第一篇：高等代數(shù)教案第一章基本概念

第一章

一 綜述

基本概念

1．本章是本門課程所需要的最基本概念（集合、映射、整數(shù)的一些性質(zhì)、數(shù)環(huán)和數(shù)域）和方法（數(shù)學(xué)歸納法、反證法）.所需位置不同,可根據(jù)課時(shí)安排及進(jìn)度分散處理.如集合、整數(shù)的一些整除性質(zhì)、數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)環(huán)和數(shù)域可先講,映射可放在線性空間前講.2．從內(nèi)容上講,除集合中的卡氏積的概念及數(shù)環(huán)、數(shù)域的概念外,其它內(nèi)容是學(xué)生在中學(xué)數(shù)學(xué)當(dāng)中熟知的,只不過是將有關(guān)內(nèi)容的系統(tǒng)化、理論化（如整數(shù)的整除性、映射、數(shù)學(xué)歸納法,其在中學(xué)中熟知其一些事實(shí),今在理論上加以嚴(yán)密論證）.3．新的知識(shí)點(diǎn)是集合的卡氏積、數(shù)環(huán)、數(shù)域的概念,數(shù)學(xué)歸納法作為定理的論證.4．學(xué)習(xí)本部分的難點(diǎn)是：從概念出發(fā)進(jìn)行推理論證,這需要從具體例子引導(dǎo)訓(xùn)練,逐步培養(yǎng).二 重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)在于所有基本概念,特別是引入的新概念.2.難點(diǎn)是可逆映射、整數(shù)的整除性、數(shù)學(xué)歸納法本身的證明.1．1

集

合

一 教學(xué)思考

1．集合可以作為不定義的概念來處理,有些教材上給出了一個(gè)簡(jiǎn)單刻化.2．確定一個(gè)集合A,就是要確定哪些是集合的元素,哪些不是集合的元素.說明一個(gè)集合包含哪些元素時(shí),常用“列舉法”、“示性法”（描述法）.3．中學(xué)代數(shù)大部分的內(nèi)容是計(jì)算,因此一開始遇到證明題時(shí),往往不知從何入手,此需注意培養(yǎng)學(xué)生的推理能力,這里應(yīng)通過證明“集合相等”來加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練.4．為稍拓寬知識(shí),可講解一下補(bǔ)集、冪集等概念.二 重點(diǎn)、要求

1．重點(diǎn)、難點(diǎn)：卡氏積的概念及從概念出發(fā)（集合相等、子集等）進(jìn)行推理.2．要求：使學(xué)生了解有關(guān)集合的刻化及運(yùn)算,培養(yǎng)推理能力.三 教學(xué)過程

1．集合：簡(jiǎn)稱集,在此是一個(gè)不定義的原始概念,通?？山o出如下描述性的解釋：即所謂集合,是指由某些確定的事物（或具有某種性質(zhì)的事物）組成的集體.其中每個(gè)事物稱為這個(gè)集合的元素.常用大寫字母A、B、C?表示集合,用小寫字母a、b、c?表示集合的元素.若a是集合A的元素,就說a屬于A,記作a?A,或者說A包含a.若a不是集合A的元素,就說a不屬于A,記作a?A,或者說A 不包含a.常采用兩種方法：

（1）列舉法：列出集合的所有元素（包括利用一定的規(guī)律列出無限集）的方法.如A??1,2,3,??.（2）示性法（描述法）：給出集合所具有的特征性質(zhì).如B?x|x?3x?4?0表示方程

?2?x2?3x?4?0的解集.2．集合的分類（按所含元素的個(gè)數(shù)分）： 有限集：只含有有限多個(gè)元素的集合.無限集：由無限多個(gè)元素組成的集合.空集：不含任何元素的集合.用?表示.約定：?是任何集合的子集.3．集合間的關(guān)系：

（1）設(shè)A、B是兩個(gè)集合.“?x?A?x?B”）子集：若A的每個(gè)元素都是B的元素,則稱A是B的子集（即若..記作A?B

?如：f:R?R,x?x;g:R?R,x?2．映射的合成

x2.有f?g.（1）定義3.設(shè)f:A?B,g:B?C是兩個(gè)映射,對(duì)?x?A,有f(x)?B,從而g(f(x))?C,這樣,對(duì)?x?A,就有C中唯一的g(f(x))與之對(duì)應(yīng),就得到A到C的一個(gè)映射,這個(gè)映射是由f:A?B和g:B?C所決定的,稱為f與g的合成.記作g?f.即：g?f:A?C,x?g(f(x)).例子：f:R?R,x?x2;g:R?R,x?sinx.則

g?f:R?R,x?sinx2;f?g:R?R,x?sin2x.（2）映射合成滿足結(jié)合律：

設(shè)f:A?B,g:B?C,h:C?D,則由合成映射的定義可得A?D的兩個(gè)映射：h?(g?f),(h?g)?f,則h?(g?f)?(h?g)?f.3．幾類特殊映射

定義4.設(shè)f:A?B,對(duì)?x?A,有f(x)?B,則所有這樣的象所作成B的子集,用f(A)表示,即f(A)??f(x)|x?A?,叫做A在f下的象,或叫做映射f的象.（1）滿射: 定義5.設(shè)f:A?B是一映射,若f(A)?B,則稱f是A到B上的一個(gè)映射,也稱f是一個(gè)滿射.（2）單射: 定義6.設(shè)f:A?B是一個(gè)映射,若對(duì)?x1,x2?A,只要x1?x2,就有f(x1)?f(x2),則稱f是A到B的一個(gè)單射,簡(jiǎn)稱單射.（3）雙射（1-1對(duì)應(yīng)）:定義7.若f:A?B既是單射又是滿射,即

1）若 f(x1)?f(x2)?x1?x2,?x1,x2?A；

2）f(A)?B.則稱f是A到B的一個(gè)雙射.特別若f是A到A上的一個(gè)1-1對(duì)應(yīng),就稱f為A的一個(gè)一一變換；有限集A到自身的雙射稱為A的一個(gè)置換.如：jA是A的一個(gè)一一變換,同樣jB是B的一個(gè)一一變換.由映射合成及相等：若f:A?B,則有f?jA?f,jB?f?f.TH1.2.1令f:A?B是一個(gè)映射,則：下述兩條等價(jià)：1）f是雙射；2）存在g:B?A使得g?f?jA,f?g?jB.且2）成立時(shí),其中的g由f唯一決定.（4）可逆映射及其逆映射

定義8.設(shè)f:A?B,若存在g:B?A,使得g?f?jA,f?g?jB,則稱f是可逆映射,且稱g為f的逆映射.求其逆的方法

由定理知：f:A?B可逆?f是雙射.而驗(yàn)證雙射有具體方法,所以可先證f可逆（雙射）,再求其逆.而由TH1證知f可逆時(shí)其逆唯一為g:B?A,y?x（若f(x)?y)（即對(duì)y?B,找在f下的原象）.（5）代數(shù)運(yùn)算

引例：我們常說整數(shù)加法是整數(shù)的一個(gè)“代數(shù)運(yùn)算”.其意思是說對(duì)任一對(duì)整數(shù)(a,b),有確定的唯一一個(gè)整數(shù)（通過相加）與之對(duì)應(yīng),用映射的觀點(diǎn)來說整數(shù)加法是Z?Z?Z的一個(gè)映射：?:(a,b)?a?b.同樣實(shí)數(shù)乘法亦然.一般地：

定義9.設(shè)A是一個(gè)非空集合,我們把A?A?A的一個(gè)映射叫做集合A的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算.若集合A 有代數(shù)運(yùn)算?,也說A對(duì)?封閉.要從中體會(huì)嚴(yán)格的推理論述.此與多項(xiàng)式相應(yīng)的問題平行,到時(shí)應(yīng)對(duì)照學(xué)習(xí).1.整除、帶余除法（1）整除

這時(shí)a叫做b的一個(gè)因數(shù),而b叫做a的一個(gè)倍數(shù).若a不整除b（即對(duì)?d?Z,ad?b）,記作a|b.B）整除的性質(zhì)：

1）a|b,b|c?a|c；

（傳遞性）2）a|b,a|c?a|(b?c);3）a|b,?c?Z?a|bc；

4）由2）、3）a|bi,?ci?Z,i?1,2,3,?,n?a|?bcii；

5）?1|a,a|0,?a|a(?a?Z)；由此任意整數(shù)a有因數(shù)?1,?a,它們稱為a的平凡因數(shù)； 6）若a|b??a|?b；

7）a|b且b|a?a?b或a??b.（對(duì)稱性）(2)帶余除法

“整除”是整數(shù)間的一種關(guān)系,任意兩個(gè)整數(shù)可能有這種關(guān)系,可能沒有這種關(guān)系,一般地有：

TH1.4.1(帶余除法)設(shè)a,b?Z,且a?0；那么?q,r?Z使得b?aq?r

且0?r?a.滿足上述條件的q,r是唯一的.2.最大公因數(shù)、互素（1）最大公因數(shù)

且c|a,c|b?c|d（即d能被a與b的任一個(gè)公因數(shù)整除）.則稱d為a與b的一個(gè)最大公因數(shù).最大公因數(shù)的概念可推廣至有限個(gè)整數(shù).B）最大公因數(shù)的存在性（及求法）

TH1.4.2 任意n(n?2)個(gè)整數(shù)a1,a2,?,an都有最大公因數(shù)；若d為a1,a2,?,an的一個(gè)最大公因數(shù),則?d也是；a1,a2,?,an的兩個(gè)最大公因數(shù)至多相差一個(gè)符號(hào).C）性質(zhì)

TH1.4.3 設(shè)d為a1,a2,?,an的一個(gè)最大公因數(shù),那么?t1,t2,?,tn?Z使得A）定義1.設(shè)a,b?Z,若?d?Z使得b?ad,則稱a整除b（或b被a整除）.用符號(hào)a|b表示.d|a且d|bA）定義2.設(shè)a,b?Z,d?Z,若d滿足：1）（即d是a與b的一個(gè)公因數(shù)）；2）若c?Zd?t1a1?ta2??2?tnan.略證：若a1?a2???an?0,則d?0,從而對(duì)?ti?Z都有0?t1a1?t2a2???tnan；若ai不全為0,由證明過程知結(jié)論成立.（2）互素

定義3.設(shè)a,b?Z,若(a,b)?1,則稱a,b互素；一般地設(shè)a1,a2,?,an?Z,若(a1,a2,?,an)?1,則稱a1,a2,?,an互素.3.素?cái)?shù)及其性質(zhì)

（1）定義4.一個(gè)正整數(shù)p?1叫做一個(gè)素?cái)?shù),若除?1,?p外沒有其他因數(shù).（2）性質(zhì)

1）若p是一個(gè)素?cái)?shù),則對(duì)?a?Z有(a,p)?p或(a,p)?1.（注意轉(zhuǎn)換為語言敘述,證易；略）

2）?a?Z且a?0,?1；則a可被某一素?cái)?shù)整除.3）TH1.4.5 設(shè)p是一個(gè)素?cái)?shù),a,b?Z,若p|ab,則p|a或p|b.TH1.4.4 n個(gè)整數(shù)a1,a2,?,an互素??t1,t2,?,tn?Z使得t1a1?t2a2???tnan?1.6-

第二篇：高等代數(shù)教案第四章線性方程組

第四章

線性方程組

一 綜述

線性方程組是線性代數(shù)的主要內(nèi)容之一.本章完滿解決了關(guān)于線性方程組的三方面的問題,即何時(shí)有解、有解時(shí)如何求解、有解時(shí)解的個(gè)數(shù),這在理論上是完美的.作為本章的核心問題是線性方程組有解判定定理（相容性定理）,為解決這個(gè)問題,從中學(xué)熟知的消元法入手,分析了解線性方程組的過程的實(shí)質(zhì)是利用同解變換,即將方程的增廣矩陣作行變換和列的換法變換化為階梯形（相應(yīng)得同解方程組）,由此相應(yīng)的簡(jiǎn)化形式可得出有無解及求其解.為表述由此得到的結(jié)果,引入了矩陣的秩的概念,用它來表述相容性定理.其中實(shí)質(zhì)上也看到了一般線性方程組有解時(shí),也可用克萊姆法則來求解（由此得所謂的公式解——用原方程組的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)表示解）.內(nèi)容緊湊,方法具體.其中矩陣的秩的概念及求法也比較重要,也體現(xiàn)了線性代數(shù)的重要思想（標(biāo)準(zhǔn)化方法）.線性方程組內(nèi)容的處理方式很多,由于有至少五種表示形式,其中重要的是矩陣形式和線性形式,因而解線性方程組的問題與矩陣及所謂線性相關(guān)性關(guān)系密切；本教材用前者（矩陣）的有關(guān)問題討論了有解判定定理,用后者討論了（有無窮解時(shí)）解的結(jié)構(gòu).實(shí)際上線性相關(guān)性問題是線性代數(shù)非常重要的問題,在以后各章都與此有關(guān).另外,從教材內(nèi)容處理上來講,不如先講矩陣及線性相關(guān)性,這樣關(guān)于線性方程組的四個(gè)問題便可同時(shí)討論.二 要求

掌握消元法、矩陣的初等變換、秩、線性方程組有解判定定理、齊次線性方程組的有關(guān)理論.重點(diǎn)：線性方程組有解判別法,矩陣的秩的概念及求法.4.1 消元法

一 教學(xué)思考

本節(jié)通過具體例子分析解線性方程組的方法——消元法,實(shí)質(zhì)是作方程組的允許變換（同解變換）化為標(biāo)準(zhǔn)形,由此得有無解及有解時(shí)的所有解.其理論基礎(chǔ)是線性方程組的允許變換（換法、倍法、消法）是方程組的同解變換.而從形式上看,施行變換的過程僅有方程組的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)參與,因而可用矩陣（線性方程組的增廣矩陣）表述,也就是對(duì)（增廣）矩陣作矩陣的行（或列換法）初等變換化為階梯形,進(jìn)而化為標(biāo)準(zhǔn)階梯形,其體現(xiàn)了線性代數(shù)的一種重要的思想方法——標(biāo)準(zhǔn)化的方法.二 內(nèi)容要求

主要分析消元法解線性方程組的過程與實(shí)質(zhì),以及由同解方程組討論解的情況（存在性與個(gè)數(shù)）,為下節(jié)作準(zhǔn)備,同時(shí)指出引入矩陣的有關(guān)問題（初等變換等）的必要性,矩陣的初等變換和方程組的同解變換間的關(guān)系.三 教學(xué)過程

1?1x??213x2?x3?1?5?1．引例：解方程組?x1?x2?3x3?

3（1）

3??2x?4x?5x?2123?3?定義：我們把上述三種變換叫做方程組的初等變換,且依次叫換法變換、倍法變換、消法變換.2．消元法的理論依據(jù)

TH4.1.1初等變換把一個(gè)線性方程組變?yōu)榕c它同解的線性方程組（即線性方程組的初等變換是同解變換.）

3．轉(zhuǎn)引

在上面的討論中,我們看到在對(duì)方程組作初等變換時(shí),只是對(duì)方程組的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行了運(yùn)算,而未知數(shù)沒有參加運(yùn)算,也就是說線性方程組有沒有解以及有什么樣的解完全決定于它的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng),因

?a11??a21A??a12a22?a1n???a2n?,則A可經(jīng)過一系列行初等變換和第一種列初等變換化為如下形式：

????????am1a?a?m2mn????1?????????01?????????????????????000?1brr?1????； ?000?00?0??????????????000?00?0??進(jìn)而化為以下形式：

??100?0c1r?1?c1n??010?0c?c??2r?12n?????????????000?1crr?1?c?rn?.其中r?0,r?m,r?n,“?”表示不同的元素.?000?00?0??????????????000?00?0??5）用矩陣的初等變換解線性方程組

?a11x1?對(duì)線性方程組：?a12x2???a1nxn?b1???ax1?a22x2???a2nxn?b?212?

（1）???????am1x1?am2x2???amnxn?bm????a11a12?a1n?由定理1其系數(shù)矩陣A??aa?a??21222n???????可經(jīng)過行初等變換和列換法變換化為 ??am1am2?a?mn????100?0c1r?1?c1n??010?0c?c??2r?12n?????????????000?1crr?1?c?rn?；則對(duì)其增廣矩陣 ?000?00?0??????????????000?00?0??

?y1?d1?c1r?1kr?1???c1nkn?y?d?ck???ck22r?1r?12nn?2????,這也是（1）的解,由kr?1,?,kn的任意性（1）有無窮多解.?yr?dr?crr?1kr?1???crnkn?yr?1?kr?1?????yn?kn??x1?2x2?3x3?x4?5?2x?4x?x??3?124例1 解線性方程組?.??x1?2x2?5x3?2x4?8??x1?2x2?9x3?5x4??21解：對(duì)增廣矩陣作行初等變換：

?2315??1?1???40?1?3???2A???0?1?2528?????0?12?9?5?21?????020?0100001212003???2?13? 6?0??0?13?x?2x?x??24?122同解,故原方程組的一般解為所原方程組與方程組?113?x3?x4?26?31?x???2x?x42?122.?131?x3??x462?4.2 矩陣的秩

線性方程組可解判別法

一 教學(xué)思考

1．本節(jié)在上節(jié)消元法對(duì)線性方程組的解的討論的基礎(chǔ)上,引入了矩陣的秩的概念,以此來表述有解判定定理,在有解時(shí)從系數(shù)矩陣的秩與未知數(shù)的個(gè)數(shù)間的關(guān)系可討論解的個(gè)數(shù),其中在有無數(shù)解時(shí)引入了一般解與通解的概念.2．矩陣的秩的概念是一個(gè)重要的概念,學(xué)生易出問題.定義的表述不易理解,應(yīng)指出秩是一個(gè)數(shù)（非負(fù)整數(shù)）r,其含義是至少有一個(gè)r階非零子式,所有大于r階（若有時(shí)）子式全為0.重要的是“秩”的性質(zhì)——初等變換下不變,提供了求秩的另一方法——初等變換法.3．本節(jié)內(nèi)容與上一節(jié)和下一節(jié)互有聯(lián)系,結(jié)論具體,方法規(guī)范,注意引導(dǎo)總結(jié)歸納.二 內(nèi)容要求

1． 內(nèi)容：矩陣的秩、線性方程組可解判定定理

2． 要求：掌握矩陣的秩的概念、求法及線性方程組求解判定定理 二 教學(xué)過程

1．矩陣的秩（1）定義

??x1?x2?x3?1??x1??x2?x3?? ?x?x??x??23?124.3 線性方程組的公式解

一 教學(xué)思考

1．本節(jié)在理論上解決了當(dāng)線性方程組有解時(shí),用原方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)將解表示出來——即公式解,結(jié)論的實(shí)質(zhì)是克拉默法則的應(yīng)用.其中過程是在有解判定的基礎(chǔ)上選擇r個(gè)適當(dāng)方程而得,可歸納方法步驟（方程的選擇、自由未知量的選擇）,內(nèi)容規(guī)范完整,理論作用較大,實(shí)用性較小.2．作為特殊的線性方程組——齊次線性方程組的解的理論有特殊的結(jié)果,易于敘述和理解,需注意其特殊性（與一般的區(qū)別,解的存在性、解的個(gè)數(shù)等）.二 內(nèi)容要求

1．內(nèi)容：線性方程組的公式解,齊次線性方程組的解

2．要求：了解線性方程組的公式解,掌握齊次線性方程組的解的結(jié)論 三 教學(xué)過程

1．線性方程組的公式解

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b2112222nn2

（1）有解時(shí),用方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)把解本節(jié)討論當(dāng)方程組???????am1x1?am2x2???amnxn?bm表示出來的問題——公式解.處理這個(gè)問題用前面的方法——消元法是不行的,因?yàn)檫@個(gè)過程使得系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)發(fā)生了改變,但其思想即化簡(jiǎn)得同解線性方程組的思想是重要的,所以現(xiàn)今能否用其它方法把（1）化簡(jiǎn)得同解方程組且系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)不變,才可能尋求公式解.?x1?2x2?x3?2,(G1)?為此看例,考察?2x1?3x2?x3?3,(G2)

（2）

?4x?x?x?7,(G)3?123顯然G1,G2,G3間有關(guān)系G3?2G1?G2,此時(shí)稱G3是G1,G2的結(jié)果（即可用G1,G2線性表示）.則方程組（2）與??x1?2x2?x3?2(G1)同解.2x?3x?x?3(G)232?1同樣地,把（1）中的m個(gè)方程依次用G1,G2,?,Gm表示,若在這m個(gè)方程中,某個(gè)方程Gi是其它若干個(gè)方程的結(jié)果,則可把（1）中的Gi舍去,從而達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.即現(xiàn)在又得到化簡(jiǎn)（1）的方法：不考慮（1）中那些是其它若干個(gè)方程的結(jié)果,而剩下的方程構(gòu)成與（1）同解的方程組.現(xiàn)在的問題是這樣化簡(jiǎn)到何種程度為止,或曰這樣化簡(jiǎn)的方程組最少要保留原方程組中多少個(gè)方程.由初等變換法,若（1）的r(A)?r,則可把（1）歸結(jié)為解一個(gè)含有r個(gè)方程的線性方程組.同樣

TH4.3.1設(shè)方程組（1）有解,r(A)?r(A)?r(?0),則可以在（1）中的m個(gè)方程中選取r個(gè)方程,使得剩下的m?r個(gè)方程是這r個(gè)方程的結(jié)果.因而解（1）歸結(jié)為解由這r個(gè)方程組成的方程組.下看如何解方程組：

第三篇：高等代數(shù)與高等數(shù)學(xué)

高等代數(shù)與高等數(shù)學(xué)的區(qū)別

高等代數(shù)、數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)中更細(xì)的數(shù)學(xué)研究的分類。高等代數(shù)是代數(shù)方向的究，而數(shù)學(xué)分析使用極限方法研究函數(shù)特性的數(shù)學(xué)。而高等數(shù)學(xué)是對(duì)非數(shù)學(xué)專業(yè)的人學(xué)習(xí)的區(qū)別于初等數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)，應(yīng)當(dāng)包括高等代數(shù)和數(shù)學(xué)分析部分。

高等代數(shù)是代數(shù)學(xué)發(fā)展到高級(jí)階段的總稱，它包括許多分支?，F(xiàn)在大學(xué)里開設(shè)的高等代數(shù)，一般包括兩部分：線性代數(shù)初步、多項(xiàng)式代數(shù)。高等代數(shù)在初等代數(shù)的基礎(chǔ)上研究對(duì)象進(jìn)一步的擴(kuò)充，引進(jìn)了許多新的概念以及與通常很不相同的量，例如最基本的有集合、向量和向量空間等。這些量具有和數(shù)相類似的運(yùn)算的特點(diǎn)，不過研究的方法和運(yùn)算的方法都更加繁復(fù)。

集合是具有某種屬性的事物的全體；向量是除了具有數(shù)值還同時(shí)具有方向的量；向量空間也叫線性空間，是由許多向量組成的并且符合某些特定運(yùn)算的規(guī)則的集合。向量空間中的運(yùn)算對(duì)象已經(jīng)不只是數(shù)，而是向量了，其運(yùn)算性質(zhì)也有很大的不同了。

其研究對(duì)象不僅是數(shù)，也可能是矩陣、向量、向量空間的變換等，對(duì)于這些對(duì)象，都可以進(jìn)行運(yùn)算，雖然也叫做加法或乘法，但是關(guān)于數(shù)的基本運(yùn)算定律，有時(shí)不再保持有效。因此代數(shù)學(xué)的內(nèi)容可以概括稱為帶有運(yùn)算的一些集合，在數(shù)學(xué)中把這樣的一些集合，叫做代數(shù)系統(tǒng)。比較重要的代數(shù)系統(tǒng)有群論、環(huán)論、域論。群論是研究數(shù)學(xué)和物理現(xiàn)象的對(duì)稱性規(guī)律的有力工具。現(xiàn)在群的概念已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最重要的，具有概括性的一個(gè)數(shù)學(xué)的概念，廣泛應(yīng)用于其他部門。高等數(shù)學(xué)比初等數(shù)學(xué)“高等”的數(shù)學(xué)。廣義地說，初等數(shù)學(xué)之外的數(shù)學(xué)都是高等數(shù)學(xué)，也有將中學(xué)較深入的代數(shù)、幾何以及簡(jiǎn)單的集合論邏輯稱為中等數(shù)學(xué)，作為小學(xué)初中的初等數(shù)學(xué)與本科階段的高等數(shù)學(xué)的過渡。通常認(rèn)為，高等數(shù)學(xué)是將簡(jiǎn)單的微積分學(xué)，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，以及深入的代數(shù)學(xué)，幾何學(xué)，以及他們之間交叉所形成的一門基礎(chǔ)學(xué)科，主要包括微積分學(xué)，其他方面各類課本略有差異。

第四篇：復(fù)旦大學(xué)2000年高等代數(shù)

復(fù)旦大學(xué)高等數(shù)2000

1． 求方陣

?10?1????11?1?

?110???的逆陣。

2． 設(shè)A為一個(gè)n階方陣且A的秩等于A的秩。證明A的秩等于A的秩。

3． 設(shè)A為一個(gè)n階正交陣，x1,x2,?,xn?1為一組線性無關(guān)的列向量，對(duì)于1?i?n?1都

有Axi?xi。如果A的行列式等于1，證明A是單位矩陣。

4． 設(shè)n是一個(gè)自然數(shù)，V是由所有n?n實(shí)矩陣構(gòu)成的n2維實(shí)向量空間，U和W分別為

由所有n?n對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣構(gòu)成的空間。證明V?U?W，既V是U和W的直和。

5． 設(shè)K為一個(gè)數(shù)域，K[x]為K上以x作為不定元的多項(xiàng)式全體所組成的集合。設(shè)23

?f(x)g(x)?其中f(x),g(x),h(x),q(x)?K[x]。假定f(x)q(x)?g(x)h(x)是A???h(x)q(x)??，??

K中的一個(gè)不等于零的數(shù)。證明A可以表示成有限多個(gè)以下類型的矩陣的乘積：?10??1s(x)??a0???r(x)1??,??01??,??0b??,其中a,b是K中的非零數(shù)，而r(x),s(x)?K[x].??????

第五篇：教學(xué)大綱-廈門大學(xué)高等代數(shù)

教學(xué)大綱

一． 課程的教學(xué)目的和要求

通過這門課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握高等代數(shù)的基本知識(shí)，基本方法，基本思路，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)專業(yè)課打下良好的基礎(chǔ)，適當(dāng)?shù)亓私獯鷶?shù)的一些歷史，一些背景。

要突出傳授數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，讓學(xué)生盡早地更多地掌握數(shù)學(xué)的思想和方法。突出高等代數(shù)中等價(jià)分類的思想，分解結(jié)構(gòu)的思想，同構(gòu)對(duì)應(yīng)的思想，揭示課程內(nèi)部的本質(zhì)的有機(jī)聯(lián)系。

二．課程的主要內(nèi)容：

代數(shù)學(xué)是研究代數(shù)對(duì)象的結(jié)構(gòu)理論與表示方法的一門學(xué)科。代數(shù)對(duì)象是在一個(gè)集合上定義若干運(yùn)算，且滿足若干公理所構(gòu)成的代數(shù)系統(tǒng)，線性空間則是數(shù)學(xué)類專業(yè)本科生所接觸和學(xué)習(xí)的第一個(gè)代數(shù)對(duì)象。本課程力求突出代數(shù)學(xué)的思想和方法。

《高等代數(shù)》分為兩個(gè)部分主要內(nèi)容。一部分是基本工具性質(zhì)的，包括多項(xiàng)式，行列式，矩陣初步，二次型。既然是工具性質(zhì)的，因而除了多項(xiàng)式內(nèi)容外，也是數(shù)學(xué)專業(yè)以外的理科、工科、經(jīng)管類《線性代數(shù)》的內(nèi)容，以初等變換為靈魂的矩陣?yán)碚撌沁@部分內(nèi)容的核心。另外一部分是研究線性空間的結(jié)構(gòu)，這是研究代數(shù)結(jié)構(gòu)的起點(diǎn)和模型，也是《高等代數(shù)》有別于《線性代數(shù)》之所在?！陡叩却鷶?shù)》從三個(gè)角度進(jìn)行研究。從元素的角度看，研究向量間的線性表示，線性相關(guān)性，基向量；從子集角度看，研究子空間的運(yùn)算和直和分解；從線性空間之間的關(guān)系來研究線性空間結(jié)構(gòu)，就是線性映射，線性變換，線性映射的像與核，Jordan標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)應(yīng)的空間分解。而歐氏空間則是具體的研究空間的例子。在研究線性空間中，始終貫穿著幾何直觀和矩陣方法的有機(jī)結(jié)合，矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形和對(duì)應(yīng)的線性空間分解則是這種有機(jī)結(jié)合的生動(dòng)體現(xiàn)和提升，因而是本課程的精華內(nèi)容。

本課程力求突出幾何直觀和矩陣方法的對(duì)應(yīng)和互動(dòng)。我們強(qiáng)調(diào)矩陣?yán)碚?，把握?jiǎn)潔和直觀的代數(shù)方法，同時(shí)重視線性空間和線性映射（變換）的主導(dǎo)地位和分量，從幾何觀點(diǎn)理解和把握課程內(nèi)容。

三．課程教材和參考書：

教材：林亞南編著，高等代數(shù)，高等教育出版社，第一版

參考書：1.姚慕生編著，高等代數(shù)（指導(dǎo)叢書），復(fù)旦大學(xué)出版社，第二版 2.北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等代數(shù)，高等教育出版社，北京（1987）3.張禾瑞、郝炳新，高等代數(shù)，高等教育出版社，北京（1999）4.樊惲、鄭延履、劉合國，線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)，科學(xué)出版社，北京（2003）5.林亞南編：高等代數(shù)方法選講，2002年，見廈門大學(xué)精品課程“高等代數(shù)”網(wǎng)站 四．課程內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配

本課程開課時(shí)間：一學(xué)年（共兩學(xué)期），共170學(xué)時(shí)，其中課堂講授122學(xué)時(shí),習(xí)題討論課42學(xué)時(shí)，考試6學(xué)時(shí)。具體安排為：第一學(xué)期，80學(xué)時(shí)，其中課堂講授60學(xué)時(shí)，習(xí)題討論課18學(xué)時(shí)，半期考2學(xué)時(shí)；第二學(xué)期，90學(xué)時(shí)，其中課堂講授62學(xué)時(shí)，習(xí)題討論課24學(xué)時(shí)，單元考4學(xué)時(shí)；以上不包括期末考。課堂講授有全程教學(xué)錄像，習(xí)題討論課不錄像。

第一章 矩陣（28學(xué)時(shí)）

1、教學(xué)內(nèi)容：矩陣定義與運(yùn)算，分塊矩陣，行列式的定義，行列式的性質(zhì)，行列式的基本計(jì)算方法，Laplace定理，可逆矩陣，矩陣的初等變換與初等矩陣，矩陣的相抵標(biāo)準(zhǔn)形，矩陣的秩。

2、教學(xué)目的和要求：使學(xué)生正確掌握矩陣的運(yùn)算和運(yùn)算法則，熟練掌握矩陣的初等變換這一矩陣論的核心內(nèi)容和方法，掌握分塊矩陣的運(yùn)算，掌握矩陣的逆、矩陣的秩，掌握矩陣相抵的等價(jià)分類，化標(biāo)準(zhǔn)形的思想方法，理解行列式的歸納法定義，熟練掌握行列式的性質(zhì)，熟練掌握計(jì)算行列式基本方法，了解和應(yīng)用Laplace定理，了解行列式的等價(jià)定義。

3、各節(jié)教學(xué)時(shí)間分配及進(jìn)度安排:§1數(shù)域（1學(xué)時(shí)）；§2 矩陣和運(yùn)算（3學(xué)時(shí)）；§3分塊矩陣（2學(xué)時(shí)）；§4 行列式（6學(xué)時(shí)）；§5 行列式的展開式和Laplace定理（2學(xué)時(shí)）；§6可逆矩陣（2學(xué)時(shí)）；§7 初等變換和初等矩陣（4學(xué)時(shí)）；§8矩陣的秩（2學(xué)時(shí)）；習(xí)題討論課（6學(xué)時(shí)）。

第二章 線性方程組（14學(xué)時(shí)）

1、教學(xué)內(nèi)容：數(shù)域，列向量的線性關(guān)系，向量組的秩，線性方程組解的結(jié)構(gòu)。

2、教學(xué)目的和要求：使學(xué)生正確理解數(shù)域的概念，正確判斷和證明列向量的線性關(guān)系，掌握證明向量組的秩的命題的方法，熟練掌握線性方程組的解的判斷、計(jì)算和解的結(jié)構(gòu)。

3、各節(jié)教學(xué)時(shí)間分配及進(jìn)度安排:§1消元法（2學(xué)時(shí)）；§2 n維列向量（3學(xué)時(shí)）；§3向量組的秩（4學(xué)時(shí)）；§4 線性方程組解的結(jié)構(gòu)（2學(xué)時(shí)）；習(xí)題討論課（3學(xué)時(shí)）。

第三章 線性空間（14學(xué)時(shí)）

1、教學(xué)內(nèi)容：線性空間的定義，線性相關(guān)性：線性相關(guān)和線性無關(guān)，線性表示，線性等價(jià)的向量組，極大線性無關(guān)組，基與維數(shù)，基的變換與過渡矩陣，線性空間的同構(gòu)，子空間的定義與判斷，子空間分解，關(guān)于子空間的交空間和和空間的維數(shù)公式。

2、教學(xué)目的及要求：使學(xué)生正確理解線性空間的定義，從定義出發(fā)正確判斷和證明向量組的線性關(guān)系，把握一批重要實(shí)例的基與維數(shù)，掌握計(jì)算矩陣的秩的初等變換方法和子式方法，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰蜏?zhǔn)確簡(jiǎn)明的表達(dá)能力，熟悉同構(gòu)的思想，等價(jià)分類的思想，直和分解的思想。

3、各節(jié)教學(xué)時(shí)間分配進(jìn)度安排：§1線性空間（2學(xué)時(shí)）；§2基和維數(shù)（2學(xué)時(shí)）；§3坐標(biāo)（2學(xué)時(shí)）；§4 子空間（2學(xué)時(shí)）；§5 直和分解（2學(xué)時(shí)）；習(xí)題討論課（4學(xué)時(shí)）。

第四章 線性映射（22學(xué)時(shí)）

1、教學(xué)內(nèi)容：線性映射和線性變換，兩個(gè)線性空間的線性映射（變換）的全體構(gòu)成集合的代數(shù)結(jié)構(gòu)，線性映射與矩陣的同構(gòu)對(duì)應(yīng)，線性映射的核與像 以及維數(shù)公式，線性變換的不變子空間和導(dǎo)出變換。

2、教學(xué)目的及要求：使學(xué)生準(zhǔn)確理解和掌握線性映射（變換）的概念，理解線性映射由基的像唯一確定及其應(yīng)用；掌握兩個(gè)線性空間之間的線性映射（變換）的全體在定義了加法、數(shù)乘（和乘法）運(yùn)算后構(gòu)成線性空間（代數(shù)）；熟練掌握用核空間與像空間刻畫單滿線性映射，熟練掌握維數(shù)公式；學(xué)會(huì)在同構(gòu)意義下線性映射的命題與矩陣的命題之間的轉(zhuǎn)化；學(xué)會(huì)以上內(nèi)容在具體例子的實(shí)現(xiàn)和計(jì)算。

3、各節(jié)教學(xué)時(shí)間分配進(jìn)度安排：§1映射（2學(xué)時(shí)）；§2 線性映射和運(yùn)算（4學(xué)時(shí)）；§3 同構(gòu)（3學(xué)時(shí)）；§4像與核（3學(xué)時(shí)）；§5 線性變換（3學(xué)時(shí)）；§6 不變子空間（2學(xué)時(shí)）；習(xí)題討論（5學(xué)時(shí)）。

第五章 多項(xiàng)式（24學(xué)時(shí)）

1、教學(xué)內(nèi)容：一元多項(xiàng)式的概念，多項(xiàng)式的運(yùn)算，整除的概念與性質(zhì)，帶余除法，最大公因式的唯一性、存在性，Euclidean輾轉(zhuǎn)相除法，互素的性質(zhì)及判定；中國剩余定理；不可約多項(xiàng)式及其性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)分解式，重因式的判定與求法；多項(xiàng)式函數(shù)的根，余數(shù)定理，根的個(gè)數(shù)；代數(shù)基本定理，復(fù)數(shù)域上多項(xiàng)式的分解，Vieta定理；實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的不可約多項(xiàng)式，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的分解；有理系數(shù)多項(xiàng)式的根，本原多項(xiàng)式，Gauss引理，Eisenstein判別法；多元多項(xiàng)式的基本概念，多元多項(xiàng)式中單項(xiàng)式的排列次序，關(guān)于乘積首項(xiàng)和次數(shù)；對(duì)稱多項(xiàng)式，初等對(duì)稱多項(xiàng)式，對(duì)稱多項(xiàng)式的基本定理。

2、教學(xué)目的及要求：使學(xué)生掌握多項(xiàng)式全體作為線性空間的代數(shù)結(jié)構(gòu)的運(yùn)算法則；熟練掌握和應(yīng)用帶余除法定理；熟練掌握最大公因式和互素的判別方法和基本性質(zhì)；熟練掌握和應(yīng)用因式分解定理，掌握不可約多項(xiàng)式的基本性質(zhì)，了解重因式與重根的聯(lián)系，掌握復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式，掌握有理系數(shù)多項(xiàng)式的Gauss引理，Eisenstein判別法；了解多元多項(xiàng)式與了解多元多項(xiàng)式函數(shù)的關(guān)系，理解和掌握對(duì)稱多項(xiàng)式的基本定理和Newton公式。

3、各節(jié)教學(xué)時(shí)間分配及進(jìn)度安排：§1一元多項(xiàng)式和運(yùn)算（1.5學(xué)時(shí)）；§2 整除（2學(xué)時(shí)）；§3 最大公因式（2.5學(xué)時(shí)）；§4 標(biāo)準(zhǔn)分解式（2學(xué)時(shí)）；§5 多項(xiàng)式函數(shù)（2學(xué)時(shí)）；§6復(fù)系數(shù)和實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式（1.5學(xué)時(shí)）；§8 有理系數(shù)和整系數(shù)多項(xiàng)式（2.5學(xué)時(shí)）；§9 多元多項(xiàng)式（1.5學(xué)時(shí)）；§10 對(duì)稱多項(xiàng)式（2.5學(xué)時(shí)）；習(xí)題討論課（6學(xué)時(shí)）。第一單元考試（2學(xué)時(shí)）。

第六章 特征值（16學(xué)時(shí)）

1、教學(xué)內(nèi)容：特征值和特征向量，特征多項(xiàng)式及其性質(zhì)，特征值、特征向量的求法；復(fù)方陣相似于上三角陣及其應(yīng)用；矩陣可對(duì)角化的判定和計(jì)算，特征子空間，特征值的代數(shù)重?cái)?shù)、幾何重?cái)?shù)，完全特征向量系；零化多項(xiàng)式和極小多項(xiàng)式，Cayley-Hamilton定理。

2、教學(xué)目的及要求：使學(xué)生掌握特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式、特征子空間、極小多項(xiàng)式的定義和基本性質(zhì)；清楚零化多項(xiàng)式和極小多項(xiàng)式的關(guān)系，掌握Cayley-Hamilton定理；熟練掌握計(jì)算特征值與特征向量，可對(duì)角化的判定和計(jì)算。

3、各節(jié)教學(xué)時(shí)間分配及進(jìn)度安排：線性空間線性映射知識(shí)回顧（4學(xué)時(shí)）；§1 特征值和特征向量（3學(xué)時(shí)）；§2 可對(duì)角化（2.5學(xué)時(shí)）；§3 極小多項(xiàng)式（2.5學(xué)時(shí)）；習(xí)題討論課（4學(xué)時(shí)）。

第七章 相似標(biāo)準(zhǔn)形（22學(xué)時(shí)）

1、教學(xué)內(nèi)容：多項(xiàng)式矩陣和矩陣多項(xiàng)式，λ-矩陣的相抵，初等λ-矩陣；λ-矩陣的法式；矩陣的行列式因子，不變因子，初等因子；不變因子和Frobenius型；初等因子和Jondan小塊，矩陣相似的全系不變量；Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：Jordan 標(biāo) 準(zhǔn)形對(duì)應(yīng)的不變子空間分解；根子空間，循環(huán)子空間。

2、教學(xué)目的及要求：使學(xué)生了解多項(xiàng)式矩陣與矩陣多項(xiàng)式的關(guān)系，λ－矩陣的相抵與矩陣相似的關(guān)系．掌握行列式因子、不變因子、初等因子的概念與計(jì)算，掌握不變因子與Frobenius型的對(duì)應(yīng)，初等因子組與Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的對(duì)應(yīng)，Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)應(yīng)的不變子空間分解。

3、各節(jié)教學(xué)時(shí)間分配及進(jìn)度安排： §1 λ-矩陣的法式（2學(xué)時(shí)）；§2 特征矩陣（1.5學(xué)時(shí)）；§3 不變因子和Frobenius標(biāo)準(zhǔn)形（2.5學(xué)時(shí)）；§4 初等因子組和廣義Jordan標(biāo)準(zhǔn)形（2學(xué)時(shí)）；§5 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形（2學(xué)時(shí)）；§6 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形的進(jìn)一步討論（6學(xué)時(shí)）；習(xí)題討論課（6學(xué)時(shí)）。第二單元考試（2學(xué)時(shí)）。

第八章 歐氏空間(14學(xué)時(shí))

1、教學(xué)內(nèi)容：內(nèi)積和內(nèi)積空間的概念，向量的長度，夾角，平行和正交，Cauchy-Schwarz不等式，三角不等式；單位向量，正交基，標(biāo)準(zhǔn)正交基，標(biāo)準(zhǔn)正交基的過度矩陣，Schmidt正交化，正交補(bǔ)空間，度量矩陣，Bessel不等式；正交變換與正交陣的判別及性質(zhì)；正交相似，對(duì)稱變換的性質(zhì)，實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似的全系不變量，實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似標(biāo)準(zhǔn)形。

2、教學(xué)目的及要求：使學(xué)生掌握歐氏空間的度量概念與度量性質(zhì)，掌握正交相似關(guān)系，掌握正交變換和正交矩陣的對(duì)應(yīng)，對(duì)稱變換與對(duì)稱矩陣的對(duì)應(yīng)，從矩陣的正交相似關(guān)系進(jìn)一步熟練掌握等價(jià)分類的思想。

3、各節(jié)教學(xué)時(shí)間分配進(jìn)度安排：§1內(nèi)積和歐氏空間（1學(xué)時(shí)）；§2標(biāo)準(zhǔn)正交基（4.5學(xué)時(shí)）；§3 對(duì)稱變換和對(duì)稱矩陣（0.5學(xué)時(shí)）；§4 正交變換和正交矩陣（4學(xué)時(shí)）；習(xí)題討論課（4課時(shí)）。

第九章 二次型（10學(xué)時(shí)）

1、教學(xué)內(nèi)容：二次型與對(duì)稱矩陣的對(duì)應(yīng)，二次型的非退化線性替換與對(duì)稱陣的合同關(guān)系；二次型化簡(jiǎn)的配方法和初等變換法；復(fù)二次型的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)形，慣性定理，正慣性指數(shù)，負(fù)慣性指數(shù)，符號(hào)差，實(shí)二次形的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)形；正定型與正定矩陣；半正定型與半正定陣、負(fù)定型與負(fù)定陣。

2、教學(xué)目的及要求：使學(xué)生掌握用非退化線性替換，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形，掌握判斷二次型的正定性的方法，從對(duì)稱矩陣的合同關(guān)系理解等價(jià)分類的思想。

3、各節(jié)教學(xué)時(shí)間分配進(jìn)度安排：§1二次型與矩陣的合同（2學(xué)時(shí)）；§2規(guī)范形（1.5學(xué)時(shí)）；§3正定二次型（2.5學(xué)時(shí)）；習(xí)題討論課（4學(xué)時(shí)）。