第一篇：二項式定理在高中生物遺傳題中的應用

二項式定理在高中生物遺傳題中的應用

新課標明確要求要把對學生能力的培養(yǎng)提高到與知識教育同等重要的地位，其中思維能力就是生物教學中應著重培養(yǎng)的能力之一.在多年的教學實踐中，我發(fā)現(xiàn)學生在解題問題上，最主要的是在解題思路及應變能力方面表現(xiàn)較差.遺傳學是高中生物的重點和難點所在，教師從教學方面覺得是如此，學生從學習方面也是深有體會，但其中往往可以運用一些數(shù)學知識來解決.本文總結(jié)如下：

高中數(shù)學階段提到過二項式定理：

（p+q）n=pn+npn-1q+n（n-1）2！pn-2q2+…+qn.當n較大時，可推斷其中某一事件（基因型或表現(xiàn)型）出現(xiàn)的概率為：n！r?。╪-r）！prqn-r，其中r代表某事件（基因型或表現(xiàn)型）出現(xiàn)次數(shù)； n-r代表另一事件（基因型或表現(xiàn)型）出現(xiàn)次數(shù)；！代表階乘符號.接下來通過舉幾個實例來闡述二項式定理的應用.例1基因型為AaBb（兩對等位基因均為完全顯性）的個體自交，試問后代F1個體的基因結(jié)構(gòu).解析顯性基因A或B出現(xiàn)的概率為p=12，隱形基因a或b出現(xiàn)概率為q=12；

n=雜合基因個數(shù)，n=4.利用二項式定理代入：

（p+q）n=（12+12）4

=（12）4+4（12）3（12）+4×32?。?2）2（12）2+4×3×22?。?2）（12）3+（12）4

=116+416+616+416+116.通過上述計算可知，4顯性基因（AABB）為116，3顯性和1隱性基因為416，2顯性和2隱性基因為616，1顯性和3隱性基因為416，4隱性基因（aabb）為116.訓練1基因型為AA 和Aa的個體雜交，F(xiàn)1個體中3個是Aa，2個是AA的概率為多少？

分析根據(jù)孟德爾分離定律可知，F(xiàn)1中出現(xiàn)Aa 和AA的概率p=q=12，代入可得5！3?。?-3）?。?2）3（12）2=516.二項式定理不僅可以應用上述F1個體的基因型的分析，同樣在自交的F2個體中仍可應用.但是在F2個體中，顯性性狀出現(xiàn)概率為p=34，隱性性狀出現(xiàn)概率為q=14，n代表雜合基因?qū)?shù).如例2.例2基因型為AaBb個體自交產(chǎn)生F2，試問其F2中的基因結(jié)構(gòu)情況.解析其表現(xiàn)型的概率按上述34∶14的情況代入二項式定理：

（p+q）n=（34+14）2=（34）2+（34）（14）+（14）2

=916+616+116

這說明具有兩個顯性性狀（A_ B_）的個體概率為916，一個顯性性狀和一個隱性性狀（A_bb和aaB_各占316）的個體概率為616，兩個隱性性狀（aabb）的概率為116；這就說明表現(xiàn)型的比例為9∶3∶3∶1.從教育學中的理解知識的一般規(guī)律可引伸出重新組合題目，這樣可以進一步提高學生的解題應變能力.試想如果是3對等位基因的個體是否可以應用，答案是肯定的.如果用高中階段中常用的棋盤法求解3對時，計算量非常繁瑣，容易出錯，而采用二項式定理確可以很好地解決上述問題，計算量較為簡便.如例3.例3基因型為AaBbCc的個體，試問自交產(chǎn)生的F2的表現(xiàn)型情況.解析代入二項式定理：

（p+q）n=（34+14）3=（34）3+3（34）2（14）+3（34）2（14）2+（14）3=2764+2764+964+164

這說明具有三個顯性性狀（A_B_C_）的個體概率為2764，二個顯性性狀和一個隱性性狀（A_B_cc，A_bbC_，aaB_C_各占964）的個體概率為2764，一個顯性性狀和兩個隱性性狀（A_bbcc，aabbC_，aaB_cc各占364）的個體概率為964，三個隱性性狀（aabbcc）的個體概率為164.這就說明表現(xiàn)型的情況為27∶9∶9∶9∶3∶3∶3∶1.上述解析利用公式的分析，簡單實用，雖說解題方法并不高深，但精妙之處在于在解決問題時會充分體現(xiàn).以上可見，只要能夠靈活巧妙地運用這些知識解答相應試題，便能達到事半功倍的效果.我在高中生物學教學中，對如何提高學生解題中的思維能力作了上述一些探索，體會到要提高學生的解題能力，關鍵是要教給他們解題過程中的一般思維方法；可以將比較分散的知識經(jīng)過歸納形成系統(tǒng)性的知識用于解題，可以將所舉實例提煉成帶規(guī)律性的范例用于解題；可以從繁復的知識中抓住關鍵性的知識點運用于解題.

第二篇：二項式定理應用2

二項式定理及其應用

一、求某項的系數(shù)：

【例1】（1）在（1-x3）（1+x）10的展開式中，x5的系數(shù)是多少？（407）

（2）求（1+x-x2）6展開式中含x5的項．（6x5）

二、證明組合數(shù)等式：

練習

（12345）

例2 計算：1.9975（精確到0.001）．

師：按生戊所談的方法，大家在自己的筆記本上計算一下． 例3：（1996年全國高考有這樣一道應用題）

某地現(xiàn)有耕地10 000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22％，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10％．如果人口年增長率為1％，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）？

例3 如果今天是星期一，那么對于任意自然數(shù)n，經(jīng)過23n+3＋7n＋5天后的那一天是星期幾？

生庚：先將此題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，即本題實際上尋求對于任意自然數(shù)n，23n+3+7n＋5被7除的余數(shù)．

受近似計算題目啟發(fā)，23n+3=8n+1=（7＋1）n+1，這樣可以運用

數(shù)，7n也是7的倍數(shù)，最后余數(shù)是1加上5，是6了．

師：請同學們在筆記本上完成此題的解答

（教師請一名同學板演）

解：由于23n+3＋7n＋5=8n+1＋7n＋5=（7＋1）n+1＋7n+5

則 23n+3＋7n＋5被7除所得余數(shù)為6 所以對于任意自然數(shù)n，經(jīng)過23n+3＋7n＋5后的一天是星期日． 師：請每位同學在筆記本上完成這樣一個習題：7777-1能被19整除嗎？（教師在教室內(nèi)巡視，3分鐘后找學生到黑板板演）解：7777-1=（76+1）77

由于76能被19整除，因此7777-1能被19整除． 師：請生辛談談他怎樣想到這個解法的？

生辛：這是個冪的計算問題，可以用二項式定理解決．如果把7777改成（19＋58）77，顯然展開式中最后一項5877仍然不易判斷是否能被19整除，于是我想到若7777-1能被38，或能被57，或能被76，或能被95整除，必能被19整除，而76與77只差1，故欲證7777-1被19整除，只需證（76+1）77被76整除．得到了以上的解法．

師：二項式定理解決的是乘方運算問題，因此冪的問題可以考慮二項式定理．下面我們解一些綜合運用的習題

例4 求證：3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且n≥2）．

師：仍然由同學先談談自己的想法．

生壬：我覺得這道題仍可以用二項式定理解，為了把左式與右式發(fā)生聯(lián)系，將3換成2＋1．

注意到：

① 2n+n·2n-1=2n-1（2＋n）=2n-1（n+2）； ② n≥2，右式至少三項；

這樣，可以得到3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且n≥2）．

生癸：根據(jù)題設條件有n∈N，且n≥2．用數(shù)學歸納法應當可以證明．

師：由于觀察習題時思維起點不同，得到了習題不同解法，生×同學從乘方運算這點考慮，想到二項式定理，生×同學從題設條件n∈N考慮，想到數(shù)學歸納法．大家要養(yǎng)成習慣，每遇一題，從不同角度觀察思考，得到更多解法，使我們思考問題更全面．

用二項式定理證明，生×同學已經(jīng)講清楚了證明過程，大家課下在筆記本上整理好，現(xiàn)在請同學們在筆記本上完成數(shù)學歸納法的證明．

（教師請一名同學板演）

證明：①當n=2時，左式=32=9，右式=22-1（2＋2）=2×4=8，顯然9＞8．故不等式成立． ②假設n=k（k∈N且k≥2）時，不等式成立，即3k＞2k-1（k＋2），則當n=k＋1時，由于 左式=3k+1=3·3k＞3·2k-1（k＋2）=3k·2k-1＋3·2k． 右式=2(k+1)-1[（k＋1）＋2]=2k（k＋3）=k·2k＋3·2k，則 左式-右式=（3k·2k-1＋3·2k）-（k·2k＋3·2k）

=3k·2k-1-2k·2k-1=k·2k-1＞0． 所以 左式＞有式．故當n=k＋1時，不等式也成立．

由①，②不等式對n≥2，n∈N都成立．

師：為了培養(yǎng)綜合能力，同學們在筆記本再演算一道習題：

設n∈N且n＞1，求證：

（證明過程中可以運用公式：對n個正數(shù)a1，a2，…，an，總有

（教師在教室巡視，過2分鐘找一名同學到黑板板演第（1）小題，再過3分鐘找另一名同學板演第（2）小題）

師：哪位同學談一談此題應怎樣分析？

生寅：第（1）小題左式與右式?jīng)]有直接聯(lián)系，應把它們分別轉(zhuǎn)化，列前n項的和，由求和公式也能得到2n-1．因此得到證明． 第（2）小題左式與右式也沒有直接聯(lián)系．根據(jù)題目給出的公式要

師：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)想有關知識和思考方法是分析問題的一種重要方法，要在解題實踐中掌握．

本節(jié)課討論了二項式定理主要應用，包括組合數(shù)的計算、近似計算、整除和求余數(shù)的計算以及與其他數(shù)學知識的綜合應用．當然，二項式定理的運用不止這些，凡是涉及到乘方運算（指數(shù)是自然數(shù)或轉(zhuǎn)化為自然數(shù)）都可能用到二項式定理．認真分析習題的結(jié)構(gòu)，類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化是重要的找到解題途徑的思考方法，希望引起同學們的重視．

作業(yè)

1．課本習題：P253習題三十一：6，7，10； 2．課本習題：P256復習參考題九：15（2）． 3．補充題：

課堂教學設計說明

1．開始練習起著承上啟下的作用．這三題既復習了二項式定理及其性質(zhì)，又考查了數(shù)學基本思想，如等價變換、未知轉(zhuǎn)化已知，取特殊值，利于本節(jié)課進行，又培養(yǎng)了學生預習復習的學習習慣．

2．只有學生自己動手、動腦、動口才能真正把知識學到手，才能培養(yǎng)思維能力、計算能力、表達能力、分析問題解決問題能力．因此課堂教學一定以學生為主體，體現(xiàn)主體參與．

3．學生的回答不會像教案寫的那樣標準，教師要因勢利導，幫助學生提高分析能力．

第三篇：二項式定理二項式定理的應用教案（范文模版）

排列、組合、二項式定理·二項式定理的應用·教案

教學目標

1．利用二項式定理及二項式系數(shù)的性質(zhì)解決某些關于組合數(shù)的恒等式的證明；近似計算；求余數(shù)或證明某些整除或余數(shù)的問題等．

2．滲透類比與聯(lián)想的思想方法，能運用這個思想處理問題． 3．培養(yǎng)學生運算能力，分析能力和綜合能力． 教學重點與難點

數(shù)學是一門工具，學數(shù)學的目的就是為了應用．怎樣建立起要解決的問題與數(shù)學知識之間的聯(lián)系（如一個近似計算問題與二項式定理有沒有聯(lián)系，怎樣聯(lián)系），是這節(jié)課的難點，也是重點所在．

教學過程設計

師：我們已經(jīng)學習了二項式定理及二項式系數(shù)，請大家用6分時間完成以下三道題：

（1）在（1-x3）（1+x）10的展開式中，x5的系數(shù)是多少？（2）求（1+x-x2）6展開式中含x5的項．

（全體學生參加筆試練習）

6分鐘后，用投影儀公布以上三題的解答：

（1）原式=（1+x）10-x3（1+x）10，可知x5的系數(shù)是（1+x）

（2）原式=[1+（x-x2）]6=1+6（x-x2）+15（x-x2）2+20（x-x2）3+15（x-x2）4+6（x-x2）5+（x-x2）6．

其中含x5的項為：20·3x5+15（-4）x5+6x5=6x5．

師：解（1），（2）兩題運用了變換和化歸思想，第（2）題把三項式化為二項式，創(chuàng)造了使用二項式定理的條件．

第（3）題的解法是根據(jù)恒等式的概念，a，b取任何數(shù)時，等式都成立．根據(jù)習題結(jié)構(gòu)特征選擇a，b的取值．這種用概念解題的思想經(jīng)常使用．

下面我們看二項式定理的一些應用．

師：請同學們想一想，例1怎樣解？

生甲：從結(jié)構(gòu)上觀察，則與練習的第（3）題有相似之處，只是組合數(shù)的系數(shù)成等比數(shù)列，是否根據(jù)二項式定理令a=1，b=3，即可得到證明．

師：請同學們根據(jù)生甲所講，寫出證明．（找一位同學板演）

證明：在（a+b）n的展開式中令a=1，b=3得：

師：顯然，適當選取a，b之值是解這一類題的關鍵，再看練習題． 練習

生乙：這題與例1類比有共同點，仍是組合數(shù)的運算，不同點是缺

我考慮如能用二項式定理解，應對原題做以下變換：

師：分析得很透徹．這種敢想、會想精神是每位同學都要培養(yǎng)的．首先是敢字，不要一見題目有些生疏就采取放棄態(tài)度；要敢于分析，才能善于分析，將來才敢于創(chuàng)新，善于創(chuàng)新．

請大家把解題過程寫在筆記本上．（教師請一名同學板演）

在（a＋b）6的展開式中令a=1，b=3，得

師：解題過程從“在（a+b）6的展開式中令 a=1，b=3”寫起就可以了．希望同學們再接再勵，完成下個練習．

練習

師：大家議論一下，這道題能用二項式定理來解嗎？

生丙：初步觀察，與上節(jié)課我們學刁的：“在（a＋b）n的展開式

解決．我們注意到組合數(shù)代數(shù)和的值為余弦值或正弦值，又注意到正項

?）或r=4m＋1（m=0，1，2，?），負項出現(xiàn)在r=4m＋2（m=0，1，2，?）或r=4m＋3（m=0，1，2，?），而虛數(shù)單位i有以下性質(zhì)：

i4m=1，i4m+1=i，i4m+2=-1，i4m+3=-i（m∈Z）． 于是想在（a＋b）n的展開式中令a=1，b=i．

師：分析得有道理，請同學們按生丙同學的意見進行演算．（教師找一位同學板演）

證明：設i是虛數(shù)單位，在（a＋b）n的展開式中令a=1，b=i中得：

另一方面，又有

由此得到

根據(jù)復數(shù)相等定義，有

師：認真分析習題的結(jié)構(gòu)，運用類比與聯(lián)想的思想方法，可以幫助我們找到解題的思路，下面我們研究二項式定理在數(shù)字計算方面的應用．

例2 計算：1.9975（精確到0.001）．

生?。哼@道題若用二項式定理計算，必須把1.997看作1+0.997，這樣，1.9975=（1+0.997）5．

師：計算簡單嗎？

生戊：把1.9975化為（2-0.003）5，再展開，由于精確到0.001，不必各項都計算．

師：按生戊所談的方法，大家在自己的筆記本上計算一下．（教師找一位同學板演）解：1.9975=（2-0.003）5

=25-5×24×0.003+10×23×0.0032-10×22×0.003＋?

由于|T6|＜|T5|＜|T4|≈1.08×10-6，則|T4|＋T5＋T6|＜0.000004． 所以1.9975≈32-0.24+0.000 72≈31.761． 師：1996年全國高考有這樣一道應用題：（用投影儀示出，老師讀題）

某地現(xiàn)有耕地10 000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22％，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10％．如果人口年增長率為1％，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）？

稍候，教師問：

誰想出解法了，請講一講．

生己：設該地區(qū)現(xiàn)有人口為P人，糧食單產(chǎn)為M噸/公頃，耕地平均每年至多只能減少x公頃．

十年后耕地畝數(shù)：104-10x，十年后總產(chǎn)量：M×（1+22％）（104-10x）． 十年后人口：P×（1＋1％）10，依題意可以得到不等式

師：實際計算時，會遇到（1＋0.01）10的計算問題，請全體同學在筆記本上迅速計算出來．

（教師請一同學板演）

師：真迅速??！請同學們課下把這道高考題完成．（答案：按規(guī)劃該地區(qū)耕地平均每年至多只能減少4公頃）現(xiàn)在，我們再討論一個新的問題．

例3 如果今天是星期一，那么對于任意自然數(shù)n，經(jīng)過23n+3＋7n＋5天后的那一天是星期幾？

生庚：先將此題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，即本題實際上尋求對于任意自然數(shù)n，23n+3+7n＋5被7除的余數(shù)．

受近似計算題目啟發(fā)，23n+3=8n+1=（7＋1）n+1，這樣可以運用

數(shù)，7n也是7的倍數(shù)，最后余數(shù)是1加上5，是6了． 師：請同學們在筆記本上完成此題的解答（教師請一名同學板演）

解：由于23n+3＋7n＋5=8n+1＋7n＋5=（7＋1）n+1＋7n+5

則 23n+3＋7n＋5被7除所得余數(shù)為6 所以對于任意自然數(shù)n，經(jīng)過23n+3＋7n＋5后的一天是星期日．

師：請每位同學在筆記本上完成這樣一個習題：7777-1能被19整除嗎？（教師在教室內(nèi)巡視，3分鐘后找學生到黑板板演）解：7777-1=（76+1）77

由于76能被19整除，因此7777-1能被19整除． 師：請生辛談談他怎樣想到這個解法的？ 生辛：這是個冪的計算問題，可以用二項式定理解決．如果把7777改成（19＋58）77，顯然展開式中最后一項5877仍然不易判斷是否能被19整除，于是我想到若7777-1能被38，或能被57，或能被76，或能被95整除，必能被19整除，而76與77只差1，故欲證7777-1被19整除，只需證（76+1）77被76整除．得到了以上的解法．

師：二項式定理解決的是乘方運算問題，因此冪的問題可以考慮二項式定理．下面我們解一些綜合運用的習題

例4 求證：3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且n≥2）． 師：仍然由同學先談談自己的想法．

生壬：我覺得這道題仍可以用二項式定理解，為了把左式與右式發(fā)生聯(lián)系，將3換成2＋1．

注意到：

① 2n+n·2n-1=2n-1（2＋n）=2n-1（n+2）； ② n≥2，右式至少三項；

這樣，可以得到3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且n≥2）．

生癸：根據(jù)題設條件有n∈N，且n≥2．用數(shù)學歸納法應當可以證明． 師：由于觀察習題時思維起點不同，得到了習題不同解法，生×同學從乘方運算這點考慮，想到二項式定理，生×同學從題設條件n∈N考慮，想到數(shù)學歸納法．大家要養(yǎng)成習慣，每遇一題，從不同角度觀察思考，得到更多解法，使我們思考問題更全面．

用二項式定理證明，生×同學已經(jīng)講清楚了證明過程，大家課下在筆記本上整理好，現(xiàn)在請同學們在筆記本上完成數(shù)學歸納法的證明．

（教師請一名同學板演）

證明：①當n=2時，左式=32=9，右式=22-1（2＋2）=2×4=8，顯然9＞8．故不等式成立． ②假設n=k（k∈N且k≥2）時，不等式成立，即3k＞2k-1（k＋2），則當n=k＋1時，由于 左式=3k+1=3·3k＞3·2k-1（k＋2）=3k·2k-1＋3·2k． 右式=2(k+1)-1[（k＋1）＋2]=2k（k＋3）=k·2k＋3·2k，則 左式-右式=（3k·2k-1＋3·2k）-（k·2k＋3·2k）=3k·2k-1-2k·2k-1=k·2k-1＞0．

所以 左式＞有式．故當n=k＋1時，不等式也成立． 由①，②不等式對n≥2，n∈N都成立．

師：為了培養(yǎng)綜合能力，同學們在筆記本再演算一道習題： 設n∈N且n＞1，求證：

（證明過程中可以運用公式：對n個正數(shù)a1，a2，?，an，總有

（教師在教室巡視，過2分鐘找一名同學到黑板板演第（1）小題，再過3分鐘找另一名同學板演第（2）小題）

師：哪位同學談一談此題應怎樣分析？

生寅：第（1）小題左式與右式?jīng)]有直接聯(lián)系，應把它們分別轉(zhuǎn)化，列前n項的和，由求和公式也能得到2n-1．因此得到證明． 第（2）小題左式與右式也沒有直接聯(lián)系．根據(jù)題目給出的公式要

師：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)想有關知識和思考方法是分析問題的一種重要方法，要在解題實踐中掌握．

本節(jié)課討論了二項式定理主要應用，包括組合數(shù)的計算、近似計算、整除和求余數(shù)的計算以及與其他數(shù)學知識的綜合應用．當然，二項式定理的運用不止這些，凡是涉及到乘方運算（指數(shù)是自然數(shù)或轉(zhuǎn)化為自然數(shù)）都可能用到二項式定理．認真分析習題的結(jié)構(gòu)，類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化是重要的找到解題途徑的思考方法，希望引起同學們的重視．

作業(yè) 1．課本習題：P253習題三十一：6，7，10； 2．課本習題：P256復習參考題九：15（2）． 3．補充題：

課堂教學設計說明

1．開始練習起著承上啟下的作用．這三題既復習了二項式定理及其性質(zhì)，又考查了數(shù)學基本思想，如等價變換、未知轉(zhuǎn)化已知，取特殊值，利于本節(jié)課進行，又培養(yǎng)了學生預習復習的學習習慣．

2．只有學生自己動手、動腦、動口才能真正把知識學到手，才能培養(yǎng)思維能力、計算能力、表達能力、分析問題解決問題能力．因此課堂教學一定以學生為主體，體現(xiàn)主體參與．

3．學生的回答不會像教案寫的那樣標準，教師要因勢利導，幫助學生提高分析能力．

第四篇：高二數(shù)學教案：二項式定理

北京英才苑網(wǎng)站

http://004km.cn與第r?1項的系數(shù)是不同的概念。

三、教學重點、難點：二項式定理及二項展開式的通項公式的靈活運用。

四、教學過程：

（一）復習：

1．二項式定理及其特例：

0n1nrn?rrnn

（1）(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N?)，1rr

（2）(1?x)n?1?Cnx???Cnx???xn.rn?rr2．二項展開式的通項公式：Tr?1?Cnab.（二）新課講解：

例1（1）求(1?2x)7的展開式的第四項的系數(shù)；（2）求(x?)的展開式中x的系數(shù)及二項式系數(shù)。19x3解：(1?2x)7的展開式的第四項是T3?1?C7(2x)3?280x3，∴(1?2x)的展開式的第四項的系數(shù)是280． 7

（2）∵(x?)的展開式的通項是Tr?1?C9x191r9?r(?)r?(?1)rC9rx9?2r，xx∴9?2r?3，r?3，333∴x的系數(shù)(?1)3C9??84，x3的二項式系數(shù)C9?84．

4例2 求(x?3x?4)的展開式中x的系數(shù)。

分析：要把上式展開，必須先把三項中的某兩項結(jié)合起來，看成一項，才可以用二項式定理展開，然后再用一次二項式定理，也可以先把三項式分解成兩個二項式的積，再用二項式定理展開。

解：（法一）(x?3x?4)?[(x?3x)?4]

01?C4(x2?3x)4?C4(x2?3x)3?4

234?C4(x2?3x)2?42?C4(x2?3x)?43?C4?44，顯然，上式中只有第四項中含x的項，33∴展開式中含x的項的系數(shù)是?C4?3?4??768

24444（法二）：(x?3x?4)?[(x?1)(x?4)]?(x?1)(x?4)

04132234?(C4x?C4x?C4x?C4x?C4)04132234(C4x?C4x?4?C4x?42?C4x?43?C4?44)

3433∴展開式中含x的項的系數(shù)是?C44?C44??768． 22424

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http://004km.cn?4x?(2Cm?4Cn)x mn2211∴(2Cm?4Cn)?36，即m?2n?18，?1?2x?m??1?4x?展開式中含x2的項的系數(shù)為 n22222?Cn4?2m2?2m?8n2?8n，t?Cm∵m?2n?18，∴m?18?2n，∴t?2(18?2n)?2(18?2n)?8n?8n?16n?148n?612

3715337時，t取最小值，?16(n2?n?)，∴當n?448*2但n?N，∴ n?5時，t即x項的系數(shù)最小，最小值為272，此時n?5,m?8．

例4 已知(x?1)n的展開式中，前三項系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列，24x

（1）證明展開式中沒有常數(shù)項；（2）求展開式中所有的有理項。

解：由題意：2Cn?r82221112?1?Cn?()2，即n2?9n?8?0，∴n?8(n?1舍去）221r16?3rrrr?1rr8?rC8?0?r?8? 24 ∴Tr?1?Cx?(?4)?(?)?C8x?x???1?r?x4??222x?r?Z?①若Tr?1是常數(shù)項，則16?3r?0，即16?3r?0，∵r?Z，這不可能，∴展開

4式中沒有常數(shù)項； ??8?r②若Tr?1是有理項，當且僅當16?3r為整數(shù)，∴0?r?8,r?Z，∴ r?0,4,8，4即展開式中有三項有理項，分別是：T1?x4，T5?35x，T9?1x?2.8256

五、課堂練習：課本第107頁練習第5，6題。

六、課堂小結(jié)：1．三項或三項以上的展開問題，應根據(jù)式子的特點，轉(zhuǎn)化為二項式來解決，轉(zhuǎn)化的方法通常為集項、配方、因式分解，集項時要注意結(jié)合的合理性和簡捷性；

2．求常數(shù)項、有理項和系數(shù)最大的項時，要根據(jù)通項公式討論對r的限制；求有理項時要注意到指數(shù)及項數(shù)的整數(shù)性。

七、作業(yè)：課本第143頁 復習參考題十第12題，補充： 1．已知?x?3a?8的展開式中x的系數(shù)是?ax?1?9展開式中倒數(shù)第四項的系數(shù)的2倍，求

a,a,a,?a,?前n項的和；

12．(xx?4)n的展開式中第3項的二項式系數(shù)比第2項的二項式系數(shù)大44，則展開式中

x

常數(shù)項。

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第五篇：二項式定理教學反思

二項式定理教學反思

黃慧瑩

二項式定理是初中學過的多項式乘法的繼續(xù)，是排列組合知識的具體運用，定理的證明是計數(shù)原理的應用．

本節(jié)課的教學重點是“使學生掌握二項式定理的形成過程”，在教學中，采用“問題――探究”的教學模式，把整個課堂分為呈現(xiàn)問題、探索規(guī)律、總結(jié)規(guī)律、應用規(guī)律四個階段．讓學生體會研究問題的方式方法，培養(yǎng)學生觀察、分析、概括的能力，以及化歸意識與方法遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式，讓學生體驗定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程．

本節(jié)課的難點是用計數(shù)原理分析二項式的展開過程，發(fā)現(xiàn)二項式展開成單項式之和時各項系數(shù)的規(guī)律．在教學中，設置了對多項式乘法的再認識，引導學生運用計數(shù)原理來解決項數(shù)問題，明確每一項的特征，為后面二項展開式的推導作鋪墊．再以為對象進行探究，引導學生用計數(shù)原理進行再思考，分析各項以及項的個數(shù)，這也為推導的展開式提供了一種方法，使學生在后續(xù)的學習過程中有“法”可依．

教材的探求過程將歸納推理與演繹推理有機結(jié)合起來，是培養(yǎng)學生數(shù)學探究能力的極好載體．教學過程中，讓學生充分體會到歸納推理不僅可以猜想到一般性的結(jié)果，而且可以啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)解決一般問題的方法．教學中我特別注重運用通項意識凡涉及到展開式的項及其系數(shù)等問題，常是先寫出其通項公式，然后再據(jù)題意進行求解．

本節(jié)課的亮點：引入作了項數(shù)問題，明確每一項的很好的鋪墊，數(shù)學思想、方法和數(shù)學文化得到了較好的體現(xiàn)．引導學生運用計數(shù)原理來解決特征，為后續(xù)學習作準備．二項式系數(shù)的對稱美，“特殊出發(fā)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、猜想結(jié)論、邏輯證明”的科學方法，二項式指數(shù)推廣到負整數(shù)指數(shù)，有沒有三項式定理，都帶給學生積極的情感體驗和無盡的思考．

不足之處：學生在數(shù)學課堂中的參與度不夠．我認為,像這樣面對新學生的展示課,難以操作.因為讓學生自主學習,必須課前作充分的準備,學生帶著問題到課堂上進行匯報和交流,師生共同釋疑、糾錯.否則,對于有一定難度的數(shù)學課,在課堂上先自主、合作、探究，再來答疑、解惑，就沒有足夠的時間了.即使可以操作, 自主、合作、探究也是走走過場, 沒有實際效果.語文與數(shù)學有不同特點,在數(shù)學課堂上如何讓學生討論、思考值得深入研究．

總之，本節(jié)課遵循學生的認識規(guī)律，由特殊到一般，由感性到理性．重視學生的參與過程，問題引導，師生互動．重在培養(yǎng)學生觀察問題，發(fā)現(xiàn)問題，歸納推理問題的能力，從而形成自主探究的學習習慣．