第一篇：高等代數(shù)與高等數(shù)學(xué)

高等代數(shù)與高等數(shù)學(xué)的區(qū)別

高等代數(shù)、數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)中更細(xì)的數(shù)學(xué)研究的分類。高等代數(shù)是代數(shù)方向的究，而數(shù)學(xué)分析使用極限方法研究函數(shù)特性的數(shù)學(xué)。而高等數(shù)學(xué)是對(duì)非數(shù)學(xué)專業(yè)的人學(xué)習(xí)的區(qū)別于初等數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)，應(yīng)當(dāng)包括高等代數(shù)和數(shù)學(xué)分析部分。

高等代數(shù)是代數(shù)學(xué)發(fā)展到高級(jí)階段的總稱，它包括許多分支?，F(xiàn)在大學(xué)里開設(shè)的高等代數(shù)，一般包括兩部分：線性代數(shù)初步、多項(xiàng)式代數(shù)。高等代數(shù)在初等代數(shù)的基礎(chǔ)上研究對(duì)象進(jìn)一步的擴(kuò)充，引進(jìn)了許多新的概念以及與通常很不相同的量，例如最基本的有集合、向量和向量空間等。這些量具有和數(shù)相類似的運(yùn)算的特點(diǎn)，不過(guò)研究的方法和運(yùn)算的方法都更加繁復(fù)。

集合是具有某種屬性的事物的全體；向量是除了具有數(shù)值還同時(shí)具有方向的量；向量空間也叫線性空間，是由許多向量組成的并且符合某些特定運(yùn)算的規(guī)則的集合。向量空間中的運(yùn)算對(duì)象已經(jīng)不只是數(shù)，而是向量了，其運(yùn)算性質(zhì)也有很大的不同了。

其研究對(duì)象不僅是數(shù)，也可能是矩陣、向量、向量空間的變換等，對(duì)于這些對(duì)象，都可以進(jìn)行運(yùn)算，雖然也叫做加法或乘法，但是關(guān)于數(shù)的基本運(yùn)算定律，有時(shí)不再保持有效。因此代數(shù)學(xué)的內(nèi)容可以概括稱為帶有運(yùn)算的一些集合，在數(shù)學(xué)中把這樣的一些集合，叫做代數(shù)系統(tǒng)。比較重要的代數(shù)系統(tǒng)有群論、環(huán)論、域論。群論是研究數(shù)學(xué)和物理現(xiàn)象的對(duì)稱性規(guī)律的有力工具?，F(xiàn)在群的概念已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最重要的，具有概括性的一個(gè)數(shù)學(xué)的概念，廣泛應(yīng)用于其他部門。高等數(shù)學(xué)比初等數(shù)學(xué)“高等”的數(shù)學(xué)。廣義地說(shuō)，初等數(shù)學(xué)之外的數(shù)學(xué)都是高等數(shù)學(xué)，也有將中學(xué)較深入的代數(shù)、幾何以及簡(jiǎn)單的集合論邏輯稱為中等數(shù)學(xué)，作為小學(xué)初中的初等數(shù)學(xué)與本科階段的高等數(shù)學(xué)的過(guò)渡。通常認(rèn)為，高等數(shù)學(xué)是將簡(jiǎn)單的微積分學(xué)，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，以及深入的代數(shù)學(xué)，幾何學(xué)，以及他們之間交叉所形成的一門基礎(chǔ)學(xué)科，主要包括微積分學(xué)，其他方面各類課本略有差異。

第二篇：復(fù)旦大學(xué)2000年高等代數(shù)

復(fù)旦大學(xué)高等數(shù)2000

1． 求方陣

?10?1????11?1?

?110???的逆陣。

2． 設(shè)A為一個(gè)n階方陣且A的秩等于A的秩。證明A的秩等于A的秩。

3． 設(shè)A為一個(gè)n階正交陣，x1,x2,?,xn?1為一組線性無(wú)關(guān)的列向量，對(duì)于1?i?n?1都

有Axi?xi。如果A的行列式等于1，證明A是單位矩陣。

4． 設(shè)n是一個(gè)自然數(shù)，V是由所有n?n實(shí)矩陣構(gòu)成的n2維實(shí)向量空間，U和W分別為

由所有n?n對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣構(gòu)成的空間。證明V?U?W，既V是U和W的直和。

5． 設(shè)K為一個(gè)數(shù)域，K[x]為K上以x作為不定元的多項(xiàng)式全體所組成的集合。設(shè)23

?f(x)g(x)?其中f(x),g(x),h(x),q(x)?K[x]。假定f(x)q(x)?g(x)h(x)是A???h(x)q(x)??，??

K中的一個(gè)不等于零的數(shù)。證明A可以表示成有限多個(gè)以下類型的矩陣的乘積：?10??1s(x)??a0???r(x)1??,??01??,??0b??,其中a,b是K中的非零數(shù)，而r(x),s(x)?K[x].??????

第三篇：高等代數(shù)半期心得體會(huì)

高等代數(shù)半期心得體會(huì)

剛剛開始接觸到高等代數(shù)的時(shí)候，對(duì)它一無(wú)所知，僅僅聽其它專業(yè)的同學(xué)談?wù)撨^(guò)線性代數(shù)這門課程。唏噓記得第一高代課節(jié)講的是排列，全新的知識(shí)點(diǎn)，因?yàn)榈谝淮握n沒(méi)有課本，那節(jié)課我異常的認(rèn)真，發(fā)現(xiàn)高代很有趣。在第一次課，我們也見(jiàn)到了樹文老師，第一次課老師提早了五分鐘來(lái)，在這幾分鐘里老師沒(méi)有和我們說(shuō)話，讓我覺(jué)得老師很嚴(yán)肅。但是在之后的接觸卻讓我深深的喜歡樹文老師。

記得老師說(shuō)過(guò)數(shù)學(xué)大致分為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)。而基礎(chǔ)數(shù)學(xué)包含幾何、代數(shù)和分析，這三個(gè)主要方面。說(shuō)明我們所學(xué)的高等代數(shù)是學(xué)習(xí)之后課程的基礎(chǔ)，可見(jiàn)其重要性?！陡叩却鷶?shù)》是數(shù)學(xué)學(xué)科的一門傳統(tǒng)課程。在當(dāng)今世界的數(shù)學(xué)內(nèi)部學(xué)科趨于統(tǒng)一性和數(shù)學(xué)在其他學(xué)科的廣泛應(yīng)用性的今天，《高等代數(shù)》以其追求內(nèi)容結(jié)構(gòu)的清晰刻畫和作為數(shù)學(xué)應(yīng)用的基礎(chǔ)，是我們的主干基礎(chǔ)課程。它是數(shù)學(xué)在其它學(xué)科應(yīng)用的必需基礎(chǔ)課程，又是數(shù)學(xué)修養(yǎng)的核心課程。高等代數(shù)是在初等代數(shù)的基礎(chǔ)上研究對(duì)象進(jìn)一步的擴(kuò)充，引進(jìn)了許多新的概念以及與通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空間等。這些量具有和數(shù)相類似的運(yùn)算的特點(diǎn)，不過(guò)研究的方法和運(yùn)算的方法都更加繁復(fù)。通過(guò)學(xué)習(xí)后，我們知道，不僅是數(shù)，還有矩陣、向量、向量空間的變換等，對(duì)于這些對(duì)象，都可以進(jìn)行運(yùn)算，雖然也叫做加法或乘法，但是關(guān)于數(shù)的基本運(yùn)算定律，有時(shí)不再保持有效。因此代數(shù)學(xué)的內(nèi)容可以概括稱為帶有運(yùn)算的一些集合，在數(shù)學(xué)中把這樣的一些集合，叫做代數(shù)系統(tǒng)。

在學(xué)習(xí)之前，我一直認(rèn)為高等代數(shù)就是線性代數(shù)。經(jīng)過(guò)半學(xué)期的學(xué)習(xí)后，我發(fā)現(xiàn)，這兩者之間區(qū)別還是挺大的。高等代數(shù)是我們數(shù)學(xué)專業(yè)開設(shè)的專業(yè)課，更注重理論的分析，需要搞懂許多概念是怎么來(lái)的，而線性代數(shù)，只是一種運(yùn)算工具，是供工科和部分醫(yī)科專業(yè)開設(shè)的課程，只注重應(yīng)用。

經(jīng)過(guò)半學(xué)期的學(xué)習(xí)，我對(duì)高等代數(shù)里面的知識(shí)有了個(gè)初步的認(rèn)識(shí)和接觸，特別是代數(shù)的一些思想，也從中收獲不少。下面就對(duì)半學(xué)期的學(xué)習(xí)做一個(gè)回顧和總結(jié)。行列式

行列式是代數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本概念，它不僅是討論線性方程組理論的有力工具，而且還廣泛的應(yīng)用于數(shù)學(xué)及其他科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域

定義：設(shè)A=（aij）為數(shù)域F上的nn矩陣，規(guī)定A的行列式為 其中，為1,2，…，n的一個(gè)排列。

從定義，我們可以看出，行列式是到F的一個(gè)映射。通過(guò)這個(gè)定義，我們可以推斷出行列式的諸多性質(zhì)： 1.行列式與它的轉(zhuǎn)置相等；

2.互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)；

3.若一個(gè)行列式中有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)相等，則這個(gè)行列式為零；

4.行列式的某行（列）中的公因子可以提出去，或者以一數(shù)乘行列式等于這個(gè)數(shù)乘行列式； 5.如果行列式中兩行成比例，那么行列式為零； 6.幫行列式的一行乘以某個(gè)數(shù)加到另一行，行列式不變；

7.Laplace展開定理：任取A的k 行，可構(gòu)成A的一切可能的k階子式為t（）個(gè)，設(shè)為 ,其相應(yīng)的代數(shù)余子式為，則。

其中，第七條性質(zhì)的特殊情形就是我們平時(shí)常用的展開定理。這7條性質(zhì)的應(yīng)用是行列式應(yīng)用于其他地方的基本保障。在此基礎(chǔ)上，我們可以得出更多的性質(zhì)和推論。通過(guò)學(xué)習(xí)，我們知道，行列式其實(shí)是一種工具，是將多種情況下轉(zhuǎn)換為行列式，通過(guò)計(jì)算行列式的值來(lái)得到想要的結(jié)果。在上面7條性質(zhì)的基礎(chǔ)上，我們可以得到計(jì)算一般階的主要方法與技巧：定義法、化三角形法、Vandermonde（范德蒙）行列式法、分列式行列式法、加邊法、降階法、遞推法、數(shù)學(xué)歸納法、做輔助行列式法。這里就不一一分析了，比較常用的就是化三角法，一般有上三角和下三角。

在學(xué)行列式時(shí)，沒(méi)覺(jué)得有什么困難，知識(shí)本身也比較簡(jiǎn)單，除了弄懂那些定理是怎么來(lái)的，剩下來(lái)的就是計(jì)算了，一般情況下，只要細(xì)心點(diǎn)，就不會(huì)錯(cuò)了。行列式還是比較好學(xué)的。矩陣

矩陣，Matrix。在數(shù)學(xué)上，矩陣是指縱橫排列的二維數(shù)據(jù)表格，最早來(lái)自于方程組的系數(shù)及常數(shù)所構(gòu)成的方陣。這一概念由19世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家Cayley于1858年首先提出。自此，矩陣?yán)碚摫阊杆俚慕⑵饋?lái)。矩陣論是數(shù)學(xué)中內(nèi)容最為豐富、應(yīng)用最廣泛的部分。定義：稱數(shù)域F中m×n個(gè)數(shù)a_ij（i=I,2,…,m;j=1,2,…,n）排成的m行n列的矩形表格 ?a11??a21????a?m1a12?a1n??a22?a2n?????am2?amn??

為數(shù)域F上的一個(gè)m×n矩陣，簡(jiǎn)記為，其中稱為矩陣的第i 行第 j列交叉點(diǎn)上的元素（簡(jiǎn)稱元）。其中，若對(duì)于矩陣A，如果存在矩陣B，是的AB=E,則稱B為A的逆矩陣。在我們的學(xué)習(xí)中，矩陣的秩和初等矩陣是在矩陣應(yīng)用中兩個(gè)比較重要的概念。矩陣的秩：設(shè)A=,是A的行向量，為A的列向量，稱r矩陣的秩，若r為A行（列）向量組的極大無(wú)關(guān)組的個(gè)數(shù)。

用通俗的話講就是若A中存在一個(gè)r階子式不等于0，而一切r+1階子式都等于0，則稱r為A的秩，并記為rank A=r；特別的，當(dāng)A=0時(shí)，規(guī)定rankA=0.我們用到矩陣時(shí)另一個(gè)重要的概念就是初等矩陣。

定義：由單位矩陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。定義中提到的另一個(gè)概念初等變換是指，? 交換矩陣的兩行（列）

? 用一個(gè)非零數(shù)乘矩陣的某一行（列）

? 用一個(gè)數(shù)乘矩陣某一行（列）加到另一行（列）上去

初等變換和初等矩陣之間的關(guān)系也是一個(gè)很重要的知識(shí)點(diǎn)，它為我們之后的矩陣進(jìn)行的各種處理提供了理論基礎(chǔ)：對(duì)于一個(gè)sxn矩陣A做一次初等行變換就相當(dāng)于在A的左邊乘相應(yīng)的一個(gè)sxs初等矩陣；做一次初等列變換就相當(dāng)于在A的右邊乘相應(yīng)的nxn初等矩陣。這種對(duì)應(yīng)關(guān)系也就是后來(lái)學(xué)到的線性變換，這在后文會(huì)單獨(dú)列出來(lái)講述。矩陣是高等代數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)工具，也常見(jiàn)于統(tǒng)計(jì)分析等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科中。在物理學(xué)中，矩陣于電路學(xué)、力學(xué)、光學(xué)和量子物理中都有應(yīng)用；計(jì)算機(jī)科學(xué)中，三維動(dòng)畫制作也需要用到矩陣。矩陣的運(yùn)算是數(shù)值分析領(lǐng)域的重要問(wèn)題。將矩陣分解為簡(jiǎn)單矩陣的組合可以在理論和實(shí)際應(yīng)用上簡(jiǎn)化矩陣的運(yùn)算。對(duì)一些應(yīng)用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準(zhǔn)對(duì)角矩陣，有特定的快速運(yùn)算算法。在天體物理、量子力學(xué)等領(lǐng)域，也會(huì)出現(xiàn)無(wú)窮維的矩陣，是矩陣的一種推廣。由此可見(jiàn)，矩陣在高等代數(shù)中的重要性。記得在初次接觸矩陣的時(shí)候，還沒(méi)有覺(jué)得有什么困難，但當(dāng)學(xué)到矩陣的秩的時(shí)候，便開始犯糊涂了，腦子一時(shí)轉(zhuǎn)不過(guò)彎，無(wú)法理解什么才叫矩陣的秩。經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的學(xué)習(xí)后，才對(duì)秩有了一個(gè)深入的了解，兩學(xué)期的高代課下來(lái)，才讓我真正認(rèn)識(shí)到矩陣的重要性。當(dāng)然，矩陣的重要性并不是因?yàn)樯鲜鰞蓚€(gè)重要的概念，而是矩陣分支出去的概念的應(yīng)用，下面便一一闡釋。

線性方程組

線性方程組中其實(shí)是用到了矩陣的乘法。線性方程組是方程組的一種，它符合以下的形式：

其中，a11，a12以及b1，b2等等為已知常數(shù)，而x1，x2等等則是要求的未知數(shù)。運(yùn)用矩陣的方式，可以將線性方程組寫成一個(gè)向量方程：Ax=b，其中，A是由方程組里未知量里未知量的系數(shù)排成的mxn矩陣，x是含有n個(gè)元素的行向量，b是含有m個(gè)元素的行向量。A=，x=, b= 在這個(gè)寫法下，將原來(lái)的多個(gè)方程轉(zhuǎn)化成一個(gè)向量方程，在已知矩陣A和向量b的情況下，求未知向量x。對(duì)于方程組

（1）

當(dāng)b1,b2,...,bm為零時(shí)，我們稱（1）為其次線性方程組，否則，為非齊次線性方程組。定義：齊次線性方程組的一組解η1，η2，...，ηt稱為（1）的一個(gè)基礎(chǔ)解系，如果 1)（1）的任意一個(gè)解都能表達(dá)成η1，η2，...，ηt的線性組合； 2)η1，η2，...，ηt線性無(wú)關(guān)。

在證明其次線性方程組的確有基礎(chǔ)解系的時(shí)候，我們得到這樣一個(gè)定理：在齊次線性方程組有非零解的情況下，它有基礎(chǔ)解系，并且基礎(chǔ)解系所含解的個(gè)數(shù)等于n-r，這里的r表示系數(shù)矩陣的秩。

進(jìn)一步可得，如果是非齊次線性方程組的一個(gè)特解，那么該方程組的任意一個(gè)解都可以表成

γ=γ0+ η

其中該方程組導(dǎo)出組的一個(gè)解。這樣，就給出了非齊次線性方程組的任意解的表達(dá)方式。以上便是線性方程組所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，線性方程組的應(yīng)用十分廣泛，現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題大多數(shù)是連續(xù)的，例如工程中求解結(jié)構(gòu)受力后的變形，空氣動(dòng)力學(xué)中計(jì)算機(jī)翼周圍的流場(chǎng)，氣象預(yù)報(bào)中計(jì)算大氣的流動(dòng)等等。這些現(xiàn)象大多是用若干個(gè)微分方程描述。用數(shù)值方法求解微分方程（組），不論是差分方法還是有限元方法，通常都是通過(guò)對(duì)微分方程（連續(xù)的問(wèn)題，未知數(shù)的維數(shù)是無(wú)限的）進(jìn)行離散，求解在科學(xué)與工程中的應(yīng)用非常重要。在學(xué)線性方程組的時(shí)候，對(duì)基礎(chǔ)解系的概念理解的不夠深，再加上大一學(xué)的求基礎(chǔ)解系的方法和王老師教的有一定的區(qū)別，導(dǎo)致我時(shí)常搞混，經(jīng)常弄得到最后都求不來(lái)基礎(chǔ)解系，不過(guò)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的學(xué)習(xí)，還是克服了這個(gè)困難，其實(shí)只要搞懂基礎(chǔ)解系這個(gè)概念，求它的方法自然也就好理解了。

學(xué)習(xí)高代的熱情還有一部分來(lái)自于可愛(ài)的高代老師。老師每次上課都會(huì)提早五分鐘到，因?yàn)槲矣浀脴湮睦蠋熣f(shuō)過(guò)讓我們必須提早五分鐘到，老師看見(jiàn)有同學(xué)上課玩手機(jī)就會(huì)很生氣，因?yàn)槔蠋煵蛔屛覀兩险n玩手機(jī)，如果沒(méi)擦黑板老師會(huì)讓書記和班長(zhǎng)罰站，如果作業(yè)做的不認(rèn)真或者和老師的侄子叫同一個(gè)名字，你就會(huì)被提問(wèn)。老師有好多古怪的教學(xué)方法，讓我們覺(jué)得很有趣，每一節(jié)課都很輕松愉快。記得又一次身體不舒服，問(wèn)老師可不可以先走需不需要補(bǔ)假條，老師任性的說(shuō)了一句：走吧，不用補(bǔ)假條我說(shuō)的算。好霸氣...好溫暖，感謝擁有樹文這樣可愛(ài)任性的高代老師。

回顧半學(xué)期的學(xué)習(xí)，覺(jué)得高代這門課還是挺難的，最重要的一個(gè)因素就是它比較抽象，需要一定的抽象思維去理解它，不像數(shù)學(xué)分析那樣，很多東西都能夠通過(guò)畫畫圖什么的去理解它，而且，高代里面有許多概念，看似簡(jiǎn)單，但真正理解它，對(duì)于我而言，還是一個(gè)不小的困難。高等代數(shù)作為數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)科中最基礎(chǔ)的課程之一，相信以后的學(xué)習(xí)中會(huì)用到它的一些思想什么的，也許到那時(shí)，就會(huì)慢慢領(lǐng)悟其深刻含義了！

第四篇：教學(xué)大綱-廈門大學(xué)高等代數(shù)

教學(xué)大綱

一． 課程的教學(xué)目的和要求

通過(guò)這門課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握高等代數(shù)的基本知識(shí)，基本方法，基本思路，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)專業(yè)課打下良好的基礎(chǔ)，適當(dāng)?shù)亓私獯鷶?shù)的一些歷史，一些背景。

要突出傳授數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，讓學(xué)生盡早地更多地掌握數(shù)學(xué)的思想和方法。突出高等代數(shù)中等價(jià)分類的思想，分解結(jié)構(gòu)的思想，同構(gòu)對(duì)應(yīng)的思想，揭示課程內(nèi)部的本質(zhì)的有機(jī)聯(lián)系。

二．課程的主要內(nèi)容：

代數(shù)學(xué)是研究代數(shù)對(duì)象的結(jié)構(gòu)理論與表示方法的一門學(xué)科。代數(shù)對(duì)象是在一個(gè)集合上定義若干運(yùn)算，且滿足若干公理所構(gòu)成的代數(shù)系統(tǒng)，線性空間則是數(shù)學(xué)類專業(yè)本科生所接觸和學(xué)習(xí)的第一個(gè)代數(shù)對(duì)象。本課程力求突出代數(shù)學(xué)的思想和方法。

《高等代數(shù)》分為兩個(gè)部分主要內(nèi)容。一部分是基本工具性質(zhì)的，包括多項(xiàng)式，行列式，矩陣初步，二次型。既然是工具性質(zhì)的，因而除了多項(xiàng)式內(nèi)容外，也是數(shù)學(xué)專業(yè)以外的理科、工科、經(jīng)管類《線性代數(shù)》的內(nèi)容，以初等變換為靈魂的矩陣?yán)碚撌沁@部分內(nèi)容的核心。另外一部分是研究線性空間的結(jié)構(gòu)，這是研究代數(shù)結(jié)構(gòu)的起點(diǎn)和模型，也是《高等代數(shù)》有別于《線性代數(shù)》之所在。《高等代數(shù)》從三個(gè)角度進(jìn)行研究。從元素的角度看，研究向量間的線性表示，線性相關(guān)性，基向量；從子集角度看，研究子空間的運(yùn)算和直和分解；從線性空間之間的關(guān)系來(lái)研究線性空間結(jié)構(gòu)，就是線性映射，線性變換，線性映射的像與核，Jordan標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)應(yīng)的空間分解。而歐氏空間則是具體的研究空間的例子。在研究線性空間中，始終貫穿著幾何直觀和矩陣方法的有機(jī)結(jié)合，矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形和對(duì)應(yīng)的線性空間分解則是這種有機(jī)結(jié)合的生動(dòng)體現(xiàn)和提升，因而是本課程的精華內(nèi)容。

本課程力求突出幾何直觀和矩陣方法的對(duì)應(yīng)和互動(dòng)。我們強(qiáng)調(diào)矩陣?yán)碚?，把握?jiǎn)潔和直觀的代數(shù)方法，同時(shí)重視線性空間和線性映射（變換）的主導(dǎo)地位和分量，從幾何觀點(diǎn)理解和把握課程內(nèi)容。

三．課程教材和參考書：

教材：林亞南編著，高等代數(shù)，高等教育出版社，第一版

參考書：1.姚慕生編著，高等代數(shù)（指導(dǎo)叢書），復(fù)旦大學(xué)出版社，第二版 2.北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等代數(shù)，高等教育出版社，北京（1987）3.張禾瑞、郝炳新，高等代數(shù)，高等教育出版社，北京（1999）4.樊惲、鄭延履、劉合國(guó)，線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)，科學(xué)出版社，北京（2003）5.林亞南編：高等代數(shù)方法選講，2002年，見(jiàn)廈門大學(xué)精品課程“高等代數(shù)”網(wǎng)站 四．課程內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配

本課程開課時(shí)間：一學(xué)年（共兩學(xué)期），共170學(xué)時(shí)，其中課堂講授122學(xué)時(shí),習(xí)題討論課42學(xué)時(shí)，考試6學(xué)時(shí)。具體安排為：第一學(xué)期，80學(xué)時(shí)，其中課堂講授60學(xué)時(shí)，習(xí)題討論課18學(xué)時(shí)，半期考2學(xué)時(shí)；第二學(xué)期，90學(xué)時(shí)，其中課堂講授62學(xué)時(shí)，習(xí)題討論課24學(xué)時(shí)，單元考4學(xué)時(shí)；以上不包括期末考。課堂講授有全程教學(xué)錄像，習(xí)題討論課不錄像。

第一章 矩陣（28學(xué)時(shí)）

1、教學(xué)內(nèi)容：矩陣定義與運(yùn)算，分塊矩陣，行列式的定義，行列式的性質(zhì)，行列式的基本計(jì)算方法，Laplace定理，可逆矩陣，矩陣的初等變換與初等矩陣，矩陣的相抵標(biāo)準(zhǔn)形，矩陣的秩。

2、教學(xué)目的和要求：使學(xué)生正確掌握矩陣的運(yùn)算和運(yùn)算法則，熟練掌握矩陣的初等變換這一矩陣論的核心內(nèi)容和方法，掌握分塊矩陣的運(yùn)算，掌握矩陣的逆、矩陣的秩，掌握矩陣相抵的等價(jià)分類，化標(biāo)準(zhǔn)形的思想方法，理解行列式的歸納法定義，熟練掌握行列式的性質(zhì)，熟練掌握計(jì)算行列式基本方法，了解和應(yīng)用Laplace定理，了解行列式的等價(jià)定義。

3、各節(jié)教學(xué)時(shí)間分配及進(jìn)度安排:§1數(shù)域（1學(xué)時(shí)）；§2 矩陣和運(yùn)算（3學(xué)時(shí)）；§3分塊矩陣（2學(xué)時(shí)）；§4 行列式（6學(xué)時(shí)）；§5 行列式的展開式和Laplace定理（2學(xué)時(shí)）；§6可逆矩陣（2學(xué)時(shí)）；§7 初等變換和初等矩陣（4學(xué)時(shí)）；§8矩陣的秩（2學(xué)時(shí)）；習(xí)題討論課（6學(xué)時(shí)）。

第二章 線性方程組（14學(xué)時(shí)）

1、教學(xué)內(nèi)容：數(shù)域，列向量的線性關(guān)系，向量組的秩，線性方程組解的結(jié)構(gòu)。

2、教學(xué)目的和要求：使學(xué)生正確理解數(shù)域的概念，正確判斷和證明列向量的線性關(guān)系，掌握證明向量組的秩的命題的方法，熟練掌握線性方程組的解的判斷、計(jì)算和解的結(jié)構(gòu)。

3、各節(jié)教學(xué)時(shí)間分配及進(jìn)度安排:§1消元法（2學(xué)時(shí)）；§2 n維列向量（3學(xué)時(shí)）；§3向量組的秩（4學(xué)時(shí)）；§4 線性方程組解的結(jié)構(gòu)（2學(xué)時(shí)）；習(xí)題討論課（3學(xué)時(shí)）。

第三章 線性空間（14學(xué)時(shí)）

1、教學(xué)內(nèi)容：線性空間的定義，線性相關(guān)性：線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)，線性表示，線性等價(jià)的向量組，極大線性無(wú)關(guān)組，基與維數(shù)，基的變換與過(guò)渡矩陣，線性空間的同構(gòu)，子空間的定義與判斷，子空間分解，關(guān)于子空間的交空間和和空間的維數(shù)公式。

2、教學(xué)目的及要求：使學(xué)生正確理解線性空間的定義，從定義出發(fā)正確判斷和證明向量組的線性關(guān)系，把握一批重要實(shí)例的基與維數(shù)，掌握計(jì)算矩陣的秩的初等變換方法和子式方法，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰蜏?zhǔn)確簡(jiǎn)明的表達(dá)能力，熟悉同構(gòu)的思想，等價(jià)分類的思想，直和分解的思想。

3、各節(jié)教學(xué)時(shí)間分配進(jìn)度安排：§1線性空間（2學(xué)時(shí)）；§2基和維數(shù)（2學(xué)時(shí)）；§3坐標(biāo)（2學(xué)時(shí)）；§4 子空間（2學(xué)時(shí)）；§5 直和分解（2學(xué)時(shí)）；習(xí)題討論課（4學(xué)時(shí)）。

第四章 線性映射（22學(xué)時(shí)）

1、教學(xué)內(nèi)容：線性映射和線性變換，兩個(gè)線性空間的線性映射（變換）的全體構(gòu)成集合的代數(shù)結(jié)構(gòu)，線性映射與矩陣的同構(gòu)對(duì)應(yīng)，線性映射的核與像 以及維數(shù)公式，線性變換的不變子空間和導(dǎo)出變換。

2、教學(xué)目的及要求：使學(xué)生準(zhǔn)確理解和掌握線性映射（變換）的概念，理解線性映射由基的像唯一確定及其應(yīng)用；掌握兩個(gè)線性空間之間的線性映射（變換）的全體在定義了加法、數(shù)乘（和乘法）運(yùn)算后構(gòu)成線性空間（代數(shù)）；熟練掌握用核空間與像空間刻畫單滿線性映射，熟練掌握維數(shù)公式；學(xué)會(huì)在同構(gòu)意義下線性映射的命題與矩陣的命題之間的轉(zhuǎn)化；學(xué)會(huì)以上內(nèi)容在具體例子的實(shí)現(xiàn)和計(jì)算。

3、各節(jié)教學(xué)時(shí)間分配進(jìn)度安排：§1映射（2學(xué)時(shí)）；§2 線性映射和運(yùn)算（4學(xué)時(shí)）；§3 同構(gòu)（3學(xué)時(shí)）；§4像與核（3學(xué)時(shí)）；§5 線性變換（3學(xué)時(shí)）；§6 不變子空間（2學(xué)時(shí)）；習(xí)題討論（5學(xué)時(shí)）。

第五章 多項(xiàng)式（24學(xué)時(shí)）

1、教學(xué)內(nèi)容：一元多項(xiàng)式的概念，多項(xiàng)式的運(yùn)算，整除的概念與性質(zhì)，帶余除法，最大公因式的唯一性、存在性，Euclidean輾轉(zhuǎn)相除法，互素的性質(zhì)及判定；中國(guó)剩余定理；不可約多項(xiàng)式及其性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)分解式，重因式的判定與求法；多項(xiàng)式函數(shù)的根，余數(shù)定理，根的個(gè)數(shù)；代數(shù)基本定理，復(fù)數(shù)域上多項(xiàng)式的分解，Vieta定理；實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的不可約多項(xiàng)式，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的分解；有理系數(shù)多項(xiàng)式的根，本原多項(xiàng)式，Gauss引理，Eisenstein判別法；多元多項(xiàng)式的基本概念，多元多項(xiàng)式中單項(xiàng)式的排列次序，關(guān)于乘積首項(xiàng)和次數(shù)；對(duì)稱多項(xiàng)式，初等對(duì)稱多項(xiàng)式，對(duì)稱多項(xiàng)式的基本定理。

2、教學(xué)目的及要求：使學(xué)生掌握多項(xiàng)式全體作為線性空間的代數(shù)結(jié)構(gòu)的運(yùn)算法則；熟練掌握和應(yīng)用帶余除法定理；熟練掌握最大公因式和互素的判別方法和基本性質(zhì)；熟練掌握和應(yīng)用因式分解定理，掌握不可約多項(xiàng)式的基本性質(zhì)，了解重因式與重根的聯(lián)系，掌握復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式，掌握有理系數(shù)多項(xiàng)式的Gauss引理，Eisenstein判別法；了解多元多項(xiàng)式與了解多元多項(xiàng)式函數(shù)的關(guān)系，理解和掌握對(duì)稱多項(xiàng)式的基本定理和Newton公式。

3、各節(jié)教學(xué)時(shí)間分配及進(jìn)度安排：§1一元多項(xiàng)式和運(yùn)算（1.5學(xué)時(shí)）；§2 整除（2學(xué)時(shí)）；§3 最大公因式（2.5學(xué)時(shí)）；§4 標(biāo)準(zhǔn)分解式（2學(xué)時(shí)）；§5 多項(xiàng)式函數(shù)（2學(xué)時(shí)）；§6復(fù)系數(shù)和實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式（1.5學(xué)時(shí)）；§8 有理系數(shù)和整系數(shù)多項(xiàng)式（2.5學(xué)時(shí)）；§9 多元多項(xiàng)式（1.5學(xué)時(shí)）；§10 對(duì)稱多項(xiàng)式（2.5學(xué)時(shí)）；習(xí)題討論課（6學(xué)時(shí)）。第一單元考試（2學(xué)時(shí)）。

第六章 特征值（16學(xué)時(shí)）

1、教學(xué)內(nèi)容：特征值和特征向量，特征多項(xiàng)式及其性質(zhì)，特征值、特征向量的求法；復(fù)方陣相似于上三角陣及其應(yīng)用；矩陣可對(duì)角化的判定和計(jì)算，特征子空間，特征值的代數(shù)重?cái)?shù)、幾何重?cái)?shù)，完全特征向量系；零化多項(xiàng)式和極小多項(xiàng)式，Cayley-Hamilton定理。

2、教學(xué)目的及要求：使學(xué)生掌握特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式、特征子空間、極小多項(xiàng)式的定義和基本性質(zhì)；清楚零化多項(xiàng)式和極小多項(xiàng)式的關(guān)系，掌握Cayley-Hamilton定理；熟練掌握計(jì)算特征值與特征向量，可對(duì)角化的判定和計(jì)算。

3、各節(jié)教學(xué)時(shí)間分配及進(jìn)度安排：線性空間線性映射知識(shí)回顧（4學(xué)時(shí)）；§1 特征值和特征向量（3學(xué)時(shí)）；§2 可對(duì)角化（2.5學(xué)時(shí)）；§3 極小多項(xiàng)式（2.5學(xué)時(shí)）；習(xí)題討論課（4學(xué)時(shí)）。

第七章 相似標(biāo)準(zhǔn)形（22學(xué)時(shí)）

1、教學(xué)內(nèi)容：多項(xiàng)式矩陣和矩陣多項(xiàng)式，λ-矩陣的相抵，初等λ-矩陣；λ-矩陣的法式；矩陣的行列式因子，不變因子，初等因子；不變因子和Frobenius型；初等因子和Jondan小塊，矩陣相似的全系不變量；Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：Jordan 標(biāo) 準(zhǔn)形對(duì)應(yīng)的不變子空間分解；根子空間，循環(huán)子空間。

2、教學(xué)目的及要求：使學(xué)生了解多項(xiàng)式矩陣與矩陣多項(xiàng)式的關(guān)系，λ－矩陣的相抵與矩陣相似的關(guān)系．掌握行列式因子、不變因子、初等因子的概念與計(jì)算，掌握不變因子與Frobenius型的對(duì)應(yīng)，初等因子組與Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的對(duì)應(yīng)，Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)應(yīng)的不變子空間分解。

3、各節(jié)教學(xué)時(shí)間分配及進(jìn)度安排： §1 λ-矩陣的法式（2學(xué)時(shí)）；§2 特征矩陣（1.5學(xué)時(shí)）；§3 不變因子和Frobenius標(biāo)準(zhǔn)形（2.5學(xué)時(shí)）；§4 初等因子組和廣義Jordan標(biāo)準(zhǔn)形（2學(xué)時(shí)）；§5 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形（2學(xué)時(shí)）；§6 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形的進(jìn)一步討論（6學(xué)時(shí)）；習(xí)題討論課（6學(xué)時(shí)）。第二單元考試（2學(xué)時(shí)）。

第八章 歐氏空間(14學(xué)時(shí))

1、教學(xué)內(nèi)容：內(nèi)積和內(nèi)積空間的概念，向量的長(zhǎng)度，夾角，平行和正交，Cauchy-Schwarz不等式，三角不等式；單位向量，正交基，標(biāo)準(zhǔn)正交基，標(biāo)準(zhǔn)正交基的過(guò)度矩陣，Schmidt正交化，正交補(bǔ)空間，度量矩陣，Bessel不等式；正交變換與正交陣的判別及性質(zhì)；正交相似，對(duì)稱變換的性質(zhì)，實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似的全系不變量，實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似標(biāo)準(zhǔn)形。

2、教學(xué)目的及要求：使學(xué)生掌握歐氏空間的度量概念與度量性質(zhì)，掌握正交相似關(guān)系，掌握正交變換和正交矩陣的對(duì)應(yīng)，對(duì)稱變換與對(duì)稱矩陣的對(duì)應(yīng)，從矩陣的正交相似關(guān)系進(jìn)一步熟練掌握等價(jià)分類的思想。

3、各節(jié)教學(xué)時(shí)間分配進(jìn)度安排：§1內(nèi)積和歐氏空間（1學(xué)時(shí)）；§2標(biāo)準(zhǔn)正交基（4.5學(xué)時(shí)）；§3 對(duì)稱變換和對(duì)稱矩陣（0.5學(xué)時(shí)）；§4 正交變換和正交矩陣（4學(xué)時(shí)）；習(xí)題討論課（4課時(shí)）。

第九章 二次型（10學(xué)時(shí)）

1、教學(xué)內(nèi)容：二次型與對(duì)稱矩陣的對(duì)應(yīng)，二次型的非退化線性替換與對(duì)稱陣的合同關(guān)系；二次型化簡(jiǎn)的配方法和初等變換法；復(fù)二次型的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)形，慣性定理，正慣性指數(shù)，負(fù)慣性指數(shù)，符號(hào)差，實(shí)二次形的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)形；正定型與正定矩陣；半正定型與半正定陣、負(fù)定型與負(fù)定陣。

2、教學(xué)目的及要求：使學(xué)生掌握用非退化線性替換，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形，掌握判斷二次型的正定性的方法，從對(duì)稱矩陣的合同關(guān)系理解等價(jià)分類的思想。

3、各節(jié)教學(xué)時(shí)間分配進(jìn)度安排：§1二次型與矩陣的合同（2學(xué)時(shí)）；§2規(guī)范形（1.5學(xué)時(shí)）；§3正定二次型（2.5學(xué)時(shí)）；習(xí)題討論課（4學(xué)時(shí)）。

第五篇：2014福州大學(xué)高等代數(shù)考研資料免費(fèi)下載

2014福州大學(xué)高等代數(shù)考研資料免費(fèi)下載

歷年考研真題試卷

福州大學(xué)2007年招收碩士研究生入學(xué)考試試卷

考試科目高等代數(shù)科目編號(hào)818

注意：作圖題答案可直接做在試卷上。所有的作圖題均應(yīng)保留精確的作圖線條。試卷必須與答卷一起交。答題時(shí)不必抄原題，但必須寫清所答題目順序號(hào)。

一、簡(jiǎn)答題（每小題3分，滿分30分）

1、計(jì)算行列式，其中，但(思遠(yuǎn)福大考研網(wǎng))。

2、在線性空間中，求向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。

3、已知3階矩陣滿足，求的所有特征值，這里表示單位矩陣。

4、在線性空間中，已知向量共面，求。

5、設(shè)是線性空間中的線性變換，滿足

求在基下的矩陣(思遠(yuǎn)福大考研網(wǎng))。

6、設(shè)，若被整除，求。

7、設(shè)矩陣，其中線性無(wú)關(guān)，向量，求方程組的通解；

8、設(shè)，它們相似嗎？

9、求矩陣的最小多項(xiàng)式和若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。

10、討論二次型何時(shí)正定(思遠(yuǎn)福大考研網(wǎng))。

二、解答題（第11-18題，每題15分滿分120分）

11、（1）設(shè)是正定實(shí)對(duì)稱矩陣，則對(duì)任一正整數(shù)，存在正定實(shí)對(duì)稱矩陣，使；

（2）設(shè)是滿秩實(shí)矩陣，則存在正定實(shí)對(duì)稱矩陣和正交矩陣，使。

12、設(shè)是數(shù)域，（表示元素在的矩陣全體），且，對(duì)于的子空間，,，證明：。

13、設(shè)為有理數(shù)域，是上的線性空間，是的線性變換，設(shè)，且，，證明：（1）線性無(wú)關(guān)；

（2）線性無(wú)關(guān)(思遠(yuǎn)福大考研網(wǎng))。

14、設(shè)是數(shù)域上矩陣關(guān)于矩陣加法和數(shù)乘作成的線性空間，定義變換。（1）證明是上的的對(duì)合線性變換，即滿足（恒等變換）的線性變換；（2）求的特征值和特征向量；

15、求多項(xiàng)式在有理數(shù)域上的分解式。

16、設(shè)，求一個(gè)正交矩陣，使成對(duì)角矩陣。

17、設(shè)向量分別屬于方陣的不同特征值的特征向量(思遠(yuǎn)福大考研網(wǎng))，證明向量組線性無(wú)關(guān)。

18、設(shè)是有限維歐式空間的一個(gè)正交變換，且其中是一個(gè)正整數(shù)且，是的恒等變換，令，證明：

（1）是的一個(gè)子空間；（2）是的一個(gè)不變子空間，其中是的正交補(bǔ)；