第一篇：高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的證明與求值練習(xí)題及答案

第五單元三角函數(shù)的證明與求值

一.選擇題

(1)若?為第三象限，則A．3(2)以cos??sin?

2?

2sin??cos?

2的值為（）

D．－1 能成B．－

3下

各

C．1 式

中立的是

（）

A．sin??cos??

B．cos??

且tan??2 C．sin??

132且tan??3D．tan??2且cot???

(3)sin7°cos37°－sin83°cos53°值A(chǔ)．?

B．132 C．2 D．－2

(4)若函數(shù)f(x)=sin12x, x∈[0, ?

3], 則函數(shù)f(x)的最大值是(A 12B 2

C 22D 2

(5)條件甲?sin??a，條件乙sin?

?cos

?

?a，那么（A．甲是乙的充分不必要條件

B．甲是乙的充要條件

C．甲是乙的必要不充分條件

D．甲是乙的既不充分也不必要條件

(6)?、?為銳角a=sin(???)，b=sin??cos?，則a、b之間關(guān)系為（）A．a(chǎn)＞bB．b＞a C．a(chǎn)=bD．不確定(7)(1+tan25°)(1+tan20°)的()

A-2B2C1D-1(8)?為第二象限的角，（）A．tan?

2＞cot

?

2B．tan?

＜cot?

C．sin

?

?

?

＞cos

?

D．sin

＜cos

(9)在△ABC中，sinA=45，cosB=?1213，則cosC等于A(yíng)．5665B．?1656

163365 C．6

5或?65 D．?65

(10)若a>b>1, P=a?lgb, Q=

12(lga+lgb)，R=lg a?b

2, 則（A．R

二.填空題

(11)若tan?=2，則2sin2?－3sin?cos?

（）

值

則必（）））

是有

1）

(12)若sin?－cos??7，?∈（0，π），則tan?。(13)sin??cos??，則cos??sin?范圍。(14)下列命題正確的有_________。

①若－?2＜?＜?＜?2，則???范圍為（－π，π）；②若?在第一象限，則?2

在一、三象限； ③若sin?=m?34?2m?3?m?5，cos??m?5，則m∈（3，9）；④sin2=5，cos

42=?

5，則?在一象限。

三.解答題

(15)已知sin(?＋?)=－35，cos(???)=1213，且?

＜?＜?＜3?4，求sin2?.(16)（已知?4?2a)??1??

24?2a)?4,a?(4,2),求2sina?tana?cota?1的值.(17)在△ABC中，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，求tgA的值和△ABC的面積.(18)設(shè)關(guān)于x的方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2π)內(nèi)有相異二解α、β.(Ⅰ)求α的取值范圍;(Ⅱ)求tan(α+β)的值.參考答案

一選擇題:1.B

[解析]：∵?為第三象限，∴sin??0,cos??0

則

cos?2sin?

?sin2?

?

cos??cos2?

|cos?|?2sin?

|sin?|??1?2??

32.C

[解析]： 若sin??

12且tan??3則??2k??

?

6(k?Z)

3.A

[解析]：sin7°cos37°－sin83°cos53°= sin7°cos37°－cos7°sin37°

=sin(7°-37°)

4.D

[解析]：函數(shù)f(x)=sin12x, ∵x∈[0, ?1?

13],∴2x∈[0, 6

],∴sin2x?

25.D

[解析]：?sin??(sin

?

???

2?cos2)2?|sin2?cos2

|, 故選D

6.B

[解析]：∵?、?為銳角∴0?sin??1,0?cos??

1又sin(???)=sin?cos??cos?sin?

∴a?b

7.B

[解析]：(1+tan25°)(1+tan20°)=1+tan250?tan200?tan250tan200

?1?tan(250?200)(1?tan250tan200)?tan250tan200?1?1?tan250tan200?tan250

?

28.A

[解析]：∵?為第二象限的角

∴?

2角的終邊在如圖區(qū)域內(nèi)∴tan??

2＞cot2

9.A

[解析]：∵ cosB=?

3，∴B是鈍角，∴C就是銳角，即cosC>0，故選A 10.B

[解析]：∵a>b>1,∴l(xiāng)ga>0,lgb>0,且lga?lgb

∴l(xiāng)ga?lgb<

lga?lgb1a?b

2?2lg(ab)?lgab?lg

故選B 二填空題:11．

[解析]：2sin2

?－3sin?cos?=2sin2??3sin?cos?2sin2??cos2??tan2??3tan?

tan2

??1

12．?

43或?3

[解析]： ∵sin?－cos??75>1，且?∈（0，π）∴?∈（?，π）∴(sin?－cos?)2

?(75)2∴2sin?cos?=?242

5∴sin?+cos???1

∴sin?=433

45cos?=?5或sin?=5cos?=?5

tan?=?43

3或?4

13．???

?

12,1?

2??[解析]：∵sin??cos??cos??sin?=sin(???)∴cos??sin?=sin(???)?1

∴

?

312?cos??sin??2

又sin??cos??cos??sin?=sin(???)

∴cos??sin?=1

?sin(???)∴?13

2?cos??sin??2

故?11

2?cos??sin??2

14．②④

[解析]：∵若－

?2＜?＜?＜?，則???范圍為（－π，0）∴①錯(cuò) ∵若sin?=m?34?2m?5，cos??m

m?5，則m∈（3，9）

又由sin2??cos2

??1得m=0或 m=8

∴m=8 故③錯(cuò)

三解答題:(15)解:∵

?

＜?＜?＜3?4∴??????3??2,0?????4

∵sin(?＋?)=－35，cos(???)=124

513∴cos(?＋?)=?5

sin(???)=13

∴sin2??sin[(???)?(???)]=?

.(16)解: 由sin（????

4?2a)?4?2a)= 4?2a)?4?2a)=12?2?4a)?12cos4a?14, 得cos4a?12.又a?(??5?

4,2),所以a?12

.于是

2sin2

??tan??cot??1??cos2??sin2??cos2??2cos2?

sin?cos???cos2??

sin2?

==?(cos5?5?

36?2cot6)=?(?2?2)?52(17)解：∵sinA+cosA=2cos(A－45°)=2，∴cos(A－45°)= 1

.又0°

1?1?=－2－3.∴sinA=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=

2?4

.∴S12?63ABC=2AC2AbsinA=1

2·22324=4(2+6).(18)解:(Ⅰ)∵sinx+3cosx=2(13?

2sinx+2cosx)=2 sin(x+3),∴方程化為sin(x+?)=-a2.∵方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2π)內(nèi)有相異二解,∴sin(x+?33)≠sin?

3=2

.又sin(x+

?)≠±1(∵當(dāng)?shù)扔?和±1時(shí)僅有一解),∴|-a2|<1.且-a

≠2.即|a|<2 且a≠-3.∴a的取值范圍是(-2,-)∪(-3, 2).)∵α、β是方程的相異解,∴sinα+cosα+a=0①.sinβ+3cosβ+a=0②.①-②得(sinα-sinβ)+(cosα-cosβ)=0.∴ 2sin???

cos

???

-23sin

???

??

sin

?2

=0, 又sin

???

≠0,∴tan

???

=

.2tan

???

∴tan(α+β)=

2?tan

2???

=.(Ⅱ

第二篇：高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)及數(shù)列練習(xí)題

一、選擇題（每題5分，共35分）1．若sin θcos θ＞0，則θ在（）．

A．第一、二象限

C．第一、四象限

B．第一、三象限 D．第二、四象限

2、已知函數(shù)f(x)?(1?cos2x)sin2x,x?R，則f(x)是（）A、奇函數(shù) B、非奇非偶函數(shù) C、偶函數(shù) D、不能確定

3.設(shè)Sn是等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和，已知a2?3，a6?11，則S7等于（）A．13

B．35

C．49

D． 63

4.函數(shù)f(x)?(1?3tanx)cosx的最小正周期為（）A．2? B．

3?? C．? D． 225.已知?an?為等差數(shù)列，且a7－2a4＝－1, a3＝0,則公差d＝（）A.－2 B.－C.D.2 226.函數(shù)f(x)?cos2x?2sinx的最小值和最大值分別為（）A.－3，1

B.－2，2

C.－3，32 D.－2，7．把函數(shù)y＝sin x(x∈R)的圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的 A．y＝sin?2x － ?，x∈R

C．y＝sin?2x ＋ ?，x∈R ??π?3???π?3?π個(gè)單位，再把所得圖332

1倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)圖象是（）． 2

?26?2π??D．y＝sin?2x ＋ ?，x∈R

3???xπ?B．y＝sin? ＋ ?，x∈R

二、填空題（每題5分，共10分）

8.在等差數(shù)列{an}中,a3?7,a5?a2?6,則a6?____________ 9.已知函數(shù)f(x)?sin(?x??)(??0)的圖象如圖所示, 則? ＝

三、計(jì)算題（共55分）10．求函數(shù)f(x)＝lgsin x＋

?11.已知函數(shù)f(x)?sinx?sin(x?),x?R.（10分）

2（5分）2cosx?1的定義域．(I)求f(x)的最小正周期；(II)求f(x)的的最大值和最小值；

12．求函數(shù)y＝sin?2x － ?的圖象的對(duì)稱(chēng)中心和對(duì)稱(chēng)軸方程．（5分）

13．已知等差數(shù)列{an}中，a2＝8，前10項(xiàng)和S10＝185.，求通項(xiàng)；（10分）

14.在等差數(shù)列{an}中，a1＝－60，a17＝－12.（10分）

(1)求通項(xiàng)an；(2)求此數(shù)列前30項(xiàng)的絕對(duì)值的和.15.設(shè)數(shù)列?an?滿(mǎn)足a1?2,an?1?an?322n?1（15分）

（1）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；（2）令bn?nan，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn

??π?6?

第三篇：三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)與證明(教案)

高一（1）部數(shù)學(xué)備課小組2013年6月4日

三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)與證明

教學(xué)目標(biāo)

1、掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能正

確運(yùn)用三角公式進(jìn)行三角函數(shù)的化簡(jiǎn)證明求值；

2、培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)熱愛(ài)數(shù)學(xué)。

教學(xué)重點(diǎn)

掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。教學(xué)難點(diǎn)

能正確運(yùn)用三角公式進(jìn)行三角函數(shù)的化簡(jiǎn)證明求值

教學(xué)過(guò)程

一、知識(shí)歸納

1、兩角和與差公式：

sin??????sin?cos??cos?sin? cos??????cos?cos??sin?sin?，tan??????tan??ta?n 1?ta?nta?n

2ta?n 1?ta2n?2?

2、二倍角公式：sin2??2sin?cos?，tan?

cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?

1sin2?

21?cos2?1?cos2?22sin??，cos?? 22公式變形：sin?cos??

3、三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的一般要求：

①函數(shù)名稱(chēng)盡可能少，②項(xiàng)數(shù)盡可能少，③次數(shù)盡可能低，盡可能求出值

④盡量使分母不含三角函數(shù)，⑤盡量使被開(kāi)方數(shù)不含三角函數(shù)

4、求值問(wèn)題的基本類(lèi)型及方法：

(1)“給角求值”一般所給的角都是非特殊角，解題時(shí)應(yīng)注意觀(guān)察非特殊角與特殊角之間的關(guān)系。

（2）“給值求值”即給出某些角的的三角函數(shù)式的值，求另一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵

在于變角，使其角相同。

（3）“給值求角”關(guān)鍵是變角，把所求的角用含已知角的式子表示。

5、證明三角恒等式的思路和方法：

①思路:利用三角公式進(jìn)行化名，化角，使等式兩端化“異”為“同”。

②證明三角不等式的方法：

比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)單調(diào)性，利用正余弦函數(shù)的有界性，利用

單位圓三角函數(shù)線(xiàn)及判別法等。

二、典例分析：

題型一：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)

2222例1：化簡(jiǎn) ： sin??sin??cos??cos??1cos2??cos2?

2分析：化簡(jiǎn)時(shí)使角盡量少，冪次盡量低，不含切割函數(shù)，時(shí)時(shí)要注意角之間的內(nèi)在聯(lián)系。

解略。

演練反饋：

????????x????x? ?4??4?

???解：原式

=?x?? 12??

2sin2?cos2?2．（全國(guó)卷2）??（B）1?cos2?cos2?

1A.tan?B.tan2?C.1D.2

題型二：三角函數(shù)式的求值

例2

（金版教程例2p144）

解：原式

3，?是第二象限角，且tan(???)?1，則tan?的值是（）

533A.-7B.7C.?D.44 例3：已知sin??

演練反饋：

1．tan15??cot15??（C）

A.2

B.2C.4D.cot20??cos10???tan70??2cos40??443.y=cosx?sinx的最小正周期（?）2.3.已知sin2?cos2=a,則cos4=

（4.已知3sin2a4）A?BA?B?cos2?2，osAcos?0B?）求tanA?tanB的值。（c22

1解： 2

5．設(shè)cos(??

?1?2?)??，sin(??)?,且????29232

239 729，0????，求 2?(??)cos解：?

6.已知A、B為銳角，且滿(mǎn)足tanAtanB?tanA?tanB?1,則

cos(A?B)?

（?）。

27．若sinA?B?，且A,B均為鈍角，求A+B的值。

解：A+B= 7?

48.已知cos(???)?0,tan??0,則下列不等式關(guān)系式中必定成立的是：（c）2

A、tan?????????cos B、tan?cos C、sin?cos D、sin?cos 2222222229、A、B、C是ΔABC的三個(gè)內(nèi)角，且tanA,tanB是方程3x?5x?1?0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則ΔABC是（鈍角三角形）

題型三：三角函數(shù)式的證明

例4：證明

證明略

演練反饋： 1?cosxsinx? sinx1?cosx

1?cosx?cos

求證: x?sinx 1?cosxsinx?sin

2三、小結(jié)

1.三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值、證明的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu)，即首先觀(guān)察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心；其次看函數(shù)名稱(chēng)之間的關(guān)系，通常“切化弦”；再次觀(guān)察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).2.(1)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值、證明的基本解題規(guī)律：觀(guān)察差異(或角，或函數(shù)，或運(yùn)算)，尋找聯(lián)系(借助于熟知的公式、方法或技巧)，分析綜合(由因?qū)Ч驁?zhí)果索因),實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.(2)三角函數(shù)求值問(wèn)題一般是運(yùn)用基本公式，將未知角變換為已知角求解.在解題中，特殊角的三角函數(shù)值一般情況下可先求出，同時(shí)要注意觀(guān)察各角之間的和、差是否構(gòu)成特殊角，以便化繁為簡(jiǎn)，從而使求值(或證明)問(wèn)題化難為易.3.常見(jiàn)三角函數(shù)式的求值問(wèn)題的四種類(lèi)型：

(1)不含特殊角的三角函數(shù)式的求值；

(2)含特殊角的三角函數(shù)式的求值；

(3)給出某些角的三角函數(shù)的值，求與該角有關(guān)的三角函數(shù)式的值；

(4)給出三角函數(shù)式的值求角.解法：(1)發(fā)現(xiàn)、挖掘角的某種特殊關(guān)系；(2)靈活運(yùn)用三角公式中切與弦、和與差、倍與半、升冪與降次的轉(zhuǎn)換方法；(3)關(guān)鍵在于“變角”(角的配湊)；(4)先解所求角的三角函數(shù)，再確定角的取值.

第四篇：高中數(shù)學(xué)推理與證明練習(xí)題

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高中數(shù)學(xué)推理與證明練習(xí)題

一.選擇題

1．分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使結(jié)論成立的（）

Ａ．充分條件 Ｂ．必要條件 Ｃ．充要條件 Ｄ．等價(jià)條件

2．下面敘述正確的是（）

A．綜合法、分析法是直接證明的方法 B．綜合法是直接證法、分析法是間接證法

C．綜合法、分析法所用語(yǔ)氣都是肯定的 D．綜合法、分析法所用語(yǔ)氣都是假定

3．用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個(gè)是偶數(shù)時(shí)，下列假設(shè)中正確的是（）

Ａ．假設(shè)a，b，c都是偶數(shù)

Ｂ．假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)

Ｃ．假設(shè)a，b，c至多有一個(gè)是偶數(shù)

Ｄ．假設(shè)a，b，c至多有兩個(gè)是偶數(shù)

4．在△ABC中，sinAsinC?cosAcosC，則△ABC一定是（）

Ａ．銳角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．鈍角三角形 Ｄ．不確定

5．在證明命題“對(duì)于任意角?，cos4??sin4??cos2?”的過(guò)程：“cos4??sin4??(cos2??sin2?)(cos2??sin2?)?cos2??sin2??cos2?”中應(yīng)用了 Ａ．分析法 Ｂ．綜合法 Ｃ．分析法和綜合法綜合使用 Ｄ．間接證法

二.證明題

6．設(shè)a,b,c都是正數(shù)，求證

12a?12b?12c?1a?b?1b?c?1c?a

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7．已知：sin230??sin290??sin2150

sin2???323

25?sin?265?sin125?2?

通過(guò)觀(guān)察上述兩等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫(xiě)出一般性的命題，并給出的證明

8．?ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，求證：1

a?b?1

b?c?3

a?b?c

第五篇：三角函數(shù)公式及證明

三角函數(shù)公式及證明

（本文由hahacjh@qq.com 編輯整理 2013.5.3）

基本定義

1.任意角的三角函數(shù)值：

在此單位圓中，弧AB的長(zhǎng)度等于?；

B點(diǎn)的橫坐標(biāo)x?cos?，縱坐標(biāo)y?sin? ；

（由 三角形OBC面積<弧形OAB的面積<三角形OMA的面積 可得：

sin??a?tana（0????2））

2.正切：

tan??sin?cos?

基本定理

1.勾股定理： sin2??cos2??1 1.正弦定理：asinA2=2bsinB2=

csinC= 2R（R為三角形外接圓半徑）

A2.余弦定理：a=b+c-2bccos3.誘導(dǎo)公試:

?cosA?b?c?a2bc222

?2k??

sin?costan?cot

奇變偶不變，符號(hào)看相線(xiàn)

4.正余弦和差公式: ①sin(?②cos(?

??)?sin?cos??cos?sin???)?cos?cos??sin?sin?

推導(dǎo)結(jié)論

1.基本結(jié)論

(sin??cos?)22?1?sin2?1cos?2

tan??1?

2.正切和差公式：

tan(???)??sin(???)?sin?cos??cos?sin???????

cos(???)?cos?cos??sin?sin??tan??tan?1?tan?tan?

3.二倍角公式（包含萬(wàn)能公式）：

2sin?cos??2tan??sin2??2sin?cos?????222?sin??cos??1?tan?2222

?1?tan2????1?tan2???cos2??sin2?cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin????sin2??cos2??tan2??sin2?cos2??2tan?1?tan?2

sin??221?cos2?21?cos2?2?tan?1?tan?22

cos??

4.半角公式：（符號(hào)的選擇由

?2所在的象限確定）sin?2??1?cos?21?cos?21?cos?1?cos? sin2?2?1?cos?21?cos?2 1?cos? 1?cos??2sin2?2 cos?2?? cos2?2??2cos2?2tan?2??sin?cossin?cos?2?cos?cos?sin?sin???2?1?cos??sin?22?2sin?1?cos??2

?2?2

1?sin??(cos?2?sin?2)2?cos?2?sin?2

5.積化和差公式：

sin?cos??121?sin(???)?sin(???)?cos?sin??12?sin(???)?sin(???)?cos?cos??2?cos(???)?cos(???)? sin?sin???12?cos(???)?cos??????

6.和差化積公式：

①sin?③cos? ?sin??2sin???2cos???22 ②sin? ④cos??sin??2cos???22sin???22 ?cos??2cos???2cos????cos???2sin???sin???7.三角形面積公式

S⊿=a?ha=absinC=bcsinA=acsin=2abc4R2221111B

sinAsinBsinC=2R2 =asinBsinC2sinA2=bsinAsinC2sinB2=

csinAsinB2sinC2

=pr =p(p?a)(p?b)(p?c)(海倫公式，證明見(jiàn)下文)(其中p? 12(a?b?c), r為三角形內(nèi)切圓半徑)定理結(jié)論的證明

1.勾股定理的證明：

本證明選自《幾何原本》(歐幾里得)第I卷 命題47.2.正弦定理的證明：

做三角形外接圓進(jìn)行證明；需利用結(jié)論同弧所對(duì)的圓周角相等，及直徑所對(duì)圓周角為直角；

同弧所對(duì)圓周角相等的證明：

本證明選自《幾何原本》(歐幾里得)第III卷 命題20.直徑所對(duì)圓周角為直角的證明：

本證明選自《幾何原本》(歐幾里得)第III卷 命題31.3.余弦定理的證明：

本證明選自《幾何原本》(歐幾里得)第II卷 命題12,13.4.誘導(dǎo)公式的證明：

同理可證

sin(cos(3?23?2??)?sin(????)?cos(???2??)??sin(?2??)??cos???)?sin?

?2??)??cos(?2本證明選自人教版高中數(shù)學(xué)教材.5.正余弦和差公式的證明:

sin(???)?sin(??(??))可得sin(???)的結(jié)論

本證明選自人教版高中數(shù)學(xué)教材.5.海倫公式的證明:

本證明選自 http://wenku.baidu.com/view/78e82de50975f46527d3e182.html