第一篇：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)案例

《橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)案例

一、案例概述：

《橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》選自數(shù)學(xué)選修2-1。選這個(gè)內(nèi)容的原因有二：

（一）橢圓是一個(gè)非常重要的幾何模型，具有很多優(yōu)美的幾何性質(zhì)，這些重要的幾何性質(zhì)在日常生活，社會(huì)生產(chǎn)及其他學(xué)科中都有著廣泛的應(yīng)用．

（二）這個(gè)課題的重點(diǎn)是標(biāo)準(zhǔn)方程，難點(diǎn)是標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，由于推導(dǎo)比較麻煩會(huì)占用較多時(shí)間，因此很多教師在處理上重視重點(diǎn)而忽視難點(diǎn)，然而這個(gè)推導(dǎo)，它的意義不僅僅在推出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程上，它還是體現(xiàn)了一種思想一種方法，因此忽視推導(dǎo)，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果會(huì)打折扣，我們希望通過(guò)研究來(lái)實(shí)現(xiàn)有效的課堂教學(xué)。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施： 1.關(guān)于教學(xué)目標(biāo)的確定

本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)選修2-1“橢圓” 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程作為今后研究橢圓性質(zhì)的根本依據(jù)，并以之來(lái)介紹求圓錐曲線方程和利用方程討論幾何性質(zhì)的一般方法，為學(xué)習(xí)雙曲線、拋物線奠定了基礎(chǔ)．自然成為本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)。

本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)；（2）熟練運(yùn)用多種數(shù)學(xué)方法。

學(xué)生對(duì)“曲線與方程”的內(nèi)在聯(lián)系(數(shù)形結(jié)合思想的具體表現(xiàn))僅在“圓的方程”一節(jié)中有過(guò)一次感性認(rèn)識(shí)，但由于學(xué)生比較了解圓的性質(zhì)，從“曲線與方程”的內(nèi)在聯(lián)系角度來(lái)看，學(xué)生并未真正有所感受，所以，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)成為了本堂課的教學(xué)難點(diǎn)。

3.關(guān)于學(xué)情分析和學(xué)法指導(dǎo)

本班學(xué)生基礎(chǔ)尚可，但理解能力、思維能力的方面參差不齊，因此我在速度和難度上取適中水平，在教學(xué)中注意面向全體，采用啟發(fā)式教學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與，主動(dòng)探索，布魯納曾經(jīng)說(shuō)過(guò)“探索是數(shù)學(xué)教學(xué)的生命線”，通過(guò)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)其分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，具體做法是課前讓學(xué)生做好預(yù)習(xí)，在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中，在知識(shí)的引發(fā)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)上不斷向?qū)W生提出適當(dāng)?shù)膯?wèn)題，給出“思考指向”，讓學(xué)生去思考去討論，這樣全體學(xué)生的思維活動(dòng)就能始終處于積極狀態(tài)。

4.關(guān)于教學(xué)方法的選擇和依據(jù)

（1）啟發(fā)式教學(xué)法，教師為主導(dǎo)與學(xué)生為主體相結(jié)合，在學(xué)習(xí)中老師的主導(dǎo)作用固然不可少，但如果是單純由教師講授讓學(xué)生記住結(jié)論將限制住學(xué)生的思維，而且在理解記憶關(guān)鍵之處和應(yīng)用等方面將很難深刻，只有以學(xué)生為主體，學(xué)生自己參與研究、探索，才能不僅學(xué)到具體的知識(shí)，而且能在學(xué)習(xí)過(guò)程中提高邏輯思維能力；

（2）課堂討論法，我將在重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)上讓學(xué)生議，創(chuàng)見(jiàn)讓學(xué)生講，規(guī)律讓學(xué)生找，總結(jié)讓學(xué)生寫，這樣通過(guò)相互合作學(xué)習(xí)可以糾正錯(cuò)誤，加深理解；

（3）分層教學(xué)法；在課堂教學(xué)上雖然我是面向全體，使所有的學(xué)生都能達(dá)到基本要求，學(xué)有所獲，但在課后作業(yè)的布置上，我采用了分層作業(yè)，給成績(jī)較好的同學(xué)提出一些更高的要求，為他們提供進(jìn)一步思考的空間，在形式上鼓勵(lì)他們共同探討合作學(xué)習(xí)；

（4）多媒體輔助教學(xué)，用電化教學(xué)手段能很好的體現(xiàn)從圓轉(zhuǎn)化為橢圓的過(guò)程，增強(qiáng)教學(xué)的直觀性，指導(dǎo)了學(xué)生用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，這種教學(xué)方法還可以增加教學(xué)容量，提高教學(xué)效率，以達(dá)到最佳的教學(xué)效果。

5.關(guān)于教學(xué)程序的設(shè)計(jì)與實(shí)施

（1）創(chuàng)設(shè)情境，回顧引入

橢圓的定義作為橢圓本質(zhì)屬性的揭示和橢圓方程建立的基石，理應(yīng)在本堂課作出回顧，但如采用直接提問(wèn)起不到很好的效果，因此，本節(jié)課在開(kāi)始向?qū)W生提

出了這樣一個(gè)問(wèn)題：一架救援機(jī)從A地出發(fā)進(jìn)行救援任務(wù)，之后必須回到B地加油，已知飛機(jī)一次最多能飛行500公里，而AB兩地相距200公里，問(wèn)這架飛機(jī)能夠救援到的區(qū)域是怎樣的？采用實(shí)際問(wèn)題既可以在本節(jié)課的開(kāi)始吸引學(xué)生又起到復(fù)習(xí)的作用，同時(shí)還引導(dǎo)學(xué)生用學(xué)過(guò)的知識(shí)去解決問(wèn)題。

圓錐曲線是平面解析幾何研究的主要對(duì)象 圓錐曲線的有關(guān)知識(shí)在生產(chǎn)、日常生活和科學(xué)技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，因此本節(jié)課通過(guò)實(shí)際背景，使學(xué)生感受橢圓的廣泛應(yīng)用，進(jìn)而再提出兩個(gè)問(wèn)題1.汽車貯油罐的橫截面的外輪廓線的形狀是橢圓，怎樣設(shè)計(jì)才能精確制造它們？2.把一個(gè)圓壓扁了，像橢圓，它究竟是不是橢圓？（flash演示）.由“是不是橢圓及如何設(shè)計(jì)橢圓”提出研究課題以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力。

（2）引導(dǎo)觀察、共同探究

在回顧了求圓的方程的步驟后引導(dǎo)學(xué)生去考慮求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程該怎樣建系，先由定義去得到一個(gè)方程，在列出方程以后，出現(xiàn)了含兩個(gè)根式的無(wú)理方程，這種方程初中代數(shù)中出現(xiàn)過(guò)，只是這里根號(hào)下的式子復(fù)雜些 教學(xué)時(shí)適當(dāng)放慢些速度，讓學(xué)生合作討論是可以解決的，在得到更為簡(jiǎn)化的形式后再通過(guò)適當(dāng)啟發(fā)使其得到焦點(diǎn)在x軸上標(biāo)準(zhǔn)方程．由焦點(diǎn)在x軸上標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征讓學(xué)生猜想、論證得到焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程，最后讓學(xué)生去總結(jié)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方程的認(rèn)識(shí)。此時(shí)的重點(diǎn)放在方程建立的思維過(guò)程上，通過(guò)層層遞進(jìn)的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生積極參與到知識(shí)發(fā)生過(guò)程，伴隨著類比、估測(cè)、審美等思維活動(dòng)的展開(kāi)，學(xué)生的思維得到了進(jìn)一步的激活。

（3）小試牛刀、初步體驗(yàn)

在推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后及時(shí)安排一組簡(jiǎn)單的練習(xí)之感受、理解篇來(lái)讓學(xué)生“小試牛刀”以鞏固探究成果。

（4）解決問(wèn)題、加深理解

接下來(lái)就可以來(lái)解決引出課題的兩個(gè)問(wèn)題了，同樣讓學(xué)生討論解決．教師可以適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)所采用的方法---定義法、坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法．并在 決以后，求兩條曲線的交點(diǎn)的問(wèn)題，包括求橢圓與雙曲線的交點(diǎn)的問(wèn)題就都可以解決了。

（6）合作小結(jié)、自主評(píng)價(jià)

讓學(xué)生去總結(jié)在本節(jié)課的收獲可以培養(yǎng)學(xué)生整理知識(shí)和方法的能力。（7）課外訓(xùn)練、分層要求

課外拓展訓(xùn)練 部分反應(yīng)慢一些的學(xué)生還沒(méi)看好題目就知道答案了，最終作了一回檢驗(yàn)員，學(xué)習(xí)的效果打了些折扣，也使他們少了些求出答案時(shí)的興奮感覺(jué)。雖然這種搶著回答問(wèn)題的場(chǎng)面使課堂氣氛十分熱烈，但熱烈的背后也存在著問(wèn)題。如何解決呢？我在后來(lái)的教學(xué)中就和同學(xué)“約法三章”——先做出來(lái)的可以示意我，但不能影響其他同學(xué)思考(課堂的留白其實(shí)很重要)，在我覺(jué)得可以揭曉答案的時(shí)候我會(huì)優(yōu)先讓最早示意我的同學(xué)作答。這樣一來(lái)不僅給反應(yīng)慢一些的學(xué)生留了一些思考的空間,也保護(hù)了反應(yīng)快的同學(xué)的積極性，鼓勵(lì)了競(jìng)爭(zhēng)。

我認(rèn)為若在課堂設(shè)計(jì)時(shí)能抓住方法的精神實(shí)質(zhì)，精心組織設(shè)計(jì)，在具體實(shí)施時(shí)創(chuàng)造良好情境，就可使多數(shù)學(xué)生處于亢奮狀態(tài)，增強(qiáng)探索者的自信心理，學(xué)習(xí)前人的探究精神，逐步領(lǐng)會(huì)其中的主要思想方法．希望通過(guò)這樣的課堂教學(xué)能既發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知，又培養(yǎng)學(xué)生的情意，通過(guò)教與學(xué)的互動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生的自主性真正實(shí)現(xiàn)在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的健全人格，提高其認(rèn)知水平和認(rèn)知能力，真正實(shí)現(xiàn)人格化教育。

第二篇：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)

橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)教學(xué)設(shè)計(jì)

類比的思想學(xué)：新舊知識(shí)的類比。

引入：自然界處處存在著橢圓，我們?nèi)绾斡米约旱碾p手精確的畫出橢圓呢？

回憶圓的畫法：一個(gè)釘子，一根繩子，釘子固定，繩子的一端系于釘子上，抓住繩子的另一端，固定繩子的長(zhǎng)度，繞釘子旋轉(zhuǎn)一圈就得到圓。

下面我們介紹橢圓的畫法：找兩個(gè)釘子和一根繩子，把兩個(gè)釘子固定，兩個(gè)釘子的距離小于繩子的長(zhǎng)度，把繩子的兩端分別系在兩個(gè)釘子上，繃緊繩子旋轉(zhuǎn)一周就得到橢圓。（以上是畫法上的對(duì)比）

回憶圓的定義：平面上到頂點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。

（根據(jù)剛才橢圓的畫法及類比圓的定義，歸納得出橢圓的定義。）橢圓的定義：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和為定值（大于F1F2）的點(diǎn)的集合。

（以上是定義上的對(duì)比）

怎樣推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？（類比圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)步驟）求動(dòng)點(diǎn)方程的一般步驟：坐標(biāo)法

（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）寫出適合條件P(M)；（3）用坐標(biāo)表示P(M)，列數(shù)方程；（4）化方程為最簡(jiǎn)形式。

y?探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案yyyF1OOO設(shè)P(x, y)是橢圓上任意一點(diǎn)，yF2Ｐ(x , y)xF10F2yMMOF2橢圓的焦距|F1F2|=2c(c>0)，則F1、F2的坐標(biāo)分別是(?c,0)、(c,0).xF1xxxOP與F1和F2的距離的和為固定值2a(2a>2c)由橢圓的定義得，限制條件：|PF1|?|PF2|?2a由于得方程|PF1|?(x?c)2?y2,|PF2|?(x?c)2?y2x方案一方案二原則：盡可能使方程的形式簡(jiǎn)單、運(yùn)算簡(jiǎn)單；(一般利用對(duì)稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標(biāo)軸.)(對(duì)稱、“簡(jiǎn)潔”)(x?c)2?y2?(x?c)2?y2?2a（問(wèn)題：下面怎樣化簡(jiǎn)？）移項(xiàng)，再平方(x?c)2?y2?4a2?4a(x?c)2?y2?(x?c)2?y2a2?cx?a兩邊再平方，得剛才我們得到了焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程，如何推導(dǎo)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？由橢圓的定義得，限制條件：|PF1|?|PF2|?2a由于得方程|PF1|?x2?(y?c)2,|PF2|?x2?(y?c)2(x?c)2?y2a4?2a2cx?c2x2?a2x2?2a2cx?a2c2?a2y2整理得(a2?c2)x2?a2y2?a2(a2?c2)由橢圓定義可知2a?2c,即a?c,所以x2?(y?c)2?x2?(y?c)2?2aa2?c2?0,設(shè)a2?c2?b2(b?0),（問(wèn)題：下面怎樣化簡(jiǎn)？）b2x2?a2y2?a2b2兩邊除以a2b2得x2y2??1(a?b?0).a2b2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x2y2??1(a?b?0).a2b2焦點(diǎn)在x軸(x?c)2?y2?(x?c)2?y2?2a?再認(rèn)識(shí)！?橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)：YMMF1(-c,0)OF2(c,0)XOF1(0,-c)XYF2(0 , c)標(biāo)準(zhǔn)方程x2y2+=1 ?a>b>0?a2b2yPx2y2+=1 ?a>b>0?b2a2yF2Pxx2y2??1(a?b?0)a2b2y2x2??1(a?b?0)a2b2不同點(diǎn)圖形F1OF2xOF1焦點(diǎn)坐標(biāo)F1?-c , 0?，F(xiàn)2?c , 0?F1?0?,?-c?，F(xiàn)2?0?,?c?（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是1（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)a、b、c滿足a2=b2+c2。（3）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個(gè)參數(shù)a、b、c的值。（4）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與y2的分母哪一個(gè)大，則焦點(diǎn)在哪一個(gè)軸上。相同點(diǎn)定義a、b、c 的關(guān)系焦點(diǎn)位置的判斷平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡a2=b2+c2分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上

第三篇：《 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計(jì)

《 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1本章內(nèi)容的數(shù)學(xué)分析

《圓錐曲線與方程》是選修2-1第二章的內(nèi)容，是高中數(shù)學(xué)中重要的內(nèi)容，圓錐曲線的許多幾何性質(zhì)在日常生活、生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中都有著廣泛的應(yīng)用?！?.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》是整個(gè)解析幾何部分的重要基礎(chǔ)知識(shí)，從知識(shí)上說(shuō)，它是運(yùn)用坐標(biāo)法研究曲線的幾何性質(zhì)的一次演練，同時(shí)它也是進(jìn)一步研究橢圓幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)；從方法上說(shuō)，它為后面研究雙曲線、拋物線提供了基本模式和理論基礎(chǔ).所以說(shuō)，無(wú)論從教材內(nèi)容，還是從教學(xué)方法上都是起著承上啟下的作用，它是學(xué)好本章內(nèi)容的關(guān)鍵。因此搞好這一節(jié)的教學(xué)，具有非常重要的意義。通過(guò)對(duì)橢圓定義與方程的探究過(guò)程，使學(xué)生經(jīng)歷了觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、推理、交流、反思等理性思維過(guò)程，培養(yǎng)了學(xué)生的思維方式，加強(qiáng)了運(yùn)算能力，提高了他們提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，為后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。1.2學(xué)情分析

在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容以前，通過(guò)對(duì)必修3《直線與圓》以及選修2-1《2.1曲線與方程》的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線和圓的方程，初步了解了用坐標(biāo)法求曲線的方程及其基本步驟，對(duì)曲線的方程的概念有一定的了解，這為進(jìn)一步學(xué)習(xí)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程奠定了基礎(chǔ)。同時(shí)，經(jīng)過(guò)兩年的高中學(xué)習(xí)，學(xué)生的計(jì)算能力、分析解決問(wèn)題的能力、歸納概括能力、建模能力都有了一定的提高，使得進(jìn)一步探究學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容成為可能。但是，在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，橢圓定義的歸納概括、方程的推導(dǎo)化簡(jiǎn)對(duì)學(xué)生是一個(gè)考驗(yàn)，可能會(huì)有一部分學(xué)生探究學(xué)習(xí)受阻，教師要適時(shí)予以指導(dǎo)。

1.3 教學(xué)對(duì)策

有效學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在于學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，而主動(dòng)性與學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)、所學(xué)內(nèi)容的價(jià)值性、趣味性和學(xué)習(xí)任務(wù)是否具體清楚等都有非常密切的關(guān)系，這些相關(guān)的積極因素越多，學(xué)習(xí)的主動(dòng)性就會(huì)越強(qiáng)。這就需要教師在教學(xué)中，充分挖掘積極因素，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)地學(xué)習(xí)。

本節(jié)作為圓錐曲線的起始課，在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性上應(yīng)給予更多的關(guān)注。本課在設(shè)計(jì)上先動(dòng)員學(xué)生查找圓錐曲線的資料，促使學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用。在《橢圓》的教學(xué)活動(dòng)中，通過(guò)讓學(xué)生展示圓錐曲線在實(shí)際中的應(yīng)用的資料以及折紙活動(dòng)，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的文化背景，增加用數(shù)學(xué)的意識(shí)。對(duì)橢圓定義與方程的探究過(guò)程，使學(xué)生經(jīng)歷了觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、推理、交流、反思等理性思維過(guò)程，培養(yǎng)了學(xué)生的思維方式，加強(qiáng)了運(yùn)算能力，提高了他們提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。2 教學(xué)過(guò)程 2.1課前準(zhǔn)備 發(fā)給學(xué)生的如下資料：

1、同學(xué)們，你們能告訴我什么是圓錐曲線嗎？它們?yōu)槭裁唇袌A錐曲線呢？圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)確實(shí)是一個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn).德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒（公元1571年~1630年）在長(zhǎng)期的天文觀察及對(duì)記錄的數(shù)據(jù)分析中，發(fā)現(xiàn)了著名的“開(kāi)普勒三定律”，其中第一條是：“行星是繞著太陽(yáng)沿著橢圓軌道運(yùn)行的，太陽(yáng)處在這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上”，后來(lái)哈雷又利用圓錐曲線理論及計(jì)算方法準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)到哈雷慧星與地球最近點(diǎn)的時(shí)刻，1758年在哈雷逝世16年之后，哈雷慧星與地球如期而遇，這引起了全歐洲、乃至全世界的轟動(dòng)，也進(jìn)一步推動(dòng)人們對(duì)圓錐曲線研究興趣的提升。在我們的實(shí)際生活中處處都有圓錐曲線.你能舉出一些例子嗎？橢圓、雙曲線、拋物線的有些性質(zhì)，在生產(chǎn)或生活中被廣泛應(yīng)用。比如電影放映機(jī)的聚光燈泡的反射面是橢圓面，燈絲在一個(gè)焦點(diǎn)上，影片門在另一個(gè)焦點(diǎn)上；探照燈、聚光燈、太陽(yáng)灶、雷達(dá)天線、衛(wèi)星的天線、射電望遠(yuǎn)鏡等都是利用拋物線的原理制成的。這些應(yīng)用的原理和性質(zhì)是什么呢？又比如圓形紙片被垂直光線照射隨著紙片角度的變化得到的影子，它是什么圖形呢？結(jié)合本章卷首語(yǔ)，請(qǐng)你查找圓錐曲線的相關(guān)資料。

2、同學(xué)們?cè)敢庾鲆粋€(gè)折紙的游戲嗎？用一張紙剪一個(gè)圓，在圓內(nèi)選一個(gè)異于圓心C的點(diǎn)F，在圓上取點(diǎn)M1，折紙使得M1與F重合，再打開(kāi)紙，就得到一條折痕，畫出折痕與相應(yīng)半徑的交點(diǎn)，再在圓上取點(diǎn)M2，折紙使得M2與F重合，再打開(kāi)紙，又得到一條折痕及相應(yīng)交點(diǎn)，??如此進(jìn)行下去，折痕越多越好，并且圓上各個(gè)位置都要有選取的點(diǎn)，然后，用平滑的曲線連接，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，所得的這些交點(diǎn)構(gòu)成的曲線是什么？

設(shè)計(jì)意圖：①動(dòng)員學(xué)生查找圓錐曲線的資料，充分挖掘積極因素，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)地學(xué)習(xí)。促使學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀。②折紙問(wèn)題可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣以及求知欲。2.2問(wèn)題引入

問(wèn)題1：同學(xué)們，你們能告訴我什么是圓錐曲線嗎？它們?yōu)槭裁唇袌A錐曲線呢？

說(shuō)明：教師需要課前先收集同學(xué)的資料，讓學(xué)生展示什么是圓錐曲線，它們?yōu)槭裁唇袌A錐曲線。以及介紹圓錐曲線的產(chǎn)生及應(yīng)用。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀。使學(xué)生意識(shí)到在我們的實(shí)際生活中處處都有圓錐曲線，本章的學(xué)習(xí)是研究這些問(wèn)題的基礎(chǔ)。2.3學(xué)生活動(dòng)

活動(dòng)1：準(zhǔn)備一根繩子，把它對(duì)折，一端固定在一個(gè)定點(diǎn)上，把粉筆插在另一端，拉緊繩子，得到的曲線是什么？(圓)。如果變?yōu)閮蓚€(gè)定點(diǎn)，把繩子拉緊，得到的曲線會(huì)是什么呢？在黑板上給出兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，使它們之間的距離均大于繩長(zhǎng)，請(qǐng)兩個(gè)同學(xué)合作，一個(gè)同學(xué)將繩的兩端固定在定點(diǎn)處，另一個(gè)同學(xué)拉緊細(xì)繩畫圖。通過(guò)作圖，由學(xué)生得出橢圓的定義。

問(wèn)題2：請(qǐng)學(xué)生觀察曲線上的點(diǎn)滿足的幾何特征，并類比圓的定義給橢圓下定義。

說(shuō)明：用“以上定義是否有不嚴(yán)謹(jǐn)之處？若有，請(qǐng)做出補(bǔ)充”等問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生逐步完善定義。

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生的思維特點(diǎn)和學(xué)習(xí)規(guī)律出發(fā)，展示知識(shí)形成的過(guò)程，使學(xué)生經(jīng)歷了觀察、猜測(cè)、類比、交流、反思等理性思維過(guò)程，培養(yǎng)了學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)思維習(xí)慣。

問(wèn)題3：同學(xué)們，課前希望大家做一個(gè)折紙的游戲，用一張紙剪一個(gè)圓，在圓內(nèi)選一個(gè)異于圓心C的點(diǎn)F，在圓上取點(diǎn)M1，折紙使得M1與F重合，再打開(kāi)紙，就得到一條折痕，畫出折痕與相應(yīng)半徑的交點(diǎn)，再在圓上取點(diǎn)M2，折紙使得M2與F重合，再打開(kāi)紙，又得到一條折痕及相應(yīng)交點(diǎn)，??如此進(jìn)行下去，折痕越多越好，并且圓上各個(gè)位置都要有選取的點(diǎn)，然后，用平滑的曲線連接，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，所得的這些個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的曲線是什么？

學(xué)生回答：他的邊界是橢圓。

教師提問(wèn)：為什么會(huì)是橢圓？（幾何畫板演示）適時(shí)用如下問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生：

（1）我們將M1與F重合，得到的折痕是什么？（2）CP+PF= r,說(shuō)明什么？

設(shè)計(jì)意圖：加深學(xué)生對(duì)橢圓定義的理解，尤其是對(duì)a、c的幾何意義的理解。2.4推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

問(wèn)題4：要研究橢圓更多的性質(zhì)，就要建立坐標(biāo)系，得到橢圓的方程，利用方程研究它們的性質(zhì)，如何建立坐標(biāo)系呢？ 說(shuō)明：由學(xué)生建立坐標(biāo)系，求橢圓的方程，過(guò)程中提醒學(xué)生注意要適當(dāng)建系，坐標(biāo)系建立應(yīng)使題中關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、曲線的方程要盡量簡(jiǎn)單，讓學(xué)生觀察橢圓的圖形，發(fā)現(xiàn)橢圓應(yīng)該有兩條互相垂直的對(duì)稱軸，以這兩條對(duì)稱軸作為坐標(biāo)系的兩軸，不但可以使方程的推導(dǎo)過(guò)程變得簡(jiǎn)單，而且也可以使最終得出的方程形式整齊和簡(jiǎn)潔．

問(wèn)題5 ：我們?cè)O(shè)點(diǎn)并且得到方程，如何化簡(jiǎn)？

說(shuō)明：由于學(xué)生對(duì)坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題掌握還不夠，對(duì)含有兩個(gè)根式之和（差）等式化簡(jiǎn)的運(yùn)算生疏，去根式的策略選擇不當(dāng)?shù)仁菍?dǎo)致“標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)”成為學(xué)習(xí)難點(diǎn)的直接原因。

但同時(shí)，這也是培養(yǎng)學(xué)生的思維方式，加強(qiáng)了運(yùn)算能力的時(shí)機(jī)，這里可以讓學(xué)生充分展示化簡(jiǎn)方法，直接平方，移項(xiàng)平方，根式有理化等等，從中選擇一個(gè)大家都認(rèn)可的方法課上完成，其他留作課下完成。在化簡(jiǎn)過(guò)程中，教師要以“是否保證變形等價(jià)，如何使方程更加完美簡(jiǎn)捷”等等問(wèn)題，不斷激發(fā)學(xué)生做更深入的思考。2.5課堂練習(xí)

說(shuō)明：課堂例題應(yīng)該以課本例題為主，目的在于鞏固橢圓的定義，使學(xué)生熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)根據(jù)所給的條件確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。2.6課后作業(yè)

（1）課本練習(xí)，進(jìn)一步鞏固學(xué)生對(duì)橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的認(rèn)識(shí).（2）完成其他方法的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).（3）對(duì)于折紙問(wèn)題，如果將“在圓內(nèi)選一個(gè)異于圓心C的點(diǎn)F”改為“在圓外選一個(gè)異于圓心C的點(diǎn)F”得到的曲線會(huì)是什么？曲線上的點(diǎn)有什么幾何特征呢？ 3教學(xué)反思

數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石,是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)法則的邏輯基礎(chǔ),是提高解題能力的前提,是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂和精髓。3.1在體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的過(guò)程中認(rèn)識(shí)概念

數(shù)學(xué)概念的引入,應(yīng)從實(shí)際出發(fā),創(chuàng)設(shè)情境,提出問(wèn)題。通過(guò)與概念有明顯聯(lián)系、直觀性的例子,使學(xué)生在對(duì)具體問(wèn)題的體驗(yàn)中感知概念,形成感性認(rèn)識(shí).本節(jié)課首先把一根繩子對(duì)折，一端固定在一個(gè)定點(diǎn)上，把粉筆插在另一端，拉緊繩子，得到了學(xué)生熟悉的曲線--圓，然后提出“如果變?yōu)閮蓚€(gè)定點(diǎn)，把繩子拉緊，得到的曲線會(huì)是什么呢？”這個(gè)問(wèn)題，通過(guò)讓學(xué)生觀察曲線上的點(diǎn)滿足的幾何特征，類比圓的定義給橢圓下定義；之后，再用“以上定義是否有不嚴(yán)謹(jǐn)之處？若有，請(qǐng)做出補(bǔ)充”等問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生逐步完善定義。挖掘概念的內(nèi)涵與外延,有利于學(xué)生對(duì)概念的理解。3.2在運(yùn)用數(shù)學(xué)概念解決問(wèn)題的過(guò)程中鞏固概念

數(shù)學(xué)概念形成之后,通過(guò)具體例子,進(jìn)一步認(rèn)識(shí)概念,引導(dǎo)學(xué)生利用概念解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和發(fā)現(xiàn)概念在解決問(wèn)題中的作用,是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié),此環(huán)節(jié)操作的成功與否,將直接影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的鞏固,以及解題能力的形成。本節(jié)課設(shè)計(jì)的折紙問(wèn)題是課前留給學(xué)生的問(wèn)題，它的起點(diǎn)低但延展性好，它的特點(diǎn)是具有“活動(dòng)性”，學(xué)生必須實(shí)際操作，在折紙過(guò)程中觀察、思考，使學(xué)生盡快地投入到新概念的探索中去,從而激發(fā)了學(xué)生的好奇心以及探索和創(chuàng)造的欲望,使學(xué)生在參與的過(guò)程中產(chǎn)生內(nèi)心的體驗(yàn)和創(chuàng)造。各種水平的學(xué)生都可以得到自己的發(fā)現(xiàn)。這個(gè)問(wèn)題今后還可以深入研究，（從軌跡問(wèn)題到包絡(luò)線問(wèn)題）安排在這里的作用限于加深學(xué)生對(duì)橢圓的定義以及a、c的幾何意義的理解。此外，這個(gè)問(wèn)題結(jié)合幾何畫板，得到圓錐曲線形成的動(dòng)態(tài)過(guò)程，使學(xué)生得到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣和美的愉悅。

此外，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，可使學(xué)生進(jìn)一步掌握求曲線方程的一般方法，滲透數(shù)形結(jié)合和等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法，提高運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的能力．也是這節(jié)課的難點(diǎn)，此處的處理方式以學(xué)生為活動(dòng)主體，給學(xué)生較多的思考問(wèn)題的時(shí)間和空間，教師的作用在于幫助學(xué)生不斷的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題（比如：如何化簡(jiǎn)無(wú)理式，是否保證變形等價(jià)，如何使方程更加完美簡(jiǎn)捷等等）從而使學(xué)生通過(guò)主動(dòng)的思考形成自己獨(dú)立的觀點(diǎn)，而不是成為一個(gè)被動(dòng)接受的容器。

第四篇：《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計(jì)

《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計(jì)

山西省太原師范學(xué)院附屬中學(xué) 薛翠萍

一、教學(xué)內(nèi)容解析

橢圓的定義是一種發(fā)生性定義，教學(xué)內(nèi)容屬概念性知識(shí)，是通過(guò)描述橢圓形成過(guò)程進(jìn)行定義的作為橢圓本質(zhì)屬性的揭示和橢圓方程建立的基石，理應(yīng)作為本堂課的教學(xué)重點(diǎn) 同時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程作為今后研究橢圓性質(zhì)的根本依據(jù)，自然成為本節(jié)課的另一教學(xué)重點(diǎn)

學(xué)生對(duì)“曲線與方程”的內(nèi)在聯(lián)系(數(shù)形結(jié)合思想的具體表現(xiàn))僅在“圓的方程”一節(jié)中有過(guò)一次感性認(rèn)識(shí)

但由于學(xué)生比較了解圓的性質(zhì)，從“曲線與方程”的內(nèi)在聯(lián)系角度來(lái)看，學(xué)生并未真正有所感受

所以，橢圓定義和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系成為了本堂課的教學(xué)難點(diǎn)

圓錐曲線是平面解析幾何研究的主要對(duì)象

圓錐曲線的有關(guān)知識(shí)不僅在生產(chǎn)、日常生活和科學(xué)技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，而且是今后進(jìn)一步數(shù)學(xué)的基礎(chǔ) 教科書(shū)以橢圓為學(xué)習(xí)圓錐曲線的開(kāi)始和重點(diǎn)，并以之來(lái)介紹求圓錐曲線方程和利用方程討論幾何性質(zhì)的一般方法，可見(jiàn)本節(jié)內(nèi)容所處的重要地位

通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，學(xué)生一方面認(rèn)識(shí)到一般橢圓與圓的區(qū)別與聯(lián)系，另一方面也為后面利用方程研究橢圓的幾何性質(zhì)以及為學(xué)生類比橢圓的研究過(guò)程和方法，學(xué)習(xí)雙曲線、拋物線奠定了基礎(chǔ)

學(xué)習(xí)過(guò)程啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，善于思考，學(xué)會(huì)分析問(wèn)題和創(chuàng)造地解決問(wèn)題；培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和邏輯思維能力

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置：

1．知識(shí)與技能目標(biāo)

(1)學(xué)生能掌握橢圓的定義 明確焦點(diǎn)、焦距的概念．

(2)學(xué)生能推導(dǎo)并掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(3)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中進(jìn)一步感受曲線方程的概念，體會(huì)建立曲線方程的基本方法，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題．

2．過(guò)程與方法目標(biāo)：

(1)學(xué)生通過(guò)經(jīng)歷橢圓形成的情境感知橢圓的定義并親自參與歸納．培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、認(rèn)識(shí)規(guī)律的能力．

(2)學(xué)生類比圓的方程的推導(dǎo)過(guò)程嘗試推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，培養(yǎng)學(xué)生利用已知方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力．

(3)在橢圓定義的獲得和其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程中進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．

3．情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：

（1）通過(guò)橢圓定義的獲得讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣并感受數(shù)學(xué)美的熏陶．

（2）通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生觀察,運(yùn)算能力和求簡(jiǎn)意識(shí)并能懂得欣賞數(shù)學(xué)的“簡(jiǎn)潔美”．

（3）通過(guò)師生、生生的合作學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力的培養(yǎng)，增強(qiáng)主動(dòng)與他人合作交流的意識(shí)．

三、學(xué)生學(xué)情分析

1．能力分析

①學(xué)生已初步掌握用坐標(biāo)法研究直線和圓的方程，②對(duì)含有兩個(gè)根式方程的化簡(jiǎn)能力薄弱．

2．認(rèn)知分析

①學(xué)生已初步熟悉求曲線方程的基本步驟，②學(xué)生已經(jīng)掌握直線和圓的方程,對(duì)曲線的方程的概念有一定的了解，③學(xué)生已經(jīng)初步掌握研究直線和圓的基本方法．

3．情感分析

學(xué)生具有積極的學(xué)習(xí)態(tài)度，強(qiáng)烈的探究欲望，能主動(dòng)參與研究．

四、教學(xué)策略分析

教學(xué)中通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷 “創(chuàng)設(shè)情境——總結(jié)概括——啟發(fā)引導(dǎo)——探究完善——實(shí)際應(yīng)用” 的過(guò)程，發(fā)現(xiàn)新的知識(shí)，又通過(guò)實(shí)際操作，使剛產(chǎn)生的數(shù)學(xué)知識(shí)得到完善，提高了學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦的能力和增強(qiáng)了研究探索的綜合素質(zhì)．

課堂教學(xué)中創(chuàng)設(shè)問(wèn)題的情境，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決問(wèn)題，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性；有效地滲透數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生思維品質(zhì)，這是本節(jié)課的教學(xué)原則．根據(jù)這樣的原則及所要完成的教學(xué)目標(biāo)，我采用如下的教學(xué)方法和手段：

1．引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法：用課件演示動(dòng)點(diǎn)的軌跡，啟發(fā)學(xué)生歸納、概括橢圓定義．

2．探索討論法：由學(xué)生通過(guò)聯(lián)想、歸納把原有的求軌跡方法遷移到新情況中，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu)；有利于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，發(fā)揮其創(chuàng)造性．

這兩種方法是適應(yīng)新課程體系的一種全新教學(xué)模式，它能更好地體現(xiàn)學(xué)生的主體性，實(shí)現(xiàn)師生、生生交流，體現(xiàn)課堂的開(kāi)放性與公平性．

在教學(xué)中適當(dāng)利用多媒體課件輔助教學(xué)，增強(qiáng)動(dòng)感及直觀感，增大教學(xué)容量，提高教學(xué)質(zhì)量．

五、教學(xué)過(guò)程：

（一）復(fù)習(xí)引入

1．說(shuō)一說(shuō)你對(duì)生活中橢圓的認(rèn)識(shí)．伴隨圖片展示使同學(xué)們感到橢圓就在我們身邊．

意圖：（1）、從學(xué)生所關(guān)心的實(shí)際問(wèn)題引入，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)際．

（2）、使學(xué)生更直觀、形象地了解后面要學(xué)的內(nèi)容；

2． 手工操作演示橢圓的形成：取一條定長(zhǎng)的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫圖板上同一定點(diǎn)，套上筆拉緊繩子，移動(dòng)筆尖畫出的軌跡是圓．再將這一條定長(zhǎng)的細(xì)繩的兩端固定在畫圖板上的兩定點(diǎn)，當(dāng)繩長(zhǎng)大于兩點(diǎn)間的距離時(shí)，用鉛筆把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動(dòng)，就可以畫出一個(gè)橢圓隨后動(dòng)畫呈現(xiàn)．

意圖：

(1)通過(guò)畫圖給學(xué)生提供一個(gè)動(dòng)手操作、合作學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)；調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性

(2)多媒體演示向?qū)W生說(shuō)明橢圓的具體畫法，更直觀形象．

（二）講解新課 由學(xué)生畫圖及教師演示橢圓的形成過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生歸納定義．橢圓定義：

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)2a的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距

練習(xí)1：已知兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-4,0)、（4，0），動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離

之和等于8，則P點(diǎn)的軌跡是

練習(xí)2：已知兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-4,0)、（4，0），動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離

之和等于6，則P點(diǎn)的軌跡是

通過(guò)兩個(gè)練習(xí)思考：橢圓定義需要注意什么（2a大于

意圖：讓學(xué)生通過(guò)練習(xí)反思畫圖，歸納定義，理解定義，突破了重點(diǎn)．

（1）、當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，是橢圓；（2）、當(dāng)2a=|F1F2|時(shí)，是線段；（3）、當(dāng)2a<|F1F2|軌跡不存在．）

2．根據(jù)定義推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：

要求

（1）學(xué)生在畫板上建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，（2）根據(jù)定義推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生類比圓回顧解析幾何研究問(wèn)題的特點(diǎn)及求軌跡方程步驟

意圖：讓學(xué)生自己去建系推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，給學(xué)生較多的思考問(wèn)題的時(shí)間和空間，變“被動(dòng)”為“主動(dòng)”，變“灌輸簡(jiǎn)潔美”為“發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)潔美”．教師結(jié)合猜想加以引導(dǎo)．化簡(jiǎn)無(wú)理方程為難點(diǎn)通過(guò)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決問(wèn)題突破難點(diǎn)．

正確推導(dǎo)過(guò)程如下：

解：取過(guò)焦點(diǎn)

設(shè)

則，又設(shè)M與

距離之和等于

（）（常數(shù)）為橢圓上的任意一點(diǎn)，橢圓的焦距是

（）． 的直線為軸，線段的垂直平分線為

軸，化簡(jiǎn)，得

由定義義）

令 代入，得，,（學(xué)生通過(guò)自己畫圖建系的過(guò)程找到的幾何意，兩邊同除得

此即為橢圓的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程

它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)是程

學(xué)生思考：若坐標(biāo)系的選取不同，可得到橢圓的不同的方程

如果橢圓的焦點(diǎn)在軸上（選取方式不同，調(diào)換

軸）焦點(diǎn)則變成，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓方,只要將方程

中的調(diào)換，即可得，也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

請(qǐng)學(xué)生觀察歸納兩個(gè)方程的特征，從而區(qū)別焦點(diǎn)在不同坐標(biāo)軸上的橢圓標(biāo)方程；過(guò)程中要滲透數(shù)學(xué)對(duì)稱美教學(xué)．

理解：所謂橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一定指的是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)；在個(gè)軸上即看 與這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有分母的大小 的要求，因而焦點(diǎn)在哪3．精心設(shè)計(jì)課堂練習(xí)使學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用中進(jìn)一步鞏固知識(shí)，運(yùn)用知識(shí)突破重難點(diǎn)：

（1）判斷下列方程是否表上橢圓，若是，求出 的值 ① ；②；③；④

意圖：學(xué)生感悟橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)．

（2）橢圓上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為）

A．5

B．6 C．4

D．10

意圖：學(xué)生理解橢圓定義與標(biāo)準(zhǔn)方程關(guān)系．

（3）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A．(±5，0)

B．(0，±5)C．(0，±12)

意圖：學(xué)生感悟橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中焦點(diǎn)位置以及a，b，c的關(guān)系．

（4）化簡(jiǎn)方程：

意圖：培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．



．(±12，0)（D

第五篇：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)

作者：楊宇廷

單位：撫順市清原縣第二高級(jí)中學(xué) 學(xué)科：高中數(shù)學(xué)

地址：撫順市清原縣第二高級(jí)中學(xué) 郵政編碼：113300 手機(jī)號(hào)碼：*** 電子郵箱：qyegsxz@163.com

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

前言：

新課程改革實(shí)施以來(lái)，教學(xué)模式發(fā)生了重大的改變，由以往的“一言堂”形式向多種“開(kāi)放式”教學(xué)模式進(jìn)行轉(zhuǎn)變，在教育觀念的不斷轉(zhuǎn)變下，對(duì)于我們的一線老師也提出了更高的要求，新形勢(shì)下，要想成為一名合格的老師，就需要不斷的加強(qiáng)自己的業(yè)務(wù)能力，使自己能夠變成一名受學(xué)生尊重和喜愛(ài)的老師，從而更好的提高學(xué)生的教學(xué)成績(jī)。

基于以上原因，本人嘗試制定出橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程第一課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

一，教材分析

本節(jié)課是《全日制普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)》（選修１－１）（人民教育出版社 課程教材研究所 中學(xué)數(shù)學(xué)教材實(shí)驗(yàn)研究組編著）第二章《圓錐曲線與方程》第一節(jié)《橢圓》的第一課時(shí)。在學(xué)習(xí)本課之前，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直接和圓的相關(guān)內(nèi)容，使學(xué)生對(duì)于曲線和方程的概念有了一定的了解，同時(shí)，對(duì)于利用坐標(biāo)法來(lái)研究幾何也有了一定的認(rèn)識(shí)，對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想也有了一定的了解，從根本上來(lái)講，本節(jié)課也屬于曲線方程的一個(gè)延伸，也是利用坐標(biāo)法來(lái)研究幾何圖形的進(jìn)一步加強(qiáng)，本節(jié)課的掌握情況的好壞，將直接影響后面雙曲線和拋物線的學(xué)習(xí)。對(duì)于學(xué)好圓錐曲線也有重要的意義。

橢圓這一節(jié)課體現(xiàn)出來(lái)的一些學(xué)習(xí)方法對(duì)于后面雙曲線和拋物線的學(xué)習(xí)有一個(gè)重要的引導(dǎo)作用，但是本節(jié)課也難度較大，對(duì)于缺乏數(shù)形結(jié)合能力，不愛(ài)作圖的學(xué)生來(lái)廛，學(xué)習(xí)起來(lái)是非常困難的，尤其是我所要教授的是一群普通高中的學(xué)生，更是難上加難的。

二，學(xué)習(xí)對(duì)象分析

１.學(xué)習(xí)對(duì)象

本節(jié)課重點(diǎn)講解內(nèi)容是橢圓，經(jīng)過(guò)上一節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生有了一些求點(diǎn)的軌跡問(wèn)題的知識(shí)基礎(chǔ)和能力，但是由于我們的學(xué)生作為普通高中的一名學(xué)生，在高中招走７００名學(xué)生后，才進(jìn)入到我們學(xué)校的學(xué)生來(lái)講，他們的起點(diǎn)低，學(xué)習(xí)習(xí)慣不好，導(dǎo)致了我們的教學(xué)難度的加大，所以，從研究圓，跨越到橢圓，學(xué)生會(huì)存在一定學(xué)習(xí)上的障礙，教學(xué)過(guò)程中更要注意這方面的教學(xué)。對(duì)于學(xué)生的抽象思維，分析能力都是一個(gè)較大的考驗(yàn)。

２.知識(shí)基礎(chǔ)

上課前，要對(duì)學(xué)生對(duì)于直線和圓的方程，以及曲線和方程部分知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕仡?，將學(xué)生拉到利用坐標(biāo)法來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中來(lái)。對(duì)于當(dāng)初圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的得出過(guò)程讓學(xué)生重新整理一下思路。

3.能力基礎(chǔ)

對(duì)于學(xué)生培養(yǎng)起利用坐標(biāo)法研究幾何圖形，充分鍛煉學(xué)生的抽象能力和數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生能夠?qū)W以致用，將來(lái)更好地應(yīng)用到學(xué)習(xí)中去。對(duì)于我的學(xué)生來(lái)講，這些都是比較難做到的，在教學(xué)過(guò)程中，更應(yīng)該有足夠的耐心。

三，學(xué)習(xí)目標(biāo)

根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，以及我們學(xué)校學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況，將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為知識(shí)與技能目標(biāo)、過(guò)程與方法目標(biāo)、情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)，具體如下：

1.知識(shí)與能力目標(biāo)

（1）掌握橢圓的定義（理解橢圓、橢圓的焦點(diǎn)和橢圓的焦距的定義）及其標(biāo)準(zhǔn)方程，教會(huì)學(xué)生如何在整理過(guò)程中準(zhǔn)確，快速得到我們所要整理代數(shù)式的答案。

（2）通過(guò)對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的整理過(guò)程，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生的計(jì)算能力，增強(qiáng)學(xué)生利用坐標(biāo)系分析解決問(wèn)題的能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。

（3）能夠根據(jù)所給條件，準(zhǔn)確快速寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（包括焦點(diǎn)坐標(biāo)、焦距）

2.過(guò)程與方法目標(biāo)

（1）利用布置給學(xué)生需要帶的強(qiáng)子，兩人合作作出橢圓，使學(xué)生帶有愉悅的心情，完成橢圓的繪制過(guò)程，提高了學(xué)生的動(dòng)手能力和合作學(xué)習(xí)能力。

（2）通過(guò)兩名同學(xué)的繪制過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生將抽象轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w，歸納知識(shí)等能力的提高。讓學(xué)生通過(guò)橢圓的繪制，給出橢圓的定義，完成教學(xué)的第一個(gè)難點(diǎn)內(nèi)容。并通過(guò)些種方法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助他們重新樹(shù)立信心，完成本節(jié)課的教學(xué)。

四、學(xué)習(xí)重點(diǎn)、難點(diǎn)

根據(jù)以上的教學(xué)分析，將本節(jié)課的重點(diǎn)、難點(diǎn)確定為：

1.學(xué)習(xí)重點(diǎn)

重點(diǎn)：掌握橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程。

通過(guò)對(duì)于教材的分析及本節(jié)課的內(nèi)容，橢圓的的定義是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是將來(lái)做題的時(shí)候經(jīng)常用到的。必須在學(xué)生的做圖過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì)到一個(gè)個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離和等長(zhǎng)數(shù)（繩長(zhǎng)）這一過(guò)程，這樣才能夠加深學(xué)生對(duì)于橢圓定義的理解，更好的將它們應(yīng)用的實(shí)際問(wèn)題的解決過(guò)程中去。通過(guò)對(duì)于“定長(zhǎng)”的分析，加深學(xué)生對(duì)于橢圓定義的理解

突破重點(diǎn)的關(guān)鍵：運(yùn)用多媒體手段，制作橢圓形成過(guò)程的動(dòng)太圖，通過(guò)圖形的形成過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生給出橢圓的定義。使學(xué)生對(duì)于橢圓的認(rèn)識(shí)從感覺(jué)性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)。

2．學(xué)習(xí)難點(diǎn)

難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式及推導(dǎo)過(guò)程

通過(guò)對(duì)于教材的分析及本節(jié)課的實(shí)際內(nèi)容需要，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)議程的推導(dǎo)過(guò)程（如何建系）是本小節(jié)的難點(diǎn)所在，在推導(dǎo)過(guò)程中應(yīng)該注意：（1）如何建系，好的坐標(biāo)系的建立，可以幫助我們先解決至少一半的難點(diǎn)。

（2）焦點(diǎn)位置的選擇，（兩種狀態(tài)）

突破難點(diǎn)的關(guān)鍵：掌握建立坐標(biāo)系的方法及化簡(jiǎn)根式的方法（快速而準(zhǔn)確）恰當(dāng)?shù)恼故窘⒆鴺?biāo)系的方法，合理分配根式的化簡(jiǎn)步驟，引導(dǎo)學(xué)生一步步給出正確的整理過(guò)程，得出正確的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。在此過(guò)程中，老師必須要有足夠的耐心，給學(xué)生充足的時(shí)間，適時(shí)點(diǎn)撥，也可以讓學(xué)生進(jìn)行分組討論，共同研究出解決問(wèn)題的方法，這些都有利于我們化解難點(diǎn)、突破難點(diǎn)。

五． 學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）師生共同用繩做出橢圓，使學(xué)生相信原來(lái)他們也可以做出如此優(yōu)美的曲線，再通過(guò)課件展示橢圓的形成過(guò)程，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到科技的重要性，進(jìn)行適當(dāng)?shù)目茖W(xué)教育。

（2）進(jìn)一步加強(qiáng)師生互動(dòng)，加深學(xué)生與老師的感情培養(yǎng)，更好的利用教學(xué)相長(zhǎng)這一特點(diǎn)。

六．學(xué)習(xí)思路設(shè)計(jì)

能過(guò)對(duì)新課標(biāo)的學(xué)習(xí)，在現(xiàn)行教學(xué)手段下，結(jié)合現(xiàn)代教育技能對(duì)于本節(jié)課進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，對(duì)于學(xué)習(xí)目標(biāo)的確定，具體如下：

1.利用先進(jìn)的科學(xué)技術(shù)手段，對(duì)學(xué)生灌輸正能量，轉(zhuǎn)化為動(dòng)力，更好地投入到學(xué)習(xí)中去。

2.課件展示橢圓的形成過(guò)程，對(duì)于學(xué)生對(duì)于橢圓的理解是有很大的幫助的，也能夠更好地幫助學(xué)生理解橢圓。

3．教學(xué)方法的設(shè)計(jì)（1）教法

新課標(biāo)要求以“學(xué)生發(fā)展為核心”，老師是學(xué)生的組織都、促進(jìn)者、合作者，在教學(xué)過(guò)程中要注意以學(xué)生為主體，讓學(xué)生真正地動(dòng)起來(lái)，體現(xiàn)出學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生動(dòng)手作圖，使學(xué)生能夠真正地參與到教學(xué)中來(lái)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生現(xiàn)階段對(duì)于一切新鮮事物都有好奇心，這樣做，使他們能夠以極大的熱情參與到我們的教學(xué)過(guò)程中來(lái)，才能更好地提高他們的學(xué)習(xí)成績(jī)，更好地完成我們的教學(xué)過(guò)程。

（2）學(xué)法

在學(xué)法方面，增強(qiáng)學(xué)生的自主性、互動(dòng)性、探究性的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生以一種自主探索、合作交流的方式參與到學(xué)習(xí)過(guò)程中來(lái)，會(huì)有事半功倍的效果的。只有這樣做，才能使他們對(duì)于所學(xué)的內(nèi)容有了更深層次的認(rèn)識(shí)，只有學(xué)生積極主動(dòng)的參與到了學(xué)習(xí)過(guò)程中來(lái)，我們老師才能更好地完成我們的教學(xué)過(guò)程。

（３）本節(jié)課時(shí)：

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題。

二、實(shí)驗(yàn)探究，研究概念。

三、研究探討，推導(dǎo)程。

四、歸納概括，五、應(yīng)用舉例，變式鞏固。

六、課堂小節(jié)，布置作業(yè)。

七．課堂準(zhǔn)備 本課時(shí)，需要學(xué)生自己動(dòng)手繪制橢圓，安排學(xué)生提前準(zhǔn)備好一要細(xì)繩（不帶彈力）。

八，課時(shí)安排（1課時(shí)）

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

九、學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)

（一），創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

1，創(chuàng)設(shè)情境

課件展示行星圍繞太陽(yáng)旋轉(zhuǎn)的gif圖，引導(dǎo)學(xué)生觀察行運(yùn)行軌跡，通過(guò)學(xué)生的講述，得到我們本節(jié)課的課題：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程。

設(shè)計(jì)意圖：根本圖片上絢麗的色彩，及星空的美麗，引發(fā)學(xué)生的求知遇。也許有一天，他們也會(huì)飛向太空，通過(guò)這樣的方式，使學(xué)生明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)。

2，引入課題

課件展示利用平面去截取對(duì)頂圓錐所能到的截面的形狀，給出課題，適當(dāng)回顧前面所學(xué)過(guò)的圓的知識(shí)及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

設(shè)計(jì)意圖：再次激發(fā)出學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及求知欲。學(xué)生活動(dòng)：對(duì)老師提出的問(wèn)題，進(jìn)行思考回答。

（二）實(shí)驗(yàn)探究，形成概念

1.實(shí)驗(yàn)探究

動(dòng)手實(shí)驗(yàn)：以學(xué)生為中心，安排兩名學(xué)生黑板演示橢圓的形成過(guò)程，（老師引導(dǎo)學(xué)生完成），展示完畢后，讓下面的同學(xué)，同桌之間相互合作，完成橢圓的制作過(guò)程。并在學(xué)生實(shí)驗(yàn)過(guò)程中提出如下問(wèn)題：（1）橢圓是一些什么樣的點(diǎn)所圍成的圖形？

（2）它們滿足什么規(guī)律（什么是不變的）？

2、形成概念

老師課件展示橢圓的形成過(guò)程，（通過(guò)不斷的變化引導(dǎo)學(xué)生喜歡上橢圓），引導(dǎo)學(xué)生給出橢圓的定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。教師給出焦點(diǎn)，焦距的概念。再具體給學(xué)生分析定長(zhǎng)與兩點(diǎn)間距離的關(guān)系，加深學(xué)生對(duì)于橢圓的定義的理解與掌握。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)以上形式，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)情境，完成本節(jié)課的教學(xué)。

（三）研討探究、推導(dǎo)方程

1.研討探究

老師活動(dòng)：通過(guò)剛才的課件展示，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)于前面所學(xué)知識(shí)的回顧，并使學(xué)生嘗試推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（1）如何建立平面直角坐標(biāo)系？

（2）不同的建系方法，哪種形式看起來(lái)更為方便？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)回顧前面所學(xué)的知識(shí)，使學(xué)生能更快的理解并掌握橢圓的方程的推導(dǎo)過(guò)程。２.推導(dǎo)方程 課件展示橢圓并提問(wèn)。

師：如何將橢圓放置到平面直角坐標(biāo)系中？ 生：經(jīng)過(guò)討論給出應(yīng)該以焦點(diǎn)所有直線做為X軸，以線段中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的建系方法。

師：對(duì)于學(xué)生的回答給予肯定，夸獎(jiǎng)一下，使學(xué)生能夠樂(lè)呵呵地投入到接下來(lái)讓人頭疼的化簡(jiǎn)過(guò)程中來(lái)。

課件展示橢圓方程整理過(guò)程中的部分重點(diǎn)步驟，起到一個(gè)引導(dǎo)作用，并及時(shí)糾正學(xué)生所出現(xiàn)的錯(cuò)誤，使學(xué)生能夠順利準(zhǔn)備的完成橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的整理過(guò)程。

（四）歸納概括

師：通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，得到了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，那么我們能否轉(zhuǎn)變一下焦點(diǎn)所在的位置，換一種方法，得到焦點(diǎn)在Y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。讓學(xué)生分組討論，整理出另一種橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。課件展示橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程。

（五）應(yīng)用舉例，變式鞏固

課件展示例題：

例１.根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（１）兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分另是（－３，０），（３，０）。橢圓上一點(diǎn)Ｐ與兩焦點(diǎn)的距離和等于８；

（２）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（０，－４），（０，４），并且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,?5）。

引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立完成這兩道例題，老師適當(dāng)給予充分和肯定?；脽粽故窘忸}的過(guò)程。

變式１.根據(jù)下列條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（１）a=5,b=4,焦點(diǎn)在x軸上；（２）焦點(diǎn)坐標(biāo)為（－５.０），（５，０），橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和是２６；（３）a=5,c=17,焦點(diǎn)在y軸上。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)以上例題的講解與傳授，變式訓(xùn)練的強(qiáng)化訓(xùn)練，加深學(xué)生對(duì)于橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的理解與掌握。更好的能夠理解橢圓，并應(yīng)該相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。

例２.示下列方程表示的橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)；

x2y2??1；（１）（２）8x2?3y2?24。3624設(shè)計(jì)意圖：加深同學(xué)對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的理解與掌握，通過(guò)具體實(shí)例解決實(shí)際的應(yīng)用問(wèn)題，達(dá)到事半功倍的效果。

變式２：求下列方程表示的橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)；

x2y24x29y22222??1,(2)2x?4y?1,(3)25x?16y?144,(4)??1（１）28122525設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步加強(qiáng)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的理解與掌握。

（六）課堂小結(jié)，布置作業(yè) １，課堂小結(jié)

（１）橢圓是一種優(yōu)美的曲線，通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)到幾何圖形的美感。（２）掌握橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程。熟練掌握曲線方程的整理過(guò)程。設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)于橢圓及其相關(guān)的內(nèi)容的理解與掌握。２，布置作業(yè)

教材P43習(xí)題２－１Ａ第１題

設(shè)計(jì)意圖：加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于橢圓的理解與掌握