第一篇：證明極限不存在

證明極限不存在

二元函數(shù)的極限是高等數(shù)學(xué)中一個很重要的內(nèi)容,因為其定義與一元函數(shù)極限的定義有所不同,需要定義域上的點趨于定點時必須以任意方式趨近,所以與之對應(yīng)的證明極限不存在的方法有幾種.其中有一種是找一種含參數(shù)的方式趨近,代入二元函數(shù),使之變?yōu)橐辉瘮?shù)求極限.若最后的極限值與參數(shù)有關(guān),則說明二重極限不存在.但在證明這類型的題目時,除了選y=kx這種趨近方式外,許多學(xué)生不知該如何選擇趨近方式.本文給出證明一類常見的有理分式函數(shù)極限不存在的一種簡單方法.例1證明下列極限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.證明一般地,對于(1)選擇當(dāng)(x,y)沿直線y=kxy=kx趨近于(0,0)時,有l(wèi)im(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.顯然它隨著k值的不同而改變,故原極限不存在.對于(2)若仍然選擇以上的趨近方式,則不能得到證明.實際上,若選擇(x,y)沿拋物線y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趨近于(0,0),則有l(wèi)..2是因為定義域D={(x,y)|x不等于y}嗎，從哪兒入手呢，請高手指點

沿著兩條直線y=2x

y=-2x趨于(0,0)時

極限分別為-3和-1/3不相等

極限存在的定義要求延任何過(0,0)直線求極限時極限都相等

所以極限不存在3lim(x和y)趨向于無窮大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

證明該極限不存在lim(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

=lim(x^2+3y^2)/(x^2+3y^2)-8y^2/(x^2+3y^2)

=1-lim8/

因為不知道x、y的大校

所以lim(x和y)趨向于無窮大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

極限不存在4

如圖用定義證明極限不存在~謝謝！

反證法

若存在實數(shù)L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0點的任意小的鄰域X內(nèi)，總存在整數(shù)n，①記x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin=1，②記x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin=-1，使|sin-L|<1/3，和|sin-L|<1/3，同時成立。

即|1-L|<1/2，|-1-L|<1/2，同時成立。

這與|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2發(fā)生矛盾。

所以，使limsin(1/x)=L成立的實數(shù)L不存在。

第二篇：如何證明極限不存在

如何證明極限不存在

反證法

若存在實數(shù)L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0點的任意小的鄰域X內(nèi)，總存在整數(shù)n，①記x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin=1，②記x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin=-1，使|sin-L|<1/3，和|sin-L|<1/3，同時成立。

即|1-L|<1/2，|-1-L|<1/2，同時成立。

這與|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2發(fā)生矛盾。

所以，使limsin(1/x)=L成立的實數(shù)L不存在。

反證法：

一個數(shù)列{an}極限存在,另一個數(shù)列{bn}極限不存在假設(shè)兩數(shù)列之和{cn}的極限存在，那么bn=cn-an極限也存在(兩個數(shù)列和的極限等于兩個數(shù)列極限的和)

矛盾

所以原命題成立

令y=x,lim(x,y)趨于(0,0)xy/x+y

=lim(x趨于0)x^2/(2x)=0

令y=x^2-x,lim(x,y)趨于(0,0)xy/x+y

=lim(x趨于0)x^3-x^2/x^2=-1

兩種情況極限值不同，故原極限不存在2答案：首先需要二項式定理：

(a+b)^n=∑C(i=0–i=n)nia^(n-i)*b^i(式一)

用數(shù)學(xué)歸納法證此定理：

n=1(a+b)^1a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1

?a+b

?故此，n=1時，式一成立。

設(shè)n1為任一自然數(shù)，假設(shè)n=n1時，(式一)成立，即：

(a+b)^n1=∑C(i=0–i=n1)n1ia^(n1-i)*b^i(式二)

則，當(dāng)n=n1+1時:

式二兩端同乘(a+b)

*(a+b)=*(a+b)

=(a+b)^(n1+1)=∑C(i=0–i=(n1+1))(n1+1)ia^((n1+1)-i)*b^i(據(jù)乘法分配律)

因此二項式定理(即式一成立)

下面用二項式定理計算這一極限：

(1+1/n)^n(式一)

用二項式展開得：

(1+1/n)^n=1^n+(n/1)(1/n)+*(1/n)^2+*(1/n)^3+…+*(1/n)^(n-2)+*(1/n)^(n-1)+*(1/n)^n

由于二項展開式系數(shù)項的分子乘積的最高次項與(1/n)的次數(shù)相同，而系數(shù)為1，因此，最高次項與(1/n)的相應(yīng)次方剛好相約，得1，低次項與1/n的相應(yīng)次方相約后，分子剩下常數(shù)，而分母總余下n的若干次方，當(dāng)n-+∞,得0。因此總的結(jié)果是當(dāng)n-+∞，二項展開式系數(shù)項的各項分子乘積與(1/n)的相應(yīng)項的次方相約，得1。余下分母。于是式一化為：

(1+1/n)^n=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+…+1/n!(式二)

當(dāng)n-+∞時，你可以用計算機(jī)，或筆計算此值。這一數(shù)值定義為e。

第三篇：證明二重極限不存在

證明二重極限不存在

如何判斷二重極限(即二元函數(shù)極限)不存在,是二元函數(shù)這一節(jié)的難點,在這里筆者對這一問題不打算做詳細(xì)的討論,只是略談一下在判斷二重極限不存在時,一個值得注意的問題。由二重極限的定義知,要討論limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找?guī)讞l通過(或趨于)定點(x0,y0)的特殊曲線,如果動點(x,y)沿這些曲線趨于(x0,y0)時,f(x,y)趨于不同的值,則可判定二重極限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,這一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲線時,是有一定技巧的,不過不管找哪條曲線,這條曲線一定要經(jīng)過(x0,y0),并且定點是這條曲線的非孤立點,這一點很容易疏忽大意,特別是為圖方便,對于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的極限,在判斷其不存在時,不少人找的曲線是f(x,y)-g(x,y)=0,這樣做就很容易出錯。例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲線x2y-(x2+y2)=0→(0,0)時,所得的結(jié)論就不同(這時f(x,y)→1)。為什么會出現(xiàn)這種情況呢?仔細(xì)分析一下就不難得到答案

若用沿曲線，(，y)一g(，y)=0趨近于(，y0)來討論，一0g，Y?？赡軙霈F(xiàn)錯誤，只有證明了(，)不是孤立點后才不會出錯。o13A1673-3878(2008)0l__0l02__02如何判斷二重極限(即二元函數(shù)極限)不存在。是二元函數(shù)這一節(jié)的難點，在這里筆者對這一問題不打算做詳細(xì)的討論。只是略談一下在判斷二重極限不存在時。一個值得注意的問題。由二重極限的定義知，要討論limf(x，y)不存在，通常x—’10y—’y0的方法是：找?guī)讞l通過(或趨于)定點(xo，Yo)的特殊曲線，如果動點(x，Y)沿這些曲線趨于(xo，Y。)時，f(x，Y)趨于不同的值，則可判定二重極限limf(x，Y)不存在，這一方I—’10r’Y0法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲線時，是有一定技巧的，不過不管找哪條曲線，這條曲線一定要經(jīng)過(xo，Y。)，并且定點是這條曲線的非孤立點，這一點很容易疏忽大意，特別是為圖方便，對于型如2的極限，在判卜’Iogx，Yy—·y0斷其不存在時，不少人找的曲線是f(x，y)一g(x，y)：0，這樣做就很容易出錯。

當(dāng)沿曲線y=-x+x^2趨于(00)時，極限為lim(-x^2+x^3)/x^2=-1;

當(dāng)沿直線y=x趨于(00)時，極限為limx^2/2x=0。故極限不存在。

x-y+x^2+y^2

f(x,y)=————————

x+y

它的累次極限存在：

x-y+x^2+y^2

limlim————————=-1

y->0x->0x+y

x-y+x^2+y^2

limlim————————=1

x->0y->0x+y

當(dāng)沿斜率不同的直線y=mx,(x,y)->(0,0)時，易證極限不同，所以它的二重極限不存在。

第四篇：極限不存在的證明

不如何證明極限不存在一、歸結(jié)原則

原理:設(shè)f在U0(x0;?')內(nèi)有定義，limf(x)存在的充要條件是：對任何含于

x?x0

U(x0;?)且以x0為極限的數(shù)列?xn?極限limf(xn)都存在且相等。

'

n??

例如：證明極限limsin

x?0

1x

不存在12n??

證：設(shè)xn??

1n?

?,xn?

?

(n?1,2,?)，則顯然有

xn?0,xn?0(n??)，si由歸結(jié)原則即得結(jié)論。

??

?0?0,si?1?1(n??)??xnxn

二、左右極限法

原理：判斷當(dāng)x?x0時的極限，只要考察左、右極限，如果兩者相等，則極限存在，否則極限不存在。例如：證明f(x)?arctan(因為limarctan（x?0

?

1x)

當(dāng)x

?0

時的極限不存在。

1x)?

1x)??

?

x=0，limarctan（x?0

?

?

2，limarctan（x?0

?

1x)?lim?arctan（x?0

1x)，所以當(dāng)x?0時，arctan（1x)的極限不存在。

三、證明x??時的極限不存在原理：判斷當(dāng)x?

?

時的極限，只要考察x???與x???時的極限，如果兩者

相等，則極限存在，否則極限不存在。例如：證明f(x)?ex在x?

x???

?

時的極限不存在x???

x???

xxxx

因為lime?0，lime???；因此，lime?lime

x???

所以當(dāng)x?

四、柯西準(zhǔn)則

?

時，ex的極限不存在。

0'

原理：設(shè)f在U(x0;?)內(nèi)有定義，limf(x)存在的充要條件是：任給?

x?x0

?0，存

在正數(shù)?(???)，使得對任何x?,x???U0(x0;?)，使得f(x?)?f(x??)??0。例如：在方法一的例題中，取?0?1，對任何??0，設(shè)正數(shù)n?

x??1

n?,x???1

n??1?，令?

2即證。

五、定義法

原理：設(shè)函數(shù)f(x)在一個形如(a,??)的區(qū)間中有定義，對任何A?R，如果存在?0?0，使對任何X?0都存在x0?X,使得f(x0)?A??0,則f(x)在x???

x???時沒有極限。例如：證明limcosx不存在設(shè)函數(shù)f(x)?cosx，f(x)在(0,??)中有定義，對任何A?R，不妨設(shè)A?取?0?120,，于是對任何??0，取?0?0 反證法（利用極限定義）數(shù)學(xué)歸納法

第五篇：極限證明

極限證明

1.設(shè)f(x)在(??,??)上無窮次可微，且f(x)??(xn)(n???)，求證當(dāng)k?n?1時，?x，limf(k)(x)?0． x???

2.設(shè)f(x)??0sinntdt，求證：當(dāng)n為奇數(shù)時，f(x)是以2?為周期的周期函數(shù)；當(dāng)n為

偶數(shù)時f(x)是一線性函數(shù)與一以2?為周期的周期函數(shù)之和． x

f(n)(x)?0．?{xn}?3.設(shè)f(x)在(??,??)上無窮次可微；f(0)f?(0)?0xlim求證：n?1，???

?n，0?xn?xn?1，使f(n)(xn)?0．

sin(f(x))?1．求證limf(x)存在． 4.設(shè)f(x)在(a,??)上連續(xù)，且xlim???x???

5.設(shè)a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,證明權(quán)限limn??xn存在并求極限值。

6.設(shè)xn?0,n?1,2,?.證明：若limxn?1?x,則limxn?x.n??xn??n

7.用肯定語氣敘述：limx???f?x????.8.a1?1,an?1?1,求證：ai有極限存在。an?

1t?x9.設(shè)函數(shù)f定義在?a,b?上，如果對每點x??a,b?,極限limf?t?存在且有限（當(dāng)x?a或b時，為單側(cè)極限）。證明：函數(shù)f在?a,b?上有界。

10.設(shè)limn??an?a,證明：lima1?2a2???nana?.n??2n

211.敘述數(shù)列?an?發(fā)散的定義，并證明數(shù)列?cosn?發(fā)散。

12.證明：若???

af?x?dx收斂且limx???f?x???，則??0.11?an?收斂。?,n?1,2,?.求證：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2?

n

14.證明公式?k?11k?2n?C??n，其中C是與n無關(guān)的常數(shù)，limn???n?0.15.設(shè)f?x?在[a,??)上可微且有界。證明存在一個數(shù)列?xn??[a,?),使得limn??xn???且limn??f'?xn??0.16.設(shè)f?u?具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且limu???f'?u??A?0,D??x,y?|x2?y2?R2,x,y?0

??

?R?0?.I

?1?證明：limu??f?u????;?2?求IR???f'?x2?y2?dxdy;?3?求limR2

R??

D

R

17.設(shè)f?x?于[a,??)可導(dǎo)，且f'?x??c?0?c為常數(shù)?,證明：

?1?limx???f?x????;?2?f?x?于[a,??)必有最小值。

18.設(shè)limn???an?a,limn???bn?b,其中b?0,用??N語言證明lim

ana?.n???bbn

?Sn?x??19.設(shè)函數(shù)列?Sn?x??的每一項Sn?x?都在x0連續(xù)，U是以x0為中心的某個開區(qū)間，在U??x0?內(nèi)閉一致收斂于S?x?,又limn??Sn?x0????,證明：limS?x????.x?x0

20.敘述并證明limx???f?x?存在且有限的充分必要條件?柯西收斂原理?

??a

23.設(shè)?

f(x)= 0.證明xlimf(x)dx收斂,且f(x)在?a,???上一致連續(xù)，???

24.設(shè)a1>0，an?1＝an＋，證明＝1 nan25.設(shè)f?x?在a的某領(lǐng)域內(nèi)有定義且有界，對于充分小的h，M?h?與m?h?分別表示f?x?在?a?h,a?h?上的上、下確界，又設(shè)?hn?是一趨于0的遞減數(shù)列，證明：

1）limn??M?hn?與limn??m?hn?都存在；

2)limn?0M?h??limn??M?hn?,limn?0m?h??limn??m?hn?;

3)f?x?在x?a處連續(xù)的充要條件是llimn??M?hn??imn??m?hn?26設(shè)?xn?滿足：|xn?1?xn|?|qn||xn?xn?1|,|qn|?r?1|,證明?xn?收斂。

27.設(shè)an?a,用定義證明:limn???an?a

28.設(shè)x1?0，xn?1?

31?xn,(n?1,2,?)，證明limxn存在并求出來。

n??3?xn

??

29.用“???語言”證明lim30.設(shè)f(x)?

(x?2)(x?1)

?0

x?1x?3

x?2，數(shù)列?xn?由如下遞推公式定義：x0?1，xn?1?f(xn)，(n?0，x?1

n??

1，2，?)，求證：limxn?2。

31.設(shè)fn(x)?cosx?cos2x???cosnx，求證：

（A）對任意自然數(shù)n，方程fn(x)?1在[0,?/3)內(nèi)有且僅有一個正根；

（B）設(shè)xn?[0,1/3)是fn(x)?1的根，則limxn??/3。

n??

32.設(shè)函數(shù)f(t)在(a,b)連續(xù)，若有數(shù)列xn?a,yn?a(xn,yn?(a,b))使

Limf(xn)?A(n??)及Limf(yn)?B(n??)，則對A，B之間的任意數(shù)?，可找到數(shù)列xn?a，使得Limf(zn)??

33.設(shè)函數(shù)f在[a,b]上連續(xù)，且

f?0,記fvn?f(a?v?n),?n?

?exp{

b?a，試證明：n

1b

lnf(x)dx}(n??)并利用上述等式證明下?ab?a

式

2?

?

2?

ln(1?2rcosx?r2)dx?2lnr(r?1)

f(b)?f(a)

?K

b?a

34.設(shè)f‘(0)?K,試證明lim

a?0?b?0?

35.設(shè)f(x)連續(xù)，?(x)??0f(xt)dt，且lim

x?0

論?'(x)在x?0處的連續(xù)性。

f(x)，求?'(x)，并討?A（常數(shù)）

x

36． 給出Riemann積分?af(x)dx的定義，并確定實數(shù)s的范圍使下列極限收斂

i1

lim?()s。n??ni?0n

?x322,x?y?0?2

37.定義函數(shù)f?x???x?y2.證明f?x?在?0,0?處連續(xù)但不可微。

?0,x?y?0?

n?1

b

38.設(shè)f是?0,??上有界連續(xù)函數(shù)，并設(shè)r1,r2,?是任意給定的無窮正實數(shù)列，試證存在無窮正實數(shù)列x1,x2,?,使得：limn???f?xn?rn??f?xn???0.39.設(shè)函數(shù)f?x?在x?0連續(xù)，且limx?0

f?2x??f?x??A,求證：f'?0?存在且等于A.x

1n

40.無窮數(shù)列?an??,bn?滿足limn??an?a,limn??bn?b,證明:lim?aibn?1-i?ab.n??ni?1

41.設(shè)f是?0,??上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的正函數(shù)，且f'?x??0,f''有界，則limt??f'?t??0

42.用???分析定義證明limt??1

x?31

? x2?92

43.證明下列各題

?1?設(shè)an??0,1?，n?1,2,?,試證明級數(shù)?2nann?1?an?n收斂；

n?1

?

?2?設(shè)?an?為單調(diào)遞減的正項數(shù)列，級數(shù)?n2000an收斂，試證明limn2001an?0;

n??

n?1

?

?3?設(shè)f?x?在x?0附近有定義，試證明權(quán)限limx?0f?x?存在的充要條件是：對任何趨于0的數(shù)列?xn??,yn?都有l(wèi)imn???f?xn??f?yn???0.?1?44.設(shè)?an?為單調(diào)遞減數(shù)列的正項數(shù)列，級數(shù)?anln?1?an?0???收斂，試證明limn??n?n?1?

a?1。45.設(shè)an?0，n=1,2，an?a?0,(n??),證 limn

n??

?

46.設(shè)f為上實值函數(shù)，且f（1）＝1，f?（x）＝〔1，＋?〕

limf（x）存在且小于1＋。

x?＋?4，證明x?1）2

x2＋f（x）

?

47.已知數(shù)列{an}收斂于a，且

a?a???aSn?，用定義證明{Sn}也收斂于a

n

48.若f?x?在?0,???上可微，lim

n??

f(x)

?0，求證?0,???內(nèi)存在一個單

x??x

調(diào)數(shù)列{?n}，使得lim?n???且limf?(?n)?0

n??

x??e?sinx?cosx?,x?0

49.設(shè)f?x???2,確定常數(shù)a,b,c,使得f''?x?在???,??處處存在。

??ax?bx?c,x?0