第一篇：《一元二次方程的應用增長率問題》教學反思（精選）

反思這節(jié)課的教學過程，我始終把分析問題、尋找等量關系作為重點進行教學，不斷對學生引導、啟發(fā)，努力使學生掌握解題思路和方法，卻忽視了和學生的溝通和交流，學生活動較少，沒有放手讓學生自己去探索、去發(fā)現(xiàn)，哪怕是錯誤的，也是學生思考的結(jié)果，大不了再糾正，學生也會更加牢固的掌握。比如探究2：學生在我的引導下能準確地列出方程，在進行小結(jié)公式a(1±x)2=b之后，在做后面的鞏固練習和應用拓展時就應該讓學生自己去分析解決問題，而我看學生分析困難，忍不住加以提示。雖然學生很快列出方程了，但我一點都沒有成就感。以后的教學中一定要培養(yǎng)學生自主探索的思維習慣，不能越俎代庖。

學生要理解題意，分析條件與條件之間，條件與問題之間的各種數(shù)量關系，要通過分析、綜合，找到解題的途徑和方法。弄清楚什么是變化前的量，什么是變化后的量，增長或降低了幾次。為此，我準備設計一些教學方法，有計劃有步驟地訓練學生的解題思路。

增長率問題是一元二次方程中的重點問題，本節(jié)課設計的優(yōu)點是不同問題中反應不同的增長率，有利于學生更合的掌握增長率問題。

第二篇：《一元二次方程的應用——增長率問題》教學設計

《一元二次方程的應用——增長率問題》教學設計

清水五中

董小武

教學目標：

1、使學生學會用列一元二次方程的方法解決有關增長率的問題。

2、進一步培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化實際問題為數(shù)學問題的能力和分析問題、解決問題的能力。

3、通過增長率問題的學習能抓住問題的關鍵，揭示它的規(guī)律性，展示解題簡潔性的數(shù)學美。

教學準備：

教學課件、學案

教學重點：使學生學會用列一元二次方程的方法解決有關增長率的問題。

教學難點：提高學生轉(zhuǎn)化實際問題為數(shù)學問題的能力以及分析問題、解決問題的能力。教學過程：

一、出示課題：《一元二次方程的應用——增長率問題》

二、出示學習目標：

1、使學生學會用列一元二次方程的方法解決有關增長率的問題。

2、進一步培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化實際問題為數(shù)學問題的能力和分析問題、解決問題的能力。

3、通過增長率問題的學習能抓住問題的關鍵，揭示它的規(guī)律性，展示解題簡潔性的數(shù)學美。

（請學生讀一遍）

三、（根據(jù)以前學過的知識解決下面的問題）

請你評一評：小星的媽媽賣玩具，某天媽媽用每件10元的價格進了一批玩具，第二天以每件20元的價格標價，小星心里想：“媽媽若賣完這批玩具，那么財富增加了100%呢！”你認為有道理嗎？你能寫出增長率公式嗎？

[請同學們想一想，寫出你的答案。然后請同學回答，老師點評，并把增長率公式變形為：實際數(shù)=基數(shù)（1+增長率）]

四、根據(jù)變形后的增長率公式做出下面的問題（在微機上解答，看誰答的又快又好）

小星的媽媽又以每件20元的價格進了另一批玩具，決定在進價的基礎上以增長50%的價格定價，讓小星幫忙算一算該標價多少？你能幫小星算一算嗎？

五、[我們已經(jīng)知道了增長率公式，請根據(jù)這個公式解決下面的問題，在微機上解答，答完后看看與實際情況是不是相符] 一件商品10元，增長率是0，則這件商品的價格是多少？增長率是-0.3呢？若降低率是1呢？降低率是1.2呢？若降低率是-0.2呢？

[討論所得結(jié)果，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：增長率>0

0<降低率<1] 設計理念：通過以上幾個簡單的增長率問題的解答，讓同學們掌握增長率基本公式，并知道增長率>0，0<降低率<1為以后的學習打好基礎。

六、[請一個同學讀一下下面的探究題，教師分析題意] 2015年某市為解決中小企業(yè)節(jié)能環(huán)保問題,市政府采取了一系列政策措施,2015用于支持這項改革試點的扶持資金約為180億元,預計到2017年將到達304.2億元,求2015年到2017年市政府每年投入支持這項改革資金的平均增長率? [根據(jù)以下程序引導：分析:設這兩年的平均增長率為x,則2015年投入的資金為180(1+x)億元，2016年投入資金是以2015年投入的資金為基數(shù)，所以2017年投入資金為180(1+x)(1+x)即180(1+x)2

[給同學們展示解題步驟，要注意增長率為負數(shù)不合題意要舍去]

七、[由上題的解答我們會得到以下結(jié)論（一步步的引導學生去分析）

在上題中你會發(fā)現(xiàn): 2015年

2016 年

2017年

2018年……

3180

180(1+x)

180(1+x)

2180(1+x)…

由上述關系可知：若用a表示基數(shù)，b表示實際數(shù)，x表示增長率則

第1次增長后的量是a(1+x)=b

第2次增長后的量是a(1+x)2=b

……

第n次增長后的量是a(1+x)n=b

這就是重要的增長率公式.反之，若為n次降低，則平均降低率公式為；

a(1-x)n=b

八、[我們已經(jīng)學習了增長率公式，請同學們分組討論后寫出本題的解題步驟，然后找一個同學說出他的解題步驟] 某商場二月份的銷售額為1000萬元，三月份的銷售額下降了20%，商場從四月份起改進經(jīng)營措施，銷售額穩(wěn)步增長，五月份銷售額達到1350.2萬元，求四、五兩個月的平均增長率。

設計理念：讓同學們展開討論，并寫出解題過程，對所學知識起到了加固的作用。

九、[請同學們自己獨立解決下面的問題，看看學的怎么樣] 考考你：

1、某農(nóng)場糧食產(chǎn)量是：2015年1200萬千克，2017年為1452萬千克。如果平均每年的增長率為x，則可得方程

---------（）A.1200(1+x)=1452

B.1200(1+2x)=1452 C.1200(1+x%)2=1452

D.1200(1+x%)=1452

2、某超市一月份的營業(yè)額為200萬元，一月、二月、三月的營業(yè)額共1000萬元，如果平均月增長率為x，則由題意得方程為-------------------------（）A.200(1+x)2=1000

B.200+200×2×x=1000 C.200+200×3×x=1000

D.200+200(1+x)+ 200(1+x)2=1000

3、某開發(fā)區(qū)人口和人均住房面積近3年來增長情況如下圖，據(jù)此回答問題

錯誤！未指定書簽。

（1）這個區(qū)在2015年和2016年中，哪一年增加的住房面積較多？

（2）由于開發(fā)區(qū)建設需要，預計到2018年該區(qū)人口數(shù)將比2016年增加4萬，若要使到時人均住房面積達到12平方米，則這兩年的住房面積平均年增長率應達到多少？

[請同學解答，對好答案，看一下學的怎么樣，錯的改正] 設計理念：通過做練習，使學生對本節(jié)課的內(nèi)容掌握的更好，而且學會識圖，會找等量關系。

十、小結(jié)：

1、平均增長（降低）率公式 a(1?x)n?b

2、注意：

（1）1與x的位置不要調(diào)換

（2）解這類問題列出的方程一般用直接開平方法（3）增長率>0； 0<降低率<1

十一、布置作業(yè)：[熟能生巧，勤能補拙。請同學們課后做完講義上的練習題。我相信同學們一定能獨立完成。] 教學反思：

《一元二次方程的應用——增長率問題》與我們的生活密切相關，在解決增長率問題時，要弄清關鍵詞語的含義和有關數(shù)量間的關系，掌握其規(guī)律，還應注意各種數(shù)據(jù)變化的基礎，針對本節(jié)課的內(nèi)容，制作了多媒體教學課件，讓學生在探討、練習中完成所學內(nèi)容。

本節(jié)課中，同學們能積極投入到課堂教學中，認真思考、討論，踴躍發(fā)言，課堂氣氛活躍，在個別問題的回答上，學生大膽發(fā)言，配合默契，達到了積極的教學效果。

第三篇：一元二次方程應用教學反思

一元二次方程應用教學反思

洪泉中學

劉德成

新課程要求培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識與能力，作為數(shù)學教師，我們要充分利用已有的生活經(jīng)驗，把所學的數(shù)學知識用到現(xiàn)實中去，體會數(shù)學在現(xiàn)實中應用價值。

這節(jié)課是“列一元二次方程解應用題（1）”，講授在幾何問題中以學生熟悉的現(xiàn)實生活為問題的背景，讓學生從具體的問題情境中抽象出數(shù)量關系，歸納出變化規(guī)律，并能用數(shù)學符號表示，最終解決實際問題。這類注重聯(lián)系實際考查學生數(shù)學應用能力的問題，體現(xiàn)時代性，并且結(jié)合社會熱點、焦點問題，引導學生關注國家、人類和世界的命運。既有強烈的德育功能，又可以讓學生從數(shù)學的角度分析社會現(xiàn)象，體會數(shù)學在現(xiàn)實生活中的作用。

通過本節(jié)課的教學,總體感覺調(diào)動了學生的積極性，能夠充分發(fā)揮學生的主體作用，以現(xiàn)實生活情境問題入手，激發(fā)了學生思維的火花，具體我以為有以下幾個特點：

一、本節(jié)課第一個例題，是面積問題中的一個典型例題，我在引導學生解決此題之后，總結(jié)了解一元二次應用題的步驟。不僅關注結(jié)果更關注過程，讓學生養(yǎng)成良好的解題習慣。

二、練習1是例題1的變式與提高，練習2是例題2的變式與提高。通過變式訓練，讓學生由淺入深，由易到難，也讓學生解決問題的能力逐級上升，這是這節(jié)課中的一大亮點。在講完例題的基礎上，將更多教學時間留給學生，這樣學生感到成功機會增加，從而有一種

積極的學習態(tài)度，同時學生在學習中相互交流、相互學習，共同提高。

三、在課堂中始終貫徹數(shù)學源于生活又用于生活的數(shù)學觀念，同時用方程來解決問題，使學生樹立一種數(shù)學建模的思想。

四、課堂上多給學生展示的機會，比如我所設計練習題可用不同方法去求解，讓學生走上講臺，向同學們展示自己的聰明才智。同時在這個過程中，更有利于發(fā)現(xiàn)學生分析問題與解決問題獨到見解及思維誤區(qū)，以便指導今后教學。總之，通過各種啟發(fā)、激勵的教學手段，幫助學生形成積極主動求知態(tài)度，課堂收效大。

五、需改進的方面：

1.由于怕完不成任務，給學生獨立思考時間安排有些不合理，這樣容易讓思維活躍的學生的回答代替了其他學生的思考，掩蓋了其他學生的疑問。例如練習題1有多種解法,課后一些學生與老師交流,但課上沒有得到充分的展示.2.只考慮撲捉學生的思維亮點,一生列錯了方程,老師沒有給予及時糾正。導致使一些同學陷入誤區(qū).3．下課后很多學生和老師溝通課上一生的錯誤問題,但他們上課并不敢提出,有點卻場,所以平時要培養(yǎng)學生敢想敢說敢于發(fā)表個人的不同見解的學風。

第四篇：一元二次方程的應用教學反思

一元二次方程的應用教學反思

在這節(jié)課的教學中,我緊密聯(lián)系學生的生活實際和數(shù)學學習的實際水平,讓學生積極參與課堂教學,感受一元二次方程知識發(fā)生、發(fā)展和形成的全過程，并在教師的激勵，指導和幫助下，獨立地思考、探索、交流和感悟，從而逐漸形成良好的思維品質(zhì)和數(shù)學學習習慣。在形式上，盡量采取學生之間的合作，學生獨立動手實踐等形式，使每個學生盡量參與到課堂中來，課堂氣氛顯得十分活躍。

通過對一元二次方程及其相關實際問題的進一步探索，學生對一元二次方程的認識更加深刻，一切都為以后學習函數(shù)等內(nèi)容打下了堅實的基礎。

值得關注的是，在這節(jié)課上，學生對借助表格表達數(shù)學信息感到有一定難度，為此，教師要給學生提供相對寬松的時間和空間，讓他們經(jīng)歷觀察、實踐、交流、反思等活動，并充分發(fā)表自己的觀點和看法，而不是每一個問題都急于直接告之結(jié)論。此外，對于學習興趣等問題，教師應多創(chuàng)設探索性的教學問題，給學生提供大膽猜想，自主探究的機會，讓學生在積極，愉快的氛圍中去體驗“學數(shù)學”和“用數(shù)學”的樂趣。

第五篇：應用問題與一元二次方程教學設計

應用問題與一元二次方程

目標認知 學習目標：

(1)經(jīng)歷分析具體問題中的數(shù)量關系，建立方程模型并解決問題的過程，認識方程模型的重要性，并總

結(jié)運用方程解決實際問題的一般步驟.(2)通過列方程解應用題，進一步提高邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力.學習重點：

掌握運用方程解決實際問題的方法.學習難點：

建立方程模型.一、知識要點梳理

知識點

一、列一元二次方程解應用題的一般步驟

1.列方程解實際問題的三個重要環(huán)節(jié)：

一是整體地、系統(tǒng)地審題；

二是把握問題中的等量關系；

三是正確求解方程并檢驗解的合理性.2.利用方程解決實際問題的關鍵是尋找等量關系.3.解決應用題的一般步驟：

審(審題目，分清已知量、未知量、等量關系等)；

設(設未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關的量)；

列(根據(jù)題目中的等量關系，或?qū)⒁粋€量表示兩遍，由此得到方程)；

解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；

答(切忌答非所問).知識點

二、數(shù)字問題

(1)任何一個多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個位、十位、百位、千位??，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、??，數(shù)位上的數(shù)字只能

是0、1、2、??、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個多位數(shù)，都可用其各數(shù)位

上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項式的形式表示了一個多位數(shù).如：一個三位數(shù)，個位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個三位數(shù)可表示為：

100c+10b+a.(2)幾個連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個整數(shù)相差1.如：三個連續(xù)整數(shù)，設中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-1，x+1.幾個連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.如：三個連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-2，x+2.知識點

三、平均變化率問題

列一元二次方程解決增長(降低)率問題時，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長率或降低率，以及增長或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應在原數(shù)的基礎上增長或降低兩次.(1)增長率問題：

平均增長率公式為a(1+x)n=b(a為原來數(shù)，x為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量.)

(2)降低率問題：

平均降低率公式為a(1-x)n=b(a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)

知識點

四、利息問題

(1)概念：

本金：顧客存入銀行的錢叫本金.利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期數(shù)：存入銀行的時間叫期數(shù).利率：每個期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率.(2)公式:

利息=本金×利率×期數(shù)

利息稅=利息×稅率(稅率是20%)

本金×(1+利率×期數(shù))=本息和

本金×[1+利率×期數(shù)×(1-20%)]=本息和(收利息稅時)

知識點

五、利潤(銷售)問題

利潤(銷售)問題中常用的等量關系：

利潤=售價-進價(成本)

總利潤=每件的利潤×總件數(shù)

知識點

六、形積問題

此類問題屬于幾何圖形的應用問題，解決問題的關鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關系并列出方程.二、規(guī)律方法指導

1.利用一元二次方程解決實際問題，需注意把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，其關鍵是要找出等量關系.2.列一元二次方程解實際應用題的一般步驟和列一元一次方程與二元一次方程組解實際應用題的基本步驟相似.3.在總結(jié)答案之前對一元二次方程解的合理性進行檢驗.2 經(jīng)典例題透析 類型

一、數(shù)字問題

1.兩個連續(xù)奇數(shù)的積是323，求這兩個數(shù)．

思路點撥：兩個連續(xù)奇數(shù)相差2.解：設較小的奇數(shù)為x-1，則另一奇數(shù)為x+1；依題意得：

(x-1)(x+1)=323

x2-1=323

x2=324

∴x1=18，x2=-18

當x=18時，18-1=17，18+1=19．

當x=-18時，-18-1=-19，-18+1=-17．

答：兩個奇數(shù)分別為17，19；或者-19，-17． 舉一反三：

【變式1】兩個連續(xù)整數(shù)的積是210，求這兩個數(shù)． 思路點撥：兩個連續(xù)整數(shù)相差1.解：設較小的整數(shù)為x，則另一個整數(shù)為(x+1)

依題意得：

x(x+1)=210

x2+x-210=0

解之，得： x1=14，x2=-15

當x=14時，x+1=15；

當x=-15時，x+1=-14；

答：這兩個數(shù)為14、15或-

15、-14.【變式2】已知兩個數(shù)的和是12，積為35，求這兩個數(shù)． 解：設其中一個數(shù)為x，則另一個數(shù)為(12-x)

依題意得：

x(12-x)=35

x2-12x+35=0

解之，得：

x1=5，x2=7

當x=5時，12-x=7；

當x=7時，12-x=5；

答：這兩個數(shù)為5、7.2.有一個兩位數(shù)等于其數(shù)字之積的3倍，其十位數(shù)字比個位數(shù)字小2，求這兩位數(shù)．

思路點撥：數(shù)與數(shù)字的關系是：兩位數(shù)=十位數(shù)字×10+個位數(shù)字． 解：設個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為(x-2)，這個兩位數(shù)為10(x-2)+x，依題意得：10(x-2)+x=3x(x-2)

整理，得： 3x2-17x+20=0

解之，得：x1=4，x2=

(不合題意，舍去)

當x=4時，10(x-2)+x=24

答：這個兩位數(shù)為24.舉一反三：

【變式1】有一個兩位數(shù)，它們的十位數(shù)字與個位數(shù)字之和為8，如果把十位數(shù)字與個位數(shù)字調(diào)換后，所得的兩位數(shù)乘以原來的兩位數(shù)就得1855，求原來的兩位數(shù)．

解：設原來的兩位數(shù)的個位數(shù)字是x，則十位數(shù)字是(8-x)，原來的兩位數(shù)為10(8-x)+x，依題意得：[10(8-x)+x][10x+(8-x)]=1855

化簡得：x2-8x+15=0

解之，得：x1=3，x2=5

當x=3時，10(8-x)+x=53

當x=5時，10(8-x)+x=35

答：原來的兩位數(shù)為53或35.類型

二、平均變化率問題

3.某工廠第一季度的一月份生產(chǎn)電視機是1萬臺，第一季度生產(chǎn)電視機的總臺數(shù)是3.31萬臺，求二月份、三月份生產(chǎn)電視機平均增長的百分率是多少？

思路點撥：直接假設二月份、三月份生產(chǎn)電視機平均增長率為x．?因為一月份是1萬臺，那么二月份應是(1+x)萬臺，三月份應是在二月份的基礎上以二月份比一月份增長的同樣“倍數(shù)”增長，即(1+x)+(1+x)x=(1+x)2萬臺，那么就很容易從第一季度總臺數(shù)列出等式．

解：設二月份、三月份生產(chǎn)電視機平均增長的百分率為x，依題意得：1+(1+x)+(1+x)2?=3.31

去括號：1+1+x+1+2x+x2=3.31

整理，得：x2+3x-0.31=0

解得：x1=10%，x2=-3.1(不合題意，舍去)

答：二月份、三月份生產(chǎn)電視機平均增長的百分率為10%.舉一反三：

【變式1】某電腦公司2001年的各項經(jīng)營中，一月份的營業(yè)額為200萬元，一月、?二月、三月的營業(yè)額共950萬元，如果平均每月營業(yè)額的增長率相同，求這個增長率．

思路點撥：設這個增長率為x，由一月份的營業(yè)額就可列出用x表示的二、三月份的營業(yè)額，又由三個月的總營業(yè)額列出等量關系．

解：設平均增長率為x

則200+200(1+x)+200(1+x)2=950

整理，得：x2+3x-1.75=0

解得：x1=50%，x2=-3.5(不合題意，舍去)

答：所求的增長率為50%．

4.我國人均用紙為28公斤，每個初中畢業(yè)生離校時大約有10公斤廢紙；用1噸廢紙造出來的再生好紙，所能節(jié)約的造紙木材相當于18棵大樹，而平均每畝森林只有50至80棵這樣的大樹．

(1)若我市2005年初中畢業(yè)生中環(huán)保意識較強的5萬人，能把自己離校時的全部廢紙送 4 到回收站使之制造為再生好紙，那么最少可使多少畝森林免遭砍伐？

(2)宜昌市從2001年初開始實施天然林保護工程，到2003年初成效顯著，森林面積大約由1 374.094萬畝增加到1 500.545萬畝．假設該地區(qū)年用紙量的15%可以作為廢紙回收利用，并且森林面積年均增長率保持不變，請你按宜昌市總?cè)丝跒?15萬人計算：在從2005年初到2006年初這一內(nèi)，我市新增加的森林面積與因廢紙回收利用所能保護的森林面積之和最多可能達到多少畝(精確到1畝)？

解：(1)5萬名初中畢業(yè)生廢紙回收使森林免遭砍伐的最少畝數(shù)為

5×104×10÷1 000×18÷80=112.5(畝)．

(2)設2001年到2003年初我市森林面積年均增長率為x，則1 374.094(1+x)2=1 500.545．

故x1=0.045=4.5%，x2=-2.045(舍去)．

所以2005年初到2006年初全年新增森林面積：

1500.545×104×(1+4.5％)2×4.5％≈737 385(畝)．

又全市回收廢紙所能保護的森林面積最多為

415×104×28×１5％÷1 000×18÷50≈6 275(畝)．

新增森林面積和保護森林面積之和為：

737 385+6 275=743 660(畝)．

總結(jié)升華：此例不僅考查了同學們解答實際應用問題的能力，還對同學們發(fā)揚節(jié)約精神、增強環(huán)保意識起到潛移默化的作用． 類型

三、利息問題

5.某人將2000元人民幣按一年定期存入銀行，到期后支取1000元用于購物，剩下的1000元及應得利息又全部按一年定期存入銀行，若存款的利率不變，到期后本金和利息共1320元，求這種存款方式的年利率．

思路點撥：設這種存款方式的年利率為x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就變?yōu)?000+2000x·80%，其它依此類推．

解：設這種存款方式的年利率為x

則：1000+2000x·80%+(1000+2000x·80%)x·80%=1320

整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0

解得：x1=-2(不符，舍去)，x2=

答：所求的年利率是12.5%．

=0.125=12.5% 類型

四、利潤(銷售)問題

6.某商場禮品柜臺春節(jié)期間購進大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價每降低0.1元，那么商場平均每天可多售出100張，商場要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應降價多少元?

思路點撥：總利潤=每件平均利潤×總件數(shù)．設每張賀年卡應降價x元，?則每件平均利潤應是(0.3-x)元，總件數(shù)應是(500+×100)5

解：設每張賀年卡應降價x元

則(0.3-x)(500+)=120

解得：x=0.1，x2=-0.3(不合題意，舍去)

答：每張賀年卡應降價0.1元．

舉一反三：

【變式1】某超市將進貨單價為40元的商品按50元出售，每天可賣500件．如果這種商品每漲價1元，其銷售量就減少10件，假設超市為使這種商品每天賺得8 000元的利潤，商品的售價應定為每件多少元?

思路點撥：本題中的不變量是每天賺得8 000元的利潤．相等關系是：每件商品的利潤×銷售數(shù)量=8 000元．

解：設該商品的售價為每件(50+x)元，則每件商品的利潤為[(50+x)-40]元，銷售量為(500-10x)件．

根據(jù)題意，得[(50+x)-40](500-10x)=8 000．

解得x1=10，x2=30．

當x=10時，50+10=60(元)

當x=30時，50+30=80(元)

所以，每天要賺得8 000元的利潤,這種商品的售價應定為每件60元或80元．

【變式2】某種服裝，平均每天可銷售20件，每件盈利44元．若每降價1元，每天可多銷售5件，如果每天要盈利1 600元，每件應降價多少元？

思路點撥：設每件應降價x元，則根據(jù)題意，可得如下表格：

解：設每件服裝應降價x元，根據(jù)題意，得

(44-x)(20+5x)=1 600，解得x1=36，x2=4．

答：每件服裝應降價4元或36元．

【變式3】某種新產(chǎn)品進價是120元，在試銷階段發(fā)現(xiàn)每件售價(元)與產(chǎn)品的日銷量(件)始終存在下表中的數(shù)量關系：

(1)請你根據(jù)上表所給數(shù)據(jù)表述出每件售價提高的數(shù)量(元)與日銷量減少的數(shù)量(件)之間的關系．

(2)在不改變上述關系的情況下，請你幫助商場經(jīng)理策劃每件商品定價為多少元時，每日盈利可達到1 600元？

解：(1)由表格中數(shù)量關系可知：該產(chǎn)品每件售價上漲1元，其日銷量就減少1件．

(2)設每件產(chǎn)品漲價x元，則銷售價為(130+x)元，日銷量為(70-x)件．

由題意，得［(130+x)-120］(70-x)=1 600，解得x1=x2=30，130+30=160(元)．

答：每件商品定價為160元時，每日盈利達到1 600元．

總結(jié)升華：隨著市場經(jīng)濟的日益繁榮，市場競爭更是激烈．因此，“銷售問題”還將是人們關注的焦點，還會被搬上中考試卷．這不僅較好地鍛煉了學生分析問題、解決問題的能力，而且讓同學們真正體會到數(shù)學的寶貴價值．值得說明的是，第(2)小題還可以用表格中其它兩組數(shù)據(jù)列出方程，結(jié)果相同，同學們不妨試一試． 類型

五、形積問題

7.張大叔從市場上買回一塊矩形鐵皮，他將此矩形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為1米的正方形后，剩下的部分剛好能圍成一個容積為15米3的無蓋長方體運輸箱，且此長方體運輸箱底面的長比寬多2米．現(xiàn)已知購買這種鐵皮每平方米需20元錢，問張大叔購回這張矩形鐵皮共花了多少元錢？

解：設這種運輸箱底部寬為x米，則長為(x+2)米．依題意，得x(x+2)×1=15．

化簡，得x2+2x-15=0．

解之，得x1=3，x2=-5(不合題意，舍去)．

所以這種運輸箱底部長為5米，寬為3米．

由長方體展開圖知，購買的矩形鐵皮面積為

(5+2)×(3+2)=35(米2)．

故購回這張矩形鐵皮要花35×20=700(元)．

總結(jié)升華：本題要深刻理解題意中的已知條件，弄清各數(shù)據(jù)的相互關系，布列方程，并正確決定一元二次方程根的取舍問題．解決此類問題要善于運用轉(zhuǎn)化的思想方法，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．

舉一反三：

【變式1】一間會議室，它的地板長為20m，寬為15m，現(xiàn)在準備在會議室地板的中間鋪一塊地毯，要求四周沒鋪地毯的部分寬度相同，而且地毯的面積是會議室地板面積的一半，那么沒鋪地毯的部分寬度應該是多少？

思路點撥：本題的關鍵句是“地毯的面積是會議室地板面積的一半”，據(jù)此可得等量關系：地毯面積=會議室面積的一半．

解：設沒鋪地毯的部分寬為xm，則地毯的長為(20-2x)m，寬為(15-2x)m．根據(jù)題意，得

，解得x1=2.5，x2=15(不合題意，舍去)

答：沒鋪地毯的部分寬度應該是2.5m．

【變式2】某林場計劃修一條長750m，斷面為等腰梯形的渠道，斷面面積為1.6m2，?上口寬比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．

(1)渠道的上口寬與渠底寬各是多少？

(2)如果計劃每天挖土48m3，需要多少天才能把這條渠道挖完？

思路點撥：因為渠深最小，為了便于計算，不妨設渠深為xm，則上口寬為x+2，?渠底 7 為x+0.4，那么，根據(jù)梯形的面積公式便可建模．

解：(1)設渠深為xm，則渠底為(x+0.4)m，上口寬為(x+2)m.依題意，得：(x+2+x+0.4)x=1.6

整理，得：5x2+6x-8=0

解得：x1==0.8m，x2=-2(不合題意，舍)

∴上口寬為2.8m，渠底為1.2m．

(2)=25(天)

答：渠道的上口寬與渠底寬分別是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．

類型六、一元二次方程應用新題型

條件探求型

8.要建一個面積為150m2的長方形養(yǎng)雞場，為了節(jié)約材料，雞場的一邊靠著原有的一面墻，墻長為am，另三邊用竹籬笆圍成，如果籬笆的長為35m．

(1)求雞場的長與寬各是多少？

(2)題中，墻的長度a對題目的解起著怎樣的作用？

思路點撥：第(2)小題著眼于作為條件出現(xiàn)的常數(shù)a，探索這一條件對題目的解有何影響，需根據(jù)第(1)小題的結(jié)果進行研究．

解：(1)設平行于墻的一邊長為xm，則另一邊的長為，根據(jù)題意，得

解得x1=15，x2=20．，當x=15時，；當x=20時，．

答：略．

(2)由題意可知：當a＜15時，此題無解；當15≤a＜20時，此題只有一個解；當a≥20時，此題有

兩解．

方案設計型

9.某中學有一塊長為am，寬為bm的矩形場地，計劃在該場地上修筑寬都為2米的兩條互相垂直的道路，余下的四塊矩形小場地建成草坪．

(1)如圖1，請分別寫出每條道路的面積(用含a或含b的代數(shù)式表示)；

(2)已知a∶b=2∶1，并且四塊草坪的面積之和為312m2，試求原來矩形場地的長

與寬各為多少米？

(3)在(2)的條件下，為進一步美化校園，根據(jù)實際情況，學校決定對整個矩形場地作如下設計(要求同

時符合下述兩個條件)：

條件①：在每塊草坪上各修建一個面積盡可能大的菱形花圃(花圃各邊必須分別與所在草坪的對角線平

行)，并且其中有兩個花圃的面積之差為13m2；

條件②：整個矩形場地(包括道路、草坪、花圃)為軸對稱圖形．

請你畫出符合上述設計方案的一種草圖(不必說明畫法與根據(jù))，并求出每個菱形花圃的面積．

解：(1)這兩條道路的面積分別為2am2與2bm2．

(2)設b=xm，則a=2xm，依題意，得

x·2x-(2x+4x-4)=312．

整理，得x2-3x-154=0，解得x1=14，x2=-11(舍去)．

所以b=x=14，a=2x=28．

即矩形的長為28m，寬為14m．

(3)符合設計方案的一種草圖如圖2所示，其中四個菱形花圃中，第1個與第2個，第3個與第4個花圃 的面積分別相等．

設AE=x，則FB=14-2-x=12-x(m)，(m)．

依題意，得

解得x=7(m)．

．

所以大菱形花圃的面積為

(m2)，小菱形花圃的面積為

(m2)．

(注：其他符合設計方案的三種花圃見圖3，圖4，圖5，同上法仍可求得大、小花圃的面積分別為45.5m2與32.5m2)9

學習成果測評 基礎達標

一、選擇題

1．某電視機廠計劃用兩年的時間把某種型號的電視機的成本降低36%，若每年下降的百分數(shù)相同，則這個百分數(shù)為()

A．10%

B．20%

C．120%

D．180%

2．某超市一月份的營業(yè)額為200萬元，已知第一季度的總營業(yè)額共1000萬元，如果平均每月增長率為x，則由題意列方程應為()

A．200(1+x)2=1000

B．200+200×2x=1000

C．200+200×3x=1000

D．200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000

3．某商品計劃經(jīng)過兩個月的時間將售價提高20%，設每月平均增長率為x，則列出的方程為()

A．x+(1+x)x=20%

B．(1+x)2=20%

C．(1+x)2=1.2

D．(1+x%)2=1+20%

4．2005年一月份越南發(fā)生禽流感的養(yǎng)雞場100家，后來

二、?三月份新發(fā)生禽流感的養(yǎng)雞場共250家，設二、三月份平均每月禽流感的感染率為x，依題意列出的方程是()

A．100(1+x)2=250

B．100(1+x)+100(1+x)2=250

C．100(1-x)2=250

D．100(1+x)2

5．一臺電視機成本價為a元，銷售價比成本價增加25%，因庫存積壓，所以就按銷售價的70%出售，那么每臺售價為()

A．(1+25%)(1+70%)a元

B．70%(1+25%)a元

C．(1+25%)(1-70%)a元

D．(1+25%+70%)a元

6．若兩個連續(xù)整數(shù)的積是56，則它們的和是()

A．±15

B．15

C．-15

D．11

7．一個小組若干人，新年互送賀卡，若全組共送賀卡72張，則這個小組共()

A．12人

B．18人

C．9人

D．10人

8．直角三角形兩條直角邊的和為7，面積為6，則斜邊為()

A．

B．

5C．

D．7

9．從正方形鐵片，截去2cm寬的一條長方形，余下的面積是48cm2，則原來的正方形鐵片的面積是()

A．8cm

B．64cm

C．8cm

2D．64cm2

10．一個兩位數(shù)等于它的個位數(shù)的平方，且個位數(shù)字比十位數(shù)字大3，?則這個兩位數(shù)為()

A．25

B．36

C．25或36

D．-25或-36

二、填空題

1．某農(nóng)戶的糧食產(chǎn)量，平均每年的增長率為x，第一年的產(chǎn)量為6萬kg，第二年的產(chǎn)量為_______萬kg，第三年的產(chǎn)量為_______萬kg，三年總產(chǎn)量為_______萬kg．

2．某糖廠2008年食糖產(chǎn)量為a噸，如果在以后兩年平均增長的百分率為x，那么預計2010年的產(chǎn)量將是

________．

3．市政府為了解決市民看病難的問題，決定下調(diào)藥品的價格．某種藥品經(jīng)過連續(xù)兩次降價后，由每盒

200元下調(diào)至128元，求這種藥品平均每次降價的百分率是_________．

4．一種藥品經(jīng)過兩次降價后，每盒的價格由原來的60元降至48.6元，那么平均每次降價的百分率是

_________．

5．某地區(qū)開展“科技下鄉(xiāng)”活動三年來，接受科技培訓的人員累計達95萬人次，其中第一年培訓了

20萬人次．設每年接受科技培訓的人次的平均增長率都為x，根據(jù)題意列出的方程是____________．

6．矩形的周長為，面積為1，則矩形的長和寬分別為________．

7．長方形的長比寬多4cm，面積為60cm2，則它的周長為________．

8．一條長64cm的鐵絲被剪成兩段，每段均折成正方形．若兩個正方形的面積和等于160cm2，則這兩個正

方形的邊長分別為__________________．

三、解答題

1．為了響應國家“退耕還林”，改變我省水土流失的嚴重現(xiàn)狀，2008年我省某地退耕 11 還林1600畝，計劃到2010年一年退耕還林1936畝，問這兩年平均每年退耕還林的平均增長率．

2．某果園有100棵桃樹，一棵桃樹平均結(jié)1000個桃子，現(xiàn)準備多種一些桃樹以提高產(chǎn)量，試驗發(fā)現(xiàn)，每多種一棵桃樹，每棵桃樹的產(chǎn)量就會減少2個，如果要使產(chǎn)量增加15.2%，那么應多種多少棵桃樹?

3．在一塊長12m，寬8m的長方形平地中央，劃出地方砌一個面積為8m2?的長方形花壇，要使花壇四周的平地寬度一樣，則這個寬度為多少? 4．有一個兩位數(shù)，兩個數(shù)位上的數(shù)字之和是6，?這兩個數(shù)位上的數(shù)字之積等于這個兩位數(shù)的，求這個兩位數(shù)．

能力提升

一、選擇題

1．某農(nóng)戶種植花生，原來種植的花生畝產(chǎn)量為200千克，出油率為50％(即每100千克花生可加工成花生油50千克)．現(xiàn)在種植新品種花生后，每畝收獲的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增長率是畝產(chǎn)量的增長率的．則新品種花生畝產(chǎn)量的增長率為()

A．20％

B．30%

C．50%

D．120%

2．育才中學為迎接香港回歸，從1994年到1997年四年內(nèi)師生共植樹1997棵，已知該校1994年植樹342棵，1995年植樹500棵，如果1996年和1997年植樹的年增長率相同，那么該校1997年植樹的棵數(shù)為()

A．600

B．60

4C．595

D．605

3．有兩塊木板，第一塊長是寬的2倍，第二塊的寬比第一塊的長少2m，長是第一塊寬的3倍，已知第二塊木板的面積比第一塊大108m2，這兩塊木板的長和寬分別是()

A．第一塊木板長18m，寬9m，第二塊木板長27m，寬16m；

B．第一塊木板長12m，寬6m，第二塊木板長18m，寬10m；

C．第一塊木板長9m，寬4.5m，第二塊木板長13.5m，寬7m；

D．以上都不對

4．某種出租車的收費標準是：起步價7元(即行駛距離不超過3km都需付7元車費)；超過3km以后，每增加1km，加收2.4元(不足1km按1km計)，某人乘出租車從甲地到乙地共支付車費19元，則此人從甲地到乙地經(jīng)過的路程()

A．正好8km

B．最多8km

C．至少8km

D．正好7km

二、填空題

1．某旅店底樓的客房比二樓少一間，各個房間住的人數(shù)同這層樓的房間數(shù)相同，現(xiàn)有36人，底樓都住

滿，而二樓只剩下一間空房，則二樓的房間是______．

2．在一塊長15cm，寬10cm的鐵片的中間挖一個面積為36cm2的長方形的空間，且使剩下的四周一樣寬，設這寬為x，則可得方程為_______________．

3．一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4，?且個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個兩位數(shù)小

4，設個位數(shù)字為x，則方程為________________．

4．如圖，是長方形雞場平面示意圖，一邊靠墻，另外三面用竹籬笆圍成，若竹籬笆總長為35m，所圍的

面積為150m2，則此長方形雞場的長、寬分別為_______．

三、解答題

1．某工程隊在我市實施棚戶區(qū)改造過程中承包了一項拆遷工程．原計劃每天拆遷1250m2，因為準備工作不足，第一天少拆遷了20%．從第二天開始，該工程隊加快了拆遷速度，第三天拆遷了1440m2．

求：(1)該工程隊第一天拆遷的面積；

(2)若該工程隊第二天、第三天每天的拆遷面積比前一天增加的百分數(shù)相同，求這個百分數(shù)．

2．某同學根據(jù)2004年江蘇省內(nèi)五個城市商品房銷售均價(即銷售平均價)的數(shù)據(jù)，繪制了如下統(tǒng)計圖：

(1)這五個城市2004年商品房銷售均價的中位數(shù)、極差分別是多少？

(2)若2002年A城市的商品房銷售均價為1600元/平方米，試估計A城市從2002年到2004年商品房銷售均價的年平均增長率約是多少？

3．常州春秋旅行社為吸引市民組團去天水灣風景區(qū)旅游，推出了如下收費標準：

某單位組織員工去天水灣風景區(qū)旅游，共支付給春秋旅行社旅游費用27000元，請問該單位這次共有多少員工去天水灣風景區(qū)旅游？ 綜合探究

1．某軍艦以20節(jié)的速度由西向東航行，一艘電子偵察船以30?節(jié)的速度由南向北航行，它能偵察出周圍50海里(包括50海里)范圍內(nèi)的目標．如圖，當該軍艦行至A處時，電子偵察船正位于A處正南方向的B處，且AB=90海里，如果軍艦和偵察船仍按原速度沿原方向繼續(xù)航行，那么航行途中偵察船能否偵察到這艘軍艦?如果能，最早何時能偵察到?如果不能，請說明理由．

答案與解析 基礎達標

一、選擇題

1.B 2.D 3.C 4.B 5.B 6.A 7.C 8.B 9.D 10.C

二、填空題

1.6(1+x)，6(1+x)2，6+6(1+x)+6(1+x)2； 2.a(1+x)2噸；

3.20%；

4.10%； ；

6.；

7.32cm；

5.8.12cm、4cm.三、解答題

1．解：設每年退耕還林的平均增長率為x，依題意，得1600(1+x)2=1936，解之，得x1=0.1=10%，x2=-2.1(不合題意，舍)

答：每年退耕還林的平均增長率為10%.2．解：設多種x棵樹，依題意，得(100+x)(1000-2x)=100×1000×(1+15.2%)，整理，?得?x2-400x+7600=0，解之，得x1=20，x2=380.答：應多種20棵或380棵桃樹.3．解：設寬為xm，依題意，得(12-2x)(8-2x)=8

整理，得：x2-10x+22=0

(舍去)，x2=5-)m..解得：x1=5+

答：這個寬度為(5-

4．解：設兩位數(shù)十位數(shù)為x，則個位數(shù)為6-x

依題意，得x(6-x)=

(10x+6-x)化簡整理，得x2-3x+2=0 解之，得x1=1，x2=2 當x1=1時，6-x=5，此兩位數(shù)為15 當x1=2時，6-x=4，此兩位數(shù)為24 答：這個兩位數(shù)是15或24.能力提升

一、選擇題

1.A 2.D 3.B 4.B

二、填空題

1.5；

2.(15-2x)(10-2x)=36；

3.10(x+4)+x-4=(x+4)2+x2；

4.20m和7.5m或15m和10m

三、解答題

1．(1)1000m2；(2)20%．

2．(1)中位數(shù)是2534(元/平方米)；極差是3515-2056=1459(元/平方米)．

(2)設A城市2002年到2004年的年平均增長率為x，由題意，得

1600(1+x)2=2119．(1+x)2=1.324375，解之，得

(不合題意，舍)15

答：平均增長率約為15%．

3．解：設該單位這次共有

名員工去天水灣風景區(qū)旅游，因為，所以員工人數(shù)一定超過25人．可得方程

解得：．

當時，故舍去

當時，符合題意

答：該單位這次共有30名員工去天水灣風景區(qū)旅游． 綜合探究

1．能．解：設偵察船最早由B出發(fā)經(jīng)過x小時偵察到軍艦，依題意，得(90-30x)2+(20x)2=502

整理，得：13x2-54x+56=0，解之，得x1=2，x2=2，∴最早再過2小時能偵察到．