第一篇：《斐波那契數(shù)列》教學(xué)反思

根據(jù)上午說課后其他老師的建議，我做了修改：

（一）引入部分簡化，斐波那契數(shù)列的學(xué)習(xí)同樣也運(yùn)用了化難為易的思想，在劉**老師的授課《斐波那契數(shù)列》中多次提到難易的轉(zhuǎn)化，我們的學(xué)生也認(rèn)真地進(jìn)行了這節(jié)《斐波那契數(shù)列》的學(xué)習(xí)，給我們的學(xué)生試課可以這樣引入：

孩子們，我們在學(xué)習(xí)《斐波那契數(shù)列》時(shí)是怎么發(fā)現(xiàn)小兔子數(shù)量的規(guī)律呢？對，化難為易，我們可以用化難為易的方法解決很多問題，那老師請你們來試試連線游戲，在平面上有100個(gè)點(diǎn)，這些點(diǎn)能連成多少條線段？

學(xué)生回答不上來時(shí)，教師指導(dǎo)：100個(gè)點(diǎn)連線有點(diǎn)多有點(diǎn)難，老子說：“天下難事做于易?！蔽覀兙蛷淖詈唵蔚膬蓚€(gè)點(diǎn)開始研究，用數(shù)學(xué)的思考方法解決點(diǎn)連線的問題。

這樣的引入斐波那契數(shù)列就不只是欣賞，而是數(shù)學(xué)思考方法的延續(xù)。

可是，不知道其他學(xué)校的教師能否重視教材65頁的閱讀資料《斐波那契數(shù)列》，所以還是沒底。

（二）探究過程的連線過程又做了一遍，原來用了四張幻燈片而且一直一閃而過，感覺有點(diǎn)雜有點(diǎn)多，我修改用一個(gè)表格一張幻燈片呈現(xiàn)，這樣就不覺得繁雜。這點(diǎn)怪我有點(diǎn)懶了，用別人現(xiàn)成的，所以今天又用了半個(gè)下午修改了一遍。

第二篇：斐波那契數(shù)列演講稿

Speech 斐波那契數(shù)列在歐美可謂是盡人皆知，于是在電影這種通俗藝術(shù)中也時(shí)常出現(xiàn)，比如在風(fēng)靡一時(shí)的《達(dá)芬奇密碼》里它就作為一個(gè)重要的符號和情節(jié)線索出現(xiàn)，在《魔法玩具城》里又是在店主招聘會(huì)計(jì)時(shí)隨口問的問題?？梢姶藬?shù)列就像黃金分割一樣流行。可是雖說叫得上名，多數(shù)人也就背過前幾個(gè)數(shù)，并沒有深入理解研究。

另外，觀察延齡草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金鳳花、耬斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以發(fā)現(xiàn)它們花瓣數(shù)目具有斐波那契數(shù)：3、5、8、13、21、……

斐波那契數(shù)還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發(fā)現(xiàn)。例如，在樹木的枝干上選一片葉子，記其為數(shù)0，然后依序點(diǎn)數(shù)葉子（假定沒有折損），直到到達(dá)與那息葉子正對的位置，則其間的葉子數(shù)多半是斐波那契數(shù)。葉子從一個(gè)位置到達(dá)下一個(gè)正對的位置稱為一個(gè)循回。葉子在一個(gè)循回中旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)也是斐波那契數(shù)。在一個(gè)循回中葉子數(shù)與葉子旋轉(zhuǎn)圈數(shù)的比稱為葉序（源自希臘詞，意即葉子的排列）比。多數(shù)的葉序比呈現(xiàn)為斐波那契數(shù)的比。對于許多植物來說，每片葉子從中軸附近生長出來，為了在生長的過程中一直都能最佳地利用空間（要考慮到葉子是一片一片逐漸地生長出來，而不是一下子同時(shí)出現(xiàn)的），每片葉子和前一片葉子之間的角度應(yīng)該是222.5度，這個(gè)角度稱為“黃金角度”，因?yàn)樗驼麄€(gè)圓周360度之比是黃金分割數(shù)0.618033989……的倒數(shù)，而這種生長方式就決定了斐波那契螺旋的產(chǎn)生。

斐波那契螺旋：具有13條順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和21條逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋的薊的頭部

斐波那契數(shù)有時(shí)也稱松果數(shù)，因?yàn)檫B續(xù)的斐波那契數(shù)會(huì)出現(xiàn)在松果的左和右的兩種螺旋形走向的數(shù)目之中。這種情況在向日葵的種子盤中也會(huì)看到。向日葵的種子排列形成的斐波那契螺旋有時(shí)能達(dá)到89，甚至144條。

菠蘿是又一種可以檢驗(yàn)斐波那契數(shù)的植物。對于菠蘿，我們可以去數(shù)一下它表面上六角形鱗片所形成的螺旋線數(shù)。

（斐波那契數(shù)列在自然界中的出現(xiàn)是如此地頻繁，這些植物懂得斐波那契數(shù)列嗎？）人們深信這不是偶然的。應(yīng)該并非如此，它們只是按照自然的規(guī)律才進(jìn)化成這樣。這似乎是植物排列種子的“優(yōu)化方式”，它能使所有種子具有差不多的大小卻又疏密得當(dāng)，不至于在圓心處擠了太多的種子而在圓周處卻又稀稀拉拉。

其實(shí)生活中很多事情也就是這樣的，一切都有其規(guī)律性，冥冥中一切自有安排！是??！《觸摸未來》中的很多情節(jié)似乎離我們現(xiàn)實(shí)生活很近很近，因?yàn)檫@就是真實(shí)，就是真理，這部美劇正在代表這個(gè)時(shí)代的人們?nèi)ヌ剿骱透挛覀兊闹R。世界有著無數(shù)的關(guān)聯(lián)，自有它的定數(shù)，自有它的規(guī)律！只要我們尊重規(guī)律，我們就可以避免受傷！

2012年在古代瑪雅歷上是這個(gè)紀(jì)元的最后一年，世界上有1/7的人都認(rèn)為是世界末日，其實(shí)我想，人類為了自己的目的一直在不斷傷害著我們的地球母親，著或許是古老文化對我們的一種警告如果我們現(xiàn)在學(xué)會(huì)懂得去尊重地球的規(guī)律，我們還可以繼續(xù)看見未來升起的陽光！

第三篇：斐波那契數(shù)列通項(xiàng)公式的證明

斐波那契數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34……它的通項(xiàng)公式為：an?1[(1?5)n?(1?)n]

????1解得???證明：令an??an?1??(an?1??an?2)(n?3)則有?????????1??

??

?

1?21??

??或??

?????

?

1?21??

故有

(1)

an?

1?1?51?1?1?1?an?1?(an?1?an?2)或(2)an?an?1?(an?1?an?2)222222

an?an?1

1?an?11?1?51?5，因?yàn)閚?3故數(shù)列{an?}是以aa?a1為首項(xiàng)，n?12?2221??an?

2(Ⅰ)由（1）得

以

1?1?1?5n?21?5

為公比的等比數(shù)列，所以，an?an?1?(a2?a1)?()由a1?a2?1得2222

1?an?12

an?

1?1?n?1anan?11 ?()兩邊同除以(1?5)n得：???221?n1?1?5n?11?5

()()2222

即

an(1?n)2?

?

1?an?1

1?1?n?1

()2

??

anan?11?5移項(xiàng)得1?51?5(n?3)則由

??

221?n1?1?n?1

()()22

1?anan?11?55所以{an得，}是以2??[?]k????

51?51?n?15551?n1?1?5n

()()()1?

2221?a2(1?52)2

?

1?an

為首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列。故51?1?(2

?)n

a21?n?2

?[?]?()551?521?()2

a251?5n?2，由(1?)2?(2)2化簡可得 得a?(1?5)n{??[?]?()}n

21?52551?21?5

()2

an?

1?5n1?5n)?()](n?3)(*)驗(yàn)證可得，當(dāng)n=

1、n=2時(shí)，a1?a2?1故斐波那契數(shù)列中，225[（*

對于n?N，(*)式都成立。

*

(Ⅱ)同理，由(2)an?1?an?1?1?(an?1?1?an?2)也可得斐波那契數(shù)列中，（*)式對于n?N都成立

222

所以，斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式即為：an?

1?5n1?5n)?()] 225[（木魚石整理

第四篇：斐波那契數(shù)列遞歸和迭代&循環(huán)鏈表隊(duì)列初始化實(shí)驗(yàn)報(bào)告

第一次實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)報(bào)告

班級：2009211307 姓名：呂博文 學(xué)號：09211297 分工情況：個(gè)人一組 完成日期：11月5日

斐波那契數(shù)列遞歸和迭代算法

一、問題描述

分別寫出下列函數(shù)的遞歸算法和迭代算法，并求出n=10時(shí)的函數(shù)值。Fib(n)= n

當(dāng)n=0或n=1 Fib(n-2)+ Fib(n-1)當(dāng)n>=2

二、算法思想

用遞歸算法求解時(shí)，若輸入的n的值為0或1，根據(jù)問題描述中Fib(n)的遞歸定義，算法直接返回n作為輸出結(jié)果。當(dāng)輸入的n的值大于等于2時(shí)，根據(jù)Fib(n)的遞歸定義，算法將調(diào)用自身計(jì)算Fib(n-2)和Fib(n-1)的值，然后返回二者的和。

用迭代算法求解時(shí)，先初始化Fib(0)和Fib(1)的值，用兩個(gè)變量curValue和preValue存儲(chǔ)，curValue存儲(chǔ)較大的數(shù)值，preValue存儲(chǔ)較小的數(shù)值。若輸入的n的值為0或1，算法直接返回n。若輸入的n的值大于等于2，循環(huán)n-1次，每次循環(huán)將curValue和preValue的值相加存入curValue中，并用preValue存儲(chǔ)原來curValue的值，為下一次循環(huán)做好準(zhǔn)備。最終的curValue的值即為Fib(n)的值。

三、設(shè)計(jì)描述

先提示輸入n的值，然后調(diào)用遞歸算法計(jì)算Fib(n)，輸出，再調(diào)用迭代算法計(jì)算Fib(n)，輸出。

遞歸算法

int ShowFib_1(int n){

if(n == 0 || n == 1)//初始條件 return n;

else//不符合初始條件時(shí)，用遞推關(guān)系計(jì)算 return ShowFib_1(n-2)+ ShowFib_1(n-1);}

迭代算法

int ShowFib_2(int n){ preValue = 0;curValue = 1;//設(shè)定第一、第二項(xiàng)的值作為初始條件

if(n == 0 || n == 1)//第一、第二項(xiàng)可直接輸出結(jié)果 return n;else

{

for(i = 2;i <= n;i++)//其余各項(xiàng)從前往后逐項(xiàng)相加

{ temp = curValue;curValue = curValue + preValue;preValue = temp;

} returncurValue;

} }

四、源程序

#include using namespace std;

int ShowFib_1(int n);//定義遞歸函數(shù) int ShowFib_2(int n);//定義迭代函數(shù)

int main(){ int n;

cout<< “N=?:”;cin>> n;

//遞歸算法

cout<< “用遞歸算法計(jì)算” <

//迭代算法

cout<< “用迭代算法計(jì)算” <

//遞歸算法

int ShowFib_1(int n){

if(n == 0 || n == 1)//判定初始條件 return n;else//

return ShowFib_1(n-2)+ ShowFib_1(n-1);}

//迭代算法

int ShowFib_2(int n){ intpreValue = 0, curValue = 1;//設(shè)定第一、第二項(xiàng)的值 if(n == 0 || n == 1)// return n;else

{

for(int i = 2;i <= n;i++)//其余項(xiàng)從前往后逐項(xiàng)相加

{ int temp;temp = curValue;curValue = curValue + preValue;preValue = temp;

} returncurValue;

} }

五、測試結(jié)果

N=40時(shí)利用遞歸求算時(shí)計(jì)算機(jī)反應(yīng)速度較慢

N=10時(shí)

六、心得體會(huì)

在N=40時(shí)，等待遞歸算法算出結(jié)果時(shí)間較長，可見遞歸算法計(jì)算斐波那契數(shù)列的效率不高。但使用迭代算法則想法，可見雖然迭代算法的思路稍難于遞歸算法，但時(shí)間復(fù)雜度與空間復(fù)雜度均優(yōu)于遞歸算法。故更應(yīng)推薦迭代算法。

另外，本題難度低，過程中沒什么問題，故無太多感想。

第二題

一、問題描述

假設(shè)以帶頭結(jié)點(diǎn)的循環(huán)鏈表表示隊(duì)列，并且只設(shè)一個(gè)指針指向隊(duì)尾元素結(jié)點(diǎn)而不設(shè)頭指針，試編寫相應(yīng)的隊(duì)列初始化、入隊(duì)列、出隊(duì)列和判斷隊(duì)列狀態(tài)的算法。

利用上述算法完成下面的各操作，并在每一操作后輸出隊(duì)列狀態(tài)。

1)下列元素逐一入隊(duì)：5,7,3,8,55 狀態(tài)：5個(gè)元素

2)3個(gè)元素出隊(duì)

狀態(tài)：２個(gè)元素

3)再２個(gè)元素出隊(duì)

狀態(tài)：隊(duì)空

4)再１個(gè)元素出隊(duì)

狀態(tài)：隊(duì)空（指示下溢）

二、算法思想

主函數(shù)中新建一個(gè)隊(duì)列的對象，然后調(diào)用其成員函數(shù)進(jìn)行隊(duì)列的操作。將5,7,3,8,55 入隊(duì)→5,7,3出隊(duì)→8,55出隊(duì)→在隊(duì)列為空時(shí)出隊(duì) 每次操作后均輸出當(dāng)前隊(duì)列狀態(tài)。

三、設(shè)計(jì)描述

class Queue{

//建立一個(gè)隊(duì)列類 public: Queue(){}

~Queue();

intInit();

//初始化隊(duì)列 int Insert(int);

//入隊(duì) int Delete(int&);

//出隊(duì) intQState();

//判斷狀態(tài) private:

typedefstruct node { int data;struct node *next;}Node;Node *rear;};

四、源程序

#include using namespace std;

class Queue { public: Queue(){} ~Queue();

intInit();//初始化隊(duì)列

int Insert(int);//入隊(duì)

int Delete(int&);//出隊(duì)

intQState();//判斷狀態(tài)

private: typedefstruct node

{

int data;

struct node *next;}Node;Node *rear;};

int Queue::Init()//初始化 { rear=new Node;if(rear){

rear->data=-1;

rear->next=rear;

return 1;} return 0;}

int Queue::Insert(intelem)//入隊(duì) { Node * newd=new Node;

newd->data=elem;newd->next=rear->next;rear->next=newd;rear=newd;return 1;}

int Queue::Delete(int&elem)//出隊(duì) { if(rear==rear->next)

return 0;

Node *p=rear->next->next;elem=p->data;rear->next->next=p->next;if(p==rear)//刪最后一個(gè)

rear=rear->next;free(p);return 1;

}

int Queue::QState()//判定狀態(tài) {

int i=0;Node *q=rear->next;

cout<<“隊(duì)列狀態(tài):”<

cout<next->data<<“ ”;

q=q->next;

i++;} if(0==i)

cout<<“空”<

else

cout<

Queue::~Queue()//刪除，如有未釋放空間 { int i;if(rear)

} {

} if(rear->next==rear)free(rear);else { while(rear->next!=rear)

Delete(i);free(rear);} //主函數(shù) int main(){ Queue DQ;intele;DQ.Init();DQ.QState();

cout<<“依次將5,7,3,8,55入隊(duì)”<

5,7,3,8,55

cout<<“將5,7,3出隊(duì)n”;system(“pause”);

if(DQ.Delete(ele))// 出隊(duì)

cout<

if(DQ.Delete(ele))

cout<

if(DQ.Delete(ele))

cout<

DQ.QState();//當(dāng)前狀態(tài) 8,55 cout<<“再將8,55出隊(duì)”<

system(“pause”);

if(DQ.Delete(ele))

cout<

cout<

cout<<“下一步將在空的隊(duì)列里進(jìn)行刪除操作”<

if(DQ.Delete(ele))

cout<

} cout<<“隊(duì)列已滿，下溢”<

system(“pause”);

五、測試結(jié)果

六、心得體會(huì)

這個(gè)程序的實(shí)現(xiàn)關(guān)鍵在于類，類對于數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)可以說是非常重要非?；A(chǔ)也是必不可少的一個(gè)殺手锏。在編這道題的過程中，最初的想法是設(shè)計(jì)一個(gè)程序可以實(shí)現(xiàn)入隊(duì)、出隊(duì)、上溢下溢提示，但考慮到這道題的具體要求，改為了程序自動(dòng)將題目所要求出入隊(duì)的元素進(jìn)行操作，不過不影響核心算法核心思想的實(shí)現(xiàn)。

第五篇：基于信息技術(shù)的數(shù)學(xué)探究課題設(shè)計(jì)一例——“斐波那契數(shù)列”教學(xué)課例

桂林師范高等專科學(xué)校 蔣曉云 李政

【關(guān)鍵詞】斐波那契數(shù)列 信息技術(shù)探究

【文獻(xiàn)編碼】doi:10.3969/j．issn.0450-9889(B)．2011.02.021 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》設(shè)置了數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究的學(xué)習(xí)活動(dòng)。計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)學(xué)軟件的飛速發(fā)展使人們對“數(shù)學(xué)課程與信息技術(shù)的整合”有了更深刻的理解，我們可以且應(yīng)該用計(jì)算機(jī)“做數(shù)學(xué)”、“表現(xiàn)數(shù)學(xué)”，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、欣賞數(shù)學(xué)，讓學(xué)生在已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上去發(fā)現(xiàn)和建構(gòu)新知識。這樣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提供了一種全新的數(shù)學(xué)教學(xué)手段和模式，受到了大中小學(xué)廣泛的關(guān)注。

人民教育出版社和江蘇教育出版社出版的課標(biāo)教材都介紹了斐波那契數(shù)列；人民教育出版社教材中的研究性學(xué)習(xí)課題“上樓問題的數(shù)列模型”是一個(gè)與斐波那契數(shù)列密切相關(guān)的經(jīng)典名題。我們選擇斐波那契數(shù)列作為高中二年級數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)課題，設(shè)計(jì)了一節(jié)數(shù)學(xué)探究實(shí)驗(yàn)展示課。

一、教學(xué)目標(biāo)

1．知識方面：使學(xué)生理解斐波那契數(shù)列，掌握斐波那契數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，能應(yīng)用斐波那契數(shù)列解決日常生活中的一些問題。

2．能力方面：培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、發(fā)現(xiàn)能力、解決實(shí)際問題的能力和審美意識。3．品質(zhì)素養(yǎng)方面：使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活的大眾數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和應(yīng)用意識。

二、重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：斐波那契數(shù)列、斐波那契數(shù)列的應(yīng)用。

難點(diǎn)：斐波那契數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。

三、教學(xué)手段

多媒體輔助教學(xué)。

四、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境

今天這節(jié)課我們來看一個(gè)有趣的問題，它最初是由一名意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在13世紀(jì)初提出的：兔子出生兩個(gè)月后就能生小兔，若每次不多不少恰好生一對（一雌一雄），假如養(yǎng)了初生的小兔一對，試問第八個(gè)月共有多少對兔子（若生下的小兔都不死的話）? 先讓學(xué)生自由討論，教師再輔以課件分析。

我們用●表示一對大兔，用〇表示一對小兔，則可逐月統(tǒng)計(jì)得到每月的兔子對數(shù)：

如此推算下去，我們不難得出下面結(jié)果：

∴第八個(gè)月共有21對兔子。

如果我們用Un表示第n月后的兔子數(shù)，則有： {Un}:1,2,3,5,8,13,2l,?

這個(gè)數(shù)列被稱為斐波那契數(shù)列，我們這節(jié)課就來研究這個(gè)有趣的數(shù)列問題。

（二）提出問題

問題1上述問題，兩年后有多少對兔子？三年后、五年呢？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)繼續(xù)用上面這種方法來推算，似乎有些“笨”，而且越往后越復(fù)雜。學(xué)生自然會(huì)想有無簡單的辦法推算。

問題2請觀察斐波那契數(shù)列，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

學(xué)生討論后，不難得出該數(shù)列中各項(xiàng)有如下遞推關(guān)系： 教師在鼓勵(lì)學(xué)生的同時(shí)指出：在當(dāng)時(shí)，這個(gè)簡單的遞推關(guān)系卻是在斐氏死后近四百年才由一名叫奇拉特的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的。

由于這一發(fā)現(xiàn)，生小兔問題引起人們的極大興趣。最重要的是，計(jì)算這列數(shù)給我們帶來一定的方便。我們可以輕而易舉地計(jì)算兩年后、三年后、五年后??的兔子對數(shù)。

問題3若要計(jì)算十年、二十年以后的兔子數(shù)，我們就不得不計(jì)算它前面所有項(xiàng)的兔子對數(shù)，用遞推關(guān)系，是不是又出現(xiàn)了繁瑣？這時(shí)我們迫切地想知道：若已知月份數(shù)，能夠馬上計(jì)算出兔子對數(shù)嗎？

學(xué)生馬上想到要推導(dǎo)斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式。

（三）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

【數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指學(xué)生按照教師提出的要求，親自用電腦完成相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)，努力去發(fā)現(xiàn)與所研究問題相關(guān)的一些數(shù)據(jù)中反映出的規(guī)律性，對實(shí)驗(yàn)結(jié)果做出清楚的描述，它是整個(gè)教學(xué)過程中的核心環(huán)節(jié)。作為中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)工具的常用數(shù)學(xué)軟件有幾何畫板、Mathematica、Math-CAD、EXCEL等。

請同學(xué)們用Mathematica數(shù)學(xué)軟件，在電腦上完成相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)：

計(jì)算出斐波那契數(shù)列的前20項(xiàng)并作出其散點(diǎn)圖，觀察斐波那契數(shù)列的圖像，連接相鄰的點(diǎn)作折線圖。

問題4仔細(xì)觀察圖像，它與哪一種已知函數(shù)圖像很近似？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)：fibonacci[i]隨i增加的速度很快，猜想是按指數(shù)式增長。

也有學(xué)生進(jìn)一步取對數(shù)后再觀察，可以發(fā)現(xiàn)圖像近似一條直線。

（四）歸納猜想

【學(xué)生在理解了學(xué)習(xí)課題后，通過直觀觀察、實(shí)驗(yàn)分析、數(shù)學(xué)靈感等各種途徑和方式，根據(jù)已有的信息或新得到的信息，提出猜想。本環(huán)節(jié)是整個(gè)教學(xué)過程中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的高潮階段，同時(shí)也是培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力的過程?！?/p>

學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)、觀察可得出如下猜想：

猜想1：Un=an(2)并且由遞推關(guān)系Un=Un-1+Un-2得出an=an-1+an-2,，即a2=a+l，解出兩根a1=(1+√5)/2, a2=(1-√5)/2 無論Un=a1還是Un=a2n，數(shù)列Un都能滿足遞推關(guān)系Un=Un-1+Un-2。

但有學(xué)生馬上指出，無論a=a1或a=a2，Un=an都不能滿足u1=u2=1。

學(xué)生討論后，有學(xué)生注意到了任意兩個(gè)滿足(1)式中的的數(shù)列的線性組合仍能滿足(1)式中的遞推關(guān)系，于是提出： 猜想2：Un=cla1n+c2a2n(3)并用用條件u1=u2=1來確定系數(shù)C1和C2，即解方程組同學(xué)們把這個(gè)任務(wù)交給Mathematica來完成，解出c1=l／√5，C2=-1／√5。由此得到斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式：

這是一個(gè)耐人尋味的等式：等式左邊是正整數(shù)，右邊卻是由無理數(shù)來表達(dá)的。

有學(xué)生用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這個(gè)斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式。

（五）推理論證

【提出猜想之后，需要通過演繹推理的方法來證明猜想的正確性或通過舉出反例的方法來否定猜想。驗(yàn)證猜想的過程實(shí)際上是培養(yǎng)學(xué)生求實(shí)的學(xué)習(xí)態(tài)度和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰Φ倪^程。這是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不可缺少的環(huán)節(jié)，是獲得正確結(jié)論的關(guān)鍵步驟?！?/p>

要求學(xué)生用數(shù)學(xué)歸納法證明通項(xiàng)公式。

（六）拓展應(yīng)用

斐波那契數(shù)列是一個(gè)十分有趣的數(shù)列，在自然科學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域中有著非常廣泛的應(yīng)用，如樹枝生長問題、蜜蜂進(jìn)蜂房問題、上樓方式問題??許許多多的事物中都隱含著斐波那契數(shù)。啟發(fā)學(xué)生善于將這些實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題。

應(yīng)用1．樹枝生長問題

波蘭數(shù)學(xué)家史坦因豪斯的名著《數(shù)學(xué)萬花筒》中有這樣一個(gè)問題：一棵樹一年后長出一條新枝，新枝隔一年后成為老枝，老枝便可每年長出一條新枝。如此下去，十年后樹枝將有多少?（由學(xué)生回答，這個(gè)問題只是斐波那契數(shù)列問題的簡單變化）

應(yīng)用2．蜜蜂進(jìn)蜂房問題

一次蜜蜂從蜂房A出發(fā)，想爬到n號蜂房，但只允許它自左向右（不許反方向倒走），則它爬到各號蜂房的路線數(shù)各是多少？

學(xué)生探討，老師再進(jìn)行分析、啟發(fā)：

設(shè)蜜蜂從蜂房A出發(fā)，爬到i(i=1，2，?，n)號蜂房的路線數(shù)為ui，我們可將爬到n號蜂房的方式分為兩類：一類是不經(jīng)過n一l號蜂房而直接從n-2號蜂房進(jìn)入第n號蜂房，路線數(shù)有un-2條；另一類是經(jīng)過n-l號蜂房進(jìn)入第n號蜂房，路線數(shù)有un-1條，所以un=un-1+un-2(ui=l，u2=2)。

應(yīng)用3 反問兔子問題

兔子出生兩個(gè)月后就能生小兔，若每次不多不少恰好生一對（一雌一雄），假如養(yǎng)了初生的小兔一對，試問第幾個(gè)月可以得到360對兔子？(1)用遞推公式

通過利用循環(huán)結(jié)構(gòu)編寫計(jì)算機(jī)程序，運(yùn)行后即可得出結(jié)果為14。(2)作為斐波那契數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用。

拓展1．上樓方式問題

上樓梯時(shí)，若允許每次跨一級或兩級，那么樓梯級數(shù)為12時(shí)上樓的方式數(shù)是多少？（數(shù)學(xué)競賽題）一般地，樓梯級數(shù)為n時(shí)上樓的方式數(shù)是多少？（這個(gè)問題等價(jià)于斐波那契數(shù)列問題）

若允許每次跨一級或兩級或三級，那么對于樓梯級數(shù)為n時(shí)的上樓方式數(shù)是多少？

（可建立上樓問題遞推數(shù)列模型：fn+3=fn+2+fn+1+fn，以及f1=l ,f2=2,f3=4，利用循環(huán)結(jié)構(gòu)編寫一個(gè)計(jì)算機(jī)程序計(jì)算）。

拓展2．楊輝三角形與斐波那契數(shù)列

把楊輝三角形中的數(shù)據(jù)排列在表格中，自左下至右上斜線相加。直覺告訴我們，和數(shù)列可能是斐波那契數(shù)列。

學(xué)生通過觀察和歸納得出了斐波那契數(shù)列通項(xiàng)的組合表達(dá)式的猜想：

（其中k=[n/2]是不超過n的最大整數(shù)）。這一猜想的發(fā)現(xiàn)使整個(gè)教學(xué)過程又達(dá)到了一個(gè)高潮，這說明學(xué)生已經(jīng)有了一定的洞察力和數(shù)學(xué)靈感。

拓展3．黃金分割：(√5-1)/2=0.618 斐波那契數(shù)列和黃金分割數(shù)有很密切的聯(lián)系，到底有哪些聯(lián)系呢？

拓展4．斐波那契螺旋

由正方形可以構(gòu)成一系列的長方形，其邊長為斐波那契數(shù)列的連續(xù)項(xiàng)。在正方形內(nèi)繪出一個(gè)圓的1/4，就可以得到一條螺線，這樣的螺線被稱為斐波那契螺旋。

展示從網(wǎng)上下載的豐富資源，同時(shí)指出：斐波那契螺旋在自然界中隨處可見，如蜘蛛網(wǎng)、向日葵、水流的旋渦、蝸牛殼的螺紋以及星系內(nèi)星球的分布等?！窘虒W(xué)反思】

運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)能向?qū)W生提供豐富多彩的教學(xué)內(nèi)容，使教學(xué)內(nèi)容形象化、生活化，創(chuàng)設(shè)良好的問題情境，拓寬學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，鼓勵(lì)學(xué)生探究，最終提高數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量。

基于計(jì)算機(jī)信息技術(shù)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的引入，給高中數(shù)學(xué)課注入了活力，更能給予學(xué)生一個(gè)“完整的數(shù)學(xué)”。教師使用計(jì)算機(jī)來輔助完成教學(xué)任務(wù)，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來降低問題的難度，不用太多的語言，而是讓學(xué)生自己動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、觀察發(fā)現(xiàn)、猜想驗(yàn)證、合情推理、得出結(jié)論。

本節(jié)課教師從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的知識背景出發(fā)，向他們提供了充分地從事數(shù)學(xué)活動(dòng)和交流的機(jī)會(huì)，在分析和解決生兔子問題、樹枝生長問題、上樓方式問題、蜜蜂進(jìn)蜂房問題時(shí)，學(xué)生表現(xiàn)出了極大的熱情和興趣。

新教學(xué)模式呼喚高素質(zhì)的教師，數(shù)學(xué)教師要能像使用粉筆、黑板、常規(guī)教具一樣使用計(jì)算機(jī)來輔助完成教學(xué)任務(wù)，充分發(fā)揮計(jì)算機(jī)在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的優(yōu)勢。目前教師隊(duì)伍可能難以適應(yīng)發(fā)展的要求，要提高教師信息技術(shù)應(yīng)用能力，才能更好地使數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課進(jìn)人中學(xué)數(shù)學(xué)課堂。