第一篇：必修五1.1.1正弦定理導(dǎo)學(xué)案及課時作業(yè)

第一章 解三角形

§1．1．1 正弦定理

【情景激趣】

有一個旅游景點，為了吸引更多的游客，想在風(fēng)景區(qū)兩座相鄰的山之間搭建一條觀光索道。已知一座山A到山腳C的上面斜距離是1500米，在山腳測得兩座山頂之間的夾角是450，在另一座山頂B測得山腳與A山頂之間的夾角是300。求需要建多長的索道？

【目標(biāo)明晰】

1.知識與技能

通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題.2.過程與方法

讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實踐操作.3.情感態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.二、教學(xué)重點、難點

1.重點：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用.2.難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù).學(xué)習(xí)過程

（一）自主探究

Rt?ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,，有abc?sinA，?sinB，又sinC?1?則ccc

以上關(guān)系式是否仍然成立？可分為?c那么對于任意的三角形，sinAsinBsinC

銳角三角形和鈍角三角形兩種情況： a?b?c

1.敘述正弦定理的內(nèi)容：

2.正弦定理的變形

①邊化角：a=，b=，c=；

②角化邊：sin??，sin??，sinC?；

3.正弦定理的推論： a:b:c?

從而知正弦定理的基本作用為：

①

②

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作_______

【交流釋疑】

（二）合作探討

類型一已知兩角及一邊解三角形

例1.在?ABC中，已知A?45?，B?60?，a?42cm，解三角形．

變式：在?ABC中，已知B?45?，C?60?，a?12cm，解三角形．

規(guī)律總結(jié)：

類型二已知兩邊及一邊的對角解三角形

例2.在?ABC中，c?A?45?,a?2,求b和B,C．

變式

：在?ABC中，bB?60?,c?1,求a和A,C．

規(guī)律總結(jié)：

類型三判斷三角形的形狀

例3在?ABC中，已知a2tanB?b2tanA，試判斷三角形的形狀。

變式：已知在?ABC中，bsinB?csinC，且sin2A?sin2B?sin2C，試判斷三角形的形狀。

規(guī)律總結(jié)：

類型四 三角形面積公式

1absinC，并運用此結(jié)論解決下面問題：

2（1）在?ABC中，已知a?2，b?3，C?150?，求S?ABC；仿照正弦定理的證法一，證明S?ABC?

（2）在?ABC中，已知c?10，A?45?，C?30?，求b和S?ABC；

?

規(guī)律總結(jié)：

【反思回憶】

● 目標(biāo)回憶

● 構(gòu)建體系

● 總結(jié)規(guī)律

● 完善存疑

【課時練習(xí)】完成課時作業(yè)

（一）課時作業(yè)

（一）第一章解三角形

§1.1.1正弦定理

1.正弦定理適用的范圍是（）Ａ．直角三角形Ｂ．銳角三角形Ｃ．鈍角三角形Ｄ．任意三角形

2.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c?

等于 b?B?120?，則a（）

B．2C

D

A

3.在△ABC中，若A?2B，則a等于（）

A．2bsinAB．2bcosAC．2bsinBD．2bcosB

4.已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，則a∶b∶c等于（）.A．1∶1∶4B．1∶1∶2C．1∶

1D．2∶2在△ABC中，若sinA?sinB，則A與B的大小關(guān)系為（）.A.A?BB.A?BC.A≥BD.A、B的大小關(guān)系不能確定

6．在△ABC中，C?105，B?45，c?5，則b的值為（）

A5(3?1)B5(3?1)C10D5(6?

7．在△ABC中，已知a?3，b?4，sinB?

A002)2，則sinA=（）3311BCD 1 46

2?

8.在△ABC中，已知B?30，b?，c?150，那么這個三角形是（）

Ａ．等邊三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．等腰三角形 Ｄ．等腰三角形或直角三角形

9.根據(jù)下列條件，判斷三角形解的情況，其中正確的是（）

A、a?8,b?16,A?30，有兩解 B、b?18,c?20,B?60，有一解

C、a?5,b?2,A?90，無解

10.?ABC中，C=2B，則??? D、a?30,b?25,A?150，有一解 ?sni3B等于（）sniB

baacA、B、C、D、abca

311.三角形兩邊之差為2，夾角的余弦值為。該三角形的面積為14，則這兩邊分別為（）

5A、3和5B、4和6C、5和7D、6和8

a?4,b?42，12.在?ABC中，A=60°，則角B等于（）

A、45°或135° B、135°C、45°D、以上答案都不對

13.在?ABC中，已知(b?c):(c?a):(a?b)?4:5:6，則sinA:sinB:sinC等于

14.在?ABC中，a?3,b?1,B?30，則三角形的面積等于。

15.在?ABC中，若acosA?bcosB，則?ABC的形狀為16.在?ABC中，已知b?c?8，?B?30?，?C?45?，則b?c?．

17.在?ABC中，如果?A?30?，?B?120?，b?12，那么a??ABC的面積是．

18在?ABC中，bc?

30，S?ABC??，則?A?19.在△ABC中，三邊a、b、c所對的角分別為A、B、C，已知，b=2，△ABC的面積S=3，求角C

20.．在三角形ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且A,B為銳角，sinA

=,sinB

=（1）求A+B的值：

（2）若

a-b=

-1，求a,b,c得值

第二篇：必修⑤《1.1.1正弦定理》教案

必修⑤《1.1.1 正弦定理》教學(xué)設(shè)計

龍游縣橫山中學(xué) 黃建金

? 教材分析

正弦定理是必修⑤第一章開篇內(nèi)容,在已有知識的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對三角形邊角關(guān)系的研究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中更準(zhǔn)確的邊角關(guān)系。通過給出的實際問題，并指出解決問題的關(guān)鍵在于研究三角形中的邊、角關(guān)系，從而引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生探索愿望，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。在教學(xué)過程中，要引導(dǎo)學(xué)生自主探究三角形的邊角關(guān)系，先由特殊情況發(fā)現(xiàn)結(jié)論，再對一般三角形進(jìn)行推導(dǎo)證明,并引導(dǎo)學(xué)生分析正弦定理可以解決兩類關(guān)于解三角形的問題：

（1）知兩角一邊，解三角形；

（2）知兩邊和一邊對角，解三角形。

? 學(xué)情分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)了基本初等函數(shù)和三角恒等變換的基礎(chǔ)上，探究三角形邊角的量化關(guān)系，得出正弦定理。學(xué)生對現(xiàn)實問題比較感興趣，用現(xiàn)實問題出發(fā)激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，驅(qū)使學(xué)生探索研究新知識的欲望。

? 教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能：

(1)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦定理的內(nèi)容，探索證明正弦定理的方法；

(2)簡單運用正弦定理解三角形、初步解決某些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題

2.過程與方法：

（1）通過對定理的探究，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的思維方法與能力；

（2）通過對定理的證明和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生獨立解決問題的能力和體會分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.3.情感、態(tài)度與價值觀：

(1)通過對三角形邊角關(guān)系的探究學(xué)習(xí)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究活動的過程，體會由特殊到一般再由一般到特殊的認(rèn)識事物規(guī)律，培養(yǎng)探索精神和創(chuàng)新意識；

(2)通過本節(jié)學(xué)習(xí)和運用實踐，體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值，學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)的思維方式解決問題、認(rèn)識世界,進(jìn)而領(lǐng)會數(shù)學(xué)的人文價值、美學(xué)價值，不斷提高自身的文化修養(yǎng).? 教學(xué)重點、難點

? 教學(xué)重點：正弦定理的推證與運用。

? 教學(xué)難點：正弦定理的推證；解決問題時可能有兩解的情形。

教學(xué)過程

一、結(jié)合實例，導(dǎo)入新課

出示靈山江的圖片。

問：如何能夠?qū)崿F(xiàn)不上塔頂而知塔高，不過河而知河寬？

二、觀察特例，提出猜想[討論]

（1）認(rèn)識三角形中的6個元素，并復(fù)習(xí)“大角對大邊，小角對小邊”知識。

問1 ：構(gòu)成一個三角形最基本的要素有哪些？（同時在黑板上畫出三個不同類型的三角形）問2：在三角形中，角與對邊之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（大邊對大角，小邊對小角）

（2）觀察直角三角形，提出猜想

問：能否用一個等式把這種關(guān)系精確地表示出來？

在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中的角與邊的等式關(guān)系。如圖，在Rt?ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有a

?sinA，b?sinB，又sinC?1?c,則ac

sinA?b

sinB?sinC?c

從而在直角三角形ABC中，a

sinA?b

sinB?c

sinC問：這種關(guān)系在銳角三角形中能否成立？

三、證明猜想，得出定理[探究] C（１）化歸思想，把銳角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形證明。

首先，證明當(dāng)?ABC是銳角三角形時的情況。證法如下：

設(shè)邊AB上的高是CD（目的是把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形），根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=asinB?bsinA,則a

sinA?b

sinB，同理可得cbsinC?sinB，從而abc?sinAsinB?sinC

其次，提問當(dāng)?ABC是鈍角三角形時，以上關(guān)系式仍然成立？（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）最后提問：還有其它證明方法嗎？（向量方法）

（２）向量思想，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為向量問題證明。

由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這問題。

證明：過點A作單位向量j?????AC?????????CB???，由向量的加法可得 AB?AC?

j??????AB?j???(??AC???CB???·

則)

j??????AB??j????AC????j??CB???

∴?j???AB?

cos?900?A??0??j???CB?cos?

900?C?

a∴csinA?asinC，即?c A?????bc同理，過點C作j?BC，可得?

ab

從而sinA?sinB?c

sinC

（3）得出定理，細(xì)說定理

從上面的研探過程，和證明可得以下定理：

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即ab

sinA?sinB?c

sinC

四、定理運用，解決實例

例1．在 △ABC 中,已知 A?30?,B?45?，a?2 cm，求C、b及c

解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，C?1800?(A?B)?180??(30??45?)?105?

a2?sinB?sin45?22（cm）； ?sinAsin30

a2?sinC?sin105?6?2（cm）c??sinAsin30根據(jù)正弦定理，b?

說明：

1、學(xué)生講出解題思路，老師板書以示解題規(guī)范。

2、已知三角形的幾個元素，求其他元素的過程叫作解三角形。

3、解題時利用定理的變形a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC更易解決問題。

例2．在 △ABC中，已知 a?6cm，b?6cm，A?30?，解三角形。

解：根據(jù)正弦定理，sinAsin30?3sinB?（？Ｂ角一定是銳角嗎？還有可能是什么角？如何判定？）b?63?a6

2因為00＜B＜1800，所以，B=60或120 oo

⑴ 當(dāng)B=60時，C?180??(A?B)?180??(30??60?)?90?，o

c?a6sinC?sin90??12(cm)?sinAsin30

⑵ 當(dāng)B=120時，C?180??(A?B)?180??(30??120?)?30?，o

c?a6?sinC?sin30?6(cm)?sinAsin30

說明：

1.讓學(xué)生講解題思路，其他同學(xué)補充說明，目的是要求學(xué)生注意分類討論思想（可能有兩解）。

2.求角時，為了使用方便正弦定理還可以寫成sinAsinBsinC??abc

3.用正弦定理的解題使用的題型：邊角成對已知（1第一類：已知任意兩角及其一邊；

第二類：已知任意兩邊與其中一邊的對角。對+1個），五、活學(xué)活用，當(dāng)堂訓(xùn)練

練習(xí)1在?ABC中，已知下列條件，解三角形。

（說明：可以讓學(xué)生上黑板扮演或通過實物投影解題的規(guī)范和對錯。）

（1）A?45，C?30，c?10cm，（2）a?20，b?11，B?30

練習(xí)2：[合作與探究]：某人站在靈山江岸邊樟樹B處，發(fā)現(xiàn)對岸發(fā)電廠A處有一棵大樹，如何求出A、B兩點間的距離？（如圖）???

六、回顧課堂，嘗試小結(jié)

①本節(jié)課學(xué)習(xí)了一個什么定理？

②該定理使用時至少需要幾個條件？

七、學(xué)有所成，課外續(xù)學(xué)

１、課本第10頁習(xí)題1.1A組1、2題

２.思考題：在?ABC中，a

sinA

?bsinB?csinC?k(k>o)，這個k與?ABC的外接圓半徑R有什么關(guān)系？

3八、板書設(shè)計

第三篇：正弦定理導(dǎo)學(xué)案

§1.1.1正弦定理（導(dǎo)學(xué)案）

【使用說明】

1、預(yù)習(xí)教材P2-P4頁，在規(guī)定時間完成預(yù)習(xí)學(xué)案

【預(yù)習(xí)目標(biāo)】1.明確在直角三角形中邊與角的正弦之間的關(guān)系，2.弄清楚正弦定理的表達(dá)形式，能對表達(dá)式做簡單的變形.3.通過自主學(xué)習(xí)、合作討論探究，體驗學(xué)習(xí)的快樂

.【重點難點】正弦定理的推導(dǎo)過程和定理的應(yīng)用.一、知識鏈接

1.在Rt?ABC中sinA=sinB=sinC=

2.正弦定理：

二、教材導(dǎo)讀

1、從直角三角形中邊與角的正弦之間的關(guān)系可以得到

銳角三角形的證明在鈍角三角形中進(jìn)行證明。

2、思考正弦定理的其他證明方法，可以借助向量來證明嗎？

3、從正弦定理的結(jié)構(gòu)形式上看正弦定理可以解決哪些解三角形的問題？（教材第3頁）

4、嘗試完成例1和例2。注意：①例1和例2的條件有什么不同；②為什么例2會有兩種情況呢？是否已知兩邊及其一邊的對角就有兩種情況呢？可能還有哪些情況？（參考教材P8和P9）.asinA?bsinB?csinCasinA?bsinB?csinC，仿照教材第2頁

三、預(yù)習(xí)自測

《點金訓(xùn)練》P2自我評價和知識整合例1；

1.在?ABC中，(1)sinA=

012 ,則A=_______(2)cosA=012，則A=_______ 2.在?ABC中，若C=90，a=6，B=30，則c-b等于（）

A．1B.-1C.23D.?23

3．在?ABC中，sinA?1

2，sinB?

0032，則?ABC對應(yīng)三邊的比值為a︰b︰c=4．在?ABC中，已知A?45,C?30,c?10，求邊a=。

四、探究、合作、展示 在三角形的外接圓中正弦定理

可以得到哪些邊角關(guān)系？

asinA?bsinB?csinC和外接圓半徑R的關(guān)系，再對式子進(jìn)行變形，看

第四篇：正弦定理導(dǎo)學(xué)案

§1.1.1 正弦定理(一)導(dǎo)學(xué)案

學(xué)習(xí)目標(biāo):

1、通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；

2、會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題；

3、通過正弦定理的探究學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法解決實際問題的能力，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情。

教學(xué)重點:正弦定理的證明及基本運用。

教學(xué)難點:正弦定理的探索和證明及靈活應(yīng)用。

一、預(yù)習(xí)案: “我學(xué)習(xí)，我主動，我參與，我收獲！”

1、預(yù)習(xí)教材P45---482、基礎(chǔ)知識梳理：

(1)正弦定理

在一個三角形中，各邊和它所對角的_______________的比相等，即在?ABC中,___________=__________=____________=2R.，(其中2R 為外接圓直徑)

（2）由正弦定理

abc???2R可以得到哪些變形公式？ sinAsinBsinC

（3）三角形常用面積公式：

對于任意?ABC，若a，b，c為三角形的三邊，且A,B,C為三

邊的對角，則三角形的面積為：

①S?ABC?_____ha(ha表示a邊上的高）.②S?ABC1211?absinC?acsinB?____________.223、預(yù)習(xí)自測：

（1）有關(guān)正弦定理的敘述：

①正弦定理只適用于銳角三角形；

②正弦定理不適用于直角三角形；

③在某一確定的三角形中，各邊與它的對角的正弦的比是定值；

④在?ABC中，sinA:sinB:sinC

其中正確的個數(shù)是（）

A、1B、2C、3D、4（2）在?ABC中，一定成立的等式是（）．

A． a sin A = b sin BB.a cos A = b cos B

C.a sin B = b sin AD.a cos B = b cos A

（3）在?ABC中,sinA?sinC,則?ABC是（）

A、直角三角形 B、等腰三角形C、銳角三角形 D、鈍角三角形

(4)在?ABC中，三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a，b，c，已知

A:B:C=1:2:3,則a：b：c=_____________________.?a:b:c。

我的疑惑:__________________________________________

二、探究案: “我探究，我分析，我思考，我提高！”

探究

一、敘述并證明正弦定理。

探究

二、在?

ABC中，已知?B?30?,AB?面積S?ABC試求BC。

探究

三、已知?ABC中，bsinB?csinC,且sin2A?sin2B?sin2C,試判斷?ABC的形狀。

合作探究后談?wù)勀愕慕忸}思路。

規(guī)律方法總結(jié)：_________________________________________

訓(xùn)練案：“我實踐，我練習(xí)，我開竅，我聰慧！”

1、在?

ABC中，ABAC?1,且?B,?A,?C成等差數(shù)列，求?ABC的面積。

2、在?ABC中，角A,B,C的對邊分別為a，b，c，且

試判斷?ABC的形狀。

?cosAcosabBcos?cC，我的收獲

-----反思靜悟體驗成功

-----請寫出本堂課學(xué)習(xí)中，你認(rèn)為感悟最深的一至兩條收獲。

第五篇：數(shù)學(xué)學(xué)案 編號39 1.1.1 正弦定理

山西大學(xué)附中高一年級(下)數(shù)學(xué)學(xué)案編號39

1.1.1正弦定理

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能理解會證明正弦定理.2.會用正弦定理解決兩類解三角形問題.二、知識導(dǎo)學(xué)：自學(xué)教材P2---P3后完成：

1)首先來探討直角三角形中，角與邊的數(shù)量關(guān)系.如圖，在Rt?ABC中，設(shè)

BC?a,AC?b,AB?c, 據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函

數(shù)的定義，有ab?，?，cc

abc所以??c又sinc?1?,c

abc則.錯誤！未找到引用源。??sinAsinBsinC

對于一般的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立呢？可分為銳角三角形和鈍角三角形

兩種情況來探究：

2)如圖，當(dāng)?ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AC上的高是BD，根據(jù)三角函數(shù)的定義，有BD==,則

a c 同理可得，,從而ac, ?sinAsinCabc.??sinAsinBsinC

錯誤！未找到引用源。

3)當(dāng)?ABC是鈍角三角形時，以上等式仍然成立嗎？若成立寫出證明過程，否則說

明理由.綜上1)2)3)可得對于任意三角形ABC都有.我們把這個定理叫.正弦定理的探究過程體現(xiàn)了由到的數(shù)學(xué)思想?

通過查找資料，你還學(xué)會了哪些證明正弦定理的方法？請寫出一種來：

三、理解定理：

（1）適用范圍：正弦定理適用于三角形。

（2）正弦定理說明：同一三角形中，各邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正b

數(shù)，即存在正數(shù)k使a?ksinA,b?ksinB,c?ksinC；k的幾何意義是.（3）公式abc實際上表示了三個等式： ??sinAsinBsinC

ab，.?sinAsinB

四、學(xué)以致用：一般地，把三角形的和叫做三角形的元素，已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫作。

用正弦定理解三角形的方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的思想？

問題1： 已知在?ABC中，c?10,A?45,C?30,求a,b和B.問題2 ：已知在?ABC中，c?6,A?450,a?2,求b和B,C.歸納總結(jié)：根據(jù)正弦定理可以解哪兩類解三角形問題？

①.②.五、探究與發(fā)現(xiàn)：

已知三角形兩邊及一邊對角a,b,A,解三角形問題的探究：以下解三角形問題是否有解？若有解有幾個解?

若A是鈍角或直角，且a?b或a?b時.若A是鈍角或直角,且a?b時.若A是銳角，且a?b或a?b時.若A是銳角，且a?b時解的情況確定嗎？都有哪些類型？

六、提出問題：

（1）預(yù)習(xí)自學(xué)后你有什么疑惑？

（2）合作學(xué)習(xí)后解決了哪些問題？又產(chǎn)生了哪些新問題？

（3）通過正弦定理的學(xué)習(xí)你有哪些新的想法？猜想或質(zhì)疑？。

七、達(dá)標(biāo)檢測：

1.根據(jù)下列條件確定?ABC有兩個解的是（）

A.a?18,B?30,A?120B.a?60,c?48,C?120

C.a?3,b?6,A?30D.a?14,b?15,A?45

2.在?ABC中，b????????,B?60?,c?1,求a和A，C.