第一篇：初中數(shù)學證明三角形全等找角

初中數(shù)學證明三角形全等找角、邊相等的方法

【摘要】“全等三角形的證明”是初中平面幾何的重要內容之一，是研究圖形性質的基礎，而且在近幾年的中考中時有出現(xiàn)，新課標的要求是“探索并掌握兩個三角形全等的條件”，因此掌握三角形全等的證明及運用方法對初中生來說至關重要。證明三角形全等找角、邊相等是最關鍵的步驟。如何找對應角、對應邊相等，做如下總結。

【關鍵詞】全等三角形相等角相等邊

我們在初中課本上學過的三角形全等的證明方法有“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”，對于直角三角形還有“HL”。在做題的過程中我們時常發(fā)現(xiàn)，全等的條件往往隱藏在復雜的圖形中，要找的條件就是相等的角、相等的邊，初中階段找相等的角、相等的邊有以下幾種情況。

一、相等的角

1、利用平行直線性質

兩直線平行的性質定理：1.兩直線平行，同位角相等

2.兩直線平行，內錯角相等

例、如圖一所示，直線AD、BE相交于點C，AB∥DE，AB=DE

求證：△ABC≌△DBC

此題知道AB∥DE，根據(jù)平行線的性質可得

∠A=∠D ,∠B=∠E(兩直線平行，內錯角相等)

由ASA可證全等。圖一

2、巧用公共角

要點：在證兩三角形全等時首先看兩個三角形是不是有公共交點，如果有公共交點，在看他們是否存在公共角。

例、如圖二所示，D在AB上，E在AC上，AB=AC, ∠B=∠C.求證：△ABE≌△ADC

此題∠A是公共角，利用ASA可證全等。

3、利用等邊對等角圖二 要點：注意相等的兩條邊一定要在同一個三角形內才能利

用等邊對等角

例.、如圖三在△ABC中，AB=AC，AD是三角形的中線

求證：△ABD≌△ACD

此題已知AB=AC，由等邊對等角可得

∠B=∠C.4、利用對頂角相等圖三 例、已知：如圖四，四邊形ABCD中, AC、BD交于O點,AO=OC , BA⊥AC , DC⊥AC．垂足分別為A , C．

求證：AB=CD圖四 此題利用對頂角相當可得∠AOB=∠DOC.利用AAS

可得△AOB≌△COD,再根據(jù)全等三角形對應邊相等得到

AB=CD5、利用等量代換關系找出角相等

（1）∠A+公共角=∠B+公共角

例1.已知：如圖五，AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB，求證：△EAD≌△CAB．

由圖形可知：

∠DAE=∠EAC+∠DAC A ∠BAC=∠DAB+∠DAC

因此可得∠DAE=∠BAC圖五

利用SAS可證△EAD≌△CAB

例

2、已知:如圖六,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求證:BD=CE

由圖形可知：

∠DAB=∠BAC-∠DAC

∠EAC=∠DAE-∠DAC

因此可得∠DAB=∠EAC

利用SAS可證△BAD≌△CAE圖六

(2)同角（等角）的補角相等；同角（等角）的余角相等

已知:如圖,∠1=∠2,BC=EF,AC=DE,E、C在直線BF上．

求證:∠A=∠D

由圖形可知：圖七 B

由等角的補角相等可得∠DEC=∠ACE

利用SAS可得△ABC≌△DEF

(3)同角（等角）的余角相等 D

在直角三角形中常用到同角（等角）的余角相等得到相等的角。例：如圖八△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC邊上的中線，過C作

B圖八 ECF⊥AE, 垂足為F,過B作BD⊥BC交CF的延長線于

D.求證:AE=CD;

由圖形中可以看出：

∠D+∠BCD=90°;∠CAE+∠BCD=90°

由同角的余角相等得到∠D=∠CAE，利用AAS可得△BCD≌△CAE6、結合旋轉和對稱圖形的性質。

例1．如圖九，把一張矩形的紙ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在點E處，BE與AD?交于點F．圖九

求證：△ABF≌△EDF；

根據(jù)對稱的性質我們可以得到∠A=∠E=90°,利用AAS可以證明△ABF≌△EDF。

二、相等的邊

1、利用等角對等邊 ADAC

3CB

（注意：必須在同一個三角形中才能考慮）

例、如圖十，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求證：AB=CD

已知∠3=∠4，根據(jù)等角對等邊可得OB=OC

利用AAS證明出△ABO≌△DCO。

2、利用公共邊相等圖十 A

（若果要證明的兩個全等三角形有兩個相同的對應點，那么可么馬上得出它們具有公共邊）

D例、如圖十一，已知AB=AC，DB=DC，求證：∠BAD=∠CAD CB由圖形可知AD是△ABD和△ACD的公共邊，利用SSS可得 AB△ABD

≌△ACD

F3、利用等量代換

圖十一 F

AB+公共邊=DE+公共邊

例，如圖十二：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求證：∠B=∠C

E圖中：BE=BF+EF;CF=CE+EF.因此可以得到BE=CF

利用SSS可證△ABE≌△DCF因此得到∠B=∠C CD4、利用線段中點或三角形中線定理，或者等邊三角形的性質

例、如圖十三：∠B=∠C，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足

圖十二

分別為E、F，M是BC的中點。求證：ME=MF

M是BC的中點，則可以得到BM=CM;利用AAS可得△BME≌△CMF

C例題、如圖十四，△ABE和△ACF是等邊三角形，求證：CE=BF圖十三 F △ABE和△ACF是等邊三角形，則AE=AB，AC=AF

∠EAC=∠BAE+∠BAC;∠BAF=∠CAF+∠BAC.則∠EAC=∠BAF

那么△AEC≌△ABF,則可得CE=BF

C

圖十四

5、利用三角形角平分線定理

（三角形角平分線上的點到角兩邊的距離相等）

注意、必須是角平分線上的點

例題、如圖十五，在ΔABC中，AD平分∠BAC，DE垂直AB,DF垂直AC,垂足分別為E、F。求證：AE=AF

AD平分∠BAC, DE垂直AB,DF垂直AC,則根據(jù)角平分線

性質可得到DE=DF，那么Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）

則可得到AE=AF

圖十五 例題、已知：如圖十六，BD為∠ABC的平分線，AB=BC，點P在BD上，PM⊥AD

于M，?PN⊥CD于N，判斷PM與PN的關系．

A由題意知△ABD≌△CBD(SAS)可得BD也是∠AD的角平分線，PM⊥AD，PN⊥CD，由角平分線的性質

可得PM=PN

全等三角形的證明是初中數(shù)學幾何證明中最重要的一部分，是證明線段相等和角相等最常用的方法。結合全等三角形的判定，全等的條件一般隱藏在已知當中，以上是證明全等隱藏條件的方法總結。

第二篇：全等三角形證明

全等三角形的證明

1.?翻折

如圖（1），?BOC≌?EOD，?BOC可以看成是由?EOD沿直線AO翻折180?得到的；

?旋轉

如圖（2），?COD≌?BOA，?COD可以看成是由?BOA繞著點O旋轉180?得到的；

?平移

如圖（3），?DEF≌?ACB，?DEF可以看成是由?ACB沿CB方向平行移動而得到的。

2.判定三角形全等的方法：

（1）邊角邊公理、角邊角公理、邊邊邊公理、斜邊直角邊（直角三角形中）公理

（2）推論：角角邊定理

3.注意問題：

（1）在判定兩個三角形全等時，至少有一邊對應相等；

（2）不能證明兩個三角形全等的是，a: 三個角對應相等，即AAA；b :有兩邊和其中一角對應相等，即SSA。

一、全等三角形知識的應用

（1）證明線段（或角）相等

例1：如圖，已知AD=AE,AB=AC.求證：BF=FC

（2）證明線段平行

例2：已知：如圖，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為E、F，DE=BF，AE=CF.求證：AB∥CD

（3）證明線段的倍半關系，可利用加倍法或折半法將問題轉化為證明兩條線段相等

例3：如圖，在△ ABC中，AB=AC，延長AB到D，使BD=AB，取AB的中點E，連接CD和CE.求證：CD=2CE

例4 如圖，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求證：AB＝AC＋CD．

．

例5：已知：如圖，A、D、B三點在同一條直線上，CD⊥AB,ΔADC、ΔBDO為等腰Rt三角形，AO、BC的大小關系和位置關系分別如何？證明你的結論。

例6.如圖，已知C為線段AB上的一點，?ACM和?CBN都是等邊三角形，AN和CM相交于F點，BM和CN交于E點。求證：?CEF是等邊三角形。

N

M

FE

C

A B

第三篇：全等三角形證明

全等三角形證明

1、已知CD∥AB，DF∥EB，DF=EB，問AF=CE嗎？說明理由。

CA2、已知∠E=∠F，∠1=∠2，AB=CD，問AE=DF嗎？說明理由。

F3、已知，點C是AB的中點，CD∥BE，且CD=BE，問∠D=∠E嗎？說明理由。

4、已知AB=CD，BE=DF，AE=CF，問AB∥CD嗎？

A B

C

第四篇：初一全等三角形證明

全等三角形１．三角形全等的判定一（SSS）

1．如圖，AB＝AD，CB＝CD．△ABC與△ADC全等嗎？為什么？

２．如圖，C是AB的中點，AD＝CE，CD＝BE．

求證△ACD≌△CBE．

３．如圖，點B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB=DE，AC=DF，BE=CF． 求證∠A=∠D．

４．已知，如圖，AB=AD，DC=CB．求證：∠B=∠D。

B

５．如圖, AD＝BC, AB＝DC, DE＝BF.BE＝DF.求證：∠E=∠F

A

DCBF

２．三角形全等的判定二（SAS）

1．如圖，AC和BD相交于點O，OA=OC，OB=OD．求證DC∥AB．

2．如圖，△ABC≌△A?B?C?，AD，A?D?分別是△ABC，△A?B?C?的對應邊上的中線，AD與A?D?有什么關系？證明你的結論．

3．如圖，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，試猜想線段CE與DE的大小與位置關系，并證明你的結論．

E B

4．已知：如圖，AD∥BC，AD=CB，求證：△ADC≌△CBA．

CB

5．已知：如圖AD∥BC，AD=CB，AE=CF。求證：△AFD≌△CEB．

AC

6．已知，如圖，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。求證：△ABD≌△ACE． AE D

３～４．三角形全等的判定三、四（ASA、AAS）

1．如圖，點B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，F(xiàn)B=CE，AB∥ED，AC∥FD．求證AB=DE，AC=DF．

2．如圖，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm． 求BE的長．

3．已知，D是△ABC的邊AB上的一點，DE交AC于點E，DE=FE，F(xiàn)C∥AB。求證：AE=CE。

E

DB

4．已知：如圖 , 四邊形ABCD中 , AB∥CD , AD∥BC．求證：△ABD≌△CDB

5．如圖, AD∥BC, AB∥DC, MN＝PQ.求證：DE＝BE.3 QDPA

6．如圖, 在ABC中, ∠A＝90°, BD平分B, DE⊥BC于E, 且BE＝EC,(1)求∠ABC與∠C的度數(shù)；

(2)求證：BC＝2AB.07．如圖，四邊形ABCD中，

（2）求證：E是CD的中點；

（3）求證：AD+BC=AB.8．如圖, 在△ABC中, AC⊥BC, CE⊥AB于E, AF平分∠CAB交CE于點F, 過F作FD∥

BC交AB于點D.求證：AC＝AD.C

第五篇：全等三角形的證明

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全等三角形的證明

1、已知：（如圖）AD∥BC，AD=CB，求證：△ADC≌△CBA。

B C2、已知：如圖AD∥BC，AD=CB，AE=CF。求證：△AFD≌△CEB。AC3、已知，如圖，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。求證：△ABD≌△ACE。

A

C

ED4、已知，如圖，點B、F、C、E在同一條直線上，F(xiàn)B=CE，AB∥ED，AC∥FD。求證：AB=DE，AC=DF。

E

B F C5、已知，D是△ABC的邊AB上的一點，DE交AC于點E，DE=FE，F(xiàn)C∥AB。求證：AE=CE。

E

D

B

C

6、已知，如圖，AB=AD，DC=CB，求證：∠B=∠D。

B

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A 全等三角形的證明

2、已知：（如圖）AD∥BC，AD=CB，求證：△ADC≌△CBA。

B C2、已知：如圖AD∥BC，AD=CB，AE=CF。求證：△AFD≌△CEB。AC3、已知，如圖，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。求證：△ABD≌△ACE。

C 1

B

ED4、已知，如圖，點B、F、C、E在同一條直線上，F(xiàn)B=CE，AB∥ED，AC∥FD。求證：AB=DE，AC=DF。

E

B F C5、已知，D是△ABC的邊AB上的一點，DE交AC于點E，DE=FE，F(xiàn)C∥AB。求證：AE=CE。

E

D

B C

6、已知，如圖，AB=AD，DC=CB，求證：∠B=∠D。

B

A