表述。分析法是“執(zhí)果索因”，綜合法是“由因?qū)Ч?。要注意分析法的表述格式?/p>

【課前預(yù)習(xí)】

1.“a>1”是“1?1”的（）a

A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

2.a?3)

3.證明a2+b2+c2≥ab+bc+ac.4.設(shè)a,b,c∈R+,則三個(gè)數(shù)a?1，b?1，c?1的值，則（）bca

A.都大于2B.至少有一個(gè)不大于2C.都小于2D.至少有一個(gè)不小于

2【典型例題】

11??3? xy

abc???a??c.（2）設(shè)a,b,c都是正數(shù)，求證：ca例1（1）已知x,y?R，且2x?y?

1，求證：?

第55課：§6.2綜合法和分析法證明不等式《高中數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)方法的研究》課題組編寫 例2已知a>0，b>0，2c>a+b.求證：c－c2?ab

1.設(shè)a?3?2,b??5,c?7?6, 則a,b,c大小順序是

A．a(chǎn)>b>cB．b>c>aC．c>a>bD．a(chǎn)>c>b

2.設(shè)0

A．b<2ab

C．2ab

3.a>b>1,P=lgalgb,Q=

12(lga?lgb),R=lg(a?b

2)

A．R

【本課小結(jié)】

【課后作業(yè)】

1． 已知：a,b,c為正實(shí)數(shù).求證：bc

a?acab

b?c?a?b?c.11

2． 設(shè)x>0,y>0,證明：(x2?y2)2?(x3?y3)3.3． 已知a＞0,b＞0,且a2+b2

2=1,求證：a?b2≤32

4.4． 若x、y是正實(shí)數(shù),x+y=1，求證：（1+11

x）(1+y)≥9.-（）（）（）