第一篇：(整數(shù)值)隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生教案
3.2.2（整數(shù)值）隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生
【教學(xué)目標(biāo)】
知識(shí)與技能：了解隨機(jī)數(shù)的意義，學(xué)會(huì)用模擬方法（使用隨機(jī)數(shù)表）估計(jì)概率。過(guò)程與方法：通過(guò)教師演示，理清用隨機(jī)數(shù)表模擬法求概率的步驟；通過(guò)小組合作，操作確認(rèn)，學(xué)會(huì)用模擬方法估計(jì)概率。
情感態(tài)度與價(jià)值觀：進(jìn)一步體會(huì)概率與統(tǒng)計(jì)之間密不可分的聯(lián)系；充滿(mǎn)激情的投入學(xué)習(xí)活動(dòng)中，體會(huì)合作學(xué)習(xí)的快樂(lè)。
【教學(xué)重難點(diǎn)】
重點(diǎn)：利用隨機(jī)數(shù)估計(jì)事件的概率
難點(diǎn)：設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)脑囼?yàn)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)并加以利用 【教材分析】
隨機(jī)模擬法主要適用于非古典概型類(lèi)求概率的題目，教材中介紹了兩種產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法：用計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)、用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)。這樣安排是為了把現(xiàn)代信息技術(shù)運(yùn)用到教學(xué)中，但在實(shí)際教學(xué)中有兩個(gè)困難：一是不同型號(hào)的計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法不同，在課堂教學(xué)中難以統(tǒng)一；二是學(xué)生的計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)較差，對(duì)Excel軟件的使用較為陌生。結(jié)合本節(jié)課內(nèi)容的特點(diǎn)，在教學(xué)安排上，淡化隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生過(guò)程的教學(xué)，而重點(diǎn)放在隨機(jī)模擬法估計(jì)概率的教學(xué)上，至于隨機(jī)數(shù)的使用，可以借助課本103頁(yè)的隨機(jī)數(shù)表來(lái)完成?！窘虒W(xué)過(guò)程】 [前提測(cè)評(píng)]
1、古典概型的特征：（1）有限性：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；（2）等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。
2、古典概型的概率計(jì)算公式：
A包含的基本事件的個(gè)數(shù) P(A)?基本事件的總數(shù)
3、盒中裝有形狀、大小完全相同的5個(gè)小球，其中紅色球3個(gè)，黃色球2個(gè)，若從中隨機(jī)取出2個(gè)球，求所取出的2個(gè)球的顏色不同的概率。
解：分別記紅色球?yàn)?,2,3號(hào)，黃色球?yàn)?,5號(hào)，所有的基本事件有10個(gè)：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）
記“所取出的2個(gè)球的顏色不同”為事件A，則事件A包含的基本事件有6個(gè)：（1,4），（1,5），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5）
因此概率為0.6 [目標(biāo)展示]（略）[導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)]
一、隨機(jī)數(shù)
1、隨機(jī)數(shù)：要產(chǎn)生1~n之間的隨機(jī)數(shù)，把n個(gè)大小、形狀相同的小球分別標(biāo)上1,2，?，n，放入一個(gè)袋子中，充分?jǐn)嚢?，然后從中摸出一個(gè)，這個(gè)球上的數(shù)就稱(chēng)為隨機(jī)數(shù)。
2、隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生：（1）抽簽法；（2）計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生：偽隨機(jī)數(shù)。注：隨機(jī)數(shù)表中的隨機(jī)數(shù)是用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)。
二、隨機(jī)數(shù)模擬法求概率近似值
例6 天氣預(yù)報(bào)說(shuō)，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為40%.這三天中恰有兩天下雨的概率大概是多少？
思考：
1、本題是古典概型嗎？為什么？
答：不是，因?yàn)椤跋掠辍焙汀安幌掠辍钡目赡苄圆煌?/p>
解：第一步：設(shè)計(jì)概率模型——用隨機(jī)數(shù)模擬每一天下雨的概率為40%.用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨，這樣可以體現(xiàn)下雨的概率是40%.因?yàn)槭?天，所以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，作為三天的模擬結(jié)果。
第二步：進(jìn)行統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)——用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬試驗(yàn)。也可以直接利用隨機(jī)數(shù)表進(jìn)行模擬。
用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)（每組由3個(gè)數(shù)字組成），例如：
907
966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 第三步：統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果。
在每組數(shù)中，如果恰有兩個(gè)數(shù)在1,2,3,4中，則表示恰有兩天下雨，它們分別191,271,932,812,393，共5個(gè)數(shù)。
因此，三天中恰有兩天下雨的概率近似為25%
2、根據(jù)本題的解題過(guò)程，總結(jié)隨機(jī)數(shù)模擬法求概率近似值的步驟。
答：分三個(gè)步驟：（1）設(shè)計(jì)概率模型，（2）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)；（3）統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果。
3、再模擬一次，所得結(jié)果一樣嗎？為什么？
答：不一樣。因?yàn)橛媒y(tǒng)計(jì)的方法得到的只是頻率，而頻率只是概率的近似值。
三、小組合作學(xué)習(xí)：
將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連擲三次，出現(xiàn)“2個(gè)正面朝上、1個(gè)反面朝上”和“1個(gè)正面朝上、2個(gè)反面朝上”的概率各是多少？用隨機(jī)模擬的方法做100次試驗(yàn)，計(jì)算各自的概率的近似值。（提示：你可能會(huì)用到下面的0-1隨機(jī)數(shù)表）
參考解答：用數(shù)字0表示反面向上，數(shù)字1表示正面向上。因?yàn)槭沁B擲三次，所以每3
個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，作為1次試驗(yàn)的結(jié)果，因此需要產(chǎn)生100組隨機(jī)數(shù)。
從上述隨機(jī)數(shù)表中，按照一定順序取出100組隨機(jī)數(shù)，例如： 001，000，000，111，111，100，110，1 10，101，000，011，0 00，100，111，000，011，001，101，000，111，000，100，010，011，101，011，001，101，101，010，010，101，101，000，000，000，010，111，100，001，011，111，100，011，110，011，110，101，010，111，000，111，011，011，100，100，100，000，000，110，101，001，11 1，110，101，010，000，111，011，011，000，001，111，011，100，111，001，110，011，010，000，011，111，100，111，011，111，111，011，001，100，111，11 1，011，010，101，010，111，110，111（1）如果恰有兩個(gè)1在一組中，則表示出現(xiàn)“2個(gè)正面朝上、1個(gè)反面朝上”，這樣的數(shù)共有35個(gè)，因此P（“2個(gè)正面朝上、1個(gè)反面朝上”）≈35÷100=0.35.（2）如果只有一個(gè)1在一組中，則表示出現(xiàn)“1個(gè)正面朝上、2個(gè)反面朝上”，這樣的數(shù)共有28個(gè)，因此P（“1個(gè)正面朝上、2個(gè)反面朝上”）≈28÷100=0.28.[達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng)]
1、假定某運(yùn)動(dòng)員每次投擲飛鏢正中靶心的概率為40%，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1,2,3,4表示命中靶心，5,6,7,8,9,0表示未命中靶心；再以每?jī)蓚€(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表兩次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：
28 12 45 85 69 68 34 31 25
93 02 75 56 48 87 30 11 35 據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員兩次擲鏢恰有一次正中靶心的概率為（）
A.0.50
B.0.45
C.0.40
D.0.35
2、一個(gè)小組有6位同學(xué)，選1為小組長(zhǎng)，用隨機(jī)模擬法估計(jì)甲被選中的概率，下面步驟錯(cuò)誤的是
（）①把6名同學(xué)編號(hào)為1~6；②利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1到6之間的整數(shù)隨機(jī)數(shù)；③統(tǒng)計(jì)總試驗(yàn)次數(shù)N及甲的編號(hào)出現(xiàn)的個(gè)數(shù)n;④計(jì)算頻率fn(A)?n1一定等于
6Nn，即為甲N被選中的概率的近似值；⑤ A.①
B.② ③
C.④
D.⑤
第二篇：示范教案(說(shuō)課稿)(3.3.2 均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生)
3.3.2 均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)分析
本節(jié)在學(xué)生已經(jīng)掌握幾何概型的基礎(chǔ)上,來(lái)學(xué)習(xí)解決幾何概型問(wèn)題的又一方法,本節(jié)課的教學(xué)對(duì)全面系統(tǒng)地理解掌握概率知識(shí),對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生自覺(jué)動(dòng)手、動(dòng)腦的習(xí)慣,對(duì)于學(xué)生辯證思想的進(jìn)一步形成,具有良好的作用.通過(guò)對(duì)本節(jié)例題的模擬試驗(yàn),認(rèn)識(shí)用計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)解決概率問(wèn)題的方法,體會(huì)到用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù),可以產(chǎn)生大量的隨機(jī)數(shù),又可以自動(dòng)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的結(jié)果,同時(shí)可以在短時(shí)間內(nèi)多次重復(fù)試驗(yàn),可以對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性和規(guī)律性有更深刻的認(rèn)識(shí).三維目標(biāo)
1.通過(guò)模擬試驗(yàn),感知應(yīng)用數(shù)字解決問(wèn)題的方法,了解均勻隨機(jī)數(shù)的概念；掌握利用計(jì)算器（計(jì)算機(jī)）產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)的方法；自覺(jué)養(yǎng)成動(dòng)手、動(dòng)腦的良好習(xí)慣.2.會(huì)利用均勻隨機(jī)數(shù)解決具體的有關(guān)概率的問(wèn)題,理解隨機(jī)模擬的基本思想是用頻率估計(jì)概率.學(xué)習(xí)時(shí)養(yǎng)成勤學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣,培養(yǎng)邏輯思維能力和探索創(chuàng)新能力.重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：掌握［0,1］上均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生及［a,b］上均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生.學(xué)會(huì)采用適當(dāng)?shù)碾S機(jī)模擬法去估算幾何概率.教學(xué)難點(diǎn)：利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)并運(yùn)用到概率的實(shí)際應(yīng)用中.課時(shí)安排
1課時(shí)
教學(xué)過(guò)程
導(dǎo)入新課
思路1
在古典概型中我們可以利用（整數(shù)值）隨機(jī)數(shù)來(lái)模擬古典概型的問(wèn)題,那么在幾何概型中我們能不能通過(guò)隨機(jī)數(shù)來(lái)模擬試驗(yàn)?zāi)兀咳绻軌蛭覀內(nèi)绾萎a(chǎn)生隨機(jī)數(shù)？又如何利用隨機(jī)數(shù)來(lái)模擬幾何概型的試驗(yàn)?zāi)兀恳霰竟?jié)課題：均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生.思路2
復(fù)習(xí)提問(wèn)：（1）什么是幾何概型？（2）幾何概型的概率公式是怎樣的？（3）幾何概型的特點(diǎn)是什么？這節(jié)課我們接著學(xué)習(xí)下面的內(nèi)容,均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生.推進(jìn)新課 新知探究 提出問(wèn)題
(1)請(qǐng)說(shuō)出古典概型的概念、特點(diǎn)和概率的計(jì)算公式？(2)請(qǐng)說(shuō)出幾何概型的概念、特點(diǎn)和概率的計(jì)算公式？
(3)給出一個(gè)古典概型的問(wèn)題,我們除了用概率的計(jì)算公式計(jì)算概率外,還可用什么方法得到概率？對(duì)于幾何概型我們是否也能有同樣的處理方法呢？
(4)請(qǐng)你根據(jù)整數(shù)值隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生,用計(jì)算器模擬產(chǎn)生［0,1］上的均勻隨機(jī)數(shù).(5)請(qǐng)你根據(jù)整數(shù)值隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生,用計(jì)算機(jī)模擬產(chǎn)生［0,1］上的均勻隨機(jī)數(shù).(6)［a,b］上均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生.活動(dòng)：學(xué)生回顧所學(xué)知識(shí),相互交流,在教師的指導(dǎo)下,類(lèi)比前面的試驗(yàn),一一作出回答,教師及時(shí)提示引導(dǎo).討論結(jié)果：
(1)在一個(gè)試驗(yàn)中如果 a.試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；（有限性）b.每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.（等可能性）
我們將具有這兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱(chēng)為古典概率模型（classical models of probability）,簡(jiǎn)稱(chēng)古典概型.古典概型計(jì)算任何事件的概率計(jì)算公式為：P（A）=
A所包含的基本事件的個(gè)數(shù).基本事件的總數(shù)(2)對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),我們將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn),該區(qū)域中的每一個(gè)點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣,而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn).這里的區(qū)域可以是線(xiàn)段、平面圖形、立體圖形等.用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn),稱(chēng)為幾何概型.幾何概型的基本特點(diǎn)：
a.試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè)； b.每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.幾何概型的概率公式：P（A）=
構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積).試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積)(3)我們可以用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器模擬試驗(yàn)產(chǎn)生整數(shù)值隨機(jī)數(shù)來(lái)近似地得到所求事件的概率,對(duì)于幾何概型應(yīng)當(dāng)也可.(4)我們常用的是［0,1］上的均勻隨機(jī)數(shù).可以利用計(jì)算器來(lái)產(chǎn)生0—1之間的均勻隨機(jī)數(shù)(實(shí)數(shù)),方法如下：
試驗(yàn)的結(jié)果是區(qū)間［0,1］內(nèi)的任何一個(gè)實(shí)數(shù),而且出現(xiàn)任何一個(gè)實(shí)數(shù)是等可能的,因此,就可以用上面的方法產(chǎn)生的0—1之間的均勻隨機(jī)數(shù)進(jìn)行隨機(jī)模擬.(5)a.選定A1格,鍵入“=RAND（）”,按Enter鍵,則在此格中的數(shù)是隨機(jī)產(chǎn)生的［0,1］之間的均勻隨機(jī)數(shù).b.選定A1格,按Ctrl+C快捷鍵,選定A2—A50,B1—B50,按Ctrl+V快捷鍵,則在A2—A50, B1—B50的數(shù)均為［0,1］之間的均勻隨機(jī)數(shù).(6)［a,b］上均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生：
利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生［0,1］上的均勻隨機(jī)數(shù)X=RAND, 然后利用伸縮和平移變換,X=X*(b-a)+a就可以得到［a,b］上的均勻隨機(jī)數(shù),試驗(yàn)結(jié)果是［a,b］內(nèi)任何一實(shí)數(shù),并且是等可能的.這樣我們就可以通過(guò)計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生的均勻隨機(jī)數(shù),用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)事件的概率.應(yīng)用示例
思路1 例1 假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙,送報(bào)人可能在早上6：30—7：30之間把報(bào)紙送到你家,你父親離開(kāi)家去工作的時(shí)間在早上7：00—8：00之間,問(wèn)你父親在離開(kāi)家前能得到報(bào)紙（稱(chēng)為事件A）的概率是多少？ 活動(dòng)：用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)模擬試驗(yàn),我們可以利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0—1之間的均勻隨機(jī)數(shù),利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生B是0—1的均勻隨機(jī)數(shù),則送報(bào)人送報(bào)到家的時(shí)間為B+6.5,利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生A是0—1的均勻隨機(jī)數(shù),則父親離家的時(shí)間為A+7,如果A+7＞B+6.5,即A＞B-0.5時(shí),事件E={父親離家前能得到報(bào)紙}發(fā)生.也可用幾何概率的計(jì)算公式計(jì)算.解法一：1.選定A1格,鍵入“=RAND（）”,按Enter鍵,則在此格中的數(shù)是隨機(jī)產(chǎn)生的［0,1］之間的均勻隨機(jī)數(shù).2.選定A1格,按Ctrl+C快捷鍵,選定A2—A50,B1—B50,按Ctrl+V快捷鍵,則在A2—A50,B1—B50的數(shù)均為［0,1］之間的均勻隨機(jī)數(shù).用A列的數(shù)加7表示父親離開(kāi)家的時(shí)間,B列的數(shù)加6.5表示報(bào)紙到達(dá)的時(shí)間.這樣我們相當(dāng)于做了50次隨機(jī)試驗(yàn).3.如果A+7>B+6.5,即A-B>-0.5,則表示父親在離開(kāi)家前能得到報(bào)紙.4.選定D1格,鍵入“=A1-B1”；再選定D1,按Ctrl+C,選定D2—D50,按Ctrl+V.5.選定E1格,鍵入頻數(shù)函數(shù)“=FREQUENCY（D1：D50,-0.5）”,按Enter鍵,此數(shù)是統(tǒng)計(jì)D列中,比-0.5小的數(shù)的個(gè)數(shù),即父親在離開(kāi)家前不能得到報(bào)紙的頻數(shù).6.選定F1格,鍵入“=1-E1/50”,按Enter鍵,此數(shù)是表示統(tǒng)計(jì)50次試驗(yàn)中,父親在離開(kāi)家前能得到報(bào)紙的頻率.解法二：以橫坐標(biāo)X表示報(bào)紙送到時(shí)間,以縱坐標(biāo)Y表示父親離家時(shí)間,建立平面直角坐標(biāo)系,父親在離開(kāi)家前能得到報(bào)紙的事件構(gòu)成區(qū)域是下圖：
由于隨機(jī)試驗(yàn)落在方形區(qū)域內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的,所以符合幾何概型的條件.根據(jù)題意,只要點(diǎn)落到陰影部分,就表示父親在離開(kāi)家前能得到報(bào)紙,即事件A發(fā)生,所以1111???222?7.P(A)=18例2 在如下圖的正方形中隨機(jī)撒一把豆子,用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬的方法估算圓周率的值.解法1：隨機(jī)撒一把豆子,每個(gè)豆子落在正方形內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的,落在每個(gè)區(qū)域的豆子數(shù)與這個(gè)區(qū)域的面積近似成正比,即
圓的面積落在圓中的豆子數(shù)?.正方形的面積落在正方形中的豆子數(shù)假設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,則
圓的面積????.正方形的面積2?24落在圓中的豆子數(shù)×4，落在正方形中的豆子數(shù)由于落在每個(gè)區(qū)域的豆子數(shù)是可以數(shù)出來(lái)的,所以π≈這樣就得到了π的近似值.解法2：（1）用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組［0,1］內(nèi)均勻隨機(jī)數(shù)a1=RAND（）,b1=RAND（）.（2）經(jīng)過(guò)平移和伸縮變換,a=(a1-0.5)*2,b=(b1-0.5)*2.（3）數(shù)出落在圓x2+y2=1內(nèi)的點(diǎn)（a,b）的個(gè)數(shù)N1,計(jì)算π=
4N1（N代表落在正方形中的點(diǎn)N（a,b）的個(gè)數(shù)）.點(diǎn)評(píng)：可以發(fā)現(xiàn),隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,得到圓周率的近似值的精確度會(huì)越來(lái)越高,利用幾何概型并通過(guò)隨機(jī)模擬的方法可以近似計(jì)算不規(guī)則圖形的面積.例3 利用隨機(jī)模擬方法計(jì)算下圖中陰影部分（y=1和y=x2所圍成的部分）的面積.分析：師生共同討論,在坐標(biāo)系中畫(huà)出矩形（x=1,x=-1,y=1和y=-1所圍成的部分）,利用模擬的方法根據(jù)落在陰影部分的“豆子”數(shù)和落在矩形的“豆子”數(shù)的比值,等于陰影面積與矩形面積的比值.解：（1）用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組［0,1］內(nèi)均勻隨機(jī)數(shù)a1=RAND（）,b=RAND（）.（2）進(jìn)行平移和伸縮變換,a=(a1-0.5)*2.（3）數(shù)出落在陰影內(nèi)（即滿(mǎn)足0
2N1=1.396.N（N代表落在矩形中的點(diǎn)（a,b）的個(gè)數(shù)）.思路2 例1 取一根長(zhǎng)度為3 m的繩子,拉直后在任意位置剪斷,那么剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1 m的概率有多大？
分析：在任意位置剪斷繩子,則剪斷位置到一端點(diǎn)的距離取遍［0,3］內(nèi)的任意數(shù),并且每一個(gè)實(shí)數(shù)被取到都是等可能的.因此在任意位置剪斷繩子的所有結(jié)果(基本事件)對(duì)應(yīng)［0,3］上的均勻隨機(jī)數(shù),其中取得的［1,2］內(nèi)的隨機(jī)數(shù)就表示剪斷位置與端點(diǎn)距離在［1,2］內(nèi),也就是剪得兩段長(zhǎng)都不小于1 m.這樣取得的［1,2］內(nèi)的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)與［0,3］內(nèi)的個(gè)數(shù)之比就是事件A發(fā)生的概率.解法一：(1)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生一組0到1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)a1=RAND.(2)經(jīng)過(guò)伸縮變換,a=a1×3.(3)統(tǒng)計(jì)出［1,2］內(nèi)隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)N1和［0,3］內(nèi)隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)N.(4)計(jì)算頻率fn(A)=N1即為概率P(A)的近似值.N解法二：做一個(gè)帶有指針的圓盤(pán),把圓周三等分,標(biāo)上刻度［0,3］(這里3和0重合).轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)記下指針在［1,2］(表示剪斷繩子位置在［1,2］范圍內(nèi))的次數(shù)N1及試驗(yàn)總次數(shù)N,則fn(A)即為概率P(A)的近似值.點(diǎn)評(píng)：用隨機(jī)數(shù)模擬的關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題中事件A及基本事件總體對(duì)應(yīng)的區(qū)域轉(zhuǎn)化為隨機(jī)數(shù)的范圍.解法2用轉(zhuǎn)盤(pán)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù),這種方法可以親自動(dòng)手操作,但費(fèi)時(shí)費(fèi)力,試驗(yàn)次數(shù)不可能很大;解法1用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù),可以產(chǎn)生大量的隨機(jī)數(shù),又可以自動(dòng)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的結(jié)果,同時(shí)可以在短時(shí)間內(nèi)多次重復(fù)試驗(yàn),可以對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性和規(guī)律性有更深刻的認(rèn)識(shí).例2 利用隨機(jī)模擬方法計(jì)算曲線(xiàn)y=
1,x=1,x=2和y=0所圍成的圖形的面積.x活動(dòng)：在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出正方形（x=1,x=2,y=0,y=1所圍成的部分）,用隨機(jī)模擬的方法可以得到它的面積的近似值.解：（1）利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組0到1區(qū)間上的隨機(jī)數(shù),a1=RAND,b=RAND；（2）進(jìn)行平移變換：a=a1+1；（其中a,b分別為隨機(jī)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)）（3）數(shù)出落在陰影內(nèi)的點(diǎn)數(shù)N1,用幾何概型公式計(jì)算陰影部分的面積.例如,做1 000次試驗(yàn),即N=1 000,模擬得到N1=689, 所以SN1?=0.689,即S≈0.689.1N點(diǎn)評(píng)：模擬計(jì)算的步驟：（1）構(gòu)造圖形（作圖）；
（2）模擬投點(diǎn),計(jì)算落在陰影部分的點(diǎn)的頻率
m； n（3）利用md的測(cè)度≈P(A)=算出相應(yīng)的量.nD的測(cè)度變式訓(xùn)練
在長(zhǎng)為12 cm的線(xiàn)段AB上任取一點(diǎn)M,并以線(xiàn)段AM為邊作正方形,求這個(gè)正方形的面積介于36 cm2與81 cm2之間的概率.分析：正方形的面積只與邊長(zhǎng)有關(guān),此題可以轉(zhuǎn)化為在12 cm長(zhǎng)的線(xiàn)段AB上任取一點(diǎn)M,求使得AM的長(zhǎng)度介于6 cm與9 cm之間的概率.解：(1)用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生一組［0,1］內(nèi)均勻隨機(jī)數(shù)a1=RAND.(2)經(jīng)過(guò)伸縮變換,a=a1×12得到［0,12］內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù).(3)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)總次數(shù)N和［6,9］內(nèi)隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)N1.(4)計(jì)算頻率.記事件A={面積介于36 cm2與81 cm2之間}={長(zhǎng)度介于6 cm與9 cm之間},則P(A)的近似值為fn(A)=N1.N知能訓(xùn)練
有一個(gè)半徑為5的圓,現(xiàn)在將一枚半徑為1的硬幣向圓投去,如果不考慮硬幣完全落在圓外的情況,試求硬幣完全落入圓內(nèi)的概率.解：由題意,如右圖,因?yàn)橛矌磐耆湓趫A外的情況是不考慮的,所以硬幣的中心均勻地分布在半徑為6的圓O內(nèi),且只有中心落入與圓O同心且半徑為4的圓內(nèi)時(shí),硬幣才完全落入圓內(nèi).??424?.記“硬幣完全落入圓內(nèi)”為事件A,則P(A)=29??6
答：硬幣完全落入圓內(nèi)的概率為
4.9拓展提升
如右圖,∠AOB=60°,OA=2,OB=5,在線(xiàn)段OB上任取一點(diǎn)C，試求：（1）△AOC為鈍角三角形的概率；（2）△AOC為銳角三角形的概率.解：如右圖,由平面幾何知識(shí)： 當(dāng)AD⊥OB時(shí),OD=1； 當(dāng)OA⊥AE時(shí),OE=4,BE=1.（1）當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段OD或BE上時(shí),△AOC為鈍角三角形, 記“△AOC為鈍角三角形”為事件M,則P(M)=
OD?EB1?1?=0.4，OB5即△AOC為鈍角三角形的概率為0.4.（2）當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段DE上時(shí),△AOC為銳角三角形, 記“△AOC為銳角三角形”為事件N,則P(N)=
DE3?=0.6, OB5即△AOC為銳角三角形的概率為0.6.課堂小結(jié)
均勻隨機(jī)數(shù)在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用,我們可以利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)來(lái)產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù),從而來(lái)模擬隨機(jī)試驗(yàn),其具體方法是：建立一個(gè)概率模型,它與某些我們感興趣的量（如概率值、常數(shù)）有關(guān),然后設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)脑囼?yàn),并通過(guò)這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果來(lái)確定這些量.作業(yè)
課本習(xí)題3.3B組題.設(shè)計(jì)感想
本節(jié)課我們根據(jù)問(wèn)題的需要利用一組隨機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬試驗(yàn),也利用兩組隨機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬試驗(yàn).用隨機(jī)數(shù)模擬的關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題中事件A及基本事件總體對(duì)應(yīng)的區(qū)域轉(zhuǎn)化為隨機(jī)數(shù)的范圍.用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù),可以產(chǎn)生大量的隨機(jī)數(shù),又可以自動(dòng)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的結(jié)果,同時(shí)可以在短時(shí)間內(nèi)多次重復(fù)試驗(yàn),可以對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性和規(guī)律性有更深刻的認(rèn)識(shí)；相信通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)一定會(huì)提高同學(xué)們的應(yīng)用能力,也能解決平常不能解決的一些問(wèn)題.
第三篇：課題：古典概型及隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生
高二（文科）教學(xué)案 NO：20 課題：古典概型及隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生
一、教學(xué)目標(biāo)：
1．正確理解古典概型的兩大特點(diǎn)： 1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；
2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等；
2．掌握古典概型的概率計(jì)算公式：P（A）=
A包含的基本事件個(gè)數(shù)
總的基本事件個(gè)數(shù)3．了解隨機(jī)數(shù)的概念；
4．利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，并能直接統(tǒng)計(jì)出頻數(shù)與頻率。
二、重點(diǎn)與難點(diǎn)：
1、正確理解掌握古典概型及其概率公式；
2、正確理解隨機(jī)數(shù)的概念，并能應(yīng)用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)．
三、學(xué)法與教學(xué)用具：
1、與學(xué)生共同探討，應(yīng)用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題；
2、通過(guò)模擬試驗(yàn)，感知應(yīng)用數(shù)字解決問(wèn)題的方法，自覺(jué)養(yǎng)成動(dòng)手、動(dòng)腦的良好習(xí)慣．
四、教學(xué)設(shè)想：
1、創(chuàng)設(shè)情境：（1）擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，結(jié)果只有2個(gè)，即“正面朝上”或“反面朝上”，它們都是隨機(jī)事件。
（2）一個(gè)盒子中有10個(gè)完全相同的球，分別標(biāo)以號(hào)碼1，2，3，?，10，從中任取一球，只有10種不同的結(jié)果，即標(biāo)號(hào)為1，2，3?，10。師生共同探討：根據(jù)上述情況，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同特點(diǎn)？
2、基本概念：
（1）基本事件、古典概率模型、隨機(jī)數(shù)、偽隨機(jī)數(shù)的概念見(jiàn)課本P121~126；
（2）古典概型的概率計(jì)算公式：P（A）=
A包含的基本事件個(gè)數(shù)．
總的基本事件個(gè)數(shù)
3、例題分析：
例1 擲一顆骰子，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，求擲得奇數(shù)點(diǎn)的概率。
小結(jié)：利用古典概型的計(jì)算公式時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：
（1）所有的基本事件必須是互斥的；
（2）m為事件A所包含的基本事件數(shù)，求m值時(shí)，要做到不重不漏。例2 從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的三件產(chǎn)品中，每次任取一件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率。
例3 現(xiàn)有一批產(chǎn)品共有10件，其中8件為正品，2件為次品：
（1）如果從中取出一件，然后放回，再取一件，求連續(xù)3次取出的都是 8
正品的概率；
（2）如果從中一次取3件，求3件都是正品的概率．
分析：（1）為返回抽樣；（2）為不返回抽樣．
小結(jié)：關(guān)于不放回抽樣，計(jì)算基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，既可以看作是有順序的，也可以看作是無(wú)順序的，其結(jié)果是一樣的，但不論選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤．
例5 某籃球愛(ài)好者，做投籃練習(xí)，假設(shè)其每次投籃命中的概率是40%，那么在連續(xù)三次投籃中，恰有兩次投中的概率是多少？
小結(jié)：（1）利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器做隨機(jī)模擬試驗(yàn)，可以解決非古典概型的概率的求解問(wèn)題。
（2）對(duì)于上述試驗(yàn)，如果親手做大量重復(fù)試驗(yàn)的話(huà)，花費(fèi)的時(shí)間太多，因此利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器做隨機(jī)模擬試驗(yàn)可以大大節(jié)省時(shí)間。（3）隨機(jī)函數(shù)RANDBETWEEN（a,b）產(chǎn)生從整數(shù)a到整數(shù)b的取整數(shù)
值的隨機(jī)數(shù)。
4、課堂小結(jié)：
本節(jié)主要研究了古典概型的概率求法，解題時(shí)要注意兩點(diǎn)：
（1）古典概型的使用條件：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性。（2）古典概型的解題步驟；
①求出總的基本事件數(shù)；
②求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式P（A）=A包含的基本事件數(shù)
總的基本事件個(gè)數(shù)（3）隨機(jī)數(shù)量具有廣泛的應(yīng)用，可以幫助我們安排和模擬一些試驗(yàn)，這樣可以代替我們自己做大量重復(fù)試驗(yàn)，比如現(xiàn)在很多城市的重要考試采用產(chǎn)生 9 隨機(jī)數(shù)的方法把考生分配到各個(gè)考場(chǎng)中。
5、課后訓(xùn)練鞏固
1．在40根纖維中，有12根的長(zhǎng)度超過(guò)30mm，從中任取一根，取到長(zhǎng)度超過(guò)30mm的纖維的概率是（）
A．301212
B．
C．
D．以上都不對(duì) 4040302．盒中有10個(gè)鐵釘，其中8個(gè)是合格的，2個(gè)是不合格的，從中任取一個(gè)恰為合格鐵釘?shù)母怕适牵ǎ?/p>
A．1141
B．
C．
D．
545103．在大小相同的5個(gè)球中，2個(gè)是紅球，3個(gè)是白球，若從中任取2個(gè)，則所取的2個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率是
。4．拋擲2顆質(zhì)地均勻的骰子，求點(diǎn)數(shù)和為8的概率。
5．利用計(jì)算器生產(chǎn)10個(gè)1到20之間的取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)。
五．課后反思總節(jié)
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第四篇：數(shù)值分析教教案18
4.1.3 Newton法
1.算法的基本思想
圖4-5 牛頓法原理示意圖
將非線(xiàn)性方程線(xiàn)性化，以線(xiàn)性方程的解逐步逼近非線(xiàn)性方程的解，這就是Newton法的基本思想。
把函數(shù)f(x)在某一初始值x0點(diǎn)附近展開(kāi)成Taylor級(jí)數(shù)有
f??(x0)f(x)?f(x0)?(x?x0)f?(x0)?(x?x0)??取其
2!線(xiàn)性部分，近似地代替函數(shù)f(x)可得方程的近似式：
2f(x)?f(x0)?(x?x0)f?(x0)?0
設(shè)f?(x0)?0，解該近似方程可得：
f(x0)x1?x0?f?(x0)
可作為方程（4-1）的近似解。重復(fù)以上過(guò)程，得迭代公式
xk?1f(xk)?xk?(k?0,1,2,?)（4-8）
f?(xk)按式（4-8）求方程（4-1）的近似解稱(chēng)為Newton法。Newton法也是一種不動(dòng)點(diǎn)迭代，其迭代函數(shù)為
f(x)g(x)?x?f?(x)
如圖（4-5）所示，從幾何上看，y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)為曲線(xiàn)y?f(x)過(guò)點(diǎn)(x0,f(x0))的切線(xiàn)，x1為切線(xiàn)與x軸交點(diǎn)，x2則
x軸的交點(diǎn)。如此繼續(xù)下去，xk?1為曲線(xiàn)上點(diǎn)(x,f(x))處的切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)。因此Newton法是以曲線(xiàn)的切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)作為曲線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的近似，故是曲線(xiàn)上點(diǎn)(x1,f(x1))處的切線(xiàn)與
kkNewton法又稱(chēng)為切線(xiàn)法。
2.切線(xiàn)法的收斂性
理論可以證明，在有根區(qū)間[a,b]上，f?(x)?0,f??(x)連續(xù)且不變號(hào)，則只要選取的初始近似根
x0滿(mǎn)足f(x0)f??(x0)?0，切線(xiàn)法必定收斂。它的收斂速度可如下推出。
方程f(x)?0可以等價(jià)地寫(xiě)成f(x)?(x?x)f?(x)，若f?(x)?0f(x)f(x)移項(xiàng)可得x?x?f?(x)。設(shè)g(x)?x?f?(x)，兩邊求導(dǎo)得f(x)f??(x)????g?(x)??f(x)?0g(x)?0。x?x，則必得 2，代入[f?(x)]另一方面，比較迭代公式xk?1f(xk)?xk?f?(xk)和f(x)?g(x)?x?g(x)x?g(x)x可知。把函數(shù)在點(diǎn)展k?1kf?(x)成泰勒級(jí)數(shù)，只取到二階導(dǎo)數(shù)則有：
???g(x)????2??g(xk)?g(x)?g(x)(xk?x)?(xk?x)由
2???g(x)??g(xk)?g(x)?(xk?x?)2，移
2xk?1??g(x)?0，所以有xk?1于??x?g(x)，得出 項(xiàng)并注意
???g(x)??xk?1?g(x)?xk?1?x?(xk?x?)2
2為了將式中的g??(x)換成f?f(x)f??(x)(x)，對(duì)g?(x)?[f?(x)]2兩邊求導(dǎo)，并代入f(x)?0，則有：
???f(x)?g??(x)?f?(x?)*將它代入前式得出
???f(x)??2xk?1?x?(xk?x)?（4-9）2f?(x)???f(x)2f?(x?)是個(gè)常數(shù)，式（4-9）表明用牛頓迭代公式在某次算得的誤差，與上次誤差的平方成正比，可見(jiàn)牛頓迭代公式的收斂速度很快，但計(jì)算實(shí)踐表明，當(dāng)初值不夠好時(shí)，Newton法可能發(fā)散。一般可由問(wèn)題的實(shí)際背景來(lái)預(yù)測(cè)或由對(duì)分區(qū)間法求得較好的初始值。
3.Newton迭代公式Matlab實(shí)現(xiàn)
按照算法4-4編寫(xiě)迭代法的Matlab程序(函數(shù)名:Newton.m).function [p1,err,k,y]=newton(f,df,p0,delta,max1)% f是非線(xiàn)性函數(shù) % df是f的微商 % p0是初始值
% delta是給定允許誤差 % max1是迭代的最大次數(shù)
% p1是牛頓法求得的方程的近似值 % err是p0的誤差估計(jì) % k是迭代次數(shù) % y=f(p1)p0,feval('f',p0)for k=1:max1 p1=p0-feval('f',p0)/feval('df',p0);err=abs(p1-p0);p0=p1;p1,err,k,y=feval('f',p1)if(err 3x?3x?2的近似值，給定一個(gè)初始值【例4-3】求方程p0?1.2，誤差界為10?6。 首先，在MATLAB命令窗口輸入： fplot('[x^3-3*x+2,0]',[-2.5 2.5]);grid;回車(chē)得到如圖4-6所示圖形，即可知函數(shù)f(x)與x軸有交點(diǎn)，也就是說(shuō)有根，并且從圖中能夠大致估算到根的位置。 3f(x)?x?3x?2： 先用一個(gè)名為f.m的文件定義函數(shù)function y=f(x)y=x^3-3*x+2; 2df(x)?3x?3： 再用一個(gè)名為df.m的文件定義函數(shù)的微商function y=df(x)y=3*x^2-3;然后在MATLAB命令窗口輸入： >> newton('f','df',1.2,10^(-6),10) 圖4-6 f(x)與x軸交點(diǎn)顯示圖 回車(chē)得到如下結(jié)果（只給出了最后兩次迭代結(jié)果）： …… k = 9 p1 = 1.0004 err = 4.1596e-004 k = 10 p1 = 1.0002 err = 2.0802e-004 ans = 1.0002 4.1.4弦截法 1.弦截法基本原理 圖4-7弦截法原理示意圖 f?(xk)的值，當(dāng)f比較復(fù)雜時(shí)難以實(shí)現(xiàn)，下面要介紹的弦截法用f(x)在兩個(gè)點(diǎn)上的值構(gòu)造一次插值函用牛頓法解非性方程要知道數(shù)來(lái)回避微商的計(jì)算。 給定非線(xiàn)性方程f(x)?0，選定曲線(xiàn) y?f(x)上的兩個(gè)點(diǎn)P0(x0,f(x0))，P1(x1,f(x1))，過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)作一條直線(xiàn)P0P1，則直f(x1)?f(x0)(x?x1)。當(dāng)線(xiàn)方程y?f(x1)?x1?x0f(x0)?f(x1)時(shí)，f(x1)(x1?x0)x2?x1?xx直線(xiàn)P0P與軸交點(diǎn)為，這時(shí)用2作為1f(x1)?f(x0)曲線(xiàn)y?f(x)與x軸交點(diǎn)的近似值，顯然： x2?x?min(x1?x,x0?x) 這里***x*為f(x)?0的精確解。然后用 P1(x1,f(x1))，P2(x2,f(x2))，構(gòu)造直線(xiàn)P1P2，重復(fù)上述步驟，可以求出x3。 如此進(jìn)行下去，得到迭代格式： f(xk)xk?1?xk?(xk?xk?1)(k?0,1,?)（4-10）f(xk)?f(xk?1)f(xk)?f(xk?1)迭代格式（4-10）實(shí)際上就是用差商取代牛頓公xk?xk?1式xk?1f(xk)?xk??(x)的結(jié)果，所以弦截法可以看成f中的微商f?(xk)牛頓法的一種變形。 弦截法與牛頓雖然都是非線(xiàn)性方程線(xiàn)性化的方法，但牛頓法在計(jì)算xk?1時(shí)只用到xk的值，但是弦截法要用到xk和xk?1的值，故這就要給定兩個(gè)初值。切線(xiàn)法具有恒收斂且收斂速度快的優(yōu)點(diǎn)，但需要求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；弦截法不需要求導(dǎo)數(shù)，收斂速度很快，但是需要知道兩個(gè)近似的初始值才能作出弦，要求的初始值條件較多。2.弦截法的MATLAB實(shí)現(xiàn) function [p1,err,k,y]=secant(f,p0,p1,delta,max1)% f是給定的非線(xiàn)性函數(shù) % p0,p1為初始值 % delta為給定誤差界 % max1是迭代次數(shù)的上限 % p1為所求得的方程的近似解 % err為p1-p0絕對(duì)值 % k為所需要的迭代次數(shù) % y=f(p1)k=0,p0,p1,feval('f',p0),feval('f',p1)for k=1:max1 p2=p1-feval('f',p1)*(p1-p0)/(feval('f',p1)-feval('f',p0));err=abs(p2-p1);p0=p1;p1=p2;k,p1,err, y=feval('f',p1)if(err x?x?2?0，給定初值為 3p0??1.5,p1??1.52,誤差界為10?6。 首先，在MATLAB命令窗口輸入： fplot('[x^3-x+2,0]',[-2.5 2.5]);grid;回車(chē)得到如圖4-8所示圖形，即可知函數(shù)f(x)與x軸有交點(diǎn)，也就是說(shuō)有根，并且從圖中能夠大致估算到根的位置。 3f(x)?x?x?2； 解：先用一個(gè)名為f.m的文件定義function y=f(x)y=x^3-x+2;然后在MATLAB命令窗口輸入： >> secant('f',-1.5,-1.52,10^(-6),11)k =0 p0 =-1.5000 p1 =-1.5200 ans =0.1250 ans =0.0082 k =1 p1 =-1.5214 err =0.0014 y =-1.3633e-004 k =2 p1 =-1.5214 err =2.2961e-005 y =1.4454e-007 k =3 p1 =-1.5214 err =2.4318e-008 y =2.5460e-012 ans =-1.5214 這就表明經(jīng)過(guò)了3次迭代得到滿(mǎn)足精足要求的近似解x?x3??1.5214，且f(x3)?2.546?10?12。? 圖4-8 f(x)與x軸交點(diǎn)顯示圖 4.1.5拋物線(xiàn)法 1.拋物法的基本原理 設(shè)已知方程f(x)＝０的三個(gè)近似根xk,xk-1,xk-2，我們以這三點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造二次插值多項(xiàng)式P(x)的一個(gè)零點(diǎn)xk+1作為新的近似根，這樣確定的迭代過(guò)程稱(chēng)拋物線(xiàn)法。 在幾何圖形上，這種方法的基本思想是用拋物線(xiàn)與 x軸的交點(diǎn)xk+1作為所求根的近似位置（圖6-7）。 圖4-9拋物法圖形 現(xiàn)在推導(dǎo)拋物線(xiàn)法的計(jì)算公式．插值多項(xiàng)式 P(x)=f(xk)+ f[xk,x k-1](x-xk)+f[xk,xk-1,xk-2](x-xk)(x-xk-1) 有兩個(gè)零點(diǎn)： xk+1=xk－式中 2f(xk)ω±ω2-4f(xk)f[xk,xk-1,xk-2](4-11) ω=f[xk,xk-1]+f[xk,xk-1,xk-2](xk-xk-1) 為了從(4-11)式定出一個(gè)值取舍問(wèn)題． 在xk+1，我們需要討論根式前正負(fù)號(hào)的xk,xk－1,xk－2三個(gè)近似根中，自然假定xk更接近所求的根x*，這時(shí)，為了保證精度，我們選定(4-11)中較接近xk的一個(gè)值作為新的近似根xk+1，為此，只要取根式前的符號(hào)與ω的符號(hào)相同。 2.拋物法的計(jì)算步驟 給定非線(xiàn)性方程f(x)?0，誤差界ε，迭代次數(shù)上限N。（1）計(jì)算ω=（2）計(jì)算f[xk,xk－ 1]+f[xk,xk－ 1,xk－ 2](xk－xk－ 1) 2f(xk)，代入： ω±ω2-4f(xk)f[xk,xk-1,xk-2]xk+ 1=xk-2f(xk)ω±ω2-4f(xk)f[xk,xk-1,xk-2] 得出xk+1的值后，計(jì)算f(xk+1)。 *x－xx（3）若k+1≈xk+1；否則的話(huà)，令： k≤ε則迭代停止，取(xk－ 2,xk－ 1,xk,f(xk－ 2),f(xk－ 1),f(xk))=(xk－ 1,xk,xk+ 1,f(xk－ 1),f(xk),f(xk+ 1))，n=n+1。 （4）如果迭代次數(shù)k＞N，則認(rèn)為該迭代格式對(duì)于所選初值不收斂，迭代停止；否則的話(huà)重返步驟（2）。3.拋物法Matlab實(shí)現(xiàn) 按照算法編寫(xiě)迭代法的Matlab程序 function root=Parabola(f,a,b,x,eps)% f是非線(xiàn)性函數(shù) % a為有根區(qū)間的左限 % b為有根區(qū)間的右限 % eps為根的精度 % root為求出的函數(shù)零點(diǎn) % x為初始迭代點(diǎn)的值 if(nargin==4)eps=1.0e-4;end f1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);% subs命令是符號(hào)函數(shù)賦值 f2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);% findsym確定自由變量是對(duì)整個(gè)矩陣進(jìn)行的 if(f1==0)root=a;end if(f2==0)root=b;end if(f1*f2>0)disp('兩端點(diǎn)函數(shù)值乘積大于0!');return;else tol=1;fa=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);fb=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);fx=subs(sym(f),findsym(sym(f)),x);d1=(fb-fa)/(b-a);d2=(fx-fb)/(x-b);d3=(d2-d1)/(x-a);B=d2+d3*(x-b);root=x-2*fx/(B+sign(B)*sqrt(B^2-4*fx*d3));t=zeros(3);t(1)=a;t(2)=b;t(3)=x;while(tol>eps)t(1)=t(2);t(2)=t(3);t(3)=root;f1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),t(1));f2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),t(2));f3=subs(sym(f),findsym(sym(f)),t(3));d1=(f2-f1)/(t(2)-t(1));d2=(f3-f2)/(t(3)-t(2));d3=(d2-d1)/(t(3)-t(1));B=d2+d3*(t(3)-t(2));root=t(3)-2*f3/(B+sign(B)*sqrt(B^2-4*f3*d3));tol=abs(root-t(3));end end 【例4-5】用拋物法求解方程lgx+x=2在區(qū)間[1，4]內(nèi)的一個(gè)根。 首先，在MATLAB命令窗口輸入： fplot('[sqrt(x)+log(x)-2]',[1 4]);grid;回車(chē)得到如圖4-10所示圖形，即可知函數(shù)f(x)與x軸有交點(diǎn)，也就是說(shuō)有根，并且從圖中能夠大致估算到根的位置。 1.510.50-0.5-1 圖4-10 f(x)與x軸交點(diǎn)顯示圖 然后在MATLAB命令窗口輸入： >> r=Parabola(' sqrt(x)+log(x)-2',1,4,2)回車(chē)得到如下結(jié)果： r = 1.8773 從結(jié)果中可以知道，方程lgx+11.522.533.54x=2的一個(gè)根x=1.8773。 標(biāo)準(zhǔn)庫(kù) 從srand(seed)中指定的seed開(kāi)始，返回一個(gè)[seed, RAND_MAX（0x7fff）)間的隨機(jī)整數(shù)。函數(shù)二：void srand(unsigned seed)； 參數(shù)seed是rand()的種子，用來(lái)初始化rand()的起始值。可以認(rèn)為rand()在每次被調(diào)用的時(shí)候，它會(huì)查看： 1）如果用戶(hù)在此之前調(diào)用過(guò)srand(seed)，給seed指定了一個(gè)值，那么它會(huì)自動(dòng)調(diào)用srand(seed)一次來(lái)初始化它的起始值。 2）如果用戶(hù)在此之前沒(méi)有調(diào)用過(guò)srand(seed)，它會(huì)自動(dòng)調(diào)用srand(1)一次。根據(jù)上面的第一點(diǎn)我們可以得出： 1）如果希望rand()在每次程序運(yùn)行時(shí)產(chǎn)生的值都不一樣，必須給srand(seed)中的seed一個(gè)變值，這個(gè)變值必須在每次程序運(yùn)行時(shí)都不一樣（比如到目前為止流逝的時(shí)間）。 2）否則，如果給seed指定的是一個(gè)定值，那么每次程序運(yùn)行時(shí)rand()產(chǎn)生的值都會(huì)一樣，雖然這個(gè)值會(huì)是[seed, RAND_MAX（0x7fff）)之間的一個(gè)隨機(jī)取得的值。 3）如果在調(diào)用rand()之前沒(méi)有調(diào)用過(guò)srand(seed)，效果將和調(diào)用了srand(1)再調(diào)用rand()一樣（1也是一個(gè)定值）。 舉幾個(gè)例子，假設(shè)我們要取得0～6之間的隨機(jī)整數(shù)（不含6本身）： 例一，不指定seed： for(int i=0;i<10;i++){ ran_num=rand()% 6;cout< srand((unsigned)time(0));for(int i=0;i<10;i++){ ran_num=rand()% 6;cout< time_t被定義為長(zhǎng)整型，它返回從1970年1月1日零時(shí)零分零秒到目前為止所經(jīng)過(guò)的時(shí)間，單位為秒。比如假設(shè)輸出： cout< 要取得[a,b)之間的隨機(jī)整數(shù)，使用（rand()%(b-a)）+ a（結(jié)果值將含a不含b）。在a為0的情況下，簡(jiǎn)寫(xiě)為rand()% b。最后，關(guān)于偽隨機(jī)浮點(diǎn)數(shù)： 用rand()/ double(RAND_MAX)可以取得0～1之間的浮點(diǎn)數(shù)（注意，不同于整型時(shí)候的公式，是除以，不是求模），舉例： double ran_numf=0.0;srand((unsigned)time(0));for(int i=0;i<10;i++){ ran_numf = rand()/(double)(RAND_MAX);cout< rand()/(double)(RAND_MAX)改為 rand()/(double)(RAND_MAX/10)運(yùn)行結(jié)果為：7.19362，6.45775，…等10個(gè)1～10之間的浮點(diǎn)數(shù)，每次結(jié)果都不同。至于100，1000的情況，如此類(lèi)推。第五篇：用C語(yǔ)言的rand和srand產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)的方法總結(jié)
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