第一篇：數學學案 編號39 1.1.1 正弦定理

山西大學附中高一年級(下)數學學案編號39

1.1.1正弦定理

一、學習目標：1.能理解會證明正弦定理.2.會用正弦定理解決兩類解三角形問題.二、知識導學：自學教材P2---P3后完成：

1)首先來探討直角三角形中，角與邊的數量關系.如圖，在Rt?ABC中，設

BC?a,AC?b,AB?c, 據銳角三角函數中正弦函

數的定義，有ab?，?，cc

abc所以??c又sinc?1?,c

abc則.錯誤！未找到引用源。??sinAsinBsinC

對于一般的三角形，以上關系式是否仍然成立呢？可分為銳角三角形和鈍角三角形

兩種情況來探究：

2)如圖，當?ABC是銳角三角形時，設邊AC上的高是BD，根據三角函數的定義，有BD==,則

a c 同理可得，,從而ac, ?sinAsinCabc.??sinAsinBsinC

錯誤！未找到引用源。

3)當?ABC是鈍角三角形時，以上等式仍然成立嗎？若成立寫出證明過程，否則說

明理由.綜上1)2)3)可得對于任意三角形ABC都有.我們把這個定理叫.正弦定理的探究過程體現了由到的數學思想?

通過查找資料，你還學會了哪些證明正弦定理的方法？請寫出一種來：

三、理解定理：

（1）適用范圍：正弦定理適用于三角形。

（2）正弦定理說明：同一三角形中，各邊與其對角的正弦成正比，且比例系數為同一正b

數，即存在正數k使a?ksinA,b?ksinB,c?ksinC；k的幾何意義是.（3）公式abc實際上表示了三個等式： ??sinAsinBsinC

ab，.?sinAsinB

四、學以致用：一般地，把三角形的和叫做三角形的元素，已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫作。

用正弦定理解三角形的方法體現了數學中的思想？

問題1： 已知在?ABC中，c?10,A?45,C?30,求a,b和B.問題2 ：已知在?ABC中，c?6,A?450,a?2,求b和B,C.歸納總結：根據正弦定理可以解哪兩類解三角形問題？

①.②.五、探究與發(fā)現：

已知三角形兩邊及一邊對角a,b,A,解三角形問題的探究：以下解三角形問題是否有解？若有解有幾個解?

若A是鈍角或直角，且a?b或a?b時.若A是鈍角或直角,且a?b時.若A是銳角，且a?b或a?b時.若A是銳角，且a?b時解的情況確定嗎？都有哪些類型？

六、提出問題：

（1）預習自學后你有什么疑惑？

（2）合作學習后解決了哪些問題？又產生了哪些新問題？

（3）通過正弦定理的學習你有哪些新的想法？猜想或質疑？。

七、達標檢測：

1.根據下列條件確定?ABC有兩個解的是（）

A.a?18,B?30,A?120B.a?60,c?48,C?120

C.a?3,b?6,A?30D.a?14,b?15,A?45

2.在?ABC中，b????????,B?60?,c?1,求a和A，C.

第二篇：必修⑤《1.1.1正弦定理》教案

必修⑤《1.1.1 正弦定理》教學設計

龍游縣橫山中學 黃建金

? 教材分析

正弦定理是必修⑤第一章開篇內容,在已有知識的基礎上，進一步對三角形邊角關系的研究，發(fā)現并掌握三角形中更準確的邊角關系。通過給出的實際問題，并指出解決問題的關鍵在于研究三角形中的邊、角關系，從而引導學生產生探索愿望，激發(fā)學生學習的興趣。在教學過程中，要引導學生自主探究三角形的邊角關系，先由特殊情況發(fā)現結論，再對一般三角形進行推導證明,并引導學生分析正弦定理可以解決兩類關于解三角形的問題：

（1）知兩角一邊，解三角形；

（2）知兩邊和一邊對角，解三角形。

? 學情分析

學生在學習了基本初等函數和三角恒等變換的基礎上，探究三角形邊角的量化關系，得出正弦定理。學生對現實問題比較感興趣，用現實問題出發(fā)激起學生的學習興趣，驅使學生探索研究新知識的欲望。

? 教學目標

1.知識與技能：

(1)引導學生發(fā)現正弦定理的內容，探索證明正弦定理的方法；

(2)簡單運用正弦定理解三角形、初步解決某些與測量和幾何計算有關的實際問題

2.過程與方法：

（1）通過對定理的探究，培養(yǎng)學生發(fā)現數學規(guī)律的思維方法與能力；

（2）通過對定理的證明和應用，培養(yǎng)學生獨立解決問題的能力和體會分類討論和數形結合的思想方法.3.情感、態(tài)度與價值觀：

(1)通過對三角形邊角關系的探究學習，經歷數學探究活動的過程，體會由特殊到一般再由一般到特殊的認識事物規(guī)律，培養(yǎng)探索精神和創(chuàng)新意識；

(2)通過本節(jié)學習和運用實踐，體會數學的科學價值、應用價值，學習用數學的思維方式解決問題、認識世界,進而領會數學的人文價值、美學價值，不斷提高自身的文化修養(yǎng).? 教學重點、難點

? 教學重點：正弦定理的推證與運用。

? 教學難點：正弦定理的推證；解決問題時可能有兩解的情形。

教學過程

一、結合實例，導入新課

出示靈山江的圖片。

問：如何能夠實現不上塔頂而知塔高，不過河而知河寬？

二、觀察特例，提出猜想[討論]

（1）認識三角形中的6個元素，并復習“大角對大邊，小角對小邊”知識。

問1 ：構成一個三角形最基本的要素有哪些？（同時在黑板上畫出三個不同類型的三角形）問2：在三角形中，角與對邊之間有怎樣的數量關系？（大邊對大角，小邊對小角）

（2）觀察直角三角形，提出猜想

問：能否用一個等式把這種關系精確地表示出來？

在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中的角與邊的等式關系。如圖，在Rt?ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,根據銳角三角函數中正弦函數的定義，有a

?sinA，b?sinB，又sinC?1?c,則ac

sinA?b

sinB?sinC?c

從而在直角三角形ABC中，a

sinA?b

sinB?c

sinC問：這種關系在銳角三角形中能否成立？

三、證明猜想，得出定理[探究] C（１）化歸思想，把銳角三角形轉化為直角三角形證明。

首先，證明當?ABC是銳角三角形時的情況。證法如下：

設邊AB上的高是CD（目的是把斜三角形轉化為直角三角形），根據任意角三角函數的定義，有CD=asinB?bsinA,則a

sinA?b

sinB，同理可得cbsinC?sinB，從而abc?sinAsinB?sinC

其次，提問當?ABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立？（由學生課后自己推導）最后提問：還有其它證明方法嗎？（向量方法）

（２）向量思想，把代數問題轉化為向量問題證明。

由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這問題。

證明：過點A作單位向量j?????AC?????????CB???，由向量的加法可得 AB?AC?

j??????AB?j???(??AC???CB???·

則)

j??????AB??j????AC????j??CB???

∴?j???AB?

cos?900?A??0??j???CB?cos?

900?C?

a∴csinA?asinC，即?c A?????bc同理，過點C作j?BC，可得?

ab

從而sinA?sinB?c

sinC

（3）得出定理，細說定理

從上面的研探過程，和證明可得以下定理：

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即ab

sinA?sinB?c

sinC

四、定理運用，解決實例

例1．在 △ABC 中,已知 A?30?,B?45?，a?2 cm，求C、b及c

解：根據三角形內角和定理，C?1800?(A?B)?180??(30??45?)?105?

a2?sinB?sin45?22（cm）； ?sinAsin30

a2?sinC?sin105?6?2（cm）c??sinAsin30根據正弦定理，b?

說明：

1、學生講出解題思路，老師板書以示解題規(guī)范。

2、已知三角形的幾個元素，求其他元素的過程叫作解三角形。

3、解題時利用定理的變形a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC更易解決問題。

例2．在 △ABC中，已知 a?6cm，b?6cm，A?30?，解三角形。

解：根據正弦定理，sinAsin30?3sinB?（？Ｂ角一定是銳角嗎？還有可能是什么角？如何判定？）b?63?a6

2因為00＜B＜1800，所以，B=60或120 oo

⑴ 當B=60時，C?180??(A?B)?180??(30??60?)?90?，o

c?a6sinC?sin90??12(cm)?sinAsin30

⑵ 當B=120時，C?180??(A?B)?180??(30??120?)?30?，o

c?a6?sinC?sin30?6(cm)?sinAsin30

說明：

1.讓學生講解題思路，其他同學補充說明，目的是要求學生注意分類討論思想（可能有兩解）。

2.求角時，為了使用方便正弦定理還可以寫成sinAsinBsinC??abc

3.用正弦定理的解題使用的題型：邊角成對已知（1第一類：已知任意兩角及其一邊；

第二類：已知任意兩邊與其中一邊的對角。對+1個），五、活學活用，當堂訓練

練習1在?ABC中，已知下列條件，解三角形。

（說明：可以讓學生上黑板扮演或通過實物投影解題的規(guī)范和對錯。）

（1）A?45，C?30，c?10cm，（2）a?20，b?11，B?30

練習2：[合作與探究]：某人站在靈山江岸邊樟樹B處，發(fā)現對岸發(fā)電廠A處有一棵大樹，如何求出A、B兩點間的距離？（如圖）???

六、回顧課堂，嘗試小結

①本節(jié)課學習了一個什么定理？

②該定理使用時至少需要幾個條件？

七、學有所成，課外續(xù)學

１、課本第10頁習題1.1A組1、2題

２.思考題：在?ABC中，a

sinA

?bsinB?csinC?k(k>o)，這個k與?ABC的外接圓半徑R有什么關系？

3八、板書設計

第三篇：正弦定理導學案

§1.1.1正弦定理（導學案）

【使用說明】

1、預習教材P2-P4頁，在規(guī)定時間完成預習學案

【預習目標】1.明確在直角三角形中邊與角的正弦之間的關系，2.弄清楚正弦定理的表達形式，能對表達式做簡單的變形.3.通過自主學習、合作討論探究，體驗學習的快樂

.【重點難點】正弦定理的推導過程和定理的應用.一、知識鏈接

1.在Rt?ABC中sinA=sinB=sinC=

2.正弦定理：

二、教材導讀

1、從直角三角形中邊與角的正弦之間的關系可以得到

銳角三角形的證明在鈍角三角形中進行證明。

2、思考正弦定理的其他證明方法，可以借助向量來證明嗎？

3、從正弦定理的結構形式上看正弦定理可以解決哪些解三角形的問題？（教材第3頁）

4、嘗試完成例1和例2。注意：①例1和例2的條件有什么不同；②為什么例2會有兩種情況呢？是否已知兩邊及其一邊的對角就有兩種情況呢？可能還有哪些情況？（參考教材P8和P9）.asinA?bsinB?csinCasinA?bsinB?csinC，仿照教材第2頁

三、預習自測

《點金訓練》P2自我評價和知識整合例1；

1.在?ABC中，(1)sinA=

012 ,則A=_______(2)cosA=012，則A=_______ 2.在?ABC中，若C=90，a=6，B=30，則c-b等于（）

A．1B.-1C.23D.?23

3．在?ABC中，sinA?1

2，sinB?

0032，則?ABC對應三邊的比值為a︰b︰c=4．在?ABC中，已知A?45,C?30,c?10，求邊a=。

四、探究、合作、展示 在三角形的外接圓中正弦定理

可以得到哪些邊角關系？

asinA?bsinB?csinC和外接圓半徑R的關系，再對式子進行變形，看

第四篇：正弦定理2學案

【總02】必修5§1.1正弦定理（2）第2課時

一、學習目標1.熟練掌握正弦定理及其變式的結構特征和作用 2.探究三角形的面積公式

3.能根據條件判斷三角形的形狀

4.能根據條件判斷某些三角形解的個數

二、學法指導

1.利用正弦定理可以將三角形中的邊角關系互化，同時要注意互補角的正弦值相等這一關系的應用；

2.利用正弦定理判定三角形形狀，常運用變形形式，結合三角函數的有關公式，得出角的大小或邊的關系。

三、課前預習

1.正弦定理______?_______?_______=________ 2.正弦定理的幾個變形

(1)a =________ ,b=_________ ,c=_________

(2)sinA=_______, sinB=________ , sinC=_______(3)a:b:c =____________________.3.在解三角形時，常用的結論

（1）在?ABC中，A>B?_________?_____________(2)sin(A+B)=sinC

四、課堂探究 1.正弦定理：（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數為同一正數，即存在正數k使a?ksinA,b?ksinB,c?ksinC；

（2）正弦定理的變形形式：

1）————————————————————； 2）————————————————————； 3）————————————————————．

（3）利用正弦定理和三角形內角和定理，可解決以下兩類斜三角形問題：1）____________________________________________________ 2）____________________________________________________ 一般地，已知兩邊和其中一邊的對角解斜三角形，有兩解或一(4)三角形的面積公式：

______________________________________________

例1仿照正弦定理的證法一，證明S1

?ABC?

absinC，并運用此結論解決下面問題：（1）在?ABC中，已知a?2，b?3，C?150?，求S?ABC；

（2）在?ABC中，已知c?10，A?45?，C?30?，求b和S?ABC；

五、數學運用

例2(2005年北京春季高考題)在?ABC中，已知2sinAcosB?sinC，那么?ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形

變式練習：?ABC中，已知abcosA?cosB?c

cosC，試判斷三角形的形狀.六、鞏固訓練

（一）當堂練習

1.在?ABC中，若a?3,A?60?,那么?ABC的外接圓的 周長為________ 2.在?ABC中,cb?cosCcosB,則?ABC的形狀為______ 3.在?ABC中，若A?600,a?3，則

a?b?c

sinA?sinB?sinC

?_______

4.?ABC中，tanA?sin2

B?tanB?sin2

A，那么?ABC一 定是_______

5.?ABC中，A為銳角，lgb?lg

c

?lgsinA??lg2，則 ?ABC形狀為_____

6?ABC中，已知a?xcm,b?2cm,B?450，如果利用正弦 定理解三角形有兩解，則的取值范圍是_____

第五篇：1正弦定理學案

1．1．1正弦定理學案

學習目標

通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題。用具：計算器 [探索研究]

首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關系。如圖1．1-2，在Rt?ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,例2．在?ABC中，已知a=

2，b=3，A=45，解三角形

O

abc

根據銳角三角函數中正弦函數的定義，有?sinA，?sinB，又siCn??1,c

c

c

A

則

a

b

c

sinA

?

sinB

?

sinC

?c從而在直角三角形ABC中，a

?

b

c

sinA

sinB

?

sinC

(圖1．1-2)

思考：那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立？ 可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sinC

[理解定理]

正弦定理的基本作用為：

①；

②。

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

[例題分析]

例1．在?ABC中，已知A=45O，B=30O，c=10cm，解三角形。解：

例3在三角形ABC中，若a2tanB=b2

tanA,判斷三角形形狀

[隨堂練習]

1三角形ABC中，a=4,A=450,B=60O,求b2在三角形ABC中A=60O,a=4,b=42求b

[補充練習]已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c

[課堂小結]

（1）定理的表示形式：（2）正弦定理的應用范圍：

①②