第一篇：函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性教案!(學(xué)生版)

函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性

一、目標(biāo)認(rèn)知 學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.理解函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性定義；

2.會(huì)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性； 3.會(huì)利用圖象和定義判斷函數(shù)的奇偶性；

4.掌握利用函數(shù)性質(zhì)在解決有關(guān)綜合問(wèn)題方面的應(yīng)用.重點(diǎn)、難點(diǎn)：

1.對(duì)于函數(shù)單調(diào)性的理解；

2.函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.二、知識(shí)要點(diǎn)梳理 1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)增函數(shù)、減函數(shù)的概念

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳，區(qū)間

如果對(duì)于M內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間M上是增函數(shù)；

如果對(duì)于M內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間M上是減函數(shù).如果函數(shù)f(x)在區(qū)間M上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間M上具有單調(diào)性，M稱為函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.要點(diǎn)詮釋：

[1]“任意”和“都”；

[2]單調(diào)區(qū)間與定義域的關(guān)系----局部性質(zhì)；

[3]單調(diào)性是通過(guò)函數(shù)值變化與自變量的變化方向是否一致來(lái)描述函數(shù)性質(zhì)的；

[4]不能隨意合并兩個(gè)單調(diào)區(qū)間.(2)已知解析式，如何判斷一個(gè)函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性？

基本方法：觀察圖形或依據(jù)定義.2.函數(shù)的奇偶性

偶函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)稱為偶函數(shù).奇函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)稱為奇函數(shù).要點(diǎn)詮釋：

[1]奇偶性是整體性質(zhì)；

[2]x在定義域中，那么-x在定義域中嗎？----具有奇偶性的函數(shù)，其定義域必定是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的；

[3]f(-x)=f(x)的等價(jià)形式為：，f(-x)=-f(x)的等價(jià)形式為：；

[4]由定義不難得出若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)且在原點(diǎn)有定義，則必有f(0)=0；

[5]若f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則必有f(x)=0；

[6]，.三、規(guī)律方法指導(dǎo)

1.證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：

(1)取值.設(shè)是

定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且

；

(2)變形.作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；

(3)定號(hào).判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；

(4)得出結(jié)論.2.函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：

(1)定義法；

(2)圖象法；

(3)對(duì)于復(fù)合函數(shù)在區(qū)間

或者，若

在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)；若

為增函數(shù)；若

上是單調(diào)函數(shù)，則

與與單調(diào)性相同（同時(shí)為增或同時(shí)為減），則單調(diào)性相反，則

為減函數(shù).3.常見結(jié)論:

(1)若

(2)若是增函數(shù)，則和

為減函數(shù)；若

和

是減函數(shù)，則

為增函數(shù)；

均為增（或減）函數(shù)，則在的公共定義域上為增（或減)函數(shù)；

(3)若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；

若

(4)若奇函數(shù)數(shù)，且有最小值 且在為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，則

在為增函數(shù).在是增函是增函數(shù).上是增函數(shù)，且有最大值

在；若偶函數(shù)是減函數(shù)，則 經(jīng)典例題透析

類型

一、函數(shù)的單調(diào)性的證明

1.證明函數(shù)上的單調(diào)性.證明：

總結(jié)升華：

[1]證明函數(shù)單調(diào)性要求使用定義；

[2]如何比較兩個(gè)量的大?。?作差)

[3]如何判斷一個(gè)式子的符號(hào)？(對(duì)差適當(dāng)變形)

舉一反三：

【變式1】用定義證明函數(shù)

總結(jié)升華：可以用同樣的方法證明此函數(shù)在上是減函數(shù).上是增函數(shù)；在今后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)碰到這個(gè)函數(shù)，在此可以嘗試?yán)煤瘮?shù)的單調(diào)性大致給出函數(shù)的圖象.類型

二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

2.判斷下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(1)y=x2-3|x|+2；(2)

舉一反三：

【變式1】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

(1)y=|x+1|；(2)

總結(jié)升華：

[1]數(shù)形結(jié)合利用圖象判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

[2]關(guān)于二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間問(wèn)題，單調(diào)性變化的點(diǎn)與對(duì)稱軸相關(guān).[3]復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析：先求函數(shù)的定義域；再將復(fù)合函數(shù)分解為內(nèi)、外層函數(shù)；利用已知函數(shù)的單調(diào)性解決.關(guān)注：內(nèi)外層函數(shù)同向變化復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)外層函數(shù)反向變化復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).類型

三、單調(diào)性的應(yīng)用(比較函數(shù)值的大小，求函數(shù)值域，求函數(shù)的最大值或最小值)

3.已知函數(shù)f(x)在(0，+∞)上是減函數(shù)，比較f(a2-a+1)與 的大小.4.求下列函數(shù)值域：

(1)； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；

(2)y=x2-2x+3；

1)x∈[-1，1]； 2)x∈[-2，2].舉一反三：

【變式1】已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域.思路點(diǎn)撥：這個(gè)函數(shù)直接觀察恐怕不容易看出它的單調(diào)區(qū)間，但對(duì)解析式稍作處理，即可得到我們相對(duì)熟悉的形式.域.，第二問(wèn)即是利用單調(diào)性求函數(shù)值

5.已知二次函數(shù)f(x)=x2-(a-1)x+5在區(qū)間

上是增函數(shù)，求：(1)實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)f(2)的取值范圍.類型

四、判斷函數(shù)的奇偶性

6.判斷下列函數(shù)的奇偶性：

(1)

(2)

(3)f(x)=x2-4|x|+3

(4)f(x)=|x+3|-|x-3|

(5)

(6)

(7)

思路點(diǎn)撥：根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義進(jìn)行判斷.舉一反三：

【變式1】判斷下列函數(shù)的奇偶性：

(1)；

(2)f(x)=|x+1|-|x-1|；

(3)f(x)=x2+x+1；

(4).思路點(diǎn)撥：利用函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷.舉一反三：

【變式2】已知f(x)，g(x)均為奇函數(shù)，且定義域相同，求證：f(x)+g(x)為奇函數(shù)，f(x)·g(x)為偶函數(shù).類型

五、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(求值，求解析式，與單調(diào)性結(jié)合)

7.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).8.f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)=x2-x，求當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)的解析式，并畫出函數(shù)圖象.6 9.設(shè)定義在[-3，3]上的偶函數(shù)f(x)在[0，3]上是單調(diào)遞增，當(dāng)f(a-1)＜f(a)時(shí)，求a的取值范圍.類型

六、綜合問(wèn)題

10.定義在R上的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間的圖象重合，設(shè)a＞b＞0，給出下列不等式，其中成立的是_________.①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b)；

②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b)；

③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a)；

④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a).(1)11.求下列函數(shù)的值域：

(2)

(3)的圖象與f(x)

思路點(diǎn)撥：(1)中函數(shù)為二次函數(shù)開方，可先求出二次函數(shù)值域；(2)由單調(diào)性求值域，此題也可換元解決；(3)單調(diào)性無(wú)法確定，經(jīng)換元后將之轉(zhuǎn)化為熟悉二次函數(shù)情形，問(wèn)題得到解決，需注意此時(shí)t范圍.解：

12.已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上是單調(diào)的，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值g(a)，并畫出最小值函數(shù)y=g(a)的圖象.7 13.已知函數(shù)f(x)在定義域(0，+∞)上為增函數(shù)，f(2)=1，且定義域上任意x、y都滿足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.證明：

14.判斷函數(shù)上的單調(diào)性，并證明.15.設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，試討論f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.解：

學(xué)習(xí)成果測(cè)評(píng) 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

一、選擇題

1．下面說(shuō)法正確的選項(xiàng)()

A．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間就是函數(shù)的定義域

B．函數(shù)的多個(gè)單調(diào)增區(qū)間的并集也是其單調(diào)增區(qū)間

C．具有奇偶性的函數(shù)的定義域定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

D．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象一定是奇函數(shù)的圖象

2．在區(qū)間上為增函數(shù)的是()

A．

C．

B．

D．

3．已知函數(shù)

A.B.4．若偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是()

C.D.為偶函數(shù)，則的值是()

A．

B．

C． 5．如果奇函數(shù)是()

A．增函數(shù)且最小值是

C．減函數(shù)且最大值是

6．設(shè)是定義在在區(qū)間

D．

上是增函數(shù)且最大值為，那么

在區(qū)間

上

B．增函數(shù)且最大值是

D．減函數(shù)且最小值是

上的一個(gè)函數(shù)，則函數(shù)，在上一定是()

A．奇函數(shù)

B．偶函數(shù)

C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

D．非奇非偶函數(shù).7．下列函數(shù)中，在區(qū)間

上是增函數(shù)的是()

A．

B．

C．

D．

8．函數(shù)f(x)是定義在[-6，6]上的偶函數(shù)，且在[-6，0]上是減函數(shù)，則()

A.f(3)+f(4)＞0

B.f(-3)-f(2)＜0

C.f(-2)+f(-5)＜0

D.f(4)-f(-1)＞0

二、填空題

1．設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)椋舢?dāng)?shù)慕馐莀___________.時(shí)，的圖象

如右圖，則不等式

2．函數(shù)

3．已知

4．若函數(shù)____________.5．函數(shù)____________.三、解答題 的值域是____________.，則函數(shù)的值域是____________.是偶函數(shù)，則的遞減區(qū)間是在R上為奇函數(shù)，且，則當(dāng)，1．判斷一次函數(shù)

2．已知函數(shù)(2)在定義域上

反比例函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性.的定義域?yàn)椋彝瑫r(shí)滿足下列條件：(1)是奇函數(shù)；

單調(diào)遞減；(3)

3．利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)

4．已知函數(shù)

① 當(dāng)

求的取值范圍.的值域；

.時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值；

在區(qū)間

上是單調(diào)函數(shù).② 求實(shí)數(shù)的取值范圍，使能力提升

一、選擇題

1．下列判斷正確的是()

A．函數(shù)數(shù)

C．函數(shù)函數(shù)

2．若函數(shù)

A．

C．

3．函數(shù)

A．

C．

4．已知函數(shù)圍是()

A．

B．

是奇函數(shù)

B．函數(shù)是偶函

是非奇非偶函數(shù)

D．函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶

在上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是()

B．

D．的值域?yàn)?)

B．

D．

在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范

C．

D．

5．下列四個(gè)命題：(1)函數(shù)增函數(shù)；(2)若 函數(shù)的遞增區(qū)間為正確命題的個(gè)數(shù)是()

在時(shí)是增函數(shù)，與；(4)

也是增函數(shù)，所以

且

是；(3)

軸沒有交點(diǎn)，則

和

表示相等函數(shù).其中

A．

B．

C．

D．

6．定義在R上的偶函數(shù)則()

A．

C．

二、填空題

1．函數(shù)

2．已知定義在______.上的奇函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上為遞增，B．

D．的單調(diào)遞減區(qū)間是____________________.，當(dāng)時(shí)，那么時(shí)，3．若函數(shù)

4．奇函數(shù)

則

5．若函數(shù)

三、解答題

1．判斷下列函數(shù)的奇偶性 在區(qū)間

在上是奇函數(shù)，則的解析式為________.上是增函數(shù)，在區(qū)間__________.上的最大值為8，最小值為-1，在上是減函數(shù)，則的取值范圍為__________.(1)

(2)

2．已知函數(shù)且當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，且?duì)任意

是，都有

上的減函數(shù)；(2)函數(shù)，恒成立，證明：(1)函數(shù)是奇函數(shù).3．設(shè)函數(shù)與的定義域是

且，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且

4．設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)

(1)討論

，求和的解析式.，的最小值..的奇偶性；(2)求綜合探究

1．已知函數(shù)，的奇偶性依次為()

A．偶函數(shù)，奇函數(shù)

B．奇函數(shù)，偶函數(shù)

C．偶函數(shù)，偶函數(shù)

D．奇函數(shù)，奇函數(shù)

2．若是偶函數(shù)，其定義域?yàn)?，且在，則

上是減函數(shù)，則的大小關(guān)系是()

A．＞

B．＜

C．

D．

3．已知_____.，那么＝

4．若

在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是________.5．已知函數(shù)果對(duì)于

6．當(dāng)

7．已知

的定義域是，且滿足，(1)求

；(2)解不等式，如

.，都有時(shí)，求函數(shù)的最小值.在區(qū)間內(nèi)有一最大值，求的值.8．已知函數(shù)的值..的最大值不大于，又當(dāng)，求 14

第二篇：?jiǎn)握{(diào)性奇偶性教案

函數(shù)性質(zhì)

一、單調(diào)性

1.定義：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮:如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2，當(dāng)x1?x2時(shí)，若都有f(x1)?f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)在．．區(qū)間D上單調(diào)遞增，若都有f(x1)?f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞減。例1.證明f?x??x?1在?1,???上單調(diào)遞增 x

總結(jié)：

1）用定義證明單調(diào)性的步驟：取值----作差----變形-----定號(hào)-----判斷 2）增+增=增

減+減=減

-增=減

1/增=減 3）一次函數(shù)y?kx?b的單調(diào)性 例1.判斷函數(shù)y??2.復(fù)合函數(shù)分析法

設(shè)y?f(u)，u?g(x)x?[a,b]，u?[m,n]都是單調(diào)函數(shù)，則y?f[g(x)]在[a,b]上也是單調(diào)函數(shù)，其單調(diào)性由“同增異減”來(lái)確定，即“里外”函數(shù)增減

1的增減性 x?1性相同，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)，“里外”函數(shù)的增減性相反，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)。如下表：

u?g(x)

y?f(u)

y?f[g(x)]

增 增 減 減 增 減 增 減 增 減 減 增

例1.判斷函數(shù)y?log2(x?1)在定義域內(nèi)的單調(diào)性

一、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 1.比較大小

例1.若f(x)在R上單調(diào)遞增，且f?2a?1??f(a?3)，求a的取值范圍

3例2.已知函數(shù)f(x)在?0,???上是減函數(shù)，試比較f()與f(a2?a?1)的大小

42.利用單調(diào)性求最值

1例1.求函數(shù)y?x?1?的最小值

x

x2?2x?a1例2.已知函數(shù)f(x)?,x??1,???.當(dāng)a?時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值

x2

1?1?例3.若函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,3?，求函數(shù)g(x)?f(x)?的值域

2f(x)??

練習(xí)：1）求函數(shù)y?x2?1?x在?0,???的最大值

1?1?2）若函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,3?，求函數(shù)g(x)?f(x)?的值域

2f(x)??

3.求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 1)求定義域

2)判斷增減區(qū)間 3)求交集

12例1.求函數(shù)y??x?2x?3的單調(diào)區(qū)間

2練習(xí)：求函數(shù)y??x2?2x?8的單調(diào)增區(qū)間

4.求參數(shù)取值范圍

例1.函數(shù)f(x)?x2?2ax?3在區(qū)間?1,2?上單調(diào)，求a的取值范圍

二、奇偶性

1.判斷奇偶性的前提條件：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 例1.奇函數(shù)f(x)定義域是(t,2t?3)，則t?

.2.奇函數(shù)的定義：對(duì)于函數(shù)f(x)，其定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果?x?D,恒有f(?x)??f(x)，那么函數(shù)f(x)為奇函數(shù)。

3.奇函數(shù)的性質(zhì)： 1）圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 2）在圓點(diǎn)左右單調(diào)性相同

3）若0在定義域內(nèi)，則必有f(0)?0

1奇函數(shù)的例子：y?x,y?x3,y?x?,y?sinx

x4.偶函數(shù)的定義：對(duì)于函數(shù)f(x)，其定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果?x?D,恒有f(?x)?f(x)，那么函數(shù)f(x)為偶函數(shù)。

5.偶函數(shù)的性質(zhì)： 1）圖像關(guān)于y軸對(duì)稱 2）在圓點(diǎn)左右單調(diào)性相反

偶函數(shù)的例子：y?x2,y?x,y?cosx

6.結(jié)論：奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇?奇=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇

四、常見題型： 1.函數(shù)奇偶性的判定

4?x2例1.判斷函數(shù)f(x)?的奇偶性

x?2?2

例2.判斷f(x)?(x?2)

2?x的奇偶性 2?x2.奇偶性的應(yīng)用

例1.已知f(x)?x5?ax3?bx?8,f(?2)?10,則f(2)?_______

例2.已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x?0時(shí)，f(x)?x(x?2),求x?0時(shí)，f(x)的解析式

例3.設(shè)f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)?g(x)?

3.函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用

例1.設(shè)偶函數(shù)f(x)在[0,??)為減函數(shù)，則不等式f(x)?f(2x?1)的解集是。

例2.已知函數(shù)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，若f(x)在區(qū)間??5,5?上是奇函數(shù)，在區(qū)間?0,5?上是單調(diào)函數(shù)，切f(3)?f(1)，則（）

A.f(?1)?f(?3)B.f(0)?f(?1)C.f(?1)?f(1)D.f(?3)?f(?5)，例3.函數(shù)f(x)?ax?b12???1,1是定義在上的奇函數(shù)，且 f()?2251?x1，求f(x),g(x)x?11）求f(x)的解析式

2）判斷函數(shù)f(x)在??1,1?上的單調(diào)性 3）解不等式f(t?1)?f(t)?0

第三篇：7函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的奇偶性反函數(shù) 教案

函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，反函數(shù)

[本周教學(xué)重點(diǎn)] 掌握函數(shù)單調(diào)性的定義，會(huì)用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性及其步驟。

(1)設(shè)x1，x2是定義域上的任意兩個(gè)值，且x1

(2)作差f(x1)-f(x2)并將其變形為可判斷符號(hào)的形式；

(3)判斷f(x1)-f(x2)的正、負(fù)；

(4)結(jié)論

理解函數(shù)奇偶性的定義及奇、偶函數(shù)定理，能判斷、證明一些簡(jiǎn)單函數(shù)的奇偶性，會(huì)利用函數(shù)奇偶性求解有關(guān)函數(shù)問(wèn)題。

(1)函數(shù)的定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是函數(shù)具有奇偶性的必要條件。

(2)f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0f(x)是奇函數(shù)。

f(x)=f(-x)f(-x)-f(x)=0f(x)是偶函數(shù)。

由f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是側(cè)重于函數(shù)解析式的變形去證明f(x)的奇偶性；而f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0是通過(guò)運(yùn)算去證明f(x)的奇偶性，兩種定義形式各具不同優(yōu)勢(shì)。

(3)若f(x)是奇函數(shù)且允許x=0，則f(0)=0，即f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)。

(4)若f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，則f(x)=0。

(5)同為奇函數(shù)，同為偶函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)之積是偶函數(shù)；一奇一偶兩個(gè)函數(shù)之積是奇函數(shù)。

(6)定義在R上的任意一個(gè)函數(shù)f(x)都可表示為一個(gè)奇函數(shù)g(x)與一個(gè)偶函數(shù)h(x)的和。

即f(x)=g(x)+h(x)，其中g(shù)(x)=[f(x)-f(-x)]，h(x)=

[f(x)+f(-x)]。

理解反函數(shù)的概念，掌握求反函數(shù)的方法步驟。

(1)由原函數(shù)y=f(x)求出它的值域；

(2)由原函數(shù)y=f(x)反解出x=f-

1(y)；

(3)交換x，y改寫成y=f-1(x)；

(4)用f(x)的值域確定f-1(x)的定義域。

[例題分析]

例1．證明函數(shù)f(x)=

在定義域上的單調(diào)性。

[分析與解答] 函數(shù)的單調(diào)性必須在定義域內(nèi)進(jìn)行考查。由x2+x≥0得f(x)定義域?yàn)?-∞，-1][0，+∞)。

函數(shù)定義域不是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間，應(yīng)分別考查在每一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，用定義法證明時(shí)，只需任取x1

任取x1

==

當(dāng)-∞0。

∴ f(x1)-f(x2)>0，∴ f(x)是(-∞，-1]上的單調(diào)遞減函數(shù)。

當(dāng)0≤x10。

>0。

∴ f(x1)-f(x2)<0，∴ f(x)是[0，+∞)上的單調(diào)遞增函數(shù)。

例2．函數(shù)f(x)是[0，+∞)上的單調(diào)遞減函數(shù)，f(x)≠0且f(2)=1，證明函數(shù)F(x)=f(x)+在[0，2]上的單調(diào)性。

[分析與解答]函數(shù)f(x)沒有給出解析式，因此對(duì)F(x)的函數(shù)值作差后，需由f(x)的單調(diào)性，確定作差后的符號(hào)。任取0≤x1

由F(x1)-F(x2)=f(x1)+-f(x2)-=f(x1)-f(x2)+

=[f(x1)-f(x2)]·[1-]

∵ 0≤x1f(x2)≥f(2)=1。

∴ f(x1)-f(x2)>0，f(x1)·f(x2)>1，<1，1->0，∴ F(x1)-F(x2)>0，F(xiàn)(x)是[0，2]上的單調(diào)遞減函數(shù)。

例3．證明函數(shù)f(x)=的奇偶性。

[分析與解答] 函數(shù)的奇偶性必須在其定義域內(nèi)考查。

由 函數(shù)f(x)定義域?yàn)閇-1，0)(0，1]。

∴ |x+3|-3=x+3-3=x。即f(x)=，由f(-x)=

=-f(x)，∴ f(x)是奇函數(shù)。

例4．設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意x1，x2∈R，恒有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，且f(x)不恒為0，證明

f(x)的奇偶性。

[分析與解答] 函數(shù)f(x)沒有給出解析式，這就必須從定義域，法則，及f(x)不恒為0去分析，完成奇偶性的證明。由f(x)定義域?yàn)镽，顯然允許x=0，所以f(0)=0是f(x)的奇函數(shù)的必要條件。

令x1=x2=0，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)得f(0+0)=f(0)+f(0)，整理得f(0)=0，對(duì)任意x∈R，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)知f(-x)+f(x)=f(-x+x)=f(0)=0，∴ f(-x)=-f(x)，∵ f(x)不恒為0，∴f(x)不可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，所以f(x)是R上的奇函數(shù)。

例5．已知函數(shù)f(x)=(a，b，c∈Z)是奇函數(shù)，且f(1)=2，f(2)<3。

(1)求a，b，c的值；(2)用定義法證明f(x)在(0，1)上的單調(diào)性。

[分析與解答](1)∵ f(x)是奇函數(shù)，∴f(-x)=-f(x)，即

=-，解出c=0，∴ f(x)=，∵ f(1)=2，∴ =2，∴ 2b=a+1。

∵ f(2)＜3，∴<3。將2b=a+1代入，∴ <3，解出-1

(2)f(x)==x+。任取0

f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=(x1-x2)(1-)

∵ 01，1-<0，∴ f(x1)-f(x2)>0，f(x)是(0，1)上的單調(diào)遞減函數(shù)。

例6．證明函數(shù)f(x)=

(x≠)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱。

[分析與解答] 由反函數(shù)定理可知，當(dāng)兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)時(shí)，它們的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，所以要證明 f(x)=(x≠)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，只需證明f(x)的反函數(shù)是其自身即可。

∴ f(x)的值域?yàn)閧y|y≠，y∈R}。

由y=，∴ ayx-y=x-1，(ay-1)x=y-1。

∵ y≠，∴ ay-1≠0，x=，即f-1(x)=

(x≠)，顯然f(x)與f-1(x)是同一函數(shù)，所求f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱。

[參考練習(xí)]

1．設(shè)f(x)是定義在R上的任意一個(gè)增函數(shù)，F(xiàn)(x)=f(x)-f(-x)必是（）。

A、增函數(shù)且是奇函數(shù)

B、增函數(shù)且是偶函數(shù)

C、減函數(shù)且是奇函數(shù)

D、減函數(shù)且是偶函數(shù)

2．已知y=f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x2-2x，則f(x)在R上的表達(dá)式是（）。

A、y=x(x-2)B、y=x(|x|-1)C、y=|x|·(x-2)D、y=x(|x|-2)

3．若點(diǎn)(1，2)在函數(shù)y=的圖象上，又在它的反函數(shù)的圖象上，則（）。

A、a=3，b=-7 B、a=3，b=7 C、a=-3，b=-7 D、a=-3，b=7

4．函數(shù)f(x)是定義在[-6，6]上的偶函數(shù)，且在[-6，0]上是減函數(shù)，則（）。

A、f(3)+f(4)>0 B、f(-3)-f(2)<0 C、f(-2)+f(-5)<0 D、f(4)-f(-1)>0

5．設(shè)f(x)是定義在(-1，1)上的奇函數(shù)且是單調(diào)減函數(shù)，求解關(guān)于x的不等式f(1-x)+f(1-x2)<0的解集。

[參考答案]：

1.A 2.D 3.D 4.D

5.由f(1-x)+f(1-x2)<0，∴ f(1-x)<-f(1-x2)，∵ f(x)是(-1，1)上的奇函數(shù)，∴ f(1-x)

{x|0

第四篇：函數(shù)單調(diào)性教案(簡(jiǎn)單)

函數(shù)單調(diào)性

一、教學(xué)目標(biāo)

1、建立增（減）函數(shù)及單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的概念

2、掌握如何從函數(shù)圖象上看出單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性

3、掌握如何利用定義證明一段區(qū)間上的函數(shù)單調(diào)性

二、教學(xué)重難點(diǎn)

1、了解增（減）函數(shù)定義

2、用定義法證明一段區(qū)間上的函數(shù)單調(diào)性

三、教材、學(xué)情分析

單調(diào)性是處于教材《數(shù)學(xué)?必修一》B版第二章第一節(jié)，初中對(duì)單調(diào)性有著初步感性認(rèn)識(shí)，到這節(jié)課我們給單調(diào)性嚴(yán)格的定義。單調(diào)性是對(duì)函數(shù)概念的延續(xù)和擴(kuò)展，也是我們后續(xù)研究函數(shù)的基礎(chǔ)，可以說(shuō)，起到了承上啟下的作用。

四、教學(xué)方法

數(shù)形結(jié)合法、講解法

五、教具、參考書

三角尺、PPT、數(shù)學(xué)必修

一、教師教學(xué)用書

六、教學(xué)過(guò)程

（一）知識(shí)導(dǎo)入

引入廣寧縣一天氣溫變化折線圖

詢問(wèn)學(xué)生今天的溫度是如何變化的？

學(xué)生答：氣溫先上升，到了14時(shí)開始不斷下降。

由此導(dǎo)入函數(shù)圖像的上升下降變化，給出f（x）=x和f（x）=x2的圖像，詢問(wèn)學(xué)生，這兩個(gè)函數(shù)圖象是如何變化的？

學(xué)生答：前一個(gè)不斷上升，后一個(gè)在y軸左邊下降，在y軸右邊上升。再詢問(wèn)學(xué)生并提醒學(xué)生回答：從上面的觀察分析，能得出什么結(jié)論？

不同的函數(shù)，其圖像的變化趨勢(shì)不同，同一函數(shù)在不同區(qū)間上的變化趨勢(shì)也不同，函數(shù)圖像的變化規(guī)律就是函數(shù)性質(zhì)的反映。

教師：那么這就是我們要研究的單調(diào)性。

（二）給出定義。

教師：首先我們來(lái)看一下一元二次函數(shù)y=x2的圖象的對(duì)應(yīng)值表，當(dāng)x從0到5上變化時(shí)，y是如何變化的。生：隨著x的增大而增大

教師：那么我們?cè)谶@段上升區(qū)間中任取兩個(gè)x1，x2，x1

教師順勢(shì)引導(dǎo)出增函數(shù)的概念，再由增函數(shù)類比畫圖演示，引導(dǎo)出減函數(shù)的概念。強(qiáng)調(diào)增（減）函數(shù)概念，尤其是在區(qū)間內(nèi)任取x1，x2這句話的理解。由增（減）函數(shù)可以引出單調(diào)區(qū)間的定義，不作很詳細(xì)講解。給出例題讓學(xué)生思考作答，進(jìn)一步鞏固知識(shí)點(diǎn)。

（三）證明方法

讓學(xué)生們思考例二（思想為用定義法證明一段區(qū)間的單調(diào)性）并嘗試解答，一段時(shí)間后教師給學(xué)生講解。

講解完例題后，引導(dǎo)學(xué)生歸納用定義法正明一段區(qū)間的單調(diào)性的方法：

1、設(shè)元。

2、做差。

3、變形。

4、斷號(hào)。

5、定論。

（四）鞏固深化

思考：函數(shù)y=1/x 的定義域I是什么？在定義域I上的單調(diào)性是怎樣的？

通過(guò)這道問(wèn)題的講解說(shuō)明，讓學(xué)生們意識(shí)到單調(diào)性是離不開區(qū)間的且單調(diào)區(qū)間不能求并。

（五）課堂小結(jié)

再次對(duì)

1、增（減）函數(shù)定義。

2、增（減）函數(shù)的圖象有什么特點(diǎn)？如何根據(jù)圖象指出單調(diào)區(qū)間。

3、怎樣用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？三個(gè)問(wèn)題進(jìn)行闡述，牢固學(xué)生記憶和理解。

（六）布置作業(yè)。

第五篇：函數(shù)單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性概念教學(xué)的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) ──兼談《函數(shù)單調(diào)性》的教學(xué)設(shè)計(jì)

北京教育學(xué)院宣武分院 彭 林

函數(shù)單調(diào)性是學(xué)生進(jìn)入高中后較早接觸到的一個(gè)完全形式化的抽象定義，對(duì)于仍然處于經(jīng)驗(yàn)型邏輯思維發(fā)展階段的高一學(xué)生來(lái)講，有較大的學(xué)習(xí)難度。一直以來(lái)，這節(jié)課也都是老師教學(xué)的難點(diǎn)。最近，在我區(qū)“青年教師評(píng)優(yōu)課”上，聽了多名教師對(duì)這節(jié)課不同風(fēng)格的課堂教學(xué)，通過(guò)對(duì)他們教學(xué)案例的研究和思考，筆者認(rèn)為，在函數(shù)單調(diào)性概念的教學(xué)中，關(guān)鍵是把握住如下三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。

關(guān)鍵點(diǎn)1。學(xué)生 學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)知基礎(chǔ)是什么？

在這個(gè)內(nèi)容之前，已經(jīng)教學(xué)過(guò)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等簡(jiǎn)單函數(shù)，函數(shù)的變量定義和映射定義，以及函數(shù)的表示。對(duì)函數(shù)是一個(gè)刻畫某些運(yùn)動(dòng)變化數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)概念，也已經(jīng)形成初步認(rèn)識(shí)。接踵而來(lái)的任務(wù)是對(duì)函數(shù)應(yīng)該繼續(xù)研究什么。在數(shù)學(xué)研究中，建立一個(gè)數(shù)學(xué)概念的意義就是揭示它的本質(zhì)特征，即共同屬性或不變屬性。對(duì)各種函數(shù)模型而言，就是研究它們所描述的運(yùn)動(dòng)關(guān)系的變化規(guī)律，也就是這些運(yùn)動(dòng)關(guān)系在變化之中的共同屬性或不變屬性，即“變中不變”的性質(zhì)。按照這種科學(xué)研究的思維方式，使得當(dāng)前來(lái)討論函數(shù)的一些性質(zhì)，就成為順理成章的、必要的和有意義的數(shù)學(xué)活動(dòng)。至于在多種函數(shù)性質(zhì)中，選擇這個(gè)時(shí)機(jī)來(lái)討論函數(shù)的單調(diào)性而不是其他性質(zhì)，是因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)性是學(xué)生從已經(jīng)學(xué)習(xí)的函數(shù)中比較容易發(fā)現(xiàn)的一個(gè)性質(zhì)。

就中小學(xué)生與單調(diào)性相關(guān)的經(jīng)歷而言，學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)單調(diào)性可以分為四個(gè)階段： 第一階段，經(jīng)驗(yàn)感知階段（小學(xué)階段），知道一個(gè)量隨另一個(gè)量的變化而變化的具體情境，如“隨著年齡的增長(zhǎng)，我的個(gè)子越來(lái)越高”，“我認(rèn)識(shí)的字越多，我的知識(shí)就越多”等。

第二階段，形象描述階段（初中階段），能用抽象的語(yǔ)言描述一個(gè)量隨另一個(gè)量變化的趨勢(shì)，如“y隨著x的增大而減少”。

第三階段，抽象概括階段（高中必修1），能進(jìn)行脫離具體和直觀對(duì)象的抽象化、符號(hào)化的概括，并通過(guò)具體函數(shù)，初步體會(huì)單調(diào)性在研究函數(shù)變化中的作用。

第四階段，認(rèn)識(shí)提升階段（高中選修系列1、2），要求學(xué)生能初步認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的聯(lián)系。

基于上述認(rèn)識(shí)，函數(shù)單調(diào)性教學(xué)的引入應(yīng)該從學(xué)生的已有認(rèn)知出發(fā)，建立在學(xué)生初中已學(xué)的一次函數(shù)、二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的基礎(chǔ)上，即從學(xué)生熟悉的常見函數(shù)的圖象出發(fā)，直觀感知函數(shù)的單調(diào)性，完成對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的第一次認(rèn)識(shí).。

讓學(xué)生分別作出函數(shù)數(shù)值有什么變化規(guī)律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時(shí)，函在學(xué)生畫圖的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象，獲得信息：第一個(gè)圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個(gè)圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小.然后讓學(xué)生明確，對(duì)于自變量變化時(shí)，函數(shù)值具有這兩種變化規(guī)律的函數(shù)，我們分別稱為增函數(shù)和減函數(shù).第三個(gè)函數(shù)圖象的上升與下降要分段說(shuō)明，通過(guò)討論使學(xué)生明確函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的．

在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生用自己的語(yǔ)言描述增函數(shù)的定義： 如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的圖象從左向右逐漸上升，或者如果函數(shù)

在某個(gè)區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來(lái)越大，我們說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)．

關(guān)鍵點(diǎn)2。為什么要用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言定義函數(shù)的單調(diào)性概念？

對(duì)于函數(shù)單調(diào)性概念的教學(xué)而言，有一個(gè)很重要的問(wèn)題，即為什么要進(jìn)一步形式化。學(xué)生在初中已經(jīng)接觸過(guò)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，對(duì)函數(shù)的增減性已有初步的認(rèn)識(shí)：隨x增大y增大是增函數(shù)，隨x增大y 減小是減函數(shù)。這個(gè)觀念對(duì)他們而言是易于接受的，很形象，他們會(huì)覺得這樣的定義很好，為什么還要費(fèi)神去進(jìn)行符號(hào)化呢？如果教師能通過(guò)教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生感受到進(jìn)一步符號(hào)化、形式化的必要性，造成認(rèn)知沖突，則學(xué)生研究的興趣就會(huì)大大提高，主動(dòng)性也會(huì)更強(qiáng)。其實(shí)，數(shù)學(xué)概念就是一系列常識(shí)不斷精微化的結(jié)果，之所以要進(jìn)一步形式化，完全是數(shù)學(xué)精確性、嚴(yán)密性的要求，因?yàn)橹挥羞_(dá)到這種符號(hào)化、形式化的程度，才可以進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算，進(jìn)行推理論證。

所以，在教學(xué)中提出類似如下的問(wèn)題是非常必要的：

右圖是函數(shù)函數(shù)嗎？ 的圖象,能說(shuō)出這個(gè)函數(shù)分別在哪個(gè)區(qū)間為增函數(shù)和減

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生的困難是難以確定分界點(diǎn)的確切位置．通過(guò)討論，使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時(shí)不夠精確，需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究,使學(xué)生體會(huì)到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性，從而將函數(shù)的單調(diào)性研究從研究函數(shù)圖象過(guò)渡到研究函數(shù)的解析式.關(guān)鍵點(diǎn)3：如何用形式化的語(yǔ)言定義函數(shù)的單調(diào)性？

從數(shù)學(xué)學(xué)科這個(gè)整體來(lái)看，數(shù)學(xué)的高度抽象性造成了數(shù)學(xué)的難懂、難教、難學(xué)，解決這一問(wèn)題的基本途徑是順應(yīng)學(xué)習(xí)者的認(rèn)知規(guī)律：在需要和可能的情況下，盡量做到從直觀入手，從具體開始，逐步抽象，即數(shù)學(xué)的思考方式。恰當(dāng)運(yùn)用圖形語(yǔ)言、自然語(yǔ)言和符號(hào)化的形式語(yǔ)言，并進(jìn)行三者之間必要的轉(zhuǎn)化，可以說(shuō)，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本思考方式。而函數(shù)單調(diào)性這一內(nèi)容正是體現(xiàn)數(shù)學(xué)基本思考方式的一個(gè)良好載體，教學(xué)中應(yīng)該充分關(guān)注到這一點(diǎn)。長(zhǎng)此以往，便可使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)，學(xué)到比知識(shí)更重要的東西—學(xué)會(huì)如何思考？如何進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考？

一般說(shuō)，對(duì)函數(shù)單調(diào)性的建構(gòu)有兩個(gè)重要過(guò)程，一是建構(gòu)函數(shù)單調(diào)性的意義，二是通過(guò)思維構(gòu)造把這個(gè)意義用數(shù)學(xué)的形式化語(yǔ)言加以描述。對(duì)函數(shù)單調(diào)性的意義，學(xué)生通過(guò)對(duì)若干函數(shù)圖象的觀察并不難認(rèn)識(shí)，因此，前一過(guò)程的建構(gòu)學(xué)習(xí)相對(duì)比較容易進(jìn)行。后一過(guò)程的進(jìn)行則有相當(dāng)?shù)碾y度，其難就難在用數(shù)學(xué)的符合語(yǔ)言來(lái)描述函數(shù)單調(diào)性的定義時(shí)，如何才能最大限度地通過(guò)學(xué)生自己的思維活動(dòng)來(lái)完成。這其中有兩個(gè)難點(diǎn)：

（1）“x增大”如何用符號(hào)表示；同樣，“f(x)增大”如何用符號(hào)表示。（2）“‘隨著’x增大，函數(shù)f(x)‘也’增大”，如何用符號(hào)表示。

用數(shù)學(xué)符號(hào)描述這兩種數(shù)學(xué)意義的最大要害之處，在于要用數(shù)學(xué)的符號(hào)來(lái)描述動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)對(duì)象。

在初中數(shù)學(xué)中，除了學(xué)習(xí)函數(shù)的初級(jí)概念，用y=f(x)表示函數(shù)y隨著自變量x的變化而變化時(shí)，接觸到一點(diǎn)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)對(duì)象的數(shù)學(xué)符號(hào)表示以外，絕大多數(shù)都是用數(shù)學(xué)符號(hào)表示靜態(tài)的數(shù)學(xué)對(duì)象。因此，從用靜態(tài)的數(shù)學(xué)符號(hào)描述靜態(tài)的數(shù)學(xué)對(duì)象，到用靜態(tài)的符號(hào)語(yǔ)言刻畫動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)對(duì)象，在思維能力層次上存在重大差異，對(duì)剛剛由初中進(jìn)入高中學(xué)習(xí)的學(xué)生而言，無(wú)疑是一個(gè)很大的挑戰(zhàn)！

因此，在教學(xué)中可以提出如下問(wèn)題2： 如何從解析式的角度說(shuō)明

在上為增函數(shù)？

這個(gè)問(wèn)題是形成函數(shù)單調(diào)性概念的關(guān)鍵。在教學(xué)中，教師可以組織學(xué)生先分組探究，然后全班交流，相互補(bǔ)充，并及時(shí)對(duì)學(xué)生的發(fā)言進(jìn)行反饋、評(píng)價(jià)，對(duì)普遍出現(xiàn)的問(wèn)題組織學(xué)生討論，在辨析中達(dá)成共識(shí).對(duì)于問(wèn)題2，學(xué)生錯(cuò)誤的回答主要有兩種：

①在給定區(qū)間內(nèi)取兩個(gè)數(shù)，例如1和2，因?yàn)楹瘮?shù)． ,所以

在上為增②可以用0，1，2，3，4，5驗(yàn)證： 在所以函數(shù)上是增函數(shù)。

對(duì)于這兩種錯(cuò)誤，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步展開思考。例如，指出回答②試圖用自然數(shù)列來(lái)驗(yàn)證結(jié)論，而且引入了不等式表示不等關(guān)系，但是，只是對(duì)有限幾個(gè)自然數(shù)驗(yàn)證不行，只有當(dāng)所有的比較結(jié)果都是一樣的：自變量大時(shí)，函數(shù)值也大，才可以證明它是增函數(shù)，那么怎么辦？如果有的學(xué)生提出：引入非負(fù)實(shí)數(shù)a，只要證明

就可以了，這就把驗(yàn)證的范圍由有限擴(kuò)大到了無(wú)限。教師應(yīng)適時(shí)指出這種驗(yàn)證也有局限性，然后再讓學(xué)生思考怎樣做才能實(shí)現(xiàn)“任意性”就有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)了。也就是，從給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個(gè)自變量,然后求差比較函數(shù)值的大小，從而得到正確的回答: 任意取在,有為增函數(shù)． ,即，所以這種回答既揭示了單調(diào)性的本質(zhì)，也讓學(xué)生領(lǐng)悟到兩點(diǎn)：(1)兩自變量的取值具有任意性；(2)求差比較它們函數(shù)值的大小。至此，學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性有了理性的認(rèn)識(shí).在前面研究的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生歸納、抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義，使學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般，從具體到抽象的認(rèn)知過(guò)程。

教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言歸納、抽象增函數(shù)的定義，并讓學(xué)生類比得到減函數(shù)的定義.然后指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真閱讀教材中有關(guān)單調(diào)性的概念,對(duì)定義中關(guān)鍵的地方進(jìn)行強(qiáng)調(diào).同時(shí)設(shè)計(jì)了一組判斷題：

判斷題：

①②若函數(shù)③若函數(shù)滿足f(2)

和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)在(1,3)上為增函數(shù)．④因?yàn)楹瘮?shù)減函數(shù).在上都是減函數(shù)，所以在上是通過(guò)對(duì)判斷題的討論，強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：

①單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性． ②有的函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)(如一次函數(shù))，有的函數(shù)只在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào)(如二次函數(shù))，有的函數(shù)根本沒有單調(diào)區(qū)間(如常函數(shù))．

③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)．

從而加深學(xué)生對(duì)定義的理解

北京4中常規(guī)備課

【教學(xué)目標(biāo)】

1．使學(xué)生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法．

2．通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的探究，滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力和語(yǔ)言表達(dá)能力；通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的證明，提高學(xué)生的推理論證能力．

3．通過(guò)知識(shí)的探究過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程．

【教學(xué)重點(diǎn)】 函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明．

【教學(xué)難點(diǎn)】 歸納抽象函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性． 【教學(xué)方法】 教師啟發(fā)講授，學(xué)生探究學(xué)習(xí)． 【教學(xué)手段】 計(jì)算機(jī)、投影儀． 【教學(xué)過(guò)程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題 課前布置任務(wù)：

(1)由于某種原因，2008年北京奧運(yùn)會(huì)開幕式時(shí)間由原定的7月25日推遲到8月8日，請(qǐng)查閱資料說(shuō)明做出這個(gè)決定的主要原因.(2)通過(guò)查閱歷史資料研究北京奧運(yùn)會(huì)開幕式當(dāng)天氣溫變化情況.課上通過(guò)交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開始下降，比較適宜大型國(guó)際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時(shí)內(nèi)氣溫隨時(shí)間變化的曲線圖.引導(dǎo)學(xué)生識(shí)圖，捕捉信息，啟發(fā)學(xué)生思考． 問(wèn)題：觀察圖形，能得到什么信息？

預(yù)案：(1)當(dāng)天的最高溫度、最低溫度以及何時(shí)達(dá)到；(2)在某時(shí)刻的溫度；

(3)某些時(shí)段溫度升高，某些時(shí)段溫度降低.在生活中，我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，對(duì)我們的生活是很有幫助的．

問(wèn)題：還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎？ 預(yù)案：水位高低、燃油價(jià)格、股票價(jià)格等．

歸納：用函數(shù)觀點(diǎn)看，其實(shí)就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變?。?〖設(shè)計(jì)意圖〗由生活情境引入新課，激發(fā)興趣．

二、歸納探索，形成概念

對(duì)于自變量變化時(shí)，函數(shù)值是變大還是變小，初中同學(xué)們就有了一定的認(rèn)識(shí)，但是沒有嚴(yán)格的定義，今天我們的任務(wù)首先就是建立函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義.1．借助圖象，直觀感知

問(wèn)題1：

分別作出函數(shù)數(shù)值有什么變化規(guī)律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時(shí)，函

預(yù)案：(1)函數(shù)

在整個(gè)定義域內(nèi) y隨x的增大而增大；函數(shù)

在整個(gè)定義域內(nèi) y隨x的增大而減?。?/p>

(2)函數(shù)在上 y隨x的增大而增大，在上y隨x的增大而減小．

(3)函數(shù) 在上 y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減?。?/p>

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類描述(增函數(shù)、減函數(shù))．同時(shí)明確函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)．

問(wèn)題2：能不能根據(jù)自己的理解說(shuō)說(shuō)什么是增函數(shù)、減函數(shù)? 預(yù)案：如果函數(shù)

在某個(gè)區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來(lái)越大，我們說(shuō)函數(shù)

在某個(gè)區(qū)間上隨自變量x的增大，y越來(lái)越小，我們?cè)谠搮^(qū)間上為增函數(shù)；如果函數(shù)說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù)．

教師指出：這種認(rèn)識(shí)是從圖象的角度得到的，是對(duì)函數(shù)單調(diào)性的直觀，描述性的認(rèn)識(shí)． 【設(shè)計(jì)意圖】從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性，完成對(duì)函數(shù)單調(diào)性的第一次認(rèn)識(shí)． 2．探究規(guī)律，理性認(rèn)識(shí)

問(wèn)題1：下圖是函數(shù)和減函數(shù)嗎？ 的圖象,能說(shuō)出這個(gè)函數(shù)分別在哪個(gè)區(qū)間為增函數(shù)

學(xué)生的困難是難以確定分界點(diǎn)的確切位置．

通過(guò)討論，使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時(shí)不夠精確，需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究．

〖設(shè)計(jì)意圖〗使學(xué)生體會(huì)到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性． 問(wèn)題2：如何從解析式的角度說(shuō)明

在為增函數(shù)？

22預(yù)案：(1)在給定區(qū)間內(nèi)取兩個(gè)數(shù)，例如1和2，因?yàn)?<2,所以為增函數(shù)．

(2)仿(1)，取很多組驗(yàn)證均滿足，所以(3)任取，所以

在,因?yàn)?/p>

為增函數(shù)．

在為增函數(shù)．

在,即對(duì)于學(xué)生錯(cuò)誤的回答，引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語(yǔ)言和文字語(yǔ)言進(jìn)行辨析,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到問(wèn)題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個(gè)自變量．

【設(shè)計(jì)意圖】把對(duì)單調(diào)性的認(rèn)識(shí)由感性上升到理性認(rèn)識(shí)的高度,完成對(duì)概念的第二次認(rèn)識(shí)．事實(shí)上也給出了證明單調(diào)性的方法，為證明單調(diào)性做好鋪墊.3．抽象思維，形成概念

問(wèn)題：你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述出增函數(shù)的定義嗎?

師生共同探究，得出增函數(shù)嚴(yán)格的定義，然后學(xué)生類比得出減函數(shù)的定義．(1)板書定義(2)鞏固概念 判斷題：

①．

②若函數(shù)

③若函數(shù) 在區(qū)間

和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)

在區(qū)間(1,3)上為增函

．

④因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是減函數(shù).上都是減函數(shù)，所以在

通過(guò)判斷題，強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：

①單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性． ②對(duì)于某個(gè)具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以是整個(gè)定義域(如一次函數(shù))，可以是定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間(如二次函數(shù))，也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù))．

③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)．

思考：如何說(shuō)明一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)? 【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義，通過(guò)對(duì)判斷題的辨析，加深學(xué)生對(duì)定義的理解，完成對(duì)概念的第三次認(rèn)識(shí).三、掌握證法，適當(dāng)延展

例 證明函數(shù)

在上是增函數(shù)．

1．分析解決問(wèn)題

針對(duì)學(xué)生可能出現(xiàn)的問(wèn)題，組織學(xué)生討論、交流．

證明：任取 ，設(shè)元

求差

變形，斷號(hào)

∴

∴

即

∴函數(shù)

2．歸納解題步驟

在上是增函數(shù)．

定論

引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號(hào)、定論．

練習(xí)：證明函數(shù)

問(wèn)題：要證明函數(shù)

在區(qū)間

上是增函數(shù)，除了用定義來(lái)證，如果可以證得對(duì)

在上是增函數(shù)．

任意的，且有可以嗎? 引導(dǎo)學(xué)生分析這種敘述與定義的等價(jià)性．讓學(xué)生嘗試用這種等價(jià)形式證明函數(shù)在

〖設(shè)計(jì)意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．等價(jià)形式進(jìn)一步發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法，為用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆．

四、歸納小結(jié)，提高認(rèn)識(shí)

學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會(huì)、收獲，交流學(xué)習(xí)過(guò)程中的體驗(yàn)和感受，師生合作共同完成小結(jié)．

1．小結(jié)

(1)概念探究過(guò)程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號(hào)、定論．(3)數(shù)學(xué)思想方法和思維方法：數(shù)形結(jié)合，等價(jià)轉(zhuǎn)化，類比等． 2．作業(yè)

書面作業(yè)：課本第60頁(yè)習(xí)題2.3 第4，5，6題． 課后探究：(1)證明：函數(shù)

在區(qū)間

上是增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的上是增函數(shù)．，且

有．

(2)研究函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合描點(diǎn)法畫出函數(shù)的草圖．

《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

一、教學(xué)內(nèi)容的分析

函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在了解函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的函數(shù)的第一個(gè)性質(zhì)，是函數(shù)學(xué)習(xí)中第一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言刻畫的概念，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)其它性質(zhì)提供了方法依據(jù)． 對(duì)于函數(shù)單調(diào)性，學(xué)生的認(rèn)知困難主要在兩個(gè)方面：（1）要求用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數(shù)的翻譯，從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對(duì)高一的學(xué)生是比較困難的；（2）單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學(xué)生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據(jù)以上的分析和教學(xué)大綱的要求，確定了本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)．

二、教學(xué)目標(biāo)的確定

根據(jù)本課教材的特點(diǎn)、教學(xué)大綱對(duì)本節(jié)課的教學(xué)要求以及學(xué)生的認(rèn)知水平，從三個(gè)不同的方面確定了教學(xué)目標(biāo)，重視單調(diào)性概念的形成過(guò)程和對(duì)概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)；強(qiáng)調(diào)判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法的落實(shí)以及數(shù)形結(jié)合思想的滲透；突出語(yǔ)言表達(dá)能力、推理論證能力的培養(yǎng)和良好思維習(xí)慣的養(yǎng)成．

三、教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)

為達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，教學(xué)上采取了以下的措施：（1）在探索概念階段, 讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程，完成對(duì)單調(diào)性定義的三次認(rèn)識(shí),使得學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)不斷深入．

（2）在應(yīng)用概念階段,通過(guò)對(duì)證明過(guò)程的分析，幫助學(xué)生掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．

（3）考慮到我校學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好、思維較為活躍的特點(diǎn)，對(duì)判斷方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)难诱?，加深?duì)定義的理解，同時(shí)也為用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性埋下伏筆．