第一篇：數(shù)學奧數(shù)

勝不驕敗不餒

尊敬的老師們，親愛的同學們：

大家好!我今天要講的主題————“勝不驕敗不餒”。

在我們現(xiàn)實生活中，每個人都會有成功的經(jīng)歷，也有遇到失敗的苦澀，取得成功的時候，臉上露出的時燦爛的笑容;遇到挫折的時候，有的一敗涂地，有的是努力奮進，迎難而上。對于我們學生來說，應該怎么面對學習和生活的成功和失敗呢?

這就引出來我今天要講的主題————“勝不驕敗不餒”。古人曾說過：“勝者不驕傲，敗者不氣餒。”講的就是這個道理，當你經(jīng)過自己的一番努力取得成功的時候，決不可沾沾自喜，驕傲于世，目中無人，而應該總結(jié)成功的經(jīng)驗，再接再厲，向更高、更好的目標而努力奮斗;當你遇到挫折與失敗的時候，決不能灰心傷氣，破罐子破摔，而應該仔細檢查自己做的事情，從中找出原因，不斷總結(jié)，就會從一個失敗走向成功。失敗并不可怕，可怕的是我們不能從中意識到自己的不足。我們常說“失敗是成功之母”，講得就是通往成功的道路上，失敗有時也是不可避免的，偉大的發(fā)明家愛迪生不就是經(jīng)過無數(shù)次的失敗才走向成功的嗎?經(jīng)歷了無數(shù)次的失敗-成功，在失敗在成功，最終發(fā)明了電燈。

愛迪生是這樣，雅典奧運會冠軍劉翔也是一樣，他也是經(jīng)過了無數(shù)次的失敗之后才取得了如此驕人的戰(zhàn)績，實現(xiàn)了亞洲人短跑金牌零的突破，為中國人爭了光，也為亞洲人爭了光!但是要從失敗中不斷汲取教訓，多向成功的人士學習，從心理上要認識失敗是暫時的，只要你能調(diào)整心態(tài)，找出問題的所在，在加上自己的刻苦努力，你一定能取得自己滿意的結(jié)果。

我們剛剛進行了月考，由于各個學生的基礎(chǔ)不一樣，有的同學通過自己的努力取得了優(yōu)異的成績，而有的同學覺得自己的成績不理想，沒有達到自己的目標。這樣就出現(xiàn)了兩種心態(tài)的同學?？荚嚭玫耐瑢W會歡欣鼓舞，但絕不可驕傲，還要繼續(xù)前進;考試暫時不理性的同學不要悲觀失望，查漏補缺，終究會取得優(yōu)異的成績。我想告訴大家的是：考試只是一種檢測手段，通過它反映開學以來你對所學知識的掌握程度，分數(shù)的高低只能代表過去，不能代表將來。只要你能從考試中分析自己的失敗的原因，總結(jié)自己的不足之處，相信在以后的考試中你一定會名列前茅的。

在我們的日常學習和生活中，要保持一個良好的心態(tài)，做到勝不驕敗不餒。我真心地希望每位同學，在以后的學習中，要克服學習上的困難，知難而上，勇攀高峰，力爭做到：課前要認真預習，準備好必備的學習用品;課上要積極思考，大膽發(fā)言，不懂就問;課后要及時復習，認真完成老師布置的課堂、家庭作業(yè)。作業(yè)書寫工整，作業(yè)要獨立完成，作業(yè)要盡量不錯，錯了要立即訂正。我們堅信，只要同學們努力去做，期中，期末考試一定能考出優(yōu)異的成績。

勝不驕，敗不餒。讓我們永遠保持一顆奮斗的心，總結(jié)今天的成功與失敗，展望明天的輝煌，經(jīng)過大家的努力學習和拼搏，相信大家都能達到自己理想的彼岸。

請牢記：“勝不驕，敗不餒，”這句名言，相信它會為你的人生帶來極大的鼓勵和幫助。

謝謝大家!我的演講完畢！

第二篇：小學數(shù)學奧數(shù)教案

小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）

小學奧數(shù)

第1講 歸一問題與歸總問題 第2講 年齡問題

第3講 雞兔同籠問題與假設(shè)法 第1講 歸一問題與歸總問題

在解答某些應用題時，常常需要先找出“單一量”，然后以這個“單一量”為標準，根據(jù)其它條件求出結(jié)果。用這種解題思路解答的應用題，稱為歸一問題。所謂“單一量”是指單位時間的工作量、物品的單價、單位面積的產(chǎn)量、單位時間所走的路程等。

例1 一種鋼軌，4根共重1900千克，現(xiàn)在有95000千克鋼，可以制造這種鋼軌多少根？（損耗忽略不計）

分析：以一根鋼軌的重量為單一量。

（1）一根鋼軌重多少千克？

1900÷4＝475（千克）。

（2）95000千克能制造多少根鋼軌？

95000÷475＝200（根）。

解：95000÷（1900÷4）＝200（根）。

答：可以制造200根鋼軌。

例2 王家養(yǎng)了5頭奶牛，7天產(chǎn)牛奶630千克，照這樣計算，8頭奶牛15天可產(chǎn)牛奶多少千克？

分析：以1頭奶牛1天產(chǎn)的牛奶為單一量。

（1）1頭奶牛1天產(chǎn)奶多少千克？

630÷5÷7＝18（千克）。

（2）8頭奶牛15天可產(chǎn)牛奶多少千克？

小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）

18×8×15＝2160（千克）。

解：（630÷5÷7）×8×15=2160（千克）。

答：可產(chǎn)牛奶2160千克。

例3 三臺同樣的磨面機2.5時可以磨面粉2400千克，8臺這樣的磨面機磨25600千克面粉需要多少時間？

分析與解：以1臺磨面機1時磨的面粉為單一量。

（1）1臺磨面機1時磨面粉多少千克？

2400÷3÷2.5=320（千克）。

（2）8臺磨面機磨25600千克面粉需要多少小時？

25600÷320÷8=10（時）。

綜合列式為

25600÷（2400÷3÷2.5）÷8=10（時）。

例4 4輛大卡車運沙土，7趟共運走沙土336噸?，F(xiàn)在有沙土420噸，要求5趟運完。問：需要增加同樣的卡車多少輛？ 分析與解：以1輛卡車1趟運的沙土為單一量。

（1）1輛卡車1趟運沙土多少噸？

336÷4÷7=12（噸）。

（2）5趟運走420噸沙土需卡車多少輛？

420÷12÷5＝7（輛）。

（3）需要增加多少輛卡車？

7-4＝3（輛）。

綜合列式為

420÷（336÷4÷7）÷5-4＝3（輛）。

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與歸一問題類似的是歸總問題，歸一問題是找出“單一量”，而歸總問題是找出“總量”，再根據(jù)其它條件求出結(jié)果。所謂“總量”是指總路程、總產(chǎn)量、工作總量、物品的總價等。

例5 一項工程，8個人工作15時可以完成，如果12個人工作，那么多少小時可以完成？

分析：（1）工程總量相當于1個人工作多少小時？

15×8＝120（時）。

（2）12個人完成這項工程需要多少小時？

120÷12＝10（時）。解：15×8÷12＝10（時）。

答：12人需10時完成。

例6 一輛汽車從甲地開往乙地，每小時行60千米，5時到達。若要4時到達，則每小時需要多行多少千米？

分析：從甲地到乙地的路程是一定的，以路程為總量。

（1）從甲地到乙地的路程是多少千米？

60×5=300（千米）。

（2）4時到達，每小時需要行多少千米？

300÷4＝75（千米）。

（3）每小時多行多少千米？

75－60＝15（千米）。

解：（60×5）÷4——60＝15（千米）。

答：每小時需要多行15千米。

例7 修一條公路，原計劃60人工作，80天完成?，F(xiàn)在工作20天后，又增加了30人，這樣剩下的部分再用多少天可以完成？

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分析：（1）修這條公路共需要多少個勞動日（總量）？

60×80＝4800（勞動日）。

（2）60人工作20天后，還剩下多少勞動日？

4800-60×20=3600（勞動日）。

（3）剩下的工程增加30人后還需多少天完成？

3600÷（60＋30）=40（天）。

解：（60×80-60×20）÷（60＋30）＝40（天）。

答：再用40天可以完成。

練習11

1．2臺拖拉機4時耕地20公頃，照這樣速度，5臺拖拉機6時可耕地多少公頃？

2．4臺織布機5時可以織布2600米，24臺織布機幾小時才能織布24960米？

3．一種幻燈機，5秒鐘可以放映80張片子。問：48秒鐘可以放映多少張片子？

4．3臺抽水機8時灌溉水田48公頃，照這樣的速度，5臺同樣的抽水機6時可以灌溉水田多小公頃？

5．平整一塊土地，原計劃8人平整，每天工作7.5時，6天可以完成任務。由于急需播種，要求5天完成，并且增加1人。問：每天要工作幾小時？

6．食堂管理員去農(nóng)貿(mào)市場買雞蛋，原計劃按每千克3.00元買35千克。結(jié)果雞蛋價格下調(diào)了，他用這筆錢多買了2.5千克雞蛋。問：雞蛋價格下調(diào)后是每千克多少元？

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7．鍋爐房按照每天4.5噸的用量儲備了120天的供暖煤。供暖40天后，由于進行了技術(shù)改造，每天能節(jié)約0.9噸煤。問：這些煤共可以供暖多少天？

第2講 年齡問題

年齡問題是一類以“年齡為內(nèi)容”的數(shù)學應用題。

年齡問題的主要特點是：二人年齡的差保持不變，它不隨歲月的流逝而改變；二人的年齡隨著歲月的變化，將增或減同一個自然數(shù)；二人年齡的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長而發(fā)生變化，年齡增大，倍數(shù)變小。

根據(jù)題目的條件，我們常將年齡問題化為“差倍問題”、“和差問題”、“和倍問題”進行求解。

例1 兒子今年10歲，5年前母親的年齡是他的6倍，母親今年多少歲？ 分析與解：兒子今年10歲，5年前的年齡為5歲，那么5年前母親的年齡為5×6＝30（歲），因此母親今年是

30＋5=35（歲）。

例2 今年爸爸48歲，兒子20歲，幾年前爸爸的年齡是兒子的5倍？ 分析與解：今年爸爸與兒子的年齡差為“48——20”歲，因為二人的年齡差不隨時間的變化而改變，所以當爸爸的年齡為兒子的5倍時，兩人的年齡差還是這個數(shù)，這樣就可以用“差倍問題”的解法。當爸爸的年齡是兒子年齡的5倍時，兒子的年齡是

（48——20）÷（5——1）＝7（歲）。

由20－7＝13（歲），推知13年前爸爸的年齡是兒子年齡的5倍。

小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）例3 兄弟二人的年齡相差5歲，兄3年后的年齡為弟4年前的3倍。問：兄、弟二人今年各多少歲？

分析與解：根據(jù)題意，作示意圖如下：

由上圖可以看出，兄3年后的年齡比弟4年前的年齡大5＋3＋4＝12（歲），由“差倍問題”解得，弟4年前的年齡為（5＋3＋4）÷（3－1）＝6（歲）。由此得到

弟今年6＋4＝10（歲），兄今年10＋5＝15（歲）。

例4 今年兄弟二人年齡之和為55歲，哥哥某一年的歲數(shù)與弟弟今年的歲數(shù)相同，那一年哥哥的歲數(shù)恰好是弟弟歲數(shù)的2倍，請問哥哥今年多少歲？ 分析與解：在哥哥的歲數(shù)是弟弟的歲數(shù)2倍的那一年，若把弟弟歲數(shù)看成一份，那么哥哥的歲數(shù)比弟弟多一份，哥哥與弟弟的年齡差是1份。又因為那一年哥哥歲數(shù)與今年弟弟歲數(shù)相等，所以今年弟弟歲數(shù)為2份，今年哥哥歲數(shù)為2＋1=3（份）（見下頁圖）。

由“和倍問題”解得，哥哥今年的歲數(shù)為

55÷(3+2)×3=33(歲)。

例5 哥哥5年前的年齡與妹妹4年后的年齡相等，哥哥2年后的年齡與妹妹8年后的年齡和為97歲，請問二人今年各多少歲？

小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）分析與解：由“哥哥5年前的年齡與妹妹4年后的年齡相等”可知兄妹二人的年齡差為“4＋5”歲。由“哥哥2年后的年齡與妹妹8年后的年齡和為97歲”，可知兄妹二人今年的年齡和為“97——2——8”歲。由“和差問題”解得，兄[（97——2——8）＋（4＋5）]÷2＝48（歲），妹[（97——2——8）-（4＋5）]÷2=39（歲）。

例6 1994年父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的4倍。2000年，父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的2倍。問：父親出生在哪一年？

分析與解：如果用1段線表示兄弟二人1994年的年齡和，則父親1994年的年齡要用4段線來表示（見下頁圖）。

父親在2000年的年齡應是4段線再加6歲，而兄弟二人在2000年的年齡之和是1段線再加2×6＝12（歲），它是父親年齡的一半，也就是2段線再加3歲。由

1段＋12歲=2段＋3歲，推知1段是9歲。所以父親1994年的年齡是9×4＝36（歲），他出生于

1994——36＝1958（年）。

例7今年父親的年齡為兒子的年齡的4倍，20年后父親的年齡為兒子的年齡的2倍。問：父子今年各多少歲？

解法一：假設(shè)父親的年齡一直是兒子年齡的4倍，那么每過一年兒子增加一歲，父親就要增加4歲。這樣，20年后兒子增加20歲，父親就要增加80歲，比兒子多增加了80－20＝60（歲）。

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事實上，20年后父親的年齡為兒子的年齡的2倍，根據(jù)剛才的假設(shè)，多增加的60歲，正好相當于20年后兒子年齡的（4——2＝）2倍，因此，今年兒子的年齡為

（20×4－20）÷（4－2）－20＝10（歲），父親今年的年齡為10×4＝40（歲）。

解法二：如果用1段線表示兒子今年的年齡，那么父親今年的年齡要用4段線來表示（見下圖）。

20年后，父親的年齡應是4段線再加上20歲，而兒子的年齡應是1段線再加上20歲，是父親年齡的一半，也就是2段線再加上10歲。由

1段＋20=2段＋10，求得1段是10歲，即兒子今年10歲，從而父親今年40歲。例8 今年爺爺78歲，長孫27歲，次孫23歲，三孫16歲。問：幾年后爺爺?shù)哪挲g等于三個孫子年齡之和？

分析：今年三個孫子的年齡和為27＋23＋16=66（歲），爺爺比三個孫子的年齡和多78——66＝12（歲）。每過一年，爺爺增加一歲，而三個孫子的年齡和卻要增加1＋1＋1＝3（歲），比爺爺多增加3－1＝2（歲）。因而只需求出12里面有幾個2即可。

解：[78－（27＋23＋16）]÷（1＋1＋1－1）＝6（年）。

答：6年后爺爺?shù)哪挲g等于三個孫子年齡的和。

練習12

1．父親比兒子大30歲，明年父親的年齡是兒子年齡的3倍，那么今年兒子幾歲？

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2．王梅比舅舅小19歲，舅舅的年齡比王梅年齡的3倍多1歲。問：他們二人各幾歲？

3．小明今年9歲，父親39歲，再過多少年父親的年齡正好是小明年齡的2倍？

4．父親年齡是女兒的4倍，三年前父女年齡之和是49歲。問：父女兩人現(xiàn)在各多少歲？

5．一家三口人，三人年齡之和是74歲，媽媽比爸爸小2歲，媽媽的年齡是兒子年齡的4倍。問：三人各是多少歲？

6．今年老師46歲，學生16歲，幾年后老師年齡的2倍與學生年齡的5倍相等？

7．已知祖孫三人，祖父和父親年齡的差與父親和孫子年齡的差相同，祖父和孫子年齡之和為82歲，明年祖父的年齡恰好等于孫子年齡的5倍。問：祖孫三人各多少歲？

8．小樂問劉老師今年有多少歲，劉老師說：“當我像你這么大時，你才3歲；當你像我這么大時，我已經(jīng)42歲了?！蹦隳芩愠鰟⒗蠋熡卸嗌贇q嗎？

第3講 雞兔同籠問題與假設(shè)法

雞兔同籠問題是按照題目的內(nèi)容涉及到雞與兔而命名的，它是一類有名的中國古算題。許多小學算術(shù)應用題，都可以轉(zhuǎn)化為雞兔同籠問題來加以計算。

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例1 小梅數(shù)她家的雞與兔，數(shù)頭有16個，數(shù)腳有44只。問：小梅家的雞與兔各有多少只？

分析：假設(shè)16只都是雞，那么就應該有2×16＝32（只）腳，但實際上有44只腳，比假設(shè)的情況多了44-32＝12（只）腳，出現(xiàn)這種情況的原因是把兔當作雞了。如果我們以同樣數(shù)量的兔去換同樣數(shù)量的雞，那么每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)增加了2只。因此只要算出12里面有幾個2，就可以求出兔的只數(shù)。

解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有雞16-6＝10（只）。

答：有6只兔，10只雞。

當然，我們也可以假設(shè)16只都是兔子，那么就應該有4×16＝64（只）腳，但實際上有44只腳，比假設(shè)的情況少了64－44＝20（只）腳，這是因為把雞當作兔了。我們以雞去換兔，每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)減少了4-2＝2（只）。因此只要算出20里面有幾個2，就可以求出雞的只數(shù)。

有雞（4×16-44）÷（4-2）=10（只），有兔16——10＝6（只）。

由例1看出，解答雞兔同籠問題通常采用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；也可以先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。因此這類問題也叫置換問題。

例2 100個和尚140個饃，大和尚1人分3個饃，小和尚1人分1個饃。問：大、小和尚各有多少人？

分析與解：本題由中國古算名題“百僧分饃問題”演變而得。如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同籠問題，可以用假設(shè)法來解。

小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）

假設(shè)100人全是大和尚，那么共需饃300個，比實際多300－140＝160（個）?，F(xiàn)在以小和尚去換大和尚，每換一個總?cè)藬?shù)不變，而饃就要減少3——1＝2（個），因為160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有

100－80＝20（人）。

同樣，也可以假設(shè)100人都是小和尚，同學們不妨自己試試。

在下面的例題中，我們只給出一種假設(shè)方法。

例3 彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，這兩種文化用品共買了16套，用錢280元。問：兩種文化用品各買了多少套？

分析與解：我們設(shè)想有一只“怪雞”有1個頭11只腳，一種“怪兔”有1個頭19只腳，它們共有16個頭，280只腳。這樣，就將買文化用品問題轉(zhuǎn)換成雞兔同籠問題了。

假設(shè)買了16套彩色文化用品，則共需19×16＝304（元），比實際多304——280＝24（元），現(xiàn)在用普通文化用品去換彩色文化用品，每換一套少用19——11＝8（元），所以

買普通文化用品 24÷8=3（套），買彩色文化用品 16－3＝13（套）。

例4 雞、兔共100只，雞腳比兔腳多20只。問：雞、兔各多少只？

分析：假設(shè)100只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳200只，而兔的腳數(shù)為零。這樣雞腳比兔腳多200只，而實際上只多20只，這說明假設(shè)的雞腳比兔腳多的數(shù)比實際上多200——20=180（只）。

現(xiàn)在以兔換雞，每換一只，雞腳減少2只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數(shù)中就會減少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，雞100——30＝70（只）。

解：有兔（2×100——20）÷（2＋4）＝30（只），小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）

有雞100——30=70（只）。

答：有雞70只，兔30只。

例5 現(xiàn)有大、小油瓶共50個，每個大瓶可裝油4千克，每個小瓶可裝油2千克，大瓶比小瓶共多裝20千克。問：大、小瓶各有多少個？

分析：本題與例4非常類似，仿照例4的解法即可。解：小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（個），大瓶有50-30＝20（個）。

答：有大瓶20個，小瓶30個。

例6 一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡車裝載只要36輛。已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，那么這批鋼材有多少噸？

分析：要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸。

利用假設(shè)法，假設(shè)只用36輛小卡車來裝載這批鋼材，因為每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，所以要剩下4×36=144（噸）。根據(jù)條件，要裝完這144噸鋼材還需要45-36=9（輛）小卡車。這樣每輛小卡車能裝144÷9＝16（噸）。由此可求出這批鋼材有多少噸。解：4×36÷（45-36）×45＝720（噸）。

答：這批鋼材有720噸。

例7 樂樂百貨商店委托搬運站運送500只花瓶，雙方商定每只運費0.24元，但如果發(fā)生損壞，那么每打破一只不僅不給運費，而且還要賠償1.26元，結(jié)果搬運站共得運費115.5元。問：搬運過程中共打破了幾只花瓶？

分析：假設(shè)500只花瓶在搬運過程中一只也沒有打破，那么應得運費0.24×500=120（元）。實際上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。

小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）搬運站每打破一只花瓶要損失0.24＋1.26＝1.5（元）。因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3（只）。

解：（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。

答：共打破3只花瓶。

例8 小樂與小喜一起跳繩，小喜先跳了2分鐘，然后兩人各跳了3分鐘，一共跳了780下。已知小喜比小樂每分鐘多跳12下，那么小喜比小樂共多跳了多少下？

分析與解：利用假設(shè)法，假設(shè)小喜的跳繩速度減少到與小樂一樣，那么兩人跳的總數(shù)減少了

12×（2＋3）＝60（下）。

可求出小樂每分鐘跳

（780——60）÷（2＋3＋3）＝90（下），小樂一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小樂共多跳

780——270×2＝240（下）。練習13

1．雞、兔共有頭100個，腳350只，雞、兔各有多少只？

2．學校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120個學生進行活動。問：象棋與跳棋各有多少副？

3．班級購買活頁簿與日記本合計32本，花錢74元?；铐摬久勘?.9元，日記本每本3.1元。問：買活頁簿、日記本各幾本？

4．龜、鶴共有100個頭，鶴腿比龜腿多20只。問：龜、鶴各幾只？

5．小蕾花40元錢買了14張賀年卡與明信片。賀年卡每張3元5角，明信片每張2元5角。問：賀年卡、明信片各買了幾張？

小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）

6．一個工人植樹，晴天每天植樹20棵，雨天每天植樹12棵，他接連幾天共植樹112棵，平均每天植樹14棵。問：這幾天中共有幾個雨天？

7．振興小學六年級舉行數(shù)學競賽，共有20道試題。做對一題得5分，沒做或做錯一題都要扣3分。小建得了60分，那么他做對了幾道題？

8．有一批水果，用大筐80只可裝運完，用小筐120只也可裝運完。已知每只大筐比每只小筐多裝運20千克，那么這批水果有多少千克？

9．蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀?，F(xiàn)有三種小蟲共18只，有118條腿和20對翅膀。問：每種小蟲各有幾只？ 10．雞、兔共有腳100只，若將雞換成兔，兔換成雞，則共有腳92只。問：雞、兔各幾只？

高冠軍，所以由（1）知乙不是數(shù)學博士。將上面的結(jié)論依次填入上表，便得到下表：

所以，甲是小畫家和歌唱家，乙是短跑健將和跳高冠軍，丙是數(shù)學博士和大作家。

例4張明、席輝和李剛在北京、上海和天津工作，他們的職業(yè)是工人、農(nóng)民和教師，已知：（1）張明不在北京工作，席輝不在上海工作；

（2）在北京工作的不是教師；

（3）在上海工作的是工人；

（4）席輝不是農(nóng)民。

問：這三人各住哪里？各是什么職業(yè)？

小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）分析與解：與前面的例題相比，這道題的關(guān)系要復雜一些，要求我們通過推理，弄清人物、工作地點、職業(yè)三者之間的關(guān)系。三者的關(guān)系需要兩兩構(gòu)造三個表，即人物與地點，人物與職業(yè)，地點與職業(yè)三個表。

我們先將題目條件中所給出的關(guān)系用下面的表來表示，由條件（1）得到表1，由條件（4）得到表2，由條件（2）（3）得到表3。

因為各表中，每行每列只能有一個“√”，所以表（3）可填全為表（4）。

因為席輝不在上海工作，在上海工作的是工人，所以席輝不是工人，他又不是農(nóng)民，所以席輝是教師。再由表4知，教師住在天津，即席輝住在天津。至此，表1可填全為表5。

對照表5和表4，得到：張明住在上海是工人，席輝住在天津是教師，李剛住在北京是農(nóng)民。

第三篇：小學數(shù)學奧數(shù)教案

綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程

小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程

第1講 速算與巧算

（一）第2講 速算與巧算

（二）第3講 高斯求和

第4講 4，8，9整除的數(shù)的特征 第5講 棄九法

第6講 數(shù)的整除性

（二）第7講 找規(guī)律

（一）第8講 找規(guī)律

（二）第9講 數(shù)字謎

（一）第10講 數(shù)字謎

（二）第11講 歸一問題與歸總問題 第12講 年齡問題

第13講 雞兔同籠問題與假設(shè)法 第14講 盈虧問題與比較法

（一）第15講 盈虧問題與比較法

（二）第16講 數(shù)陣圖

（一）第17講 數(shù)陣圖

（二）第18講 數(shù)陣圖

（三）第19將 乘法原理 第20講 加法原理

（一）第21講 加法原理

（二）第22講 還原問題

（一）第23講 還原問題

（二）第24講 頁碼問題 第25講 智取火柴 第26講 邏輯問題

（一）第27講 邏輯問題

（二）第28講 最不利原則 第29講 抽屜原理

（一）第30講 抽屜原理

（二）綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程第1講 速算與巧算

（一）計算是數(shù)學的基礎(chǔ)，小學生要學好數(shù)學，必須具有過硬的計算本領(lǐng)。準確、快速的計算能力既是一種技巧，也是一種思維訓練，既能提高計算效率、節(jié)省計算時間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進思維和智力的發(fā)展。

我們在三年級已經(jīng)講過一些四則運算的速算與巧算的方法，本講和下一講主要介紹加法的基準數(shù)法和乘法的補同與同補速算法。

例1 四年級一班第一小組有10名同學，某次數(shù)學測驗的成績（分數(shù)）如下：

86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。

求這10名同學的總分。

分析與解：通常的做法是將這10個數(shù)直接相加，但這些數(shù)雜亂無章，直接相加既繁且易錯。觀察這些數(shù)不難發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)雖然大小不等，但相差不大。我們可以選擇一個適當?shù)臄?shù)作“基準”，比如以“80”作基準，這10個數(shù)與80的差如下：

6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”號表示這個數(shù)比80小。于是得到

總和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-6+12-11+4-5）

＝800＋9＝809。

實際計算時只需口算，將這些數(shù)與80的差逐一累加。為了清楚起見，將這一過程表示如下：

通過口算，得到差數(shù)累加為9，再加上80×10，就可口算出結(jié)果為809。

例1所用的方法叫做加法的基準數(shù)法。這種方法適用于加數(shù)較多，而且所有的加數(shù)相差不大的情況。作為“基準”的數(shù)（如例1的80）叫做基準數(shù)，各數(shù)與基準數(shù)的差的和叫做累計差。由例1得到：

總和數(shù)=基準數(shù)×加數(shù)的個數(shù)+累計差，平均數(shù)=基準數(shù)+累計差÷加數(shù)的個數(shù)。

在使用基準數(shù)法時，應選取與各數(shù)的差較小的數(shù)作為基準數(shù)，這樣才容易計算累計差。同時考慮到基準數(shù)與加數(shù)個數(shù)的乘法能夠方便地計算出來，所以基準數(shù)應盡量選取整

十、整百的數(shù)。

例2 某農(nóng)場有10塊麥田，每塊的產(chǎn)量如下（單位：千克）：

462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均每塊麥田的產(chǎn)量。解：選基準數(shù)為450，則

累計差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11

＝50，平均每塊產(chǎn)量=450＋50÷10＝455（千克）。

答：平均每塊麥田的產(chǎn)量為455千克。

求一位數(shù)的平方，在乘法口訣的九九表中已經(jīng)被同學們熟知，如7×7＝49（七七四十九）。對于兩位數(shù)的平方，大多數(shù)同學只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。有沒有什么竅門，能夠迅速算出兩位數(shù)的平方呢？這里向同學們介紹一種方法——湊整補零法。所謂湊整補零法，就是用所求數(shù)與最接近的整十數(shù)的差，通過移多補少，將所求數(shù)轉(zhuǎn)化成一個整十數(shù)乘以另一數(shù)，再加上零頭的平方數(shù)。下面通過例題來說明這一方法。例3 求292和822的值。解：292=29×29

＝（29＋1）×（29-1）＋12

＝30×28＋1

＝840+1

＝841。綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程

822＝82×82

＝（82－2）×（82＋2）＋2＝80×84＋4

＝6720+4

＝6724。

由上例看出，因為29比30少1，所以給29“補”1，這叫“補少”；因為82比80多2，所以從82中“移走”2，這叫“移多”。因為是兩個相同數(shù)相乘，所以對其中一個數(shù)“移多補少”后，還需要在另一個數(shù)上“找齊”。本例中，給一個29補1，就要給另一個29減1；給一個82減了2，就要給另一個82加上2。最后，還要加上“移多補少”的數(shù)的平方。

由湊整補零法計算352，得

35×35＝40×30＋52=1225。這與三年級學的個位數(shù)是5的數(shù)的平方的速算方法結(jié)果相同。

這種方法不僅適用于求兩位數(shù)的平方值，也適用于求三位數(shù)或更多位數(shù)的平方值。例4 求9932和20042的值。解：9932=993×993

＝（993＋7）×（993-7）+72

＝1000×986＋49

＝986000＋49

＝986049。

20042=2004×2004

＝（2004-4）×（2004+4）＋42

＝2000×2008＋16

＝4016000＋16

＝4016016。

下面，我們介紹一類特殊情況的乘法的速算方法。

請看下面的算式：

66×46，73×88，19×44。

這幾道算式具有一個共同特點，兩個因數(shù)都是兩位數(shù)，一個因數(shù)的十位數(shù)與個位數(shù)相同，另一因數(shù)的十位數(shù)與個位數(shù)之和為10。這類算式有非常簡便的速算方法。例5 88×64＝？

分析與解：由乘法分配律和結(jié)合律，得到

88×64

＝（80＋8）×（60＋4）

＝（80＋8）×60＋（80＋8）×4

＝80×60＋8×60＋80×4＋8×4

＝80×60＋80×6＋80×4＋8×4

＝80×（60＋6＋4）＋8×4

＝80×（60＋10）＋8×4

＝8×（6＋1）×100+8×4。

于是，我們得到下面的速算式：

由上式看出，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積，本例為8×4；積中從百位起前面的數(shù)是“個位與十位相同的因數(shù)”的十位數(shù)與“個位與十位之和為10的因數(shù)”的十位數(shù)加1的乘積，本例為8×（6＋1）。例6 77×91＝？

解：由例3的解法得到 綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程

由上式看出，當兩個因數(shù)的個位數(shù)之積是一位數(shù)時，應在十位上補一個0，本例為7×1＝07。

用這種速算法只需口算就可以方便地解答出這類兩位數(shù)的乘法計算。練習1

1.求下面10個數(shù)的總和：

165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。

2.農(nóng)業(yè)科研小組測定麥苗的生長情況，量出12株麥苗的高度分別為（單位：厘米）：

26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。求這批麥苗的平均高度。

3.某車間有9個工人加工零件，他們加工零件的個數(shù)分別為：

68，91，84，75，78，81，83，72，79。

他們共加工了多少個零件？

4.計算：

13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12。

5.計算下列各題：

（1）372；（2）532；（3）912；

（4）682：（5）1082；（6）3972。

6.計算下列各題：

（1）77×28；（2）66×55；（3）33×19；（4）82×44；（5）37×33；（6）46×99。

練習1 答案

1.1596。2.26厘米。

3.711個。4.147。

5.（1）1369；（2）2809；（3）8281；

（4）4624；（5）11664；（6）157609。

6.（1）2156；（2）3630；（3）627；

（4）3608；（5）1221；（6）4554。第2講 速算與巧算

（二）上一講我們介紹了一類兩位數(shù)乘法的速算方法，這一講討論乘法的“同補”與“補同”速算法。

兩個數(shù)之和等于10，則稱這兩個數(shù)互補。在整數(shù)乘法運算中，常會遇到像72×78，26×86等被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同或互補，或被乘數(shù)與乘數(shù)的個位數(shù)字相同或互補的情況。72×78的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同、個位數(shù)字互補，這類式子我們稱為“頭相同、尾互補”型；26×86的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字互補、個位數(shù)字相同，這類式子我們稱為“頭互補、尾相同”型。計算這兩類題目，有非常簡捷的速算方法，分別稱為“同補”速算法和“補同”速算法。

例1（1）76×74＝？（2）31×39＝？

分析與解：本例兩題都是“頭相同、尾互補”類型。

（1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到 76×74 ＝（70＋6）×（70+4）

＝（70＋6）×70＋（70＋6）×4＝70×70＋6×70＋70×4＋6×4 ＝70×（70＋6＋4）＋6×4 ＝70×（70＋10）＋6×4 綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程＝7×（7+1）×100＋6×4。于是，我們得到下面的速算式：

（2）與（1）類似可得到下面的速算式：

由例1看出，在“頭相同、尾互補”的兩個兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積（不夠兩位時前面補0，如1×9＝09），積中從百位起前面的數(shù)是被乘數(shù)（或乘數(shù)）的十位數(shù)與十位數(shù)加1的乘積?！巴a”速算法簡單地說就是： 積的末兩位是“尾×尾”，前面是“頭×（頭+1）”。

我們在三年級時學到的15×15，25×25，?，95×95的速算，實際上就是“同補”速算法。

例2（1）78×38＝？（2）43×63＝？

分析與解：本例兩題都是“頭互補、尾相同”類型。（1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到

78×38 ＝（70＋8）×（30＋8）

＝（70＋8）×30＋（70＋8）×8 ＝70×30+8×30＋70×8＋8×8 ＝70×30＋8×（30＋70）＋8×8 ＝7×3×100＋8×100＋8×8 ＝（7×3＋8）×100＋8×8。于是，我們得到下面的速算式：

（2）與（1）類似可得到下面的速算式：

由例2看出，在“頭互補、尾相同”的兩個兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積（不夠兩位時前面補0，如3×3＝09），積中從百位起前面的數(shù)是兩個因數(shù)的十位數(shù)之積加上被乘數(shù)（或乘數(shù)）的個位數(shù)?！把a同”速算法簡單地說就是： 積的末兩位數(shù)是“尾×尾”，前面是“頭×頭+尾”。

例1和例2介紹了兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的“同補”或“補同”形式的速算法。當被乘數(shù)和乘數(shù)多于兩位時，情況會發(fā)生什么變化呢？

我們先將互補的概念推廣一下。當兩個數(shù)的和是10，100，1000，?時，這兩個數(shù)互為補數(shù)，簡稱互補。如43與57互補，99與1互補，555與445互補。

在一個乘法算式中，當被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)相同，后面的幾位數(shù)互補時，這個算式就是“同補”型，即“頭相同，尾互補”型。例如，因為被乘數(shù)與乘數(shù)的綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程前兩位數(shù)相同，都是70，后兩位數(shù)互補，77＋23＝100，所以是“同補”型。又如，等都是“同補”型。

當被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)互補，后面的幾位數(shù)相同時，這個乘法算式就是“補同”型，即“頭互補，尾相同”型。例如，等都是“補同”型。

在計算多位數(shù)的“同補”型乘法時，例1的方法仍然適用。例3（1）702×708=？（2）1708×1792＝？ 解：（1）

（2）

計算多位數(shù)的“同補”型乘法時，將“頭×（頭+1）”作為乘積的前幾位，將兩個互補數(shù)之積作為乘積的后幾位。

注意：互補數(shù)如果是n位數(shù)，則應占乘積的后2n位，不足的位補“0”。

在計算多位數(shù)的“補同”型乘法時，如果“補”與“同”，即“頭”與“尾”的位數(shù)相同，那么例2的方法仍然適用（見例4）；如果“補”與“同”的位數(shù)不相同，那么例2的方法不再適用，因為沒有簡捷實用的方法，所以就不再討論了。例4 2865×7265＝？

解：

練習2

計算下列各題：

1.68×62； 2.93×97；

3.27×87； 4.79×39；

5.42×62； 6.603×607；

7.693×607； 8.4085×6085。第3講 高斯求和

德國著名數(shù)學家高斯幼年時代聰明過人，上學時，有一天老師出了一道題讓同學們計算：

1＋2＋3＋4＋?＋99＋100＝？

老師出完題后，全班同學都在埋頭計算，小高斯卻很快算出答案等于5050。高斯為什么算得又快又準呢？原來小高斯通過細心觀察發(fā)現(xiàn)：

1＋100＝2＋99＝3＋98＝?＝49＋52＝50＋51。綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程

1～100正好可以分成這樣的50對數(shù)，每對數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為

（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和問題。

若干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項，其中第一項稱為首項，最后一項稱為末項。后項與前項之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項與前項之差稱為公差。例如：

（1）1，2，3，4，5，?，100；

（2）1，3，5，7，9，?，99；（3）8，15，22，29，36，?，71。

其中（1）是首項為1，末項為100，公差為1的等差數(shù)列；（2）是首項為1，末項為99，公差為2的等差數(shù)列；（3）是首項為8，末項為71，公差為7的等差數(shù)列。

由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式： 和=（首項+末項）×項數(shù)÷2。例1 1＋2＋3＋?＋1999＝？

分析與解：這串加數(shù)1，2，3，?，1999是等差數(shù)列，首項是1，末項是1999，共有1999個數(shù)。由等差數(shù)列求和公式可得

原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。例2 11＋12＋13＋?＋31＝？

分析與解：這串加數(shù)11，12，13，?，31是等差數(shù)列，首項是11，末項是31，共有31-11＋1＝21（項）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差數(shù)列求和公式時，有時項數(shù)并不是一目了然的，這時就需要先求出項數(shù)。根據(jù)首項、末項、公差的關(guān)系，可以得到 項數(shù)=（末項-首項）÷公差+1，末項=首項+公差×（項數(shù)-1）。例3 3＋7＋11＋?＋99＝？

分析與解：3，7，11，?，99是公差為4的等差數(shù)列，項數(shù)=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275。

例4 求首項是25，公差是3的等差數(shù)列的前40項的和。解：末項=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340。

利用等差數(shù)列求和公式及求項數(shù)和末項的公式，可以解決各種與等差數(shù)列求和有關(guān)的問題。例5 在下圖中，每個最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長是1根火柴棍。問：（1）最大三角形的面積是多少平方厘米？（2）整個圖形由多少根火柴棍擺成？

分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時，每層的小三角形數(shù)目及所用火柴數(shù)目如下表： 綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程由上表看出，各層的小三角形數(shù)成等差數(shù)列，各層的火柴數(shù)也成等差數(shù)列。

解：（1）最大三角形面積為

（1＋3＋5＋?＋15）×12 ＝［（1＋15）×8÷2］×12 ＝768（厘米2）。

2）火柴棍的數(shù)目為

3＋6＋9+?+24 ＝（3＋24）×8÷2=108（根）。

答：最大三角形的面積是768厘米2，整個圖形由108根火柴擺成。

例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里??第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時盒子里共有多少只乒乓球？

分析與解：一只球變成3只球，實際上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球??第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了

2×1＋2×2＋?＋2×10 ＝2×（1＋2＋?＋10）＝2×55＝110（只）。

加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。

綜合列式為：

（3-1）×（1＋2＋?＋10）＋3 ＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。

練習3

1.計算下列各題：

（1）2＋4＋6＋?＋200；

（2）17＋19＋21＋?＋39；（3）5＋8＋11＋14＋?＋50；（4）3＋10＋17＋24＋?＋101。

2.求首項是5，末項是93，公差是4的等差數(shù)列的和。

3.求首項是13，公差是5的等差數(shù)列的前30項的和。

4.時鐘在每個整點敲打，敲打的次數(shù)等于該鐘點數(shù)，每半點鐘也敲一下。問：時鐘一晝夜敲打多少次？

5.求100以內(nèi)除以3余2的所有數(shù)的和。

6.在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)比個位數(shù)大的數(shù)共有多少個？

第四講

我們在三年級已經(jīng)學習了能被2，3，5整除的數(shù)的特征，這一講我們將討論整除的性質(zhì)，并講解能被4，8，9整除的數(shù)的特征。

數(shù)的整除具有如下性質(zhì)： 綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程性質(zhì)1 如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)一定能被丙數(shù)整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。性質(zhì)2 如果兩個數(shù)都能被一個自然數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和與差也一定能被這個自然數(shù)整除。例如，21與15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。

性質(zhì)3 如果一個數(shù)能分別被兩個互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個數(shù)一定能被這兩個互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9與7互質(zhì)，那么126能被9×7＝63整除。

利用上面關(guān)于整除的性質(zhì)，我們可以解決許多與整除有關(guān)的問題。為了進一步學習數(shù)的整除性，我們把學過的和將要學習的一些整除的數(shù)字特征列出來：

（1）一個數(shù)的個位數(shù)字如果是0，2，4，6，8中的一個，那么這個數(shù)就能被2整除。

（2）一個數(shù)的個位數(shù)字如果是0或5，那么這個數(shù)就能被5整除。

（3）一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被3整除，那么這個數(shù)就能被3整除。

（4）一個數(shù)的末兩位數(shù)如果能被4（或25）整除，那么這個數(shù)就能被4（或25）整除。

（5）一個數(shù)的末三位數(shù)如果能被8（或125）整除，那么這個數(shù)就能被8（或125）整除。

（6）一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被9整除，那么這個數(shù)就能被9整除。

其中（1）（2）（3）是三年級學過的內(nèi)容，（4）（5）（6）是本講要學習的內(nèi)容。綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程

因為100能被4（或25）整除，所以由整除的性質(zhì)1知，整百的數(shù)都能被4（或25）整除。因為任何自然數(shù)都能分成一個整百的數(shù)與這個數(shù)的后兩位數(shù)之和，所以由整除的性質(zhì)2知，只要這個數(shù)的后兩位數(shù)能被4（或25）整除，這個數(shù)就能被4（或25）整除。這就證明了（4）。

類似地可以證明（5）。

（6）的正確性，我們用一個具體的數(shù)來說明一般性的證明方法。

837＝800＋30＋7 ＝8×100＋3×10＋7 ＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7 ＝8×99＋8＋3×9＋3＋7 ＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。

因為99和9都能被9整除，所以根據(jù)整除的性質(zhì)1和性質(zhì)2知，（8x99＋3x9）能被9整除。再根據(jù)整除的性質(zhì)2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判斷837能被9整除。

利用（4）（5）（6）還可以求出一個數(shù)除以4，8，9的余數(shù)：（4‘）一個數(shù)除以4的余數(shù)，與它的末兩位除以4的余數(shù)相同。（5＇）一個數(shù)除以8的余數(shù)，與它的末三位除以8的余數(shù)相同。（6＇）一個數(shù)除以9的余數(shù)，與它的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同。例1 在下面的數(shù)中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？ 234，789，7756，8865，3728.8064。解：能被4整除的數(shù)有7756，3728，8064；

能被8整除的數(shù)有3728，8064； 能被9整除的數(shù)有234，8865，8064。綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程例2 在四位數(shù)56□2中，被蓋住的十位數(shù)分別等于幾時，這個四位數(shù)分別能被9，8，4整除？

解：如果56□2能被9整除，那么

5＋6＋□＋2＝13＋□

應能被9整除，所以當十位數(shù)是5，即四位數(shù)是5652時能被9整除；

如果56□2能被8整除，那么6□2應能被8整除，所以當十位數(shù)是3或7，即四位數(shù)是5632或5672時能被8整除；

如果56□2能被4整除，那么□2應能被4整除，所以當十位數(shù)是1，3，5，7，9，即四位數(shù)是5612，5632，5652，5672，5692時能被4整除。

到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)學過能被2，3，5，4，8，9整除的數(shù)的特征。根據(jù)整除的性質(zhì)3，我們可以把判斷整除的范圍進一步擴大。例如，判斷一個數(shù)能否被6整除，因為6＝2×3，2與3互質(zhì)，所以如果這個數(shù)既能被2整除又能被3整除，那么根據(jù)整除的性質(zhì)3，可判定這個數(shù)能被6整除。同理，判斷一個數(shù)能否被12整除，只需判斷這個數(shù)能否同時被3和4整除；判斷一個數(shù)能否被72整除，只需判斷這個數(shù)能否同時被8和9整除；如此等等。

例3 從0，2，5，7四個數(shù)字中任選三個，組成能同時被2，5，3整除的數(shù)，并將這些數(shù)從小到大進行排列。

解：因為組成的三位數(shù)能同時被2，5整除，所以個位數(shù)字為0。根據(jù)三位數(shù)能被3整除的特征，數(shù)字和2＋7＋0與5＋7＋0都能被3整除，因此所求的這些數(shù)為270，570，720，750。例4 五位數(shù)分析與解：已知以能被72整除，問：A與B各代表什么數(shù)字？

能被72整除。因為72＝8×9，8和9是互質(zhì)數(shù)，所既能被8整除，又能被9整除。根據(jù)能被8整除的數(shù)的特征，要求綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程能被8整除，由此可確定B＝6。再根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征，的各位數(shù)字之和為

A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，因為l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。在這個范圍內(nèi)只有27能被9整除，所以A＝7。

解答例4的關(guān)鍵是把72分解成8×9，再分別根據(jù)能被8和9整除的數(shù)的特征去討論B和A所代表的數(shù)字。在解題順序上，應先確定B所代表的數(shù)字，因為B代表的數(shù)字不受A的取值大小的影響，一旦B代表的數(shù)字確定下來，A所代表的數(shù)字就容易確定了。例5 六位數(shù)是6的倍數(shù)，這樣的六位數(shù)有多少個？

分析與解：因為6＝2×3，且2與3互質(zhì)，所以這個整數(shù)既能被2整除又能被3整除。由六位數(shù)能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8這五個值。再由六位數(shù)能被3整除，推知 3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B

能被3整除，故2B能被3整除。B可取0，3，6，9這4個值。由于B可以取4個值，A可以取5個值，題目沒有要求A≠B，所以符合條件的六位數(shù)共有5×4＝20（個）。例6 要使六位數(shù)表什么數(shù)字？

分析與解：因為36＝4×9，且4與9互質(zhì)，所以這個六位數(shù)應既能被4整除又能被9整除。六位數(shù)此C可取1，3，5，7，9。

要使所得的商最小，就要使

這個六位數(shù)盡可能小。因此首先是A的能被4整除，就要

能被4整除，因

能被36整除，而且所得的商最小，問A，B，C各代盡量小，其次是B盡量小，最后是C盡量小。先試取A=0。六位數(shù)綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程各位數(shù)字之和為12＋B＋C。它應能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15。因為B，C應盡量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使盡可能小，應取B＝1，C＝5。

當A=0，B=1，C＝5時，六位數(shù)能被36整除，而且所得商最小，為150156÷36＝4171。練習4

1．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪幾個數(shù)整除？

2．個位數(shù)是5，且能被9整除的三位數(shù)共有多少個？

3．一些四位數(shù)，百位上的數(shù)字都是3，十位上的數(shù)字都是6，并且它們既能被2整除又能被3整除。在這樣的四位數(shù)中，最大的和最小的各是多少？

4．五位數(shù)能被12整除，求這個五位數(shù)。

5．有一個能被24整除的四位數(shù)□23□，這個四位數(shù)最大是幾？最小是幾？

6．從0，2，3，6，7這五個數(shù)碼中選出四個，可以組成多少個可以被8整除的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)？

7．在123的左右各添一個數(shù)碼，使得到的五位數(shù)能被72整除。

8．學校買了72只小足球，發(fā)票上的總價有兩個數(shù)字已經(jīng)辨認不清，只看到是□67.9□元，你知道每只小足球多少錢嗎？ 第5講 棄九法

從第4講知道，如果一個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，那么這個數(shù)能被9整除；如果一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和被9除余數(shù)是幾，那么這個數(shù)被9除的余數(shù)也一定是幾。利用這個性質(zhì)可以迅速地判斷一個數(shù)能否被9整除或者求出被9除的余數(shù)是幾。綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程

例如，3645732這個數(shù)，各個數(shù)位上的數(shù)字之和為

3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，30被9除余3，所以3645732這個數(shù)不能被9整除，且被9除后余數(shù)為3。

但是，當一個數(shù)的數(shù)位較多時，這種計算麻煩且易錯。有沒有更簡便的方法呢？

因為我們只是判斷這個式子被9除的余數(shù)，所以凡是若干個數(shù)的和是9時，就把這些數(shù)劃掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把這些數(shù)劃掉后，最多只剩下一個3（如下圖），所以這個數(shù)除以9的余數(shù)是3。

這種將和為9或9的倍數(shù)的數(shù)字劃掉，用剩下的數(shù)字和求除以9的余數(shù)的方法，叫做棄九法。

一個數(shù)被9除的余數(shù)叫做這個數(shù)的九余數(shù)。利用棄九法可以計算一個數(shù)的九余數(shù)，還可以檢驗四則運算的正確性。例1 求多位數(shù)764582***15除以9的余數(shù)。分析與解：利用棄九法，將和為9的數(shù)依次劃掉。

只剩下7，6，1，5四個數(shù)，這時口算一下即可。口算知，7，6，5的和是9的倍數(shù)，又可劃掉，只剩下1。所以這個多位數(shù)除以9余1。例2 將自然數(shù)1，2，3，?依次無間隔地寫下去組成一個數(shù)***3?如果一直寫到自然數(shù)100，那么所得的數(shù)除以9的余數(shù)是多少？ 綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程分析與解：因為這個數(shù)太大，全部寫出來很麻煩，在使用棄九法時不能逐個劃掉和為9或9的倍數(shù)的數(shù)，所以要配合適當?shù)姆治?。我們已?jīng)熟知

1＋2＋3＋?＋9＝45，而45是9的倍數(shù)，所以每一組1，2，3，?，9都可以劃掉。在1～99這九十九個數(shù)中，個位數(shù)有十組1，2，3，?，9，都可劃掉；十位數(shù)也有十組1，2，3，?，9，也都劃掉。這樣在這個大數(shù)中，除了0以外，只剩下最后的100中的數(shù)字1。所以這個數(shù)除以9余1。

在上面的解法中，并沒有計算出這個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字和，而是利用棄九法分析求解。本題還有其它簡捷的解法。因為一個數(shù)與它的各個數(shù)位上的數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同，所以題中這個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和，與1＋2＋?＋100除以9的余數(shù)相同。

利用高斯求和法，知此和是5050。因為5050的數(shù)字和為5＋0＋5＋0=10，利用棄九法，棄去一個9余1，故5050除以9余1。因此題中的數(shù)除以9余1。

例3 檢驗下面的加法算式是否正確：

2638457＋3521983＋6745785＝12907225。

分析與解：若干個加數(shù)的九余數(shù)相加，所得和的九余數(shù)應當?shù)扔谶@些加數(shù)的和的九余數(shù)。如果不等，那么這個加法算式肯定不正確。上式中，三個加數(shù)的九余數(shù)依次為8，4，6，8+4+6的九余數(shù)為0；和的九余數(shù)為1。因為0≠1，所以這個算式不正確。例4 檢驗下面的減法算式是否正確：

7832145-2167953＝5664192。

分析與解：被減數(shù)的九余數(shù)減去減數(shù)的九余數(shù)（若不夠減，可在被減數(shù)的九余數(shù)上加9，然后再減）應當?shù)扔诓畹木庞鄶?shù)。如果不等，那么這個減綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程法計算肯定不正確。上式中被減數(shù)的九余數(shù)是3，減數(shù)的九余數(shù)是6，由（9+3）-6＝6知，原題等號左邊的九余數(shù)是6。等號右邊的九余數(shù)也是6。因為6＝6，所以這個減法運算可能正確。

值得注意的是，這里我們用的是“可能正確”。利用棄九法檢驗加法、減法、乘法（見例5）運算的結(jié)果是否正確時，如果等號兩邊的九余數(shù)不相等，那么這個算式肯定不正確；如果等號兩邊的九余數(shù)相等，那么還不能確定算式是否正確，因為九余數(shù)只有0，1，2，?，8九種情況，不同的數(shù)可能有相同的九余數(shù)。所以用棄九法檢驗運算的正確性，只是一種粗略的檢驗。

例5 檢驗下面的乘法算式是否正確：

46876×9537＝447156412。

分析與解：兩個因數(shù)的九余數(shù)相乘，所得的數(shù)的九余數(shù)應當?shù)扔趦蓚€因數(shù)的乘積的九余數(shù)。如果不等，那么這個乘法計算肯定不正確。上式中，被乘數(shù)的九余數(shù)是4，乘數(shù)的九余數(shù)是6，4×6＝24，24的九余數(shù)是6。乘積的九余數(shù)是7。6≠7，所以這個算式不正確。

說明：因為除法是乘法的逆運算，被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)，所以當余數(shù)為零時，利用棄九法驗算除法可化為用棄九法去驗算乘法。例如，檢驗383801÷253=1517的正確性，只需檢驗1517×253=383801的正確性。練習5

1．求下列各數(shù)除以9的余數(shù)：

（1）7468251；（2）36298745；

（3）2657348；（4）6678254193。

2．求下列各式除以9的余數(shù)：

（1）67235＋82564；（2）97256-47823； 綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程

（3）2783×6451；（4）3477+265×841。

3．用棄九法檢驗下列各題計算的正確性：

（1）228×222＝50616；

（2）334×336＝112224；

（3）23372428÷6236＝3748；

（4）12345÷6789＝83810105。

4．有一個2000位的數(shù)A能被9整除，數(shù)A的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是B，數(shù)B的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是C，數(shù)C的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是D。求D。

第6講 數(shù)的整除性

（二）這一講主要講能被11整除的數(shù)的特征。

一個數(shù)從右邊數(shù)起，第1，3，5，?位稱為奇數(shù)位，第2，4，6，?位稱為偶數(shù)位。也就是說，個位、百位、萬位??是奇數(shù)位，十位、千位、十萬位??是偶數(shù)位。例如9位數(shù)768325419中，奇數(shù)位與偶數(shù)位如下圖所示：

能被11整除的數(shù)的特征：一個數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大數(shù)減小數(shù)）如果能被11整除，那么這個數(shù)就能被11整除。例1 判斷七位數(shù)1839673能否被11整除。

分析與解：奇數(shù)位上的數(shù)字之和為1＋3＋6＋3=13，偶數(shù)位上的數(shù)字之和為8＋9＋7=24，因為24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。

根據(jù)能被11整除的數(shù)的特征，也能求出一個數(shù)除以11的余數(shù)。綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程

一個數(shù)除以11的余數(shù)，與它的奇數(shù)位上的數(shù)字之和減去偶數(shù)位上的數(shù)字之和所得的差除以11的余數(shù)相同。如果奇數(shù)位上的數(shù)字之和小于偶數(shù)位上的數(shù)字之和，那么應在奇數(shù)位上的數(shù)字之和上再增加11的整數(shù)倍，使其大于偶數(shù)位上的數(shù)字之和。例2 求下列各數(shù)除以11的余數(shù)：

（1）41873；（2）296738185。

分析與解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11

=7÷11＝0??7，所以41873除以11的余數(shù)是7。

（2）奇數(shù)位之和為2＋6＋3＋1＋5=17，偶數(shù)位之和為9＋7＋8＋8＝32。因為17＜32，所以應給17增加11的整數(shù)倍，使其大于32。

（17+11×2）-32＝7，所以296738185除以11的余數(shù)是7。

需要說明的是，當奇數(shù)位數(shù)字之和遠遠小于偶數(shù)位數(shù)字之和時，為了計算方便，也可以用偶數(shù)位數(shù)字之和減去奇數(shù)位數(shù)字之和，再除以11，所得余數(shù)與11的差即為所求。如上題（2）中，（32-17）÷11＝1??4，所求余數(shù)是11-4=7。例3 求除以11的余數(shù)。

分析與解：奇數(shù)位是101個1，偶數(shù)位是100個9。

（9×100-1×101）÷11

=799÷11=72??7，11-7=4，所求余數(shù)是4。綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程

例3還有其它簡捷解法，例如每個“19”奇偶數(shù)位上的數(shù)字相差9-1＝8，奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)字和相差8×99=8×9×11，能被11整除。所以例3相當于求最后三位數(shù)191除以11的余數(shù)。例4 用3，3，7，7四個數(shù)碼能排出哪些能被11整除的四位數(shù)？ 解：只要奇數(shù)位和偶數(shù)位上各有一個3和一個7即可。有3377，3773，7337，7733。

例5 用1～9九個數(shù)碼組成能被11整除的沒有重復數(shù)字的最大九位數(shù)。分析與解：最大的沒有重復數(shù)字的九位數(shù)是987654321，由

（9＋7＋5＋3＋1）-（8＋6＋4＋2）＝5

知，987654321不能被11整除。為了保證這個數(shù)盡可能大，我們盡量調(diào)整低位數(shù)字，只要使奇數(shù)位的數(shù)字和增加3（偶數(shù)位的數(shù)字和自然就減少3），奇數(shù)位的數(shù)字之和與偶數(shù)位的數(shù)字之和的差就變?yōu)?＋3×2=11，這個數(shù)就能被11整除。調(diào)整“4321”，只要4調(diào)到奇數(shù)位，1調(diào)到偶數(shù)位，奇數(shù)位就比原來增大3，就可達到目的。此時，4，3在奇數(shù)位，2，1在偶數(shù)位，后四位最大是2413。所求數(shù)為987652413。例6 六位數(shù)能被99整除，求A和B。

分析與解：由99=9×11，且9與11互質(zhì)，所以六位數(shù)既能被9整除又能被11整除。因為六位數(shù)能被9整除，所以

A+2+8+7+5+B

＝22+A+B

應能被9整除，由此推知A＋B＝5或14。又因為六位數(shù)能被11整除，所以

（A＋8＋5）－（2＋7＋B）綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程

＝A-B＋4

應能被11整除，即

A-B+4=0或A-B+4=11。

化簡得B-A＝4或A-B＝7。

因為A+B與A-B同奇同偶，所以有

在（1）中，A≤5與A≥7不能同時滿足，所以無解。

在（2）中，上、下兩式相加，得

（B＋A）＋（B-A）＝14＋4，2B＝18，B=9。

將B=9代入A＋B=14，得A＝5。

所以，A=5，B＝9。

練習6

1．為使五位數(shù)6□295能被11整除，□內(nèi)應當填幾？

2．用1，2，3，4四個數(shù)碼能排出哪些能被11整除的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)？

3．求能被11整除的最大的沒有重復數(shù)字的五位數(shù)。

4．求下列各數(shù)除以11的余數(shù)：

（1）2485；（2）63582；（3）987654321。

5．求

6．六位數(shù)除以11的余數(shù)。

5A634B能被33整除，求A+B。綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程

7．七位數(shù)3A8629B是88的倍數(shù)，求A和B。

第7講 找規(guī)律

（一）我們在三年級已經(jīng)見過“找規(guī)律”這個題目，學習了如何發(fā)現(xiàn)圖形、數(shù)表和數(shù)列的變化規(guī)律。這一講重點學習具有“周期性”變化規(guī)律的問題。什么是周期性變化規(guī)律呢？比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛開的春季過后就是夏天，赤日炎炎的夏季過后就是秋天，果實累累的秋季過后就是冬天，白雪皚皚的冬季過后又到了春天。年復一年，總是按照春、夏、秋、冬四季變化，這就是周期性變化規(guī)律。再比如，數(shù)列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，?是按照0，1，2三個數(shù)重復出現(xiàn)的，這也是周期性變化問題。

下面，我們通過一些例題作進一步講解。

例1 節(jié)日的夜景真漂亮，街上的彩燈按照5盞紅燈、再接4盞藍燈、再接3盞黃燈，然后又是5盞紅燈、4盞藍燈、3盞黃燈、??這樣排下去。問：

（1）第100盞燈是什么顏色？

（2）前150盞彩燈中有多少盞藍燈？

分析與解：這是一個周期變化問題。彩燈按照5紅、4藍、3黃，每12盞燈一個周期循環(huán)出現(xiàn)。

（1）100÷12＝8??4，所以第100盞燈是第9個周期的第4盞燈，是紅燈。

（2）150÷12=12??6，前150盞燈共有12個周期零6盞燈，12個周期中有藍燈4×12＝48（盞），最后的6盞燈中有1盞藍燈，所以共有藍燈48＋1=49（盞）。綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程例2 有一串數(shù)，任何相鄰的四個數(shù)之和都等于25。已知第1個數(shù)是3，第6個數(shù)是6，第11個數(shù)是7。問：這串數(shù)中第24個數(shù)是幾？前77個數(shù)的和是多少？

分析與解：因為第1，2，3，4個數(shù)的和等于第2，3，4，5個數(shù)的和，所以第1個數(shù)與第5個數(shù)相同。進一步可推知，第1，5，9，13，?個數(shù)都相同。

同理，第2，6，10，14，?個數(shù)都相同，第3，7，11，15，?個數(shù)都相同，第4，8，12，16?個數(shù)都相同。

也就是說，這串數(shù)是按照每四個數(shù)為一個周期循環(huán)出現(xiàn)的。所以，第2個數(shù)等于第6個數(shù)，是6；第3個數(shù)等于第11個數(shù)，是7。前三個數(shù)依次是3，6，7，第四個數(shù)是

25-（3+6+7）=9。

這串數(shù)按照3，6，7，9的順序循環(huán)出現(xiàn)。第24個數(shù)與第4個數(shù)相同，是9。由77÷4＝9??1知，前77個數(shù)是19個周期零1個數(shù)，其和為25×19+3=478。

例3 下面這串數(shù)的規(guī)律是：從第3個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)之和的個位數(shù)。問：這串數(shù)中第88個數(shù)是幾？

628088640448?

分析與解：這串數(shù)看起來沒有什么規(guī)律，但是如果其中有兩個相鄰數(shù)字與前面的某兩個相鄰數(shù)字相同，那么根據(jù)這串數(shù)的構(gòu)成規(guī)律，這兩個相鄰數(shù)字后面的數(shù)字必然與前面那兩個相鄰數(shù)字后面的數(shù)字相同，也就是說將出現(xiàn)周期性變化。我們試著將這串數(shù)再多寫出幾位：

綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程

當寫出第21，22位（豎線右面的兩位）時就會發(fā)現(xiàn)，它們與第1，2位數(shù)相同，所以這串數(shù)按每20個數(shù)一個周期循環(huán)出現(xiàn)。由88÷20=4??8知，第88個數(shù)與第8個數(shù)相同，所以第88個數(shù)是4。

從例3看出，周期性規(guī)律有時并不明顯，要找到它還真得動點腦筋。例4 在下面的一串數(shù)中，從第五個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面四個數(shù)之和的個位數(shù)字。那么在這串數(shù)中，能否出現(xiàn)相鄰的四個數(shù)是“2000”？

***7134?

分析與解：無休止地將這串數(shù)寫下去，顯然不是聰明的做法。按照例3的方法找到一周期，因為這個周期很長，所以也不是好方法。那么怎么辦呢？仔細觀察會發(fā)現(xiàn)，這串數(shù)的前四個數(shù)都是奇數(shù)，按照“每個數(shù)都是它前面四個數(shù)之和的個位數(shù)字”，如果不看具體數(shù)，只看數(shù)的奇偶性，那么將這串數(shù)依次寫出來，得到

奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇??

可以看出，這串數(shù)是按照四個奇數(shù)一個偶數(shù)的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)的，永遠不會出現(xiàn)四個偶數(shù)連在一起的情況，即不會出現(xiàn)“2000”。

例5 A，B，C，D四個盒子中依次放有8，6，3，1個球。第1個小朋友找到放球最少的盒子，然后從其它盒子中各取一個球放入這個盒子；第2個小朋友也找到放球最少的盒子，然后也從其它盒子中各取一個球放入這個盒子??當100位小朋友放完后，A，B，C，D四個盒子中各放有幾個球？ 分析與解：按照題意，前六位小朋友放過后，A，B，C，D四個盒子中的球數(shù)如下表： 綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程

可以看出，第6人放過后與第2人放過后四個盒子中球的情況相同，所以從第2人放過后，每經(jīng)過4人，四個盒子中球的情況重復出現(xiàn)一次。

（100-1）÷4＝24??3，所以第100次后的情況與第4次（3＋1＝4）后的情況相同，A，B，C，D盒中依次有4，6，3，5個球。

練習7

1．有一串很長的珠子，它是按照5顆紅珠、3顆白珠、4顆黃珠、2顆綠珠的順序重復排列的。問：第100顆珠子是什么顏色？前200顆珠子中有多少顆紅珠？

2．將1，2，3，4，?除以3的余數(shù)依次排列起來，得到一個數(shù)列。求這個數(shù)列前100個數(shù)的和。

3．有一串數(shù)，前兩個數(shù)是9和7，從第三個數(shù)起，每個數(shù)是它前面兩個數(shù)乘積的個位數(shù)。這串數(shù)中第100個數(shù)是幾？前100個數(shù)之和是多少？

4．有一列數(shù)，第一個數(shù)是6，以后每一個數(shù)都是它前面一個數(shù)與7的和的個位數(shù)。這列數(shù)中第88個數(shù)是幾？

5．小明按1～3報數(shù)，小紅按1～4報數(shù)。兩人以同樣的速度同時開始報數(shù)，當兩人都報了100個數(shù)時，有多少次兩人報的數(shù)相同？

6．A，B，C，D四個盒子中依次放有9，6，3，0個小球。第1個小朋友找到放球最多的盒子，從中拿出3個球放到其它盒子中各1個球；第2綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程個小朋友也找到放球最多的盒子，也從中拿出3個球放到其它盒子中各1個球??當100個小朋友放完后，A，B，C，D四個盒子中各放有幾個球？

第8講 找規(guī)律

（二）整數(shù)a與它本身的乘積，即a×a叫做這個數(shù)的平方，記作a2，即a2＝a×a；同樣，三個a的乘積叫做a的三次方，記作a3，即a3＝a×a×a。一般地，n個a相乘，叫做a的n次方，記作an，即

本講主要講an的個位數(shù)的變化規(guī)律，以及an除以某數(shù)所得余數(shù)的變化規(guī)律。

因為積的個位數(shù)只與被乘數(shù)的個位數(shù)和乘數(shù)的個位數(shù)有關(guān)，所以an的個位數(shù)只與a的個位數(shù)有關(guān)，而a的個位數(shù)只有0，1，2，?，9共十種情況，故我們只需討論這十種情況。

為了找出一個整數(shù)a自乘n次后，乘積的個位數(shù)字的變化規(guī)律，我們列出下頁的表格，看看a，a2，a3，a4，?的個位數(shù)字各是什么。

從表看出，an的個位數(shù)字的變化規(guī)律可分為三類：

（1）當a的個位數(shù)是0，1，5，6時，an的個位數(shù)仍然是0，1，5，6。

（2）當a的個位數(shù)是4，9時，隨著n的增大，an的個位數(shù)按每兩個數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。其中a的個位數(shù)是4時，按4，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個位數(shù)是9時，按9，1的順序循環(huán)出現(xiàn)。

（3）當a的個位數(shù)是2，3，7，8時，隨著n的增大，an的個位數(shù)按每四個數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。其中a的個位數(shù)是2時，按2，4，8，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個位數(shù)是3時，按3，9，7，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當a的綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程個位數(shù)是7時，按7，9，3，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當a的個位數(shù)是8時，按8，4，2，6的順序循環(huán)出現(xiàn)。

例1 求67999的個位數(shù)字。

分析與解：因為67的個位數(shù)是7，所以67n的個位數(shù)隨著n的增大，按7，9，3，1四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)。

999÷4＝249??3，所以67999的個位數(shù)字與73的個位數(shù)字相同，即67999的個位數(shù)字是3。例2 求291+3291的個位數(shù)字。

分析與解：因為2n的個位數(shù)字按2，4，8，6四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，91÷4＝22??3，所以，291的個位數(shù)字與23的個位數(shù)字相同，等于8。

類似地，3n的個位數(shù)字按3，9，7，1四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，291÷4＝72??3，所以3291與33的個位數(shù)相同，等于7。

最后得到291+3291的個位數(shù)字與8+7的個位數(shù)字相同，等于5。例3 求28128-2929的個位數(shù)字。

解：由128÷4＝32知，28128的個位數(shù)與84的個位數(shù)相同，等于6。由29÷2＝14??1知，2929的個位數(shù)與91的個位數(shù)相同，等于9。因為6＜9，在減法中需向十位借位，所以所求個位數(shù)字為16－9＝7。綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程例4 求下列各除法運算所得的余數(shù)：

（1）7855÷5；

（2）555÷3。

分析與解：（1）由55÷4＝13??3知，7855的個位數(shù)與83的個位數(shù)相同，等于2，所以7855可分解為10×a＋2。因為10×a能被5整除，所以7855除以5的余數(shù)是2。

（2）因為a÷3的余數(shù)不僅僅與a的個位數(shù)有關(guān)，所以不能用求555的個位數(shù)的方法求解。為了尋找5n÷3的余數(shù)的規(guī)律，先將5的各次方除以3的余數(shù)列表如下：

注意：表中除以3的余數(shù)并不需要計算出5n，然后再除以3去求，而是用上次的余數(shù)乘以5后，再除以3去求。比如，52除以3的余數(shù)是1，53除以3的余數(shù)與1×5=5除以3的余數(shù)相同。這是因為52＝3×8+1，其中3×8能被3整除，而

53=（3×8+1）×5=（3×8）×5+1×5，（3×8）×5能被3整除，所以53除以3的余數(shù)與1×5除以3的余數(shù)相同。

由上表看出，5n除以3的余數(shù)，隨著n的增大，按2，1的順序循環(huán)出現(xiàn)。由55÷2=27??1知，555÷3的余數(shù)與51÷3的余數(shù)相同，等于2。例5 某種細菌每小時分裂一次，每次1個細茵分裂成3個細菌。20時后，將這些細菌每7個分為一組，還剩下幾個細菌？

分析與解：1時后有1×3=31（個）細菌，2時后有31×3=32（個）細菌??20時后，有320個細菌，所以本題相當于“求320÷7的余數(shù)”。綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程

由例4（2）的方法，將3的各次方除以7的余數(shù)列表如下：

由上表看出，3n÷7的余數(shù)以六個數(shù)為周期循環(huán)出現(xiàn)。由20÷6＝3??2知，320÷7的余數(shù)與32÷7的余數(shù)相同，等于2。所以最后還剩2個細菌。

最后再說明一點，an÷b所得余數(shù)，隨著n的增大，必然會出現(xiàn)周期性變化規(guī)律，因為所得余數(shù)必然小于b，所以在b個數(shù)以內(nèi)必會重復出現(xiàn)。

練習8

1．求下列各數(shù)的個位數(shù)字：

（1）3838；（2）2930；

（3）6431；（4）17215。2．求下列各式運算結(jié)果的個位數(shù)字：（1）9222＋5731；（2）615+487+349；（3）469-6211；（4）37×48+59×610。3．求下列各除法算式所得的余數(shù)：（1）5100÷4；（2）8111÷6；（3）488÷7 第9講 數(shù)字謎

（一）我們在三年級已經(jīng)學習過一些簡單的數(shù)字謎問題。這兩講除了復習鞏固學過的知識外，還要學習一些新的內(nèi)容。

例1 在下面算式等號左邊合適的地方添上括號，使等式成立：

5+7×8+12÷4-2＝20。

分析：等式右邊是20，而等式左邊算式中的7×8所得的積比20大得多。因此必須設(shè)法使這個積縮小一定的倍數(shù)，化大為小。

從整個算式來看，7×8是4的倍數(shù)，12也是4的倍數(shù)，5不能被4整除，因此可在7×8+12前后添上小括號，再除以4得17，5＋17-2=20。綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程解：5+（7×8+12）÷4-2=20。

例2 把1～9這九個數(shù)字填到下面的九個□里，組成三個等式（每個數(shù)字只能填一次）：

分析與解：如果從加法與減法兩個算式入手，那么會出現(xiàn)許多種情形。如果從乘法算式入手，那么只有下面兩種可能：

2×3＝6或2×4＝8，所以應當從乘法算式入手。

因為在加法算式□+□=□中，等號兩邊的數(shù)相等，所以加法算式中的三個□內(nèi)的三個數(shù)的和是偶數(shù)；而減法算式□-□=可以變形為加法算式□=□+□，所以減法算式中的三個□內(nèi)的三個數(shù)的和也是偶數(shù)。于是可知，原題加減法算式中的六個數(shù)的和應該是偶數(shù)。

若乘法算式是2×4＝8，則剩下的六個數(shù)1，3，5，6，7，9的和是奇數(shù)，不合題意；

若乘法算式是2×3＝6，則剩下的六個數(shù)1，4，5，7，8，9可分為兩組：

4＋5＝9，8-7＝1（或8-1＝7）；

1＋7＝8，9－5＝4（或9－4＝5）。

所以答案為 與

綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程例3 下面的算式是由1～9九個數(shù)字組成的，其中“7”已填好，請將其余各數(shù)填入□，使得等式成立：

□□□÷□□=□-□=□-7。

分析與解：因為左端除法式子的商必大于等于2，所以右端被減數(shù)只能填9，由此知左端被除數(shù)的百位數(shù)只能填1，故中間減式有8-6，6-4，5-3和4-2四種可能。經(jīng)逐一驗證，8-6，6-4和4-2均無解，只有當中間減式為5-3時有如下兩組解：

128÷64=5-3=9-7，或 164÷82＝5-3＝9-7。

例4 將1～9九個數(shù)字分別填入下面四個算式的九個□中，使得四個等式都成立：

□+□=6，□×□=8，□-□=6，□□÷□=8。

分析與解：因為每個□中要填不同的數(shù)字，對于加式只有兩種填法：1＋5或2＋4；對于乘式也只有兩種填法：1×8或2×4。加式與乘式的數(shù)字不能相同，搭配后只有兩種可能：（1）加式為1＋5，乘式為2×4；（2）加式為2+4，乘式為1×8。

對于（1），還剩3，6，7，8，9五個數(shù)字未填，減式只能是9-3，此時除式無法滿足；

對于（2），還剩3，5，6，7，9五個數(shù)字未填，減式只能是9-3，此時除式可填56÷7。答案如下：

2＋4＝6，1×8＝8，9－3＝6，56÷7＝8。綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程

例2～例4都是對題目經(jīng)過初步分析后，將滿足題目條件的所有可能情況全部列舉出來，再逐一試算，決定取舍。這種方法叫做枚舉法，也叫窮舉法或列舉法，它適用于只有幾種可能情況的題目，如果可能的情況很多，那么就不宜用枚舉法。

例5 從1～9這九個自然數(shù)中選出八個填入下式的八個○內(nèi)，使得算式的結(jié)果盡可能大：

[○÷○×（○+○）]-[○×○+○-○]。

分析與解：為使算式的結(jié)果盡可能大，應當使前一個中括號內(nèi)的結(jié)果盡量大，后一個中括號內(nèi)的結(jié)果盡量小。為敘述方便，將原式改寫為：

[A÷B×（C＋D）]-[E×F＋G－H]。

通過分析，A，C，D，H應盡可能大，且A應最大，C，D次之，H再次之；B，E，F(xiàn)，G應盡可能小，且B應最小，E，F(xiàn)次之，G再次之。于是得到A=9，C=8，D=7，H=6，B=1，E=2，F(xiàn)=3，G=4，其中C與D，E與F的值可互換。將它們代入算式，得到

[9÷1×（8＋7）]－[2×3＋4－6]=131。

練習9

1．在下面的算式里填上括號，使等式成立：

（1）4×6+24÷6-5=15；

（2）4×6+24÷6-5=35；

（3）4×6+24÷6-5=48；

（4）4×6+24÷6-5＝0。

2．加上適當?shù)倪\算符號和括號，使下式成立：

＝100。綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程

3．把0～9這十個數(shù)字填到下面的□里，組成三個等式（每個數(shù)字只能填一次）：

□+□=□，□-□=□，□×□=□□。

4．在下面的□里填上+，-，×，÷，（）等符號，使各個等式成立：

4□4□4□4＝1，4□4□4□4＝3，4□4□4□4＝5，4□4□4□4＝9。

5．將2～7這六個數(shù)字分別填入下式的□中，使得等式成立：

□+□-□=□×□÷□。

6．將1～9分別填入下式的九個□內(nèi)，使算式取得最大值：

□□□×□□□×□□□。

7．將1～8分別填入下式的八個□內(nèi)，使算式取得最小值： □□×□□×□□×□□。

第10講 數(shù)字謎

（二）例1 把下面算式中缺少的數(shù)字補上：

分析與解：一個四位數(shù)減去一個三位數(shù)，差是一個兩位數(shù)，也就是說被減數(shù)與減數(shù)相差不到100。四位數(shù)與三位數(shù)相差不到100，三位數(shù)必然大于900，四位數(shù)必然小于1100。由此我們找出解決本題的突破口在百位數(shù)上。綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程

（1）填百位與千位。由于被減數(shù)是四位數(shù)，減數(shù)是三位數(shù)，差是兩位數(shù)，所以減數(shù)的百位應填9，被減數(shù)的千位應填1，百位應填0，且十位相減時必須向百位借1。

（2）填個位。由于被減數(shù)個位數(shù)字是0，差的個位數(shù)字是1，所以減數(shù)的個位數(shù)字是9。

（3）填十位。由于個位向十位借1，十位又向百位借1，所以被減數(shù)十位上的實際數(shù)值是18，18分解成兩個一位數(shù)的和，只能是9與9，因此，減數(shù)與差的十位數(shù)字都是9。

所求算式如右式。

由例1看出，考慮減法算式時，借位是一個重要條件。

例2 在下列各加法算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，求出這兩個算式：

分析與解：（1）這是一道四個數(shù)連加的算式，其特點是相同數(shù)位上的數(shù)字相同，且個位與百位上的數(shù)字相同，即都是漢字“學”。

從個位相同數(shù)相加的情況來看，和的個位數(shù)字是8，有兩種可能情況：2＋2＋2＋2＝8與7＋7＋7＋7＝28，即“學”＝2或7。

如果“學”＝2，那么要使三個“數(shù)”所代表的數(shù)字相加的和的個位數(shù)字為8，“數(shù)”只能代表數(shù)字6。此時，百位上的和為“學”＋“學”＋1＝2＋2＋1＝5≠4。因此“學”≠2。綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程

如果“學”＝7，那么要使三個“數(shù)”所代表的數(shù)字相加再加上個位進位的2，和的個位數(shù)字為8，“數(shù)”只能代表數(shù)字2。百位上兩個7相加要向千位進位1，由此可得“我”代表數(shù)字3。

滿足條件的解如右式。

（2）由千位看出，“努”=4。由千、百、十、個位上都有“努”，5432-4444=988，可將豎式簡化為左下式。同理，由左下式看出，“力”=8，988-888=100，可將左下式簡化為下中式，從而求出“學”=9，“習”=1。

滿足條件的算式如右下式。

例2中的兩題形式類似，但題目特點并不相同，解法也不同，請同學們注意比較。

例3 下面豎式中每個漢字代表一個數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，求被乘數(shù)。

分析與解：由于個位上的“賽”ד賽”所得的積不再是“賽”，而是另一個數(shù)，所以“賽”的取值只能是2，3，4，7，8，9。

下面采用逐一試驗的方法求解。

（1）若“賽”＝2，則“數(shù)”＝4，積=444444。被乘數(shù)為444444÷2＝222222，而被乘數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字各不相同，所以“賽”≠2。綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程

（2）若“賽”＝3，則“數(shù)”=9，仿（1）討論，也不行。

（3）若“賽”＝4，則“數(shù)”＝6，積=666666。666666÷4得不到整數(shù)商，不合題意。

（4）若“賽”＝7，則“數(shù)”＝9，積=999999。被乘數(shù)為999999÷7＝142857，符合題意。

（5）若“賽”＝8或9，仿上討論可知，不合題意。

所以，被乘數(shù)是142857。

例4 在□內(nèi)填入適當?shù)臄?shù)字，使左下式的乘法豎式成立。

分析與解：為清楚起見，我們用A，B，C，D，?表示□內(nèi)應填入的數(shù)字（見右上式）。

由被乘數(shù)大于500知，E=1。由于乘數(shù)的百位數(shù)與被乘數(shù)的乘積的末位數(shù)是5，故B，C中必有一個是5。若C＝5，則有

6□□×5=（600+□□）×5=3000+□□×5，不可能等于□5□5，與題意不符，所以B=5。再由B=5推知G=0或5。若G=5，則F=A=9，此時被乘數(shù)為695，無論C為何值，它與695的積不可能等于□5□5，與題意不符，所以G=0，F(xiàn)=A=4。此時已求出被乘數(shù)是645，經(jīng)試驗只有645×7滿足□5□5，所以C=7；最后由B=5，G=0知D為偶數(shù)，經(jīng)試驗知D=2。

右式為所求豎式。綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程

此類乘法豎式題應根據(jù)已給出的數(shù)字、乘法及加法的進位情況，先填比較容易的未知數(shù)，再依次填其余未知數(shù)。有時某未知數(shù)有幾種可能取值，需逐一試驗決定取舍。

例5 在□內(nèi)填入適當數(shù)字，使左下方的除法豎式成立。

分析與解：把左上式改寫成右上式。根據(jù)除法豎式的特點知，B=0，D=G=1，E=F=H=9，因此除數(shù)應是99的兩位數(shù)的約數(shù)，可能取值有11，33和99，再由商的個位數(shù)是5以及5與除數(shù)的積是兩位數(shù)得到除數(shù)是11，進而知A＝C-9。至此，除數(shù)與商都已求出，其余未知數(shù)都可填出（見右式）。

此類除法豎式應根據(jù)除法豎式的特點，如商的空位補0、余數(shù)必須小于除數(shù)，以及空格間的相互關(guān)系等求解，只要求出除數(shù)和商，問題就迎刃而解了。

例6 把左下方除法算式中的*號換成數(shù)字，使之成為一個完整的式子（各*所表示的數(shù)字不一定相同）。綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程

分析與解：由上面的除法算式容易看出，商的十位數(shù)字“*”是0，即商為。

因為除數(shù)與8的積是兩位數(shù)，除數(shù)與商的千位數(shù)字的積是三位數(shù)，知商的千位數(shù)是9，即商為9807。

因為“除數(shù)×9”是三位數(shù)，所以除數(shù)≥12；又因為“除數(shù)×8”是兩位數(shù)，所以除數(shù)≤12。推知除數(shù)只能是12。被除數(shù)為9807×12＝117684。

除法算式如上頁右式。練習10

1．在下面各豎式的□內(nèi)填入合適的數(shù)字，使豎式成立：

2．右面的加法算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字。問：“小”代表什么數(shù)字？

3．在下列各算式中，不同的漢字代表不同的數(shù)字相同的漢字代表相同的數(shù)字。求出下列各式： 綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程

4．在下列各算式中，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字。這些算式中各字母分別代表什么數(shù)字？

第11講 歸一問題與歸總問題

在解答某些應用題時，常常需要先找出“單一量”，然后以這個“單一量”為標準，根據(jù)其它條件求出結(jié)果。用這種解題思路解答的應用題，稱為歸一問題。所謂“單一量”是指單位時間的工作量、物品的單價、單位面積的產(chǎn)量、單位時間所走的路程等。

例1 一種鋼軌，4根共重1900千克，現(xiàn)在有95000千克鋼，可以制造這種鋼軌多少根？（損耗忽略不計）

分析：以一根鋼軌的重量為單一量。

（1）一根鋼軌重多少千克？

1900÷4＝475（千克）。

（2）95000千克能制造多少根鋼軌？

95000÷475＝200（根）。

解：95000÷（1900÷4）＝200（根）。

答：可以制造200根鋼軌。綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程例2 王家養(yǎng)了5頭奶牛，7天產(chǎn)牛奶630千克，照這樣計算，8頭奶牛15天可產(chǎn)牛奶多少千克？

分析：以1頭奶牛1天產(chǎn)的牛奶為單一量。

（1）1頭奶牛1天產(chǎn)奶多少千克？

630÷5÷7＝18（千克）。

（2）8頭奶牛15天可產(chǎn)牛奶多少千克？

18×8×15＝2160（千克）。

解：（630÷5÷7）×8×15=2160（千克）。

答：可產(chǎn)牛奶2160千克。

例3 三臺同樣的磨面機2.5時可以磨面粉2400千克，8臺這樣的磨面機磨25600千克面粉需要多少時間？

分析與解：以1臺磨面機1時磨的面粉為單一量。

（1）1臺磨面機1時磨面粉多少千克？

2400÷3÷2.5=320（千克）。

（2）8臺磨面機磨25600千克面粉需要多少小時？

25600÷320÷8=10（時）。

綜合列式為

25600÷（2400÷3÷2.5）÷8=10（時）。

例4 4輛大卡車運沙土，7趟共運走沙土336噸?，F(xiàn)在有沙土420噸，要求5趟運完。問：需要增加同樣的卡車多少輛？ 分析與解：以1輛卡車1趟運的沙土為單一量。

（1）1輛卡車1趟運沙土多少噸？

336÷4÷7=12（噸）。

（2）5趟運走420噸沙土需卡車多少輛？ 綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程

420÷12÷5＝7（輛）。

（3）需要增加多少輛卡車？

7-4＝3（輛）。

綜合列式為

420÷（336÷4÷7）÷5-4＝3（輛）。

與歸一問題類似的是歸總問題，歸一問題是找出“單一量”，而歸總問題是找出“總量”，再根據(jù)其它條件求出結(jié)果。所謂“總量”是指總路程、總產(chǎn)量、工作總量、物品的總價等。

例5 一項工程，8個人工作15時可以完成，如果12個人工作，那么多少小時可以完成？

分析：（1）工程總量相當于1個人工作多少小時？

15×8＝120（時）。

（2）12個人完成這項工程需要多少小時？

120÷12＝10（時）。解：15×8÷12＝10（時）。

答：12人需10時完成。

例6 一輛汽車從甲地開往乙地，每小時行60千米，5時到達。若要4時到達，則每小時需要多行多少千米？

分析：從甲地到乙地的路程是一定的，以路程為總量。

（1）從甲地到乙地的路程是多少千米？

60×5=300（千米）。

（2）4時到達，每小時需要行多少千米？

300÷4＝75（千米）。

（3）每小時多行多少千米？ 綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程

75－60＝15（千米）。

解：（60×5）÷4——60＝15（千米）。

答：每小時需要多行15千米。

例7 修一條公路，原計劃60人工作，80天完成?，F(xiàn)在工作20天后，又增加了30人，這樣剩下的部分再用多少天可以完成？

分析：（1）修這條公路共需要多少個勞動日（總量）？

60×80＝4800（勞動日）。

（2）60人工作20天后，還剩下多少勞動日？

4800-60×20=3600（勞動日）。

（3）剩下的工程增加30人后還需多少天完成？

3600÷（60＋30）=40（天）。

解：（60×80-60×20）÷（60＋30）＝40（天）。

答：再用40天可以完成。

練習11

1．2臺拖拉機4時耕地20公頃，照這樣速度，5臺拖拉機6時可耕地多少公頃？

2．4臺織布機5時可以織布2600米，24臺織布機幾小時才能織布24960米？

3．一種幻燈機，5秒鐘可以放映80張片子。問：48秒鐘可以放映多少張片子？

4．3臺抽水機8時灌溉水田48公頃，照這樣的速度，5臺同樣的抽水機6時可以灌溉水田多小公頃？ 綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程

5．平整一塊土地，原計劃8人平整，每天工作7.5時，6天可以完成任務。由于急需播種，要求5天完成，并且增加1人。問：每天要工作幾小時？

6．食堂管理員去農(nóng)貿(mào)市場買雞蛋，原計劃按每千克3.00元買35千克。結(jié)果雞蛋價格下調(diào)了，他用這筆錢多買了2.5千克雞蛋。問：雞蛋價格下調(diào)后是每千克多少元？

7．鍋爐房按照每天4.5噸的用量儲備了120天的供暖煤。供暖40天后，由于進行了技術(shù)改造，每天能節(jié)約0.9噸煤。問：這些煤共可以供暖多少天？

第12講 年齡問題

年齡問題是一類以“年齡為內(nèi)容”的數(shù)學應用題。

年齡問題的主要特點是：二人年齡的差保持不變，它不隨歲月的流逝而改變；二人的年齡隨著歲月的變化，將增或減同一個自然數(shù)；二人年齡的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長而發(fā)生變化，年齡增大，倍數(shù)變小。

根據(jù)題目的條件，我們常將年齡問題化為“差倍問題”、“和差問題”、“和倍問題”進行求解。

例1 兒子今年10歲，5年前母親的年齡是他的6倍，母親今年多少歲？ 分析與解：兒子今年10歲，5年前的年齡為5歲，那么5年前母親的年齡為5×6＝30（歲），因此母親今年是

30＋5=35（歲）。

例2 今年爸爸48歲，兒子20歲，幾年前爸爸的年齡是兒子的5倍？ 分析與解：今年爸爸與兒子的年齡差為“48——20”歲，因為二人的年齡差不隨時間的變化而改變，所以當爸爸的年齡為兒子的5倍時，兩人的年綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程齡差還是這個數(shù)，這樣就可以用“差倍問題”的解法。當爸爸的年齡是兒子年齡的5倍時，兒子的年齡是

（48——20）÷（5——1）＝7（歲）。

由20－7＝13（歲），推知13年前爸爸的年齡是兒子年齡的5倍。例3 兄弟二人的年齡相差5歲，兄3年后的年齡為弟4年前的3倍。問：兄、弟二人今年各多少歲？

分析與解：根據(jù)題意，作示意圖如下：

由上圖可以看出，兄3年后的年齡比弟4年前的年齡大5＋3＋4＝12（歲），由“差倍問題”解得，弟4年前的年齡為（5＋3＋4）÷（3－1）＝6（歲）。由此得到

弟今年6＋4＝10（歲），兄今年10＋5＝15（歲）。

例4 今年兄弟二人年齡之和為55歲，哥哥某一年的歲數(shù)與弟弟今年的歲數(shù)相同，那一年哥哥的歲數(shù)恰好是弟弟歲數(shù)的2倍，請問哥哥今年多少歲？ 分析與解：在哥哥的歲數(shù)是弟弟的歲數(shù)2倍的那一年，若把弟弟歲數(shù)看成一份，那么哥哥的歲數(shù)比弟弟多一份，哥哥與弟弟的年齡差是1份。又因為那一年哥哥歲數(shù)與今年弟弟歲數(shù)相等，所以今年弟弟歲數(shù)為2份，今年哥哥歲數(shù)為2＋1=3（份）（見下頁圖）。

由“和倍問題”解得，哥哥今年的歲數(shù)為

55÷(3+2)×3=33(歲)。綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程

例5 哥哥5年前的年齡與妹妹4年后的年齡相等，哥哥2年后的年齡與妹妹8年后的年齡和為97歲，請問二人今年各多少歲？

分析與解：由“哥哥5年前的年齡與妹妹4年后的年齡相等”可知兄妹二人的年齡差為“4＋5”歲。由“哥哥2年后的年齡與妹妹8年后的年齡和為97歲”，可知兄妹二人今年的年齡和為“97——2——8”歲。由“和差問題”解得，兄[（97——2——8）＋（4＋5）]÷2＝48（歲），妹[（97——2——8）-（4＋5）]÷2=39（歲）。

例6 1994年父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的4倍。2000年，父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的2倍。問：父親出生在哪一年？

分析與解：如果用1段線表示兄弟二人1994年的年齡和，則父親1994年的年齡要用4段線來表示（見下頁圖）。

父親在2000年的年齡應是4段線再加6歲，而兄弟二人在2000年的年齡之和是1段線再加2×6＝12（歲），它是父親年齡的一半，也就是2段線再加3歲。由

1段＋12歲=2段＋3歲，推知1段是9歲。所以父親1994年的年齡是9×4＝36（歲），他出生于 綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程

1994——36＝1958（年）。

例7今年父親的年齡為兒子的年齡的4倍，20年后父親的年齡為兒子的年齡的2倍。問：父子今年各多少歲？

解法一：假設(shè)父親的年齡一直是兒子年齡的4倍，那么每過一年兒子增加一歲，父親就要增加4歲。這樣，20年后兒子增加20歲，父親就要增加80歲，比兒子多增加了80－20＝60（歲）。

事實上，20年后父親的年齡為兒子的年齡的2倍，根據(jù)剛才的假設(shè)，多增加的60歲，正好相當于20年后兒子年齡的（4——2＝）2倍，因此，今年兒子的年齡為

（20×4－20）÷（4－2）－20＝10（歲），父親今年的年齡為10×4＝40（歲）。

解法二：如果用1段線表示兒子今年的年齡，那么父親今年的年齡要用4段線來表示（見下圖）。

20年后，父親的年齡應是4段線再加上20歲，而兒子的年齡應是1段線再加上20歲，是父親年齡的一半，也就是2段線再加上10歲。由

1段＋20=2段＋10，求得1段是10歲，即兒子今年10歲，從而父親今年40歲。例8 今年爺爺78歲，長孫27歲，次孫23歲，三孫16歲。問：幾年后爺爺?shù)哪挲g等于三個孫子年齡之和？

分析：今年三個孫子的年齡和為27＋23＋16=66（歲），爺爺比三個孫子的年齡和多78——66＝12（歲）。每過一年，爺爺增加一歲，而三個綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程孫子的年齡和卻要增加1＋1＋1＝3（歲），比爺爺多增加3－1＝2（歲）。因而只需求出12里面有幾個2即可。

解：[78－（27＋23＋16）]÷（1＋1＋1－1）＝6（年）。

答：6年后爺爺?shù)哪挲g等于三個孫子年齡的和。

練習12

1．父親比兒子大30歲，明年父親的年齡是兒子年齡的3倍，那么今年兒子幾歲？

2．王梅比舅舅小19歲，舅舅的年齡比王梅年齡的3倍多1歲。問：他們二人各幾歲？

3．小明今年9歲，父親39歲，再過多少年父親的年齡正好是小明年齡的2倍？

4．父親年齡是女兒的4倍，三年前父女年齡之和是49歲。問：父女兩人現(xiàn)在各多少歲？

5．一家三口人，三人年齡之和是74歲，媽媽比爸爸小2歲，媽媽的年齡是兒子年齡的4倍。問：三人各是多少歲？

6．今年老師46歲，學生16歲，幾年后老師年齡的2倍與學生年齡的5倍相等？

7．已知祖孫三人，祖父和父親年齡的差與父親和孫子年齡的差相同，祖父和孫子年齡之和為82歲，明年祖父的年齡恰好等于孫子年齡的5倍。問：祖孫三人各多少歲？

8．小樂問劉老師今年有多少歲，劉老師說：“當我像你這么大時，你才3歲；當你像我這么大時，我已經(jīng)42歲了?！蹦隳芩愠鰟⒗蠋熡卸嗌贇q嗎？

第13講 雞兔同籠問題與假設(shè)法 綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程

雞兔同籠問題是按照題目的內(nèi)容涉及到雞與兔而命名的，它是一類有名的中國古算題。許多小學算術(shù)應用題，都可以轉(zhuǎn)化為雞兔同籠問題來加以計算。

例1 小梅數(shù)她家的雞與兔，數(shù)頭有16個，數(shù)腳有44只。問：小梅家的雞與兔各有多少只？

分析：假設(shè)16只都是雞，那么就應該有2×16＝32（只）腳，但實際上有44只腳，比假設(shè)的情況多了44-32＝12（只）腳，出現(xiàn)這種情況的原因是把兔當作雞了。如果我們以同樣數(shù)量的兔去換同樣數(shù)量的雞，那么每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)增加了2只。因此只要算出12里面有幾個2，就可以求出兔的只數(shù)。

解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有雞16-6＝10（只）。

答：有6只兔，10只雞。

當然，我們也可以假設(shè)16只都是兔子，那么就應該有4×16＝64（只）腳，但實際上有44只腳，比假設(shè)的情況少了64－44＝20（只）腳，這是因為把雞當作兔了。我們以雞去換兔，每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)減少了4-2＝2（只）。因此只要算出20里面有幾個2，就可以求出雞的只數(shù)。

有雞（4×16-44）÷（4-2）=10（只），有兔16——10＝6（只）。

由例1看出，解答雞兔同籠問題通常采用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；也可以先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。因此這類問題也叫置換問題。

例2 100個和尚140個饃，大和尚1人分3個饃，小和尚1人分1個饃。問：大、小和尚各有多少人？ 綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程分析與解：本題由中國古算名題“百僧分饃問題”演變而得。如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同籠問題，可以用假設(shè)法來解。

假設(shè)100人全是大和尚，那么共需饃300個，比實際多300－140＝160（個）。現(xiàn)在以小和尚去換大和尚，每換一個總?cè)藬?shù)不變，而饃就要減少3——1＝2（個），因為160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有

100－80＝20（人）。

同樣，也可以假設(shè)100人都是小和尚，同學們不妨自己試試。

在下面的例題中，我們只給出一種假設(shè)方法。

例3 彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，這兩種文化用品共買了16套，用錢280元。問：兩種文化用品各買了多少套？

分析與解：我們設(shè)想有一只“怪雞”有1個頭11只腳，一種“怪兔”有1個頭19只腳，它們共有16個頭，280只腳。這樣，就將買文化用品問題轉(zhuǎn)換成雞兔同籠問題了。

假設(shè)買了16套彩色文化用品，則共需19×16＝304（元），比實際多304——280＝24（元），現(xiàn)在用普通文化用品去換彩色文化用品，每換一套少用19——11＝8（元），所以

買普通文化用品 24÷8=3（套），買彩色文化用品 16－3＝13（套）。

例4 雞、兔共100只，雞腳比兔腳多20只。問：雞、兔各多少只？

分析：假設(shè)100只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳200只，而兔的腳數(shù)為零。這樣雞腳比兔腳多200只，而實際上只多20只，這說明假設(shè)的雞腳比兔腳多的數(shù)比實際上多200——20=180（只）。綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程

現(xiàn)在以兔換雞，每換一只，雞腳減少2只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數(shù)中就會減少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，雞100——30＝70（只）。

解：有兔（2×100——20）÷（2＋4）＝30（只），有雞100——30=70（只）。

答：有雞70只，兔30只。

例5 現(xiàn)有大、小油瓶共50個，每個大瓶可裝油4千克，每個小瓶可裝油2千克，大瓶比小瓶共多裝20千克。問：大、小瓶各有多少個？

分析：本題與例4非常類似，仿照例4的解法即可。解：小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（個），大瓶有50-30＝20（個）。

答：有大瓶20個，小瓶30個。

例6 一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡車裝載只要36輛。已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，那么這批鋼材有多少噸？

分析：要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸。

利用假設(shè)法，假設(shè)只用36輛小卡車來裝載這批鋼材，因為每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，所以要剩下4×36=144（噸）。根據(jù)條件，要裝完這144噸鋼材還需要45-36=9（輛）小卡車。這樣每輛小卡車能裝144÷9＝16（噸）。由此可求出這批鋼材有多少噸。解：4×36÷（45-36）×45＝720（噸）。

答：這批鋼材有720噸。綠藤星教育（***）----小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程例7 樂樂百貨商店委托搬運站運送500只花瓶，雙方商定每只運費0.24元，但如果發(fā)生損壞，那么每打破一只不僅不給運費，而且還要賠償1.26元，結(jié)果搬運站共得運費115.5元。問：搬運過程中共打破了幾只花瓶？

分析：假設(shè)500只花瓶在搬運過程中一只也沒有打破，那么應得運費0.24×500=120（元）。實際上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。搬運站每打破一只花瓶要損失0.24＋1.26＝1.5（元）。因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3（只）。

解：（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。

答：共打破3只花瓶。

例8 小樂與小喜一起跳繩，小喜先跳了2分鐘，然后兩人各跳了3分鐘，一共跳了780下。已知小喜比小樂每分鐘多跳12下，那么小喜比小樂共多跳了多少下？

分析與解：利用假設(shè)法，假設(shè)小喜的跳繩速度減少到與小樂一樣，那么兩人跳的總數(shù)減少了

12×（2＋3）＝60（下）。

可求出小樂每分鐘跳

（780——60）÷（2＋3＋3）＝90（下），小樂一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小樂共多跳

780——270×2＝240（下）。練習13

1．雞、兔共有頭100個，腳350只，雞、兔各有多少只？

2．學校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120個學生進行活動。問：象棋與跳棋各有多少副？

第四篇：三年級數(shù)學奧數(shù)應用題

1．39個同學在操場上跳繩，每3人一組，可以分成多少組？

2．4棵楊樹苗48元，3棵松樹苗63元，哪種樹苗每棵的價錢貴一些？

3．三（1）班小朋友做玩具，一共做了48個，送給幼兒園15個，其余的平均分給一年級3個班，每班可以分得幾個？

4．張教師帶100元去商場買3個小足球，找回了7元，你能知道每個小足球多少元嗎？

5．一本《故事大王》共65頁，小明打算4天看完，小花打算6天看完，小明平均每天要看多少頁？小花呢？

6．張大伯家養(yǎng)了18只鴨，養(yǎng)雞的只數(shù)是鴨的2倍，張大伯家養(yǎng)雞和鴨一共多少只？

7．停車場有大汽車45輛，小汽車比大汽車多17輛，大汽車和小汽車一共有多少輛？

8．明明有42張郵票，芳芳比他少15張，他們倆人一共有郵票多少張？

9．一件上衣45元，褲子比上衣便宜12元，買一套衣服要多少元？

10．小白兔拔了14個蘿卜，小灰兔拔的是它的3倍。小白兔比小灰兔少拔了多少棵？

11．校園里有水杉樹24棵，松樹的棵數(shù)是水杉樹的3倍。水杉樹和松樹一共有多少棵？水杉樹比松樹少多少棵？

12．公園里有黑天鵝28只，白天鵝的只數(shù)比黑天鵝的3倍多9只。白天鵝有多少只？

13．三年級去圖書館借書，上午借了420本，下午比上午多借20本。這一天三年級共借書多少本？

14．用6個邊長1厘米的小正方形拼成一個大長方形，拼成的長方形的長和寬各是多少厘米？周長是多少厘米？

15．一個長方形操場，長55米，寬35米，小華沿操場的邊跑了2圈，跑了多少米？

16．用一根線正好圍成一個邊長是8厘米的正方形。這根線長多少厘米？

17．養(yǎng)魚場去年放養(yǎng)魚苗896尾，今年放養(yǎng)的魚苗數(shù)是去年的2倍。今年放養(yǎng)多少尾？

18．科學館上午有3批學生來參觀，每批169人，下午又有213名學生前來參觀。這一天一共有多少學生來參觀？

19．一頭牛一天要吃32千克草。2頭牛4天要吃多少千克草？

20．有一塊土地，用來種西紅柿，用來種茄子，其余用種西瓜。西瓜占地幾分之幾？

21．李大伯家養(yǎng)了200只雞，第一天先賣128只，平均每只雞可賣9元，李大伯這天能賣多少元？剩下的雞第二天賣，每8只裝一籠，能裝多少籠？

22．48個同學去采集昆蟲標本，每3人分一組，可以分成多少組？

23．同學們要種93棵樹，已經(jīng)種了18棵，剩下的樹苗平均分給5個小組，每個小組還要種多少棵？

24．上海市六月份降水量是42毫米，七月份比六月份少了14毫米。

六、七兩個月一共降水多少毫米？

25．玩具廠每小時可以生產(chǎn)玩具600個，從上午十時到下午二時，大約可以生產(chǎn)玩具多少個？

26．一個正方形花圃，邊長是15米。它的周長是多少米？

27．在一塊長16米，寬8米的長方形地的周圍圍上圍欄，圍欄一共長是多少米？

28．少年宮學習繪畫的小朋友共108人，學習書法的小朋友人數(shù)比學習繪畫的2倍少36人。少年宮學習書法的有多少人？

29．每根跳繩長2米。65米長的一根繩子，最多能剪多少根跳繩？還剩幾米？

30．李教師買了2副羽毛球拍，付出70元，找回6元。每副羽毛球拍多少元？

31．一本科普書，小明準備6天看完，平均每天要看多少頁？

32．同學們做了80朵紙花，每5朵扎一束，可以扎幾束？每4朵扎一束，可以扎幾束？

33．一種練習本每本的單價是4角。王教師用5元錢，最多可以買多少本這樣的練習本？

34．小華去商店里買飲料，買了5瓶，付給營業(yè)員100元，找回35元。每瓶飲料多少錢？

35．同學們到果園參加義務勞動，男同學有40人，女同學有38人。每6人分一組，一共可以分成多少個小組？

36．三（2）班有男生26人，女生22人。全班同學平均分成4個小隊。平均每個小隊有多少名同學？如果每個同學發(fā)2本數(shù)學練習本，全班一共需要多少本數(shù)學練習本？

37．學校舞蹈隊里有18名男生，女生人數(shù)是男生的2倍。舞蹈隊男、女生一共有多少人？

38．去天文臺參觀的女生有9人，男生去的人數(shù)比女生的3倍還多1人。40座的汽車夠坐嗎？

39．一批貨物，已經(jīng)運走了8噸，剩下的是運走的5倍。這批貨物一共有多少噸？

40．小明買了6套體育畫片，每套4元，又買了一本描紅字帖15元。小明一共花了多少元？

41．一場球賽從14：45開始，到16：18結(jié)束。這場球賽進行了多長時間？

42．同學們?nèi)澊?。男同學去了27人，女同學去了29人，每4人坐一條船。一共需要租多少條船？

43．王大伯家養(yǎng)了15只鵝，養(yǎng)鴨的只數(shù)是鵝的4倍，養(yǎng)的雞比鴨多38只。王大伯家養(yǎng)鴨多少只？養(yǎng)雞多少只？

44．一幅畫，長50厘米，寬30厘米。用一根長150厘米的木條做它的邊框，夠不夠？

45．每袋鹽重500克，6袋鹽一共有多少克？合多少千克？

46．家禽養(yǎng)殖場飼養(yǎng)了257只鴨，還飼養(yǎng)了158籠雞，每籠有5只。這個養(yǎng)殖場一共養(yǎng)了雞和鴨多少只？

47．工廠每天可生產(chǎn)406個玩具熊，照這樣計算，5天一共生產(chǎn)多少個玩具熊？

48．一輛卡車每分鐘行駛850米，轎車每分鐘行駛的米數(shù)比卡車的3倍還多50米。轎車每分鐘行駛多少米？

49．一個建筑工地第一天運來180袋水泥，第二天運來的袋數(shù)比第一天的2倍少19袋。第二天運來多少袋水泥？

50．每輛卡車一次可裝4噸貨物。用8輛這樣的卡車運5次，一共可運貨物多少噸？

51．每人每天可裝配自行車14輛，照這樣計算，8人工作7天，一共裝配自行車多少輛？

52．軍軍看一本書，已經(jīng)看了5天，每天看24頁，還剩下10頁沒有看。這本書一共有多少頁？

53．三年級二班有男生25人，女生23人。每4人分得一個足球。一共需要準備多少個足球？

54．小紅看一本故事書有154頁。她爸爸看的一本科技書的頁數(shù)比這本故事書的4倍還多58頁。她爸爸看的科技書有多少頁？

55．一臺拖拉機每小時可以運貨2噸。照這樣計算，6臺這樣的拖拉機5小時可以運貨多少噸？

56．有59名同學去游船。每5人租一只小船，共要租多少只小船？

57．飼養(yǎng)組養(yǎng)了68只小兔。如果每只籠子里養(yǎng)6只，要多少只籠子？

58．一根長繩25米，每2米做一根跳繩，一共可以做多少根跳繩？

59．一本故事書86頁，小華每天看6頁，第幾天看完？

60．一張課桌60元，比一張椅子貴34元，一套課桌椅多少元？

61．一輛車上午8時從上海開出，每上時行55千米，晚上6時到達南京。你知道上海到南京有多遠嗎？

62．王伯伯家養(yǎng)白兔45只，養(yǎng)的黑兔比白兔少18只，王伯伯家一共養(yǎng)兔多少只？

63．李大伯家去年養(yǎng)雞800只，今年養(yǎng)雞的只數(shù)是去年的3倍，今年多養(yǎng)了多少只？

64．商店運來梨455千克，運來的蘋果比梨的3倍少160千克，商店運來蘋果多少千克？

65．從甲城到乙城的鐵路長560千米，一列火車以每小時118千米的速度從甲城開往乙城，3小時后能到達嗎？

66．王師傅上午加工零件48個，下午加工零件56個，照這樣計算，一個星期工作5天，共加工零件多少個？

67．科技小組有男同學58名，女同學44名，文藝小組人數(shù)是科技小組的2倍。文藝小組共有多少人？

68．小麗跑步去學校，平均每分鐘跑84米。3分鐘后剛好到了全程的一半，她家到學校大約多少米？

69．學?；@球場長26米，寬14米。沿籃球場的四周跑5圈，共跑了多少米？

70．王師傅和李師傅共同加工一批零件，王師傅完成了其中的4/9，李師傅完成了其中的5/9，兩人誰加工得多？多加工這批零件的幾分之幾？

71,寶寶有十個蘋果，買進二個，決定將這些蘋果送給三個朋友，每個朋友平均有多少個蘋果？

72、紅星小學去年植樹140棵，今年植樹是去年的3倍。今年比去年多植樹多少棵？

73、同學們分成兩組到菜園摘柿子。第一組摘了14筐，第二組比第一組少摘了2筐，每筐重25千克。第二組摘了多少千克？

74、動物園的一只大象每天吃450千克食物，一只熊貓4天吃72千克食物。一只大象每天的食量是一只熊貓的多少倍？它比熊貓每天多吃多少食物？

75、同學們栽樹。一班要栽58棵，二班要栽67棵。平均栽5行，每行栽多少棵？（列綜合算式解答。）

76、一艘客輪8月30日11：00從重慶開出，9月1日17：00到達武漢。從重慶到武漢的航程是1354千米。除去中途在碼頭上停船時間6小時，估算這艘客輪每小大約行多少千米？

77、學校組織同學去博物館參觀。三年級去了62人，四年級去的人數(shù)是三年級的2倍。兩個年級一共去了多少人？

78、中、高年級同學聽科學家作報告中年級有84人參加，高年級參加的人數(shù)是中年級的3倍。聽報告的一共有多少人？

79、王老師要批改48篇作文，已經(jīng)批改了12篇。如果每小時批改6篇，剩下的作文要多少小時批改完呢？

80、光明電影院原來每天放映3場電影，現(xiàn)在每天放映1場，平均每場賣票160張?，F(xiàn)在每天可以賣多少張票？（列綜合算式解答。）

81、中營村去年修了2條水渠，總長604米，今年修的水渠長度是去年的3倍。今年比去年多修多少米？

82、南京長江大橋正橋有10個橋孔，其中9個橋孔的長都是160米，還有一個橋孔的長是128米。正橋（10個橋孔）長多少米？

83、兩輛車運蘋果，第一輛車運35筐，第二輛車運38筐。第二輛車比第一輛多運75千克。平均每筐有蘋果多少千克？第一輛車運了多少千克？

84、小紅家今年養(yǎng)了4箱蜜蜂，共收蜂蜜380千克，去年平均每箱收蜂蜜84千克。今年每箱平均產(chǎn)蜜量比去年高多少千克？

85、一艘客輪8月30日11：00從重慶開出，9月1日17：00到達武漢。從重慶到武漢的航程是1354千米。除去中途在碼頭上停船時間6小時，估算這艘客輪每小大約行多少千米？

86、同學們鍛煉身體。參加打球的有40人，參加跑步的比參加打球的多280人。參加跑步的是參加打球的多少倍

87、（1）除數(shù)是32，商是7，余數(shù)是25，被除數(shù)是多少？

（2）被除數(shù)是359，商是8，除數(shù)和余數(shù)各是多少？

88、一個養(yǎng)禽專業(yè)戶養(yǎng)雞980只，養(yǎng)的雞比鴨的2倍多20只。養(yǎng)鴨多少只？

89、小剛家種了5棵蘋果樹，今年一共收蘋果215千克。有4棵蘋果樹平均每棵收蘋果45千克，另一棵收蘋果多少千克？

90、在方框里分別填哪幾個數(shù)字，才能使商是一位數(shù)，并且沒有余數(shù)？

91、一個編筐專業(yè)戶28天編了242個筐，比原計劃多編了18個筐，原計劃每天編多少個筐？

92、副食商店第一天賣出雞蛋150千克，第二天比第一天賣出的2倍少75千克。第二天賣出雞蛋多少千克？

93、學校開運動會。16個班共有384名運動員，平均每個班有多少名運動員？

94、一個木工組要做1450張課桌。已經(jīng)做了640張，剩下的要用30天做完。平均每天要做多少張？

95、學校買來42包練習本，每包20本。每班分84本，能夠分給幾人班？

96、勝利果園收了118筐蘋果，一輛小貨車每次運15筐，需要運幾次？最后一次運多少筐？

97、小蘭在計算除法的時候，把除數(shù)65寫成56，結(jié)果得到的商是13還余52。想一想：正確的商應該是多少？

98、同學們大掃除，打掃操場的有36人，是打掃教室的人數(shù)的3倍，打掃院子的有27人。參加大掃除的一共有多少人？

99、同學們收核桃，一工收776克，每25千克裝一筐，可以裝多少筐，還剩多少千克？

100、用電孵箱孵小雞一次可孵2880只，一只母雞一次能孵16只。用電孵箱一次孵小雞的只數(shù)是一只母雞一次孵的多少倍？

101、小燕子孵出以后，大燕子在26天里給一只小燕子一共喂養(yǎng)910只害蟲，平均每天喂多少只？

102、在一條長24千米的公路的一邊，一共栽了4300棵楊樹，3020棵柳樹。平均每千米栽了多少棵樹？

103、同學位要栽2500棵樹，如果每個同學栽4棵，大約需要多少同學參加植樹勞動？

104、學校運來3920千克煤，計劃燒5個月，平均每個月大約燒多少千克？

105、欣華旅館6月份接待旅客3046人，7月份接待的旅客比6月份的2倍少968人。7月份大約接待旅客多少人？

106、一座樓房有6層，分為4個單元。每個單元第一層住2戶，第二層到第六層各住3戶，這座樓房一共可以住多少戶？

107、一枝鉛筆原來長8厘米7毫米，用去了9毫米?，F(xiàn)在這枝鉛筆有多長？

108、武漢長江大橋長1670米，南京長江大橋長6772米。哪座橋長？長出多少米？

109、運動場跑道一圈是400米。小明堅持每天跑3圈，他每天跑多少米？

110、從甲地到乙地，如果騎自行車，每小時行15千米，4小時到達。如果乘汽車，只需2小時，汽車每小時行多少千米？

111、一幢宿舍樓，每兩層樓之間有20個臺階，每個臺階的高度是15厘米。一個同學從一樓走到三樓，他升高了多少米？

112、工人叔叔把機器裝在載重4噸的卡車上，每行放4臺，放了3行。每臺機器重300千克。這些機器的重量超過這輛卡車的載重量嗎？（口答）

113、鴿子每分鐘可以飛2千米，雨燕每分鐘飛的距離比鴿子多3千米。雨燕每小時可以飛多少千米？

114、一個糧店運來5噸大米，前2天賣出1700千克，剩下的3天賣完。前2天平均每天賣多少千克？后3天平均每天賣多少千克？

115、一年級有120個新同學。40個人分一班，分成了幾班？

116、刺繡廠的工人30天用機器刺鄉(xiāng)240塊桌布，平均每天刺鄉(xiāng)多少塊？

117、一架直升飛機每小時飛行360千米，一列火車每小時行90千米。這架直升飛機每小時行的千米數(shù)是火車的多少倍？

118、一個紡織廠織出窗簾布846米，織出的床單布是窗簾布的3倍?？棾龅拇矄尾急却昂煵级喽嗌倜祝?/p>

119、從450里減去一個整十數(shù)，得到的差再除以這個整十數(shù)，商是8。這個整十數(shù)是多少？

120、一個節(jié)火車車廂可以裝60噸貨物，要運480噸貨物，需要幾節(jié)車廂。

第五篇：小學數(shù)學奧數(shù)社團工作總結(jié)

小學數(shù)學奧數(shù)社團工作總結(jié)

這一學期，我擔任學校四年級的奧數(shù)社團教學工作。我認真執(zhí)行學校教育教學工作計劃，轉(zhuǎn)變思想，積極探索，改革教學，在繼續(xù)推“自主——合作——創(chuàng)新”課堂教學模式的同時，“聯(lián)系生活實際學數(shù)學”，把新課程標準的新思想、新理念和數(shù)學課堂教學的新思路、新五設(shè)想結(jié)合起來，轉(zhuǎn)變思想，積極探索，改革教學，收到很好的效果。

一、激發(fā)學生學習興趣，讓他們能夠感受成功、體驗到學習數(shù)學的快樂

本社團學生，大部分學生基礎(chǔ)較差，隨著數(shù)學知識點的增多，知識面的擴展，學生越來越感到學習數(shù)學的困難，面對形式多樣的解題方式更是無法應對，就學習盡頭來說是心有余而力不足。為此，我采取的策略是先讓學生感到學數(shù)學不難：上課時我有意識的設(shè)計一些簡單的問題叫學習困難的學生來回答，讓他們板演一些基本的計算題，激勵他們大膽的解答，并在適時的時候予以提示，是他們能在老師善意的幫助下順利的解答，讓他們從心理上感到解決數(shù)學問題不是太難，只要掌握基本的方法是可以觸類旁通的；第一環(huán)節(jié)實施后，我采取得第二步是在講課時把知識生活化的方式，以學生常見的范例、經(jīng)常接觸的身邊的數(shù)學問題為例，加以有聲有色的描述，使學生感到學數(shù)學很有用，數(shù)學問題解決不好會出笑話，會影響自己的將來，要好好學數(shù)學，要學好數(shù)學，因為需要而產(chǎn)生學習數(shù)學的興趣；學生的興趣被激發(fā)后，我首先想到的是保持，一是注重從學生的課堂反應來反饋，將學生的問題和與優(yōu)點添油加醋的加以評價，再就是通過開展一些豐富多彩的數(shù)學活動，如講數(shù)學家的故事，搞一些數(shù)學小競賽，小組合作、作業(yè)評比、學生評價等等，積極發(fā)掘?qū)W生的閃光點，讓學生的個性得以張揚，努力營造一個學數(shù)學的良好氛圍，讓學生體驗學數(shù)學和做數(shù)學的快樂，使學生從思想上逐步扭轉(zhuǎn)對數(shù)學的枯燥印象，最后，我利用各種機會，經(jīng)常給不同層次學生以成就感，讓每一位同學都能體驗到學習數(shù)學的成功與快樂。一年來，成效顯著：首先是學生敢于大膽回答問題了，其次是能基本清楚的描述解題思路了，再次就是作業(yè)正確率提高了，測試情況也有了較為明顯的好轉(zhuǎn)。

二、認真鉆研業(yè)務，努力提高課堂40分鐘的教學效率。

在業(yè)務上我積極利用各種機會，學習教育教學新理念，積極參加網(wǎng)絡(luò)教研活動，精心打理博客內(nèi)容（課堂教學中的案例、反思、故事、隨筆等），潛心鉆研教材教法，認真?zhèn)湔n、認真上課，堅持不懈地進行“自我充電”，以提高自己的業(yè)務理論水平。課堂上，我把學到的新課程理念結(jié)合本班實際，努力貫徹到課堂教學中去，以期提高課堂40分鐘的效率。課余，我經(jīng)常與同事們一起探討教學過程中遇到的各種問題，互相學習，共同提高；我還結(jié)合實際教學撰寫一些自己平時的教學反思和經(jīng)驗總結(jié)點滴等等。從中，我更是感受到了學無止境的道理。要充分發(fā)揮課堂教學這個“主陣地”的作用，提高課堂40分鐘的效率，我們要與時俱進，堅持不懈地學習探究教學新理論新實踐。

三、關(guān)愛學生與嚴格要求相結(jié)合，盡量使每一位學生進步。

親其師，才能信其道。在平時與學生接觸的過程中，我不以“師長”自居，盡量與學生平等交往，建立“朋友式”的深厚友誼，努力關(guān)愛每一位學生的成長。與學生多談心，幫助學生解決學習上與生活上的各種困惑。同時，面對個別調(diào)皮的學生，也實行嚴格要求、正確導向的辦法，讓他們樹立起正確的榮辱觀。課堂教學，紀律是提高課堂效率的重要保證。面對各層次的學生，我既要關(guān)愛大部分學生，又要面對個別不守紀律的搗蛋分子實行嚴格要求。課堂上，我盡量做到分層施教與個別輔導相結(jié)合；課余，我讓優(yōu)秀學生與“學困生”實行“一幫一”結(jié)對子，互幫互助，共同提高。一學期來，學生們原本薄弱的基礎(chǔ)，逐步得以夯實，學生的學習成績有了穩(wěn)步提高。

四、總結(jié)得失，以勵再戰(zhàn)。

1、取得的成績：在我的努力帶動下，學困生的臉上有了笑容了，學生們的學習興趣較以前提高了，學習的態(tài)度也改變了不少。

2、存在的不足：部分學生多年來形成的一些不良學習方法和習慣，還有待進一步規(guī)范和引導；學困生在起始年級的知識空缺（口算乘除法及其他）直接影響著計算的效率與質(zhì)量，學習成績雖然有所進步，但許多方面還有很大的提升空間；老師的付出與學生知識掌握的反饋（作業(yè)、成績）使老師產(chǎn)生急躁的情緒。

3、努力方向：今后，我將繼續(xù)本著“教到老，學到老”的精神，改變急躁的情緒，不斷探討提高學生學習興趣、促進學生全面發(fā)展的有效機制；繼續(xù)保持與學生家長的緊密聯(lián)系，共同配合，爭取個人成長與學生成長實現(xiàn)雙豐收。