第一篇：三角形外心、重心、垂心的向量形式

三角形外心、重心、垂心的向量形式

已知△ABC，P為平面上的點，則

(1)P為外心

(2)P為重心

(3)P為垂心

證明(1)如P為△ABC的外心(圖1)，則 PA=PB=PC，(2)如P為△ABC的重心，如圖2，延長AP至D，使PD=PA，設(shè)AD與BC相交于E點．

由重心性質(zhì)

∴ 四邊形PBDC為平行四邊形．

BC和PD之中點．

心．

(3)如圖3，P為△ABC的垂心

同理PA⊥AC，故P為△ABC之垂心．

由上不難得出這三個結(jié)論之間的相互關(guān)系：

∴ △ABC為正三角形．

∴ △ABC為正三角形，且O為其中心．

第二篇：向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識

向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識的交匯一、四心的概念介紹

（1）重心——中線的交點：重心將中線長度分成2：1；

（2）垂心——高線的交點：高線與對應(yīng)邊垂直；

（3）內(nèi)心——角平分線的交點（內(nèi)切圓的圓心）：角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；

（4）外心——中垂線的交點（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點的距離相等。

二、四心與向量的結(jié)合（1）????O是?ABC的重心.證法1：設(shè)O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)

x1?x2?x3?x???(x1?x)?(x2?x)?(x3?x)?0?3????? ?O是?ABC??(y?y)?(y?y)?(y?y)?0y?y?y23?123?y?1?3?的重心.證法2：如圖 ?OA?OB?OC

?OA?2OD?0

?AO?2OD

?A、O、D三點共線，且O分AD為2：

1?O是?ABC的重心（2）??????O為?ABC的垂心.????(?)???0 BDC證明：如圖所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.?? 同理?，? ?O為?ABC的垂心

（3）設(shè)a,b,c是三角形的三條邊長，O是?ABC的內(nèi)

aOA?bOB?cOC?0?O為?ABC的內(nèi)心.證明：?BD

C心 AC方向上的單位向量，分別為AB、cb?ABAC?平分?BAC, cb

?AO??(bc?)，令?? cba?b?c

??ABACbc?（）cba?b?c化簡得(a?b?c)OA?bAB?cAC?0

（4）???O為?ABC的外心。?aOA?bOB?cOC?

典型例題：

例1：O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足???(?)，???0,???，則點P的軌跡一定通過?ABC的（）

A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心

分析：如圖所示?ABC，D、E分別為邊BC、AC的中點.???2 ???2?

???

BD

C

?AP?2?AD

?//

?點P的軌跡一定通過?ABC的重心，即選C.例2：（03全國理4）O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P

滿足????，???0,???，則點P的軌跡一定通過?ABC的（B）

A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心

分析：方向上的單位向量，分別為平分?BAC, ??點P的軌跡一定通過?ABC的內(nèi)心，即選B.例3：O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿

足????，???0,???，則點P的軌跡一定通過?ABC的（）

A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心

分析：如圖所示AD垂直BC，BE垂直AC，D、E是垂足

.??

?

?

C

=

=0

?點P的軌跡一定通過?ABC的垂心，即選D.練習(xí)：

1．已知?ABC三個頂點A、B、C及平面內(nèi)一點P，滿足???，若實數(shù)?滿足：AB?AC??AP，則?的值為（）

A．2B．

32C．3D．6

2．若?ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，???，則OA?OB?()

A．

12B．0C．1D．?1

3．點O在?ABC內(nèi)部且滿足OA?2OB?2OC?0，則?ABC面積與凹四邊形ABOC面積之比是（A．0B．3

2C．

544D．3

4．?ABC的外接圓的圓心為O，若???，則H是?ABC的（）

A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心

5．O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，若2?2?

2?CA2?OC2?AB2，則O是?ABC的（）

A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心

6．?ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，?m(??)，則實數(shù)m =

7．（06陜西）已知非零向量AB→與AC→滿足(AB→

|AB→|+AC→

|AC→|)·BC→=0且AB→

|AB→|·AC→

|AC→|=12 , 則△ABC為()

A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形

C．等腰非等邊三角形D．等邊三角形

8．已知?ABC三個頂點A、B、C，若AB2?AB?AC?AB?CB?BC?CA，則?ABC為（）

A．等腰三角形B．等腰直角三角形

C．直角三角形D．既非等腰又非直角三角形

練習(xí)答案：C、D、C、D、D、1、D、C

3）

第三篇：三角形外心內(nèi)心重心垂心與向量性質(zhì)

三 角 形 的“四 心”

所謂三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及內(nèi)心。當(dāng)三角形是正三角形時，四心重合為一點，統(tǒng)稱為三角形的中心。一、三角形的外心

定

義：三角形三條中垂線的交點叫外心，即外接圓圓心。?ABC的重心一般用字母O表示。性

質(zhì)：

1.外心到三頂點等距，即OA?OB?OC。

2.外心與三角形邊的中點的連線垂直于三角形的這一邊，即OD?BC,OE?AC,OF?AB.3.向量性質(zhì)：若點O為?ABC所在的平面內(nèi)一點，滿足(OA?OB)?BA?(OB?OC)?CB?(OC?OA)?AC，則點O為?ABC的外心。二、三角形的內(nèi)心

定

義：三角形三條角平分線的交點叫做三角形的內(nèi)心，即內(nèi)切圓圓心。?ABC的內(nèi)心一般用字母I表示，它具有如下性質(zhì)： 性

質(zhì)：

1.內(nèi)心到三角形三邊等距，且頂點與內(nèi)心的連線平分頂角。2.三角形的面積＝1?三角形的周長?內(nèi)切圓的半徑． 23.向量性質(zhì)：設(shè)???0,???，則向量AP??(點P的軌跡過?ABC的內(nèi)心。

AB|AB||AC|?AC)，則動 三、三角形的垂心

定

義：三角形三條高的交點叫重心。?ABC的重心一般用字母H表示。性

質(zhì)：

1.頂點與垂心連線必垂直對邊，即AH?BC,BH?AC,CH?AB。2.向量性質(zhì)：

結(jié)論1：若點O為?ABC所在的平面內(nèi)一點，滿足OA?OB?OB?OC?OC?OA，則點O為?ABC的垂心。

結(jié)論2：若點O為△ABC所在的平面內(nèi)一點，滿足OA?BC?OB?CA?OC?AB，則點O為?ABC的垂心。

22222

2四、三角形的“重心”：

定

義：三角形三條中線的交點叫重心。?ABC的重心一般用字母G表示。

性

質(zhì)：

1.頂點與重心G的連線必平分對邊。

2.重心定理：三角形重心與頂點的距離等于它與對邊中點的距離的2倍。

即GA?2GD,GB?2GE,GC?2GF 3.重心的坐標(biāo)是三頂點坐標(biāo)的平均值． 即xG?xA?xB?xCy?yB?yC,yG?A.334.向量性質(zhì)：（1）GA?GB?GC?0；（2）PG?

1(PA?PB?PC)。3 2

第四篇：向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識的交匯

向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識的交匯一、四心的概念介紹

（1）重心——中線的交點：重心將中線長度分成2：1；（2）垂心——高線的交點：高線與對應(yīng)邊垂直；（3）內(nèi)心——角平分線的交點（內(nèi)切圓的圓心）：角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；（4）外心——中垂線的交點（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點的距離相等。二、四心與向量的結(jié)合（1）OA?OB?OC?0?O是?ABC的重心.證法1：設(shè)O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)

?(x1?x)?(x2?x)?(x3?x)?0?

?(y1?y)?(y2?y)?(y3?y)?0

OA?OB?OC?0?

x1??x?????

?y?y1???

x2?x33y2?y3

3?O是?ABC的重心.證法2：如圖

?OA?OB?OC ?OA?2OD?0

?AO?2OD

?A、O、D三點共線，且O分AD

為2：

1?O是?ABC的重心

BDC

（2）OA?OB?OB?OC?OC?OA?O為?ABC的垂心.證明：如圖所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.OA?OB?OB?OC?OB(OA?OC)?OB?CA?0 ?OB?AC

同理OA?BC，OC?AB

?O為?ABC的垂心

（3）設(shè)a,b,c是三角形的三條邊長，O是?ABC的內(nèi)心

aOA?bOB?cOC?0?O為?ABC的內(nèi)心.證明：?

?

ABc?

AB

ACAC方向上的單位向量，分別為AB、cb

ACb

平分?BAC,ABc?ACb

?AO??()，令??

bca?b?c

?AO?

bca?b?c

（ABc

?

ACb)

化簡得(a?b?c)OA?bAB?cAC?0

?aOA?bOB?cOC?0

（4???O為?ABC的外心。

典型例題：

例1：O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足

OP?OA??(AB?AC)，???0,???，則點P的軌跡一定通過?ABC的（）

A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心 分析：如圖所示?ABC，D、E分別為邊BC、AC的中點.?AB?AC?2AD

?OP?OA?2?AD ?OP?OA?AP ?AP?2?AD

BDC

?AP//AD

?點P的軌跡一定通過?ABC的重心，即選C.例2：（03全國理4）O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P

滿足OP?OA???，???0,???，則點P的軌跡一定通過?ABC的（B）

A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心

分析：?

AC方向上的單位向量，分別為AB、?

AB?

AC平分?BAC,?點P的軌跡一定通過?ABC的內(nèi)心，即選B.例3：O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P

滿足

OP?OA??AB?

AC，???0,???，則點P的軌跡一定通過?ABC的（）

A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心

分析：如圖所示AD垂直BC，BE垂直AC，D、E是垂足

.?

?BC

?

?

=?

=0

?點P的軌跡一定通過?ABC的垂心，即選D.練習(xí)：

1．已知?ABC三個頂點A、B、C及平面內(nèi)一點P，滿足PA?PB?PC?0，若實數(shù)?滿足：AB?AC??AP，則?的值為（）

A．2B．

32C．3D．6

2．若?ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，OA?OB?OC?0，則OA?OB?()A．

B．0C．1D．?

3．點O在?ABC內(nèi)部且滿足OA?2OB?2OC?0，則?ABC面積與凹四邊形

ABOC

面積之比是（）A．0B．

C．

54D．

4．?ABC的外接圓的圓心為O，若OH?OA?OB?OC，則H是?ABC的（）

A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心

5．O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，若OA

?BC?OB

?CA?OC?AB，則O是?ABC的（）

A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心

OH?m(OA?OB?OC)，?ABC的外接圓的圓心為O，6．兩條邊上的高的交點為H，則實數(shù)m =

→→→→1ABACABAC→→→

7．（06陜西）已知非零向量AB與AC滿足(+)·BC=0 · = , 則

2→→→→|AB||AC||AB||AC|△ABC為()

A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形 C．等腰非等邊三角形D．等邊三角形

8．已知?ABC三個頂點A、B、C，若AB

?ABC為（）

?AB?AC?AB?CB?BC?CA，則

A．等腰三角形B．等腰直角三角形

C．直角三角形D．既非等腰又非直角三角形 練習(xí)答案：C、D、C、D、D、1、D、C

第五篇：三角形五心：重心 垂心 內(nèi)心 外心 旁心

三角形只有五種心

一、重心: 三中線的交點,三角形的三條中線交于一點，這點到頂點的距離是它到對邊中點距離的2倍；重心分中線比為1：2；

1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。

證明一

三角形ABC，E、F是AB，AC的中點。EC、FB交于G。

過E作EH平行BF。

AE=BE推出AH=HF=1/2AF

AF=CF

推出HF=1/2CF 推出EG=1/2CG

2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。

證明二

證明方法：

在△ABC內(nèi)，三邊為a，b，c，點O是該三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分別為a、b、c邊上的中線根據(jù)重心性質(zhì)知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1過O，A分別作a邊上高h(yuǎn)1，h可知Oh1=1/3Ah 則，S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可證S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC)所以，S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)

3、重心到三角形3個頂點距離平方的和最小。(等邊三角形）

證明方法：

設(shè)三角形三個頂點為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)平面上任意一點為（x，y）則該點到三頂點距離平方和為：

(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2

=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2

=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2

顯然當(dāng)x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐標(biāo)）時

上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2

最終得出結(jié)論。

4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其坐標(biāo)為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；

空間直角坐標(biāo)系——橫坐標(biāo)：(X1+X2+X3)/3 縱坐標(biāo)：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標(biāo)：（z1+z2+z3）/3

5、三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點。

6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），則M點為△ABC的重心，反之也成立。

7、設(shè)△ABC重心為G點，所在平面有一點O，則向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）

二、垂心: 三角形三條高的交點;設(shè)⊿ABC的三條高為AD、BE、CF，其中D、E、F為垂足，垂心為H，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2．

1、銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心；

3、垂心H關(guān)于三邊的對稱點，均在△ABC的外接圓上。

4、△ABC中，有六組四點共圓，有三組(每組四個)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。

5、H、A、B、C四點中任一點是其余三點為頂點的三角形的垂心(并稱這樣的四點為一—垂心組)。

6、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓。

7、在非直角三角形中，過H的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則 AB/AP·tanB+

三角形的垂心與外心的位置關(guān)系

AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。

8、三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍。

9、設(shè)O，H分別為△ABC的外心和垂心，則∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。

10、銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。

11、銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短。

12、西姆松(Simson)定理（西姆松線）

從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。

13、設(shè)銳角⊿ABC內(nèi)有一點T，那么T是垂心的充分必要條件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。

三、內(nèi)心: 三內(nèi)角平分線的交點,是三角形的內(nèi)切圓的圓心的簡稱;到三邊距離相等。

設(shè)△ABC的內(nèi)切圓為☉I(r)，I為圓心，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2．

1、三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r．

2、∠BIC=90°+A/2．

3、如圖 在RT△ABC中，∠A=90°△內(nèi)切圓切BC于D則S△ABC=BD*CD

4、點O是平面ABC上任意一點，點I是△ABC內(nèi)心的充要條件是：

向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．

5、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC內(nèi)心I的坐標(biāo)是：

(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．

6、(歐拉定理)⊿ABC中，R和r分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其外心和內(nèi)心，則OI^2=R^2-2Rr．

7、點O是平面ABC上任意一點，點O是△ABC內(nèi)心的充要條件是：

a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0．

8、雙曲線上任一支上一點與兩焦點組成的三角形的內(nèi)心在實軸的射影為對應(yīng)支的頂點。

9、△ABC中，內(nèi)切圓分別與AB，BC，CA相切于P，Q，R，則AP=AR=（b+c-a）/2，BP =BQ =(a

+c-b)/2,CR =CQ =(b+a-c)/2,r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。

10、（內(nèi)角平分線定理）

△ABC中，0為內(nèi)心，∠A、∠B、∠C的內(nèi)角平分線分別交BC、AC、AB于Q、P、R，則BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.四、外心:

三中垂線的交點，是三角形的外接圓的圓心的簡稱；到三頂點距離相等

設(shè)⊿ABC的外接圓為☉G(R)，G是圓心，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2．

性質(zhì)1：（1）銳角三角形的外心在三角形內(nèi)；

（2）直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點重合；

（3）鈍角三角形的外心在三角形外.性質(zhì)2：∠BGC=2∠A，（或∠BGC=2(180°-∠A).性質(zhì)3：∠GAC+∠B=90°

證明：如圖所示延長AG與圓交與P

∵A、C、B、P四點共圓

∴∠P=∠B

∵∠P+∠GAC=90°

∴∠GAC+∠B=90°

性質(zhì)4：點G是平面ABC上一點，點P是平面ABC上任意一點，那么點G是⊿ABC外心的充要條件是：

（1）向量PG=(tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).或（2）向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.性質(zhì)5：三角形三條邊的垂直平分線的交于一點，該點即為三角形外接圓的圓心.外心到三頂點的距離相等。

性質(zhì)6：點G是平面ABC上一點，那么點G是⊿ABC外心的充要條件(向量GA+向量GB)·向量AB=(向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=0.五、旁心:（不用看，以后了解了解就好，現(xiàn)在一定不會考）

一條內(nèi)角平分線與其它二外角平分線的交點.(共有三個.)是三角形的旁切圓的圓心的簡稱.當(dāng)且僅當(dāng)三角形是正三角形的時候,四心合一心,稱做正三角形的中心.。