第一篇：極限平均值的證明

1、設liman?A，證明：limn??a1?a2???an?A。n??n

證明：因為liman?A，所以對任意的??0，存在N?0，當n?N時，有 n??

|an?A|??，于是

|a1?a2???ana?a2???aN?aN?1???an?A|?|1?A| nn

a1?a2???aN?aN?1???an?nA| n

a1?a2???aN?NAa???an?(n?N)A|?|N?1| nn

a1?a2???aN?NA1|?[|aN?1?A|???|an?A|] nn?|?|?|

?|a1?a2???aN?NAn?N|?? nn

因為lim|a1?a2???aN?NA|?0（注意分子為常數(shù)），所以存在N1?N，當n??n

a?a2???aN?NAn?N1時，有|1|??，于是當n?N1時，有 n

a?a2???aN?NAn?Na1?a2???an?A|?|1|???2?，nnn|

有極限的定義有l(wèi)ima1?a2???an?A。n??n

n??

2、設liman?A且an?0,A?0，證明：lim12?n?A。n??

證明：因為a1a2?an?a1?a2???an，n

a1a2?an?n111????aa2an111??1，a1a2ann?a1a2?an?a1?a2???an，n所以111????a1a2an

111????aa2an1111?lim?，又因為lim?，利用第1題結論，有l(wèi)im1

n??n??an??anAAnn

所以limn

111????a1a2ann???A，同理lima1?a2???an?liman?A，由夾逼定理n??n??n得

lima1a2?an?A。n??

3、設an?0，且liman?1?A，證明：liman?A。n??n??an證明：liman?limn??n??aaa1a2????n?limn?A。1a1an?1n??an?1

第二篇：平均值不等式歸納法證明

平均值不等式的證明

湖南省張家界市永定區(qū)永定小學覃文周整理

1、設ai(i=1,2,…,n)為正數(shù)，求證：（a1+a2+…+an）?

等號當且僅當a1=a2=…=an時成立。證明：由1na1a2?an…（1）a1?a2?21?0得：?a1?a2??a1a2。即當n=2時（1）式成立。2

假設當n=k時（1）式成立,即（a1+a2+…+ak）?

1令（a1+a2+…+ak+ak?1）=a，于是有： k?11ka1a2?ak。則當n=k+1時 a=1111[a1+a2+…+ak+ak?1+（k-1）a]=[a1+a2+…+ak）+ak?1+(k-1）a)] 2k2kk

?1(2

2ka1a2?ak+12kk?1ak?1ak?1k?1)?2k?1????a1a2akak?1a ?a?aa???aaa

2即 ak?1?a1a2???akak?1 ?k1（a1+a+…+a?1k+ak?1）?ka1a2???akak?1

即當n=k+1時（1）式成立。

?對任意自然數(shù)n，（1）式成立。由證明過程不難得知等號成立的充分必要條件是a1=a2=…=an。

第三篇：函數(shù)極限證明

函數(shù)極限證明

記g(x)=lim^(1/n)，n趨于正無窮;

下面證明limg(x)=max{a1,...am},x趨于正無窮。把max{a1,...am}記作a。

不妨設f1(x)趨于a;作b>a>=0,M>1;

那么存在N1,當x>N1,有a/M<=f1(x)注意到f2的極限小于等于a，那么存在N2，當x>N2時，0<=f2(x)同理，存在Ni，當x>Ni時，0<=fi(x)取N=max{N1,N2...Nm};

那么當x>N,有

(a/M)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n所以a/M<=^(1/n)

第四篇：數(shù)列極限的證明

例1 設數(shù)列?xn?滿足0?x1??,xn?1?sinxn?n?1,2,??。（Ⅰ）證明limxn存在，并求該極限；

n??1?xn?1?xn2（Ⅱ）計算lim??。n???xn?解（Ⅰ）用歸納法證明?xn?單調下降且有下界，由0?x1??，得

0?x2?sinx1?x1??，設0?xn??，則

0?xn?1?sinxn?xn??，所以?xn?單調下降且有下界，故limxn存在。

n??記a?limxn，由xn?1?sinxn得

x??a?sina，所以a?0，即limxn?0。

n??（Ⅱ）解法1 因為

?sinx?lim??x?0?x?1x2?limex?01sinxlnx2x?limex?01?cosx1????2x?sinxx?

?xsinx6x2xcosx?sinx?limex?02x3?limex?0?e?16又由（Ⅰ）limxn?0，所以

n??12xn1?xn?1??sinxn?xn2lim???lim??n??n??xx?n??n?1

?sinx??lim??x?0x??解法2 因為

1x2x2?e?16sinx?x?sinx????x???sinx?x????1????x??xsinx?x????x3，又因為

limsinx?x1?sinx?x???,lim?1??x?0x36x?0?x?12xnxsinx?x?e，??sinx?6所以 lim?，?e?x?0?x?1故

11?x?lim?n?1?n???xn?2xn?sinxn??lim??n??x?n??sinx??lim??x?0?x?2xn1x2

?e?16.

第五篇：ln2極限的證明

111(????)?ln2.證明：limn??n?1n?22n

Pf：①利用積分放縮，再用迫斂性： 首先，觀察圖像 y?n?x

S1是以1和其中，21n?11S2??dx0n?x為邊長的矩形的面積，11，S3??1n?xdx，顯然有S2?S1?S3，因此有

1ln(n?2)?ln(n?1)??ln(n?1)?lnn，n?11ln(n?3)?ln(n?2)??ln(n?2)?ln(n?1)同理，n?21ln(n?4)?ln(n?3)??ln(n?3)?ln(n?2)…

n?31ln(2n?1)?ln2n??ln2n?ln(2n?1)，2n所以，n11ln(2?)?ln(2n?1)?ln(n?1)???ln2n?lnn?ln2，n?1i?1n?i111(????)?ln2.由夾逼準則得limn??n?1n?22n證畢

②利用冪級數(shù)展開以及收斂數(shù)列的子列收斂于同一極限： 首先，在(?1,1]上，有以下的冪級數(shù)展開：

(?1)ln(x?1)??nn?1?n?112(?1)x?x?x???2nnn?1xn??.令x?1，有

1(?1)k?11(?1)k?1ln2?1???????lim[1????].k??2k2kk?1k?11(?1)1(?1)令ak?1?2???k，那么數(shù)列{ak}?{1?2???k}收斂于ln2.現(xiàn)在，取數(shù)列{ak}的偶數(shù)項組成數(shù)列{bn}n?1，即

11b1?a2?1??，2211111b2?a4?1?????，23434…

1(?1)bn?a2n?1???? 22n111?1?????22n?12n 111111?(1?????)?2(????)

22n?12n242n11111?(1?????)?(1????)

22n?12n2n1111?????? n?1n?22n?12n2n?1由于數(shù)列{bn}n?1是數(shù)列{ak}的一個子列，因此

limbn?limak?ln2.n??k??證畢