第一篇：向量證明重心

向量證明重心

三角形ABC中，重心為O，AD是BC邊上的中線，用向量法證明AO=2OD

(1).AB=12b，AC=12c。AD是中線則AB+AC=2AD即12b+12c=2AD，AD=6b+6c;BD=6c-6b。OD=xAD=6xb+6xx。(2).E是AC中點(diǎn)。作DF//BE則EF=EC/2=AC/4=3c。平行線分線段成比OD/AD=EF/AF即(6xb+6xc)/(6b+6c)=3c/9c，x(6b+6c)/(6b+6c)=1/3，3x=1。(3).OD=2b+2c，AO=AD-OD=4b+4c=2(2b+2c)=2OD。

2設(shè)BC中點(diǎn)為M∵pA+pB+pC=0∴pA+2pM=0∴pA=2Mp∴p為三角形ABC的重心。上來步步可逆、∴p是三角形ABC重心的充要條件是pA+pB+pC=0

3如何用向量證明三角形的重心將中線分為2：

1設(shè)三角形ABC的三條中線分別為AD、BE、CF，求證AD、BE、CF交于一點(diǎn)O，且AO：OD=BO：OE=CO：OF=2：

1證明：用歸一法

不妨設(shè)AD與BE交于點(diǎn)O，向量BA=a,BC=b,則CA=BA-BC=a-b

因為BE是中線，所以BE=(a+b)/2,向量BO與向量BE共線，故設(shè)BO=xBE=(x/2)(a+b)

同理設(shè)AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b

在三角形ABO中，AO=BO-BA

所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b

因為向量a和b線性無關(guān)，所以

-y=x/2-1

y/2=x/

2解得x=y=2/

3所以A0：AD=BO：BE=2：3

故AO：OD=BO：OE=2:1

設(shè)AD與CF交于O',同理有AO’：O'D=CO':O'F=2:1

所以有AO:OD=AO':O'D=2:1,注意到O和O’都在AD上，因此O=O’

因此有AO：OD=BO：OE=CO:OF=2:1

證畢!

4設(shè)三角形ABC的頂點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為(X1,Y1),(X2,Y2)，(X3,Y3)證明：三角形ABC的重心(即三條中線的交點(diǎn))M的坐標(biāo)(X,Y)滿足：X=X1+X2+X3/3Y=Y1+Y2+Y3/3

設(shè):AB的中點(diǎn)為D.∴Dx=(x1+x2)/2，又M為三角形的重心,∴CD=3MD,∴x3-(x1+x2)/2=3===>x=(x1+x2+x3)/3同理:y=(y1+y2+y3)/3

5如圖。設(shè)AB=a(向量)，AC=b,AD=(a+b)/2,AO=tAB=ta/2+tb/2.BE=b/2-a.AO=a+sBE=(1-s)a+sb/2.t/2=1-s,t/2=s/2.消去s.t=2/3.AO=(2/3)AB.OD=(1/3)AB,AO=2OD.如何用向量證明三角形的重心將中線分為2：1

設(shè)三角形ABC的三條中線分別為AD、BE、CF，求證AD、BE、CF交于一點(diǎn)O，且AO：OD=BO：OE=CO：OF=2：1

證明：用歸一法

不妨設(shè)AD與BE交于點(diǎn)O，向量BA=a,BC=b,則CA=BA-BC=a-b

因為BE是中線，所以BE=(a+b)/2,向量BO與向量BE共線，故設(shè)BO=xBE=(x/2)(a+b)

同理設(shè)AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b

在三角形ABO中，AO=BO-BA

所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b

因為向量a和b線性無關(guān)，所以

-y=x/2-1

y/2=x/2

解得x=y=2/3

所以A0：AD=BO：BE=2：3

故AO：OD=BO：OE=2:1

設(shè)AD與CF交于O',同理有AO’：O'D=CO':O'F=2:1

所以有AO:OD=AO':O'D=2:1,注意到O和O’都在AD上，因此O=O’

因此有AO：OD=BO：OE=CO:OF=2:1

證畢!

第二篇：向量證明重心

向量證明重心三角形ABC中，重心為O，AD是BC邊上的中線，用向量法證明AO=2OD(1).AB=12b，AC=12c。AD是中線則AB+AC=2AD即12b+12c=2AD，AD=6b+6c;BD=6c-6b。OD=xAD=6xb+6xx。(2).E是AC中點(diǎn)。作DF//BE則EF=EC/2=AC/4=3c。平行線分線段成比OD/AD=EF/AF即(6xb+6xc)/(6b+6c)=3c/9c，x(6b+6c)/(6b+6c)=1/3，3x=1。(3).OD=2b+2c，AO=AD-OD=4b+4c=2(2b+2c)=2OD。2 設(shè)BC中點(diǎn)為M∵PA+PB+PC=0∴PA+2PM=0∴PA=2MP∴P為三角形ABC的重心。上來步步可逆、∴P是三角形ABC重心的充要條件是PA+PB+PC=0 3 如何用向量證明三角形的重心將中線分為2：1 設(shè)三角形ABC的三條中線分別為AD、BE、CF，求證AD、BE、CF交于一點(diǎn)O，且AO：OD=BO：OE=CO：OF=2：1 證明：用歸一法

不妨設(shè)AD與BE交于點(diǎn)O，向量BA=a,BC=b,則CA=BA-BC=a-b 因為BE是中線，所以BE=(a+b)/2,向量BO與向量BE共線，故設(shè)BO=xBE=(x/2)(a+b)同理設(shè)AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b 在三角形ABO中，AO=BO-BA 所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b 因為向量a和b線性無關(guān)，所以-y=x/2-1 y/2=x/2 解得x=y=2/3 所以A0：AD=BO：BE=2：3 故AO：OD=BO：OE=2:1 設(shè)AD與CF交于O',同理有AO’：O'D=CO':O'F=2:1 所以有AO:OD=AO':O'D=2:1,注意到O和O’都在AD上，因此O=O’ 因此有AO：OD=BO：OE=CO:OF=2:1 證畢!4 設(shè)三角形ABC的頂點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為(X1,Y1),(X2,Y2)，(X3,Y3)證明：三角形ABC的重心(即三條中線的交點(diǎn))M的坐標(biāo)(X,Y)滿足：X=X1+X2+X3/3 Y=Y1+Y2+Y3/3 設(shè):AB的中點(diǎn)為D.∴Dx=(x1+x2)/2，又M為三角形的重心,∴CD=3MD,∴x3-(x1+x2)/2=3[x-(x1+x2)/2]===>x=(x1+x2+x3)/3同理: y=(y1+y2+y3)/3 5 如圖。

第三篇：向量與三角形的重心

向量與三角形的重心

????????????例1 已知A，B，C是不共線的三點(diǎn)，G是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若GA?GB?GC?0．求

證：G是△ABC的重心．

????????????????????????證明：如圖1所示，因為GA?GB?GC?0，所以GA??(GB?GC)．

????????????????????以GB，GC為鄰邊作平行四邊形BGCD，則有GD?GB?GC，????????所以GD??GA．

????????又因為在平行四邊形BGCD中，BC交GD于點(diǎn)E，所以BE?EC，????????????????GE?ED．所以AE是△ABC的邊BC的中線，且GA?2GE．

故G是△ABC的重心．

點(diǎn)評：①解此題要聯(lián)系重心的性質(zhì)和向量加法的意義；②把平面幾何知識和向量知識結(jié)合起來解決問題是解此類問題的常用方法．

變式引申：已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，AC，AB的中點(diǎn)．求證： ????????????AD?BE?CF?0．

證明：如圖2的所示，????????????????????????????????????????????AD?AC?CD????????????????2AD?AC?AB?CD?BD，即2AD?AC?AB． AD?AB?BD??

????????????????????????同理2BE?BA?BC，2CF?CA?CB．

?????????????2A(D?BE?C)F?A?C

????????????0?C?F?AD?BE． ????????????????．?AB?BA?B0C? CA?CB????????

點(diǎn)評：該例考查了三角形法則和向量的加法．

例2 如圖3所示，△ABC的重心為G，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，????????????????OA?a，OB?b，OC?c，試用a，b，c表示OG．

解：設(shè)AG交BC于點(diǎn)M，則M是BC的中點(diǎn)，????????????b?aAB?AC?BC?c?b．則，c?a，?????1??????1??1?AM?ABb?C?a?(c?b)?(c?b?2a)． 22

2??????21????AGA(c?b?2a．)3

3????????????11故OG?OA?AG?a?(c?b?2a)?(a?b?c)． 33

點(diǎn)評：重心問題是三角形的一個重要知識點(diǎn)，充分利用重心性質(zhì)及向量加、減運(yùn)算的幾何意義是解決此類題的關(guān)鍵．

變式引申：如圖4，平行四邊形ABCD的中心為O，????1????????????????P為該平面上任意一點(diǎn)，則PO?(PA?PB?PC?PD)． 4

?????????????????????????????????????PO?PA?AO，PO?PB?BO，PO?PC?CO，證法1：

????????????PO?PD?DO，?????????????????P?BP?C PD?4PO?PA，???? ????1????????????????即PO?(PA?PB?PC?PD)． 4

????1????????????1????????證法2：?PO?(PA?PC)，PO?(PB?PD)，22

????1?????????????????PO?(PA?PB?PC?PD)． 4

點(diǎn)評：（1）證法1運(yùn)用了向量加法的三角形法則，證法2運(yùn)用了向量加法的平行四邊形法則．

????????????????（2）若P與O重合，則上式變?yōu)镺A?OB?OC?OD?0．

第四篇：向量空間證明

向量空間證明解題的基本方法：

1)在立體幾何圖形中，選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)和直線方向建立空間直角坐標(biāo)系 中 2)若問題中沒有給出坐標(biāo)計算單位，可選擇合適的線段設(shè)置長度單位;3)計算有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)值，求出相關(guān)向量的坐標(biāo);4)求解給定問題

證明直線與平面垂直的方法是在平面中選擇二個向量，分別與已知直線向量求數(shù)積，只要分別為零，即可說明結(jié)論。

證明直線與平面平行的關(guān)鍵是在平面中尋找一個與直線向量平行的向量。這樣就轉(zhuǎn)化為證明二個向量平行的問題，只要說明一個向量是另一向量的m(實(shí)數(shù))倍，即可 只要多做些這方面的題，或看些這方面的例題，也會從中悟出經(jīng)驗和方法 2 解：

因為x+y+z=0 x=-y-z y=y+0*z z=0*y+z(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z y,z為任意實(shí)數(shù)

則：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一組基，維數(shù)為2(不用寫為什么是2)步驟1 記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c ∴a+b+c=0 則i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0 接著得到正弦定理 其他 步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。

第五篇：證明向量共面

證明向量共面

已知O是空間任意一點(diǎn),A.B.C.D四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線,但四點(diǎn)共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,則2x+3y+4z=?

寫詳細(xì)點(diǎn)怎么做謝謝了~明白后加分！!

我假定你的O-A表示向量OA。

由O的任意性，取一個不在ABCD所在平面的O，這時若OA=b*OB+c*OC+d*OD，那么b+c+d必定等于1。

(證明：設(shè)O在該平面上的投影為p，那么對平面上任何一點(diǎn)X，OX=Op+pX，然后取X=A、B、C、D代你給的關(guān)系式并比較Op分量即可。)

你給的右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。

2充分不必要條件。

如果有三點(diǎn)共線，則第四點(diǎn)一定與這三點(diǎn)共面，因為線和直線外一點(diǎn)可以確定一個平面，如果第四點(diǎn)在這條線上，則四點(diǎn)共線，也一定是共面的。

而有四點(diǎn)共面，不一定就其中三點(diǎn)共線，比如四邊形的四個頂點(diǎn)共面，但這四個頂點(diǎn)中沒有三個是共線的。

“三點(diǎn)共線”可以推出“四點(diǎn)共面”，但“四點(diǎn)共面”不能推出“三點(diǎn)共線”。因此是充分不必要條件

任取3個點(diǎn)，如果這三點(diǎn)共線，那么四點(diǎn)共面;如果這三點(diǎn)不共線，那么它們確定一個平面，考慮第四點(diǎn)到這個平面的距離。方法二A、B、C、D四點(diǎn)共面的充要條件為向量AB、AC、AD的混合積(AB,AC,AD)=0。方法三A、B、C、D四點(diǎn)不共面的充要條件為向量AB、AC、AD線性無關(guān)。

3已知O是空間任意一點(diǎn),A.B.C.D四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線,但四點(diǎn)共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,則2x+3y+4z=?

寫詳細(xì)點(diǎn)怎么做謝謝了我假定你的O-A表示向量OA。

由O的任意性，取一個不在ABCD所在平面的O，這時若OA=b*OB+c*OC+d*OD，那么b+c+d必定等于1。

(證明：設(shè)O在該平面上的投影為p，那么對平面上任何一點(diǎn)X，OX=Op+pX，然后取X=A、B、C、D代你給的關(guān)系式并比較Op分量即可。)

你給的右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。

4Xa-Yb+Yb-Zc+Zc-Xa=0

∴Xa-Yb=-(Yb-Zc)-(Zc-Xa)

由共面判定定理知它們共面。

簡單的說一個向量能夠用另外兩個向量表示，它們就共面。詳細(xì)的看高中課本

41.若向量e1、e2、e3共面，(i)其中至少有兩個不共線，不妨設(shè)e1,e2不共線，則e1,e2線性無關(guān)，e3可用e1,e2線性表示，即存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得e3=λe1+μe2,于是

λe1+μe2-e3=0.即存在三個不全為零的實(shí)數(shù)λ，μ，υ=-1，使得

λe1+μe2+υe3=0”。

(ii)若e1,e2,e3都共線，則其中至少有一個不為0，不妨設(shè)e1≠0，則存在實(shí)數(shù)λ，使得e2=λe1.于是λe1-e2=0,即存在三個不全為零的實(shí)數(shù)λ，μ=-1，υ=0，使得λe1+μe2+υe3=0”.2.存在三個不全為零的實(shí)數(shù)λ，μ，υ，使得λe1+μe2+υe3=0”，不妨設(shè)λ≠0，就有e1=(-μ/λ)e2+(-υ/λ)e3,于是e1,e2,e3共面。