第一篇：極限 定義證明
極限定義證明
趨近于正無窮，根號(hào)x分之sinx等于0
x趨近于負(fù)1/2，2x加1分之1減4x的平方等于
2這兩個(gè)用函數(shù)極限定義怎么證明?
x趨近于正無窮，根號(hào)x分之sinx等于0
證明：對(duì)于任意給定的ξ>0，要使不等式
|sinx/√x-0|=|sinx/√x|<ξ成立，只需要
|sinx/√x|^2<ξ^2,即sinx^2/x<ξ^2(∵x→+∞),則x>sinx^2/ξ^2,∵|sinx|≤1∴只需不等式x>1/ξ^2成立，所以取X=1/ξ^2，當(dāng)x>X時(shí)，必有|sinx/√x-0|<ξ成立，同函數(shù)極限的定義可得x→+∞時(shí)，sinx/√x極限為0.x趨近于負(fù)1/2，2x加1分之1減4x的平方等于2
證明：對(duì)于任意給定的ξ>0，要使不等式
|1-4x^2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|<ξ成立，只
需要0<|x+1/2|<ξ/2成立.所以取δ=ξ/2,則當(dāng)0<|x+1/2|<δ時(shí)，必有
|1-4x^2/2x+1-2|=|2x+1|<ξ，由函數(shù)極限的定義可得x→-1/2時(shí)，1-4x^2/2x+1的極限為2.注意，用定義證明X走近于某一常數(shù)時(shí)的極限時(shí)，關(guān)鍵是找出那個(gè)絕對(duì)值里面X減去的那個(gè)X0.記g(x)=lim^(1/n)，n趨于正無窮;
下面證明limg(x)=max{a1,...am},x趨于正無窮。把max{a1,...am}記作a。
不妨設(shè)f1(x)趨于a;作b>a>=0,M>1;
那么存在N1,當(dāng)x>N1,有a/M<=f1(x)
注意到f2的極限小于等于a，那么存在N2，當(dāng)x>N2時(shí)，0<=f2(x)
同理，存在Ni，當(dāng)x>Ni時(shí)，0<=fi(x)
取N=max{N1,N2...Nm};
那么當(dāng)x>N,有
(a/M)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n
所以a/M<=^(1/n)
對(duì)n取極限，所以a/M<=g(x)N時(shí)成立;
令x趨于正無窮，a/M<=下極限g(x)<=上極限g(x)<=b;
注意這個(gè)式子對(duì)任意M>1,b>a都成立，中間兩個(gè)極限都是固定的數(shù)。
令M趨于正無窮，b趨于a;
有a<=下極限g(x)<=上極限g(x)<=a;
這表明limg(x)=a;
證畢;
證明有點(diǎn)古怪是為了把a(bǔ)=0的情況也包含進(jìn)去。
還有個(gè)看起來簡(jiǎn)單些的方法
記g(x)=lim^(1/n)，n趨于正無窮;
g(x)=max{f1(x),....fm(x)};
然后求極限就能得到limg(x)=max{a1,...am}。
其實(shí)這個(gè)看起來顯然，但對(duì)于求極限能放到括號(hào)里面，但真要用極限定義嚴(yán)格說明卻和上面的證明差不多。
有種簡(jiǎn)單點(diǎn)的方法，就是
max{a,b}=|a+b|/2+|a-b|/2從而為簡(jiǎn)單代數(shù)式。
多個(gè)求max相當(dāng)于先對(duì)f1，f2求max，再對(duì)結(jié)果和f3求，然后繼續(xù)，從而為有限次代數(shù)運(yùn)算式，故極限可以放進(jìn)去。
2一)時(shí)函數(shù)的極限：
以時(shí)和為例引入.介紹符號(hào):的意義,的直觀意義.定義(和.)
幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.例1驗(yàn)證例2驗(yàn)證例3驗(yàn)證證……
(二)時(shí)函數(shù)的極限：
由考慮時(shí)的極限引入.定義函數(shù)極限的“”定義.幾何意義.用定義驗(yàn)證函數(shù)極限的基本思路.例4驗(yàn)證例5驗(yàn)證例6驗(yàn)證證由=
為使需有為使需有于是,倘限制,就有
例7驗(yàn)證例8驗(yàn)證(類似有(三)單側(cè)極限:
1.定義：?jiǎn)蝹?cè)極限的定義及記法.幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗(yàn)證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系:
Th類似有:例10證明:極限不存在.例11設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有
=§2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時(shí))
教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。
教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號(hào)性、不等式性質(zhì)以及有理運(yùn)算性等。
教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計(jì)算。
教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。
教學(xué)方法：講練結(jié)合。
一、組織教學(xué)：
我們引進(jìn)了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡(jiǎn)證.二、講授新課：
(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保號(hào)性:
4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)):
Th4若和都存在,且存在點(diǎn)的空心鄰域,使，都有證設(shè)=(現(xiàn)證對(duì)有)
註:若在Th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說明.5.迫斂性:
6.四則運(yùn)算性質(zhì):(只證“+”和“”)
(二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過以下幾個(gè)極限：
(注意前四個(gè)極限中極限就是函數(shù)值)
這些極限可作為公式用.在計(jì)算一些簡(jiǎn)單極限時(shí),有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.利用極限性質(zhì)，特別是運(yùn)算性質(zhì)求極限的原理是：通過有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計(jì)算得所求極限.例1(利用極限和)
例2例3註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時(shí)的極限.例4
例5例6例7
第二篇：定義證明二重極限
定義證明二重極限
就是說當(dāng)點(diǎn)(x,y)落在以(x0,y0)點(diǎn)附近的一個(gè)小圈圈內(nèi)的時(shí)候，f(x,y)與A的差的絕對(duì)值會(huì)灰?；页５慕咏?。那么就說f(x,y)在(x0,y0)點(diǎn)的極限為A
關(guān)于二重極限的定義，各類數(shù)學(xué)教材中有各種不同的表述，歸納起來主要有以下三種：定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義(點(diǎn)可以除外)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)。，總存在正數(shù)，使得對(duì)于所論鄰域內(nèi)適合不等式的一切點(diǎn)p(X，y)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式那末，常數(shù)A就稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限.定義2設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)槭瞧矫嫔弦稽c(diǎn)，函數(shù)在點(diǎn)兒的任一鄰域中除見外，總有異于凡的屬于D的點(diǎn)，若對(duì)于任意給定的正數(shù)。，總存在正數(shù)a，使得對(duì)D內(nèi)適合不等式0<戶幾卜8的一切點(diǎn)p，有不等式V(p)一周<。成立，則稱A為函數(shù)人p)當(dāng)p～p。時(shí)的極限.定義3設(shè)函數(shù)X一人工，”的定義域?yàn)镈，點(diǎn)產(chǎn)人工。，人)是D的聚點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)。，總存在正數(shù)8，使得對(duì)于適合不等式的一切點(diǎn)p(X，…ED，都有成立，則稱A為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限.以上三種定義的差異主要在于對(duì)函數(shù)的前提假設(shè)不盡相同.定義1要求人X，…在點(diǎn)p入x。，汕)的某去心鄰域內(nèi)有定義，而定義2允許人工，y)在點(diǎn)p。(X。，入)的任一去心鄰域內(nèi)都有使人X，y)無定義的點(diǎn)，相應(yīng)地，定義I要求見的去心鄰域內(nèi)的點(diǎn)p都適合/(p)一A卜
利用極限存在準(zhǔn)則證明：
(1)當(dāng)x趨近于正無窮時(shí)，(Inx/x^2)的極限為0;
(2)證明數(shù)列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=/2,n=1,2,…收斂，并求其極限。
1)用夾逼準(zhǔn)則:
x大于1時(shí),lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0
且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2極限為0
故(Inx/x^2)的極限為0
2)用單調(diào)有界數(shù)列收斂:
分三種情況,x0=√a時(shí),顯然極限為√a
x0>√a時(shí),Xn-X(n-1)=/2<0,單調(diào)遞減
且Xn=/2>√a,√a為數(shù)列下界,則極限存在.設(shè)數(shù)列極限為A,Xn和X(n-1)極限都為A.對(duì)原始兩邊求極限得A=/2.解得A=√a
同理可求x0<√a時(shí),極限亦為√a
綜上,數(shù)列極限存在,且為√
(一)時(shí)函數(shù)的極限：
以時(shí)和為例引入.介紹符號(hào):的意義,的直觀意義.定義(和.)
幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.例1驗(yàn)證例2驗(yàn)證例3驗(yàn)證證……
(二)時(shí)函數(shù)的極限：
由考慮時(shí)的極限引入.定義函數(shù)極限的“”定義.幾何意義.用定義驗(yàn)證函數(shù)極限的基本思路.例4驗(yàn)證例5驗(yàn)證例6驗(yàn)證證由=
為使需有為使需有于是,倘限制,就有
例7驗(yàn)證例8驗(yàn)證(類似有(三)單側(cè)極限:
1.定義：?jiǎn)蝹?cè)極限的定義及記法.幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗(yàn)證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系:
Th類似有:例10證明:極限不存在.例11設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有
=§2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時(shí))
教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。
教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號(hào)性、不等式性質(zhì)以及有理運(yùn)算性等。
教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計(jì)算。
教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。
教學(xué)方法：講練結(jié)合。
一、組織教學(xué)：
我們引進(jìn)了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡(jiǎn)證.二、講授新課：
(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保號(hào)性:
4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)):
Th4若和都存在,且存在點(diǎn)的空心鄰域,使，都有證設(shè)=(現(xiàn)證對(duì)有)
註:若在Th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說明.5.迫斂性:
6.四則運(yùn)算性質(zhì):(只證“+”和“”)
(二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過以下幾個(gè)極限：
(注意前四個(gè)極限中極限就是函數(shù)值)
這些極限可作為公式用.在計(jì)算一些簡(jiǎn)單極限時(shí),有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.利用極限性質(zhì)，特別是運(yùn)算性質(zhì)求極限的原理是：通過有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計(jì)算得所求極限.例1(利用極限和)
例2例3註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時(shí)的極限.例4
例5例6例7
第三篇：用極限定義證明極限
例
1、用數(shù)列極限定義證明：limn?2?0 n??n2?7
n?2時(shí)n?2(1)2n(2)2nn?22(3)24(4)|2?0|?2?2?2????? nn?7n?7n?7n?nn?1n?n
2上面的系列式子要想成立，需要第一個(gè)等號(hào)和不等號(hào)（1）、（2）、（3）均成立方可。第一個(gè)等號(hào)成立的條件是n>2；不等號(hào)（1）成立的條件是2 n4，即n>2；不等號(hào)（4）成立的條件是n?[]，故取N=max{7, 2? 44[]}。這樣當(dāng)n>N時(shí)，有n>7，n?[]。??因?yàn)閚>7,所以等號(hào)第一個(gè)等號(hào)、不等式（1）、（2）、（3）能成立；因?yàn)閚?[]，所以不等號(hào)（3）成立的條件是1?? |不等式（4）能成立，因此當(dāng)n>N時(shí)，上述系列不等式均成立，亦即當(dāng)n>N時(shí)，在這個(gè)例題中，大量使用了把一個(gè)數(shù)字放大為n或n?2?0|??。n2?7n的方法，因此，對(duì)于具體的數(shù)，．．．．．．． 2可把它放大為（k為大于零的常數(shù)）的形式 ．．．．．．kn．．．．．．．．．．．．．．． n?4?0 n??n2?n? 1n?4n?4n?4時(shí)n?n2n2(1)|2?0|?2?2???? n?n?1n?n?1n?n?1n2n 22不等號(hào)（1）成立的條件是n?[],故取N=max{4, []},則當(dāng)n>N時(shí)，上面的不等式都成??例 2、用數(shù)列極限定義證明：lim 立。 注：對(duì)于一個(gè)由若干項(xiàng)組成的代數(shù)式，可放大或縮小為這個(gè)代數(shù)式的一部分。如： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． n2?n?1?n 2n2?n?1?n n?n?n22 n(n?1)2?n? 1(?1)n 例 3、已知an?，證明數(shù)列an的極限是零。2(n?1) (?1)n1(1)1(2) 證明：???0(設(shè)0???1)，欲使|an?0|?||????成立 22(n?1)(n?1)n?1 11??解得：n??1，由于上述式子中的等式和不等號(hào)（1）對(duì)于任意的正整n?1? 1數(shù)n都是成立的，因此取N?[?1]，則當(dāng)n>N時(shí)，不等號(hào)（2）成立，進(jìn)而上述系列等式由不等式? 和不等式均成立，所以當(dāng)n>N時(shí)，|an?0|??。 在上面的證明中，設(shè)定0???1，而數(shù)列極限定義中的?是任意的，為什么要這樣設(shè)定？這樣設(shè)定是否符合數(shù)列極限的定義？ 在數(shù)列極限定義中，N是一個(gè)正整數(shù)，此題如若不設(shè)定0???1，則N?[?1]就有1 ? 可能不是正整數(shù)，例如若?＝2，則此時(shí)N＝－1，故為了符合數(shù)列極限的定義，先設(shè)定0???1，這樣就能保證N是正整數(shù)了。 那么對(duì)于大于1的?，是否能找到對(duì)應(yīng)的N？能找到。按照上面已經(jīng)證明的結(jié)論，當(dāng)?＝0.5時(shí)，有對(duì)應(yīng)的N1，當(dāng)n>N1時(shí)，|an?0|＜0.5成立。因此，當(dāng)n＞N1時(shí)，對(duì)于任意的大于1的?，下列式子成立： |an?0|＜0.5＜1＜?，亦即對(duì)于所有大于1的?，我們都能找到與它相對(duì)應(yīng)的N=N1。因此，在數(shù)列極限證明中，?可限小。只要對(duì)于較小的?能找到對(duì)應(yīng)的N，則對(duì)于較大的?．．． 就自然能找到對(duì)應(yīng)的N。 習(xí)題1?3 1.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明: (1)lim(3x?1)?8;x?3 (2)lim(5x?2)?12;x?2 x2?4??4;(3)limx??2x?2 1?4x3 (4)lim?2.x??2x?12 1證明(1)分析 |(3x?1)?8|?|3x?9|?3|x?3|, 要使|(3x?1)?8|?? , 只須|x?3|??.3 1證明 因?yàn)?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?3|??時(shí), 有|(3x?1)?8|?? , 所以lim(3x?1)?8.x?33 1(2)分析 |(5x?2)?12|?|5x?10|?5|x?2|, 要使|(5x?2)?12|?? , 只須|x?2|??.5 1證明 因?yàn)?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?2|??時(shí), 有|(5x?2)?12|?? , 所以lim(5x?2)?12.x?25 (3)分析 |x?(?2)|??.x2?4x2?4x?4x2?4?(?4)??|x?2|?|x?(?2)|, 要使?(?4)??, 只須x?2x?2x?2 x2?4x2?4?(?4)??, 所以lim??4.證明 因?yàn)?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?(?2)|??時(shí), 有x??2x?2x?2 (4)分析 1?4x3111?4x31?2??, 只須|x?(?)|??.?2?|1?2x?2|?2|x?(?)|, 要使2x?12x?1222 1?4x3111?4x3 ?2??, 所以lim證明 因?yàn)?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?(?)|??時(shí), 有?2.12x?12x?122x??2.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明: (1)lim1?x3 2x3 sinxx???1;2(2)limx???x?0.證明(1)分析 |x|?1 1?x32x311?x3?x3??22x3?12|x|3, 要使1?x32x3?11??, 只須??, 即322|x|2?.證明 因?yàn)?? ?0, ?X?(2)分析 sinxx?0? 12?, 當(dāng)|x|?X時(shí), 有1x 1?x32x311?x31???, 所以lim?.x??2x322 1x ??, 即x? sinxx |sinx|x ?, 要使 sinx 證明 因?yàn)???0, ?X? ?2, 當(dāng)x?X時(shí), 有 xsinxx ?0??, 只須 ? .?0??, 所以lim x??? ?0.3.當(dāng)x?2時(shí),y?x2?4.問?等于多少, 使當(dāng)|x?2| 解 由于x?2, |x?2|?0, 不妨設(shè)|x?2|?1, 即1?x?3.要使|x2?4|?|x?2||x?2|?5|x?2|?0.001, 只要 |x?2|? 0.001 ?0.0002, 取??0.0002, 則當(dāng)0?|x?2|??時(shí), 就有|x2?4|?0.001.5 x2?1x? 34.當(dāng)x??時(shí), y? x2?1x2?3 ?1, 問X等于多少, 使當(dāng)|x|>X時(shí), |y?1|<0.01? 解 要使?1? 4x2?3 ?0.01, 只|x|? ?3?397, X?.0.01 5.證明函數(shù)f(x)?|x| 當(dāng)x?0時(shí)極限為零.x|x| 6.求f(x)?, ?(x)?當(dāng)x?0時(shí)的左﹑右極限, 并說明它們?cè)趚?0時(shí)的極限是否存在.xx 證明 因?yàn)?/p> x limf(x)?lim?lim1?1,x?0?x?0?xx?0?x limf(x)?lim?lim1?1,x?0?x?0?xx?0?limf(x)?limf(x),?? x?0 x?0 所以極限limf(x)存在.x?0 因?yàn)?/p> lim?(x)?lim?? x?0 x?0 |x|?x ?lim??1,?x?0xx|x|x?lim?1,xx?0?x lim?(x)?lim?? x?0 x?0 lim?(x)?lim?(x),?? x?0 x?0 所以極限lim?(x)不存在.x?0 7.證明: 若x???及x???時(shí), 函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于A, 則limf(x)?A.x?? 證明 因?yàn)閘imf(x)?A, limf(x)?A, 所以??>0,x??? x??? ?X1?0, 使當(dāng)x??X1時(shí), 有|f(x)?A|??;?X2?0, 使當(dāng)x?X2時(shí), 有|f(x)?A|??.取X?max{X1, X2}, 則當(dāng)|x|?X時(shí), 有|f(x)?A|?? , 即limf(x)?A.x?? 8.根據(jù)極限的定義證明: 函數(shù)f(x)當(dāng)x?x0 時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等.證明 先證明必要性.設(shè)f(x)?A(x?x0), 則??>0, ???0, 使當(dāng)0<|x?x0| |f(x)?A| |f(x)?A|0,??1>0, 使當(dāng)x0??1 | f(x)?A| 證明 設(shè)f(x)?A(x??)? 則對(duì)于? ?1? ?X?0? 當(dāng)|x|?X時(shí)? 有|f(x)?A|?? ?1? 所以|f(x)|?|f(x)?A?A|?|f(x)?A|?|A|?1?|A|? 這就是說存在X?0及M?0? 使當(dāng)|x|?X時(shí)? |f(x)|?M? 其中M?1?|A|? 習(xí)題2-2 1.利用函數(shù)極限定義證明: (3).limxsinx?01x?0; x|?1，則當(dāng) 0?|x|?? 時(shí), 有 證明: 對(duì)于任意給定的正數(shù) ??0, 取 ???, 因?yàn)?|sin x1x1xxsin?|x|sin?|x|??，所以limxsinx?0?0.2．利用無窮大量定義證明： （1）lim1?x 4x????； 1?x 4證明：對(duì)于任意給定的正數(shù) G?0, 取 M?4G?1, 則當(dāng) |x|?M 時(shí), 有 | 所以 lim1?x 4??.|?G，x?? 5．證明：若limf(x)?A，則lim|f(x)|?|A|.x?x0x?x0證明：對(duì)于任意給定的正數(shù) ??0, 由于limf(x)?A，存在??0，使得當(dāng) x?x0 0?|x?x0|??時(shí), 都有|f(x)?A|??，而 ????|f(x)?A|?|f|?|A|?|f?A|??，即||f(x)|?|A||??，所以lim|f(x)|?|A|.x?x0第四篇：函數(shù)極限的定義證明
第五篇：利用函數(shù)極限定義證明11
點(diǎn)擊咨詢 