第一篇：三角形外心內(nèi)心重心垂心與向量性質(zhì)

三 角 形 的“四 心”

所謂三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及內(nèi)心。當(dāng)三角形是正三角形時(shí)，四心重合為一點(diǎn)，統(tǒng)稱為三角形的中心。一、三角形的外心

定

義：三角形三條中垂線的交點(diǎn)叫外心，即外接圓圓心。?ABC的重心一般用字母O表示。性

質(zhì)：

1.外心到三頂點(diǎn)等距，即OA?OB?OC。

2.外心與三角形邊的中點(diǎn)的連線垂直于三角形的這一邊，即OD?BC,OE?AC,OF?AB.3.向量性質(zhì)：若點(diǎn)O為?ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足(OA?OB)?BA?(OB?OC)?CB?(OC?OA)?AC，則點(diǎn)O為?ABC的外心。二、三角形的內(nèi)心

定

義：三角形三條角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，即內(nèi)切圓圓心。?ABC的內(nèi)心一般用字母I表示，它具有如下性質(zhì)： 性

質(zhì)：

1.內(nèi)心到三角形三邊等距，且頂點(diǎn)與內(nèi)心的連線平分頂角。2.三角形的面積＝1?三角形的周長?內(nèi)切圓的半徑． 23.向量性質(zhì)：設(shè)???0,???，則向量AP??(點(diǎn)P的軌跡過?ABC的內(nèi)心。

AB|AB||AC|?AC)，則動(dòng) 三、三角形的垂心

定

義：三角形三條高的交點(diǎn)叫重心。?ABC的重心一般用字母H表示。性

質(zhì)：

1.頂點(diǎn)與垂心連線必垂直對邊，即AH?BC,BH?AC,CH?AB。2.向量性質(zhì)：

結(jié)論1：若點(diǎn)O為?ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足OA?OB?OB?OC?OC?OA，則點(diǎn)O為?ABC的垂心。

結(jié)論2：若點(diǎn)O為△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足OA?BC?OB?CA?OC?AB，則點(diǎn)O為?ABC的垂心。

22222

2四、三角形的“重心”：

定

義：三角形三條中線的交點(diǎn)叫重心。?ABC的重心一般用字母G表示。

性

質(zhì)：

1.頂點(diǎn)與重心G的連線必平分對邊。

2.重心定理：三角形重心與頂點(diǎn)的距離等于它與對邊中點(diǎn)的距離的2倍。

即GA?2GD,GB?2GE,GC?2GF 3.重心的坐標(biāo)是三頂點(diǎn)坐標(biāo)的平均值． 即xG?xA?xB?xCy?yB?yC,yG?A.334.向量性質(zhì)：（1）GA?GB?GC?0；（2）PG?

1(PA?PB?PC)。3 2

第二篇：向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識(shí)

向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識(shí)的交匯一、四心的概念介紹

（1）重心——中線的交點(diǎn)：重心將中線長度分成2：1；

（2）垂心——高線的交點(diǎn)：高線與對應(yīng)邊垂直；

（3）內(nèi)心——角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心）：角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等；

（4）外心——中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。

二、四心與向量的結(jié)合（1）????O是?ABC的重心.證法1：設(shè)O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)

x1?x2?x3?x???(x1?x)?(x2?x)?(x3?x)?0?3????? ?O是?ABC??(y?y)?(y?y)?(y?y)?0y?y?y23?123?y?1?3?的重心.證法2：如圖 ?OA?OB?OC

?OA?2OD?0

?AO?2OD

?A、O、D三點(diǎn)共線，且O分AD為2：

1?O是?ABC的重心（2）??????O為?ABC的垂心.????(?)???0 BDC證明：如圖所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.?? 同理?，? ?O為?ABC的垂心

（3）設(shè)a,b,c是三角形的三條邊長，O是?ABC的內(nèi)

aOA?bOB?cOC?0?O為?ABC的內(nèi)心.證明：?BD

C心 AC方向上的單位向量，分別為AB、cb?ABAC?平分?BAC, cb

?AO??(bc?)，令?? cba?b?c

??ABACbc?（）cba?b?c化簡得(a?b?c)OA?bAB?cAC?0

（4）???O為?ABC的外心。?aOA?bOB?cOC?

典型例題：

例1：O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足???(?)，???0,???，則點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的（）

A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心

分析：如圖所示?ABC，D、E分別為邊BC、AC的中點(diǎn).???2 ???2?

???

BD

C

?AP?2?AD

?//

?點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的重心，即選C.例2：（03全國理4）O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P

滿足????，???0,???，則點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的（B）

A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心

分析：方向上的單位向量，分別為平分?BAC, ??點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的內(nèi)心，即選B.例3：O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿

足????，???0,???，則點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的（）

A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心

分析：如圖所示AD垂直BC，BE垂直AC，D、E是垂足

.??

?

?

C

=

=0

?點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的垂心，即選D.練習(xí)：

1．已知?ABC三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P，滿足???，若實(shí)數(shù)?滿足：AB?AC??AP，則?的值為（）

A．2B．

32C．3D．6

2．若?ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，???，則OA?OB?()

A．

12B．0C．1D．?1

3．點(diǎn)O在?ABC內(nèi)部且滿足OA?2OB?2OC?0，則?ABC面積與凹四邊形ABOC面積之比是（A．0B．3

2C．

544D．3

4．?ABC的外接圓的圓心為O，若???，則H是?ABC的（）

A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心

5．O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，若2?2?

2?CA2?OC2?AB2，則O是?ABC的（）

A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心

6．?ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，?m(??)，則實(shí)數(shù)m =

7．（06陜西）已知非零向量AB→與AC→滿足(AB→

|AB→|+AC→

|AC→|)·BC→=0且AB→

|AB→|·AC→

|AC→|=12 , 則△ABC為()

A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形

C．等腰非等邊三角形D．等邊三角形

8．已知?ABC三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C，若AB2?AB?AC?AB?CB?BC?CA，則?ABC為（）

A．等腰三角形B．等腰直角三角形

C．直角三角形D．既非等腰又非直角三角形

練習(xí)答案：C、D、C、D、D、1、D、C

3）

第三篇：向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識(shí)的交匯

向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識(shí)的交匯一、四心的概念介紹

（1）重心——中線的交點(diǎn)：重心將中線長度分成2：1；（2）垂心——高線的交點(diǎn)：高線與對應(yīng)邊垂直；（3）內(nèi)心——角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心）：角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等；（4）外心——中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。二、四心與向量的結(jié)合（1）OA?OB?OC?0?O是?ABC的重心.證法1：設(shè)O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)

?(x1?x)?(x2?x)?(x3?x)?0?

?(y1?y)?(y2?y)?(y3?y)?0

OA?OB?OC?0?

x1??x?????

?y?y1???

x2?x33y2?y3

3?O是?ABC的重心.證法2：如圖

?OA?OB?OC ?OA?2OD?0

?AO?2OD

?A、O、D三點(diǎn)共線，且O分AD

為2：

1?O是?ABC的重心

BDC

（2）OA?OB?OB?OC?OC?OA?O為?ABC的垂心.證明：如圖所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.OA?OB?OB?OC?OB(OA?OC)?OB?CA?0 ?OB?AC

同理OA?BC，OC?AB

?O為?ABC的垂心

（3）設(shè)a,b,c是三角形的三條邊長，O是?ABC的內(nèi)心

aOA?bOB?cOC?0?O為?ABC的內(nèi)心.證明：?

?

ABc?

AB

ACAC方向上的單位向量，分別為AB、cb

ACb

平分?BAC,ABc?ACb

?AO??()，令??

bca?b?c

?AO?

bca?b?c

（ABc

?

ACb)

化簡得(a?b?c)OA?bAB?cAC?0

?aOA?bOB?cOC?0

（4???O為?ABC的外心。

典型例題：

例1：O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

OP?OA??(AB?AC)，???0,???，則點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的（）

A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心 分析：如圖所示?ABC，D、E分別為邊BC、AC的中點(diǎn).?AB?AC?2AD

?OP?OA?2?AD ?OP?OA?AP ?AP?2?AD

BDC

?AP//AD

?點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的重心，即選C.例2：（03全國理4）O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P

滿足OP?OA???，???0,???，則點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的（B）

A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心

分析：?

AC方向上的單位向量，分別為AB、?

AB?

AC平分?BAC,?點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的內(nèi)心，即選B.例3：O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P

滿足

OP?OA??AB?

AC，???0,???，則點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的（）

A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心

分析：如圖所示AD垂直BC，BE垂直AC，D、E是垂足

.?

?BC

?

?

=?

=0

?點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的垂心，即選D.練習(xí)：

1．已知?ABC三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P，滿足PA?PB?PC?0，若實(shí)數(shù)?滿足：AB?AC??AP，則?的值為（）

A．2B．

32C．3D．6

2．若?ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，OA?OB?OC?0，則OA?OB?()A．

B．0C．1D．?

3．點(diǎn)O在?ABC內(nèi)部且滿足OA?2OB?2OC?0，則?ABC面積與凹四邊形

ABOC

面積之比是（）A．0B．

C．

54D．

4．?ABC的外接圓的圓心為O，若OH?OA?OB?OC，則H是?ABC的（）

A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心

5．O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，若OA

?BC?OB

?CA?OC?AB，則O是?ABC的（）

A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心

OH?m(OA?OB?OC)，?ABC的外接圓的圓心為O，6．兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，則實(shí)數(shù)m =

→→→→1ABACABAC→→→

7．（06陜西）已知非零向量AB與AC滿足(+)·BC=0 · = , 則

2→→→→|AB||AC||AB||AC|△ABC為()

A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形 C．等腰非等邊三角形D．等邊三角形

8．已知?ABC三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C，若AB

?ABC為（）

?AB?AC?AB?CB?BC?CA，則

A．等腰三角形B．等腰直角三角形

C．直角三角形D．既非等腰又非直角三角形 練習(xí)答案：C、D、C、D、D、1、D、C

第四篇：三角形外心、重心、垂心的向量形式

三角形外心、重心、垂心的向量形式

已知△ABC，P為平面上的點(diǎn)，則

(1)P為外心

(2)P為重心

(3)P為垂心

證明(1)如P為△ABC的外心(圖1)，則 PA=PB=PC，(2)如P為△ABC的重心，如圖2，延長AP至D，使PD=PA，設(shè)AD與BC相交于E點(diǎn)．

由重心性質(zhì)

∴ 四邊形PBDC為平行四邊形．

BC和PD之中點(diǎn)．

心．

(3)如圖3，P為△ABC的垂心

同理PA⊥AC，故P為△ABC之垂心．

由上不難得出這三個(gè)結(jié)論之間的相互關(guān)系：

∴ △ABC為正三角形．

∴ △ABC為正三角形，且O為其中心．

第五篇：內(nèi)心、外心、重心、垂心定義及性質(zhì)總結(jié)

內(nèi)心、外心、重心、垂心定義及性質(zhì)總結(jié)

1.內(nèi)心：

（1）三條角平分線的交點(diǎn)，也是三角形內(nèi)切圓的圓心。

（2）性質(zhì)：到三邊距離相等。

2外心：

（1）三條中垂線的交點(diǎn)，也是三角形外接圓的圓心。

（2）性質(zhì)：到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等。重心：

（1）三條中線的交點(diǎn)。

（2）性質(zhì)：三條中線的三等分點(diǎn)，到頂點(diǎn)距離為到對邊中點(diǎn)距離的2倍。垂心：三條高所在直線的交點(diǎn)。重 心 :三條中線定相交，交點(diǎn)位置真奇巧，交點(diǎn)命名為“重心”，重心性質(zhì)要明了，重心分割中線段，數(shù)段之比聽分曉；

長短之比二比一，靈活運(yùn)用掌握好．垂 心 :三角形上作三高，三高必于垂心交．

高線分割三角形，出現(xiàn)直角三對整，直角三角形有十二，構(gòu)成六對相似形，四點(diǎn)共圓圖中有，細(xì)心分析可找清.7內(nèi) 心 :三角對應(yīng)三頂點(diǎn)，角角都有平分線，三線相交定共點(diǎn)，叫做“內(nèi)心”有根源；

點(diǎn)至三邊均等距，可作三角形內(nèi)切圓，此圓圓心稱“內(nèi)心”如此定義理當(dāng)然．

8外 心 :三角形有六元素，三個(gè)內(nèi)角有三邊．

作三邊的中垂線，三線相交共一點(diǎn)．

此點(diǎn)定義為“外心”，用它可作外接圓．

“內(nèi)心”“外心”莫記混，“內(nèi)切”“外接”是關(guān)鍵．