第一篇：巧用逆向構(gòu)造法 妙解數(shù)列型問題

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巧用逆向構(gòu)造法 妙解數(shù)列型問題

作者：翟美華

來源：《理科考試研究·高中》2013年第01期

對于以上兩例，常規(guī)方法是用數(shù)學(xué)歸納法.而本文采用逆向思維，由右式的目標(biāo)式逆向構(gòu)造出左式各項，用恒等式①或②，立即獲解.

第二篇：巧用構(gòu)造法解不等式問題

巧用構(gòu)造法解不等式問題

湖州中學(xué)黃淑紅

數(shù)學(xué)中有許多相似性，如數(shù)式相似，圖形相似，命題結(jié)論的相似等，利用這些相似性，通過構(gòu)造輔助模型，促進(jìn)轉(zhuǎn)化，以期不等式得到證明。可以構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量、復(fù)數(shù)和圖形等數(shù)學(xué)模型，針對欲證不等式的結(jié)構(gòu)特點，選擇恰當(dāng)?shù)哪Ｐ?，將不等式問題轉(zhuǎn)化為上述數(shù)學(xué)模型問題，順利解決不等式的有關(guān)問題。

一、根據(jù)不等式特征，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)某醯群瘮?shù)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性等特征來證明不等式。

例1證明：對于任意的x,y,z?(0,1),不等式x?(1?y)?y?(1?z)?z?(1?x)?1成立。

證明設(shè)f(x)?(1?y?z)?x?y?(1?z)?z,顯然該函數(shù)是以x為主元的一次函數(shù)。當(dāng)x?(0,1)時，f(x)是單調(diào)函數(shù)，且f(0)?y?y?z?z?(y?1)?(1?z)?1?1, f(1)?1?y?z?1.所以，當(dāng)x?(0,1)時，f(x)的最大值小于1，即x?(1?y)?y?(1?z)?z?(1?x)?1 例

2如果(x?y??1，那么x?y?0

證明

構(gòu)造函數(shù)f(x)?lg(x單調(diào)遞增。

?

(x?x?R).可以證明函數(shù)f(x)在R上是奇函數(shù)且 y??1,?f(x)?f(y)?lg(x?lg(y

?lg?(xy?=lg1=0 ???f(x)??f(y),即f(x)?f(?y)所以x??y,即x?y?0

通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性，把一些看似與函數(shù)無緣的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來解決，思路靈活新穎，簡潔巧妙，可出奇制勝。

二、有些不等式分析可知它與數(shù)列有關(guān)，可構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)列，再利用數(shù)列的單調(diào)性來研究。

n(n?1)(n?1)

2?????例

3證明不等式對所有正 22

整數(shù)n成立。

分析：

??是一個與n無關(guān)的量，將它與左右兩端作差 構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)列，在利用數(shù)列的單調(diào)性來研究。

解：

設(shè)an3???，1?n)(N?構(gòu))造數(shù)列?xn?，令

xn?an?n(n?1)(n?1)(n?2)n(n?1)??(n?1)?0,，則xn?1?xn?an?1?an?222

(n?N)，所以xn?1?xn，?x

n?為單調(diào)數(shù)列，首相x11為最小值。

n(n?1)(n?1)2

所以xn?x1?1?0，即an?，又令yn?an?，22

(n?1)2(n?2)22n?3??則yn?1?yn?an?1?an?，222

所以yn?1?yn，?y

n?為單調(diào)遞減數(shù)列，首相y12為最大項，(n?1)2

所以yn?y12?0，即an?.2

n(n?1)(n?1)2

?an?(n?N)綜上所述，22

用構(gòu)造單調(diào)數(shù)列證明不等式，若不等式的一邊為和（積）式，則構(gòu)造數(shù)列?an?，使其通項等于和（積）式與另一端的差（商），然后通過比較法確定數(shù)列?an?的單調(diào)性，利用數(shù)列的單調(diào)性即可使不等式獲證。

三、對某些不等式，根據(jù)條件和結(jié)論，可將其轉(zhuǎn)化為向量形式，利用向量數(shù)量積及不等??????關(guān)系m?n?mn，使問題得到解決。

a2b2c2a?b?c???例4已知a,b,c?R，求證：a,b,c?R b?cc?aa?b2??

?

??證明

設(shè)m?n?，則 ???2222??2abc(m?n)(a?b?c)2a?b?c???m?2? ?b?cc?aa?b2(a?b?c)2n利用向量雖是一種構(gòu)造性的證明方法，但它與傳統(tǒng)的綜合法有很大不同，能避免繁雜的湊配技巧，使證明過程既直觀又容易接受。

四、有些不等式若采用通法解很繁瑣，用變量替換法又不可行，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法將抽象的式用形表示，則使問題中的各變量關(guān)系更具體明確，使問題簡明直觀。

例

5?1x

2析本題若轉(zhuǎn)化為不等式組來解很繁瑣，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法將抽象的式用形表示，則使問題變得簡明直觀

解：令y?y?1x，2

x，問題轉(zhuǎn)化

為它們對應(yīng)的圖象為半圓(x?1)2?y2?1(y?0)與直線y?

(x?1)2?y2?1(y?0)的圖象在y?

?1x上方時x的范圍，如圖 218x得x0? 25

故原不等式的解為：?x0?x?? ?

?8?5?五、一類屬函數(shù)圖象的問題，與求最值結(jié)合，利用數(shù)形結(jié)合是基本的指導(dǎo)思想，但還需結(jié)合復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，使不等式的證明水到渠成。

例6 如圖，設(shè)曲線y?e?x(x?0)在點M(t,e?t)處的切線l與x軸y軸所圍成的三角形面 積為S(t)，求（1）切線l的方程；2）求證S(t)?2 e

?t（1）解： ?f'(x)?(e?x)'??e?x，?切線l的斜率為?e

故切線l的方程為y?e?t??e?t(x?t)，即e?tx?y?e?t(t?1)?0

（2）證明：令y?0得x?t?1，又令x?0得y?e(t?1)，?t

?S(t)?11(t?1)?e?t(t?1)?(t?1)2e?t 2

21?t'從而S(t)?e(1?t)(1?t).2?當(dāng)t?(0,1)時,S'(t)?0,當(dāng)t?(1,??)時,S'(t)?0,?S(t)的最大值為S(1)?22，即S(t)? ee

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，并結(jié)合函數(shù)圖象，可快速獲解，也充分體現(xiàn)了求導(dǎo)法在證明 不等式中的優(yōu)越性。

證明不等式不但用到不等式的性質(zhì)，不等式證明的技能、技巧，還要注意到橫向結(jié)合內(nèi)容的方方面面.如與數(shù)列的結(jié)合，與“二次曲線”的結(jié)合，與“三角函數(shù)”的結(jié)合，與“一元二次方程，一元二次不等式、二次函數(shù)”這“三個二次”間的互相聯(lián)系、互相滲透和互相制約，這些也是近年命題的重點.

第三篇：構(gòu)造函數(shù),妙解不等式

構(gòu)

不等式與函數(shù)是高中數(shù)學(xué)最重要的兩部分內(nèi)容。把作為高中數(shù)學(xué)重要工具的不等式與作為高中數(shù)學(xué)主線的函數(shù)聯(lián)合起來，這樣資源的優(yōu)化配置將使學(xué)習(xí)內(nèi)容在函數(shù)思想的指導(dǎo)下得到重組，優(yōu)勢互補(bǔ)必將提升學(xué)習(xí)效率.例1:已知a2+ab+ac<0證明b2-4ac>0

分析：有所證形式為二次函數(shù)的判別式（△）的格式。故試圖構(gòu)造二次函數(shù)使思路峰回路轉(zhuǎn)。

證明：令f(x)=cx2+bx+a。由a2+ab+ac=a(a+b+c)<0得a與 a+b+c異號。

F(0)=a，f(1)= a+b+c。所以，f(x)圖像與x軸有兩個交點.。所以判別式（△）大于0。即b2-4ac>0。

x?111< ln

本題與2005年全國卷Ⅱ中函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x 沒有什么區(qū)別，有著高等數(shù)學(xué)的背景，且是近幾年高考命題不等式證明題中新的開挖點。構(gòu)造函數(shù)和用求導(dǎo)數(shù)法來研究其單調(diào)性，進(jìn)而再利用單調(diào)性可快捷證得，往往別開生面。

11證明：設(shè)1+= t ,由x∈(0,+∞)則t > 1 ,∴x =xt?1

1原不等式

< lnt

1令f(t)=t-1-lnt 則 f ‘(t)=1-當(dāng) t∈(1,+∞)，有f‘(t)>0 t

從而 f(t)在t∈(1,+∞)單調(diào)遞增，所以 f(t)>f(1)=0 即t-1>lnt

1t?1同理 令g(t)=lnt-1+。則g’(t)= 2 當(dāng)t∈(1,+∞)，有 g’(t)>0 tt

1所以 g(t)在t∈(1,+∞)單調(diào)遞增，g(t)>g(1)=0即lnt>1-t

x?111綜上 < ln

有些不等式，利用函數(shù)的性質(zhì)（如單調(diào)性，奇偶性等）來解證，往往要比常規(guī)的方法容易找到證題途徑，下面看一個例題：

例3：設(shè)a，b，c∈R+，且a＋b＞c．

在課堂上可先讓學(xué)生用常規(guī)方法思考試證后啟發(fā)學(xué)生用構(gòu)造函數(shù)法來證，最后比較證法。

（x∈R+），先證單調(diào)性。

∴f（x）在x∈R+上單調(diào)遞增。

∵a+b＞c（已知）∴f（a+b）＞f（c），利用構(gòu)造法也可解關(guān)于x的不等式

例4:已知關(guān)于x的不等式｜x-4｜＋｜x-3｜＜a的解集為非空集合，求實數(shù)a的取值范圍。

對于討論這類含參數(shù)的不等式，先讓學(xué)生按常規(guī)方法解：用數(shù)軸法，分別在三個區(qū)間內(nèi)討論解集為非空集合時a的取值范圍，然后求它的交集得a＜1。

后來又啟發(fā)學(xué)生用構(gòu)造函數(shù)方法來解，學(xué)生們思考很積極，有一個學(xué)生解道：

作出分段函數(shù)的圖象（如上圖所示）

通過以上對構(gòu)造函數(shù)發(fā)典例的分析，可以看出構(gòu)造函數(shù)法確實是一種解題的好途徑。將證明或求解的不等式地為轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為什么樣的函數(shù).這就要求從被證（解）的不等式的形狀，特點入手，發(fā)生聯(lián)想。本著“縱向深入，橫向聯(lián)系”的原則，合理的構(gòu)造函數(shù)模型。達(dá)到啟發(fā)學(xué)生思維，開拓解題途徑的效果。

第四篇：巧用構(gòu)造法證明不等式

巧用構(gòu)造法證明不等式

構(gòu)造法是指在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，為了完成由條件向結(jié)論的轉(zhuǎn)化，通過構(gòu)造輔助元素，架起一座溝通條件和結(jié)論的橋梁，從而使問題得到解決。不等式證明是高中數(shù)學(xué)的一個難點問題，若能巧用構(gòu)造方法，可以使一些問題化難為易.本文擬用構(gòu)造法巧證一些不等式問題，僅供參考.一、構(gòu)造函數(shù)證明不等式

若能根據(jù)題中條件的特征，巧妙地構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)來證明不等式.例1（2011年安徽高考理科題）（Ⅰ）設(shè)x?1,y?1，證明 111x?y????xy，xyxy

（Ⅱ）1?a?b?c，證明

logab?logbc?logca?logba?logcb?logac.解：∵x?1，y?1，所以要證明原不等式成立，則只需證

xy(x?y)?1?y?x?(xy)

2成立.令f(x)?y?x?(xy)2?[xy(x?y)?1]?(y2?y)x2?(1?y2)x?y?1 當(dāng)y?1時，則f(x)?0，即xy(x?y)?1?y?x?(xy)2，所以

111x?y????xy xyxy

111?(,1).函數(shù)當(dāng)y?1時，二次函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對稱軸x??22y2

f(x)在[1,??)上單調(diào)遞增，所以

f(x)?f(1)?y2?y?1?y2?y?1?0

所以

111x?y????xy xyxy

綜上，所證明的原不等式成立.（Ⅱ）證明略.二、構(gòu)造方程證明不等式

由解不等式的經(jīng)驗知，不等式的解的區(qū)間的端點就是相應(yīng)方程的解，所以可以利用方程與不等式的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)造方程來證明不等式.例2 設(shè)實數(shù)a,b,c滿足

?a2?bc?8a?7?0?2 2?b?c?bc?6a?6?0

求證：1?a?9.?bc?a2?8a?7證明：由已知得?，故可構(gòu)造關(guān)于x的方程：

?b?c??(a?1)

x2?(a?1)x?a2?8a?7?0

所以??[?(a?1)]2?4(a2?8a?7)?0，即a2?10a?9?0，所以1?a?9.三、構(gòu)造三角形證明不等式

若能根據(jù)不等式的特征，構(gòu)造出與不等式相同的幾何背景的三角形，通過三角形的性質(zhì)和幾何特征來證明不等式.例3設(shè)a,b,c為正實數(shù)，求證：

a2?ab?b2?b2?bc?c2?c2?ca?a2?(a?b?c)證明：由于a2?ab?b2?

下圖所示.Aa2?b2?2abcos1200，構(gòu)造三角形ABC，如 ? D B

使AC?b,BC?a,?ACB?1200，則AB?a2?ab?b2.作?ACB的角平分線交AB于D.令?ADC??，則ADbBDaa?，.??sin600sin?sin600sin(1800??)sin?

33ba(a?b)

所以AB?，BD?.由此可得AB?AD?DB?.sin?sin?sin?

∵0?????1，所以AB?，所以0?si?n3(a?b)，即

2a2?ab?b2?

同理：b2?bc?c2?(a?b)①.23(c?b)② 2

(c?a)③ 2c2?ca?a2?

由①②③得a2?ab?b2?b2?bc?c2?c2?ca?a2?(a?b?c).四、構(gòu)造幾何體證明不等式

若要證明的不等式與幾何體中一些線段的長度有某種內(nèi)在的關(guān)系，可通過構(gòu)造幾何體來證明不等式.例4 已知a,b,c均為正數(shù)，且a2?b2?c2?1.證明：

?a2??b2??c2?3?(a?b?c)

證明：由a2?b2?c2?1，可發(fā)現(xiàn)此式與長方體的對角線長的公式有一定聯(lián)

系.故可構(gòu)造長方體，使其長寬高分別為a,b,c，且AC1?1.A

c 1A1 D

1而AB1?b2?c2??a2.在?AB1C1中，有AB1?B1C1?AC1，即

?a2?a?1①

同理有

?b2?b?1②

?c2?c?1③

由①②③得?a2??b2??c2?3?(a?b?c).用構(gòu)造法證明不等式是一種非常重要的解題方法.運用此方法的關(guān)鍵在于“構(gòu)造”，可以根據(jù)所要證明的不等式的結(jié)構(gòu)特征，合理運用類比、聯(lián)想等方法，構(gòu)造出“輔助元素”，使所要證明的不等式化難為易，從而解決問題。

第五篇：基于構(gòu)造函數(shù)的放縮法證數(shù)列型不等式問題的教學(xué)設(shè)計

基于構(gòu)造函數(shù)的放縮法證數(shù)列型不等式問題的教學(xué)設(shè)計

教學(xué)內(nèi)容分析

證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其內(nèi)在的函數(shù)規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s.一、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

任教的學(xué)生在年段屬中上程度，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣較高，已經(jīng)掌握了基本的數(shù)列求解問題的技巧，對于構(gòu)造函數(shù)這方法，知道大致思路，但是不明確如何有效合理的構(gòu)造能幫助解題，計算能力不是太過硬.二、設(shè)計思想

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，建構(gòu)就是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組建，其過程一般是引導(dǎo)學(xué)生從身邊的、生活中的實際問題出發(fā)，發(fā)現(xiàn)問題，思考如何解決問題，進(jìn)而聯(lián)系所學(xué)的舊知識，首先明確問題的實質(zhì)，然后總結(jié)出新知識的有關(guān)概念和規(guī)律，形成知識點，把知識點按照邏輯線索和內(nèi)在聯(lián)系，串成知識線，再由若干條知識線形成知識面，最后由知識面按照其內(nèi)容、性質(zhì)、作用、因果等關(guān)系組成綜合的知識體。也就是以學(xué)生為主體，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對知識的主動探索、主動發(fā)現(xiàn)以及學(xué)生對所學(xué)知識意義的主動建構(gòu)?；谝陨侠碚?，本節(jié)課遵循引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，循序漸進(jìn)的思路，采用問題探究式教學(xué)，運用多媒體，投影儀輔助，倡導(dǎo)“自主、合作、探究”的學(xué)習(xí)方式。具體流程如下：

創(chuàng)設(shè)情景（課前準(zhǔn)備、引入實例）→授新設(shè)疑→質(zhì)疑問難、論爭辯難（進(jìn)一步加深理解→突破難點）→溝通發(fā)展（反饋練習(xí)→歸納小結(jié)）→布置作業(yè)

四、教學(xué)目標(biāo)

理解構(gòu)造函數(shù)的功能，通過模仿、操作、探索，學(xué)習(xí)構(gòu)造函數(shù)達(dá)到放縮的目的，以此來解決問題，發(fā)展有條理的思考與表達(dá)的能力，提高邏輯思維能力；能運用構(gòu)造函數(shù)的放縮法解決數(shù)列型不等式問題，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識.五、教學(xué)重點與難點

重點：理解構(gòu)造函數(shù)的目的，厘清構(gòu)造函數(shù)與問題所需放縮的方向，最終完成合理構(gòu)造 難點：如何構(gòu)造出符合題情的函數(shù)，如何放縮

六、教學(xué)過程設(shè)計

第一部分——問題引入

求證：ln2?ln3?ln4???ln3?3n?5n?6(n?N*).n23436n【師生互動】：師生一起觀察本例，試圖確定本題所考查的知識點(數(shù)列、不等式、函數(shù)等)，所考查的數(shù)學(xué)思想方法（化歸與轉(zhuǎn)化的思想、函數(shù)的思想、特殊與一般的思想等），所考查的具體解題方法（放縮法等）；還有引導(dǎo)學(xué)生能不能把問題簡化，或者換一種方式方法來表 達(dá)，我以為理解題目不應(yīng)只局限于“未知量是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？”，而應(yīng)體現(xiàn)在學(xué)生是否能用自己的語言復(fù)述題目，或者能用一幅圖、一條線段圖、一些符號來表示對題意的理解。

【設(shè)計意圖】：高三學(xué)生已經(jīng)具有相當(dāng)?shù)臄?shù)列和函數(shù)知識，因此選擇這個中檔問題為例，以期能喚起學(xué)生解答題目的欲望，應(yīng)該有助于學(xué)生對本節(jié)知識的發(fā)生發(fā)展的理解，以期揭示此類問題的解法本質(zhì).第二部分——回顧放縮法

【師生互動】：根據(jù)此前師生一起探討出來的此題可能要用到的放縮法，教師讓學(xué)生按分組自行探討回憶，竟可能的梳理出平時有涉及到的放縮的一些結(jié)論，或者方法技巧，或者相關(guān)的典型例題等，經(jīng)過師生努力后得到如下常用結(jié)論或者是已證過的例子：（1）1441??1???2???； 222n4n4n?1?2n?12n?1?（2）2(n?1?n)?1?2(n?n?1)； n（3）1?n?n?1(n?2)；

n(n?1)n?1（4）22n12n?2?2?(3?1)?2?3?3(2?1)?2?2?1??n?；

32?13nnnnnn（5）(1?)?1?1?例（1）求?k?1n1n1115????? 等.2?13?2n(n?1)224k?12的值;（2）求證:

?kk?1n12?5.3附：解:（1）因為24n2?1?211??，(2n?1)(2n?1)2n?12n?1?1?12n ?2n?12n?1所以?4kk?1n22?1（2）因為1141??1???2???, 221n4n?1?2n?12n?1?n2?4所以 ?kk?1n1211?25?11?1?2???????1?? ?2n?12n?1?33?35【設(shè)計意圖】：通過對放縮法的回顧與整理，讓學(xué)生盡量找到解題的“題感”，數(shù)學(xué)題的“數(shù) 感”，盡量引導(dǎo)學(xué)生把已有的知識，解題思路跟現(xiàn)在所需求解的問題掛鉤，由已知想未知，由未知想需知，為突破本節(jié)教學(xué)重難點埋下伏筆.第三部分——回顧如何建?！獦?gòu)造函數(shù)

【師生互動】：根據(jù)上述回顧，觀察到不等式左側(cè)結(jié)構(gòu)齊整，聯(lián)想到某個函數(shù)的模型，因此，老師引導(dǎo)學(xué)生回顧如何構(gòu)造函數(shù)，如何構(gòu)造跟不等式有關(guān)的函數(shù)模型，經(jīng)過師生努力后得到如下常用結(jié)論：（1）ex?x?1；

（2）x?ln(x?1)或其變形x?lnx?1 ；（3）當(dāng)0?x??2時，sinx?x?tanx等.【設(shè)計意圖】：通過對放縮法進(jìn)一步整理，讓學(xué)生找到跟函數(shù)有關(guān)的放縮方向，盡量引導(dǎo)學(xué)生努力地把握此題的方向，向最后的解題方案擬定而努力.第四部分——擬定方案 【師生互動】：

lnx得結(jié)構(gòu)，再結(jié)合第三部分所回顧的常用結(jié)論，故可先構(gòu)造函xlnx1?1?, 數(shù)有x?lnx?1?x?x?1?xx（1）由需證不等式左側(cè)有（2）根據(jù)以上構(gòu)造的函數(shù)以及所證問題的左邊，可得：

ln2ln3ln4ln3n111?????n?3n?1?(????n)2343233n（3）尋找3?1?(?1115n?6???n)與右邊式子3n?的關(guān)系，故只需證出 23361115n????n?即可.2336（4）結(jié)合第二部分所回顧的常見結(jié)論及例子聯(lián)想可知需將左側(cè)式子分解，然后求和，然后繼續(xù)放縮：

111?11??111111?11??1????n????????????????n?n???n? 233?23??456789?3??22?1?3n?15?33??99?3n?1?5n??????????????n?? n?16?69??1827?2?33?6?【設(shè)計意圖】：方案的核心就是構(gòu)造了函數(shù)模型x?lnx?1，突破了本節(jié)的重難點，從理解題目到構(gòu)思解題方案是一個漫長而曲折的過程.因為對于本題，學(xué)生即使做到了理解，但仍 會感到無從下手.波利亞啟發(fā)我們說“好的思路大多來源于過去的經(jīng)驗和以前獲得的知識.”因此我們不妨引導(dǎo)學(xué)生思考“你知道一道與它有關(guān)的題目嗎？”我想，這個有關(guān)，并不一定就是一個曾經(jīng)求解過的與當(dāng)前題目緊密相關(guān)的題，而更可能是通過變化、轉(zhuǎn)換或修改敘述方式，找到與某個題目的聯(lián)系點，從而“重新敘述這道題目”擬定一個有可能解決問題的方案.第五部分——執(zhí)行方案

【師生互動】：教師根據(jù)第四部分的分析，按照所你定的方案邊講解邊板書呈現(xiàn)出完整的解題過程：

解:先構(gòu)造函數(shù)有x?lnx?1?x?x?1?lnx1?1?,從而將2,3,4?3n代入、相加可xxln2ln3ln4ln3n111?????n?3n?1?(????n)得：2343233由于111?11??111111?11??1????n????????????????n?n???n?233?23??456789?3??22?1?3n?15?33??99?3n?1?5n??????????????n?? n?16?69??1827?3?6?2?3ln2ln3ln4ln3n5n5n?6?????n?3n?1??3n?所以.234366【設(shè)計意圖】： 假如這個方案是學(xué)生主動獲得的，則不容易遺忘，反之，學(xué)生則很容易找不到來時的路了.因此，教師必須堅持讓學(xué)生檢查每一個步驟，以使學(xué)生真正確信每一步的正確性,而且通過教師的板書示范，使學(xué)生能更好的模仿訓(xùn)練，以至鞏固.第六部分——回顧、反思

【師生互動】：教師根據(jù)第五部分的解答，提醒學(xué)生再次回顧之前所擬定的方案，檢查是否都按既定的方案徹底的執(zhí)行了，或者在執(zhí)行的過程中是否有需要進(jìn)一步做合理調(diào)整的，或者有沒需要驗證的；最后反思整理，一起努力總結(jié)出本題的解題思路、策略：理解題意——回顧相關(guān)知識點或者方法——擬定方案——執(zhí)行方案——回顧、反思.【設(shè)計意圖】：讓學(xué)生養(yǎng)成自我檢查、反思的好習(xí)慣，達(dá)到對問題的舉一反三,提高學(xué)生的分析問題，解決問題的能力.第七部分——鞏固、整理

【師生互動】：教師給出以下例子，讓學(xué)生分組限時練習(xí)（考慮到時間關(guān)系，一組一題），答案在學(xué)生解題過程用投影儀呈現(xiàn)出來后板書出，或者時間不夠，就借用PPT呈現(xiàn)，然后點評 學(xué)生的作業(yè)的優(yōu)缺點.練習(xí)1.證明: ln2ln3ln4lnnn(n?1)??????(n?N*,n?1)345n?14 證明:構(gòu)造函數(shù)f(x)?ln(x?1)?(x?1)?1(x?1),求導(dǎo),可以得到: ' f(x)?12?x?1?,令f'(x)?0有1?x?2,令f'(x)?0有x?2, x?1x?1 所以f(x)?f(2)?0,所以ln(x?1)?x?2,令x?n2?1有, lnn2?n2?1

lnnn?1ln2ln3ln4lnnn(n?1)???????(n?N*,n?1),所以n?12345n?1411)an?n.證明an?e2.練習(xí)2.已知a1?1,an?1?(1?2n?n2 所以證明: an?1?(1?1111)an?n?(1??n)an, n(n?1)2n(n?1)2然后兩邊取自然對數(shù),可以得到lnan?1?ln(1?然后運用ln(1?x)?x和裂項可以得到答案： 放縮思路：an?1?(1?11?n)?lnan

n(n?1)21111?)a?lna?ln(1??)?lnan?

nn?12n2nn?n2n?n21111lnan?1?lnan?2?n于是lnan?1?lnan?2?n，n?n2n?n211?()n?1n?1n?1111112(lna?lna)?(?)?lna?lna?1???2??n?2.??i?1in12i1i?i2nn2i?1i?11?2 即lnan?lna1?2?an?e2.11111?????ln(n?1)?1???? 23n?12nn?1n2n?1n?????ln?ln???ln2 證明:提示: ln(n?1)?lnnn?11nn?11函數(shù)構(gòu)造形式: lnx?x,lnx?1? yx練習(xí)3.求證: 當(dāng)然本題的證明還可以運用積分放縮

如圖,取函數(shù)f(x)?n1, xnEFDC首先: SABCF111BAO??,從而, ?i???lnx|nn-iln(nn?i)n?i?lnn?xnxn?in?i5

x 1?lnn?ln(n?1), n1111?ln(n?1)?lnn,相加所以有?ln2, ?ln3?ln2,?, ?lnn?ln(n?1), 32nn?1111?ln(n?1)后可以得到: ????23n?1取i?1有, 另一方面SABDE取i?1有，111??,從而有?i???lnx|nn?i?lnn?ln(n?i)

xn?ixn?in?inn1?lnn?ln(n?1), n?11111111?ln(n?1)?1???? 所以有l(wèi)n(n?1)?1????,所以綜上有????2n23n?12n練習(xí)4.已知函數(shù)f(x)?xlnx.若a?0,b?0,證明:f(a)?(a?b)ln2?f(a?b)?f(b).證明:設(shè)函數(shù)g(x)?f(x)?f(k?x),(k?0)

?f(x)?xlnx,?g(x)?xlnx?(k?x)ln(k?x), ?0?x?k.?g?(x)?lnx?1?ln(k?x)?1?lnx, k?x令g?(x)?0,則有k2x2x?kk?1??0??x?k.k?xk?x2k2k2∴函數(shù)g(x)在[,k）上單調(diào)遞增，在(0,]上單調(diào)遞減.∴g(x)的最小值為g()，即總有g(shù)(x)?g().而g()?f()?f(k?)?kln k2k2k2k2k?k(lnk?ln2)?f(k)?kln2, 2?g(x)?f(k)?kln2,即f(x)?f(k?x)?f(k)?kln2.令x?a,k?x?b,則k?a?b.?f(a)?f(b)?f(a?b)?(a?b)ln2.?f(a)?(a?b)ln2?f(a?b)?f(b).【設(shè)計意圖】：自己解決問題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和動力，使學(xué)生體驗到成功的愉悅感，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”，“我要研究”的主動學(xué)習(xí),點評時的師生互動，增強(qiáng)了師生感情，一起構(gòu)造了和諧、智慧的課堂.七、教學(xué)反思

《怎樣解題》是美國著名數(shù)學(xué)家波利亞所著的一本關(guān)于數(shù)學(xué)解題方法的書籍，雖然這本書編寫的年代距今已很久遠(yuǎn)了,但書中所講述的數(shù)學(xué)思維的新方法卻具有極強(qiáng)的現(xiàn)實意義.首先看他對教師教學(xué)目的的解讀.他認(rèn)為教師最重要的任務(wù)之一是幫助學(xué)生，以使學(xué)生獲得盡可能多的獨立工作的經(jīng)驗.如今課改所提倡的動手實踐、自主探究的學(xué)習(xí)方式不正暗合了這一思想嗎？但是波利亞也提出了有關(guān)幫助的度的問題，即不能少，學(xué)生完全沒有方向，就根本不會有提高;也不宜多，學(xué)生沒有思考的空間，同樣不會有進(jìn)步.最好的辦法是教師把自己放在學(xué)生的位置上，根據(jù)學(xué)生的情況，努力去理解學(xué)生的想法，然后提出一個問題或指 出一個步驟.看到這里，我不禁想起了課標(biāo)對于數(shù)學(xué)活動的詮釋---教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機(jī)會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者.其次，進(jìn)一步理解了怎樣解題的四個階段（1、理解題目;

2、擬定方案;、執(zhí)行方案;

4、回顧.）波利亞所概括的這四個階段，在以往的教學(xué)中本人雖或多或少的都有所體現(xiàn)，但相對于波利亞論述中所要達(dá)到的層次，還是有許多欠缺的.