第一篇：函數(shù)極限的性質(zhì)證明

函數(shù)極限的性質(zhì)證明

X1=2,Xn+1=2+1/Xn,證明Xn的極限存在，并求該極限

求極限我會(huì)

|Xn+1-A|<|Xn-A|/A

以此類推，改變數(shù)列下標(biāo)可得|Xn-A|<|Xn-1-A|/A;

|Xn-1-A|<|Xn-2-A|/A;

……

|X2-A|<|X1-A|/A;

向上迭代，可以得到|Xn+1-A|<|Xn-A|/(A^n)

2只要證明{x(n)}單調(diào)增加有上界就可以了。

用數(shù)學(xué)歸納法：

①證明{x(n)}單調(diào)增加。

x(2)=√=√5>x(1);

設(shè)x(k+1)>x(k)，則

x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)

=/【√+√】>0。

②證明{x(n)}有上界。

x(1)=1<4，設(shè)x(k)<4，則

x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。

3當(dāng)0

當(dāng)0

構(gòu)造函數(shù)f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，則：t>

1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

則：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)(分子分母分別求導(dǎo))

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

=0

所以，對于數(shù)列n*a^n，其極限為0

用數(shù)列極限的定義證明

3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：

(1)lim=0

n→∞

(2)lim=3/2

n→∞

(3)lim=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n個(gè)9

5幾道數(shù)列極限的證明題，幫個(gè)忙。。Lim就省略不打了。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

實(shí)質(zhì)就是計(jì)算題，只不過題目把答案告訴你了，你把過程寫出來就好了

第一題，分子分母都除以n，把n等于無窮帶進(jìn)去就行

第二題，利用海涅定理，把n換成x，原題由數(shù)列極限變成函數(shù)極限，用羅比達(dá)法則(不知樓主學(xué)了沒，沒學(xué)的話以后會(huì)學(xué)的)

第三題，n趨于無窮時(shí)1/n=0，sin(1/n)=0

不知樓主覺得我的解法對不對呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0

第二篇：函數(shù)極限的性質(zhì)

§3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)

§2 函數(shù)極限的性質(zhì)

Ⅰ.教學(xué)目的與要求

1.理解掌握函數(shù)極限的唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性、保不等式性，迫斂性定理并會(huì)利用這些定理證明相關(guān)命題.2.掌握函數(shù)極限四則運(yùn)算法則、迫斂性定理,會(huì)利用其求函數(shù)極限.Ⅱ.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn):

重點(diǎn): 函數(shù)極限的性質(zhì).難點(diǎn): 函數(shù)極限的性質(zhì)的證明及其應(yīng)用.Ⅲ.講授內(nèi)容

在§1中我們引入了下述六種類型的函數(shù)極限：

1)limf?x? ；2)limf?x?；3)limf?x?

x???x???x???f?x?；

6)limf?x?。4)limf?x?； 5)lim??x?x0x?x0x?x0它們具有與數(shù)列極限相類似的一些性質(zhì)，下面以第4)種類型的極限為代表來敘述并證明這些性質(zhì)．至于其他類型極限的性質(zhì)及其證明，只要相應(yīng)地作些修改即可.定理3．2(唯一性)若極限limf?x?存在，則此極限是唯一的．

x?x0

證

設(shè)?,?都是f當(dāng)x?x0時(shí)的極限，則對任給的??0，分別存在正數(shù)

?1與?2，使得當(dāng)0?x?x0??1時(shí)有

f?x?????，(1)

當(dāng)0?x?x0??2時(shí)有

f?x?????，(2)

取??min??1,?2?，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，(1)式與(2)式同時(shí)成立，故有

????(f?x???)??f?x?????f?x????f?x????2?

由?的任意性得???，這就證明了極限是唯一的.定理3。3（局部有限性）若limf?x?存在，則f在x0的某空心鄰域U0?x0?內(nèi)有界．

x?x0

證

設(shè)limf?x???．取??1，則存在??0使得對一切x?U0?x0;??有

x?x0

f?x????1?f?x????1 這就證明了f在U0?x0;??內(nèi)有界．

§3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)

定理3．4(局部保號(hào)性)若limf?x????0(或?0)，則對任何正數(shù)r??（或

x?x0r???)，存在U0?x0?，使得對一切x?U0?x0?有

f?x??r?0（或f?x???r?0）

證

設(shè)??0，對任何r?(0,?)，取????r，則存在??0，使得對一切

x?U0?x0;??

f?x??????r，這就證得結(jié)論．對于??0的情形可類似地證明．

注

在以后應(yīng)用局部保號(hào)性時(shí)，常取r?A．

2x?x0定理3．5(保不等式性)設(shè)limf?x?與都limg?x?都存在，且在某鄰域U0x0;?'內(nèi)

x?x0??有f?x??g?x?則

limf?x??limg?x?

（３）

x?x0x?x0

證

設(shè)

limf?x?=?，limg?x?=?，則對任給的??0，分別存在正數(shù)?1與?2使x?x0x?x0得當(dāng)0?x?x0??1時(shí)有

????f?x?，當(dāng)0?x?x0??2 時(shí)有

g?x?????

令??min?',?1,?2，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，不等式f?x??g?x?與(4)、(5)兩式同時(shí)成立，于是有

????f?x??g?x?????

從而????2?．由?的任意性推出???，即(3)式成立．

定理3．6(迫斂性)設(shè)limf?x?=limg?x?=Ａ，且在某U0x0;?'內(nèi)有

x?x0x?x0????

f?x??則limh?x???．

x?x0h?x??g?x?

證

按假設(shè)，對任給的??0，分別存在正數(shù)?1與?2，使得當(dāng) 0?x?x0??1時(shí)有，§3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)

????f?x?

(7)

當(dāng)0?x?x0??2時(shí)有

g?x?????

(8)

令??min?,?1,?2，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，不等式(6)、(7)、(8)同時(shí)成立，故有

????f?x??h?x??g?x????? 由此得h?x?????，所以limh?x???

x?x0?'?

定理3．7（四則運(yùn)算法則）若極限limf?x?與limg?x?都存在，則函數(shù)

x?x0x?x0f?g,f?g當(dāng)x?x0時(shí)極限也存在，且

1)lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x?；

x?x0x?x0x?x02）lim?f?x?g?x???x?x0x?x0limf?x?．limg?x?；

x?x0 又若limg?x??0，則f|g當(dāng)x?x0時(shí)極限存在，且有

x?x03）limx?x0f?x??g?x?x?x0limf?x?limg?x?．

x?x0

這個(gè)定理的證明類似于數(shù)列極限中的相應(yīng)定理，留給學(xué)生作為練習(xí)．

利用函數(shù)極限的迫斂性與四則運(yùn)算法則，我們可從一些簡單的函數(shù)極限出發(fā)，計(jì)算較復(fù)雜的函數(shù)極限．

例 1求limx??x?0?x?解

當(dāng)x?0時(shí)有

1?x?x???1，?x??1?

?1??1?x?1?故由迫斂性得：

xlim

而limx??=1

?0?x?0??x?另一方面，當(dāng)x?0有1?x???1?x，故又由迫斂性又可得：

lim x???1 ?

x?0

?x??x?綜上，我們求得lim x???1

x?0?x?

?1??1??1??1?§3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)

例 2求lim?xtanx?1?x??

4解由xtanx?xsinx及§1例4所得的，cosxsixn?sin?

limx???442?limcoxs，?2x?4并按四則運(yùn)算法則有

limsinx?xtanx?1?=limx?

limx?x?

?4?4x??4limcosx

x?

1=?lim?x?4???1 44例 3求lim?3??1?3?．

x??1x?1x?1??解 當(dāng)x?1?0時(shí)有

?x?1??x?2??x?

213?3?x?1x?1x3?1x2?x?1故所求的極限等于

x?2?1?2???1 2x??1x2?x?1??1????1??1lim例4

證明lima?1?a?1? xx?0

證

任給??0(不妨設(shè)??1)，為使

x

a?1??

（9）

即1???a?1??，利用對數(shù)函數(shù)loga

loga?1????x?loga?1??? 于是，令

x（當(dāng)a?1時(shí)）的嚴(yán)格增性，只要

??min?loga?1???,?loga?1????，則當(dāng)0?x??時(shí)，就有(9)式成立，從而證得結(jié)論．

Ⅳ 小結(jié)與提問:本節(jié)要求學(xué)生理解掌握函數(shù)極限的性質(zhì)，并利用其討論相關(guān)命題.指導(dǎo)學(xué)生對定理的應(yīng)用作總結(jié).Ⅴ 課外作業(yè): P51 2、3、5、7、8、9.

第三篇：函數(shù)極限的性質(zhì)

§3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)

§2函數(shù)極限的性質(zhì)

Ⅰ.教學(xué)目的與要求

1.理解掌握函數(shù)極限的唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性、保不等式性，迫斂性定理并會(huì)利用這些定理證明相關(guān)命題.2.掌握函數(shù)極限四則運(yùn)算法則、迫斂性定理,會(huì)利用其求函數(shù)極限.Ⅱ.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn):

重點(diǎn): 函數(shù)極限的性質(zhì).難點(diǎn): 函數(shù)極限的性質(zhì)的證明及其應(yīng)用.Ⅲ.講授內(nèi)容

在§1中我們引入了下述六種類型的函數(shù)極限：

1)limf?x? ；2)limf?x?；3)limf?x?x???x???x???

f?x?；6)limf?x?。4)limf?x?； 5)lim??x?x0x?x0x?x0

它們具有與數(shù)列極限相類似的一些性質(zhì)，下面以第4)種類型的極限為代表來敘述并證明這些性質(zhì)．至于其他類型極限的性質(zhì)及其證明，只要相應(yīng)地作些修改即可.定理3．2(唯一性)若極限limf?x?存在，則此極限是唯一的． x?x0

證設(shè)?,?都是f當(dāng)x?x0時(shí)的極限，則對任給的??0，分別存在正數(shù)

?1與?2，使得當(dāng)0?x?x0??1時(shí)有

f?x?????，(1)當(dāng)0?x?x0??2時(shí)有

f?x?????，(2)

取??min??1,?2?，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，(1)式與(2)式同時(shí)成立，故有

????(f?x???)??f?x????f?x????f?x????2?

由?的任意性得???，這就證明了極限是唯一的.定理3。3（局部有限性）若limf?x?存在，則f在x0的某空心鄰域U0?x0?內(nèi)有界． x?x0

證設(shè)limf?x???．取??1，則存在??0使得對一切x?U0?x0;??有 x?x0

f?x????1?f?x???1

這就證明了f在U0?x0;??內(nèi)有界．

定理3．4(局部保號(hào)性)若limf?x????0(或?0)，則對任何正數(shù)r??（或x?x0

r???)，存在U0?x0?，使得對一切x?U0?x0?有

f?x??r?0（或f?x???r?0）

證設(shè)??0，對任何r?(0,?)，取????r，則存在??0，使得對一切

x?U0?x0;??

f?x??????r，這就證得結(jié)論．對于??0的情形可類似地證明．

注在以后應(yīng)用局部保號(hào)性時(shí)，常取r?A．2

x?x0定理3．5(保不等式性)設(shè)limf?x?與都limg?x?都存在，且在某鄰域U0x0;?'內(nèi)x?x0??

有f?x??g?x?則

limf?x??limg?x?（３）x?x0x?x0

證設(shè)limf?x?=?，limg?x?=?，則對任給的??0，分別存在正數(shù)?1與?2使x?x0x?x0

得當(dāng)0?x?x0??1時(shí)有

????f?x?，當(dāng)0?x?x0??2 時(shí)有

g?x?????

令??min?',?1,?2，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，不等式f?x??g?x?與(4)、(5)兩式同時(shí)成立，于是有

????f?x??g?x?????

從而????2?．由?的任意性推出???，即(3)式成立．

定理3．6(迫斂性)設(shè)limf?x?=limg?x?=Ａ，且在某U0x0;?'內(nèi)有 x?x0x?x0????

f?x??

則limh?x???． x?x0h?x??g?x?

證按假設(shè)，對任給的??0，分別存在正數(shù)?1與?2，使得當(dāng)0?x?x0??1時(shí)有，2????f?x?(7)當(dāng)0?x?x0??2時(shí)有

g?x?????(8)令??min?,?1,?2，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，不等式(6)、(7)、(8)同時(shí)成立，故有

????f?x??h?x??g?x?????

由此得h?x?????，所以limh?x??? x?x0?'?

定理3．7（四則運(yùn)算法則）若極限limf?x?與limg?x?都存在，則函數(shù) x?x0x?x0

f?g,f?g當(dāng)x?x0時(shí)極限也存在，且

1)lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x?； x?x0x?x0x?x0

2）lim?f?x?g?x???x?x0x?x0limf?x?．limg?x?； x?x0

又若limg?x??0，則f|g當(dāng)x?x0時(shí)極限存在，且有 x?x0

3）limx?x0f?x??gxx?x0limf?x?limg?x?． x?x0

這個(gè)定理的證明類似于數(shù)列極限中的相應(yīng)定理，留給學(xué)生作為練習(xí)．

利用函數(shù)極限的迫斂性與四則運(yùn)算法則，我們可從一些簡單的函數(shù)極限出發(fā)，計(jì)算較復(fù)雜的函數(shù)極限．

例 1求limx??x?0?x?

解當(dāng)x?0時(shí)有

1?x?x???1，?x??1? ?1?

?1?x?1?故由迫斂性得：xlim而limx??=1 ?0?x?0??x?

另一方面，當(dāng)x?0有1?x???1?x，故又由迫斂性又可得：lim x???1 ?x?0?x??x?

綜上，我們求得lim x???1 x?0?x??1??1??1??1?

例 2求lim?xtanx?1?

x??

解由xtanx?xsinx及§1例4所得的，cosx

sixn?si?lim

x???442?limcoxs，?2x?4

并按四則運(yùn)算法則有

limsinx

?xtanx?1?=limx?lim

x?x??4?4x??

4limcosxx?1=?lim?x?4???1

4例 3求lim?3??1?3?． x??1x?1x?1??

解 當(dāng)x?1?0時(shí)有

?x?1??x?2??x?213?3?x?1x?1x3?1x2?x?1

故所求的極限等于

x?2?1?2???1 2x??1x2?x?1?1??1?1lim

例4證明lima?1?a?1? x

x?0

證任給??0(不妨設(shè)??1)，為使

xa?1??（9）

即1???a?1??，利用對數(shù)函數(shù)loga

loga?1????x?loga?1???

于是，令x（當(dāng)a?1時(shí)）的嚴(yán)格增性，只要 ??min?loga?1???,?loga?1????，則當(dāng)0?x??時(shí)，就有(9)式成立，從而證得結(jié)論．

Ⅳ 小結(jié)與提問:本節(jié)要求學(xué)生理解掌握函數(shù)極限的性質(zhì)，并利用其討論相關(guān)命題.指導(dǎo)學(xué)生對定理的應(yīng)用作總結(jié).Ⅴ 課外作業(yè): P51 2、3、5、7、8、9.

第四篇：函數(shù)極限證明

函數(shù)極限證明

記g(x)=lim^(1/n)，n趨于正無窮;

下面證明limg(x)=max{a1,...am},x趨于正無窮。把max{a1,...am}記作a。

不妨設(shè)f1(x)趨于a;作b>a>=0,M>1;

那么存在N1,當(dāng)x>N1,有a/M<=f1(x)注意到f2的極限小于等于a，那么存在N2，當(dāng)x>N2時(shí)，0<=f2(x)同理，存在Ni，當(dāng)x>Ni時(shí)，0<=fi(x)取N=max{N1,N2...Nm};

那么當(dāng)x>N,有

(a/M)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n所以a/M<=^(1/n)

第五篇：函數(shù)極限的證明

函數(shù)極限的證明

(一)時(shí)函數(shù)的極限：

以時(shí)和為例引入.介紹符號(hào):的意義,的直觀意義.定義(和.)

幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.例1驗(yàn)證例2驗(yàn)證例3驗(yàn)證證……

(二)時(shí)函數(shù)的極限：

由考慮時(shí)的極限引入.定義函數(shù)極限的“”定義.幾何意義.用定義驗(yàn)證函數(shù)極限的基本思路.例4驗(yàn)證例5驗(yàn)證例6驗(yàn)證證由=

為使需有為使需有于是,倘限制,就有

例7驗(yàn)證例8驗(yàn)證(類似有(三)單側(cè)極限:

1.定義：單側(cè)極限的定義及記法.幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗(yàn)證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系:

Th類似有:例10證明:極限不存在.例11設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有

=§2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時(shí))

教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。

教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號(hào)性、不等式性質(zhì)以及有理運(yùn)算性等。

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計(jì)算。

教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。

教學(xué)方法：講練結(jié)合。

一、組織教學(xué)：

我們引進(jìn)了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡證.二、講授新課：

(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號(hào)性:

4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)):

Th4若和都存在,且存在點(diǎn)的空心鄰域,使，都有證設(shè)=(現(xiàn)證對有)

註:若在Th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說明.5.迫斂性:

6.四則運(yùn)算性質(zhì):(只證“+”和“”)

(二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過以下幾個(gè)極限：

(注意前四個(gè)極限中極限就是函數(shù)值)

這些極限可作為公式用.在計(jì)算一些簡單極限時(shí),有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.利用極限性質(zhì)，特別是運(yùn)算性質(zhì)求極限的原理是：通過有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計(jì)算得所求極限.例1(利用極限和)

例2例3註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時(shí)的極限.例4

例5例6例7