第一篇：第一課時(shí) 正弦定理(一)教案53

億庫教育網(wǎng)http://004km.cn

第一課時(shí) 正弦定理(一)

教學(xué)要求：要求學(xué)生掌握正弦定理，并能應(yīng)用解斜三角形，解決實(shí)際問題。

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理及應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的向量證明。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

在直角三角形中，由三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)，可以由已知的邊和角求出未知的邊和角。那么斜三角形怎么辦？——提出課題：?

二、講授新課：

aba①、特殊情況：直角三角形中的正弦定理： sinA=sinB= sinC=1 即：c=?，∴ ccsinA

②、能否推廣到斜三角形？證明一（傳統(tǒng)證法）在任意斜△ABC當(dāng)中：

1111abcS△ABC=absinC?acsinB?bcsinA，兩邊同除以abc即得：== 2222sinAsinBsinC

③用向量證明： 證二：過A作單位向量垂直于

+=兩邊同乘以單位向量jj?(+)=j? 則：?+?=?

∴||?||cos90?+||?||cos(90??C)=||?||cos(90??A)

ac∴asinC?csinA∴= sinAsinC

cbabc同理：若過C作垂直于得： =∴== sinCsinBsinAsinBsinC

當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，設(shè) ?A>90?過A作單位向量垂直于向量

④突出幾點(diǎn)：1?正弦定理的敘述：在一個(gè)三角形中。各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，即：abcabc==它適合于任何三角形。2?可以證明===2R（R為△ABC外接圓半徑）sinAsinBsinCsinAsinBsinC

3? 每個(gè)等式可視為一個(gè)方程：知三求一

⑤正弦定理的應(yīng)用： 從理論上正弦定理可解決兩類問題： 1．兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

2．兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角。

例

一、在△ABC中，已知c?10A=45?C=30?求b

解略見P128注意強(qiáng)調(diào)“對(duì)”

例

二、在△ABC中，已知a?20b=28A=40?求B(精確到1?)和c（保留兩個(gè)有效數(shù)字）

ab解略見P129注意由=求出sinB=0.8999B角有兩解 sinAsinB

例

三、在△ABC中，已知a?60b=50A=38?求B(精確到1?)和c（保留兩個(gè)有效數(shù)字）

解略見P129注意由b

⑥小結(jié)：正弦定理，兩種應(yīng)用；已知兩邊和其中一邊對(duì)角解斜三角形有兩解或一解（見圖示）

三、鞏固練習(xí)：

1、?ABC中，c?6,A?450,a?2,求b和B,C2、?ABC中，b?3,B?600,c?1,求a和A,C

3.P131練習(xí)1、2P1321、2、3

億庫教育網(wǎng)http://004km.cn

第二篇：正弦定理(第一課時(shí))

課題: §1．1．1正弦定理（第1課時(shí)）

●教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

過程與方法：讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

●教學(xué)重點(diǎn)

正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。

●教學(xué)難點(diǎn)

已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。

●教學(xué)過程

1.課題導(dǎo)入

在直角三角形中：sinA=a

c，sinB=b

c，sinC=

1即 c=a

sinA，c=bc

sinB，c=sinC．

∴a

sinA=bc

sinB=sinC

2．學(xué)生探究

思考：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？（由學(xué)生討論、分析）

證明一：（等積法）在任意斜△ABC當(dāng)中

S

12absinC?1

2acsinB?1△ABC=2bcsinA

兩邊同除以1ab

2abc即得：c

sinA=sinB=sinC

證明二：（外接圓法）

如圖所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴a

sinA?a

sinD?CD?2R

同理 b

sinB=2R，c

sinC＝2R

證明三：（向量法）

過A作單位向量垂直于

由 +=兩邊同乘以單位向量 得 ?(+)=? 則?+?=?

∴||?||cos90?+||?||cos(90??C)=||?|AB|cos(90??A)

∴asinC?csinA∴ac= sinAsinC

cb=sinCsinB同理，若過C作垂直于得：

abc==。sinAsinBsinC∴

（板書）

1、正弦定理：abc===2R（R是?ABC外接圓的半徑）sinAsinBsinC

變形：a:b:c?sinA:sinB:sinC。

注：每個(gè)等式可視為一個(gè)方程：知三求一

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

3.例題講解

例1.（1）在?ABC中，b?,B?600,c?1,求a和A,C．

（2）在?ABC中，c?6,A?450,a?2,求b和B,C．

bccsinB1?sin6001解：（1）∵?,?sinC???，sinBsinCb2?b?c,B?600,?C?B,C為銳角，?C?300,B?900∴a?b2?c2?

2（?C?30或C?150，而C?B?210?180）0000

accsinA6?sin4503?,?sinC???（2）?sinAsinCa22

?csinA?a?c,?C?600或1200

csinBsin750

?當(dāng)C?60時(shí)，B?75,b????1，sinCsin60000

csinB6sin150

?當(dāng)C?120時(shí)，B?15,b????1 0sinCsin6000

?b??1,B?750,C?600或b?3?1,B?150,C?1200

利用正弦定理可以解決下列兩類解斜三角形的問題： ①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a?bsinA； sinB

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如sinA?sinB。a

b

思考：由例1條件，已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，為什么三角形的形狀不能唯一確定，會(huì)出現(xiàn)兩解、一解？。（學(xué)生討論，老師引導(dǎo)：從代數(shù)和幾何兩方面）

4．三角形解的判斷方法：（板書）

已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，由于三角形的形狀不能唯一確定，會(huì)出現(xiàn)兩解、一解和無解三種情況。

已知邊a,b和?A

a

無解a=CH=bsinA僅有一個(gè)解

CH=bsinA

⑴若A為銳角時(shí):（板書）⑵若A為直角或鈍角時(shí)：（學(xué)生自己完成）

無解?a?bsinA??a?b無解一解(直角)?a?bsinA: ???a?b一解(銳角)?bsinA?a?b二解(一銳, 一鈍)

?a?b一解(銳角)?

5．課堂練習(xí)

1.在?ABC中，三個(gè)內(nèi)角之比A:B:C?1:2:3，那么a:b:c等于.2.在?ABC中，B?1350,C?150,A?5,則此三角形的最大邊長(zhǎng)為3.在?ABC中，已知b?2csinB，求?C的度數(shù).6．課堂小結(jié)（學(xué)生發(fā)言，互相補(bǔ)充，老師評(píng)價(jià)）

1．用三種方法證明了正弦定理：

（1）轉(zhuǎn)化為直角三角形中的邊角關(guān)系；（2）利用向量的數(shù)量積．（3）外接圓法

2．理論上正弦定理可解決兩類問題：

（1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

（2）兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角．

教學(xué)反思：本課通過引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角三角形中的正弦定理，進(jìn)而探究在任意三角形中是否還成立？將學(xué)生帶入探索新知的氛圍，學(xué)生從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，探索得出新結(jié)論，體驗(yàn)了成功的樂趣，對(duì)如何運(yùn)用定理解決問題也是躍躍欲試，在課堂小結(jié)教學(xué)中，給學(xué)生一個(gè)暢所欲言的機(jī)會(huì)，互相評(píng)價(jià)，最終得到完善的答案．這樣做，可以鍛煉學(xué)生的語言表達(dá)能力，這也體現(xiàn)了一個(gè)人成長(zhǎng)、發(fā)展所必須經(jīng)歷的過程，對(duì)于培養(yǎng)意志品質(zhì)起到了重要作用．

第三篇：正弦定理第一課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

《正弦定理》（第一課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)

點(diǎn)明課題

本節(jié)課是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修5第一章《解三角形》中的1.1《正弦定理和余弦定理》中的1.1.1《正弦定理》的內(nèi)容，該節(jié)包括正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明和應(yīng)用，我把這節(jié)內(nèi)容分為2課時(shí)，現(xiàn)在我要說的是《正弦定理》的第一課時(shí)，主要包括正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明和簡(jiǎn)單的應(yīng)用。

下面我從三個(gè)方面來說說對(duì)這節(jié)課的分析和設(shè)計(jì)：

一、教學(xué)背景分析1.教學(xué)目標(biāo)分析 2.學(xué)生現(xiàn)實(shí)分析 3.教材地位分析

二、教學(xué)展開分析1.教學(xué)過程實(shí)施2.教學(xué)媒體選擇3.教學(xué)策略與學(xué)法指導(dǎo) 4.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

三、教學(xué)結(jié)果分析

(一)、教學(xué)背景分析

1.教材地位分析

《正弦定理》是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修5中第一章《解三角形》的學(xué)習(xí)內(nèi)容，比較系統(tǒng)地研究了解三角形這個(gè)課題?！墩叶ɡ怼肪o跟必修4（包括三角函數(shù)與平面向量）之后，可以啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想所學(xué)知識(shí)，運(yùn)用平面向量的數(shù)量積連同三角形、三角函數(shù)的其他知識(shí)作為工具，推導(dǎo)出正弦定理。正弦定理是求解任意三角形的基礎(chǔ)，又是學(xué)生了解向量的工具性和知識(shí)間的相互聯(lián)系的的開端，對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)任意三角形的求解、體會(huì)事物是相互聯(lián)系的辨證思想均起著舉足輕重的作用。通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)和自主、合作、探究能力。

2.學(xué)生現(xiàn)實(shí)分析

(1)學(xué)生在初中已學(xué)過有關(guān)直角三角形的一些知識(shí)：

①勾股定理：

②三角函數(shù)式，如：(2)學(xué)生在初中已學(xué)過有關(guān)任意三角形的一些知識(shí)：

①

②大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角

③兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊

(3)學(xué)生在高中已學(xué)過必修4（包括三角函數(shù)與平面向量）

(4)學(xué)生已具備初步的數(shù)學(xué)建模能力，會(huì)從簡(jiǎn)單的實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型

3.教學(xué)目標(biāo)分析

知識(shí)目標(biāo)：

(1)正弦定理的發(fā)現(xiàn)

(2)證明正弦定理的幾何法和向量法

(3)正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用

能力目標(biāo)：

(1)培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析問題、應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力

(2)通過向量把三角形的邊長(zhǎng)和三角函數(shù)建立起關(guān)系，在解決問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想能力、綜合應(yīng)用知識(shí)的能力

情感目標(biāo)：

(1)設(shè)置情景，培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立探究意識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣(2)鼓勵(lì)學(xué)生探索規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決實(shí)際問題

(3)通過共同剖析、探討問題，推進(jìn)師生合作意識(shí)，加強(qiáng)相互評(píng)價(jià)與自我反思

(二)、教學(xué)展開分析

1.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)分析

教學(xué)重點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)正弦定理、用幾何法和向量法證明正弦定理。正弦定理是三角形邊角關(guān)系中最常見、最重要的兩個(gè)定理之一，它準(zhǔn)確反映了三角形中各邊與它所對(duì)角的正弦的關(guān)系，對(duì)于它的形式、內(nèi)容、證明方法和應(yīng)用必須引起足夠的重視。正弦定理要求學(xué)生綜合運(yùn)用正弦定理和內(nèi)角和定理等眾多基礎(chǔ)知識(shí)解決幾何問題和實(shí)際應(yīng)用問題，這些知識(shí)的掌握，有助于培養(yǎng)分析問題和解決問題能力，所以一向?yàn)閿?shù)學(xué)教育所重視。

教學(xué)難點(diǎn)是用向量法證明正弦定理。雖然學(xué)生剛學(xué)過必修4中的平面向量的知識(shí)，但是要利用向量推導(dǎo)正弦定理，有一定的困難。突破此難點(diǎn)的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生通過向量的數(shù)量積把三角形的邊長(zhǎng)和內(nèi)角的三角函數(shù)聯(lián)系起來。用平面向量的數(shù)量積方法證明這個(gè)定理，使學(xué)生鞏固向量知識(shí)，突出了向量的工具性，是向量知識(shí)應(yīng)用的范例。

2.教學(xué)策略與學(xué)法指導(dǎo)

教學(xué)策略：本節(jié)課采用“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”的模式，即由“結(jié)合實(shí)例提出問題——觀察特例提出猜想——數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)深入探究——證明猜想得出定理——運(yùn)用定理解決問題”五個(gè)環(huán)節(jié)組成的“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”模式，在教學(xué)中貫徹“啟發(fā)性”原則，通過提問不斷啟發(fā)學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生自主探索與思考；并貫徹“以學(xué)定教”原則，即根據(jù)教學(xué)中的實(shí)際情況及時(shí)地調(diào)整教學(xué)方案。

學(xué)法指導(dǎo)：教師平等地參與學(xué)生的自主探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生全員參與、全過程參與。通過啟發(fā)、調(diào)整、激勵(lì)來體現(xiàn)主導(dǎo)作用，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知情況和情感發(fā)展來調(diào)整整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)的梯度和層次，保證學(xué)生的認(rèn)知水平和情感體驗(yàn)分層次向前推進(jìn)。

3.教學(xué)媒體選擇與應(yīng)用

使用多媒體平臺(tái)（包括電腦和投影儀）輔助教學(xué)，讓學(xué)生自己動(dòng)手進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，借助多媒體快捷、形象、生動(dòng)的輔助作用，既突出了知識(shí)的產(chǎn)生過程，遵循了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生形成體驗(yàn)性認(rèn)識(shí)，體會(huì)成功的愉悅，同時(shí)又可以增加課堂的趣味性，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

4.教學(xué)過程實(shí)施

本節(jié)課采用“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”的模式，因而教學(xué)過程實(shí)施分為五個(gè)部分：(1)結(jié)合實(shí)例提出問題(2)觀察特例提出猜想(3)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)深入探究(4)證明猜想得出定理(5)運(yùn)用定理解決問題

第四篇：《正弦定理》教案

《正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)目標(biāo)分析

1、知識(shí)與技能：通過對(duì)銳角三角形中邊與角的關(guān)系的探索，發(fā)現(xiàn)正弦定理；掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；能利用正弦定理解三角形以及利用正弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。

2、過程與方法：讓學(xué)生從實(shí)際問題出發(fā)，結(jié)合以前學(xué)習(xí)過的直角三角形中的邊角關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生不斷地觀察、比較、分析，采取從特殊到一般以及合情推理的方法發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理，使學(xué)生體會(huì)完全歸納法在定理證明中的應(yīng)用；讓學(xué)生在應(yīng)用定理解決問題的過程中更深入的理解定理及其作用。

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：面向全體學(xué)生，創(chuàng)造平等的教學(xué)氛圍，通過學(xué)生之間、師生之間的交流、合作和評(píng)價(jià)，發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理。從發(fā)現(xiàn)與證明的過程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)的探索性與創(chuàng)造性，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅，激發(fā)學(xué)生的好奇心與求知欲。培養(yǎng)學(xué)生處理解三角形問題的運(yùn)算能力和探索數(shù)學(xué)規(guī)律的推理能力，并培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)忍不拔的意志、實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和樂于探索、勇于創(chuàng)新的精神。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：通過對(duì)銳角三角形邊與角關(guān)系的探索，發(fā)現(xiàn)、證明正弦定理并運(yùn)用正弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題。

難點(diǎn)：①正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明過程；②已知兩邊以及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)解的個(gè)數(shù)的判斷。

三、教法與學(xué)法分析

本節(jié)課是教材第一章《解三角形》的第一節(jié)，所需主要基礎(chǔ)知識(shí)有直角三角形的邊角關(guān)系，三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)。在教法上，根據(jù)教材的內(nèi)容和編排的特點(diǎn)，為更有效的突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，教學(xué)中采用探究式課堂教學(xué)模式，首先從學(xué)生熟悉的銳角三角形情形入手，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，將新知識(shí)與學(xué)生已有的知識(shí)建立起密切的聯(lián)系，通過學(xué)生自己的親身體驗(yàn)，使學(xué)生經(jīng)歷正弦定理的發(fā)現(xiàn)過程，激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)參與的積極性，引導(dǎo)學(xué)生嘗試運(yùn)用新知識(shí)解決新問題，即在教學(xué)過程中，讓學(xué)生的思維由問題開始，通過猜想的得出、猜想的探究、定理的推導(dǎo)等環(huán)節(jié)逐步得到深化。教學(xué)過程中鼓勵(lì)學(xué)生合作交流、動(dòng)手實(shí)踐，通過對(duì)定理的推導(dǎo)、解讀、應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考、總結(jié)、歸納解答過程中的內(nèi)在規(guī)律，形成一般結(jié)論。在學(xué)法上，采用個(gè)人探究、教師講解，學(xué)生討論相結(jié)合的方法，讓學(xué)生在問題情境中學(xué)習(xí)，自覺運(yùn)用觀察、類比、歸納等思想方法，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，重視學(xué)生自主探究，增強(qiáng)學(xué)生由特殊到一般的數(shù)學(xué)思維能力，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和嚴(yán)謹(jǐn)求真的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

四、學(xué)情分析

對(duì)于高一的學(xué)生來說，已學(xué)的平面幾何，解直角三角形，三角函數(shù)等知識(shí)，有一定觀察分析、解決問題的能力，但對(duì)前后知識(shí)間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。同時(shí)，由于學(xué)生目前還沒有學(xué)習(xí)習(xí)近平面向量，因此，對(duì)于正弦定理的證明方法——向量法，本節(jié)課沒有涉及到。根據(jù)以上特點(diǎn)，教師恰當(dāng)引導(dǎo)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，多加以前后知識(shí)間的聯(lián)系，帶領(lǐng)學(xué)生直接參與分析問題、解決問題并品嘗勞動(dòng)成果的喜悅。

五、教學(xué)工具

多媒體課件

六、教學(xué)過程 創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

興趣是最好的老師。如果一節(jié)課有個(gè)好的開頭，那就意味著成功了一半。上課一開始，我先提出問題：

工人師傅的一個(gè)三角形模型壞了，只剩下如圖所示的部分，AB的長(zhǎng)為1m，但他不知道AC和BC的長(zhǎng)

是多少而無法去截料，你能告訴師傅這兩邊的長(zhǎng)度嗎？ 教師：請(qǐng)大家思考，看看能否用過去所學(xué)過的知識(shí)解決

這個(gè)問題？（約2分鐘思考后學(xué)生代表發(fā)言）學(xué)生活動(dòng)一:

（教師提示）把這個(gè)實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型——那就是“已知三角形中的兩角及夾邊，求另外兩邊的長(zhǎng)”，本題是通過三角形中已知的邊和角來求未知的邊和角的這個(gè)過程，我們把它習(xí)慣上叫解三角形，要求邊的長(zhǎng)度，過去的做法就是把未知的邊必須要放在直角三角形中，利用勾股定理或三角函數(shù)進(jìn)行求解，即本題的思路是：“把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形”，也就是要“作高”。

學(xué)生：如圖，過點(diǎn)A作BC邊上的高,垂直記作D

然后,首先利用題目中的已知數(shù)據(jù)求出角C的大小,接著把題目中的相關(guān)數(shù)據(jù)和角C的值代入上述等式,即可求出b,即AC的值,然后可利用AC、AB、角B、角C的值和三角函數(shù)知識(shí)可分別求出CD和BD的長(zhǎng)度，把所求出的CD和BD的長(zhǎng)度相加即可求出BC的長(zhǎng)度。教師：這位同學(xué)的想法和思路非常好，簡(jiǎn)直是一位天才

（同時(shí)再一次回顧該同學(xué)具體的做法）

教師：能否像求AC的方法一樣對(duì)BC進(jìn)行求解呢？ 學(xué)生：可以

教師：那么具體應(yīng)該怎么做呢？

學(xué)生：過點(diǎn)B向AC作高，垂直記作E，如圖：

接下來，只需要將相關(guān)的數(shù)據(jù)代入即可求出BC的長(zhǎng)度 教師：總結(jié)學(xué)生的做法

通過作兩條高線后，即可把AC、BC的長(zhǎng)度用已知的邊和角表示出來

接下來，只需要將題目中的相關(guān)數(shù)據(jù)代入，本題便迎刃而解。定理的發(fā)現(xiàn)：

oo教師：如果把本題目中的有關(guān)數(shù)據(jù)變一下，其中A＝50，B＝80大家又該怎么做

呢？

學(xué)生1：同樣的做法（仍得作高）

學(xué)生2：只需將已知數(shù)據(jù)代入上述等式即可求出兩邊的長(zhǎng)度 教師：還需要再次作高嗎？ 學(xué)生：不用

教師：對(duì)于任意的銳角三角形中的“已知兩角及其夾邊，求其他兩邊的長(zhǎng)”的問

題是否都可以用上述兩個(gè)等式進(jìn)行解決呢？ 學(xué)生：可以

教師：既然這兩個(gè)等式適合于任意的銳角三角形，那么我們只需要記住這兩個(gè)

等式，以后若是再遇見銳角三角形中的這種問題，直接應(yīng)用這兩個(gè)等式 并進(jìn)行代入求值即可。

教師：大家看看，這兩個(gè)等式的形式是否容易記憶呢？ 學(xué)生：不容易

教師：能否美化這個(gè)形式呢？

學(xué)生：美化之后可以得到：

（定理）

教師：銳角三角形中的這個(gè)結(jié)論，到底表達(dá)的是什么意思呢？ 學(xué)生：在銳角三角形中，各邊與它所對(duì)角的正弦的比相等

教師：那么銳角三角形中的這個(gè)等式能否推廣到任意三角形中呢？那么接下來就

讓我們分別來驗(yàn)證一下，看看這個(gè)等式在直角三角形和鈍角三角形中是否 成立。定理的探索：

教師：大家知道，在直角三角形ABC中：若 則：

所以：

故：

即： 在直角三角形中也成立

教師：那么這個(gè)等式在鈍角三角形中是否成立，我們又該如何驗(yàn)證呢？請(qǐng)大家思考。

學(xué)生活動(dòng)二：驗(yàn)證

教師（提示）：要出現(xiàn)sinA、sinB的值

必須把A、B放在直角三角形中

即就是要作高（可利用誘導(dǎo)公式將

在鈍角三角形中是否成立

轉(zhuǎn)化為）

學(xué)生：學(xué)生可分小組進(jìn)行完成，最終可由各小組組長(zhǎng)

匯報(bào)本小組的思路和做法。（結(jié)論成立）

教師：我們?cè)阡J角三角形中發(fā)現(xiàn)有這樣一個(gè)等式成立，接下來，用類比的方法對(duì)

它分別在直角三角形和鈍角三角形中進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，這個(gè)等式對(duì)于

任意的直角三角形和任意的鈍角三角形都成立，那么我們此時(shí)能否說：“這

個(gè)等式對(duì)于任意的三角形都成立”呢？ 學(xué)生：可以

教師：這就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的《正弦定理》（引出課題）定理的證明

教師：展示正弦定理的證明過程

證明：（1）當(dāng)三角形是銳角三角形時(shí)，過點(diǎn)A作BC邊

上的高線，垂直記作D，過點(diǎn)B向AC作高，垂直記作E，如圖：

同理可得：

所以易得

（2）當(dāng)三角形是直角三角形時(shí)；

在直角三角形ABC中：若 因?yàn)椋?/p>

所以：

故：

即：

（3）當(dāng)三角形是鈍角三角形時(shí)（角C為鈍角）

過點(diǎn)A作BC邊上的高線，垂直記作D

由三角形ABC的面積可得 即：

故：

所以，對(duì)于任意的三角形都有

教師：這就是本節(jié)課我們學(xué)習(xí)的正弦定理（給出定理的內(nèi)容）

（解釋定理的結(jié)構(gòu)特征）

思考：正弦定理可以解決哪類問題呢？ 學(xué)生：在一個(gè)等式中可以做到“知三求一” 定理的應(yīng)用

教師：接下來，讓我們來看看定理的應(yīng)用（回到剛開始的那個(gè)實(shí)際問題，用正弦

定理解決）（板書步驟）

成立。

隨堂訓(xùn)練

學(xué)生：獨(dú)立完成后匯報(bào)結(jié)果或快速搶答

教師：上述幾道題目只是初步的展現(xiàn)了正弦定理的應(yīng)用，其實(shí)正弦定理的應(yīng)用相

當(dāng)廣泛，那么它到底可以解決什么問題呢，這里我送大家四句話：“近測(cè)

高塔遠(yuǎn)看山，量天度海只等閑；古有九章勾股法，今看三角正余弦.”

以這四句話把正弦定理的廣泛應(yīng)用推向高潮）

課堂小結(jié)：

1、知識(shí)方面：正弦定理：

2、其他方面：

過程與方法：發(fā)現(xiàn)

推廣

猜想

驗(yàn)證

證明

（這是一種常用的科學(xué)研究問題的思路與方法，希望同學(xué)們?cè)诮?/p>

后的學(xué)習(xí)中一定要注意這樣的一個(gè)過程）

數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、從特殊到一般

作業(yè)布置： ①書面作業(yè)：P52

②查找并閱讀“正弦定理”的其他證明方法（比如“面積法”、“向量法”等）

③思考、探究：若將隨堂訓(xùn)練中的已知條件改為以下幾種情況，結(jié)果如何？

板書設(shè)計(jì)：

1、定理：

2、探索：

3、證明：

4、應(yīng)用：

檢測(cè)評(píng)估：

第五篇：正弦定理教案

正弦定理教案

教學(xué)目標(biāo)：

1．知識(shí)目標(biāo):通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

2.能力目標(biāo):讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作。

3．情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入

創(chuàng)設(shè)情境：

【師】：世界聞名的巴黎埃菲爾鐵塔，比其他的建筑高出很多。如果只提供測(cè)角儀和皮尺，你能測(cè)出埃菲爾鐵塔的高度嗎？

【生】：可以先在離鐵塔一段距離的地方測(cè)出觀看鐵塔的仰角，再測(cè)出與鐵塔的水平距離，就可以利用三角函數(shù)測(cè)出高度。

【創(chuàng)設(shè)情境總結(jié)】：解決上述問題的過程中我們將距離的問題轉(zhuǎn)化為角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題進(jìn)行計(jì)算。這個(gè)實(shí)際問題說明了三角形的邊與角有緊密的聯(lián)系，邊和角甚至可以互相轉(zhuǎn)化，這節(jié)課我們就要從正弦這個(gè)側(cè)面來研究三角形邊角的關(guān)系即正弦定理。

二、新課講解

【師】：請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，在直角三角形中各個(gè)角的正弦是怎么樣表示的？

【生】：在直角三角形ABC中，sinA?ab,sinB?,sinC?1 cc

abc,c?,c?，也就是說在Rt△ABCsinAsinBsinC【師】：有沒有一個(gè)量可以把三個(gè)式子聯(lián)系起來？ 【生】：邊c可以把他們聯(lián)系起來，即c?

中abc?? sinAsinBsinC

【師】：對(duì)，很美、很對(duì)稱的一個(gè)式子，用文字來描述就是：“在一個(gè)直角三角形中，各邊與

它所對(duì)角的正弦比相等”，那么在斜三角形中，該式是否也成立呢？讓我們?cè)趲缀萎嫲逯序?yàn)證一下，對(duì)任意的三角形ABC是不是都有“各邊與它所對(duì)角的正弦比相等”成立？

【師】：通過驗(yàn)證我們得到，在任意的三角形中都有各個(gè)邊和他所對(duì)的角的正弦值相等。

在上面這個(gè)對(duì)稱的式子中涉及到了三角形三個(gè)角的正弦，因此我們把它稱為正弦定理，即我們今天的課題。

【師】：直觀的印象并不能代替嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，所以，只是直觀的驗(yàn)證是不夠的，那能不

能對(duì)這個(gè)定理給出一個(gè)證明呢？

【生】：可以用三角形的面積公式對(duì)正弦定理進(jìn)行證明：S?1111absinC?acsinB?bcsinA，然后三個(gè)式子同時(shí)處以abc就可以得222

2到正弦定理了。

【師】：這是一種很好的證明方法，能不能用之前學(xué)過的向量來證明呢？答案是肯定的。怎

么樣利用向量只是來證明正弦定理呢？大家觀察，這個(gè)式子涉及到的是邊和角，即向量的模和夾角之間的關(guān)系。哪一種運(yùn)算同時(shí)涉及到向量的夾角和模呢？

（板書：證法二，向量法）

????【生】：向量的數(shù)量積a?b?a?b?cos?

【師】：先在銳角三角形中討論一下，如果把三角形的三邊看做向量的話，則容易得到三角

????????????形的三個(gè)邊向量滿足的關(guān)系：AB?BC?AC,那么，和哪個(gè)向量做數(shù)量積呢？還

有數(shù)量積公式中提到的是夾角的余弦，而我們要得是夾角的正弦，這個(gè)又怎么轉(zhuǎn)化？（啟發(fā)學(xué)生得出通過做點(diǎn)A的垂線根據(jù)誘導(dǎo)公式來得到）

【生】：做A點(diǎn)的垂線

【師】：那是那條線的垂線呢？

【生】：AC的垂線

??【師】：如果我們做AC垂線上的一個(gè)單位向量j，把向量j和上面那個(gè)式子的兩邊同時(shí)做數(shù)

?cos(90?A)?cos(90?C)??cos90，化簡(jiǎn)000

即可得到csinA?asinC，即acbc??，同理可以得到。即在sinAsinCsinBsinC

銳角三角形ABC中有每條邊和它所對(duì)的角的正弦值相等這個(gè)結(jié)論。

【師】：如果△ABC是鈍角三角形呢？又怎么樣得到正弦定理的證明呢？不妨假設(shè)∠A是鈍

??角，那么同樣道理如果我們做AC垂線上的一個(gè)單位向量j，把向量j和上面那個(gè)式

????????????子AB?BC?AC的兩邊同時(shí)做數(shù)量積運(yùn)算就可以得到

???????????????00j?AB?cos(C?90)?j?BC?cos(90?C)?j?AC?cos900，化簡(jiǎn)即可得到csinA?asinC，即acbc??，同理可以得到。即在鈍角三角sinAsinCsinBsinC

形ABC中也有每條邊和它所對(duì)的角的正弦值相等這個(gè)結(jié)論。

【師】：經(jīng)過上面的證明，我們用兩種方法得到了正弦定理的證明，并且得到了正弦定理對(duì)

于直角、銳角、鈍角三角形都是成立的。

【師】：大家觀察一下正弦定理的這個(gè)式子，它是一個(gè)比例式。對(duì)于一個(gè)比例式來說，如果

我們知道其中的三項(xiàng)，那么就可以根據(jù)比例的運(yùn)算性質(zhì)得到第四項(xiàng)。因此正弦定理的應(yīng)用主要有哪些呢？

【生】：已知三角形的兩邊一其中一邊的對(duì)角求另外一邊的對(duì)角，或者兩角一邊求出另外一

邊。

【師】：其實(shí)大家如果聯(lián)系三角形的內(nèi)角和公式的話，其實(shí)只要有上面的任意一個(gè)條件，我們都可以解出三角形中所有的未知邊和角。下面我們來看正弦定理的一些應(yīng)用。

三、例題解析

【例1】?jī)?yōu)化P101例

1分析：直接代入正弦定理中運(yùn)算即可

ab?sinAsinB

c?sinA10?sin45?

?a????sinCsin30

bc??sinBsinC

B?180??(A?C)?180??(45??30?)?105??

c?sinB10?sin105??b???20?5sinCsin30?總結(jié)：本道例題給出了解三角形的第一類問題（已知兩角和一邊，求另外兩邊和一

角，因?yàn)閮蓚€(gè)角都是確定的的，所以只有一種情況）

【課堂練習(xí)1】教材P144練習(xí)1（可以讓學(xué)生上臺(tái)板演）

【隨堂檢測(cè)】見幻燈片

四、課堂小結(jié)

【師】：本節(jié)課的主要內(nèi)容是正弦定理，即三角形ABC中有每條邊和它所對(duì)的角的正弦值相等。寫成數(shù)學(xué)式子就是abc??。并且一起研究了他的證明方法，利用它解決sinAsinBsinC

了一些解三角形問題。對(duì)于正弦定理的證明主，要有面積法和向量法，其實(shí)對(duì)于正弦定理的證明，還有很多別的方法，有興趣的同學(xué)下去之后可以自己去了解一下。

五、作業(yè)布置

世紀(jì)金榜P86自測(cè)自評(píng)、例

1、例

2板書設(shè)計(jì)：

六、教學(xué)反思