第一篇：2007年考研高等代數(shù)大綱(碩士)

江蘇自動(dòng)化研究所碩士研究生入學(xué)考試

《高等代數(shù)》考試大綱

一、總體要求

要求掌握行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、歐氏空間、(多項(xiàng)式理論、λ-矩陣不單獨(dú)出題)。

二、命題范圍及考查的知識(shí)點(diǎn)

1、行列式

1）行列式的定義與性質(zhì)。

2）低階行列式，高階規(guī)律性較強(qiáng)的行列式計(jì)算。

2、線性方程組

1）解線性方程組

2）線性方程組解的理論

3）線性相關(guān)性的證明

3、矩陣

1）矩陣的運(yùn)算

2）矩陣的逆

3）矩陣秩的不等式的證明

4、二次型

1）化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

2）正定性問題的證明

5、線性空間

1）線性空間與子空間的概念

2）基、維數(shù)與坐標(biāo)

3）子空間的直和的證明

6、線性變換

1）特征值、特征向量有關(guān)問題

2）求若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形、最小多項(xiàng)式

3）線性變換的值域與核

7、歐氏空間

1）正交矩陣與正交變換

2）實(shí)對(duì)稱陣有關(guān)證明

三、考試說明

1、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)

1)答卷方式：閉卷，筆試，總分150分,2)答題時(shí)間：3小時(shí)，3)總分：滿分150分，4)題型比例

計(jì)算題約 50%

證明題約 50%

四、參考書目

《高等代數(shù)》（第三版），北京大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等教育出版社，2003年

第二篇：2014年湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)817高等代數(shù)考研大綱

一、適用專業(yè)（領(lǐng)域）：

生物數(shù)學(xué)

二、參考書目：

張禾瑞等.高等代數(shù)（第五版），北京：高等教育出版社，2006.三、基本題型及所占分值：

計(jì)算題100分，證明題50分。

四、知識(shí)考查范圍：

一、多項(xiàng)式

多項(xiàng)式最大公因式；重因式；多項(xiàng)式函數(shù)、多項(xiàng)式的根；有理數(shù)域上的多項(xiàng)式。

二、行列式

N階行列式；子式和代數(shù)余子式、行列式的依行、列展開；克萊姆法則。

三、線性方程組

齊次、非齊次解的判別；解的結(jié)構(gòu)

矩陣

矩陣的運(yùn)算；可逆矩陣、矩陣的分塊。

向量空間

向量的相關(guān)性；基和維數(shù)；坐標(biāo)；矩陣的秩。

線性變換

線性變換的運(yùn)算；線性變換和矩陣；不變子空間；本征值和本征向量；矩陣的可對(duì)角化。

歐氏空間

向量的內(nèi)積；正交基和正交變換；對(duì)稱變換和對(duì)稱矩陣

二次型

二次型和對(duì)稱矩陣；復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的二次型；正定二次型；主軸問題。

沈陸明

2013年6月21日

第三篇：2013年廣西大學(xué)高等代數(shù)考研真題

2013年廣西大學(xué)研究生入學(xué)考試——高等代數(shù)

一、填空題：

11、已知A為三階矩陣，且A??，求A?1?2A?=------------

22、已知A3?0，則(E?A)?1?----------

3、與三階矩陣等價(jià)的矩陣標(biāo)準(zhǔn)型有----------

4、實(shí)數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式為----------

5、設(shè)A為n階方陣，則A'A的特征值為----------，且A'A為-----------矩陣

6、n階實(shí)對(duì)稱矩陣的維數(shù)是------------

7、已知?1,?2,?3線性相關(guān)，則?1??2,?2??3,?1??3線性相關(guān)性---------------

8、設(shè)V是n維線性空間，則核空間與象空間的維數(shù)之間的關(guān)系是-------

9、設(shè)歐氏空間上的內(nèi)積定義為?f(x),g(x)???f(x)g(x)dx，則1=----------------

0?

10、設(shè)瑞利商Rn?x'Enxx'Ax，求REn??-------------x'xx'xa1

1二、已知a12?a1na22?an2a21?an1?a11x1?a12x2??a1,n?1xn?1?a1n??a2n?a21x1?a22x2??a2,n?1xn?1?a2n，求證無解 ?0??????an1x1?an2x2??an,n?1xn?1?ann?ann?

三、實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式f(x),g(x)滿足（f(x),g(x)）=1, 并設(shè)?(x)與?(x)如下：3n32m???(x)?(x?1)f(x)?(x?x)g(x)，求證：(?(x),?(x))?x?1 ?2n2m???(x)?(x?x)f(x)?(x?1)g(x)

四、設(shè)有n個(gè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f1(x),f2(x),?,fn(x)的次數(shù)不大于n-2，且a1,a2,?,anf1(a1)為任意常數(shù)，求證：

f1(a2)?f2(a2)??fn(a2)?f1(an)f2(an)?fn(an)?0

f2(a1)?fn(a1)??

五、設(shè)三階矩陣A???????，是否存在可逆矩陣使之相似于對(duì)角陣 ?? 注：矩陣A里面的具體數(shù)值記不清了，但A是一個(gè)非對(duì)稱矩陣。比如說由?E?A?0可計(jì)算出特征值為-2，-2，5，其中特征值-2對(duì)應(yīng)兩個(gè)特征向量，特征值5對(duì)應(yīng)一個(gè)特征向量，因此得出可相似于對(duì)角陣

1求Im?,Ker?

六、設(shè)?為線性空間V上的的一線性變換，且?(f(x))?f'(x)，○2線性空間V是否為Im?與Ker?的直和

○

七、設(shè)復(fù)數(shù)域C6上一線性變換在基底?1,?2,?,?6下的矩陣是Jordan矩陣，且?21???2????311J的初等因子○2C6的??不變子空間直和 J???，求：○31???3?????5??

八、線性空間V上的兩組向量?1,?2,?,?m與?1,?2,?,?m，滿足(?i,?j)?(?i,?j)其中i、j?1,2,?m，求證：L(?1,?2,?,?m)?L(?1,?2,?,?m)

九、設(shè)A為實(shí)二次型對(duì)應(yīng)的矩陣，A的n個(gè)特征根?1,?2,?,?n滿足?1??2????n 求證：?1x'x?x'Ax??nx'x

第四篇：天津大學(xué) 考研836高等代數(shù)(含解析幾何)

天津大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試業(yè)務(wù)課考試大綱

課程編號(hào)：836課程名稱：高等代數(shù)（含解析幾何）

一、考試的總體要求

要求考生比較系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，掌握代數(shù)的基本方法，要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運(yùn)算能力、綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)分析和解決問題的能力。

二、考試的內(nèi)容及比例

1．多項(xiàng)式：數(shù)域，二元多項(xiàng)式、整除、最大公因式、互素、不可約多項(xiàng)式、因式分解定理、重因式、多項(xiàng)式、函數(shù)、復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解，有理系數(shù)多項(xiàng)式，多元多項(xiàng)式。

2．行列式：排列，n階行列式的定義，n階行列式的性質(zhì)及計(jì)算，行列式展開（按一行(一列)展開，拉普拉斯定理）克萊姆法則。

3．矩陣：矩陣的概念，矩陣的運(yùn)算，逆矩陣、矩陣乘積的行列式、分塊矩陣、初等矩陣、初等變換，分塊矩陣和初等變換及其應(yīng)用，矩陣的秩。

4．線性方程組：n維向量空間，n維向量的線性相關(guān)性，向量組的極大線性無關(guān)組，向量組的秩和線性方程組的解法、有解的判別原理、解的結(jié)構(gòu)。

5．二次型：二次型及其矩陣表示，二次型的標(biāo)準(zhǔn)型、唯一性、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，正定二次型。

6．線性空間：集合、映射、線性空間的定義與性質(zhì)?；?、維數(shù)與坐標(biāo)、基變換與坐標(biāo)變換，線性子空間，子空間的交與和，直和，線性空間的同構(gòu)。

7．線性變換的定義及其運(yùn)算，線性變交換的矩陣，特征值與特征向量，對(duì)角矩陣，線性變換的值域與核、不變子空間。

8．λ-矩陣：λ-矩陣的概念，λ的矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)型，行列式因子，不變因子，及初等因子，矩陣相似的條件，矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型及理論推導(dǎo)。

9．歐幾里德空間：歐幾里德空間的定義與基本性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)正交基，歐氏空間的同構(gòu)和正交變換，子空間及其正交系，正交補(bǔ)，對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形。向量到子空間的距離，最小二乘法，酉空間。

各部分占10%左右。

三、考試的題型及比例

1．填空題15%。2．計(jì)算題40%。3．證明題45%。

四、考試形式及時(shí)間

考試形式均為筆試?？荚嚂r(shí)間為三小時(shí)。（滿分150分）

第五篇：[41KB]山東大學(xué)2000年高等代數(shù)考研試卷

山東大學(xué)

2000年碩士研究生研究生入學(xué)考試試題

考試科目：高等代數(shù)

注意：

1、所有答案必須寫在“山東大學(xué)研究生入學(xué)考試答題紙”上，寫在試卷和其他紙上無效

2、本科目允許/不允許使用無字典存儲(chǔ)和編程功能的計(jì)算器。

1.設(shè)

?1,?2,??m

（m>1），是線性無關(guān)的向量組。令

試討論?1,?2,?,?m的?1??1??2,?2??2??3,?,?m?1??m?1??m,?m??m??1，線性相關(guān)性。

2.設(shè)A，B是數(shù)域F上的n階文陣，E是n階單位矩陣。（1）如果E－AB可逆。證明：E

－BA也可逆。（2）利用（1），證明：AB與BA有相同的特征值。

3.設(shè)，為A?(aij),B?(bij)，n階正定矩陣，證明：C?(cij)（其中cij?aijbij）是正定

矩陣。

4.設(shè)T是n維歐氏空間Rn的一個(gè)保距變換即：??,??R,T??T?????。如果T

將零向量變?yōu)榱阆蛄?，證明：T是正交變換。

5.設(shè)A為n階方陣。證明：A2?A是充要條件是A秩＋（A－E）秩＝n.6.設(shè)M為無限多個(gè)n階矩陣組成的集合，且M中任意兩個(gè)矩陣相乘時(shí)可交換。如果M中

每個(gè)矩陣都可以對(duì)角化，試證明：存在一個(gè)可逆矩陣P，使得對(duì)M中任意矩陣X，恒有

PXP，為對(duì)角矩陣。

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