第一篇：學(xué)案15函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性習(xí)題課作業(yè)

學(xué)案15函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性習(xí)題課作業(yè)

班級__________姓名__________學(xué)號___________成績_________ A組（基礎(chǔ)題

必做）

1、如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)且最小值為5,那么f(x)在[-7,-3]上是（）

A．增函數(shù)且最小值為-5

B．增函數(shù)且最大值為-5 C．減函數(shù)且最小值為-5

D．減函數(shù)且最大值為-5 2．若f(x)是偶函數(shù),其定義域為R,且在[0,+∞）上是減函數(shù),則f(-3/4)與f(a2-a+1)的大小關(guān)系是______________________.?x?1?x?,3.判定函數(shù)的奇偶性 f?x?????x1?x.?

B組(提高題

有能力的完成)1．已知函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)(x∈R), 在x<0時,y是增函數(shù),對x1<0, x2>0,有|x1|<|x2|,則（）。

A．f(－x1)>f(－x2)

B．f(－x1)

C．f(－x1)＝f(－x2)

D．以上都不對

2、設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù),且當(dāng)x?[0,??)時f(x)=x(1?x), 求f(x)的解析式

C 組

高考題嘗試

6、(2006年山東理6)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),則f(6)的值為（）

A.-1 B.0 C.1 D.2

第二篇：學(xué)案15函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性習(xí)題課

滕州一中東校高一數(shù)學(xué)學(xué)案 滕州一中東校高一數(shù)學(xué)學(xué)案 制作人：韓霞

制作時間：2007-9-16

二、課堂聽評：你能掌握要領(lǐng),提高能力嗎？ 例

1、函數(shù)奇偶性的判定

（1）f(x)= | x+2 |-| x-2 |

?2?f(x)?4?x2?x2?4

例

2、已知函數(shù)y=f(x)在R上是奇函數(shù)，而且在?0，???是增函數(shù)。證明y=f(x)在???，0?上也是增函數(shù)。

例

3、若y=f(x)是奇函數(shù),定義域為R,當(dāng)x>0時,f(x)=x2＋2x, 求f(x)的表達(dá)式

世界上最偉大的事業(yè)，都是一點一滴完成的 滕州一中東校高一數(shù)學(xué)學(xué)案 滕州一中東校高一數(shù)學(xué)學(xué)案 制作人：韓霞

制作時間：2007-9-16

5．已知f(x)?ax2?bx?3a?b是偶函數(shù),且其定義域為[a?1,2a],則a?__ ,b?____.6、已知函數(shù)y=f(x)在定義域[-1，1]上是奇函數(shù)，又是減函數(shù)。若f(1?a)?f(1?a2)?0,求實數(shù)a的取值范圍。

四、學(xué)后反思：

五、課下練習(xí)：走出教材,遷移發(fā)散,你的能力提高了嗎？

1.已知y?f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x?0時，f(x)?x2?2x,則在R上f(x)的表達(dá)式為（）A.?x(x?2)B.x(x?2)C.x(x?2)D.x(x?2)

2、函數(shù)f(x)=(a－1)x2＋2ax＋3為偶函數(shù)，那么f(x)在(－5, －2)上是（）

A．增函數(shù)

B．減函數(shù)

C．先減后增

D．先增后減

3、若函數(shù)f(x)為定義在區(qū)間[－6, 6]上的偶函數(shù)，且f(3)>f(1)，則下列各式一定成立的是（）

A．f(－1)

B．f(0)

C．f(3)>f(2)

D．f(2)>f(3)

4、f(x)是定義在???,0??(0,??)上的奇函數(shù)，且在???,0?上是增函數(shù)，若f(-3)=0,則不等式x?0的解集是（）f(x)A.(?3,0)?(0,3)B.(??,?3)?(0,3)C.(?3,0)?(3,??)D.(??,?3)?(3,??).5.已知函數(shù)f?x?對一切x,y,都有f?x?y??f?x??f?y?.?1?求證f?x?是奇函數(shù)?2?若f??3??a,試用a來表示f?12?

課下練習(xí)答案：BAAA 5.證明：令y=-x,則f(x-x)=f(x)+f(-x)所以f(-x)=-f(x)所以f(x)是奇函數(shù)f(12)=-4a 世界上最偉大的事業(yè)，都是一點一滴完成的

第三篇：單調(diào)性奇偶性教案

函數(shù)性質(zhì)

一、單調(diào)性

1.定義：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I:如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2，當(dāng)x1?x2時，若都有f(x1)?f(x2)，那么就說函數(shù)在．．區(qū)間D上單調(diào)遞增，若都有f(x1)?f(x2)，那么就說函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞減。例1.證明f?x??x?1在?1,???上單調(diào)遞增 x

總結(jié)：

1）用定義證明單調(diào)性的步驟：取值----作差----變形-----定號-----判斷 2）增+增=增

減+減=減

-增=減

1/增=減 3）一次函數(shù)y?kx?b的單調(diào)性 例1.判斷函數(shù)y??2.復(fù)合函數(shù)分析法

設(shè)y?f(u)，u?g(x)x?[a,b]，u?[m,n]都是單調(diào)函數(shù)，則y?f[g(x)]在[a,b]上也是單調(diào)函數(shù)，其單調(diào)性由“同增異減”來確定，即“里外”函數(shù)增減

1的增減性 x?1性相同，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)，“里外”函數(shù)的增減性相反，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)。如下表：

u?g(x)

y?f(u)

y?f[g(x)]

增 增 減 減 增 減 增 減 增 減 減 增

例1.判斷函數(shù)y?log2(x?1)在定義域內(nèi)的單調(diào)性

一、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 1.比較大小

例1.若f(x)在R上單調(diào)遞增，且f?2a?1??f(a?3)，求a的取值范圍

3例2.已知函數(shù)f(x)在?0,???上是減函數(shù)，試比較f()與f(a2?a?1)的大小

42.利用單調(diào)性求最值

1例1.求函數(shù)y?x?1?的最小值

x

x2?2x?a1例2.已知函數(shù)f(x)?,x??1,???.當(dāng)a?時，求函數(shù)f(x)的最小值

x2

1?1?例3.若函數(shù)f(x)的值域為?,3?，求函數(shù)g(x)?f(x)?的值域

2f(x)??

練習(xí)：1）求函數(shù)y?x2?1?x在?0,???的最大值

1?1?2）若函數(shù)f(x)的值域為?,3?，求函數(shù)g(x)?f(x)?的值域

2f(x)??

3.求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 1)求定義域

2)判斷增減區(qū)間 3)求交集

12例1.求函數(shù)y??x?2x?3的單調(diào)區(qū)間

2練習(xí)：求函數(shù)y??x2?2x?8的單調(diào)增區(qū)間

4.求參數(shù)取值范圍

例1.函數(shù)f(x)?x2?2ax?3在區(qū)間?1,2?上單調(diào)，求a的取值范圍

二、奇偶性

1.判斷奇偶性的前提條件：定義域關(guān)于原點對稱 例1.奇函數(shù)f(x)定義域是(t,2t?3)，則t?

.2.奇函數(shù)的定義：對于函數(shù)f(x)，其定義域D關(guān)于原點對稱，如果?x?D,恒有f(?x)??f(x)，那么函數(shù)f(x)為奇函數(shù)。

3.奇函數(shù)的性質(zhì)： 1）圖像關(guān)于原點對稱 2）在圓點左右單調(diào)性相同

3）若0在定義域內(nèi)，則必有f(0)?0

1奇函數(shù)的例子：y?x,y?x3,y?x?,y?sinx

x4.偶函數(shù)的定義：對于函數(shù)f(x)，其定義域D關(guān)于原點對稱，如果?x?D,恒有f(?x)?f(x)，那么函數(shù)f(x)為偶函數(shù)。

5.偶函數(shù)的性質(zhì)： 1）圖像關(guān)于y軸對稱 2）在圓點左右單調(diào)性相反

偶函數(shù)的例子：y?x2,y?x,y?cosx

6.結(jié)論：奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇?奇=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇

四、常見題型： 1.函數(shù)奇偶性的判定

4?x2例1.判斷函數(shù)f(x)?的奇偶性

x?2?2

例2.判斷f(x)?(x?2)

2?x的奇偶性 2?x2.奇偶性的應(yīng)用

例1.已知f(x)?x5?ax3?bx?8,f(?2)?10,則f(2)?_______

例2.已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x?0時，f(x)?x(x?2),求x?0時，f(x)的解析式

例3.設(shè)f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)?g(x)?

3.函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用

例1.設(shè)偶函數(shù)f(x)在[0,??)為減函數(shù)，則不等式f(x)?f(2x?1)的解集是。

例2.已知函數(shù)f(x)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，若f(x)在區(qū)間??5,5?上是奇函數(shù)，在區(qū)間?0,5?上是單調(diào)函數(shù)，切f(3)?f(1)，則（）

A.f(?1)?f(?3)B.f(0)?f(?1)C.f(?1)?f(1)D.f(?3)?f(?5)，例3.函數(shù)f(x)?ax?b12???1,1是定義在上的奇函數(shù)，且 f()?2251?x1，求f(x),g(x)x?11）求f(x)的解析式

2）判斷函數(shù)f(x)在??1,1?上的單調(diào)性 3）解不等式f(t?1)?f(t)?0

第四篇：函數(shù)單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性概念教學(xué)的三個關(guān)鍵點 ──兼談《函數(shù)單調(diào)性》的教學(xué)設(shè)計

北京教育學(xué)院宣武分院 彭 林

函數(shù)單調(diào)性是學(xué)生進(jìn)入高中后較早接觸到的一個完全形式化的抽象定義，對于仍然處于經(jīng)驗型邏輯思維發(fā)展階段的高一學(xué)生來講，有較大的學(xué)習(xí)難度。一直以來，這節(jié)課也都是老師教學(xué)的難點。最近，在我區(qū)“青年教師評優(yōu)課”上，聽了多名教師對這節(jié)課不同風(fēng)格的課堂教學(xué)，通過對他們教學(xué)案例的研究和思考，筆者認(rèn)為，在函數(shù)單調(diào)性概念的教學(xué)中，關(guān)鍵是把握住如下三個關(guān)鍵點。

關(guān)鍵點1。學(xué)生 學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)知基礎(chǔ)是什么？

在這個內(nèi)容之前，已經(jīng)教學(xué)過一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等簡單函數(shù)，函數(shù)的變量定義和映射定義，以及函數(shù)的表示。對函數(shù)是一個刻畫某些運動變化數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)概念，也已經(jīng)形成初步認(rèn)識。接踵而來的任務(wù)是對函數(shù)應(yīng)該繼續(xù)研究什么。在數(shù)學(xué)研究中，建立一個數(shù)學(xué)概念的意義就是揭示它的本質(zhì)特征，即共同屬性或不變屬性。對各種函數(shù)模型而言，就是研究它們所描述的運動關(guān)系的變化規(guī)律，也就是這些運動關(guān)系在變化之中的共同屬性或不變屬性，即“變中不變”的性質(zhì)。按照這種科學(xué)研究的思維方式，使得當(dāng)前來討論函數(shù)的一些性質(zhì)，就成為順理成章的、必要的和有意義的數(shù)學(xué)活動。至于在多種函數(shù)性質(zhì)中，選擇這個時機來討論函數(shù)的單調(diào)性而不是其他性質(zhì)，是因為函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生從已經(jīng)學(xué)習(xí)的函數(shù)中比較容易發(fā)現(xiàn)的一個性質(zhì)。

就中小學(xué)生與單調(diào)性相關(guān)的經(jīng)歷而言，學(xué)生認(rèn)識函數(shù)單調(diào)性可以分為四個階段： 第一階段，經(jīng)驗感知階段（小學(xué)階段），知道一個量隨另一個量的變化而變化的具體情境，如“隨著年齡的增長，我的個子越來越高”，“我認(rèn)識的字越多，我的知識就越多”等。

第二階段，形象描述階段（初中階段），能用抽象的語言描述一個量隨另一個量變化的趨勢，如“y隨著x的增大而減少”。

第三階段，抽象概括階段（高中必修1），能進(jìn)行脫離具體和直觀對象的抽象化、符號化的概括，并通過具體函數(shù)，初步體會單調(diào)性在研究函數(shù)變化中的作用。

第四階段，認(rèn)識提升階段（高中選修系列1、2），要求學(xué)生能初步認(rèn)識導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的聯(lián)系。

基于上述認(rèn)識，函數(shù)單調(diào)性教學(xué)的引入應(yīng)該從學(xué)生的已有認(rèn)知出發(fā)，建立在學(xué)生初中已學(xué)的一次函數(shù)、二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的基礎(chǔ)上，即從學(xué)生熟悉的常見函數(shù)的圖象出發(fā)，直觀感知函數(shù)的單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性定義的第一次認(rèn)識.。

讓學(xué)生分別作出函數(shù)數(shù)值有什么變化規(guī)律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函在學(xué)生畫圖的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象，獲得信息：第一個圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小.然后讓學(xué)生明確，對于自變量變化時，函數(shù)值具有這兩種變化規(guī)律的函數(shù)，我們分別稱為增函數(shù)和減函數(shù).第三個函數(shù)圖象的上升與下降要分段說明，通過討論使學(xué)生明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的．

在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言描述增函數(shù)的定義： 如果函數(shù)在某個區(qū)間上的圖象從左向右逐漸上升，或者如果函數(shù)

在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)．

關(guān)鍵點2。為什么要用數(shù)學(xué)的符號語言定義函數(shù)的單調(diào)性概念？

對于函數(shù)單調(diào)性概念的教學(xué)而言，有一個很重要的問題，即為什么要進(jìn)一步形式化。學(xué)生在初中已經(jīng)接觸過一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，對函數(shù)的增減性已有初步的認(rèn)識：隨x增大y增大是增函數(shù)，隨x增大y 減小是減函數(shù)。這個觀念對他們而言是易于接受的，很形象，他們會覺得這樣的定義很好，為什么還要費神去進(jìn)行符號化呢？如果教師能通過教學(xué)設(shè)計，讓學(xué)生感受到進(jìn)一步符號化、形式化的必要性，造成認(rèn)知沖突，則學(xué)生研究的興趣就會大大提高，主動性也會更強。其實，數(shù)學(xué)概念就是一系列常識不斷精微化的結(jié)果，之所以要進(jìn)一步形式化，完全是數(shù)學(xué)精確性、嚴(yán)密性的要求，因為只有達(dá)到這種符號化、形式化的程度，才可以進(jìn)行準(zhǔn)確的計算，進(jìn)行推理論證。

所以，在教學(xué)中提出類似如下的問題是非常必要的：

右圖是函數(shù)函數(shù)嗎？ 的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)和減

對于這個問題，學(xué)生的困難是難以確定分界點的確切位置．通過討論，使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究,使學(xué)生體會到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性，從而將函數(shù)的單調(diào)性研究從研究函數(shù)圖象過渡到研究函數(shù)的解析式.關(guān)鍵點3：如何用形式化的語言定義函數(shù)的單調(diào)性？

從數(shù)學(xué)學(xué)科這個整體來看，數(shù)學(xué)的高度抽象性造成了數(shù)學(xué)的難懂、難教、難學(xué)，解決這一問題的基本途徑是順應(yīng)學(xué)習(xí)者的認(rèn)知規(guī)律：在需要和可能的情況下，盡量做到從直觀入手，從具體開始，逐步抽象，即數(shù)學(xué)的思考方式。恰當(dāng)運用圖形語言、自然語言和符號化的形式語言，并進(jìn)行三者之間必要的轉(zhuǎn)化，可以說，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本思考方式。而函數(shù)單調(diào)性這一內(nèi)容正是體現(xiàn)數(shù)學(xué)基本思考方式的一個良好載體，教學(xué)中應(yīng)該充分關(guān)注到這一點。長此以往，便可使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的同時，學(xué)到比知識更重要的東西—學(xué)會如何思考？如何進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考？

一般說，對函數(shù)單調(diào)性的建構(gòu)有兩個重要過程，一是建構(gòu)函數(shù)單調(diào)性的意義，二是通過思維構(gòu)造把這個意義用數(shù)學(xué)的形式化語言加以描述。對函數(shù)單調(diào)性的意義，學(xué)生通過對若干函數(shù)圖象的觀察并不難認(rèn)識，因此，前一過程的建構(gòu)學(xué)習(xí)相對比較容易進(jìn)行。后一過程的進(jìn)行則有相當(dāng)?shù)碾y度，其難就難在用數(shù)學(xué)的符合語言來描述函數(shù)單調(diào)性的定義時，如何才能最大限度地通過學(xué)生自己的思維活動來完成。這其中有兩個難點：

（1）“x增大”如何用符號表示；同樣，“f(x)增大”如何用符號表示。（2）“‘隨著’x增大，函數(shù)f(x)‘也’增大”，如何用符號表示。

用數(shù)學(xué)符號描述這兩種數(shù)學(xué)意義的最大要害之處，在于要用數(shù)學(xué)的符號來描述動態(tài)的數(shù)學(xué)對象。

在初中數(shù)學(xué)中，除了學(xué)習(xí)函數(shù)的初級概念，用y=f(x)表示函數(shù)y隨著自變量x的變化而變化時，接觸到一點動態(tài)數(shù)學(xué)對象的數(shù)學(xué)符號表示以外，絕大多數(shù)都是用數(shù)學(xué)符號表示靜態(tài)的數(shù)學(xué)對象。因此，從用靜態(tài)的數(shù)學(xué)符號描述靜態(tài)的數(shù)學(xué)對象，到用靜態(tài)的符號語言刻畫動態(tài)數(shù)學(xué)對象，在思維能力層次上存在重大差異，對剛剛由初中進(jìn)入高中學(xué)習(xí)的學(xué)生而言，無疑是一個很大的挑戰(zhàn)！

因此，在教學(xué)中可以提出如下問題2： 如何從解析式的角度說明

在上為增函數(shù)？

這個問題是形成函數(shù)單調(diào)性概念的關(guān)鍵。在教學(xué)中，教師可以組織學(xué)生先分組探究，然后全班交流，相互補充，并及時對學(xué)生的發(fā)言進(jìn)行反饋、評價，對普遍出現(xiàn)的問題組織學(xué)生討論，在辨析中達(dá)成共識.對于問題2，學(xué)生錯誤的回答主要有兩種：

①在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)，例如1和2，因為函數(shù)． ,所以

在上為增②可以用0，1，2，3，4，5驗證： 在所以函數(shù)上是增函數(shù)。

對于這兩種錯誤，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步展開思考。例如，指出回答②試圖用自然數(shù)列來驗證結(jié)論，而且引入了不等式表示不等關(guān)系，但是，只是對有限幾個自然數(shù)驗證不行，只有當(dāng)所有的比較結(jié)果都是一樣的：自變量大時，函數(shù)值也大，才可以證明它是增函數(shù)，那么怎么辦？如果有的學(xué)生提出：引入非負(fù)實數(shù)a，只要證明

就可以了，這就把驗證的范圍由有限擴大到了無限。教師應(yīng)適時指出這種驗證也有局限性，然后再讓學(xué)生思考怎樣做才能實現(xiàn)“任意性”就有堅實的基礎(chǔ)了。也就是，從給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量,然后求差比較函數(shù)值的大小，從而得到正確的回答: 任意取在,有為增函數(shù)． ,即，所以這種回答既揭示了單調(diào)性的本質(zhì)，也讓學(xué)生領(lǐng)悟到兩點：(1)兩自變量的取值具有任意性；(2)求差比較它們函數(shù)值的大小。至此，學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性有了理性的認(rèn)識.在前面研究的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生歸納、抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義，使學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般，從具體到抽象的認(rèn)知過程。

教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)符號語言歸納、抽象增函數(shù)的定義，并讓學(xué)生類比得到減函數(shù)的定義.然后指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真閱讀教材中有關(guān)單調(diào)性的概念,對定義中關(guān)鍵的地方進(jìn)行強調(diào).同時設(shè)計了一組判斷題：

判斷題：

①②若函數(shù)③若函數(shù)滿足f(2)

和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)在(1,3)上為增函數(shù)．④因為函數(shù)減函數(shù).在上都是減函數(shù)，所以在上是通過對判斷題的討論，強調(diào)三點：

①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性． ②有的函數(shù)在整個定義域內(nèi)單調(diào)(如一次函數(shù))，有的函數(shù)只在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào)(如二次函數(shù))，有的函數(shù)根本沒有單調(diào)區(qū)間(如常函數(shù))．

③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)．

從而加深學(xué)生對定義的理解

北京4中常規(guī)備課

【教學(xué)目標(biāo)】

1．使學(xué)生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法．

2．通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究，滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達(dá)能力；通過對函數(shù)單調(diào)性的證明，提高學(xué)生的推理論證能力．

3．通過知識的探究過程培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認(rèn)知過程．

【教學(xué)重點】 函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明．

【教學(xué)難點】 歸納抽象函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性． 【教學(xué)方法】 教師啟發(fā)講授，學(xué)生探究學(xué)習(xí)． 【教學(xué)手段】 計算機、投影儀． 【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題 課前布置任務(wù)：

(1)由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當(dāng)天氣溫變化情況.課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內(nèi)氣溫隨時間變化的曲線圖.引導(dǎo)學(xué)生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學(xué)生思考． 問題：觀察圖形，能得到什么信息？

預(yù)案：(1)當(dāng)天的最高溫度、最低溫度以及何時達(dá)到；(2)在某時刻的溫度；

(3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.在生活中，我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，對我們的生活是很有幫助的．

問題：還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎？ 預(yù)案：水位高低、燃油價格、股票價格等．

歸納：用函數(shù)觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變小． 〖設(shè)計意圖〗由生活情境引入新課，激發(fā)興趣．

二、歸納探索，形成概念

對于自變量變化時，函數(shù)值是變大還是變小，初中同學(xué)們就有了一定的認(rèn)識，但是沒有嚴(yán)格的定義，今天我們的任務(wù)首先就是建立函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義.1．借助圖象，直觀感知

問題1：

分別作出函數(shù)數(shù)值有什么變化規(guī)律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函

預(yù)案：(1)函數(shù)

在整個定義域內(nèi) y隨x的增大而增大；函數(shù)

在整個定義域內(nèi) y隨x的增大而減?。?/p>

(2)函數(shù)在上 y隨x的增大而增大，在上y隨x的增大而減?。?/p>

(3)函數(shù) 在上 y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減?。?/p>

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類描述(增函數(shù)、減函數(shù))．同時明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)．

問題2：能不能根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)? 預(yù)案：如果函數(shù)

在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)

在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們在該區(qū)間上為增函數(shù)；如果函數(shù)說函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù)．

教師指出：這種認(rèn)識是從圖象的角度得到的，是對函數(shù)單調(diào)性的直觀，描述性的認(rèn)識． 【設(shè)計意圖】從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性的第一次認(rèn)識． 2．探究規(guī)律，理性認(rèn)識

問題1：下圖是函數(shù)和減函數(shù)嗎？ 的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)

學(xué)生的困難是難以確定分界點的確切位置．

通過討論，使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究．

〖設(shè)計意圖〗使學(xué)生體會到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性． 問題2：如何從解析式的角度說明

在為增函數(shù)？

22預(yù)案：(1)在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)，例如1和2，因為1<2,所以為增函數(shù)．

(2)仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以(3)任取，所以

在,因為

為增函數(shù)．

在為增函數(shù)．

在,即對于學(xué)生錯誤的回答，引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語言和文字語言進(jìn)行辨析,使學(xué)生認(rèn)識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量．

【設(shè)計意圖】把對單調(diào)性的認(rèn)識由感性上升到理性認(rèn)識的高度,完成對概念的第二次認(rèn)識．事實上也給出了證明單調(diào)性的方法，為證明單調(diào)性做好鋪墊.3．抽象思維，形成概念

問題：你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言表述出增函數(shù)的定義嗎?

師生共同探究，得出增函數(shù)嚴(yán)格的定義，然后學(xué)生類比得出減函數(shù)的定義．(1)板書定義(2)鞏固概念 判斷題：

①．

②若函數(shù)

③若函數(shù) 在區(qū)間

和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)

在區(qū)間(1,3)上為增函

．

④因為函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).上都是減函數(shù)，所以在

通過判斷題，強調(diào)三點：

①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性． ②對于某個具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以是整個定義域(如一次函數(shù))，可以是定義域內(nèi)某個區(qū)間(如二次函數(shù))，也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù))．

③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)．

思考：如何說明一個函數(shù)在某個區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)? 【設(shè)計意圖】讓學(xué)生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學(xué)生對定義的理解，完成對概念的第三次認(rèn)識.三、掌握證法，適當(dāng)延展

例 證明函數(shù)

在上是增函數(shù)．

1．分析解決問題

針對學(xué)生可能出現(xiàn)的問題，組織學(xué)生討論、交流．

證明：任取 ，設(shè)元

求差

變形，斷號

∴

∴

即

∴函數(shù)

2．歸納解題步驟

在上是增函數(shù)．

定論

引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論．

練習(xí)：證明函數(shù)

問題：要證明函數(shù)

在區(qū)間

上是增函數(shù)，除了用定義來證，如果可以證得對

在上是增函數(shù)．

任意的，且有可以嗎? 引導(dǎo)學(xué)生分析這種敘述與定義的等價性．讓學(xué)生嘗試用這種等價形式證明函數(shù)在

〖設(shè)計意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．等價形式進(jìn)一步發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法，為用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆．

四、歸納小結(jié)，提高認(rèn)識

學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會、收獲，交流學(xué)習(xí)過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結(jié)．

1．小結(jié)

(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論．(3)數(shù)學(xué)思想方法和思維方法：數(shù)形結(jié)合，等價轉(zhuǎn)化，類比等． 2．作業(yè)

書面作業(yè)：課本第60頁習(xí)題2.3 第4，5，6題． 課后探究：(1)證明：函數(shù)

在區(qū)間

上是增函數(shù)的充要條件是對任意的上是增函數(shù)．，且

有．

(2)研究函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合描點法畫出函數(shù)的草圖．

《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計說明

一、教學(xué)內(nèi)容的分析

函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在了解函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的函數(shù)的第一個性質(zhì)，是函數(shù)學(xué)習(xí)中第一個用數(shù)學(xué)符號語言刻畫的概念，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)其它性質(zhì)提供了方法依據(jù)． 對于函數(shù)單調(diào)性，學(xué)生的認(rèn)知困難主要在兩個方面：（1）要求用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數(shù)的翻譯，從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對高一的學(xué)生是比較困難的；（2）單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學(xué)生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據(jù)以上的分析和教學(xué)大綱的要求，確定了本節(jié)課的重點和難點．

二、教學(xué)目標(biāo)的確定

根據(jù)本課教材的特點、教學(xué)大綱對本節(jié)課的教學(xué)要求以及學(xué)生的認(rèn)知水平，從三個不同的方面確定了教學(xué)目標(biāo)，重視單調(diào)性概念的形成過程和對概念本質(zhì)的認(rèn)識；強調(diào)判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法的落實以及數(shù)形結(jié)合思想的滲透；突出語言表達(dá)能力、推理論證能力的培養(yǎng)和良好思維習(xí)慣的養(yǎng)成．

三、教學(xué)過程的設(shè)計

為達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突出重點，突破難點，教學(xué)上采取了以下的措施：（1）在探索概念階段, 讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認(rèn)知過程，完成對單調(diào)性定義的三次認(rèn)識,使得學(xué)生對概念的認(rèn)識不斷深入．

（2）在應(yīng)用概念階段,通過對證明過程的分析，幫助學(xué)生掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．

（3）考慮到我校學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好、思維較為活躍的特點，對判斷方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)难诱梗由顚Χx的理解，同時也為用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性埋下伏筆．

第五篇：7函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的奇偶性反函數(shù) 教案

函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，反函數(shù)

[本周教學(xué)重點] 掌握函數(shù)單調(diào)性的定義，會用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性及其步驟。

(1)設(shè)x1，x2是定義域上的任意兩個值，且x1

(2)作差f(x1)-f(x2)并將其變形為可判斷符號的形式；

(3)判斷f(x1)-f(x2)的正、負(fù)；

(4)結(jié)論

理解函數(shù)奇偶性的定義及奇、偶函數(shù)定理，能判斷、證明一些簡單函數(shù)的奇偶性，會利用函數(shù)奇偶性求解有關(guān)函數(shù)問題。

(1)函數(shù)的定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱，是函數(shù)具有奇偶性的必要條件。

(2)f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0f(x)是奇函數(shù)。

f(x)=f(-x)f(-x)-f(x)=0f(x)是偶函數(shù)。

由f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是側(cè)重于函數(shù)解析式的變形去證明f(x)的奇偶性；而f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0是通過運算去證明f(x)的奇偶性，兩種定義形式各具不同優(yōu)勢。

(3)若f(x)是奇函數(shù)且允許x=0，則f(0)=0，即f(x)的圖象過原點。

(4)若f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，則f(x)=0。

(5)同為奇函數(shù)，同為偶函數(shù)的兩個函數(shù)之積是偶函數(shù)；一奇一偶兩個函數(shù)之積是奇函數(shù)。

(6)定義在R上的任意一個函數(shù)f(x)都可表示為一個奇函數(shù)g(x)與一個偶函數(shù)h(x)的和。

即f(x)=g(x)+h(x)，其中g(shù)(x)=[f(x)-f(-x)]，h(x)=

[f(x)+f(-x)]。

理解反函數(shù)的概念，掌握求反函數(shù)的方法步驟。

(1)由原函數(shù)y=f(x)求出它的值域；

(2)由原函數(shù)y=f(x)反解出x=f-

1(y)；

(3)交換x，y改寫成y=f-1(x)；

(4)用f(x)的值域確定f-1(x)的定義域。

[例題分析]

例1．證明函數(shù)f(x)=

在定義域上的單調(diào)性。

[分析與解答] 函數(shù)的單調(diào)性必須在定義域內(nèi)進(jìn)行考查。由x2+x≥0得f(x)定義域為(-∞，-1][0，+∞)。

函數(shù)定義域不是一個連續(xù)的區(qū)間，應(yīng)分別考查在每一個區(qū)間上的單調(diào)性，用定義法證明時，只需任取x1

任取x1

==

當(dāng)-∞0。

∴ f(x1)-f(x2)>0，∴ f(x)是(-∞，-1]上的單調(diào)遞減函數(shù)。

當(dāng)0≤x10。

>0。

∴ f(x1)-f(x2)<0，∴ f(x)是[0，+∞)上的單調(diào)遞增函數(shù)。

例2．函數(shù)f(x)是[0，+∞)上的單調(diào)遞減函數(shù)，f(x)≠0且f(2)=1，證明函數(shù)F(x)=f(x)+在[0，2]上的單調(diào)性。

[分析與解答]函數(shù)f(x)沒有給出解析式，因此對F(x)的函數(shù)值作差后，需由f(x)的單調(diào)性，確定作差后的符號。任取0≤x1

由F(x1)-F(x2)=f(x1)+-f(x2)-=f(x1)-f(x2)+

=[f(x1)-f(x2)]·[1-]

∵ 0≤x1f(x2)≥f(2)=1。

∴ f(x1)-f(x2)>0，f(x1)·f(x2)>1，<1，1->0，∴ F(x1)-F(x2)>0，F(xiàn)(x)是[0，2]上的單調(diào)遞減函數(shù)。

例3．證明函數(shù)f(x)=的奇偶性。

[分析與解答] 函數(shù)的奇偶性必須在其定義域內(nèi)考查。

由 函數(shù)f(x)定義域為[-1，0)(0，1]。

∴ |x+3|-3=x+3-3=x。即f(x)=，由f(-x)=

=-f(x)，∴ f(x)是奇函數(shù)。

例4．設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，對任意x1，x2∈R，恒有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，且f(x)不恒為0，證明

f(x)的奇偶性。

[分析與解答] 函數(shù)f(x)沒有給出解析式，這就必須從定義域，法則，及f(x)不恒為0去分析，完成奇偶性的證明。由f(x)定義域為R，顯然允許x=0，所以f(0)=0是f(x)的奇函數(shù)的必要條件。

令x1=x2=0，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)得f(0+0)=f(0)+f(0)，整理得f(0)=0，對任意x∈R，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)知f(-x)+f(x)=f(-x+x)=f(0)=0，∴ f(-x)=-f(x)，∵ f(x)不恒為0，∴f(x)不可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，所以f(x)是R上的奇函數(shù)。

例5．已知函數(shù)f(x)=(a，b，c∈Z)是奇函數(shù)，且f(1)=2，f(2)<3。

(1)求a，b，c的值；(2)用定義法證明f(x)在(0，1)上的單調(diào)性。

[分析與解答](1)∵ f(x)是奇函數(shù)，∴f(-x)=-f(x)，即

=-，解出c=0，∴ f(x)=，∵ f(1)=2，∴ =2，∴ 2b=a+1。

∵ f(2)＜3，∴<3。將2b=a+1代入，∴ <3，解出-1

(2)f(x)==x+。任取0

f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=(x1-x2)(1-)

∵ 01，1-<0，∴ f(x1)-f(x2)>0，f(x)是(0，1)上的單調(diào)遞減函數(shù)。

例6．證明函數(shù)f(x)=

(x≠)的圖象關(guān)于直線y=x對稱。

[分析與解答] 由反函數(shù)定理可知，當(dāng)兩個函數(shù)互為反函數(shù)時，它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱，所以要證明 f(x)=(x≠)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，只需證明f(x)的反函數(shù)是其自身即可。

∴ f(x)的值域為{y|y≠，y∈R}。

由y=，∴ ayx-y=x-1，(ay-1)x=y-1。

∵ y≠，∴ ay-1≠0，x=，即f-1(x)=

(x≠)，顯然f(x)與f-1(x)是同一函數(shù)，所求f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱。

[參考練習(xí)]

1．設(shè)f(x)是定義在R上的任意一個增函數(shù)，F(xiàn)(x)=f(x)-f(-x)必是（）。

A、增函數(shù)且是奇函數(shù)

B、增函數(shù)且是偶函數(shù)

C、減函數(shù)且是奇函數(shù)

D、減函數(shù)且是偶函數(shù)

2．已知y=f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)=x2-2x，則f(x)在R上的表達(dá)式是（）。

A、y=x(x-2)B、y=x(|x|-1)C、y=|x|·(x-2)D、y=x(|x|-2)

3．若點(1，2)在函數(shù)y=的圖象上，又在它的反函數(shù)的圖象上，則（）。

A、a=3，b=-7 B、a=3，b=7 C、a=-3，b=-7 D、a=-3，b=7

4．函數(shù)f(x)是定義在[-6，6]上的偶函數(shù)，且在[-6，0]上是減函數(shù)，則（）。

A、f(3)+f(4)>0 B、f(-3)-f(2)<0 C、f(-2)+f(-5)<0 D、f(4)-f(-1)>0

5．設(shè)f(x)是定義在(-1，1)上的奇函數(shù)且是單調(diào)減函數(shù)，求解關(guān)于x的不等式f(1-x)+f(1-x2)<0的解集。

[參考答案]：

1.A 2.D 3.D 4.D

5.由f(1-x)+f(1-x2)<0，∴ f(1-x)<-f(1-x2)，∵ f(x)是(-1，1)上的奇函數(shù)，∴ f(1-x)

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