第一篇：高中數(shù)學(xué)《1.1.1 正弦定理》教案 新人教A版必修5 （大全）

1.1.1 正弦定理

●教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能：通過對(duì)任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。過程與方法：讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一?！窠虒W(xué)重點(diǎn)

正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用?！窠虒W(xué)難點(diǎn)

已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.討論：在直角三角形中，邊角關(guān)系有哪些？（三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么辦？

2.由已知的邊和角求出未知的邊和角，稱為解三角形.已學(xué)習(xí)過任意三角形的哪些邊角關(guān)系？（內(nèi)角和、大邊對(duì)大角）是否可以把邊、角關(guān)系準(zhǔn)確量化？ →引入課題：正弦定理

二、講授新課：

1.教學(xué)正弦定理的推導(dǎo)：

ab①特殊情況：直角三角形中的正弦定理： sinA= sinB= sinC=1 即

ccc=abc.??sinAsinBsinC② 能否推廣到斜三角形？（先研究銳角三角形，再探究鈍角三角形）

當(dāng)?ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)三角函數(shù)的定義，有CD?asinB?bsinA,則

abac.同理，??sinAsinBsinAsinC121212③*其它證法：

證明一：（等積法）在任意△ABC當(dāng)中S△ABC=absinC?acsinB?bcsinA.兩邊同除以abc即得：12cab==.sinAsinBsinCaa??CD?2R，sinAsinDCabAOBD證明二：（外接圓法）如圖所示，∠A＝∠D，∴

ccb同理 =2R，＝2R.sinCsinB證明三;過點(diǎn)A作單位向量j?AC，C 由向量的加法可得 AB?AC?CB

則 j?AB?j?(AC?CB)A B ∴j?AB?j?AC?j?CB

jABcos?900?A??0?jCBcos?900?C?ac?∴csinA?asinC，即sinAsinC

bc?同理，過點(diǎn)C作j?BC，可得 sinBsinC

a從而 sinAsinBsinC

類似可推出，當(dāng)?ABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立。（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）

④ 正弦定理內(nèi)容：

?b?ccab===2R sinAsinBsinC簡單變形； 基本應(yīng)用：已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊；已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值.2.教學(xué)例題：

① 例1：在?ABC中，已知A?450，B?600，a=10cm，解三角形.② 例2：?ABC中，c?6,A?450,a?2,求b和B,C.討論：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，如何判斷解的數(shù)量？思考后見（P8-P9）3.小結(jié)：正弦定理的探索過程；正弦定理的兩類應(yīng)用；已知兩邊及一邊對(duì)角的討論.

第二篇：2014年高中數(shù)學(xué) 1.1.1正弦定理教案(二)新人教A版必修5

1.1.1正弦定理

證明猜想得出定理

運(yùn)用定理解決問題

3通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，結(jié)合教學(xué)目標(biāo)，從知識(shí)、能力、情感三個(gè)方面預(yù)測可能會(huì)出現(xiàn)的結(jié)果：

1、學(xué)生對(duì)于正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明正弦定理的幾何法、正弦定理的簡單應(yīng)用，能夠很輕松地掌握；在證明正弦定理的向量法方面，估計(jì)有少部分學(xué)生還會(huì)有一定的困惑，需要在以后的教學(xué)中進(jìn)一步培養(yǎng)應(yīng)用向量工具的意識(shí)。

2、學(xué)生的基本數(shù)學(xué)思維能力得到一定的提高，能領(lǐng)悟一些基本的數(shù)學(xué)思想方法；但由于學(xué)生還沒有形成完整、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣，對(duì)問題的認(rèn)識(shí)會(huì)不周全，良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成有待于進(jìn)一步提高。

3、由于學(xué)生的層次不同，體驗(yàn)與認(rèn)識(shí)有所不同。對(duì)層次較高的學(xué)生，還應(yīng)引導(dǎo)其形成更科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)、謙虛及鍥而不舍的求學(xué)態(tài)度；基礎(chǔ)較差的學(xué)生，由于不善表達(dá)，參與性較差，還應(yīng)多關(guān)注，鼓勵(lì)，培養(yǎng)他們的學(xué)習(xí)興趣，多找些機(jī)會(huì)讓其體驗(yàn)成功。

第三篇：2014年高中數(shù)學(xué) 1.1.1正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì) 新人教A版必修5

第一章 解三角形

1.1.1正弦定理

教材分析與導(dǎo)入

三維目標(biāo)

一、知識(shí)與技能

1.通過對(duì)任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；

2.會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題．

二、過程與方法

1.讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系；

2.引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、推導(dǎo)、比較，由特殊到一般歸納出正弦定理；

3.進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作．

三、情感態(tài)度與價(jià)值觀

1.培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；

2.培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的思維能力，通過三角函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一．

教學(xué)重點(diǎn) 發(fā)現(xiàn)正弦定理、用幾何法和向量法證明正弦定理。正弦定理是三角形邊角關(guān)系中最常見、最重要的兩個(gè)定理之一，它準(zhǔn)確反映了三角形中各邊與它所對(duì)角的正弦的關(guān)系，對(duì)于它的形式、內(nèi)容、證明方法和應(yīng)用必須引起足夠的重視。正弦定理要求學(xué)生綜合運(yùn)用正弦定理和內(nèi)角和定理等眾多基礎(chǔ)知識(shí)解決幾何問題和實(shí)際應(yīng)用問題，這些知識(shí)的掌握，有助于培養(yǎng)分析問題和解決問題能力，所以一向?yàn)閿?shù)學(xué)教育所重視。

教學(xué)難點(diǎn)

用向量法證明正弦定理。雖然學(xué)生剛學(xué)過必修4中的平面向量的知識(shí)，但是要利用向量推導(dǎo)正弦定理，有一定的困難。突破此難點(diǎn)的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生通過向量的數(shù)量積把三角形的邊長和內(nèi)角的三角函數(shù)聯(lián)系起來。用平面向量的數(shù)量積方法證明這個(gè)定理，使學(xué)生鞏固向量知識(shí)，突出了向量的工具性，是向量知識(shí)應(yīng)用的范例。教學(xué)建議

正弦定理是刻畫三角形邊和角關(guān)系的基本定理，也是最基本的數(shù)量關(guān)系之一。此節(jié)內(nèi)容從地位上講起到承上啟下的作用：承上，可以說正弦定理是初中銳角三角函數(shù)（直角三角形內(nèi)問題）的拓廣與延續(xù)，是對(duì)初中相關(guān)邊角關(guān)系的定性知識(shí)的定量解釋，即對(duì)“在任意三角形中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”這一定性知識(shí)的定量解釋，即正弦定理得到這個(gè)邊、角的關(guān)系準(zhǔn)確的量化的表示，實(shí)現(xiàn)了邊角的互化。它是三角函數(shù)一般知識(shí)和平面向量知識(shí)在三角形中的具體應(yīng)用，同時(shí)教材這樣編寫也體現(xiàn)了新課標(biāo)中“體現(xiàn)相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系，幫助學(xué)生全面地理解和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)”這一指導(dǎo)思想；啟下，正弦定理解決問題具有一定的局限性，產(chǎn)生了余弦定理，二者一起成為解決任意三角形問題重要定理。同時(shí)正弦定理為后續(xù)第二節(jié)的《應(yīng)用舉例》作以鋪墊，正弦定理的知識(shí)和方法可解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題，這樣也體現(xiàn)了課標(biāo)中注重“數(shù)學(xué)的三大價(jià)值（科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值）之一的應(yīng)用價(jià)值?！?/p>

本節(jié)課宜采用“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”的模式，即由“結(jié)合實(shí)例提出問題——觀察特例提出猜想——數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)深入探究——證明猜想得出定理——運(yùn)用定理解決問題”五個(gè)環(huán)節(jié)組成的“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”模式，在教學(xué)中貫徹“啟發(fā)性”原則，通過提問不斷啟發(fā)學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生自主探索與思考；并貫徹“以學(xué)定教”原則，即根據(jù)教學(xué)中的實(shí)際情況及時(shí)地調(diào)整教學(xué)方案。導(dǎo)入一

師如右圖，固定△ABC的邊CB及∠B，使邊AC繞著頂點(diǎn)C

轉(zhuǎn)動(dòng)．

師思考：∠C的大小與它的對(duì)邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

生顯然，邊AB的長度隨著其對(duì)角∠C的大小的增大而增大．

師能否用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來？

師在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形

中，角與邊的等式關(guān)系．如右圖，在Rt△ABC中，設(shè)BC =A,AC =B,AB =C,ab

根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有c=sinA，c =sinB，又cabc???cc,則sinAsinBsimC.從而在直角三角形ABC中，sinC=1=

abc??sinAsinBsimC.導(dǎo)入二

師：關(guān)于三角形中的邊與角的關(guān)系我們知道哪些？

sinA?生：直角三角形的勾股定理.，還有absinB?c，c。

生：有。大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角。

師：兩位同學(xué)回答了一個(gè)特殊三角形——直角三角形中的邊角關(guān)系。對(duì)于一般三角形的邊角關(guān)系我們有結(jié)論嗎？

師：對(duì)這一結(jié)論同學(xué)們能提供一些想法嗎？

生：有點(diǎn)像正比例關(guān)系。

師：在△ABC中A與a，B與b，C與c，他們有怎樣的正比例關(guān)系？

(1)a?kA，b?kB，c?kC；(2)a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC；

(3)a?kcosA，b?kcosB，c?kcosC；(4)a?ktanA，b?ktanB，c?ktanC。請同學(xué)們驗(yàn)證這些猜想的正確性，然后選出正確的。

正確答案為(2)

從而得到：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比值相等，abc??

即sinAsinBsinC.這就是我們今天要研究的——正弦定理

第四篇：必修⑤《1.1.1正弦定理》教案

必修⑤《1.1.1 正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

龍游縣橫山中學(xué) 黃建金

? 教材分析

正弦定理是必修⑤第一章開篇內(nèi)容,在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對(duì)三角形邊角關(guān)系的研究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中更準(zhǔn)確的邊角關(guān)系。通過給出的實(shí)際問題，并指出解決問題的關(guān)鍵在于研究三角形中的邊、角關(guān)系，從而引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生探索愿望，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。在教學(xué)過程中，要引導(dǎo)學(xué)生自主探究三角形的邊角關(guān)系，先由特殊情況發(fā)現(xiàn)結(jié)論，再對(duì)一般三角形進(jìn)行推導(dǎo)證明,并引導(dǎo)學(xué)生分析正弦定理可以解決兩類關(guān)于解三角形的問題：

（1）知兩角一邊，解三角形；

（2）知兩邊和一邊對(duì)角，解三角形。

? 學(xué)情分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)了基本初等函數(shù)和三角恒等變換的基礎(chǔ)上，探究三角形邊角的量化關(guān)系，得出正弦定理。學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)問題比較感興趣，用現(xiàn)實(shí)問題出發(fā)激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，驅(qū)使學(xué)生探索研究新知識(shí)的欲望。

? 教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能：

(1)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦定理的內(nèi)容，探索證明正弦定理的方法；

(2)簡單運(yùn)用正弦定理解三角形、初步解決某些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題

2.過程與方法：

（1）通過對(duì)定理的探究，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的思維方法與能力；

（2）通過對(duì)定理的證明和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立解決問題的能力和體會(huì)分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

(1)通過對(duì)三角形邊角關(guān)系的探究學(xué)習(xí)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的過程，體會(huì)由特殊到一般再由一般到特殊的認(rèn)識(shí)事物規(guī)律，培養(yǎng)探索精神和創(chuàng)新意識(shí)；

(2)通過本節(jié)學(xué)習(xí)和運(yùn)用實(shí)踐，體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值，學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)的思維方式解決問題、認(rèn)識(shí)世界,進(jìn)而領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值、美學(xué)價(jià)值，不斷提高自身的文化修養(yǎng).? 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

? 教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的推證與運(yùn)用。

? 教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的推證；解決問題時(shí)可能有兩解的情形。

教學(xué)過程

一、結(jié)合實(shí)例，導(dǎo)入新課

出示靈山江的圖片。

問：如何能夠?qū)崿F(xiàn)不上塔頂而知塔高，不過河而知河寬？

二、觀察特例，提出猜想[討論]

（1）認(rèn)識(shí)三角形中的6個(gè)元素，并復(fù)習(xí)“大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊”知識(shí)。

問1 ：構(gòu)成一個(gè)三角形最基本的要素有哪些？（同時(shí)在黑板上畫出三個(gè)不同類型的三角形）問2：在三角形中，角與對(duì)邊之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角）

（2）觀察直角三角形，提出猜想

問：能否用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來？

在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中的角與邊的等式關(guān)系。如圖，在Rt?ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有a

?sinA，b?sinB，又sinC?1?c,則ac

sinA?b

sinB?sinC?c

從而在直角三角形ABC中，a

sinA?b

sinB?c

sinC問：這種關(guān)系在銳角三角形中能否成立？

三、證明猜想，得出定理[探究] C（１）化歸思想，把銳角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形證明。

首先，證明當(dāng)?ABC是銳角三角形時(shí)的情況。證法如下：

設(shè)邊AB上的高是CD（目的是把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形），根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=asinB?bsinA,則a

sinA?b

sinB，同理可得cbsinC?sinB，從而abc?sinAsinB?sinC

其次，提問當(dāng)?ABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立？（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）最后提問：還有其它證明方法嗎？（向量方法）

（２）向量思想，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為向量問題證明。

由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這問題。

證明：過點(diǎn)A作單位向量j?????AC?????????CB???，由向量的加法可得 AB?AC?

j??????AB?j???(??AC???CB???·

則)

j??????AB??j????AC????j??CB???

∴?j???AB?

cos?900?A??0??j???CB?cos?

900?C?

a∴csinA?asinC，即?c A?????bc同理，過點(diǎn)C作j?BC，可得?

ab

從而sinA?sinB?c

sinC

（3）得出定理，細(xì)說定理

從上面的研探過程，和證明可得以下定理：

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即ab

sinA?sinB?c

sinC

四、定理運(yùn)用，解決實(shí)例

例1．在 △ABC 中,已知 A?30?,B?45?，a?2 cm，求C、b及c

解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，C?1800?(A?B)?180??(30??45?)?105?

a2?sinB?sin45?22（cm）； ?sinAsin30

a2?sinC?sin105?6?2（cm）c??sinAsin30根據(jù)正弦定理，b?

說明：

1、學(xué)生講出解題思路，老師板書以示解題規(guī)范。

2、已知三角形的幾個(gè)元素，求其他元素的過程叫作解三角形。

3、解題時(shí)利用定理的變形a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC更易解決問題。

例2．在 △ABC中，已知 a?6cm，b?6cm，A?30?，解三角形。

解：根據(jù)正弦定理，sinAsin30?3sinB?（？Ｂ角一定是銳角嗎？還有可能是什么角？如何判定？）b?63?a6

2因?yàn)?0＜B＜1800，所以，B=60或120 oo

⑴ 當(dāng)B=60時(shí)，C?180??(A?B)?180??(30??60?)?90?，o

c?a6sinC?sin90??12(cm)?sinAsin30

⑵ 當(dāng)B=120時(shí)，C?180??(A?B)?180??(30??120?)?30?，o

c?a6?sinC?sin30?6(cm)?sinAsin30

說明：

1.讓學(xué)生講解題思路，其他同學(xué)補(bǔ)充說明，目的是要求學(xué)生注意分類討論思想（可能有兩解）。

2.求角時(shí)，為了使用方便正弦定理還可以寫成sinAsinBsinC??abc

3.用正弦定理的解題使用的題型：邊角成對(duì)已知（1第一類：已知任意兩角及其一邊；

第二類：已知任意兩邊與其中一邊的對(duì)角。對(duì)+1個(gè)），五、活學(xué)活用，當(dāng)堂訓(xùn)練

練習(xí)1在?ABC中，已知下列條件，解三角形。

（說明：可以讓學(xué)生上黑板扮演或通過實(shí)物投影解題的規(guī)范和對(duì)錯(cuò)。）

（1）A?45，C?30，c?10cm，（2）a?20，b?11，B?30

練習(xí)2：[合作與探究]：某人站在靈山江岸邊樟樹B處，發(fā)現(xiàn)對(duì)岸發(fā)電廠A處有一棵大樹，如何求出A、B兩點(diǎn)間的距離？（如圖）???

六、回顧課堂，嘗試小結(jié)

①本節(jié)課學(xué)習(xí)了一個(gè)什么定理？

②該定理使用時(shí)至少需要幾個(gè)條件？

七、學(xué)有所成，課外續(xù)學(xué)

１、課本第10頁習(xí)題1.1A組1、2題

２.思考題：在?ABC中，a

sinA

?bsinB?csinC?k(k>o)，這個(gè)k與?ABC的外接圓半徑R有什么關(guān)系？

3八、板書設(shè)計(jì)

第五篇：高中數(shù)學(xué)必修5第一章正弦定理

1．1．1正弦定理

（一）教學(xué)目標(biāo)

1．知識(shí)與技能:通過對(duì)任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

2.過程與方法:讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作。

3．情態(tài)與價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

（二）教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。

難點(diǎn)：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。

（三）學(xué)法與教學(xué)用具 學(xué)法：引導(dǎo)學(xué)生首先從直角三角形中揭示邊角關(guān)系：a

sinA?b

sinB?c

sinC，接著就一般斜

三角形進(jìn)行探索，發(fā)現(xiàn)也有這一關(guān)系；分別利用傳統(tǒng)證法和向量證法對(duì)正弦定理進(jìn)行推導(dǎo)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)向量知識(shí)的簡捷，新穎。

教學(xué)用具：直尺、投影儀、計(jì)算器

（四）教學(xué)設(shè)想

[創(chuàng)設(shè)情景]

如圖1．1-1，固定?ABC的邊CB及?B，使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)。思考：?C的大小與它的對(duì)邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

顯然，邊AB的長度隨著其對(duì)角?C的大小的增大而增大。能否

用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來？

[探索研究](圖1．1-1)

在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖1．1-2，在Rt?ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)

abc?sinA，?sinB，又sinC?1?,A cabc則???csinsinsinabc從而在直角三角形ABC中，CaB ??sinAsinBsinC的定義，有

(圖1．1-2)

思考：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？

（由學(xué)生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

3如圖1．1-3，當(dāng)?ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=asinB?bsinA,則同理可得從而

a

sin?

b

sin，c

sinC?

?

b

sinB?，a

sinA

b

sinB

c

sinC

AcB

(圖1．1-3)思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個(gè)問題。

（證法二）：過點(diǎn)A作j?AC，C 由向量的加法可得AB?AC?CB

??????

??????????

??????????????

則j?AB?j?(AC?CB)????????????????∴j?AB?j?AC?j?CBj

??????????0

jABcos?90?A??0?jCBcos?900?C?

∴csinA?asinC，即

ac

?

?????bc

同理，過點(diǎn)C作j?BC，可得?

從而

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sin

類似可推出，當(dāng)?ABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立。（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sin

[理解定理]

（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC；（2）

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sin等價(jià)于

a

sinA

?

b

sinB，c

sinC

?

b

sinB，a

sinA

?

c

sinC

從而知正弦定理的基本作用為：

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a?

bsinA

； sinB

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如sinA?sinB。

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

ab

[例題分析]

例1．在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，C?1800?(A?B)

?1800?(32.00?81.80)

?66.20；

根據(jù)正弦定理，asinB42.9sin81.80b???80.1(cm)；

sin32.00

根據(jù)正弦定理，asinC42.9sin66.20c???74.1(cm).sin32.00

評(píng)述：對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。

例2．在?ABC中，已知a?20cm，b?28cm，A?400，解三角形（角度精確到10，邊

長精確到1cm）。

解：根據(jù)正弦定理，bsinA28sin400

sinB???0.8999.因?yàn)?0＜B＜1800，所以B?640，或B?1160.⑴ 當(dāng)B?640時(shí)，C?1800?(A?B)?1800?(400?640)?760，asinC20sin760c???30(cm).sin400

⑵ 當(dāng)B?1160時(shí)，C?1800?(A?B)?1800?(400?1160)?240，asinC20sin240c???13(cm).sin400

評(píng)述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。

[隨堂練習(xí)]第5頁練習(xí)第1（1）、2（1）題。

a?b?c

sinA?sinB?sinC

abc

分析：可通過設(shè)一參數(shù)k(k>0)使???k,sinAsinBsinC

abca?b?c

證明出 ???

sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC

abc

解：設(shè)???k(k>o)

sinAsinBsinC

則有a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC

a?b?cksinA?ksinB?ksinC

從而==k

sinA?sinB?sinCsinA?sinB?sinC

例3．已知?ABC中，?A?

600，a?求

又

a

sinA

?

a?b?c

?2?k，所以=2 sinA?sinB?sinC評(píng)述：在?ABC中，等式

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sinC

?

a?b?c

?k?k?0?

sinA?sinB?sinC

恒成立。

[補(bǔ)充練習(xí)]已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c

（答案：1：2：3）

[課堂小結(jié)]（由學(xué)生歸納總結(jié)）（1）定理的表示形式：

a

sinAsinBsinC

或a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC(k?0)

（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角； ②已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。

（五）評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

①課后思考題：（見例3）在?ABC中，?

b

?

c

?

a?b?c

?k?k?0?；

sinA?sinB?sinC

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sinC

?k(k>o)，這個(gè)k與?ABC有

什么關(guān)系？

②課時(shí)作業(yè)：第10頁[習(xí)題1.1]A組第1（1）、2（1）題。